长春市2023届高三质量监测（一）
数 学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合；，则Venn图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．复数的虚部是（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．已知向量与的夹角为60°，，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．在市场上选取20种不同的零食作为研究样本，记录其每100克可食部分的能量（单位：KJ）如下：
110，120，120，120，123，123，140，146，150，162，
165，174，190，210，235，249，280，318，428，432．
则样本数据的第75百分位数为（ ）
A．123 B．235 C．242 D．249
5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知点和点为的顶点，则：“的欧拉线的方程为x＝1”是“点C的坐标为（2，2）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．文化广场原名地质宫广场，是长春市著名的城市广场，历史上地质宫广场曾被规划为伪满洲国的国都广场．文化广场以新民主大街道路中心线至地质宫广场主楼中央为南北主轴，广场的中央是太阳鸟雕塑塔，在地质宫（现为吉林大学地质博物馆）主楼辉映下显得十分壮观．现某兴趣小组准备在文化广场上对中央太阳鸟雕塑塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为太阳鸟雕塑最顶端，B为太阳鸟雕塑塔的基座（即B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C、D两点．测得CD的长为m．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、、、、，则根据下列各组中的测量数据，不能计算出太阳鸟雕塑塔高度AB的是（ ）
A．m、、、 B．m、、、
C．m、、、 D．m、、、
7．函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．3 C． D．
8．已知某家族有A、B两种遗传性状，该家族某位成员出现A性状的概率为，出现B性状的概率为，A、B两种遗传性状都不出现的概率为．则该成员在出现A性状的条件下，出现B性状的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线的两条渐近线与直线分别相交于A，B两点，且线段AB的长等于它的一个焦点到一条渐近线的距离，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
10．定义域为的函数，其值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示，两个全等的矩形ABCD与ABEF所在的平面互相垂直，AB＝2，BC＝1，点P为线段CD上的动点，则三棱椎的外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知a，b满足，，其中e是自然对数的底数，则ab的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知各项均为正数的等比数列，其前n项积为，且满足，则______．
14．四面体的各棱长均相等，E，F分别为AD，BC的中点，则异面直线AB与EF所成角的大小为______．
15．已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且项的系数为－160，则______．
16．已知函数的图象关于点（1，0）中心对称，若，，使得，则的最大值是______．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）证明：是直角三角形；
（Ⅱ）若，求的值．
18．（本小题满分12分）
四名党员教师暑假去某社区做志愿者工作，现将他们随机分配到A，B，C三个岗位中，每人被分配到哪个岗位相互独立．
（Ⅰ）设这四名教师被分配到A岗位的人数为X，求X的分布列及数学期望；
（Ⅱ）求上述三个岗位中恰有一个岗位未分配到任何志愿者的概率．
19．（本小题满分12分）
已知数列满足：，．
（Ⅰ）证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和．
20．（本小题满分12分）．
如图，四棱锥的底面ABCD为菱形，，为等边三角形，点Q为棱PB上的动点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若平面ABCD，平面AQD与平面CQD的夹角余弦值为，求的值：
21．（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为F，直线l过点F，与抛物线交于A，B两点，的最小值为4．
（Ⅰ）求抛物线的方程：
（Ⅱ）若点P的坐标为，设直线PA和PB的斜率分别为、，问是否为定值，若是，求出该定值，否则，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数，．
（Ⅰ）求函数的值域；
（Ⅱ）讨论函数的零点个数．
长春市2023届高三质量监测（一）
数学试题参考答案及评分参考
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．D 2．C 3．C 4．C 5．B 6．B
7．C 8．B 9．B 10．D 11．C 12．D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．（本小题满分10分）
【试题解析】解：（1）利用正弦定理可将化为，
即，化简得，
即，由，则，即．即为直角三角形．（4分）
（2）由，可得，
则，计算得，即．
，由A为三角形ABC的内角，则，
解得．（12分）
18．（本小题满分12分）
【试题解析】（1）x的可能值为0，1，2，3，4．
；；；
．
x的分布列为
x
0
1
2
3
4
P
（或写成）
x的数学期望为（6分）
（2）．（12分）
19．（本小题满分12分）
【试题解析】解：（1）将两侧同除，
可得，，
即数列为公差为1的等差数列．（6分）
（2）由（1）可知，，即，
则，
．（12分）
20．（本小题满分12分）
【试题解析】解：（1）连接BD交AC于点O，连结PO．
．（4分）
（2）以O为原点，以OB方向为x轴，以OC方向为y轴，以过点O垂直平面ABCD向上方向为z轴，建立如图所示坐标系．设OB＝1．
，，，，
设，则
则，
， ，
， ，
， ，
，则．
即，．（12分）
21．（本小题满分12分）
【试题解析】解：设直线l的方程为，l与抛物线交于，，
联立直线l与抛物线方程
可得，即，，．
由抛物线的定义可知，
当t＝0时，取最小值为2p，则2p＝4．即抛物线方程为．（4分）
（2）由题意可知．，
由，
，
即为定值．（12分）
22．（本小题满分10分）
【试题解析】解：（1）由可知
令则
x
0
减
极小
增
，无最大值．即的值域为．（4分）
（2），且，
令，，即在上单调递增．
当时，可知，即在单调递增，即此时有唯一零点．
当时，令，即，．
即，
①当k＝1时，，，此时有唯一零点．
②当时，，，
且，即在存在一个零点，此时共有2个零点．
③当时，，，
且，即在存在一个零点，此时共有2个零点．
综上，当或k＝1时，有唯一零点．
当或时，有2个零点．（12分）
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