2019北京四中初三（上）期中数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分．每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．）1．（2分）下列图标
中，是中心对称的是（ ）A．B．C．D．2．（2分）抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣
3）C．（﹣2，3）D．（2，3）3．（2分）已知3x＝2y，那么下列式子中一定成立的是（ ）A．x+y＝5B．＝C．＝D．4．
（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD＝6，BD＝2，AE＝9，则EC的长是（ ）A．8B
．6C．4D．35．（2分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C连接AA′，若∠1＝25°，则∠BA
C的度数是（ ）A．10°B．20°C．30°D．40°6．（2分）二次函数y＝﹣3x2+1的图象如图所示，将其沿x轴翻折后得到
的抛物线的解析式为（ ）A．y＝﹣3x2﹣1B．y＝3x2C．y＝3x2+1D．y＝3x2﹣17．（2分）将抛物线y＝（x+1）
2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为（ ）A．﹣1B．1C．﹣2D．28．（2分）如图，二次函数
y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x＝﹣2时，y取最大值；③当m＜4时
，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+b
x+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0；其中推断正确的是（ ）A．①②B．①③C．①③④D．②③④二、填空题（本题共16分，每小题
2分）9．（2分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式 ．10．（2分）若二次函数y＝ax2+bx+c
的图象如图所示，则ac 0（填“＞”或“＝”或“＜”）．11．（2分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的中点，连接D
E，那么△ADE与△ABC的面积之比是 ．12．（2分）点A（﹣1，y1）、B（1，y2）在二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象上，则
y1与y2的大小关系是y1 y2．（用“＞”、“＜”、“＝”填空）13．（2分）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如
果物体AB的高度为18cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为 cm．14．（2分）北京紫禁城是中国古代汉族宫廷建筑之精华．经测
算发现，太和殿，中和殿，保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD（北至保和殿，南至太和门，西至弘义阁，东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基
所在的矩形区域EFGH为相似形．若比较宫院与台基之间的比例关系，可以发现接近于9：5，取“九五至尊”之意．根据测量数据，三大殿台基
的宽为40丈，请你估算三大殿宫院的宽为 丈．15．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表
，则在实数范围内能使得y﹣1＞0成立的x的取值范围是 ．x……﹣2﹣10123……y……61﹣2﹣3﹣21……16．（2分）如图，
点A是抛物线y＝x2﹣4x对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A
的坐标为 ．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题5分；第27-28题，每小题5分）解答应写
出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）已知二次函数y＝x2+bx﹣3的图象过点（1，0），求该二次函数的解析式和顶点坐标．
18．（5分）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．19．（5分）已知：
如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED＝∠C．（1）求证：△AED∽△ACB；（2）若AB＝6，AD＝4，
AC＝5，求AE的长．20．（5分）若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…﹣503
43…（1）求此二次函数的解析式；（2）画出此函数图象（不用列表）．（3）结合函数图象，当﹣4＜x≤1时，写出y的取值范围．21．
（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（3，2），C（5，﹣2）．以原点O为位似中心，在y轴的
右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△A′B′C′．（1）画出△A′B′C′；（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标．22
．（5分）已知二次函数y＝x2﹣kx+k﹣1（k＞2）．（1）求证：抛物线y＝x2﹣kx+k﹣1（k＞2）与x轴必有两个交点；（2
）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若△OAC的面积是，求抛物线的解析式．23．（6分）如图，在等边
△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA上的点，且满足∠DEF＝60°．（1）求证：BE?CE＝BD?CF；（2）若DE⊥B
C且DE＝EF，求的值．24．（6分）某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月
销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y＝﹣5x+150．（1）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的
利润w元与销售单价x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？25．（6分）小左同学想
利用影长测量学校旗杆的高度，如图，她在某一时刻立一长度为1米的标杆，测得其影长为0.8米，同时旗杆投影的一部分在地上，另一部分在某
一建筑物的墙上，测得旗杆与建筑物的距离为10米，旗杆在墙上的影高为2米，请帮小左同学算出学校旗杆的高度．26．（6分）在平面直角坐
标系xOy中，点A（﹣4，﹣2），将点A向右平移6个单位长度，得到点B．（1）直接写出点B的坐标；（2）若抛物线y＝﹣x2+bx+
c经过点A，B，求抛物线的表达式；（3）若抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线y＝x+2上移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公
共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．27．（7分）已知：在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是平面上一点
，连结BD，将线段BD绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，连结AE，CD．（1）在图1中补全图形，并证明：AE⊥CD．（2）当点D
在平面上运动时，请猜测线段AD，CE，AB，BD之间的数量关系．（3）如图2，作点A关于直线BE的对称点F，连结AD，DF，BF．
若AB＝11，BD＝7，AD＝14，求线段DF的长度．28．（7分）定义：对于平面直角坐标系xOy上的点P（a，b）和抛物线y＝x
2+ax+b，我们称P（a，b）是抛物线y＝x2+ax+b的相伴点，抛物线y＝x2+ax+b是点P（a，b）的相伴抛物线．如图，已
知点A（﹣2，﹣2），B（4，﹣2），C（1，4）．（1）点A的相伴抛物线的解析式为 ；过A，B两点的抛物线y＝x2+ax+b的相
伴点坐标为 ；（2）设点P（a，b）在直线AC上运动：①点P（a，b）的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式；
②当点P（a，b）的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围．2019北京四中初三（上）期中数学参考答案一、选择
题（本题共16分，每小题2分．每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．）1．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的
图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、
不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考
查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．2．【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．【解答】解：∵y＝（x+2）2﹣3是抛物线
的顶点式，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3）．故选：B．【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的三种形式是解题的关键
．3．【分析】根据比例的性质即可得到结论．【解答】解：∵3x＝2y，∴＝，故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性
质是解题的关键．4．【分析】根据题意知两平行线DE∥BC间的线段成比例＝，据此可以求得AC的长度，所以EC＝AC﹣AE．【解答】解
：∵AD＝6，BD＝2，∴AB＝AD+BD＝8；又∵DE∥BC，AE＝9，∴＝，∴AC＝12，∴EC＝AC﹣AE＝12﹣9＝3；故
选：D．【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．解题时，需要根据图示求得AB的长度．5．【分析】由旋转的性质可得A
C＝A''C，∠ACA''＝90°，∠BAC＝∠B''A''C，由直角三角形的性质可得∠AA''C＝∠CAA''＝45°，即可求解．【解答】解
：∵将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，∴AC＝A''C，∠ACA''＝90°，∠BAC＝∠B''A''C，∴∠
AA''C＝∠CAA''＝45°，且∠1＝25°，∴∠B''A''C＝20°，∴∠BAC＝20°，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，
直角三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．6．【分析】由于二次函数y＝﹣3x2+1的图象沿x轴翻折后所得抛物线的开口大小与
原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，然后写出点（0，1）关于x轴的对称点的坐标，再利用顶点式即可得到新抛物线的解析式．【解答
】解：二次函数y＝﹣3x2+1的图象的顶点坐标为（0，1），点（0，1）关于x轴的对称点的坐标为（0，﹣1），又因为二次函数y＝﹣
3x2+1的图象沿x轴翻折后所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，所以所得抛物线的解析式为y＝3x2﹣1
．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两
种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．7．【分析】
根据“上加下减，左加右减”的规律写出平移后抛物线的解析式，由新抛物线恰好与x轴有一个交点得到△＝0，由此求得a的值．【解答】解：新
抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣2+a＝x2+2x﹣1+a，∵新抛物线恰好与x轴有一个交点，∴△＝4﹣4（﹣1+a）＝0，解得
a＝2．故选：D．【点评】考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与几何变换．由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后
的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即
可求出解析式．8．【分析】结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案．【解
答】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确；②若当x＝﹣2时，y取最大值，则由于点A和点B到x＝﹣2的距离相等，这两点的纵坐
标应该相等，但是图中点A和点B的纵坐标显然不相等，所以②错误，从而排除掉A和D； 剩下的选项中都有③，所以③是正确的； 易知直线y
＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜﹣4或x＞0，从而④错误． 故选：B．【点评】
本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系，属于较复杂的二次函数综合选择题．二、
填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】抛物线开口向上，二次项系数大于0，然后写出即可．【解答】解：抛物线的解析式为y＝x2
﹣1．故答案为：y＝x2﹣1（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写函数解析式的二次项系数一
定要大于0．10．【分析】首先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断ac与0的关系．【
解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴ac＜0．故答案为＜．【点评】考查二次函数y
＝ax2+bx+c系数符号的确定．二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．常数项c决定抛物线与y轴交点．11．【分析】根据三角形中
位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，进而得出△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案．【解答】解：∵D
，E分别是AB，AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，故答案为：
1：4．【点评】考查三角形的中位线的性质，相似三角形的判定和性质，掌握三角形中位线的性质相似三角形的性质是正确解答的前提．12．【
分析】分别计算自变量为﹣1、1时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝x2﹣2x﹣1＝2；当x＝1时
，y2＝x2﹣2x﹣1＝﹣2；∵2＞﹣2，∴y1＞y2，故答案为＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点
的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13．【分析】正确理解小孔成像的原理，因为AB∥CD所以△ABO∽△CDO，则有＝而A
B的值已知，所以可求出CD．【解答】解：∵△ABO∽△CDO∴＝，又∵AB＝18cm，∴CD＝8．故答案为：8．【点评】此题主要考
查了相似三角形的应用，相似比等于对应高之比在相似中用得比较广泛．14．【分析】设三大殿宫院的宽为x丈，根据相似多边形的性质列出比例
式，计算即可．【解答】解：设三大殿宫院的宽为x丈，由题意得，x：40＝9：5，解得，x＝72丈，故答案为：72．【点评】本题考查的
是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．15．【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数的对
称性得出y＝1的自变量x的值即可．【解答】解：∵x＝0，x＝2的函数值都是﹣3，相等，∴二次函数的对称轴为直线x＝1，∵x＝﹣1时
，y＝1，∴x＝3时，y＝1，根据表格得，自变量x＜1时，函数值逐点减小，当x＝1时，达到最小，当x＞1时，函数值逐点增大，∴抛物
线的开口向上，∴y﹣1＞0成立的x取值范围是x＜﹣1或x＞3，故答案为：x＜﹣1或x＞3．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利
用了二次函数的对称性，读懂图表信息，求出对称轴解析式是解题的关键．此题也可以确定出抛物线的解析式，再解不等式或利用函数图形来确定．
16．【分析】根据抛物线对称轴解析式设点A坐标为（2，m），作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x＝2，证△AOP≌△AO′Q得AP
＝AQ＝2、PO＝QO′＝m，则点O′坐标为（2+m，m﹣2），将点O′坐标代入抛物线解析式得到关于m的方程，解之可得m的值，即可
得答案．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x对称轴为直线x＝﹣＝2，∴设点A坐标为（2，m），如图，作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直
线x＝2，∴∠APO＝∠AQO′＝90°，∴∠QAO′+∠AO′Q＝90°，∵∠QAO′+∠OAQ＝90°，∴∠AO′Q＝∠OAQ
，又∠OAQ＝∠AOP，∴∠AO′Q＝∠AOP，在△AOP和△AO′Q中，∵，∴△AOP≌△AO′Q（AAS），∴AP＝AQ＝2，
PO＝QO′＝m，则点O′坐标为（2+m，m﹣2），代入y＝x2﹣4x得：m﹣2＝（2+m）2﹣4（2+m），解得：m＝﹣1或m＝
2，∴点A坐标为（2，﹣1）或（2，2），故答案为：（2，﹣1）或（2，2）．【点评】本题考查了坐标与图形的变换﹣旋转，全等三角形
的判定与性质，函数图形上点的特征，根据全等三角形的判定与性质得出点O′的坐标是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17-22题
，每小题5分；第23-26题，每小题5分；第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】首先把
点（1，0）代入函数解析式得出b的数值，进一步利用配方法求得二次函数的顶点坐标即可．【解答】解：把（1，0）代入y＝x2+bx﹣3
得1+b﹣3＝0，解得b＝2．二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，则此二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．【点评
】此题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法求函数解析式以及配方法是解决问题的关键．18．【分析】根据旋转的性
质得到△ABC≌△DBE，进一步得到BA＝BD，从而得到∠A＝∠ADB，根据∠A＝∠BDE得到∠ADB＝∠BDE，从而证得结论．【
解答】证明：∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，∴△ABC≌△DBE∴BA＝BD．∴∠A＝∠ADB．∵∠A＝∠BDE，∴∠ADB＝
∠BDE．∴DB平分∠ADE．【点评】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转
角；③旋转前、后的图形全等．也考查了邻补角定义．19．【分析】（1）根据有两对角相等的两个三角形相似证明即可．（2）由（1）中的相
似三角形可得关于AE的比例式，代入已知数据计算即可求出AE的长．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠C，∠A＝∠A，∴△AED∽△A
CB；（2）∵△AED∽△ACB，∴，∵AB＝6，AD＝4，AC＝5，∴，∴AE＝．【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形
相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比
．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．20．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到抛物
线的顶点坐标为（﹣1，4），则可设顶点式y＝a（x+1）2+4，然后把（0，3）代入求出a的值即；（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）观察函数函数图象，当﹣4＜x≤1时，函数的最大值为4，于是可得到y的取值范围为﹣5＜y≤4．【解答】解：（1）由表知，抛物线
的顶点坐标为（﹣1，4），设y＝a（x+1）2+4，把（0，3）代入得a（0+1）2+4＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝
﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图，（3）当﹣4＜x≤1时，﹣5＜y≤4．【点评】本题考查了待定系数法求二次函
数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛
物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛
物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．21．【分析】（1）由以原点O为位似中心，在y轴的
右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△A′B′C′，根据位似的性质，可求得点′、B′、C′的坐标，继而画出△A′B′C′；（2）由（
1）即可求得B，C两点的对应点B′，C′的坐标．【解答】解：（1）∵以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到
△A′B′C′，∴A′（4，0），B′（6，4），C′（10，﹣4）；如图画出△A′B′C′：（2）由（1）得：B′（6，4），C
′（10，﹣4）．【点评】此题考查了位似图形变换．注意掌握关于原点位似的图形的变化特点是关键．22．【分析】（1）抛物线与x轴有两
个交点，通过证明判别式△＝b2﹣4ac＞0即可；（2）根据题意可得A（1，0），C（0，k﹣1），根据三角形面积即可得到k的值，从
而得到抛物线的表达式；【解答】解：（1）根据题意有：△＝k2﹣4k+4＝（k﹣2 ）2，∵k＞2，∴△＞0，所以抛物线与x轴必有两
个交点．（2）由y＝x2﹣kx+k﹣1（k＞2）知对称轴x＝＞1，∵x＝0时，y＝1；x＝0，y＝k﹣1＞1，∵点A在点B的左侧，
∴A（1，0），C（0，k﹣1），∵△OAC的面积是，∴1×（k﹣1）＝，解得k＝，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+．【点评】本题
考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次
方程；△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与
x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了三角函数的定义．23．【分析】（1）由等边三角形的性质可知∠
B＝∠C＝60°，再由已知条件和三角形内角和定理可证明∠BDE＝∠FEC，进而证明△DBE∽△ECF．（2）由相似三角形的性质和已
知条件得出BD＝CE，由含30°角的直角三角形的性质得出BE＝BD，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠
B＝∠C＝60°，又∵∠DEF＝60°，∴∠DEF＝∠B，∵∠DEC是△DBE的外角，∴∠DEC＝∠B+∠BDE，即∠DEF+∠F
EC＝∠B+∠BDE，∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CEF，∴，∴BE?CE＝BD?CF；
（2）解：∵△BDE∽△CEF，∴，又∵DE＝EF，即，∴BD＝CE，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BDE
＝30°，∴BE＝BD，∴＝＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角
形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．24．【分析】（1）根据题意和每月销售量y与销售单价x之间的关
系为y＝﹣5x+150，可以写出每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式；（2）根据（1）中的函数关系式，然后将其化为顶点式
，然后根据二次函数的性质即可求得销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元．【解答】解：（1）由题意可得，w＝（x
﹣10）y＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5x2+200x﹣1500，即每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式为w＝﹣
5x2+200x﹣1500；（2）∵w＝﹣5x2+200x﹣1500＝﹣5（x﹣20）2+500，∴当x＝20时，w取得最大值，此
时w＝500，答：当销售单价定为20元时，每月可获得最大利润，最大利润为500元．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是
明确题意，利用二次函数的性质解答．25．【分析】先求出墙上的影高落在地面上时的长度，再设旗杆的高度h米，根据同一时刻物高与影长成正
比列出关系式求出h的值即可．【解答】解：设墙上的影高2米落在地面上时的长度为x米，旗杆的高度为h米，∵某一时刻测得长为1米的竹竿影
长为0.8米，墙上的影高为2米，∴＝，解得x＝1.6（米），∴树的影长为：1.6+10＝11.6（米），∴＝，解得h＝14.5（米
）．答：学校旗杆的高度14.5米．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是正确求出旗杆的影长，这是此题的易错点．26
．【分析】（1）根据点A的坐标结合线段AB的长度，可得出点B的坐标；（2）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式
；（3）将抛物线的表达式变形为顶点时，依此代入点A，B的坐标求出t的值，再结合图形即可得出：当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时
t的取值范围．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣4，﹣2），将点A向右平移6个单位长度得到点B，∴点B的坐标为（﹣4+6，﹣2）
，即（2，﹣2）．（2）将A（﹣4，﹣2），B（2，﹣2）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2
x+6．（3）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线y＝x+2上移动，∴抛物线的顶点坐标为（t，t+2），∴抛物线的表达式可化为
y＝﹣（x﹣t）2+t+2．将A（﹣4，﹣2）代入y＝﹣（x﹣t）2+t+2，得：﹣2＝﹣（﹣4﹣t）2+t+2，解得：t1＝﹣3
，t2＝﹣4，又∵抛物线与线段AB有且只有一个公共点，∴﹣4≤t＜﹣3；将B（2，﹣2）代入y＝﹣（x﹣t）2+t+2，得：﹣2＝
﹣（2﹣t）2+t+2，解得：t3＝0，t4＝5，又∵抛物线与线段AB有且只有一个公共点，∴0＜t≤5．综上可知，t的取值范围为﹣
4≤t＜﹣3或0＜t≤5．【点评】本题考查了点的坐标变化、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元二次方程
，解题的关键是：（1）根据点的变化，找出点B的坐标；（2）根据点A，B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（3）代入点A，B
的坐标求出t值，利用数形结合找出t的取值范围．27．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBD，可得∠BAE＝∠BCD，由外
角性质可得结论；（2）由勾股定理可得AD2＝AH2+DH2，CE2＝CH2+HE2，AC2＝AH2+CH2，DE2＝EH2+DH2
，可得结论；（3）将AB＝11，BD＝7，AD＝14，代入（2）的等式，可求CE的长，由“SAS”可证△CBE≌△FBD，可得DF
＝CE＝12．【解答】解：（1）由题意可得：设AE与CD的交点于H，∵将线段BD绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，∴BD＝BE，
∠EBD＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBD，且AB＝BC，BE＝BD，∴△ABE≌△CBD（SAS）∴∠BAE＝∠BCD，∵
∠AHD＝∠ACH+∠CAH＝∠ACB+∠BCD+∠CAH，∴∠AHD＝∠BAE+∠CAH+∠ACB＝90°，∴AE⊥CD；（2）
如图，连接AD，CE，DE，∵AE⊥CD；∴AD2＝AH2+DH2，CE2＝CH2+HE2，AC2＝AH2+CH2，DE2＝EH2
+DH2，∴AD2+CE2＝AH2+DH2+CH2+HE2＝AC2+DE2，∵∠ABC＝90°＝∠DBE，AB＝BC，BE＝BD，
∴AC2＝2AB2，DE2＝2BD2，∴AD2+CE2＝2AB2+2BD2．（2）如图，连接CE，由（2）可知AD2+CE2＝2A
B2+2BD2．∴196+CE2＝2×121+2×49，∴CE＝12，∵作点A关于直线BE的对称点F，∴AB＝BF＝BC，∠ABN
＝∠BFN，∵∠CBE+∠ABN＝90°，∠FBN+∠FBD＝90°，∴∠CBE＝∠FBD，又∵BC＝BF，BD＝BE，∴△CBE≌△FBD（SAS）∴DF＝CE＝12．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，利用勾股定理证明AD2+CE2＝2AB2+2BD2的关键．28．【分析】（1）a＝b＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣2，故答案为：y＝x2﹣2x﹣2；将点A、B坐标代入y＝x2+ax+b并解得：a＝﹣2，b＝﹣10；（2）①直线AC的表达式为：y＝2x+2，设点P（m，2m+2），则抛物线的表达式为：y＝x2+mx+2m+2，顶点为：（﹣m，﹣m2+2m+2），即可求解；②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，即可求解．【解答】解：（1）a＝b＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣2，故答案为：y＝x2﹣2x﹣2；将点A、B坐标代入y＝x2+ax+b并解得：a＝﹣2，b＝﹣10，故答案为：（﹣2，﹣10）；（2）①由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝2x+2，设点P（m，2m+2），则抛物线的表达式为：y＝x2+mx+2m+2，顶点为：（﹣m，﹣m2+2m+2），令x＝﹣m，则m＝﹣2x，则y＝﹣m2+2m+2＝﹣x2﹣4x+2，即抛物线Ω的解析式为：y＝﹣x2﹣4x+2；②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，抛物线与直线AC的交点为点E（0，2）；当y＝﹣2时，即y＝﹣x2﹣4x+2＝﹣2，解得：x＝﹣2，故点F（﹣2，﹣2）；故0＜x＜﹣2+2，由①知：a＝m＝﹣2x，故：4﹣4＜a＜0．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解． 1 / 1 |
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