八年级数学下册《第十九章 一次函数综合题》练习题与答案(人教版)1.在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长
与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．
(1)判断点M(1，2)，N(4，4)是否为和谐点，并说明理由；(2)若和谐点P(a，3)在直线y＝－x＋b(b为常数)上，求点a
，b的值． 2.阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最
小的数.例如：M{－1，2，3}＝＝；min{－1，2，3}＝－1；min{－1，2，a}＝解决下列问题：(1)填空：如果min{
2，2x＋2，4－2x}＝2，则x的取值范围为_______________；(2)如果M{2，x＋1，2x}＝min{2，x＋1
，2x}，求x.3.小慧根据学习函数的经验，对函数y＝|x－1|的图象与性质进行了探究.下面是小慧的探究过程，请补充完整：(1)函
数y＝|x－1|的自变量x的取值范围是____________；(2)列表，找出y与x的几组对应值.x…－10123…y…b101
2…其中，b＝________；(3)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；(
4)写出该函数的一条性质：____________________.4.已知一次函数y=2x﹣4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、
B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2.(1)当P为线段AB的中点时，求d1＋d2的值；(2)直接写出d1
＋d2的范围，并求当d1＋d2=3时点P的坐标；(3)若在线段AB上存在无数个P点，使d1＋ad2=4(a为常数)，求a的值.5.
对于长方形OABC，O为平面直角坐标系的原点，A点在x轴的负半轴上，C点在y轴的正半轴上，点B(m,n)在第二象限.且m,n满足.
(1)求点B的坐标；并在图上画出长方形OABC；(2)在画出的图形中，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形O
ABC的面积分为1：4两部分，求点P的坐标. 6.如图,正方形ABCD的边长为4,将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在x轴
的正半轴上,且A点的坐标是(1,0).(1)直线y=x－经过点C,且与x轴交与点E，求四边形AECD的面积；(2)若直线l经过点E
且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；(3)若直线l1经过点F(－,0)且与直线y=3x平行,将(2)中直线l
沿着y轴向上平移个单位后,交x轴于点M，交直线l1于点N，求△FMN的面积.7.正方形OABC的边长为2，其中OA、OC分别在x轴
和y轴上，如图1所示，直线l经过A、C两点．(1)若点P是直线l上的一点，当△OPA的面积是3时，请求出点P的坐标；(2)如图2，
直角坐标系内有一点D(﹣1，2)，点E是直线l上的一个动点，请求出|BE＋DE|的最小值和此时点E的坐标．(3)若点D关于x轴对称
，对称到x轴下方，直接写出|BE﹣DE|的最大值，并写出此时点E的坐标．8.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(－1,－5),
且与正比例函数y=x的图象相交于点B(2,a).⑴求一次函数y=kx+b的表达式；⑵在同一坐标系中，画出这两个函数的图象，并求这两
条直线与y轴围成的三角形的面积.(3)设一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是C，若点D与点 O、B、C能构成平行四边形，请直接
写出点D的坐标. 9.如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，M点在边AC上，且CM=2，过M点作AC的垂线交AB边
于E点，动点P从点A出发沿AC边向M点运动，速度为1个单位/秒，当动点P到达M点时，运动停止.连接EP、EC，设运动时间为t.在此
过程中(1)当t=1时，求EP的长度；(2)设△EPC的面积为s，试求s与t的函数关系式并写出自变量的取值范围；(3)当t为何值时
，△EPC是等腰三角形？(4)如图2，若点N是线段ME上一点，且MN=3，点Q是线段AE上一动点，连接PQ、PN、NQ得到△PQN
，请直接写出△PQN周长的最小值.10.如图1，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D
的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止.若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒lcm、2cm，a
秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、cm(P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止)，如图2是△APD的面积s(c
m2)和运动时间x(秒)的图象.(1)求出a值；(2)设点P已行的路程为y1(cm)，点Q还剩的路程为y2(cm)，请分别求出改变
速度后，y1、y2和运动时间x(秒)的关系式；(3)求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？11.如图，在平面直
角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△A
PQ.(1)求点B的坐标；(2)在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由.(3)连
接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标.12.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x轴交于A，与y轴交于B，BC⊥AB交x轴
于C.(1)求△ABC的面积.(2)如图2，②D为OA延长线上一动点，以BD为直角边做等腰直角三角形BDE，连结EA.求直线EA的
解析式.(3)点E是y轴正半轴上一点，且∠OAE=30°，OF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，是判断
是否存在这样的点M、N，使得OM+NM的值最小，若存在，请写出其最小值，并加以说明.13.如图1，在平面直角坐标系中，A(﹣3，0
)，B(2，0)，C为y轴正半轴上一点，且BC=4.(1)求∠OBC的度数；(2)如图2，点P从点A出发，沿射线AB方向运动，同时
点Q在边BC上从点B向点C运动，在运动过程中：①若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，已知
△PQB是直角三角形，求t的值；②若点P，Q的运动路程分别是a，b，已知△PQB是等腰三角形时，求a与b满足的数量关系. 14.如
图，直线y=﹣x+分别交x轴、y轴于A、B两点，经过点A的直线m⊥x轴，直线l经过原点O交线段AB于点C，过点C作OC的垂线，与直
线m相交于点P，现将直线l绕O点旋转，使交点C在线段AB上由点B向点A方向运动.(1)填空：A( ， )、B( ， )(2)直线D
E过点C平行于x轴分别交y轴与直线m于D、E两点，求证：△ODC≌△CEP；(3)若点C的运动速度为每秒单位，运动时间是t秒，设点
P的坐标为(，a)①试写出a关于t的函数关系式和变量t的取值范围；②当t为何值时，△PAC为等腰三角形并求出点P的坐标.15.如图
，直线l：y=x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称.动点P、Q分别在线段AC、AB上(点P不与点A、C重合)，
满足∠BPQ=∠BAO.(1)点A坐标是 ， BC= .(2)当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由.(3)当△PQB为
等腰三角形时，求点P的坐标.16.如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.OA、OB的长度分别为a和b，且满足
a2－2ab+b2=0.(1)判断△AOB的形状.(2)如图②，正比例函数y=kx(k<0)的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点
分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=9，BN=4，求MN的长.(3)如图③，E为AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角△A
DE，P为BE的中点，连结PD、PO，试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明.参考答案1.解
：(1)∵1×2≠2×(1＋2)，4×4＝2×(4＋4)∴点M不是和谐点，点N是和谐点．(2)由题意，得当a>0时，(a＋3)×2
＝3a∴a＝6.∵点P(6，3)在直线y＝－x＋b上，代入，得b＝9；当a<0时，(－a＋3)×2＝－3a∴a＝－6.∵点P(－6
，3)在直线y＝－x＋b上，代入，得b＝－3.∴a＝6，b＝9或a＝－6，b＝－3.2.解：(1)0≤x≤1；(2)x＝1.3.解
：(1)任意实数(2)2.(3)如图所示.(4)函数的最小值为0(答案不唯一).4.解：(1)解：由y=2x﹣4易得A(2，0)，
B(0，﹣4)因为P是线段AB的中点，则P(1，﹣2)所以d1=2，d2=1，则d1＋d2=3.(2)解：d1＋d2≥2.设P(m
，2m﹣4)，则d1=|2m﹣4|，d2=|m|∴|2m﹣4|＋|m|=3当m＜0时，4﹣2m﹣m=3，解得m=(舍)；当0≤m＜
2时，4﹣2m＋m=3，解得m＝1，则2m﹣4=﹣2；)当m≥2时，2m﹣4＋m=3，解得m=，则2m﹣4=.∴点P的坐标为(1，
﹣2)或(，).(3)解：设P(m，2m﹣4)，则d1=|2m﹣4|，d2=|m|∵点P在线段AB上∴0≤m≤2，则d1=4﹣2m
，d2=m∴4﹣2m＋am=4，即m(a﹣2)=0∵在线段AB上存在无数个P点∴关于m的方程m(a﹣2)=0有无数个解，则a﹣2=
0∴a=2.5.解：(1)B(﹣5，3)画出图形.(2)当点P在OA上时，设P(x，0)(x＜0)∵S△ABP：S四边形BCOP=
1：4∴S△ABP=0.2S矩形OABC∴P(﹣3，0)；当点P在OC上时，设P(0，y)(y>0)∵S△CBP：S四边形BPOA
=1：4∴S△CBP=0.2S矩形OABC∴P(0，1.4)6.解：(1)10；(2)y=2x－4；(3)30.7.解：(1)如图
1中，由题意知点A、点C的坐标分别为(﹣2，0)和(0，2)设直线l的函数表达式y＝kx＋b(k≠0)，经过点A(﹣2，0)和点C
(0，2)得解得∴直线l的解析式为y＝x＋2．设点P的坐标为(m，m＋2)由题意得×2×|m＋2|＝3∴m＝1或m＝﹣5．∴P(1
，3)，P′(﹣5，﹣3)．(2)如图2中，连接OD交直线l于点E，则点E为所求，此时|BE＋DE|＝|OE＋DE|＝OD，OD即
为最大值． 设OD所在直线为y＝k1x(k1≠0)，经过点D(﹣1，2)∴2＝﹣k1∴k1＝﹣2∴直线OD为y＝﹣2x由 解得
∴点E的坐标为(﹣，)又∵点D的坐标为(﹣1，2)∴由勾股定理可得OD＝．即|BE＋DE|的最小值为．(3)如图3中， ∵O与B关
于直线l对称∴BE＝OE∴|BE﹣DE|＝|OE﹣DE|．由两边之差小于第三边知，当点O，D，E三点共线时，|OE﹣DE|的值最大
，最大值为OD．∵D(﹣1，﹣2)∴直线OD的解析式为y＝2x，OD＝由，解得∴点E(2，4)∴|BE﹣D′E|的最大值为此时点E
的坐标为(2，4)．8.解：(1)由题知，把(2，a)代入y=x，解得a=1；把点(﹣1,﹣5)及点(2,a)代入一次函数解析式得
：－k+b=﹣5,2k+b=a解方程组得到：k=2，b=﹣3；一次函数解析式为：y=2x﹣3；(2)由(2)知 y=2x﹣3与x轴
交点坐标为(，0) ∴所求三角形面积S=×1×=；(3)C(0，－3)，D坐标为：(1，－1)、(3,3)、(－3，－9)；9.解
：(1)当t=1秒时，EP=5；(2)s=－2x+12(6分)，0≤x≤4；(3)当t=1或2或(6－2)时，△PEC是等腰三角形
.(4)△PQN周长的最小值是5.10.解：(1)由图象可知，当点P在BC上运动时，△APD的面积保持不变，则a秒时点P在AB上.
，∴AP=6，则a=6(2)由(1)6秒后点P变速，则点P已行的路程为y1=6+2(x﹣6)=2x﹣6∵Q点路程总长为34cm，第
6秒时已经走12cm点Q还剩的路程为y2=34﹣12﹣=(3)当P、Q两点相遇前相距3cm时﹣(2x﹣6)=3，解得x=10当P、
Q两点相遇后相距3cm时(2x﹣6)﹣()=3，解得x=∴当t=10或时，P、Q两点相距3cm11.解：(1)如图1，过点B作BC
⊥x轴于点C∵△AOB为等边三角形，且OA=2∴∠AOB=60°，OB=OA=2∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°∴BC=OB
=1，OC=∴点B的坐标为B(，1)；(2)∠ABQ=90°，始终不变.理由如下：∵△APQ、△AOB均为等边三角形∴AP=AQ、
AO=AB、∠PAQ=∠OAB，∴∠PAO=∠QAB在△APO与△AQB中∴△APO≌△AQB(SAS)∴∠ABQ=∠AOP=90
°；(3)当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方∵AB∥OQ，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°.又OB=OA=2，可
求得BQ=由(2)可知，△APO≌△AQB∴OP=BQ=∴此时P的坐标为(﹣，0).12.解：①求△ABC的面积=36；②过E作E
F⊥x轴于F，延长EA交y轴于H.易证：△OBD≌△FDE；得：DF=BO=AO，EF=OD；∴AF=EF∴∠EAF=45°∴△A
OH为等腰直角三角形.∴OA=OH∴H(0，－6)∴直线EA的解析式为：y=－x－6；③在线段OA上任取一点N，易知使OM+NM的
值最小的是点O到点N关于直线AF对称点N’之间线段的长.当点N运动时，ON’最短为点O到直线AE的距离，即点O到直线AE的垂线段的
长. ∠OAE=30°，OA=6所以OM+NM的值为3.13.解：(1)如图1： 在OA上取一点D，使得OD=OB，连接CD，则B
D=2OB=4∵CO⊥BD∴CD=CB=4∴CD=CB=BD∴△DBC是等边三角形∴∠OBC=60°；(2)①由题意，得AP=2t
，BQ=t∵A(﹣3，0)，B(2，0)∴AB=5∴PB=5﹣2t∵∠OBC=60°≠90°∴下面分两种情况进行讨论Ⅰ)如图2：
当∠PQB=90°时，∵∠OBC=60°∴∠BPQ=30°∴BQ=PB∴t=(5－2t)，解得：t=.Ⅱ)当∠QPB=90°时，如
图3： ∵∠OBC=60°，∴∠BQP=30°，∴PB=BQ，∴5－2t=t，解得：t=2；②如图4： 当a＜5时，∵AP=a，B
Q=b，∴BP=5﹣a∵△PQB是等腰三角形，∠OBC=60°∴△PQB是等边三角形，∴b=5﹣a，即a+b=5如图5：当a＞5时
∵AP=a，BQ=b，∴BP=a﹣5∵△PQB是等腰三角形，∠QBP=120°∴BP=BQ，∴a﹣5=b，即a﹣b=5.14.解
：(1)把x=0，y=0代入y=﹣x+，可得：点A(，0)，B(0，)；(2)∵DE∥x轴，m⊥x轴∴m⊥DE，DE⊥y轴∴∠OD
E=∠CEP=90°∵OC⊥CP∴∠OCP=90°∴∠DCO+∠ECP=180°﹣∠OCP=90°∴∠DCO+∠DOC=90°∴∠
ECP=∠DOC∵OA=OB=∴∠ABO=∠BAO∵DE∥x轴∴∠BCD=∠BAO∴∠ABO=∠BCD∴BD=CD，AE∥y轴，由
平移性质得：OA=DE∴OB=DE，OB﹣BD=DE﹣CD∴OD=CE在△ODC与△CEP中∴△ODC≌△CEP(ASA)；(3)
①∵BC=t，BD=CD在Rt△BDC中，BD2+CD2=BC2∴BD=CD=t，OA=OB=，DO=BO﹣BD=﹣t，EA=DO
=﹣tOA=OB=﹣t，EP=CD=t，AP=EA﹣EP=－2t在Rt△AOB中，AO2+BO2=AB2∴OA=2a=－2t(0≤
t≤2)②当t=0时，△PAC是等腰直角三角形PA=PB=.∴即点坐标是：P(，)，PA=AC，则|－2t|=2－t解得t=1或t
=﹣1(舍去)∴当t=1时，△PAC是等腰三角形,即点坐标是：P(，﹣2)∴当t=0或1时，△PAC为等腰三角形点P的坐标为：P(
，)或P(，﹣2).15.解：(1)A(－8，0)，BC=10；(2)OP=2，P(2，0)(3)①当PB=PQ时，P(2，0)； ②当BQ=BP时，不成立；③当QB=QP时，(－，0).16.解：⑴等腰直角三角形∵a2-2ab+b2=0, ∴a=b?∵∠AOB=90°∴△AOB为等腰直角三角形⑵∵∠MOA+∠MAO=90°,∠MOA+∠MOB=90°∴∠MAO=∠MOB； ∵AM⊥OQ，BN⊥OQ∴∠AMO=∠BNO=90°在△MAO和△BON中； ∴△MAO≌△NOB；∴OM=BN,AM=ON,OM=BN∴MN=ON－OM=AM－BN=5 ；⑶PO=PD且PO⊥PD；如上图3，延长DP到点C，使DP=PC,连结OP、OD、OC、BC在△DEP和△CBP；∴△DEP≌△CBP∴CB=DE=DA,∠DEP=∠CBP=135°在△OAD和△OBC ∴△OAD≌△OBC；∴OD=OC,∠AOD=∠COB∴△DOC为等腰直角三角形；∴PO=PD，且PO⊥PD.学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 18 页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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