2020北京朝阳初三（上）期末数学备考训练相似与旋转一．选择题（共14小题）1．如图，AD，BC相交于点O，AB∥CD．若AB＝1，CD＝2
，则△ABO与△DCO的面积之比为（ ）A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∵，∴，故选：B．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质
与判定，本题属于基础题型．2．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D
′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）A．4：9B．9：4C．2：3D．3：2【分析】根据相似三角形的性质可直接得
出结论．【解答】解：∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，∴其相似比为2：3，∴△ABC与
△A′B′C′的面积的比为4：9；故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的高的比等于相似比是解答
此题的关键．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：DB＝1：2，则△ADE与△ABC的面积之
比是（ ）A．1：3B．1：4C．1：9D．1：16【分析】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积
的比等于相似比的平方，即可求解．【解答】解：∵AD：DB＝1：2，∴AD：AB＝1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（
）2＝．故选：C．【点评】本题考查了三角形的判定和性质：熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．4．在直角坐标系中，
点B的坐标为（3，1），则点B关于原点成中心对称的点的坐标为（ ）A．（3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，
﹣1）【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．【解答】解：点（3，1）关于原点中心对称的点
的坐标是（﹣3，﹣1），故选：D．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题，记忆方法是结合平面直角坐
标系的图形记忆．5．如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE＝2，CE＝3，AD＝3，则BC的长度是（ ）A．2B．3C．
4.5D．6【分析】根据AD∥BC，推出△ADE∽△BCE，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．【解答】解：∵AD∥B
C，∴△ADE∽△BCE，∴，即：，∴BC＝，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是
解题的关键．6．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤
AC2＝AD?AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（ ）A．①②④B．②④⑤C．①②③④D．①②③⑤【分析】由两角相等的两个三
角形相似得出①②正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出④正确；即可得出结果．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，∴
△ADE∽△ACB，①正确；∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，∴△ADE∽△ACB，②正确；∵∠A＝∠A，，∴△ADE∽△ACB，④正
确；由，或AC2＝AD?AE不能证明△ADE与△ACB相似．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的
两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜
边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．7．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD
：AB＝1：3，则△ADE与△ABC的面积之比是（ ）A．1：3B．1：4C．1：9D．1：16【分析】由DE与BC平行，利用两
直线平行内错角相等得到两对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形ABC相似，利用相似三角形的面积之比等于相似比
的平方即可得到结果．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∵AD：AB＝1：3，∴S△
ADE：S△ABC＝AD2：AB2＝1：9．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解
本题的关键．8．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为（ ）A．40°B．
70°C．110°D．140°【分析】根据内心的定义即可求得∠IBC+∠ICB，然后根据三角形内角和定理即可求解．【解答】解：∵A
B＝AC，∠ABC＝70°，∵点I是△ABC的内心，∴∠IBC＝∠ABC＝35°，∠ICB＝∠ACB＝35°，∴∠IBC+∠ICB
＝70°，∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝110°．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的内心的计算，正确理解∠I
BC＝∠ABC＝35°，∠ICB＝∠ACB＝35°是关键．9．如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40mm，焦距是60mm
，所拍摄的2m外的景物的宽CD为（ ）A．12mB．3mC．mD．m【分析】由题意可知△AEB∽△CED，利用相似三角形的性质：
对应高之比等于相似比即可求出处宽CD的长．【解答】解：∵AB∥CD，∴△AEB∽△CED，∴，∴∴CD＝m．故选：D．【点评】本题
考查了相似三角形在实际问题中的应用，用到的知识点是：对应高之比等于相似比．10．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（
1，2），B（1，1），C（3，1），将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则点A旋转到点A''所经过的路线长为（
）A．B．C．D．【分析】求出半径OA，然后利用弧长的计算公式即可求解．【解答】解：连接OA．则OA＝＝．则点A旋转到点A''所
经过的路线长为＝π．【点评】本题考查了弧长的计算公式，正确理解计算公式是解题的关键．11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC
＝3，BC＝4，点P是斜边AB上一动点（不与点A、B重合），PQ⊥AB交△ABC的直角边于点Q，设AP为x，△APQ的面积为y，则
下列图象中，能表示y关于x的函数关系的图象大致是（ ）A．B．C．D．【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．【解答
】解：当点Q在AC上时，y＝×AP×PQ＝×x×＝x2；当点Q在BC上时，如下图所示，∵AP＝x，AB＝5，∴BP＝5﹣x，又co
sB＝，∵△ABC∽QBP，∴PQ＝BP＝∴S△APQ＝AP?PQ＝x?＝﹣x2+x，∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部
分也为抛物线开口向下．故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．12．如图，在
△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的中点，连接DE，那么△ADE与△ABC的面积之比是（ ）A．1：16B．1：9C．1：4
D．1：2【分析】由于D，E分别是AB，AC边上的中点，利用三角形中位线定理可知DE∥BC，＝，再利用平行线分线段成比例定理的推论
易证△ADE∽△ABC，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方可求两个三角形面积比．【解答】解：∵D，E分别是AB，AC边上的中点
，∴DE∥BC，＝，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝（）2＝．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、
平行线分线段成比例定理的推论、三角形中位线定理．13．如图，已知A（1，4），B（3，4），C（﹣2，﹣1），D（1，﹣1），那么
△ABE与△CDE的面积比是（ ）A．B．C．D．【分析】由于点A与点B的纵坐标相同，可知AB⊥y轴，同理CD⊥y轴，则AB∥C
D，易证△ABE∽△DCE，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，得出△ABE与△CDE的面积比是（AB：CD）2．【解答】解
：∵A（1，4），B（3，4），即点A与点B的纵坐标相同，∴AB⊥y轴，且AB＝2，同理CD⊥y轴，CD＝3，∴AB∥CD，∴∠A
＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABE∽△DCE，∴△ABE与△CDE的面积比＝（AB：CD）2＝（2：3）2＝4：9．故选：C．【点评】
本题结合平面直角坐标系考查了相似三角形的判定及性质．有两角对应相等的两个三角形相似．相似三角形面积的比等于相似比的平方．14．如图
，若D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，且∠AED＝∠B，AD＝3，AC＝6，DB＝5，则AE的长度为（ ）A．B．C．D
．4【分析】根据相似三角形的判定首先证出△ADE∽△ACB，然后根据相似三角形的性质得出AE：AB＝AD：AC，从而求出AE的长度
．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴AE：AB＝AD：AC，又∵AD＝3，AC＝6，DB＝5，∴A
B＝AD+DB＝8，∴AE＝8×3÷6＝4．故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质．有两角对应相等的两个三角形相似
．相似三角形的三边对应成比例．二．填空题（共9小题）15．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算
为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其
大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为 ．【分析】根据正方形的性质得：DE∥
BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论．【解答】解：∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF，设ED＝x，则CD＝
x，AD＝5﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴，x＝，故答案为：．【点评】此题考
查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．16．如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转，得到△A
B''C''，点C恰好在B''C''上，旋转角为α，则∠C''的度数为 90°﹣ （用含α的式子表示）．【分析】根据旋转的性质可得AC＝AC
′，∠CAC′＝α，∠C＝∠C′，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【解答】解：∵△ABC绕着点A顺时针方向旋转α得到
△A B''C''，∴AC＝AC′，∠CAC′＝α，∠C＝∠C′，∴∠C′＝（180°﹣α）＝90°﹣，∴∠C''＝90°﹣．故答案为：
90°﹣．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，旋转前后对应边相等，对应角相等．17．如图，在平面直角坐标系中，△COD
可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转、位似）得到的，写出一种由△AOB得到△COD的过程： 以原点O为位似中
心，位似比为，在原点O同侧将△AOB缩小，再将得到的三角形沿y轴翻折得到△COD ．【分析】根据位似和对称进行解答即可．【解答】解
：以原点O为位似中心，位似比为，在原点O同侧将△AOB缩小，再将得到的三角形沿y轴翻折得到△COD，故答案为：以原点O为位似中心，
位似比为，在原点O同侧将△AOB缩小，再将得到的三角形沿y轴翻折得到△COD【点评】考查了坐标与图形变化﹣位似，对称，解题时需要注
意：位似比和位似中心．18．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边上一点，连接DE．请你添加一个条件，使△ADE∽△ABC，则
你添加的这一个条件可以是 ∠ADE＝∠B （写出一个即可）．【分析】利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件．【解答】解：∵∠
DAE＝∠BAC，∴当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC．故答案为∠ADE＝∠B．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边
的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．19．如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对
角线AC于点F，则△AFE与△BCF的面积比等于 ．【分析】根据矩形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，求出BC＝AD＝2AE，求
出△AFE∽△CFB，根据相似三角形的性质得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵点E是边AD的
中点，∴BC＝AD＝2AE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CFB，∴＝（）2＝（）2＝．故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，相
似三角形的性质和判定的应用，能推出△AFE∽△CFB是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．20．如图所示，CB
∥DE，BD、CE相交于点A，若AE＝2AC，则△ABC与△ADE的面积比是 ．【分析】由CB∥DE，可证明△BCA∽△DEA，
再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得问题答案．【解答】解：∵CB∥DE，∴△BCA∽△DEA，∴S△BCA：S△DEA＝
AC2：AE2，∵AE＝2AC，∴S△BCA：S△DEA＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，若两个三角形相似
则面积比等于相似比的平方．21．如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC 内一点，且AD＝3，将△ABD绕点A旋转到△ACE的位置
，连接DE，则DE的长为 3 ．【分析】根据旋转的性质易得AD＝AE，旋转角为60°，那么可得△ADE的形状，也就求得了DE长．【
解答】解：旋转的性质易得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴DE＝AD＝3．故答案为3．【点评】考查
旋转性质的应用；根据旋转的性质判断出△ADE的形状是解决本题的关键．22．将直角边为12cm的等腰三角形ABC绕点A顺时针旋转15
°后得到△AB′C′，那么图中阴影部分面积是 cm2．【分析】由等腰三角形ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB''C''，根据旋
转的性质得∠CAC′＝15°，∠C′＝∠C＝90°，AC′＝AC＝12，而△ABC为等腰直角三角形，得到∠CBA＝45°，则∠DA
C′＝45°﹣15°＝30°，得到DC′＝AC′＝12×＝4，利用三角形的面积公式即可得到阴影部分面积．【解答】解：设AB与B′C
′交于D点，∵等腰三角形ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB''C''，∴∠CAC′＝15°，∠C′＝∠C＝90°，AC′＝AC＝
12，而△ABC为等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴∠DAC′＝45°﹣15°＝30°，在Rt△ADC′中，DC′＝AC′＝1
2×＝4，∴S△ADC′＝×12×4＝24（cm2）．故答案为24．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转
中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．23．
如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（0，3），对△AOB连续作旋转变换，依次得到三角形（1），（2），（3），（4
），…，那么第（7）个三角形的直角顶点的坐标是 （24，0） ，第（2011）个三角形的直角顶点坐标是 （8040，0） ．【分析
】由A（﹣4，0），B（0，3），根据勾股定理得AB＝5，而对△AOB连续作三次旋转变换回到原来的状态，并且第三个和第四个直角三角
形的直角顶点的坐标是（12，0），所以第（7）个三角形的直角顶点的横坐标等于12×2＝24，第（2011）个三角形的直角顶点的横坐
标等于670×12＝8040，即可得到它们的坐标．【解答】解：∵A（﹣4，0），B（0，3），∴AB＝5，∴第三个和第四个直角三角
形的直角顶点的坐标是（12，0），∵对△AOB连续作三次旋转变换回到原来的状态，∴第（7）个三角形的直角顶点的横坐标等于12×2＝
24，∴第（7）个三角形的直角顶点的坐标是 （24，0）；∴第（2011）个三角形的直角顶点的横坐标等于670×12＝8040，∴
第（2011）个三角形的直角顶点坐标是（8040，0）．故答案为：（24，0），（8040，0）．【点评】本题考查了旋转的性质：旋
转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了勾股定理以及图形变化的规律．三．
解答题（共27小题）24．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A．（1）求证：△BDC∽△ABC；（2）若BC＝4，
AC＝8，求CD的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．（2）根据相似三角形的性质即可求出CD的长度．【解答】解：（
1）∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB，∴△BDC∽△ABC；（2）∵△BDC∽△ABC，∴，∵BC＝4，AC＝8，∴CD＝2．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．25．M是正方形ABCD的边AB上一动点
（不与A，B重合），BP⊥MC，垂足为P，将∠CPB绕点P旋转，得到∠C′PB′，当射线PC′经过点D时，射线PB′与BC交于点N
．（1）依题意补全图形；（2）求证：△BPN∽△CPD；（3）在点M的运动过程中，图中是否存在与BM始终保持相等的线段？若存在，请
写出这条线段并证明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）由旋转性质知∠BPN＝∠CPD，再由∠PCD+
∠BCP＝∠PBN+∠BCP＝90°知∠PCD＝∠PBN，从而得证；（3）先证△MPB∽△BPC得＝，再由△PBN∽△PCD知＝，
从而得＝，根据BC＝CD可得答案．【解答】解：（1）补全图形如图所示：（2）由旋转知∠BPN＝∠CPD，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∴∠PCD+∠BCP＝90°，∵BP⊥MC，∴∠CPB＝90°，∴∠PBN+∠BCP＝90°，∴∠PCD＝∠P
BN，∴△PBN∽△PCD；（3）BM＝BN，∵BP⊥CM，∠MBC＝90°，∴∠MBP＝∠MCB，∴△MPB∽△BPC，∴＝，由
（2）知△PBN∽△PCD，∴＝，∴＝，∵BC＝CD，∴BM＝BN．【点评】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握旋转变换的
性质、相似三角形的判定与性质及正方形的性质等知识点．26．小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明
了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程．已知：如图，在△ABC和△A''B''C''中，∠A＝∠A''，∠B＝∠B''．求证：△
ABC∽△A''B''C''．证明：在线段A''B''上截取A''D＝AB，过点D作DE∥B''C''，交A''C''于点E．由此得到△A''DE∽△A
''B''C''．∴∠A''DE＝∠B''．∵∠B＝∠B''，∴∠A''DE＝∠B．∵∠A''＝∠A，∴△A''DE≌△ABC．∴△ABC∽△A''B
''C''．小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：（1）首先，通过作平行线，依据 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三
角形与原三角形相似 ，可以判定所作△A''DE与 △A''B''C''相似 ；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所
作△A''DE与 △ABC全等 ；（3）最后，可证得△ABC∽△A''B''C''．【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可．【解答】
解：小明将证明的基本思路概括如下：（1）首先，通过作平行线，依据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
，可以判定所作△A''DE与△A''B''C''相似；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A''DE与△ABC全
等；（3）最后，可证得△ABC∽△A''B''C''．故答案为：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；△A
''B''C''相似；△ABC全等．【点评】本题考查了相似三角形的判定；熟记平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角
形相似是解决问题的关键．27．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．（1）以点C为中心
，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C；（2）在（1）中的条件下，①点A经过的路径的长为 （结果保留π）；②
写出点B′的坐标为 （﹣1，3） ．【分析】（1）根据旋转的定义作出点A、B绕点C逆时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得；（
2）①根据弧长公式列式计算即可；②根据（1）中所作图形可得．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；（2）①∵AC＝＝5
，∠ACA′＝90°，∴点A经过的路径的长为＝，故答案为：；②由图知点B′的坐标为（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．【点评】本
题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出对应点及弧长公式．28．如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD中点，
点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．（1）求证：△PAF∽△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AE
D相似，直接写出PA的长 1或 ．【分析】（1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；（2）由
于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当∠PEF＝∠EAD时，则得到四边形ADEP为矩形，从而求得x的值；当∠PE
F＝∠AED时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性
质进行求解．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，∴CD∥AB，∠D＝90°∴∠AED＝∠PAF，又∵PF⊥AE，∴∠PFA＝∠D
＝90°．∴△PFA∽△ADE．（2）解：情况1，当△EFP∽△ADE，且∠PEF＝∠EAD时，则有PE∥AD∴四边形ADEP为矩
形．∴PA＝ED＝1；情况2，当△PFE∽△ADE，且∠PEF＝∠AED时，∵∠PAF＝∠AED，∴∠PEF＝∠PAF．∴PE＝P
A．∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点．∵AE＝＝，∴AF＝，∵△PFA∽△ADE，＝，∴＝，∴PA＝∴满足条件的PA的值为1或．故
答案为1或．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．29．△ACB中，∠C＝90°，以点A为中心，分别将线段AB，AC逆时针旋转
60°得到线段AD，AE，连接DE，延长DE交CB于点F．（1）如图1，若∠B＝30°，∠CFE的度数为 120° ；（2）如图2
，当30°＜∠B＜60°时，①依题意补全图2；②猜想CF与AC的数量关系，并加以证明．【分析】（1）先求出∠BAC＝60°，进而判
断出点E在边AB上，得出△ADE≌△ABC（SAS），进而得出∠AED＝∠ACB＝90°最后用三角形的外角的性质即可得出结论；（2
）①依题意补全图形即可；（3）先判断出△ADE≌△ABC（SAS），进而得出∠AEF＝90°，即可判断出Rt△AEF≌Rt△ACF
，进而求出∠CAF＝∠CAE＝30°，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，
由旋转知，∠CAE＝60°＝∠CAB，∴点E在边AB上，∵AD＝AB，AE＝AC，∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠AED＝∠A
CB＝90°，∴∠CFE＝∠B+∠BEF＝30°+90°＝120°，故答案为120°；（2）①依题意补全图形如图2所示，（3）如图
2，连接AF，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠EAD＝∠CAB，∵AD＝AB，AE＝AC，∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠AED＝∠
C＝90°，∴∠AEF＝90°，∴Rt△AEF≌Rt△ACF，∴∠EAF＝∠CAF，∴∠CAF＝∠CAE＝30°，在Rt△ACF中
，CF＝AF，且AC2+CF2＝AF2，∴CF＝AC．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三
角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，判断出△ADE≌△ABC是解本题的关键．30．如图，△ABC中，点D在边
AB上，满足∠ACD＝∠ABC，若AC＝，AD＝1，求DB的长．【分析】由∠ACD＝∠ABC与∠A是公共角，根据有两角对应相等的三
角形相似，即可证得△ADC∽△ACB，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得AB，进而得到DB的长．【解答】解：∵∠ACD＝∠AB
C，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．∴，∴．∴AB＝3，∴DB＝AB﹣AD＝2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难
度不大，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．31．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（2，6），
B（4，2），C（6，2）．（1）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△DEF．请在第一象限内，画出△DEF．（2）在
（1）的条件下，点A的对应点D的坐标为 （1，3） ，点B的对应点E的坐标为 （2，1） ．【分析】（1）分别连接OA、OB、OC
，然后分别取它们的中点得到D、E、F；（2）利用线段中点坐标公式可得到D点和E点坐标．【解答】解：（1）如图，△DEF为所作；（2
）D（1，3），E（2，1）．故答案为（1，3），（2，1）．【点评】本题考查了作图﹣位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位
似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．32．在
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB边上的一点，且tanB＝，点D为AC边上的动点（不与点A，C重合），将线段OD绕点O顺时
针旋转90°，交BC于点E．（1）如图1，若O为AB边中点，D为AC边中点，则的值为 ；（2）若O为AB边中点，D不是AC边的中
点，①请根据题意将图2补全；②小军通过观察、实验，提出猜想：点D在AC边上运动的过程中，（1）中的值不变．小军把这个猜想与同学们进
行交流，通过讨论，形成了求的值的几种想法：想法1：过点O作OF⊥AB交BC于点F，要求的值，需证明△OEF∽△ODA．想法2：分别
取AC，BC的中点H，G，连接OH，OG，要求的值，需证明△OGE∽△OHD．想法3：连接OC，DE，要求的值，需证C，D，O，E
四点共圆．…请你参考上面的想法，帮助小军写出求的值的过程（一种方法即可）；（3）若＝（n≥2且n为正整数），则的值为 （用含n
的式子表示）．【分析】（1）根据O为AB边中点，D为AC边中点，得出四边形CDOE是矩形，再根据tanB＝＝tan∠AOD，得出＝
，进而得到＝；（2）①根据题意将图2补全即可；②法1：过点O作OF⊥AB交BC于点F，要求的值，需证明△OEF∽△ODA；法2：分
别取AC，BC的中点H，G，连接OH，OG，要求的值，需证明△OGE∽△OHD；法3：连接OC，DE，要求的值，需证C，D，O，E
四点共圆．分别根据三种方法进行解答即可；（3）先过点O作OF⊥AB交BC于点F，要求的值，需证明△OEF∽△ODA，得出，再根据＝
（n≥2且n为正整数），得到＝即可．【解答】解：（1）如图1，∵O为AB边中点，D为AC边中点，∴OD∥BC，∠CDO＝90°，又
∵∠ACB＝90°，∠DOE＝90°，∴四边形CDOE是矩形，∴OE＝CD＝AD，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B，∴tanB＝＝t
an∠AOD，即＝，∴＝．故答案为：；（2）①如图所示：②法1：如图，过点O作OF⊥AB交BC于点F，∵∠DOE＝90°，∴∠AO
D+∠DOF＝∠DOF+∠FOE＝90°，∴∠AOD＝∠FOE，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝∠OFE+∠B＝90°，∴∠A＝
∠OFE，∴△OEF∽△ODA，∴，∵O为AB边中点，∴OA＝OB．在Rt△FOB中，tanB＝，∴，∴，∴；法2：如图，分别取A
C，BC的中点H，G，连接OH，OG，∵O为AB边中点，∴OH∥BC，OH＝，OG∥AC．∵∠ACB＝90°，∴∠OHD＝∠OGE
＝90°，∴∠HOG＝90°，∵∠DOE＝90°，∴∠HOD+∠DOG＝∠DOG+∠GOE＝90°，∴∠HOD＝∠GOE，∴△OG
E∽△OHD，∴，∵tanB＝，∴，∵OH＝GB，∴，∴；法3：如图，连接OC，DE，∵∠ACB＝90°，∠DOE＝90°，∴DE
的中点到点C，D，O，E的距离相等，∴C，D，O，E四点共圆，∴∠ODE＝∠OCE，∵O为AB边中点，∴OC＝OB，∴∠B＝∠OC
E，∴∠ODE＝∠B，∵tanB＝，∴；（3）如图所示，过点O作OF⊥AB交BC于点F，∵∠DOE＝90°，∴∠AOD+∠DOF＝
∠DOF+∠FOE＝90°，∴∠AOD＝∠FOE．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝∠OFE+∠B＝90°，∴∠A＝∠OFE，∴△
OEF∽△ODA，∴，∵＝，∴可设OB＝1，则AB＝n，AO＝n﹣1，∵在Rt△FOB中，tanB＝，∴OF＝，∴＝＝，∴＝．故答
案为：．【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三
角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用．33．如
图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．若DE＝2，BC＝3，AC＝6，求AE的长．【分析】根据相
似三角形的判定得出两三角形相似，得出比例式，代入求出即可．【解答】解：∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠AED＝∠C＝90°，又∵∠
A＝∠A，∴△AED∽△ACB，∴，又∵DE＝2，BC＝3，AC＝6，∴，∴AE＝4．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应
用，能推出△AED∽△ACB是解此题的关键．34．如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0）．作如下操作：①以点A为旋转
中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△AB1O1；②以点O为位似中心，将△ABO放大，得到△A2B2O，使相似比为1：2，且
点A2在第三象限．（1）在图中画出△AB1O1和△A2B2O；（2）请直接写出点A2的坐标： （﹣6，﹣4） ．【分析】（1）利用
网格特点和旋转的性质画出点O和B的对应点O1、B1即可得到△AB1O1；把A、B的横纵坐标都乘以﹣2即可得到A2和B2的坐标，然后
描点即可得到△A2B2O；（2）由（1）可得点A2的坐标．【解答】解：（1）如图，△AB1O1和△A2B2O为所作；（2）点A2的
坐标为（﹣6，﹣4）．故答案为（﹣6，﹣4）．【点评】本题考查了作图﹣位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原
图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．35．如图①，在Rt△A
BC中，∠C＝90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，且0°＜α＜180°．在旋转过程中，点B’可以恰好落
在AB的中点处，如图②．（1）求∠A的度数；（2）当点C到AA′的距离等于AC的一半时，求α的度数．【分析】（1）利用旋转的性质结
合直角三角形的性质得出△CBB′是等边三角形，进而得出答案；（2）利用锐角三角函数关系得出sin∠CAD＝＝，即可得出∠CAD＝3
0°，进而得出α的度数．【解答】解：（1）将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，∴CB＝CB′∵点B′可以恰好落
在AB的中点处，∴点B′是AB的中点．∵∠ACB＝90°，∴CB′＝AB＝BB′，∴CB＝CB′＝BB′，即△CBB′是等边三角形
．∴∠B＝60°．∵∠ACB＝90°，∴∠A＝30°；（2）如图，过点C作CD⊥AA′于点D，点C到AA′的距离等于AC的一半，即
CD＝AC．在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，sin∠CAD＝＝，∴∠CAD＝30°，∵CA＝CA′，∴∠A′＝∠CAD＝30°
．∴∠ACA′＝120°，即α＝120°．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，正确掌握直角三角形的性质是解
题关键．36．如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠ABC，若AD＝2，AB＝6，求AC的长．【分析】由题意，在△ABC中，
点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答即可．【解答】解：∵
∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∵AD＝2，AB＝6，∴，∴AC2＝12，∴AC＝2．【点评】本题主要考
查相似三角形的判定和性质，解题的关键在于熟记各种判定方法，难点在于找对应边．37．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，
以点A为中心，把△ABE逆时针旋转90°，设点E的对应点为F．（1）画出旋转后的三角形．（2）在（1）的条件下，①求EF的长；②求
点E经过的路径弧EF的长．【分析】（1）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可；（2）①先根据勾股定理求出AE的长，由图形旋转的性
质得出AF的长，根据勾股定理即可得出EF的长；②直接根据弧长公式即可得出结论．【解答】解：（1）如图1所示．△ADF为所求．（2）
①如图2，依题意，AE＝AF，∠EAF＝90°．在Rt△ABE中，∵AB＝2，BE＝BC＝1，∴AE＝．在Rt△AEF中，EF＝＝
＝；②∵∠EAF＝90°，AE＝AF＝，∴l＝＝π，∴弧EF的长为π．【点评】本题考查的是作图变换﹣旋转，熟知图形旋转不变性的性质
是解答此题的关键．38．△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α（0°＜α≤90°），点F，G，P分别
是DE，BC，CD的中点，连接PF，PG．（1）如图①，α＝90°，点D在AB上，则∠FPG＝ 90 °；（2）如图②，α＝60°
，点D不在AB上，判断∠FPG的度数，并证明你的结论；（3）连接FG，若AB＝5，AD＝2，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转，当
PF的长最大时，FG的长为 7sin（90°﹣） （用含α的式子表示）．【分析】（1）由AB＝AC、AD＝AE，得BD＝CE，再根
据G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，可得出PG∥BD，PF∥CE．则∠GPF＝180°﹣∠α＝90°；（2）连接BD，连接C
E，由已知可证明△ABD≌△ACE，则∠ABD＝∠ACE．因为G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，则PG∥BD，PF∥CE．进
而得出∠GPF＝180°﹣∠α＝120°；（3）当D在BA的延长线上时，CE＝BD最长，此时BD＝AB+AD＝5+2＝7，再由三角
形中位线定理即可算出PG＝3.5，在Rt△GPH中，由三角函数的定义即可求出GH，进一步求出FG．【解答】解：（1）∵AB＝AC、
AD＝AE，∴BD＝CE，∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，∴PG∥BD，PF∥CE．∴∠ADC＝∠DPG，∠DPF＝∠A
CD，∴∠GPF＝∠DPF+∠DPG＝∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣∠α＝90°，即∠GPF＝90°；（2）∠
FPG＝120°；理由如下：连接BD，连接CE．如图②∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△AB
D≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，∴PG∥BD，PF∥CE．∴∠PGC＝∠C
BD，∠DPF＝∠DCE＝∠DCA+∠ACE＝∠DCA+∠ABD，∠DPG＝∠PGC+∠BCD＝∠CBD+∠BCD，∴∠GPF＝∠
DPF+∠DPG＝∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣∠α＝120°，即∠GPF＝120°；（3
）连结BD，CE，过P作PH⊥FG于H，如图③，由（2）可知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，且PG＝PF＝BD，当D在BA的延
长线上时，CE最长，即BD最长，此时BD＝AB+AD＝5+2＝7，∴PG＝3.5，∵PF＝PG，PH⊥FG，∴∠GPH＝∠FPG＝
（180°﹣∠α）＝90°﹣α，FG＝2HG，∴FG＝2HG＝2PG?sin∠GPH＝2×3.5×sin（90°﹣）＝7sin（9
0°﹣），故答案为7sin（90°﹣）．【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，题目的综合性较强，
难度较大，解题的关键是正确作出图形的辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的性质解决问题．39．如图，方格纸中每个小正方形的边长均
为1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点处．（1）以点A为旋转中心，把△ABC顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB′C′；（2）在（
1）的条件下，求点C运动到点C′所经过的路径长．【分析】（1）将△ABC的各顶点绕点C顺时针旋转90°后找到对应顶点，顺次连接得△
AB′C′；（2）点C运动到点C′所经过的路线是半径为AC，圆心角是90°的扇形的弧长．【解答】解：（1）如图所示：；（2）∵AC
＝＝，∴点C运动到点C′所经过的路径为：＝＝π，即点C运动到点C′所经过的路径长为π．【点评】本题考查了利用旋转变换作图以及弧长的
计算，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，注意掌握弧长公式：l＝．40．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），
B（﹣2，﹣1）．（1）以原点O为位似中心，把线段AB放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段CD；（2）在（1）的条件下，写出
点A的对应点C的坐标为 （﹣2，2）或（2，﹣2） ，点B的对应点D的坐标为 （﹣4，﹣2）或（4，2） ．【分析】（1）利用位似
图形的性质得出原点两侧各有一个图形，进而得出答案；（2）利用所画图形得出对应点坐标即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）点A的对
应点C的坐标为（﹣2，2）或（2，﹣2），点B的对应点D的坐标为（﹣4，﹣2）或（4，2）．故答案为：（﹣2，2）或（2，﹣2），
（﹣4，﹣2）或（4，2）．【点评】此题主要考查了位似图形的性质，准确找出对应点的位置以及坐标是解题的关键．41．如图，在△ABC
中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，AB＝，AD⊥AC，连接CD．点E在AC上，AE＝AC，过点E作MN⊥AC，分别交AB、CD于
点M、N．（1）求ME的长；（2）当AD＝3时，求四边形ADNE的周长．【分析】（1）在直角三角形ABC中，由∠ACB的度数求出∠
BAC的度数，确定出CB与AC的长，由AE＝AC，求出AE的长，在直角三角形AEM中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出
ME的长即可；（2）由AD与EN都与AC垂直，得到AD与EN平行，由平行得相似，确定出三角形CEN与三角形CAD相似，由相似得比例
，根据AD的长求出EN的长，在直角三角形CEN中，利用勾股定理求出CN的长，进而确定出CD的长，由CD﹣CN求出DN的长，即可确定
出四边形ADNE的周长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝60°，AB＝6，∴∠BAC＝30°，CB＝6，AC＝12
，∵AE＝AC，∴AE＝4，在Rt△AEM中，∠MAE＝30°，∴ME＝AEtan30°＝；（2）∵AD⊥AC，EN⊥AC，∴AD
∥EN，∴△CEN∽△CAD，∴＝＝＝，∵AD＝3，∴EN＝2，在Rt△CEN中，CE＝8，∴CN＝＝＝2，CD＝×2＝3，∴DN
＝CD﹣CN＝，则四边形ADNE的周长为3+4+2+＝9+．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性
质是解本题的关键．42．将△ABC绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△DBE，直线DE与直线AC相交于点F，连接BF．（
1）如图1，若α＝60°，DF＝2AF，请直接写等于 1 ；（2）若DF＝mAF，（m＞0，且m≠1）①如图2，求；（用含α，m的
式子表示）②如图3，依题意补全图形，请直接写出等于 sin ．（用含α，m的式子表示）【分析】（1）连接AD，G是DF的中点，连接
AG，然后证得△ABD和△AGF是等边三角形，再证得△BDF≌△ADF，得出BF＝AF即可求得；（2）①在DF上截取DG＝AF，连
接BG，由旋转知，DB＝AB，∠D＝∠A，从而证得△DBG≌△ABF，然后通过解直角三角形即可求得；②延长FD到G，使DG＝AF，
连接BG，先证得△DBG≌△ABF，然后解直角三角形即可求得；【解答】解：（1）连接AD，G是DF的中点，连接AG，∵∠BAC＝∠
BDE，∴∠ABD＝∠AFG＝60°，∵DF＝2AF，∴AF＝GF，∴AG＝AF＝GF＝DG，∴∠ADG＝∠DAG＝30°，∵AB
＝DB，∠ABD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，BD＝AD，∴∠ADF＝∠BDF＝30°，在△BDF与△AD
F中∴△BDF≌△ADF（SAS），∴AF＝BF，∴＝1．故答案为1．（2）①如图2，在DF上截取DG＝AF，连接BG，由旋转知，
DB＝AB，∠D＝∠A，在△DBG与△ABF中∴△DBG≌△ABF（SAS），∴BG＝BF，∠GBF＝α，过点B作BN⊥GF于点N
，∴点N为GF中点，∠FBN＝，在RT△BNF中，NF＝BF?sin，∴GF＝2BF?sin，∵DF＝DG+GF，∴mAF＝AF+
2BF?sin，∴（m﹣1）AF＝2BF?sin，∴＝sin．②如图3，依题意补全的图形，延长FD到G，使DG＝AF，连接BG，由
旋转知，DB＝AB，∠BDG＝∠BAF，∴△DBG≌△ABF（SAS），∴BG＝BF，∠GBF＝α，过点B作BN⊥GF于点N，∴点
N为GF中点，∠FBN＝，在RT△BNF中，NF＝BF?sin，∴GF＝2BF?sin，∵GF＝GD+DF，∴2BF?sin＝AF
+mAF，∴2BF?sin＝（m+1）AF，∴＝sin，故答案为sin．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角
形全等的判定和性质，应用直角三角函数解直角三角形等，本题的根据是构建直角三角形，通过解直角三角形求得结果．43．如图，在正方形AB
CD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE的垂线交BC于点F，若AB＝9，BF＝7，求DE长．【分析】首先由
正方形的性质和已知条件证明△ADE∽△ECF，根据相似三角形的性质可知：，设DE＝x，则EC＝9﹣x，代入计算求出x的值即可．【解
答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD＝BC＝AB＝9，∠D＝∠C＝90°，∴CF＝BC﹣BF＝2，在Rt△ADE中，∠D
AE+∠AED＝90°，∵AE⊥EF于E，∴∠AED+∠FEC＝90°，∴∠DAE＝∠FEC，∴△ADE∽△ECF，∴，设DE＝x
，则EC＝9﹣x，∴，解得x1＝3，x2＝6，∵DE＞CE，∴DE＝6．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解
题的关键是设DE＝x，利用方程思想解决几何问题．44．在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB斜边OB在y轴上，且OB＝4．（1）画出
△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的三角形△OA′B′；（2）求点A在旋转过程中经过的路径长．【分析】（1）根据旋转的性质，将
A，B绕O点顺时针旋转90°得出对应点即可；（2）利用弧长公式得出点A在旋转过程中经过的路径长．【解答】解：（1）如图所示：（2）
∵等腰直角△ABO，OB＝4，∴OA＝，∠AOA′＝90°，∴点A的路径长为：＝π．【点评】此题主要考查了图形的旋转以及弧长公式计
算，根据旋转的性质正确得出对应顶点位置是解题关键．45．如图，?ABCD中，点E在BA的延长线上，连接CE，与AD相交于点F．（1
）求证：△EBC∽△CDF；（2）若BC＝8，CD＝3，AE＝1，求AF的长．【分析】（1）利用平行四边形的性质：对角相等和对边平
行可得∠B＝∠D和∠FCD＝∠E，有两对角相等的三角形相似可判定△EBC∽△CDF；（2）有（1）可知：△EBC∽△CDF，利用相
似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠
FCD＝∠E，∴△EBC∽△CDF；（2）解：∵△EAF∽△EBC，∴，即．解得：AF＝2．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及
相似三角形的判定和相似三角形的性质，难度不大，属于基础性题目．46．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A''B''C''是以坐标原点
O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）．（1）若点A（，3），则A′的坐标为 （5，6） ；（2）若△ABC的面
积为m，则△A′B′C′的面积＝ 4m ．【分析】（1）利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，
相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky）．（2）利用
面积比等于位似比的平方得出即可．【解答】解：（1）∵B（3，1），B′（6，2）．∴点A（，3），则A′的坐标为：（×2，3×2）
即（5，6）；（2）∵△ABC的面积为m，∴△A′B′C′的面积为4m．故答案为：（1）（5，6）（2）4m．【点评】此题主要考查
了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．47．已知，在△ABC中，
∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D、E在BC边上（均不与点B、C重合，点D始终在点E左侧），且∠DAE＝45°．（1）请在
图①中找出两对相似但不全等的三角形，写在横线上 △ADE∽△BAE ， △ADE∽△CDA． ；（2）设BE＝m，CD＝n，求m与
n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；（3）如图②，当BE＝CD时，求DE的长；（4）求证：无论BE与CD是否相等，都有DE2
＝BD2+CE2．【分析】（1）根据两角对应相等，两三角形相似的判定方法就可以从图中找到两个相似的三角形．（2））由∠BAC＝90
°，AB＝AC，BC＝可以得出△BAE∽△CDA，利用相似三角形的性质就可以求出函数关系式．（3）由（2）知BE?CD＝4，可以求
出BE＝CD的值，求出BD的值后就可以求出DE的值．（4）如图，依题意，可以将△AEC绕点A顺时针旋转90°至△AFB的位置，则F
B＝CE，AF＝AE，∠1＝∠2，由条件可以求出△AFD≌△AED，由勾股定理可以得出结论．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，
AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠DAE＝45°，∴△ADE∽△BAE，△ADE∽△CDA．故答案为：△ADE∽△BAE，△A
DE∽△CDA．（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，由（1）知△BAE∽△CDA，∴．∴．∴（）．要保证∠DAE＝45°
且不与点B、C重合，∴CD＜2，D点不能位于BC中点及右侧，∴CD＞∴（）．（3）由（2）知BE?CD＝4，∴BE＝CD＝2．∴B
D＝BC﹣CD＝．∴DE＝BE﹣BD＝．（4）如图，依题意，可以将△AEC绕点A顺时针旋转90°至△AFB的位置，则FB＝CE，A
F＝AE，∠1＝∠2，∴∠FBD＝90°．∴DF2＝BD2+FB2＝BD2+CE2．∵∠3+∠1＝∠3+∠2＝45°，∴∠FAD＝
∠DAE．又∵AD＝AD，AF＝AE，∴△AFD≌△AED．∴DE＝DF．∴DE2＝BD2+CE2．【点评】本题考查了相似三角形的
判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的运用及旋转的性质．48．如图所示的直面直角坐标系中，△OAB的
三个顶点坐标分别为O（0，0），A（1，﹣3）B（3，﹣2）．（1）将△OAB绕原点O逆时针旋转90°画出旋转后的△OA′B′；（
2）求出点B到点B′所走过的路径的长．【分析】（1）根据旋转角、旋转方向、旋转在中心找到各点的对应点顺次连接即可；（2）先求出OB 的长度，然后根据弧长公式即可计算．【解答】解：（1）所作图形如下所示：（2）∵OB＝，∴＝＝π．【点评】本题考查旋转作图，掌握画图的方法和图形的特点是关键；旋转时点经过的路径为一段弧长．49．如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长．【分析】（1）△ABE和△DFA都是直角三角形，还需一对角对应相等即可．根据AD∥BC可得∠DAF＝∠AEB，问题得证；（2）运用相似三角形的性质求解．【解答】（1）证明：∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°． （1分）∴∠B＝∠AFD＝90°． （2分）又∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB． （3分）∴△ABE∽△DFA． （4分）（2）解：∵AB＝6，BE＝8，∠B＝90°，∴AE＝10． （6分）∵△ABE∽△DFA，∴＝． （7分）即＝．∴DF＝7.2． （8分）【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的性质、勾股定理等知识点，难度中等．50．已知：在△ABC中∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．如图甲，当AC＝BC时，且CE＝EA时，则有EF＝EG；（1）如图乙①，当AC＝2BC时，且CE＝EA时，则线段EF与EG的数量关系是：EF ＝ EG；（2）如图乙②，当AC＝2BC时，且CE＝2EA时，请探究线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；（3）当AC＝mBC时且CE＝nEA时，则线段EF与EG的数量关系，并直接写出你的结论（不用证明）．【分析】本题需要寻找相似三角形，并利用相似三角形的性质依次推理得出结论．【解答】图甲：连接DE，∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD，∠ACD＝45°，∴CD＝AD＝AB，∵AE＝EC，∴DE＝AE＝EC＝AC，∴∠EDC＝45°，DE⊥AC，∵∠A＝45°，∴∠A＝∠EDG，∵EF⊥BE，∵∠AEF+∠FED＝∠EFD+∠DEG＝90°，∴∠AEF＝∠DEG，∴△AEF≌△DEG（ASA），∴EF＝EG．（1）EF＝EG；（2）解：EF＝EG．证明：作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，∵EM∥CD，∴△AEM∽△ACD，∴即EM＝CD，同理可得，EN＝AD，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴tanA＝，∴＝，又∵EM⊥AB，EN⊥CD，∴∠EMF＝∠ENG＝90°，∵EF⊥BE，∴∠FEM＝∠GEN，∴△EFM∽△EGN，∴，即EF＝EG；（3）由（1）当AC＝2BC时，且CE＝EA时，EF＝EG，当AC＝2BC时，且CE＝2EA时，EF＝EG，可以得出：当AC＝mBC时且CE＝nEA时，EF＝EG．【点评】本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解，难度较大． 1 / 1 |
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