2020北京大峪中学初三（上）期中数 学一、选择题（本题共48分，每小题4分）1．（4分）如果，那么比例式中正确的是 A．B．C．D．2．
（4分）如图，在中，点、分别在、边上，，若，，，则的长是 A．8B．6C．4D．33．（4分）抛物线的顶点坐标是 A．B．C．D．
4．（4分）点，是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是 A．B．C．D．不能确定5．（4分）把抛物线向右平移 3 个单位，
再向下平移 2 个单位， 得到抛物线 A ．B ．C ．D ．6．（4分）某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天
的销售量（件与每件的销售价（元）满足关系：．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，列方程为 ）A．B．C．
D．7．（4分）如图，从热气球处测得地面、两点的俯角分别为、，如果此时热气球处的高度为，点、、在同一直线上，，则、两点的距离是 A
．B．C．D．8．（4分）在平面直角坐标系中，点，点的位置如图所示，抛物线经过，，则下列说法不正确的是 A．抛物线的开口向上B．抛
物线的对称轴是直线C．点在抛物线对称轴的左侧D．抛物线的顶点在第四象限9．（4分）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的
是 A．B．C．D．10．（4分）如图，在中，，，，于点，那么的值是 A．B．C．D．11．（4分）如图，二次函数的图象经过点，，
．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当时，取最大值；③当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根；④直线经过点，，当时，的
取值范围是；其中推断正确的是 A．①②B．①③C．①③④D．②③④12．（4分）如图，中，，正方形的顶点、分别在、边上，设的长度为
，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是 A．B．C．D．二、填空题（本题共32分，每小题4分）13．（
4分）请写出一个开口向上，并且与轴交于点的抛物线的解析式 ．14．（4分）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，、在轴上，若
四边形为矩形，则它的面积为 ．15．（4分）如图，在中，，分别是，边上的中点，连接，那么与的面积之比是 ．16．（4分）点、在二
次函数的图象上，则与的大小关系是 ．（用“”、“ ”、“ ”填空）17．（4分）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如
果物体的高度为，那么它在暗盒中所成的像的高度应为 ．18．（4分）北京紫禁城是中国古代汉族宫廷建筑之精华．经测算发现，太和殿，
中和殿，保和殿这三大殿的矩形宫院（北至保和殿，南至太和门，西至弘义阁，东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域为相似形．
若比较宫院与台基之间的比例关系，可以发现接近于，取“九五至尊”之意．根据测量数据，三大殿台基的宽为40丈，请你估算三大殿宫院的宽为
丈．19．（4分）如图，已知正方形的三个顶点坐标分别为，，．若抛物线与正方形的边共有3个公共点，则的取值范围是 ．20．（4分
）如图，点是抛物线对称轴上的一点，连接，以为旋转中心将逆时针旋转得到，当恰好落在抛物线上时，点的坐标为 ．三、解答题（本题共7
0分，第21-25题，每小题0分：第26-28题，每小题0分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.21．码头工人每天往一艘轮船
上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为（单位：吨天），卸货天数为．（1）直接写出关
于的函数表达式： ；（不需写自变量的取值范围）（2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？22．已知：如图，在中，
是上一点，是上一点，且．（1）求证：；（2）若，，，求的长．23．若二次函数的与的部分对应值如下表：00343（1）求此二次函数的
解析式；（2）画出此函数图象（不用列表）．（3）结合函数图象，当时，写出的取值范围．24．小左同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如
图，她在某一时刻立一长度为1米的标杆，测得其影长为0.8米，同时旗杆投影的一部分在地上，另一部分在某一建筑物的墙上，测得旗杆与建筑
物的距离为10米，旗杆在墙上的影高为2米，请帮小左同学算出学校旗杆的高度．25．已知二次函数．（1）求证：抛物线与轴必有两个交点；
（2）抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，若的面积是，求抛物线的解析式．26．悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂
并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁．其缆索几何形状一般近似于抛物线．从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂
直于桥面），把桥面吊住．某悬索桥（如图，是连接两个地区的重要通道．图2是该悬索桥的示意图．小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥
所吸引．他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相
同，即，两个索塔均与桥面垂直．主桥的长为，引桥的长为．缆索最低处的吊杆长为，桥面上与点相距处的吊杆长为．若将缆索的形状视为抛物线，
请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端与锚点的距离．27．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，直线与图象
交于点，与轴交于点．（1）求的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象在点，之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）为．
①当时，直接写出区域内的整点个数；②若区域内恰有4个整点，结合函数图象，求的取值范围．28．定义：对于平面直角坐标系上的点和抛物线
，我们称是抛物线的相伴点，抛物线是点的相伴抛物线．如图，已知点，，．（1）点的相伴抛物线的解析式为 ；过，两点的抛物线的相伴点坐标
为 ；（2）设点在直线上运动：①点的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式；②当点的相伴抛物线的顶点落在内部时，请直
接写出的取值范围．参考答案一、选择题（本题共48分，每小题4分）1．【分析】先逆用比例的基本性质，把改写成比例的形式，使相乘的两个
数和3做比例的外项，则相乘的另两个数和2就做比例的内项；进而判断得解．【解答】解：，，，即，故，均错误，正确，错误．故选：．【点评
】本题主要考查了比例的性质，解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：内项之积等于外项之积．本题也可以将各选项中的比例式化为等
积式进行判断．2．【分析】根据题意知两平行线间的线段成比例，据此可以求得的长度，所以．【解答】解：，，；又，，，，；故选：．【点评
】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．解题时，需要根据图示求得的长度．3．【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．【
解答】解：是抛物线的顶点式，抛物线的顶点坐标为．故选：．【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的三种形式是解题的关键
．4．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把点和点坐标代入反比例函数解析式可计算出，，从而可判断它们的大小．【解答】解：，是
反比例函数图象上的两点，，，．故选：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点
的横纵坐标的积是定值，即；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称．5．【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶
点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为，平移后抛物线的顶点为，新抛物线解析
式为，故选：．【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破
点．6．【分析】一天的利润（售价进价）销售量，把相关数值代入即可．【解答】解：每件商品的利润为元，可售出件，根据每天的利润为200
元可列的方程为，故选：．【点评】考查列一元二次方程；得到一天的利润的等量关系是解决本题的关键．7．【分析】先根据从热气球处测得地面
、两点的俯角分别为、可求出与的度数，再由直角三角形的性质求出与的长，根据即可得出结论．【解答】解：从热气球处测得地面、两点的俯角分
别为、，，，，，是等腰直角三角形，，在中，，，，．故选：．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定
义是解答此题的关键．8．【分析】由于抛物线的常数项为0，所以图象经过原点，根据对称轴为直线，可知抛物线开口向上，点在对称轴的右侧，
顶点在第四象限．【解答】解：，时，，图象经过原点，又对称轴为直线，抛物线开口向上，点在对称轴的右侧，顶点在第四象限．即、、正确，错
误．故选：．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点坐标是，，对称轴是直线．当时，抛物线的开口向上，时，随的增大而减
小；时，随的增大而增大；时，取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当时，抛物线的开口向下，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时
，取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．9．【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行
分析，从而得到最后答案．【解答】解：，，都可判定选项中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：．【点评】此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似
；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．10．【分析】首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利
用锐角三角函数关系即可求出的值．【解答】解：在中，，，，，，，，，，．故选：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系的定义，得出是
解题关键．11．【分析】结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案．【解答
】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确；②若当时，取最大值，则由于点和点到的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点和
点纵坐标显然不相等，所以②错误，从而排除掉和；剩下的选项中都有③，所以③是正确的；易知直线经过点，，当时，的取值范围是或，从而④错
误．故选：．【点评】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系，属于较复杂的二次
函数综合选择题．12．【分析】分类讨论：当时，根据正方形的面积公式得到；当时，交于，交于，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直
角三角形的面积得到，配方得到，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：当时，，当时，交于，交于，如图，，则，中，，为等
腰直角三角形，，，，，，故选：．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分
析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了等腰直角三角形的性质．二、填空题（本题共32分，每小题
4分）13．【分析】抛物线开口向上，二次项系数大于0，然后写出即可．【解答】解：抛物线的解析式为．故答案为：（答案不唯一）．【点评
】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写函数解析式的二次项系数一定要大于0．14．【分析】根据双曲线上的点向坐标轴
作垂线所围成的矩形的面积与的关系：即可判断．【解答】解：延长交轴于，轴，垂直于轴，点在双曲线上，四边形的面积为1，点在双曲线上，且
轴，四边形的面积为3，矩形的面积为．故答案为：2．【点评】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，
所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．15．【分析】根据三角形中位线
定理得出，，进而得出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案．【解答】解：，分别是，边上的中点，是的中位线，，，，，故答
案为：．【点评】考查三角形的中位线的性质，相似三角形的判定和性质，掌握三角形中位线的性质相似三角形的性质是正确解答的前提．16．【
分析】分别计算自变量为、1时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当时，；当时，；，，故答案为．【点评】本题考查了二次函
数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．17．【分析】正确理解小孔成像的原理，因为所以，
则有而的值已知，所以可求出．【解答】解：，又，．故答案为：8．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，相似比等于对应高之比在相似中
用得比较广泛．18．【分析】设三大殿宫院的宽为丈，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：设三大殿宫院的宽为丈，由题
意得，，解得，丈，故答案为：72．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．19．【分析】
由于函数的图象为开口向上，顶点在轴上的抛物线，因为、点为抛物线与与正方形有有3个公共点的临界点，代入求出即可得解．【解答】解：函数
的图象为开口向上，顶点在轴上的抛物线，其图象与正方形的边若有两个公共点为点和点，把点坐标代入，得；把点坐标代入，得．抛物线与正方形
的边共有3个公共点，则的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查二次函数图象与正方形交点的问题，需要先判断抛物线的开口方向，顶点位
置及抛物线与正方形二者的临界交点，需要明确临界位置及其求法．20．【分析】根据抛物线对称轴解析式设点坐标为，作轴于点，作直线，证△
得、，则点坐标为，将点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程，解之可得的值，即可得答案．【解答】解：抛物线对称轴为直线，设点坐标为，如
图，作轴于点，作直线，，，，，又，，在和△中，，△，，，则点坐标为，代入得：，解得：或，点坐标为或，故答案为：或．【点评】本题考查
了坐标与图形的变换旋转，全等三角形的判定与性质，函数图形上点的特征，根据全等三角形的判定与性质得出点的坐标是解题的关键．三、解答题
（本题共70分，第21-25题，每小题0分：第26-28题，每小题0分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.21．【分析】（1
）根据题意可以写出关于的函数表达式；（2）将代入（1）中的函数解析式即可解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，关于的函数表达式：
，故答案为：；（2）由题意可得，当时，，答：平均每天要卸载48吨．【点评】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用
反比例函数的性质解答．22．【分析】（1）根据有两对角相等的两个三角形相似证明即可．（2）由（1）中的相似三角形可得关于的比例式，
代入已知数据计算即可求出的长．【解答】（1）证明：，，；（2），，，，，，．【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除
了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中
把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．23．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到抛物线的顶点
坐标为，则可设顶点式，然后把代入求出的值即；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）观察函数函数图象，当时，函数的最大值为4，于是可
得到的取值范围为．【解答】解：（1）由表知，抛物线的顶点坐标为，设，把代入得，解得，抛物线的解析式为，即；（2）如图，（3）当时，
．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系
式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时
，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．24．【分析】
先求出墙上的影高落在地面上时的长度，再设旗杆的高度米，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出的值即可．【解答】解：设墙上的影高
2米落在地面上时的长度为米，旗杆的高度为米，某一时刻测得长为1米的竹竿影长为0.8米，墙上的影高为2米，，解得（米，树的影长为：（
米，，解得（米．答：学校旗杆的高度14.5米．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是正确求出旗杆的影长，这是此题的
易错点．25．【分析】（1）抛物线与轴有两个交点，通过证明判别式△即可；（2）根据题意可得，，根据三角形面积即可得到的值，从而得到
抛物线的表达式；【解答】解：（1）根据题意有：△，，△，所以抛物线与轴必有两个交点．（2）由知对称轴，时，，；时，，点在点的左侧，
，，的面积是，，解得，故抛物线的表达式为．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关
于的一元二次方程；△决定抛物线与轴的交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．也
考查了三角函数的定义．26．【分析】建立平面直角坐标系并求得函数的解析式，令求得的长，然后利用勾股定理求得的长即可．【解答】解：如
图所示建立平面直角坐标系．依题意可知，，，，，，，，，．由抛物线的对称性可知，．则可得点坐标：，，．设抛物线的表达式为，因为抛物线
经过点，所以将点的坐标代入得．解得，得抛物线的表达式为，当时，得，因为，所以．所以．答：索塔顶端与锚点的距离为155米．【点评】考
查了二次函数的性质，解题的关键是建立适当的平面直角坐标系并求得函数的解析式，难度中等．27．【分析】（1）把代入中可得的值；（2）
直线的解析式为：，可知直线与平行，①将时代入可得：直线解析式为，画图可得整点的个数；②分两种情况：直线在的下方和上方，画图根据区域
内恰有4个整点，确定的取值范围．【解答】解：（1）把代入得；（2）①当时，直线解析式为，解方程得（舍去），，则，，而，如图1所示，
区域内的整点有，，，有3个；②如图2，直线在的下方时，当直线过时，，且经过，区域内恰有4个整点，的取值范围是．如图3，直线在的上方时，点在函数的图象，当直线过时，，当直线过时，，区域内恰有4个整点，的取值范围是．综上所述，区域内恰有4个整点，的取值范围是或．【点评】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．28．【分析】（1），故抛物线的表达式为：，故答案为：；将点、坐标代入并解得：，；（2）①直线的表达式为：，设点，则抛物线的表达式为：，顶点为：，，即可求解；②如图所示，抛物线落在内部为段，即可求解．【解答】解：（1），故抛物线的表达式为：，故答案为：；将点、坐标代入并解得：，，故答案为：；（2）①由点、的坐标得，直线的表达式为：，设点，则抛物线的表达式为：，顶点为：，，令，则，则，即抛物线的解析式为：；②如图所示，抛物线落在内部为段，抛物线与直线的交点为点；当时，即，解得：，故点，；故，由①知：，故：．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解． 1 / 1 |
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