2020北京初三（上）期中数学汇编：解直角三角形

2020北京初三（上）期中数学汇编解直角三角形一、单选题1．（2020·北京市回民学校九年级期中）在中，，，，则的值为（?）A．B．C．D．
2．（2020·北京市第一五六中学九年级期中）如图，在小正方形网格中，则的值是（?）．A．B．C．D．3．（2020·北京市第二中
学分校九年级期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则tanB的值是（　　）A．B．C．D．4．（2020·北
京市第五十六中学九年级期中）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则sinA的值为(?)A．B．C．D．5．（20
20·北京市回民学校九年级期中）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔40?海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位
于灯塔P的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（?）A．40海里B．海里C．海里D．海里6．（2020·北
京市第十三中学九年级期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为（　　
）A．1B．C．D．二、填空题7．（2020·北京市回民学校九年级期中）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为_______
．8．（2020·北京延庆·九年级期中）如图，正方形OABC的顶点B恰好在函数的图象上，若正方形OABC的边长为，且边OA与x轴的
正半轴的夹角为15°，则的值为_________．9．（2020·北京市第一五六中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，，CD⊥A
B于D，，CB =2，AB =___________. 10．（2020·北京市第五十六中学九年级期中）在Rt△ABC中，∠C=
90°，tan∠A=2 ，AC=1，则 BC=____；AB=_______．11．（2020·北京市第五中学分校九年级期中）已知
在中，，，，则___．12．（2020·北京市第一五六中学九年级期中）如果，那么锐角的度数是____________.13．（20
20·北京市第十三中学九年级期中）已知在△ABC中，∠C=，cosA=，AB=6，那么AC= ____14．（2020·北京市第二
中学分校九年级期中）如图所示的网格是正方形网格，则tanα_____tanβ．（填“＞”，“＝”或“＜”）三、解答题15．（202
0·北京市回民学校九年级期中）如图所示，在中，，于D，，，求的长．16．（2020·北京市第一五六中学九年级期中）已知：如图，在△
ABC中，CD⊥AB，sinA =，CD =4，AB =5，求AD的长和tanB的值. 17．（2020·北京市第一五六中学九年级
期中）如图，热气球的探测器在点A， 从热气球看一栋高楼的顶部B的俯角为30°， 看这栋高楼底部C的俯角为60°， 热气球与高楼的水
平距离AD为90米， 求这栋楼的高度（取1.732， 结果精确到0．1米）．18．（2020·北京市第一五六中学九年级期中）计算：
19．（2020·北京市第五十六中学九年级期中）计算：(1)tan30°+ cos60°- tan45°；(2)；(3)．20．（
2020·北京市第十三中学九年级期中）已知：如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求BC的长．21．（202
0·北京市第二中学分校九年级期中）计算：22．（2020·北京市第十三中学九年级期中）如图，在中，，点是边的中点，，．（1）求和的
长；（2）求的值．23．（2020·北京市回民学校九年级期中）如图，△ABC中，AB＝12，BC＝15，AD⊥BC于点D，∠BAD
＝30°，求tanC的值．24．（2020·北京市回民学校九年级期中）奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综
合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处
测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的
高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）25．（2020·北京市第
十三中学九年级期中）计算：2cos30°﹣2sin45°+3tan60°+|1﹣|．26．（2020·北京市回民学校九年级期中）计
算：.参考答案1．B【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理可以求出AB的长，再根据三角函数的定义就可以求出函数值．【详解】解：∵∠
C＝，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，则sinA＝＝，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，先求出斜边，再求出正弦值．
2．B【分析】如图，在中，求出AB即可解决问题．【详解】解：如图，在中，∵，，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形，解题
的关键是熟练掌握三角函数的定义，属于中考常考题型．3．A【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再运用三角函数定义解答．【详解】∵Rt
△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，∴BC12，∴tanB．故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角
形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．同时考查了勾股定理．4．C【详解】试题解析：故选C.5．D【详解
】∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，∴∠BAP=37°，∵AP=40海里，∴BP=AP?sin37°=40sin37°海里；
故选D．6．C【详解】.故选C.7．##0.6【分析】找到所在的直角三角形，用的邻边比上斜边即可求出．【详解】解：如图，过B点作B
D⊥AC，则：BD=4，AD=3，∴，∴=，故答案为：．【点睛】本题考查网格中的三角形函数，找到角所在的直角三角形是解题的关键．8
．【分析】作BD⊥x轴，连接OB，根据正方形性质可知OA=OB，∠A=90°可得∠BOD=60°，再由勾股定理即可得，将点B代入即
可求解；【详解】解：作BD⊥x轴，连接OB，根据正方形性质可知OA=AB，∠A=90°，∴∠AOB=45°，∵∠AOD=15°，∴
∠BOD=60°，∵∴，∴，将点B代入得，，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查二次函数、特殊三角函数、正方形的性质，正确做出
辅助线，利用特殊角，应用特殊三角函数值进行求解是解题的关键．9．3【分析】由题意可求出，即得出．再根据，代入数据即可求出答案．【详
解】∵，，∴，∴．∵，∴，即，解得：．故答案为：3．【点睛】本题考查同角的余角相等，解直角三角形．利用数形结合的思想是解题关键．1
0． 2【分析】根据直角三角形的边角关系进行计算即可．【详解】在Rt△ABC中，∠C= 90°，∴tan∠A= =2，∵AC=1，
∴BC=2，∴，故答案为：2，．【点睛】本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．11．【分析】根据三
角函数的定义解决问题即可．【详解】解：如图，∵∠C=90°，BC=5，AB=6，∴sinA=．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三
角形，三角函数的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．12．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可求解.【详解】∵，∴锐角的度数
是：.故答案是：【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角三角函数值，是解题的关键.13．2【详解】根据三角函数的定义，在
直角三角形ABC中，cosA=，即可求得AC的长．解：在△ABC中，∠C=90°，∵cosA=，∵cosA=，AB=6，∴AC=A
B=2，故答案为2．14．＜．【分析】根据条件可得∠α＜∠β＜90°，随之即可解答.【详解】解：已知∠β是三角形的外角，即∠α＜∠
β＜90°，∵正切函数在（0，90°）上单调递增，故tanα＜tanβ.【点睛】本题考查正切函数的单调性，熟悉掌握是解题关键.15
．3【分析】先在Rt△ABC中利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AC＝AB＝2，再求出∠A＝，然后解Rt△ACD，即可求出
CD的长【详解】解：中，，，．∴．，∵∴中，，，．，，∴．【点睛】本题考查了解直角三角形，含角的直角三角形的性质，熟知在直角三角形
中角所对的直角边等于斜边长的一半是解答此题的关键．16．，【分析】由，CD=4，根据三角函数可得AC=5，根据勾股定理可得AD=3
，则BD=2，再根据正切的定义求出tanB的值．【详解】解： ∵，∴∵，，∴ 根据勾股定理可得∴【点睛】此题考查了三角函数值和勾股
定理，解题的关键是找出直角三角形并解直角三角形．17．103.9米【分析】过A作 AD⊥BC交CB延长线于D，先解直角三角形ABD
求出BD的长，再解直角△ACD，求出CD的长，进而求出BC的长即可得到答案．【详解】解：过A作 AD⊥BC交CB延长线于D，即∠B
DA =90°，∵∠BDA=90°，∠BAD=30°，AD=90米，∴BD=AD·tan∠BAD=90×tan30°=（米）∵∠C
DA=90°，∠CAD=60°，AD=90米∴CD=AD·tan∠CAD=90×tan60°=90（米）∴BC= CD- BD=6
0≈103.9（米）答：这栋楼的高度约为103.9米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确理解题意作出辅助线构造直角三角
形是解题的关键．18．【分析】直接代入特殊角的三角函数值计算即可．【详解】【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的计算问题，熟记的正
弦，余弦，正切值是解题的关键．19．(1)(2)(3)【分析】（1）把tan30°，cos60°，tan45°，代入计算即可．（2
），，，代入计算即可．（3）分别求出每一部分的值，，，，，代入求值即可．（1）解：原式．（2）解：原式=．（3）解：原式．【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值的性质等知识点，主要考查学生的计算能力．20．BC＝．【分析】先根据三角形内角和定理
求出∠C的度数，再过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义求出AD的长，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．【详解
】∵∠A＝105°，∠B＝30°．∴∠C＝45°．过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△ADC中，∵∠AD
C＝90°，∠C＝45°，AC＝2．∴∠DAC═∠C＝45°．∵sinC，∴AD．∴AD＝CD．在Rt△ADB中，∠ADB＝90°
，∠B＝30°．∵AD，∴AB＝2．∴由勾股定理得：BD．∴BC＝BD+CD．【点睛】本题考查的是解直角三角形及勾股定理、锐角三角
函数的定义等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．21．5【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，
锐角三角函数，再合并即可得到答案．【详解】解：原式=【点睛】本题考查的是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同
类二次根式，掌握以上的知识是解题的关键．22．（1）AD=，AB=5；（2）sin∠BAD= ．【分析】（1）由中点定义求BC=4
，根据得：AC=3，由勾股定理得：AB=5，AD=；（2）作高线DE，证明△DEB∽△ACB，求DE的长，再利用三角函数定义求结果
．【详解】（1）∵D是BC的中点，CD=2，∴BD=DC=2，BC=4，在Rt△ACB中，由?tanB= ，∴ ，∴AC=3，由勾
股定理得：AD=，AB==5；（2）过点D作DE⊥AB于E，∴∠C=∠DEB=90°，又∠B=∠B，∴△DEB∽△ACB，∴，∴
，∴DE＝，∴sin∠BAD= ．【点睛】此题考查解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．23．tanC的值是．【
分析】根据在△ABC中，AB＝12，BC＝15，AD⊥BC于点D，∠BAD＝30°，可以求得BD、AD、CD的长，从而可以求得ta
nC的值．【详解】∵△ABC中，AB＝12，BC＝15，AD⊥BC于点D，∠BAD＝30°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AB＝
2BD，∴BD＝6，∴CD＝BC﹣BD＝15﹣6＝9，∴AD＝，∴tanC＝．即tanC的值是．【点睛】本题考查了解直角三角形，解
题的关键是计算出题目中各边的长，找出所求问题需要的条件．24．最高塔的高度AD约为240米【分析】根据已知条件求出BD=AD，设D
C=x，得出AD=90+x，再根据tan58°=，求出x的值，即可得出AD的值．【详解】∵∠B=45°，AD⊥DB，∴∠DAB=4
5°，∴BD=AD，设DC=x，则BD=BC+DC=90+x，∴AD=90+x，∴tan58°===1.60，解得：x=150，∴
AD=90+150=240（米），答：最高塔的高度AD约为240米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，要解题的关键是借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．25． 【分析】分析：第一项利用30°角的余弦值计算，第二项利用45°角的正弦值计算，第三项利用60°角的正切值计算，第四项按照绝对值的意义化简，然后合并同类项或同类二次根式.【详解】详解：原式=2×﹣2×+3﹣1=﹣+3﹣1=4﹣1．点睛：本题考查了绝对值的意义和特殊角的三角函数值，熟记30°，45°，60°角的三角函数值是解答本题的关键.26．【分析】将特殊角的三角函数值代入，然后运用实数运算法则进行计算．【详解】原式.【点睛】考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记几个特殊角的三角函数值． 1 / 1