2020北京丰台初三（上）期末数学备考训练二次函数（教师版）一．选择题（共12小题）1．将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+
k的形式为（ ）A．y＝（x﹣4）2+1B．y＝（x﹣4）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2﹣3【分析】先提出二
次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y＝x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）+1
﹣4＝（x﹣2）2﹣3．所以把二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2﹣3．故选：C．【点评
】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）
顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜
0，b＜0，c＞0【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．
【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c
＞0，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开
口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号
时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交
于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有
1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．3．将抛物线y＝x2向上平移2个单位后，所得的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝x2+2B．y＝x2﹣2C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2【分析】求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写
出即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2向上平移2个单位后的顶点坐标为（0，2），∴所得抛物线的解析式为y＝x2+2．故选：A．【点评
】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移确定抛物线函数图象的变化更简便．4．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分
点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…有以下几个结论：①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下；②
抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞
2；其中正确的是（ ）A．①④B．②④C．②③D．③④【分析】根据表格中的x、y的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二
次函数的图形与性质求解可得．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将（﹣1，3）、（0，0）、（3，3）代入得：，解
得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1，由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故①错误；抛物线的对称轴为
直线x＝1，故②错误；当y＝0时，x（x﹣2）＝0，解得x＝0或x＝2，∴方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，故③正确；当y＞0
时，x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2，故④正确；故选：D．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数
法求函数解析式及二次函数的图象和性质．5．把二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（ ）A
．y＝（x+1）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x﹣1）2+5D．y＝（x﹣1）2+3【分析】利用配方法整理即可得解．【解
答】解：y＝x2﹣2x+4，＝x2﹣2x+1+3，＝（x﹣1）2+3．故选：D．【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）
一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x
﹣x1）（x﹣x2）．6．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，
﹣3）【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．【解答】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线
的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y
＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h．7．二次函数y＝﹣（x﹣3）2+1的最大值为（ ）A．1B．﹣1C．
3D．﹣3【分析】因为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y＝﹣（x﹣3）2+1最值．【解答】解：
∵二次函数y＝﹣（x﹣3）2+1是顶点式，∴顶点坐标为（3，1），函数的最大值为1，故选：A．【点评】考查了二次函数的性质，顶点式
y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，此题考查了学生的应用能力．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x
2经过平移得到抛物线y＝x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）A．2B．4C．8D．16【分析】根据抛物
线解析式计算出y＝的顶点坐标，过点C作CA⊥y轴于点A，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积，然后求解即可．
【解答】解：过点C作CA⊥y，∵抛物线y＝＝（x2﹣4x）＝（x2﹣4x+4）﹣2＝（x﹣2）2﹣2，∴顶点坐标为C（2，﹣2），
对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2＝4，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的
抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．9．对于抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3，下列说法正确的是（ ）A．
开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）D．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）【
分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x＝h，顶点坐标是（h，k
）．抛物线的开口方向有a的符号确定，当a＞0时开口向上，当a＜0时开口向下．【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3，∴a＜0，
∴开口向下，∴顶点坐标（5，3）．故选：A．【点评】本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标，开口方向的考查，是中考中经常出现
的问题．10．将抛物线y＝3x2向下平移1个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（ ）A．y＝3x2+1B．y＝3x2﹣1C
．y＝3（x+1）2D．y＝3（x﹣1）2【分析】抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），向下平移1个单位得到新的抛物线顶点坐标为
（0，﹣1），由此可求新抛物线的解析式．【解答】解：依题意得，平移后抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），∴新抛物线解析式为y＝3x2﹣
1．故选：B．【点评】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，确定抛物线解析式．11．抛物线y＝（x﹣1）
（x+3）的对称轴是直线（ ）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝﹣3D．x＝3【分析】求这种形式的二次函数的对称轴，可以首先求出图象
与x轴的交点坐标后，再得出对称轴．【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）（x+3）与x轴的交点坐标求法是：0＝（x﹣1）（x+3），这样
可以求出（1，0），（﹣3，0）；这两点的中点既是对称轴经过的一个点，所以可得到对称轴是：x＝﹣1故选：B．【点评】此题主要考查了
二次函数对称轴的求法，形式较特殊，应注意解题的技巧．12．将抛物线y＝2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A．y＝2（x
+1）2B．y＝2（x﹣1）2C．y＝2x2+1D．y＝2x2﹣1【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．【解答】解：将抛物线y
＝2x2向下平移1个单位抛物线变为y＝2x2﹣1．故选D．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减
．二．填空题（共6小题）13．二次函数y＝2（x﹣1）2﹣5的最小值是 ﹣5 ．【分析】由二次函数的定顶点式可得当x＝1时，y取得
最小值﹣5．【解答】解：∵y＝2（x﹣1）2﹣5，∴当x＝1时，y取得最小值﹣5，故答案为：﹣5．【点评】本题考查二次函数的最值，
熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．14．请写出一个符合以下三个条件的二次函数的解析式： y＝﹣x2+ ．①过点（1，1）；②当x
＞0时，y随x的增大而减小；③当自变量的值为3时，函数值小于0．【分析】设解析式为：y＝ax2+b，根据该函数的增减性确定其与x轴
交点的取值，然后代入已知点后即可求得其解析式．【解答】解：∵当x＜0时，y随x的增大而增大，∴设解析式为：y＝ax2+b，∵函数过
点（1，1），∴a+b＝1…①，∵当自变量的值为3时，函数值小于0．∴设当x＝2时，y＝0，∴4a+b＝0…②，由①②知可a＝﹣，
b＝，∴函数的解析式为：y＝﹣x2+．答案为y＝﹣x2+．【点评】此题是一道开放性题，主要考查二次函数的基本性质，函数的增减性及用
待定系数法来确定函数的解析式．15．关于x的二次函数y＝x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次
函数的表达式： y＝x2﹣3x+1答案不唯一 ．【分析】与y轴的交点在x轴的上方即常数项大于0，据此求解．【解答】解：∵关于x的二
次函数y＝x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，∴k﹣2＞0，解得：k＞2，∴答案为：y＝x2﹣3x+1答案不唯一．【
点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解与y轴的交点在x轴的上方即常数项大于0．16．将抛物线y＝2x2先沿x轴方向向左平
移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位，所得抛物线的解析式是 y＝2x2+8x+5 ．【分析】变化规律：左加右减，上加下减．【解
答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，向左平移2个单位，将抛物线y＝2x2先变为y＝2（x+2）2，再沿y轴方向向下平移3个单
位抛物线y＝2（x+2）2，即变为：y＝2（x+2）2﹣3．故所得抛物线的解析式是：y＝2x2+8x+5．【点评】考查了抛物线的平
移以及抛物线解析式的性质．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），x与y的部分对应值如下表，则当x＝ 0 或
2 时，y＝0．【分析】由表格可知，（0，0），（2，0）是抛物线上两对称点，可求对称轴x＝1，再利用对称性求出y＝0时，横坐标的
值．【解答】解：观察表格可知，当x＝0或2时，y＝0．【点评】观察二次函数的对应值的表格，关键是寻找对称点，顶点坐标及对称轴，与x
轴（y轴）的交点，确定二次函数的解析式．18．如图，⊙O的半径为2，C1是函数的的图象，C2是函数的的图象，C3是函数的y＝x的图
象，则阴影部分的面积是 ．【分析】根据抛物线和圆的性质可以知道，图中阴影部分的面积就等于圆心角为120°，半径为2的扇形的面积，
然后用扇形面积公式可以求出阴影部分的面积．【解答】解：抛物线y＝x2与抛物线y＝﹣x2的图形关于x轴对称，直线y＝x与x轴的正半轴
的夹角为45°，根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为135°，半径为
2，所以：S阴影＝＝π．故答案是：π．【点评】本题考查的是二次函数的综合题，题目中的两条抛物线关于x轴对称，圆也是一个对称图形，可
以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为135°，半径为2的扇形的面积，用扇形面积公式计算可以求出阴影部分的面积．三．解答题（共32小
题）19．函数y＝mx2﹣2mx﹣3m是二次函数．（1）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝ ﹣1 ；（2）在给
定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．【分析】（1）由抛物线与y轴交于（0，3），将x＝0，y＝3代入抛物线解析式，即可求出m的
值；（2）由（1）求得解析式，配方后找出顶点坐标，根据确定出的解析式列出相应的表格，由表格得出7个点的坐标，在平面直角坐标系中描出
7个点，然后用平滑的曲线作出抛物线的图象．【解答】解：（1）∵该函数的图象与y轴交于点（0，3），∴把x＝0，y＝3代入解析式得：
﹣3m＝3，解得m＝﹣1，故答案为﹣1；（2）由（1）可知函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）
2+4，∴顶点坐标为（1，4）；列表如下：x﹣2﹣101234y﹣503430﹣5描点；画图如下：【点评】此题考查了待定系数法确定
函数解析式，函数图象的画法，以及二次函数的图象上点的坐标特征．20．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈
也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：（1）如果在三月份出售这种植物，单株获
利 1 元；（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利＝单株售价﹣单株成本）【分
析】（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5﹣4＝1（元），即可求解；（2）点（3，5）、（
6，3）为一次函数上的点，求得直线的表达式为：y1＝﹣x+7；同理，抛物线的表达式为：y2＝﹣（x﹣6）2+1，故：y1﹣y2＝﹣
x+7+（x﹣6）2﹣1＝﹣（x﹣5）2+，即可求解．【解答】解：（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，
则每株获利为5﹣4＝1（元），故：答案为1；（2）设直线的表达式为：y1＝kx+b（k≠0），把点（3，5）、（6，3）代入上式得
：，解得：，∴直线的表达式为：y1＝﹣x+7；设：抛物线的表达式为：y2＝a（x﹣m）2+n，∵顶点为（6，1），则函数表达式为：
y2＝a（x﹣6）2+1，把点（3，4）代入上式得：4＝a（3﹣6）2+1，解得：a＝，则抛物线的表达式为：y2＝（x﹣6）2+1
，∴y1﹣y2＝﹣x+7﹣（x﹣6）2﹣1＝﹣x2+x﹣6，∵﹣＜0，∴x＝5时，函数取得最大值，故：5月销售这种多肉植物，单株获
利最大．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建
立函数模型，然后结合实际选择最优方案．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0）．（1）求抛物
线的对称轴；（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值
范围．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征代入点A的坐标，得出b＝4a，则解析式为y＝ax2+4ax+3a，进一步求得抛物线的对
称轴；（2）结合图形，分两种情况：①a＞0；②a＜0；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣
1，0），∴a﹣b+3a＝0，∴b＝4a，∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax+3a，∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣2；（2）∵直线
y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C，∴B（0，4），C（﹣2，2），∵抛物线y＝ax2+bx+3a经过点A（﹣1，
0）且对称轴x＝﹣2，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（﹣3，0），①a＞0时，如图1，将x＝0代入抛物线得y＝3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴3a≥4，解得a≥，②a＜0时，如图2，将x＝﹣2代入抛物线得y＝﹣a，∵抛物线与线段BC恰有
一个公共点，∴﹣a≥2，解得a≤﹣2；综上所述，a≥或a≤﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是
熟练掌握解一元一次不等式，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解
决问题．22．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）用配方法将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角
坐标系xOy中画出该函数的图象；（3）当0≤x≤3时，y的取值范围是 ﹣1≤y≤3 ．【分析】（1）运用配方法把一般式化为顶点式；
（2）根据函数图象的画法画出二次函数图象即可；（3）运用数形结合思想解答即可．【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣
1；（2）这个二次函数的图象如图：（3）当0≤x≤3时，﹣1≤y≤3．故答案为﹣1≤y≤3．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式
、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水
流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的
距离．【分析】建立以BC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴的直角坐标系，根据顶点P（1，3.6）设其解析式为y＝a（x﹣1）2+3
.6，把A（0，2）代入求得a的值，据此可得其函数解析式，再求得y＝0时x的值可得答案．【解答】解：如图，以BC所在直线为x轴、A
B所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意知，抛物线的顶点P的坐标为（1，3.6）、点A（0，2），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）
2+3.6，将点A（0，2）代入，得：a+3.6＝2，解得：a＝﹣1.6，则抛物线的解析式为y＝﹣1.6（x﹣1）2+3.6，当y
＝0时，有﹣1.6（x﹣1）2+3.6＝0，解得：x＝﹣0.5（舍）或x＝2.5，∴BC＝2.5，答：水流的落地点C到水枪底部B的
距离为2.5m．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是结合题意建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解
．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（2，3），对称轴为直线x＝1．（1）求抛物线的表达式；（2）如
果垂直于y轴的直线l与抛物线交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜0，x2＞0，与y轴交于点C，求BC﹣AC的值；
（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一点P平移后对应点为点Q，如果OP＝OQ，直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）将点（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，可得﹣4+2b+c＝3，根据对称轴为直线x＝1，得出＝1，把两个方程联立得到
二元一次方程组，求解得出抛物线的表达式；（2）设直线l与对称轴交于点M，根据抛物线的对称性得出BM＝AM．那么BC﹣AC＝BM+M
C﹣AC＝AM+MC﹣AC＝2MC＝2；（3）先利用配方法求出原抛物线的顶点为（1，4），根据上下平移横坐标不变，纵坐标相加减得出
新抛物线的顶点为（1，0）．再设点P的坐标为（x，y），则y＝﹣x2+2x+3，点Q的坐标为（x，y﹣4），根据OP＝OQ列出方程
进而求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（2，3），对称轴为直线x＝1，∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝
﹣x2+2x+3；（2）如图，设直线l与对称轴交于点M，则BM＝AM．∴BC﹣AC＝BM+MC﹣AC＝AM+MC﹣AC＝2MC＝2
；（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点为（1，4），∵将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，∴新
抛物线的顶点为（1，0），∴将原抛物线向下平移4个单位即可．设点P的坐标为（x，y），则y＝﹣x2+2x+3，点Q的坐标为（x，y
﹣4），则y＞y﹣4．∵OP＝OQ，∴x2+y2＝x2+（y﹣4）2，∴y2＝（y﹣4）2，∵y＞y﹣4，∴y＝﹣（y﹣4），∴y
＝2，∴y﹣4＝﹣2，当y＝2时，﹣x2+2x+3＝2，解得x＝1±，∴点Q的坐标为（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2）．【点评】本题是
二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的性质，二次函数图象与几何变换，函数图象上点的坐标特征，两点间的
距离公式等知识，正确求出抛物线的解析式是解题的关键．25．已知二次函数y＝﹣x2+x+c的图象与x轴只有一个交点．（1）求这个二次
函数的表达式及顶点坐标；（2）当x取何值时，y随x的增大而减小．【分析】（1）二次函数y＝﹣x2+x+c的图象与x轴只有一个交点，
可知△＝0，解方程即可解决问题．（2）根据二次函数的增减性即可解决问题．【解答】解：（1）由题意得△＝1+4c＝0，∴c＝﹣，∴y
＝﹣x2+x﹣，∵当x＝﹣＝时，y＝0，∴顶点坐标为（，0）．（2）∵a＝﹣1＜0，开口向下，∴当x＞时，y随x的增大而减小．【点
评】本题考查二次函数与x轴的交点、待定系数法、二次函数的性质等知识，解题的关键是记住△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点
；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．26．青青书店购进了一批单价为20
元的中华传统文化丛书．在销售的过程中发现，这种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣3x+108（2
0＜x＜36）．如果销售这种图书每天的利润为p（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？【分析】根据“
总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式可得最值情况．【解答】解：p＝（x﹣20）（﹣3x+108）＝﹣3x2+1
68x﹣2160＝﹣3（x﹣28）2+192，∵20＜x＜36，且a＝﹣3＜0，∴当x＝28时，y最大＝192．答：销售单价定为2
8元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意找到相等关系列出函数解析式是解题的关键
．27．已知抛物线G1：y＝a（x﹣h）2+2的对称轴为x＝﹣1，且经过原点．（1）求抛物线G1的表达式；（2）将抛物线G1先沿x
轴翻折，再向左平移1个单位后，与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，求A点的坐标；（3）记抛物线在点A，C
之间的部分为图象G2（包含A，C两点），如果直线m：y＝kx﹣2与图象G2只有一个公共点，请结合函数图象，求直线m与抛物线G2的对
称轴交点的纵坐标t的值或范围．【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求得；（3）求出直线y
＝kx﹣2的解析式，再结合图象和点的坐标即可得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线G1：y＝a（x﹣h）2+2的对称轴为x＝﹣1，∴
y＝a（x+1）2+2，∵抛物线y＝a（x+1）2+2经过原点，∴a（0+1）2+2＝0．解得 a＝﹣2，∴抛物线G1的表达式为y
＝﹣2（x+1）2+2＝﹣2x2﹣4x；（2）由题意得，抛物线G2的表达式为y＝2（x+1+1）2﹣2＝2x2+8x+6．∴当y＝
0时，x＝﹣1或﹣3．∴A（﹣3，0）；（3）由题意得，直线m：y＝kx﹣2交y轴于点D（0，﹣2），由抛物线G2的解析式y＝2x
2+8x+6，得到顶点E（﹣2，﹣2），当直线y＝kx﹣2过E（﹣2，﹣2）时与图象G2只有一个公共点，此时t＝﹣2，当直线y＝k
x﹣2过A（﹣3，0）时把x＝﹣3代入y＝kx﹣2，k＝，∴，把x＝﹣2代入，∴y＝，即t＝，∴结合图象可知t＝﹣2或．【点评】本
题考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式、抛物线与x轴的交点坐标、关于x轴对称的点的坐标特征等知识；熟练掌握待定系数
法求二次函数的解析式和一次函数的解析式是解决问题的关键．28．函数y＝mx3m﹣1+4x﹣5是二次函数．（1）求m的值；（2）写出
这个二次函数图象的对称轴： 直线x＝2 ；将解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为： y＝﹣（x﹣2）2﹣1 ．【分析】（1）直
接利用二次函数的定义得出m的值；（2）利用配方法求出二次函数顶点坐标与对称轴即可．【解答】解：（1）∵函数y＝mx3m﹣1+4x﹣
5是二次函数，∴3m﹣1＝2，解得：m＝1；（2）由（1）得：y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9故这个二次函数图象的对称轴为：直
线x＝﹣2；将解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x+2）2﹣9．故答案为：（1）m＝1；（2）直线x＝﹣2；y＝﹣（
x+2）2﹣9．【点评】此题主要考查了二次函数的定义以及配方法求二次函数的顶点坐标与对称轴，正确掌握配方法求二次函数顶点坐标是解题
关键．29．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，如果每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线
上，在乒乓球从发射出到第一次落在桌面的运行过程中，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），距桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒）
，经多次测试后，得到如下部分数据：t（秒）00.160.20.40.60.640.8…x（米）00.40.511.51.62…y（
米）0.250.3780.40.450.40.3780.25…（1）如果y是t的函数，①如图，在平面直角坐标系tOy中，描出了上表
中y与t各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；②当t为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）如果y是关于x的二次函
数，那么乒乓球第一次落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？【分析】（1）①根据描出了上表中y与t各对对应值为坐标的点，画出该函数的
图象即可；②利用网格中数据直接得出乒乓球达到最大高度时的时间；（2）首先求出函数解析式，进而求出乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距
离．【解答】解：（1）①如图所示，②由表格中数据可得，t＝0.4（秒），乒乓球达到最大高度；（2）由表格中数据，可设y＝a（x﹣1
）2+0.45，将（0，0.25）代入，可得：a＝﹣，则y＝﹣（x﹣1）2+0.45，当y＝0时，0＝﹣（x﹣1）2+0.45，解
得：x1＝，x2＝﹣（舍去），即乒乓球与端点A的水平距离是m．【点评】此题主要考查了二次函数对应用以及根的判别式和一元二次方程的解
法等知识，利用图表中数据得出函数解析式是解题关键．30．已知抛物线G1：y＝ax2+bx+c的顶点为（2，﹣3），且经过点（4，1
）．（1）求抛物线G1的解析式；（2）将抛物线G1先向左平移3个单位，再向下平移1个单位后得到抛物线G2，且抛物线G2与x轴的负半
轴相交于A点，求A点的坐标；（3）如果直线m的解析式为，点B是（2）中抛物线G2上的一个点，且在对称轴右侧部分（含顶点）上运动，直
线n过点A和点B．问：是否存在点B，使直线m、n、x轴围成的三角形和直线m、n、y轴围成的三角形相似？若存在，求出点B的坐标；若不
存在，请说明理由．【分析】（1）先设为顶点式，再把顶点坐标和经过的点（4，1）代入即可解决，（2）根据平移规则直接写出抛物线G2的
解析式，令y＝0，即可求出点A的坐标，（3）分为交点咋x轴上方，与下方进行分析，根据相似确定角的大小，进一步得到直线n的斜率，求出
与y轴的交点坐标，由点A（﹣3，0），运用待定系数法，确定直线n的解析式，联立抛物线G2，解方程组即可求解．【解答】解：由抛物线G
1：y＝ax2+bx+c的顶点为（2，﹣3），且经过点（4，1），可设抛物线G1：y＝a（x﹣2）2﹣3，把（4，1）代入得：1＝
4a﹣3，解得：a＝1，所以抛物线G1：y＝（x﹣2）2﹣3＝x2﹣4x+1，（2）抛物线G1：y＝（x﹣2）2﹣3先向左平移3个
单位，再向下平移1个单位后得到抛物线G2：y＝（x+1）2﹣4，令y＝0，得：0＝（x+1）2﹣4，解得：x＝﹣3，或x＝1（舍去
），所以点A（﹣3，0）．（3）直线m与x轴，y轴的交点分别为F，E，当直线n与G2交点在x轴上方时，直线n与x轴，y轴的交点为A
，D，与抛物线交点B，与直线m交与点C，当直线n与G2交点在x轴下方时，直线n1与x轴，y轴的交点为A，H，与抛物线交点B1，与直
线m交与点L，当直线n与G2交点在x轴上方时，如图1：由题意△CDE∽△CFA，此时有：∠CDE＝∠CFA，直线m的解析式为，当x
＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣6，∴点E（0，3），点F（﹣6，0），∴OF＝6，OE＝3，∴tan∠CDE＝tan∠CFA＝
，∴＝，∵OA＝3，∴OD＝6，点D（0，6），设直线n：y＝mx+n，把D（0，6），点A（﹣3，0）代入得：，解得：，∴直线n
：y＝2x+6，联立直线n和抛物线G2得：，解得：x＝3，或x＝﹣3（舍去）此时y＝12，所以：点B（3，12），当直线n与G2交
点在x轴下方时，如图2：由题意△HLE∽△FLA，此时有：∠ELH＝∠FLA＝90°，∠EHA＝∠LFA，直线m的解析式为，当x＝
0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣6，∴点E（0，3），点F（﹣6，0），∴OF＝6，OE＝3，∴tan∠EHA＝tan∠LFA＝，
∴＝，∵OA＝3，∴OH＝6，点H（0，﹣6），设直线n：y＝mx+n，把D（0，﹣6），点A（﹣3，0）代入得：解得：，∴直线n
：y＝﹣2x﹣6，联立直线n和抛物线G2得：，解得：x＝﹣1，或x＝﹣3（舍去）此时y＝﹣4，所以：点B1（﹣1，﹣4），综上所述
：存在点B，使直线m、n、x轴围成的三角形和直线m、n、y轴围成的三角形相似，点B的坐标为（3，12）和（﹣1，﹣4）．【点评】此
题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式，会根据相似判断出相等的对应角，并会根据三角函数求出线段的值进一步表示点
的坐标，是解题的关键．31．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）把这个二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）画出这个二
次函数的图象，并利用图象写出当x为何值时，y＞0．【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平
方式，把一般式转化为顶点式．（2）根据顶点坐标，抛物线与y轴的交点坐标以及抛物线与x轴的交点坐标画出图象，根据图象写出x的取值范围
．【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1；（2）令x＝0，则y＝3，即抛物线与y轴交于点（0，3）；∵由（1）知，
该抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，∴该抛物线的顶点坐标是（2，﹣1）．又y＝x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x﹣1），∴该抛物线
与x轴的交点坐标是（3，0），（1，0）．则其图象如图所示：则当x＜1或x＞3时，y＞0．【点评】本题考查了将二次函数的一般式化成
顶点式的方法．属于基础题型，比较简单．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．32．某工厂设计了一款产品，成本为每
件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足y＝﹣2x+80 （20≤x≤40）
，设销售这种产品每天的利润为W（元）．（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定
为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）根据“总利润＝单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；（2）将得到
的二次函数配方后即可确定最大利润．【解答】解：（1）w＝y（x﹣20）＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600
（2）w＝2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，则当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是20
0元．【点评】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范
围内求最大值（或最小值）．33．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣m与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；（2）如果A（n﹣1，n
2）、B（n+3，n2）是抛物线上的两个不同点，求n的值和抛物线的表达式；（3）如果反比例函数y＝的图象与（2）中的抛物线在第一象
限内的交点的横坐标为x0，且满足4＜x0＜5，请直接写出k的取值范围．【分析】（1）抛物线与x轴有两个交点，则△＝b2﹣4ac＞0
，从而求出m的取值范围．（2）首先利用抛物线上两个不同点A（n﹣3，n2+2）、B（﹣n+1，n2+2）的纵坐标相同，得出点A和点
B关于抛物线的对称轴对称，进而求出m的值，即可得出二次函数解析式，即可得出n的值；（3）根据当4＜x0＜5时，对于y＝x2﹣2x﹣
3，y随着x的增大而增大，再利用x＝4和5时y的值得出k的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得，△＝4+4m＞0，解得 m＞﹣1
；（2）由题意知，抛物线对称轴为直线x＝1，点A和点B是抛物线上的两个对称点，则＝1，解得n＝0，∴点A（﹣1，0），∴y＝x2﹣
2x﹣3；（3）当4＜x0＜5时，对于y＝x2﹣2x﹣3，y随着x的增大而增大，对于y＝，y随着x的增大而减小．所以当x0＝4时，
由反比例函数图象在二次函数图象上方，得＞42﹣2×4﹣3解得：k＞20．当x0＝5时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，得52﹣
2×5﹣3＞，解得k＜60．所以k的取值范围为：20＜k＜60．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴交点问题以及二次函数与不等式等知
识，根据二次函数图象上点的特征得出n的值是解题关键．34．已知二次函数y＝x2+2x﹣1．（1）写出它的顶点坐标；（2）当x取何值
时，y随x的增大而增大；（3）求出图象与x轴的交点坐标．【分析】（1）配方后直接写出顶点坐标即可；（2）确定对称轴后根据其开口方向
确定其增减性即可；（3）令y＝0后求得x的值后即可确定与x轴的交点坐标；【解答】解：（1）y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，∴
顶点坐标为：（﹣1，﹣2）；（2）∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2的对称轴为：x＝﹣1，开口向上，∴当x＞﹣1时，y随x的增
大而增大；（3）令y＝x2+2x﹣1＝0，解得：x＝﹣1﹣或x＝﹣1+，∴图象与x轴的交点坐标为（﹣1﹣，0），（﹣1+，0）．【
点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解抛物线的有关性质．35．如图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形
状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若
把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图）．（1）求抛物线的解析式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离．【分析】（1）由图形可知这是
一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程
；（2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，就是他们的距离．【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为（
5，5），与y轴交点坐标是（0，1）（2分）设抛物线的解析式是y＝a（x﹣5）2+5（3分）把（0，1）代入y＝a（x﹣5）2+5
得a＝﹣（5分）∴y＝﹣（x﹣5）2+5（0≤x≤10）；（6分）（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4（7分）∴4＝﹣（x﹣5）2
+5∴（x﹣5）2＝1∴x1＝，x2＝（9分）∴两景观灯间的距离为﹣＝5米．（10分）【点评】此题考查对抛物线等二次函数的应用，从
图中可以看出的坐标是解题的关键．36．已知直线y＝kx﹣3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C，动点P在
x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍．（
1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形；（
3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A
点坐标代入直线的解析式中，即可求得k的值，从而确定该直线的解析式；将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，可求得m、n的值，从而确定抛
物线的解析式．（2）根据（1）得到的抛物线解析式，可求得点B的坐标，根据P、Q的运动速度，可用t表示出BP、CQ的长，进而可得到A
Q、AP的长，然后分三种情况讨论：①∠APQ＝90°，此时PQ∥OC，可得到△APQ∽△AOC，根据相似三角形所得比例线段即可求得
t的值；②∠AQP＝90°，亦可证得△APQ∽△ACO，同①的方法可求得此时t的值；③∠PAQ＝90°，显然这种情况是不成立的．（
3）过D作y轴的平行线，交直线AC于F，设出点D的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式可表示出D、F的纵坐标，进而可求得DF的长，
以DF为底，A点横坐标的绝对值为高即可得到△ADC的面积表达式（或由△ADF、△CDF的面积和求得），由此可求出关于△ADC的面积
和D点横坐标的函数关系，根据函数的性质即可求得△ADC的面积最大值及对应的D点坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝kx﹣3过点A（4
，0），∴0＝4k﹣3，解得k＝．∴直线的解析式为y＝x﹣3．（1分）由直线y＝x﹣3与y轴交于点C，可知C（0，﹣3）．∵抛物线
经过点A（4，0）和点C，∴，解得m＝．∴抛物线解析式为．（2分）（2）对于抛物线，令y＝0，则，解得x1＝1，x2＝4．∴B（1
，0）．∴AB＝3，AO＝4，OC＝3，AC＝5，AP＝3﹣t，AQ＝5﹣2t．①若∠Q1P1A＝90°，则P1Q1∥OC（如图1
），∴△AP1Q1∽△AOC．∴，∴，解得t＝；（3分）②若∠P2Q2A＝90°，∵∠P2AQ2＝∠OAC，∴△AP2Q2∽△AC
O．∴，∴解得t＝；（4分）③若∠QAP＝90°，此种情况不存在．（5分）综上所述，当t的值为或时，△PQA是直角三角形．（3）答
：存在．过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图2）．∴S△ADF＝DF?AE，S△CDF＝DF?OE．∴S△ACD＝S△
ADF+S△CDF＝DF?AE+DF?OE＝DF×（AE+OE）＝×（DE+EF）×4＝×（）×4＝．（6分）∴S△ACD＝（0＜
x＜4）．又∵0＜2＜4且二次项系数，∴当x＝2时，S△ACD的面积最大．而当x＝2时，y＝．∴满足条件的D点坐标为D（2，）．（
7分）【点评】此题考查了用待定系数法确定函数解析式的方法、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，（3）题
中，将图形面积的最大（小）值问题转化为二次函数的最值问题是此类题常用的解法．37．已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A（0，1）
，B（0，3），第三个顶点C在x轴的正半轴上，关于y轴对称的抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，D（3，﹣2）．（1）求直线BC的
解析式；（2）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式并判断点C是否在抛物线上；（3）设点P在（2）中的抛物线上，且点P关于直线AC的
对称点在x轴上，求点P的坐标．【分析】（1）先根据A、B两点的坐标求出AB的长，再根据勾股定理得出OC的长，故可得出C点坐标，利用
待定系数法求出直线BC的解析式即可；（2）由于抛物线y＝ax2+bx+c关于y轴对称，所以b＝0．再由抛物线y＝ax2+bx+c经
过A（0，1），D（3，﹣2），两点可得出抛物线的解析式，把C点横坐标代入即可检验出C点是否在抛物线上；（3）先根据锐角三角函数的
定义求出∠ACO及∠BCO的度数，故可得出CA是∠BCO的角平分线，即直线BC与x轴关于直线AC对称．因为点P关于直线AC的对称点
在x轴上，则符合条件的点P就是直线BC与抛物线y＝﹣x2+1的交点，设出点P的坐标代入抛物线的解析式即可得出结论．【解答】解：（1
）∵A（0，1），B（0，3），∴AB＝2，∵△ABC是等腰三角形，且点C在x轴的正半轴上，∴AC＝AB＝2，∴OC＝＝．∴C（，
0），设直线BC的解析式为y＝kx+3，∴k+3＝0，∴k＝﹣．∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+
c关于y轴对称，∴b＝0．又∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，1），D（3，﹣2），两点．∴解得∴抛物线的解析式是y＝﹣x2
+1．∵C（，0），∴当x＝时，y＝0，∴点C在抛物线上；（3）在Rt△AOC中，∵OA＝1，AC＝2，∴∠ACO＝30°．在Rt
△BOC中，∵OB＝3，OC＝，∴∠BCO＝60°．∴CA是∠BCO的角平分线．∴直线BC与x轴关于直线AC对称．点P关于直线AC
的对称点在x轴上，则符合条件的点P就是直线BC与抛物线y＝﹣x2+1的交点．Q点P在直线BC：y＝﹣x+3上，故设点P的坐标是（x
，﹣x+3）．又∵点P（x，﹣x+3）在抛物线y＝﹣x2+1上，∴﹣+3＝﹣x2+1．解得x1＝，x2＝2．故所求的点P的坐标是P
1（，0），P2（2，﹣3）．【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到勾股定理、用待定系数法求一次函数的解析式及用待定系数法求二
次函数的解析式等知识，难度适中．38．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（1，﹣4）．（1）求这个函数
的解析式；（2）求这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．【分析】（1）将A与B的坐标代入二次函数解析式中得到关于a与b的方程组，求出
方程组的解得到a与b的值，即可确定出二次函数解析式；（2）对于二次函数，令x＝0及y＝0即可求出与坐标轴的交点坐标．【解答】解：（
1）由题意，将A与B代入代入二次函数解析式得：，解得：，则二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0
，即（x+1）（x﹣3）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；令x＝0，则y＝﹣3，∴与y
轴交点坐标为（0，﹣3）．【点评】此题考查了待定系数法确定二次函数解析式，以及抛物线与x轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键
．39．小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果，正在上初三的小明经过调查和计算，发现这种水果每月的销售量y（千克）与销售单价x（
元）之间存在着一次函数关系：y＝﹣10x+500．下面是他们的一次对话：小明：“您要是告诉我咱家这种水果的进价是多少？我就能帮你预
测好多信息呢！”爸爸：“咱家这种水果的进价是每千克20元”聪明的你，也来解答一下小明想要解决的三个问题：（1）若每月获得利润w（元
）是销售单价x（元）的函数，求这个函数的解析式．（2）当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？（3）如果想要每月从这种水果的销售
中获利2000元，那么销售单价应该定为多少元？【分析】（1）根据题意可得利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）根据（
1）式列出的方程式，运用配方法即可求最大利润；（3）令w＝2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价．【解答】解：（1）根据题
意可得：w＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000；（2）w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10
（x﹣35）2+2250，当x＝35时，每月利润最大；（3）当w＝2000时，﹣10x2+700x﹣10000＝2000，化简得：
x2﹣70x+1200＝0，解得：x1＝30，x2＝40．答：如果想要每月从这种水果的销售中获利2000元，那么销售单价应该定为3
0元或40元．【点评】此题考查二次函数的应用以及抛物线的基本性质，注意仔细审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知
识解答实际问题的能力．40．已知抛物线上有不同的两点E（k+3，﹣k2+1）和F（﹣k﹣1，﹣k2+1）．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，M
P交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式；（3）当m，n为何值时，∠PM
Q的边过点F？【分析】（1）求抛物线的解析式关键是求出b的值，根据E、F的坐标可发现，E、F关于抛物线的对称轴对称，由此可求出抛物
线的对称轴方程，进而可求出b的值及抛物线的解析式；（2）根据抛物线的解析式可求出A、B的坐标，可得到∠OAB＝∠OBA＝∠PMQ＝
45°，可证△BCM∽△AMD，根据相似三角形得到的比例线段求出m、n的函数关系式；（3）将点F的坐标代入抛物线的解析式中，即可求
出F点的坐标，进而可由待定系数法求出直线MF的解析式，然后根据直线MF与坐标轴的交点坐标求出m、n的值．（需注意的是此题要分MP、
MQ过F的两种不同情况分类讨论）【解答】解：（1）抛物线的对称轴为；∵抛物线上不同两个点E（k+3，﹣k2+1）和F（﹣k﹣1，﹣
k2+1）的纵坐标相同，∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则，且k≠﹣2；∴抛物线的解析式为；（2）抛物线与x轴的交点为A（4，0
），与y轴的交点为B（0，4），∴AB＝，AM＝BM＝；在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°
，在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC＝180°，即∠BMC+∠BCM＝135°，在直线AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD
＝180°，即∠BMC+∠AMD＝135°；∴∠BCM＝∠AMD，∴△BCM∽△AMD；∴，即，；故n和m之间的函数关系式为（m＞
0）；（3）∵F（﹣k﹣1，﹣k2+1）在上，∴将F代入函数解析式得：，化简得，k2﹣4k+3＝0，∴k1＝1，k2＝3；即F1（
﹣2，0）或F2（﹣4，﹣8）；①MF过M（2，2）和F1（﹣2，0），设MF为y＝kx+b，则，解得；∴直线MF的解析式为；直线
MF与x轴交点为（﹣2，0），与y轴交点为（0，1）；若MP过点F（﹣2，0），则n1＝4﹣1＝3，m1＝；若MQ过点F（﹣2，0
），则m2＝4﹣（﹣2）＝6，n2＝；②MF过M（2，2）和F2（﹣4，﹣8），设MF为y＝kx+b，则，解得；∴直线MF的解析式
为；直线MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）；若MP过点F（﹣4，﹣8），则n3＝4﹣（）＝，m3＝；若MQ过点F（﹣4
，﹣8），则m4＝4﹣＝，n4＝；故当，，或时，∠PMQ的边过点F．【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和
性质、函数图象与坐标轴交点坐标的求法等知识，需注意的是（3）题中，MP、MQ都有可能经过F点，要分类讨论，以免漏解．41．已知二次
函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）求出这个函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求出这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．【分析】（1）利用
配方法把二次函数y＝x2﹣2x﹣3化为顶点式，即可得出其对称轴方程及顶点坐标；（2）根据x、y轴上点的坐标特点分别另y＝0求出x的
值，令x＝0求出y的值即可．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴是x＝1，顶点坐标是（1，﹣4）；（
2）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝3；令x＝0，则y＝﹣3．∴图象与x轴交点坐标是（﹣1，0）、（3，0），
与y轴的交点坐标是（0，﹣3）．【点评】本题考查的是二次函数的性质、抛物线与x轴的交点及配方法的应用，熟知以上知识是解答此题的关键
．42．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，得到如下数据：售价x（元∕件）…30405060…日销售量y（件
）…500400300200…（1）若日销售量y（件）是售价x（元∕件）的一次函数，求这个一次函数的解析式；（2）设这个工厂试销该
产品每天获得的利润为W（元），当售价定为每件多少元时，工厂每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）由图可猜想y与x是一
次函数关系，任选两点求表达式即可，（2）利润＝销售总价﹣成本总价＝单件利润×销售量．据此得表达式，运用性质求最值；【解答】解：（1
）设y＝kx+b（k≠0）．∴，解得：，∴y＝﹣10x+800；（2）W＝y（x﹣20）＝（x﹣20）（﹣10x+800），＝﹣1
0（x﹣50）2+9000，∴当售价定为50元时，工艺厂每天获得的利润W最大，最大利润是9000元．【点评】此题主要考查了一次函数
的应用以及二次函数的应用，由图象过两点利用待定系数法即可确定函数关系式以及利用配方法求二次函数的最值是考查重点，同学们应重点掌握．
43．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+nx﹣2与直线y＝x﹣1交于A（﹣1，a）、B（b，0）两点，与y轴交于点C．（
1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）点P（t，0）是x轴上的一个动点．过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线
于点N．当点M位于点N的上方时，直接写出t的取值范围．【分析】（1）先把A、B的坐标代入直线的解析式，求出a、b的值求出A、B的坐
标，再将A、B的坐标代入抛物线的解析式求出m、n的值就可以求出抛物线的解析式．（2）当x＝0时求出y的值，就求出C的坐标，求出△A
BC的高，再根据三角形的面积公式就可以求出其值．（3）根据（1）的A、B的坐标的横坐标就可以确定t的取值范围．【解答】解：（1）∵
抛物线与直线交于点A、B两点，∴，解得：．∴A（﹣1，﹣2），B（1，0）．∴，解得：．∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣2．（2
）点A（﹣1，﹣2），点C（0，﹣2），∴AC∥x轴，AC＝1．过点B作AC的垂线，垂足为点D，则BD＝2．∴S△ABC＝AC?B
D＝×1×2＝1．（3）∵点M位于点N的上方，且A（﹣1，﹣2），B（1，0），∴﹣1＜t＜1．【点评】本题考查了待定系数法求二次
函数的解析式，二次函数与不等式组的关系，平行线的性质，三角形的面积．44．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：y1＝﹣x2+
2x．（1）将抛物线C1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C2，求抛物线C2的顶点P的坐标及它的解析式．（2）如果
x轴上有一动点M，那么在两条抛物线C1、C2上是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形（OP为一边）？若存在
，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先利用配方法，把y1化为顶点式，直接利用二次函数平移的规律求出平移后的二次函
数的顶点坐标问题得解；（2）假设符合条件的N点存在，利用平行四边形的性质和三角形全等，找出点N到x轴的距离，即抛物线的纵坐标，代入
解析式，解方程解决问题即可．【解答】解：（1）依题意抛物线：y1＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，∴其顶点坐标为（1，1）当把C
1向右平移2个单位，再向上平移1个单位时，抛物线C2的顶点P的坐标为（3，2）∴C2的解析式为y2＝﹣（x﹣3）2+2；（2）符合
条件的N点存在．如图：若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OP∥MN，且OP＝MN，∴∠POA＝∠BMN，作PA⊥x轴于点A
，NB⊥x轴于点B∴∠PAO＝∠MBN＝90°，∴△POA≌△NMB（AAS），∴PA＝BN，∵点P的坐标为（3，2），∴NB＝P
A＝2，∵点N在抛物线y1、y2上，且P点为y1、y2的最高点∴符合条件的N点只能在x轴下方，当点N在C1上时，y1＝﹣2，即﹣2
＝﹣（x﹣1）2+1，解得：x＝1±，∴N1（1+，﹣2），N2（1﹣，﹣2）；当点N在C2上时，y2＝﹣2，即＝﹣（x﹣3）2+
2＝﹣2，解得：x＝5或1，∴N3（5，﹣2），N4（1，﹣2），∴满足条件的点N有4个，分别是N1（1+，﹣2）、N2（1﹣，﹣
2）、N3（5，﹣2）、N4（1，﹣2）．【点评】此题考查利用平移的规律求二次函数顶点式解析式，利用平行四边形的性质、三角形的全等
与性质以及二次函数图象上点的坐标特征解决问题．45．已知，二次函数的解析式y1＝﹣x2+2x+3．（1）求这个二次函数的顶点坐标；
（2）求这个二次函数图象与x轴的交点坐标；（3）当x ＜1 时，y1随x的增大而增大；（4）如图，若直线y2＝ax+b（a≠0）的
图象与该二次图象交于A（，m），B（2，n）两点，结合图象直接写出当x取何值时y1＞y2？【分析】（1）运用配方法可求出二次函数的
顶点坐标，（2）求图象与与x轴的交点，即求y＝0时x的值，（3）根据对称轴两侧增减性不同，求出对称轴，结合开口方向可求出，（4）根
据两函数交点，结合图象可看出．【解答】解：（1）∵y1＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4，∴图象的顶点坐标为（1，4）
．（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3．∴图象与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）．（3）
x＜1．（4）y1＝﹣x2+2x+3，结合图象可得到．y1＞y2，．【点评】此题主要考查了二次函数顶点坐标的求法，二次函数与x轴的
交点坐标求法，以及结合图象判断函数的大小问题．46．我市某文具厂生产一种签字笔，已知这种笔的生产成本为每支6元．经市场调研发现：批
发该种签字笔每天的销售量y（支）与售价x（元/支）之间存在着如下表所示的一次函数关系： 售价x（元/支）…7 8… 销售量y（支
）… 300 240…（利润＝（售价﹣成本）×销售量）（1）求销售量y（支）与售价x（元/支）之间的函数关系式；（2）求销售利润W
（元）与售价x（元/支）之间的函数关系式；（3）试问该厂应当以每支签字笔多少元出售时，才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设一次函数的一般式y＝kx+b，将（7，300）（8，240）代入即可求得；（2）按照等量关系“利润＝（定价﹣成本）
×销售量”列出函数关系式即可；（3）由列出的函数关系式求得函数的最大值即可．【解答】解：（1）由表格知：当x＝7时，y＝300；当
x＝8时，y＝240．设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据题意得，解得k＝﹣60，b＝720．∴所求一次函数关系式为y＝
﹣60x+720．（2）由题意得W＝（x﹣6）（﹣60x+720）＝﹣60x2+1080x﹣4320（3）∵W＝﹣60x2+108
0x﹣4320，当x＝﹣＝9时，W有最大值，最大值是540．答：该厂应当以每支签字笔9元出售时，利润最大是540元．【点评】此题为
应用题，学生应学会通过运用函数方程去解，培养解决实际问题的能力．47．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AC两点的坐标
分别为A（6，0），C（0，3），直线与BC边相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）若上抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A，D
两点，试确定此抛物线的解析式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交点M，点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与
△ABD相似，求符合条件的所有点P的坐标．【分析】（1）有题目所给信息可以知道，BC线上所有的点的纵坐标都是3，又有D在直线上，代
入后求解可以得出答案．（2）A、D，两点坐标已知，把它们代入二次函数解析式中，得出两个二元一次方程，联立求解可以得出答案．（3）由
题目分析可以知道∠B＝90°，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，所以应有∠APM、∠AMP或者∠MAP等于90°，很明显∠
AMP不可能等于90°，所以有两种情况．【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，C（0，3）∴BC∥OA，点D的纵坐标为3．∵直
线与BC边相交于点D，∴．∴x＝2，故点D的坐标为（2，3）（2）∵若抛物线y＝ax2+bx经过A（6，0）、D（2，3）两点，∴
解得：∴抛物线的解析式为．（3）∵抛物线的对称轴为x＝3，设对称轴x＝3与x轴交于点P1，∴BA∥MP1，∴∠BAD＝∠AMP1．
①∵∠AP1M＝∠ABD＝90°，∴△ABD∽△MP1A．∴P1（3，0）．②当∠MAP2＝∠ABD＝90°时，△ABD∽△MAP
2．∴∠AP2M＝∠ADB∵AP1＝AB，∠AP1P2＝∠ABD＝90°，∴△AP1P2≌△ABD∴P1P2＝BD＝4．∵点P2在
第四象限，∴P2（3，﹣4）．答：符合条件的点P有两个，P1（3，0）、P2（3，﹣4）．【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，以及三角形的性质等相关知识，属于综合类题目．48．已知：二次函数的表达式为y＝﹣4x2+8x（1）写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求图象与x轴的交点坐标；（3）若点A（﹣1，y1）、B（，y2）都在该函数图象上，试比较y1与y2的大小．【分析】（1）用配方法把抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标及对称轴；（2）令y＝0，求x的值，可确定抛物线与x轴的交点坐标；（3）抛物线的对称轴是x＝1，抛物线开口向下，比较可知，已知两点都在对称轴左边，y随x的增大而增大，由此可比较大小．【解答】解：（1）∵y＝﹣4（x﹣1）2+4，∴对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，4）；（2）令y＝0，﹣4x2+8x＝0，∴x1＝0，x2＝2、∴抛物线与x轴交点坐标为（0，0），（2，0）；（3）∵a＝﹣4＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴x＝1左侧，y随x增大而增大，∵，∴y2＞y1．【点评】抛物线的顶点式适合与确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最大（小）值，增减性等；抛物线的交点式适合于确定函数值y＞0，y＝0，y＜0．49．如图，已知抛物线C1：y＝a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1；（1）求a的值；（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．【分析】（1）将B点坐标代入抛物线C1的解析式中，即可求得待定系数a的值．（2）在抛物线平移过程中，抛物线的开口大小没有发现变化，变化的只是抛物线的位置和开口方向，所以C3的二次项系数与C1的互为相反数，而C3的顶点M与C1的顶点P关于原点对称，P点坐标易求得，即可得到M点坐标，从而求出抛物线C3的解析式．【解答】解：（1）∵点B是抛物线与x轴的交点，横坐标是1，∴点B的坐标为（1，0），∴当x＝1时，0＝a（1+2）2﹣5，∴．（2）设抛物线C3解析式为y＝a′（x﹣h）2+k，∵抛物线C2与C1关于x轴对称，且C3为C2向右平移得到，∴，∵点P、M关于点O对称，且点P的坐标为（﹣2，﹣5），∴点M的坐标为（2，5），∴抛物线C3的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+5＝﹣x2+x+．【点评】此题主要考查的是二次函数解析式的确定、二次函数图象的几何变化以及系数与函数图象的关系，需要熟练掌握．50．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【分析】（1）根据题意易求y与x之间的函数表达式．（2）已知函数解析式，设y＝4800可从实际得x的值．（3）利用x＝﹣求出x的值，然后可求出y的最大值．【解答】解：（1）根据题意，得y＝（2400﹣2000﹣x）（8+4×），即y＝﹣x2+24x+3200；（2）由题意，得﹣x2+24x+3200＝4800．整理，得x2﹣300x+20000＝0．解这个方程，得x1＝100，x2＝200．要使百姓得到实惠，取x＝200元．∴每台冰箱应降价200元；（3）对于y＝﹣x2+24x+3200＝﹣（x﹣150）2+5000，当x＝150时，y最大值＝5000（元）．所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．借助二次函数解决实际问题． 1 / 1 |
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