2020北京朝阳初三（上）期末数学（教师版）

2020北京朝阳初三（上）期末数 学（选用）2020.1（考试时间120分钟 满分100分）一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1
—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列事件中，随机事件是（A）通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰（B）随意翻到一本书
的某页，这页的页码是偶数 （C）明天太阳从东方升起（D）三角形的内角和是360°2．抛物线的顶点坐标是 （A）(2，1)（B）(-
2，1)（C）(-2，-1)（D）(1，2)3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数， 我国数学家陈景润在有关素数的“哥
德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是（A） （B） （C） （
D）14．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（A）不变 （B）缩小为原来的 （C）扩大为原来的3倍 （D
）扩大为原来的9倍5．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的面积之
比为（A） （B）（C） （D） 6．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（A）
点A（B）点B（C）点C（D）点D 7．已知⊙O1, ⊙O2, ⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1,点C， E分别在⊙O2, ⊙O
3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D,连接CD； ②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F,连接EF；下面
有四个结论：① ②③∠CO2D+∠EO3F =∠AO1B ④∠CDO2+∠EFO3 =∠P所有正确结论的序号是（A）①②③④ （B
）①②③ （C）②④ （D）②③④8．如图，抛物线与轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段A
D的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（A）2（B） （C） （D）3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（-1，
-3）关于原点的对称点的坐标为_____．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象
与射线l有公共点的反比例函数的表达式：_____． 第10题图第11题图第12题图第13题图11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金
数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD=，则长AB为_____．12．如图，线段AB经
过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为_____．13．如图，在正方形网格中
，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P是上任意一点，则∠P的正切值为_____．14．抛物线与x轴交于两点，分别是（m
，0），（n，0），则m+n的值为_____．15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售. 由于受道路条件
的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地.村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑
橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：柑橘总质量n/kg100150200250300350400450500完好柑橘质量m/kg
92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50柑橘完好的频率0.924
0.9230.9190.9180.9210.9220.9180.9210.919①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为 （结果保留
小数点后三位）；②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地柑橘完好的概率为 . 16．如图，分别过第二象限
内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D.下面三个结论，①存在无数个点P使；②存在无数个点
P使；③存在无数个点P使.所有正确结论的序号是 . 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6
分，第27，28题，每小题7分）17．计算：.18．如图，在△ABC中，∠B=30°，tanC=，AD⊥BC于点D. 若AB=8，
求BC的长．19. 如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数.2
0.已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如下表：x…-2-1012…y1…01234…y2…0-1038…（1）求的表达
式；（2）关于x的不等式的解集是 ．21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车
的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5 m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长
为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．图1图222．在平面内， O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图
形W.取OA的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于的点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD. （1）求∠ABD的度数；（2）若点
E在线段CA的延长线上，且∠ADE=∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数.图1备用图23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AB=AC， P是△ABC内一点，∠PAC=∠PCB=∠PBA.若∠ACB=45°，AP=1，求BP的长.图
1图2小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长.请回答：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∵
∠PCB=∠PBA，∴∠PCA=___________.∵∠PAC=∠PCB，∴△ACP∽△CBP.∴.∵∠ACB=45°，∴∠B
AC=90°.∴___________.∵AP=1，∴PC=.∴PB=___________.参考小军的思路，解决问题：如图1，在
△ABC中，AB=AC，P是△ABC内一点，∠PAC=∠PCB=∠PBA.若∠ACB=30°，求的值；24．点A是反比例函数的图象
l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数 的图象l2于点B， 直线AC∥y轴，交 l2于点C， 直线CD∥x轴，交 l1于点D．
(1)若点A(1，1)，求线段AB和CD的长度；(2)对于任意的点A(a，b)，判断线段AB和CD的大小关系，并证明． 25．如图
，在矩形ABCD中， E是BA延长线上的定点， M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转，交射线CD于点F，连
接MD． 小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究.下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点
M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置
8位置9BM/cm0.000.531.001.692.172.963.463.79.4.00DF/cm0.001.001.742.
492.692.211.140.001.00DM/cm4.123.613.162.522.091.441.141.021.00在B
M，DF，DM的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系中，画出（
1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF=2cm时，DM的长度约为 cm．26．在平面直角坐标系xOy
中，抛物线经过点(3，3) .(1)用含a的式子表示b；(2)直线与直线交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；(3)在(2)
的条件下，已知点A(1，4)，若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a(a＜0)的取值范围.27．已知∠MON=120°，点A
，B分别在ON，OM边上，且OA=OB，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接CA. 将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射
线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D.(1)根据题意补全图1；(2)求证：①∠OAC=∠DCB；②CD
=CA（提示：可以在OA上截取OE=OC，连接CE）；(3)点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对
于任意的点C都有∠DCH =2∠DAH，写出你的猜想并证明.备用图图128．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，点B在x
轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点.例
如，图1中的Q为点P的一个离点.图2图1(1)已知点P(0，3)，Q为P的离点. ①如图2，若B(0，0)，则圆心C的坐标为 ，线
段PQ的长为 ；②若B(2，0)，求线段PQ的长；(2)已知1≤PA≤2, 直线l：（k≠0）.①当k=1时，若直线l上存在P的离
点Q，则点Q纵坐标t的最大值为 ；②记直线l：（k≠0）在的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围.2020
北京朝阳初三（上）期末数学（选用）参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案BACADBDA二、填空题
（本题共16分，每小题2分）题号9101112答案(1,3) 答案不唯一．如：2题号13141516答案2答案不唯一．如：①0.9
20；②①②③三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．
解：原式= =1．18．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ADB中，∵∠B=30°，AB=8，∴AD=4，B
D=．在Rt△ADC中，∵tanC=，∴．∴CD=3．∴BC=．19．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°．
根据题意可知BD=BC，∠DBC=30°．∴AB=BD．∴∠ABD=90°，∠BDC=75°．∴∠BDA=45°．∴∠ADC=30
°．20．解：（1）根据题意设y2的表达式为:．把（0，0）代入得a=1．∴．（2）x＜-2或x＞1．21．解：作OD⊥AB于E，
交⊙O于点D，∴AE=AB．∵AB=8，∴AE=4．在Rt△AEO中，AO=5，∴OE==3．∴ED=2．∴筒车工作时，盛水桶在水
面以下的最大深度为2m.22．解：（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆.连接OD，∴OA=OD.∵点C为OA的中点，
CD⊥AB，∴AD=OD.∴OA=OD=AD.∴△OAD是等边三角形.∴∠AOD=60°.∴∠ABD=30°.（2）∵∠ADE=∠
ABD，∴∠ADE=30°.∵∠ADO=60°.∴∠ODE=90°.∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线.∴直线DE与图形W的公共点个
数为1.23．解：∠PBC；；2．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵∠PCB=∠PBA，∴∠PCA=∠PBC．∵∠PAC=∠P
CB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB=30°，∴．设AP=a，则PC=，∴PB=3a．∴．24．解：（1）∵AB∥x轴，A(
1，1)，B在反比例函数的图象上，∴B(3，1)．同理可求：C(1，3)，D(，3)．∴AB=2，CD=．（2）AB＞CD．证明：
∵A(a，b)，A在反比例函数的图象上，∴A(a，)．∵AB∥x轴，B在反比例函数的图象上，∴B(3a，)．同理可求：C(a，)，
D(，)．∴AB=2a，CD=．∵，∴2a＞．∴AB＞CD．25．解：答案不唯一．（1）BM，DF，DM．（2）如图所示．（3）2
.98．26．解：（1）将点（3，3）代入，得9a+3b=3.∴.（2）令，得.∴B.（3）.27．（1）解：补全图形，如图.（2
）证明：①根据题意∠ACD=120°.∴∠DCB+∠ACO=60°.∵∠MON=120°，∴∠OAC+∠ACO=60°.∴∠OAC
=∠DCB.②在OA上截取OE=OC，连接CE.∴∠OEC=30°.∴∠AEC=150°.∴∠AEC=∠CBD.∵OA=OB，∴A
E=BC.∴△AEC△CBD.∴CD=AC.(3)OH-OC=OA.证明：在OH上截取OF=OC，连接CF，∴△OFC是等边三角形
，FH=OA.∴CF=OC，∠CFH=∠COA=120°.∴△CFH△COA.∴∠H=∠OAC.∴∠BCH=60°+∠H=60°+∠OAC.∴∠DCH=60°+∠H+∠DCB=60°+2∠OAC.∵CA=CD，∠ACD=120°，∴∠CAD=30°.∴∠DCH=2∠DAH.28．解：（1）①（0，1）；.②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ.∵A（0，2），B（2，0），∴C（1，1）.∴M（0，1）.在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA=.∴CQ=.∵P（0，3），M（0，1），∴PM=2.在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC=.在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ==.（2）①6.②或.说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.祝各位老师寒假愉快！ 1 / 1