2020北京初三二模数学汇编二次函数一、单选题1．（2020·北京密云·二模）如图，点C、A、M、N在同一条直线l上．其中，是等腰直角三角形
，，四边形为正方形，且，将等腰沿直线l向右平移．若起始位置为点A与点M重合，终止位置为点C与点N重合．设点A平移的距离为x，两个图
形重叠部分的面积为y，则y与x的函数图象大致为（?）A．B．C．D．2．（2020·北京东城·二模）已知点在抛物线上，则下列结论正
确的是（?）A．B．C．D．二、填空题3．（2020·北京海淀·二模）如图，在平面直角坐标系中，有五个点，将二次函数的图象记为W．
下列的判断中①点A一定不在W上；②点B，C，D可以同时在W上；③点C，E不可能同时在W上．所有正确结论的序号是_________．
4．（2020·北京朝阳·二模）点，在二次函数的图像上，若，，则______（填“＞”，“＝”或“＜”）三、解答题5．（2020·
北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），（1）若抛物线的对称轴是直线x=1，求出点A和点
B的坐标，并画出此时函数的图象；（2）当已知点P（m，2），Q(－m，2m－1)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，
求m的取值范围．6．（2020·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点．（1）求c的值；（2）当时，求抛物线顶点的
坐标；（3）已知点，若抛物线与线段有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．7．（2020·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xO
y中，已知抛物线．(1)当m=3时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知点A(1，2)．试说明抛物线总经过点A；(3)已知点B(0，2)
，将点B向右平移3个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC只有一个公共点，求m的取值范围．8．（2020·北京房山·二模）在平面直
角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，且．抛物线与y轴交于点C，将点C向上移动1个单位得到点D．（1）求抛物线对称轴；（2）求点D纵
坐标（用含有a的代数式表示）；（3）已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，求a的取值范围．9．（2020·北京门头沟·二模）在平面
直角坐标系中，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于点(点在点的左侧)．（1）求点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段及抛
物线在两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)记为．①当时，结合函数图象，直接写出区域内的整点个数；②如果区域内有2个整点，请求出
的取值范围．10．（2020·北京·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（在的左侧）．（1）求点的坐标及抛物线的对称轴；（2
）已知点，若抛物线与线段有公共点，请结合函数图象，求的取值范围．11．（2020·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴
的交点为A，B，与y轴交于C．（1）求抛物线的对称轴和点C坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．拋物线在点A，B之间的部分与
线段所围成的区域为图形W（不含边界）．①当时，求图形W内的整点个数；②若图形W内有2个整数点，求m的取值范围．12．（2020·北
京密云·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点B的坐标为，将直线沿y轴向上平
移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（3）已知点E是点D关于原
点的对称点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．13．（2020·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，点
A的坐标为，点B的坐标为，抛物线的顶点为C．（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；（2）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数
图象，求a的取值范围；（3）若满足不等式的x的最大值为3，直接写出实数a的值．14．（2020·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中
，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，将其图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为F．（1）求点B的坐标及该函数的
表达式；（2）若二次函数的图象与F只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．15．（2020·北京西城·二模）在平面直角坐标系
xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），抛物线的对称轴与x轴交于点D，且OB=2OD．（1）当时，①写出抛物线的对称轴
；②求抛物线的表达式；（2）存在垂直于x轴的直线分别与直线：和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，结合函数图象，求b的取值
范围．16．（2020·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）的对称轴与x轴交于点P．（1
）求点P的坐标（用含a的代数式表示）；（2）记函数（﹣1≤x≤3）的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，
求a的取值范围．17．（2020·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）经过点A（3，﹣4
）和B（0，2）．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）将抛物线在A、B之间的部分记为图象M（含A、B两点）．将图象M沿直线x=
3翻折，得到图象N．若过点C（9，4）的直线y=kx+b与图象M、图象N都相交，且只有两个交点，求b的取值范围．18．（2020·
北京海淀·二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点，，都成立，则称这个函数是限减函数，在
所有满足条件的中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数，当取值和时，函数值分别为，，故，因此函数是限减函数，它的限减系数为．
（1）写出函数的限减系数；（2），已知（）是限减函数，且限减系数，求的取值范围．（3）已知函数的图象上一点，过点作直线垂直于轴，将
函数的图象在点右侧的部分关于直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数，直接写出点横坐
标的取值范围．参考答案1．D【分析】分，，三种情况讨论，分别求得其函数关系式，利用数形结合的思想即可判断．【详解】∵△ABC是等腰
直角三角形，作BO⊥直线于O，则OA=OB=OC=2，当时，如图：，∴，，开口向上的抛物线；当时，如图：，，，∴，，开口向下的抛物
线；当时，如图：，，，∴，，开口向上的抛物线；综上，前后两段是开口向上的抛物线，中间一段是开口向下的抛物线，只有选项D符合，故选：
D．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是首先正确理解题意，然后根据题意列出函数关系式，最后利用数形结合的思想即可
解决问题．2．A【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．【详解】当x=1时,y1=?(x+1) +2=?
(1+1) +2=?2；当x=2时,y=?(x+1) +2=?(2+1) +2=?7；所以.故选A【点睛】此题考查二次函数顶点式以
及二次函数的性质，解题关键在于分析函数图象的情况3．①②【分析】由m≠0可得点A 不在抛物线上，故可判断①；先根据B，C两点坐标求
出函数关系式，再把D点坐标代入即可判断点D是否在函数图象上；将C、E两点坐标代入，能求出a，m则可判断出C、E均在函数图象上，否则
，则不在函数图象上.【详解】由二次函数知其顶点坐标为（2，m），而m≠0，故（2，0）不在函数图象上，所以，点A不在函数图象上，即
点A一定不在W上，故①正确；把C（-2，4），B（0，-2）代入得，，解得，，∴ 当x=4时，y=-2,所以，点D在函数的图象上，
因此，点B，C，D可以同时在W上，故②正确；把C（-2，4），E（7，0）分别代入得，，解得， ∴ 所以，点C，E可能同时在W上，
故③错误.故答案为：①②.【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，运用待定系数法求二次函数解析式是解答本题的关键.4．<【分析
】化二次函数一般式为顶点式，找到对称轴，根据对称轴的性质，可判断.【详解】解：二次函数化为，对称轴，，，知较离对称轴近，且开口向上
，只有最小值，即离对称轴越近，值越小，可得<.本题的答案是：<【点睛】考查二次函数对称轴的性质.5．（1）点A坐标为(－1，0)，
点B坐标为(3，0)，图像见解析；（2）m≤－2 或m≥1【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线x=1可得＝1，求出m=2，得，求
出与x轴的交点坐标，根据点A在点B左侧即可求得点A，点B的坐标；（2）根据点Q在点D上方或与点D重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公
共点得，结合图象求解即可．【详解】（1）∵抛物线的对称轴为：x＝＝＝1∴m＝2∴抛物线为：将y＝0代入，得 解得：＝－1，＝3，∵
点A在点B左侧?∴点A坐标为(－1，0)，点B坐标为(3，0)，（2）m≤－2 或m≥1将代入，得∴抛物线过定点C（m，3）∵点P
（m，2）∴点P在点C下方，如图，将代入，得，则∴点Q在点D上方或与点D重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点∴整理得设，画图象如
图：当y=0时，，解得，，，∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（1，0）∴当或时，所以，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，m的
取值范围是或．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、
抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．6．（1）2；（2）顶点坐标为；（3）【分析】（1）把代入解析式可得答案；（2）把代
入解析式，利用顶点坐标公式可得答案；（3）分情况讨论，由（2）知：抛物线与线段只有一个交点，再计算当抛物线过时的值，从而根据图像可
得结论．【详解】解：（1）抛物线与y轴交于点，．（2）当时，抛物线为．顶点坐标为． （3）当时，①当时，如图1，抛物线与线段只有一
个公共点．②当时，如图2，抛物线与线段有两个公共点．?结合函数图象可得．当时，抛物线与线段只有一个或没有公共点．综上所述，a的取值
范围是．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，根据交点的情况判断系数的取值范围，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．7．(1
)(1，2)；(2)详见解析；(3)m=3或0 顶点坐标；(2)把x=1代入解析式，总等于2，与无关，即可判断抛物线总经过点A(1，2)；(3)根据题意可以得到点C的坐标，分顶点
在线段BC上、抛物线过点B(0，2)、抛物线过点C(3，2)时三种情况讨论，画出抛物线的图象，然后根据图象和题意，即可得到的取值范
围．【详解】(1)把m=3代入中，得：，∴抛物线的顶点坐标是(1，2)；(2)当x=1时，，∵点A(1，2)，∴抛物线总经过点A；
(3)∵点B(0，2)，由平移得C(3，2)．① 当顶点在线段BC上，抛物线与线段BC只有一个公共点．由(1)知，抛物线的顶点A(
1，2)在线段BC上，此时，m=3； ② 当抛物线过点B(0，2)时，将点B(0，2)代入抛物线表达式，得：，∴m=>0，此时抛物
线开口向上(如图1)，∴当0 达式，得：，∴，此时抛物线开口向下(如图2)，∴当时，抛物线与线段BC只有一个公共点， 综上，m的取值范围是m=3或0 的性质和数形结合的思想解答．8．（1）对称轴；（2）；（3）当或时，抛物线与线段只有一个交点．【分析】（1）直接根据二次函数的对称
轴计算即可；（2）根据，对称轴可得， ，把代入得，则有，可得C点坐标为，再根据平移，可得D纵坐标；（3）分两种情况：当和当对抛物线
的图像进行讨论即可．【详解】（1）抛物线的对称轴为：（2），对称轴可得， 把代入得：∴ ∴C点坐标为，，（3）如图示，①当时将点代
入抛物线得：，结合函数图象，可得当时，抛物线与线段只有一个交点；②如下图示，当时，抛物线的顶点为，结合函数图象，可得当时，抛物线与
线段只有一个交点，∴ ，综上所述，当或时，抛物线与线段只有一个交点．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的对称轴，平移
和二次函数图像的性质，熟悉相关性质是解题得关键．9．（1）A（a，0）；（2）①4；②【分析】（1）根据抛物线顶点坐标求法求解即可
；（2）①画出图像，根据图像以及整点的概念求解即可；②由①推出a＜0，分别求出有2个整点和3个整点时a的取值，再得出取值范围.【详
解】解：（1）∵抛物线的解析式为：，∴可得顶点坐标为：A（a，0）；（2）①∵a=0，∴抛物线表达式为：，令，解得：x1=，x2=
，∵，，∴区域内的整点有（0，1），（0，2），（1，2），（1，3）共4个整点；②由①可知当a=0时有4个整点，当a＞0时，对称
轴在y轴右侧，此时有更多整点，∴a＜0，∵抛物线的解析式为：，∴抛物线的顶点在x轴，开口向上，当抛物线在直线y=x+3左侧且两者相
切时，没有整点，当抛物线向右平移时，第一个整点为（-1，1），代入抛物线，，解得：a=-2或0（舍），第二个整点为（0，2），代入
抛物线，，解得：a=（舍）或，第三个整点为（0，1），代入抛物线，，解得：a=1（舍）或-1，综上：a的取值范围是：.【点睛】本题
考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．10．（1），；（2），或，或【分析】（1）与x轴的交
点纵坐标为0，然后计算时的x值即可求出坐标;根据抛物线的对称轴为求解即可；（2）由抛物线的顶点坐标和抛物线上两点．分a＞0，a＜0
两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1），当y=0时，∴ ∴抛物线与轴交于点．抛物线对称轴为直线：．（2），抛物线的顶点坐
标为：．令，得，，解得，或，∴当时，抛物线上两点．?①当时，抛物线开口向上，顶点位于轴下方，且位于点的右侧，如图1，当点位于点左侧
时，抛物线与线段有公共点，此时，解得．②当时，抛物线开口向下，顶点位于轴上方，点位于点的左侧，（i）如图2，当顶点位于点下方时，抛
物线与线段有公共点，此时，解得．（ii）如图3，当顶点位于点上方，点位于点右侧时，抛物线与线段有公共点，此时，解得．综上，的取值范
围是，或，或．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意利用不等式解决问题，属于二次函数综合题，题目较难．11．
（1）抛物线的对称轴为，；（2）①1个；②．【分析】（1）先根据二次函数的对称轴可得其对称轴，再令，求出y的值，从而可得出点C坐标
；（2）①先得出抛物线的解析式，再画出图象，结合图象和整点的定义即可得；②先将二次函数的解析式化为顶点式，求出其顶点坐标，再结合图
象，找出两个临界位置，分别求出m的值，由此即可得出答案．【详解】（1）抛物线的对称轴为令得：则点C坐标为；（2）①当时，画出其图象
如下所示：结合图象和整点的定义可得：图形W内的整点只有1个，即点；②将抛物线化为顶点式则抛物线的顶点坐标为，且图象经过定点结合图象
可知，若图形W内的整点有2个，则这两个整点只能是因此有两个临界点：抛物线顶点为和抛物线顶点为当抛物线顶点为时，，解得当抛物线顶点为
时，，解得则m的取值范围为．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2）②，掌握图象法，正确找出两个临界位置是解题关键
．12．（1），；（2），；（3）【分析】（1）将直线沿y轴向上平移3个单位长度后得到，并且经过点，代入求得值，且C点为抛物线与y
轴交点，则C点坐标为，也经过C点，代入可求出C点坐标；（2）已知B、C两点的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，再根据顶点
式则可求出顶点坐标；（3）将A、E两点的坐标分别代入抛物线的解析式即可求出相应的值，通过观察图象，上下移动图象即可求出抛物线与线段
AE有一个公共点时的范围．【详解】（1）解：将直线沿y轴向上平移3个单位长度后得到，∵直线经过点，∴，则．C点为抛物线与y轴交点，
则C点坐标为，且经过点，代入得：，则C点坐标为．（2）解：抛物线经过点和点，∴，∴，，∴抛物线的函数表达式为，∴，∴顶点D的坐标为
． （3）解：∵点E是点D关于原点的对称点，∴点E的坐标为．当经过点时，，则，当经过点时，，则，结合下面图象可知a的取值范围是．【
点睛】本题考查了一次函数、二次函数的解析式和图像等知识点，熟练掌握函数的性质、图象及公式是解题的关键．13．（1）；（2）a的取值
范围是或a=；（3）．【分析】（1）将B点坐标代入抛物线即可求出的值，从而求出抛物线的解析式，再根据顶点坐标公式即可求出顶点坐标；
（2）讲A点和B点的坐标分别代入抛物线解析式即可求出相应的值，通过观察图象，上下移动图象即可知道抛物线与线段AB有交点时的范围；（
3）抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，当时，越来越大，则的x的最大值为3，可知，当时，，代入即可求出的值．【详解】解：（1）依据题
意，将得点B的坐标代入抛物线得：，解得．此时，．所以顶点C的坐标为． （2）当抛物线过时，，此时，．当抛物线过时，，此时，．当抛物
线顶点在线段AB上时，a= .结合下面图象可知，a的取值范围是或a=．? （3）抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，当时，越来越大，
则的x的最大值为3，可知，当时，不等式有最大值且最大值为0，则 ，代入得，解得．则实数的值为8．【点睛】本题考查了二次函数的解析式
、图象及二次函数与一元二次不等式的相关知识点，熟练掌握公式以及灵活观察图象是解题的关键．14．（1）点B的坐标为． ． （2）或．
【分析】（1）令x=0可求出y的值，从而得到点B的坐标；把点A坐标代入求出m的值即可得到结论；（2）画出函数图象，再利用图象确定a
的取值范围即可.【详解】（1）∵的图象与y轴交于点B，∴点B的坐标为． ∵的图象与x轴交于点，∴将代入可得．∴．∴该函数的表达式为
． （2）∵将二次函数的图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为F，∴F的端点为A，B，并经过抛物线的顶点C（其中C点坐标为）
．∴可画F如图1所示．∵二次函数的图象的对称轴为，且与F只有一个公共点，∴可分别把A，B，C的坐标代入解析式中．∴可得三个a值分别
为，3，5．画示意图如图2所示．∴结合函数图象可知：二次函数的图象与F只有一个公共点时，a的取值范围是或．【点睛】本题考查的是二次
函数知识的综合运用，其中（2）是本题的难点，主要通过作图的方式，通过数形结合的方法即可解决问题．15．（1）①；②；（2）或．【分
析】（1）①由二次函数的对称轴方程可得出答案；②根据题意求出B点坐标为（2，0），代入抛物线解析式可得出答案；（2）求出E（-，0
），点D的坐标为（-，0）．①当b＞0时，得出点A的坐标为（-2b，0），点B的坐标为（b，0），则-2b＜-，解不等式即可；②当
b＜0时，点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（-b，0），则0＜-，解出b＜-2．【详解】解：（1）当时，化为．①．②∵抛物线的
对称轴为直线，∴点D的坐标为（-1，），OD=1．∵OB=2OD，∴ OB=2．∵点A，点B关于直线对称，∴点B在点D的右侧．∴
点B的坐标为（，）．∵抛物线与x轴交于点B（，），∴ ．解得．∴抛物线的表达式为．（2）设直线与x轴交点为点E，当y=0时，∴ ∴
E（，0）．抛物线的对称轴为，∴点D的坐标为（，）．①当时，．∵OB=2OD，∴ OB=b．∴ 点A的坐标为（，），点B的坐标为
（b，）．当<时，存在垂直于x轴的直线分别与直线：和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，解得．②当时，．∴ ．∵OB=2O
D，∴ OB=-b．∵抛物线与x轴交于点A，B，且A在B的左侧，∴ 点A的坐标为（，），点B的坐标为（-b，）．当0<时，存在垂直
于x轴的直线分别与直线：和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，解得b<-2．综上，b的取值范围是或．【点睛】本题考查了二次
函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．16．（1）点P
的坐标是（a，0）；（2）或0＜a＜1或.【分析】（1）根据二次函数对称轴公式即可求解；（2）根据题意作图，分情况讨论即可求解.【
详解】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2a2x的对称轴是直线，∴点P的坐标是（a，0）；（2）由题意可知图形M为线段AB，A（﹣1，3
），B（3，0）．当抛物线经过点A时，解得或a＝1；当抛物线经过点B时，解得． 如图1，当时，抛物线与图形M恰有一个公共点．如图2
，当a＝1时，抛物线与图形M恰有两个公共点．如图3，当时，抛物线与图形M恰有两个公共点．结合函数的图象可知，当或0＜a＜1或时，抛
物线与图形M恰有一个公共点．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌二次函数图象性质是解题的关键．17．（1）y=﹣2x2
+4x+2，顶点坐标为（1，4）；（2）﹣8＜b＜﹣2或b=4．【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，列出关于a、c的方
程组，通过解该方程可以求得它们的值．由函数解析式求得顶点坐标；（2）根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．【详解】（1）∵抛物
线y=ax2+4x+c（a≠0）经过点A（3，﹣4）和B（0，2），可得：解得：∴抛物线的表达式为y=﹣2x2+4x+2．∵y=﹣
2x2+4x+2=﹣2（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4）；（2）设点B（0，2）关于x=3的对称点为B’，则点B’（6，2）
．若直线y=kx+b经过点C（9，4）和B''（6，2），可得b=﹣2．若直线y=kx+b经过点C（9，4）和A（3，﹣4），可得b
=﹣8．直线y=kx+b平行x轴时，b=4． 综上，﹣8＜b＜﹣2或b=4．【点睛】考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式．解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化．18．（1）2；（2）（3）【分析】根据题目中限减函数以及限减系数的定义分析即可.若，则，（，）和（，）是函数图象上两点，，与函数的限减系数不符，接下来分和两种情况进行讨论即可.首先写出翻折后新函数的函数解析式，根据限减函数的定义进行判定即可.【详解】解：（1）函数的限减系数是2；?（2）若，则，（，）和（，）是函数图象上两点，，与函数的限减系数不符，∴． 若，（，）和（，）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则，，∵，且，∴，与函数的限减系数不符.∴．?若，（，）和（，）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则，，∵，且，∴，当时，等号成立，故函数的限减系数．∴的取值范围是．?（3）设P（n，?n2），则翻折后的抛物线的解析式为y＝x2?2n2，对于抛物线y＝?x2，（m?1，?（m?1）2），（m，?m2）是抛物线图象上两点，由题意：?m2＋m2?2m＋1≥?1，解得m≤1，对于抛物线y＝x2?2n2，（m，m2?2n2），（m＋1，（m＋1）2?2n2）是抛物线图象上两点，由题意：（m＋1）2?2n2?（m2?2n2）≥?1，解得m≥?1，∴满足条件的P点横坐标n的取值范围：?1≤n≤1．【点睛】属于新定义问题，读懂题目中限减函数以及限减系数的定义是解题的关键. 1 / 1 |
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