《數理精藴》之正四面體內接正多面體說上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要：
本文談及《數理精藴》之正四面體內接正多面體之各種情況。正多面體包括正立方體、八面體、十二面體及二十面體。關鍵詞：正四面體 正立方
體 八面體 十二面體 二十面體本文數學題取材自《御製數理精藴?下編?卷二十九?體部五》﹝簡稱為《數理精藴》﹞分題為“各等面體
”。本文主要談及正四面體之內接正多面體。其要點為若知正多面體之形成法，求其邊長則非難事，可參閱以下諸例。筆者已有文名為〈《數理精藴
》之正立方體內接正多面體〉，本文乃其補充。〈第一題〉設如四面體毎邊一尺二寸，求：內容正方體之每一邊幾何？解：解本題主要分成三步驟：
(1) 求四面體之高；(2) 求內切圓球之直徑；(3) 求球內之內接正立方體，此正立方體亦必為四面體之內接正立方體。以上為正四面體
圖。下圖為《數理精藴》之正四面體內接正立方體圖。首先要知道四面體之重要數據之算出。今設一正四面體ABCD之邊長為x﹝見下圖﹞，O點
是為底三角形之重心，今先求其一面之面積例如BCD，以E、F、G為各邊之中點。其高 DE = x，所以BCD面積 = x2。再求正四
面體之高AO，在ΔAOD中，ADG = × x = x。所以AO = √(x2 – x2) = x。CGD上式為已知B四面體一邊
求高之法EFO下圖左為《數理精藴》之圓球內接正立方體圖：設正立方體一邊長為x，過球體圓心作一切面，得一正方形，正方形對角線之半長平
方為 (?x)2 + (?x)2 = ?x2，此數再加 (?x)2 即得圓半徑之平方，即：?x2 + (?x)2 = (?d)2，
d 為球直徑。x2 = d23x2 = d2x2 = d2x = d。《數理精藴》曰：法：以四面體每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸，
三歸二因得九十六寸，開平方得九寸七分九釐七豪九絲五忽八微有餘，為四面體自尖至歸為除，因為乘。底中心之立垂線，即 × 1.22 =
0.96﹝平方尺﹞ = 96﹝平方寸﹞。√(96平方寸) = 9.797958971 寸﹝見前文解釋﹞。折半得四寸八分九釐八豪九
絲七忽九微有餘，為四面體內容圓球全徑，即四面體內容圓球全直徑 = × 9.797958971 寸 = 4.898979486寸﹝
此說見筆者另文﹞。乃用求球內容正方體之每一邊法，以球徑自乗，三歸開平方得二寸八分二釐八豪四絲二忽七微有餘，即四面體內容正方體之每一
邊也。即 d = √(4.8989794862 × ) = 2.828427125 ﹝寸﹞﹝見前文解釋﹞。《數理精藴》解釋曰：如圖
﹝見第1頁之圖﹞甲乙丙四面體，內容丁戊己庚辛壬正方體，以正方體之丁己辛癸四角切於四面體各面之中心，則四面體中心至每一面中心之立垂線
，即正方體中心至角之斜線，四面體內容圓球徑即正方體外切圓球徑，故先求得四面體內容圓球徑，又求得球內容正方體之一邊，即四面體內容正方
體之一邊也。又法：以四面體每邊一尺二寸 (12 寸) 自乗得一百四十四寸 (144 方寸)，以十八歸除之得八寸 (144/18 =
8)，開平方得二寸八分二釐八豪四絲二忽七微有餘，即四面體內容正方體之每一邊也。若四面體每邊長為x，則四面體之高為 x，內接圓球直
徑為 x，四面體內容正方體之每一邊 = × x = = ，若 x = 12 ﹝寸﹞， = 2.828427125 ﹝寸﹞。答
：四面體內容正方體之每一邊為2.828427125 ﹝寸﹞。《數理精藴》又曰：此法與前法同，蓋四面體之自尖至底中心之立垂線自乗方為
每邊自乗方之三分之二，即六分之四，內容圓球徑為立垂線之一半，見球外切四面體法則。內容圓球徑自乗方為立垂線自乗方之四分之一，即為毎邊
自乗方之六分之一，而圓球內容正方體之每邊自乗方又為圓球徑自乗方之三分之一，故內容正方體之每邊自乗方為四面體之每邊自乗方之十八分之一
也。如有正方體之一邊，求外切四面體之一邊，則以正方體之毎邊自乗以十八乗之，開平方即得外切四面體之每一邊也。以上末段引文指若正方體之
一邊為 y，而y = ，x 為四面體之一邊。即 y2 = 18 y2 = x2x = √18 y。以下為《數理精藴》原文：〈第二題
〉設如四面體每邊一尺二寸，求：內容八面體之每一邊幾何？解：下圖為《數理精藴》之平面圖：先求出每邊之中點，然後每相鄰兩點連線，即可得
內接正八面體。四面體內接八面體之每一邊之長為四面體邊長之半，即12寸之半為6寸。《數理精藴》曰：法：以四面體每邊一尺二寸折半，得六
寸，即四面體內容八面體之每一邊也。如圖甲乙丙四面體，內容丁戊己庚辛壬八面體，以八面體之四面切於四面體之各面，以八面體之六角切於四面
體之六稜，其各角皆當各稜之一半，故內容八面體之毎邊亦為四面體每邊之一半也。如有八面體之一邊，求外切四面體之一邊，則以八面體之一邊倍
之，即得外切四面體之每一邊也。以上末段引文指若正八面體之一邊為 y，而y = ?x，x 為四面體之一邊。所以x = 2y。筆者有文
名為〈《數理精藴》之正八面體體積說〉可作補充。以上為正八面體之展開圖，將以上兩圖合併並摺疊成立體之正八面體後，其中央部份是以正三角
形之一邊為邊長之正方形，此乃正三角形與正方形之關係。下圖之A、B、C、D乃邊之中點，依中點定理容易証明，AB = BC = CD
= DA，又在連線條件相同之情況下，∠DAB = ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA，四角若相等，則四角必為直角。從另外兩邊之中
點連A、B、C、D則得一正八面體。以下為四面體內接八面體圖：ABDC〈第三題〉設如四面體每邊一尺二寸，求：內容十二面體之每一邊幾何
？解：以下為十二面體圖：以下為《數理精藴》之正四面體內容十二面體圖：容易理解，先求出四面體之內接圓球球直徑，再求圓球之內接十二面體
，此十二面體即四面體之內接十二面體。《數理精藴》曰：法：以四面體每邊一尺二寸，自乗得一尺四十四寸，三歸二因得九十六寸，開平方得九寸
七分九釐七豪九絲五忽八微有餘，為四面體自尖至底中心之立垂線，折半得四寸八分九釐八毫九絲七忽九微有餘，為四面體內容圓球全徑。乃用求球
內容十二面體之一邊法，以理分中末線之全分一○○○○○○○○為股，小分三八一九六六一為勾，求得弦一○七○四六六二六為一率，小分三八一
九六六○一為二率，今所得之圓球徑四寸八分九釐八豪九絲七忽九微為三率，求得四率一寸七分四釐八豪零三忽九微有餘，即四面體內容十二面體之
每一邊也。四面體自尖至底中心之立垂線 = √( × 1.22) = √0.96 = 0.979795897﹝尺﹞= 9.79795
897﹝寸﹞。四面體內容圓球全徑 = ? × 9.79795897 = 4.89897948﹝寸﹞。以下為其比例四率算法如下：一率
：取理分中末線之全分 100000000為股﹝見黃金比例，見筆者另文﹞，“小分”指黃金比例之 = 0.381966011，取 3
8196601為勾，弦 = √(1000000002 + 381966012) = 107046626.9，取107046626為
一率，二率：小分38196601為二率，三率：圓球直徑4.898979為三率，四率：四面體內容十二面體每一邊之長。依比例四率得 一
率：二率 = 三率：四率一率 × 四率 = 二率 × 三率四率 = × 二率 × 三率。= × 38196601 × 4.89
8979= 1.7480639(34)﹝寸﹞。以下為其一般情況：若四面體每邊長為x，則內接圓球直徑為 x，弦 = = =
= 為一率。“小分” 為二率﹝見前文﹞，圓球直徑為 x為三率，四面體內容十二面體每一邊之長 × × x= x= x
= x。若 x = 12﹝寸﹞，則 x = 1.748064098﹝寸﹞，答案同上。《數理精藴》解釋﹝見上圖﹞曰：如圖甲乙丙四面體
內容丁戊己庚辛壬十二面體，以十二面體之戊庚壬癸四角切於四面體各面之中心，則四面體中心至毎一面中心之立垂線，即十二面中心至各角之斜線
，四面體內容圓球徑即十二面體外切圓球徑，故先求得四面體內容圓球徑，又求得球內容十二面體之每一邊，即四面體內容十二面體之每一邊也。如
有十二面體之一邊，求外切四面體之每一邊，則先求得十二面體外切圓球徑，又求得球外切四面體之每一邊，即十二面體外切四面體之每一邊也。以
上末段引文指若正十二面體之一邊為 a，而a = x，x 為四面體之一邊，所以x = 。以下為《數理精藴》原文：〈第四題〉設如四面體
每邊一尺二寸，求：內容二十面體之每一邊幾何？解：以下為《數理精藴》之四面體內容二十面體圖：從圖可知，若求四面體之內接二十面體，顯然
先求其內切圓球球徑，再從內切圓球求其內接二十面體。以下為《數理精藴》之算法：法：以四面體毎邊一尺二寸，求得內容圓球全徑四寸八分九釐
八豪九絲七忽九微有餘﹝法見前題﹞。乃用求球外切二十面體之一邊法，以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率，小分三八一九六六○一為
二率，今所得之圓球全徑折半得半徑二寸四分四釐九豪四絲八忽有微有餘為三率，求得四率九分三釐五豪六絲二忽一微有餘，為二十面體毎一面中心
至邊之垂線，三因之得二寸八分零六豪八絲六忽三微有餘為二十面體每一面自角至對邊之垂線。自乘三歸四因開平方，得三寸二分五釐二豪六絲三忽
三微有餘，即四面體內容二十面體之每一邊也。以下為其比例四率算法如下：一率：理分中末線之全分 100000000﹝見黃金比例﹞，二率
：小分指黃金比例之 = 0.381966011，取 38196601，弦 = 100000000，三率：圓球直徑4.898979
之半 2.4494895為三率，四率：二十面體每一面自角至對邊之垂線。依比例四率得 一率：二率 = 三率：四率一率 × 四率 =
二率 × 三率四率 = × 二率 × 三率。= × 38196601 × 2.4494895= 9.3562173﹝分﹞。二十
面體每一面自角至對邊之垂線 = 3 × 9.356217309 = 28.06865193﹝分﹞= 2.806865193﹝寸﹞。
四面體內容二十面體之每一邊平方 = 2.8068632 × = 10.50463987，四面體內容二十面體之每一邊為 √10.5
0465628 = 3.2410862﹝寸﹞。如圖甲乙丙四面體，內容丁戊己庚辛壬二十面體，以二十面體之丁戊癸己庚子丑丑辛寅卯辰之四
面切於四面體各面之中心，則四面體中心至每一面中心之立垂線，即二十面體中心至每一面中心之立垂線，四面體內容圓球徑即二十面體內容圓球徑
，故先求得四面體內容圓球徑，又求得球外切二十面體之一邊，即四面體內容二十面體之一邊也。如有二十面體之一邊，求外切四面體之一邊，則求
得二十面體內容圓球徑，又求得球外切四面體之一邊，即二十面體外切四面體之一邊也。以下為其一般情況：一率：理分中末線之全分 1﹝見黃金比例﹞， 為二率，若四面體每邊長為x，則內接圓球直徑為 x，半徑為 x，為三率。四率 = × 二率 × 三率。所以四率 = × x = = 。可知二十面體每一面自角至對邊之垂線 = 3 × =。四面體內容二十面體之每一邊平方 = ]2 × = (3 – √5)2x2，所以四面體內容二十面體之每一邊長 = (3 – √5)x = (3 – √5)x，若 x = 12 ﹝寸﹞，則四面體內容二十面體之每一邊長 = (3 – √5) × 12 = 3.241089081﹝寸﹞，答案同上﹝除去誤差﹞。以下為《數理精藴》原文：(1) |
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