2020北京石景山初三（上）期末数 学学校 姓名 准考证号考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分，考试时间120分钟
．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题
、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分
）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为第1题
第2题 第3题A． B．C． D． 2．如图，是⊙的直径，是弦，若，则的度数为A．
B． C． D．3．如图，某斜坡的长为，坡顶离水平地面的距离为，则这个斜坡的坡度为A． B． C．D． 4．已知抛物线上部分点的横
坐标与纵坐标的对应值如下表：………… 下列结论： ①抛物线开口向下； ②当时，随的增大而减小； ③抛物线的对称轴是直线；
④函数的最大值为2. 其中所有正确的结论为A．①②③ B．①③ C．①③④D．①②③④ 5．为了测量一个铁球的直径，将该
铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单第5题 第6题 第7题 位：cm），则该铁球的直径为A． B． C．D． 6．如
图，是⊙的直径，是线段上的一点（不与点重合），，是半圆上的点且与交于点．用①，②，③中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命
题，则组成真命题的个数为A． B． C．D． 7．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，当时，的取值范围
是A． B．或C．或 D．或 8．某市为了解旅游人数的变化情况，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间的月接待旅游量
（单位：万人次）的数据并绘制了统计图如下： 根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是A．2017年至2019年，年接待旅游量逐年
增加B．2017年至2019年，各年的月接待旅游量高峰期大致在7,8月份C．2019年的月接待旅游量的平均值超过300万人次D．2
017年至2019年，各年下半年（7月至12月）的月接待旅游量相对于上半年（1月至6月）波动性更小，变化比较平稳二、填空题（本题共
16分，每小题2分）9．若抛物线与轴只有一个交点，则的值为 .10．如图，在中，点在上，点在上，，若，四边形的面积是的面积的倍
，则的长为 . 第10题 第11题 第12题11．如图，等边内接于⊙，若⊙的半径为，则阴影部分的面积为 .12．
如图，在矩形中，点是边上一点，于点．若，，则的长为 .13．请写出一个开口向上，并且与轴交于点的抛物线的表达式： .14．
将抛物线向左平移个单位长度，所得抛物线的表达式为 .15．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框
架．其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如右图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为步
，股（长直角边）长为步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 步.16．如图，曲线是
抛物线的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是顶点），曲线是双曲线的一部分．曲线与组成图形．由点开始不断重复图形形成一组“波浪线”．若
点，在该“波浪线”上，则的值为 ，的最大值为 ．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小
题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：．18．在平面直角坐标系中，二次函数的图象
与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为.（1）直接写出点，，的坐标；（2）画出这个函数的图象.19．下面是小石设计的“过
圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程. 已知：如图1，⊙及⊙上一点．图1 求作：直线，使得与⊙相切． 作法：如图2， ①连接并延长
交⊙于点； ②在⊙上任取一点（点，除外），以点为圆心，长为半径作⊙，与射线的另一个交点为； ③连接并延长交⊙于点； ④作直线．图2
所以直线就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图的过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下
面的证明． 证明：∵是⊙的直径， ∴ （ ）（填推理的依据）. ∴. 又∵是⊙的半径， ∴是⊙的切线（ ）（填推理的依据）
.20．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面
的高度是米，当铅球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处．小丁此次投掷的成绩是多少米？21. 在直角三角形中，除直角外的个元素中
，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素．对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢
? 思考并解答下列问题： （1）观察图①～图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是?．① ② ③ ④
（2）如图⑤，在中，已知，，，能否求出的长度？如果能，请求出的长度；如果不能，请说明理由.（参考数据：，，）⑤ 22．在平面直角坐
标系中，函数的图象经过点，直线与轴交于点，与图象交于点． （1）求的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象在点，之
间的部分与线段，围成的区域（不含边界）为． ①当直线过点时，直接写出区域内的整点个数； ②若区域内的整点不少于个，结合函数图象，
求的取值范围．23. 如图，是⊙的半径上的一点（不与端点重合），过点作的垂线交⊙于点，，连接.是⊙上一点，，过点作⊙的切线，连 接
并延长交直线于点. （1）①依题意补全图形； ②求证：； （2）连接，若是的中点，⊙的半径是，求的长.24．某地质量监管部门对辖区
内的甲、乙两家企业生产的某同类产品进行检查，分别随机抽取了50件产品并对某一项关键质量指标做检测，获得了它们的质量指标值,并对样本
数据（质量指标值）进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息. a.该质量指标值对应的产品等级如下：质量指标值等级次品二等品一等
品二等品次品 说明：等级是一等品,二等品为质量合格(其中等级是一等品为质量优秀); 等级是次品为质量不合格. b. 甲企业样本
数据的频数分布统计表如下（不完整）： c. 乙企业样本数据的频数分布直方图如下： 甲企业样本数据的频数分布表 分组频数频率20.0
4320.1200.00合计501.00d.两企业样本数据的平均数、中位数、众数、极差、方差如下：平均数中位数众数极差方差甲企业乙
企业根据以上信息，回答下列问题：（1）的值为 ，的值为 ；（2）若从甲企业生产的产品中任取一件，估计该产品质量合格的概率为
；若乙企业生产的某批产品共万件，估计质量优秀的有 万件； （3）根据图表数据，你认为 企业生产的产品质量较好，理由为
.（从某个角度说明推断的合理性）25．如图，是上的一定点，是弦上的一定点，是弦上的一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，射
线与交于点．已知，设，两点间的距离为，，两点间的距离为，，两点间的距离为． 小石根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变
化而变化的规律进行了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几
组对应值：01234564.293.331.651.221.502.240.882.843.574.044.173.200.98
（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数据所对应的点，，并画出函数，的图象； （3）结合函数图象，解决问题：连接
，当△为等腰三角形时，的长度约为 ．（结果保留一位小数）26．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点
.直线与轴，轴分别交于点，. （1）求抛物线的对称轴； （2）若点与点关于轴对称， ①求点的坐标； ②若抛物线与线段恰有一
个公共点，结合函数图象，求的取值范围.27．如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），点关于直线的对称点为，连接．连接并延
长交射线于点，连接． （1）若，直接写出的大小（用含的式子表示）； （2）求证：； （3）连接，用等式表示线段，，之间的数量
关系，并证明． 28．在中，是边上一点，以点为圆心，长为半径作弧，如果与边有交点（不与点重合），那么称为的外截弧．例如，右图中是
的一条外截弧．在平面直角坐标系中，已知存在外截弧，其中点的坐标为，点与坐标原点重合． （1）在点，，，中，满足条件的点是 ；
（2）若点在直线上， ①求点的纵坐标的取值范围； ②直接写出的外截弧所在圆的半径的取值范围．2020北京石景山初三（上）期末数
学参考答案阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考
生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分.3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数．一、选择题（本
题共16分，每小题2分）题号12345678答案C BCA BDBD二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．10．11．12．
13．答案不唯一，如：14．15．16．；三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第
27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解：原式 …… 4分 ． …… 5分18．解：（1），，
…… 3分 （2）如右图所示． …… 5分19．解：（1）补全的图形如右图所示； …… 2分 （2），直径所对的圆周角
是直角； 经过半径的外端，并且垂直于这条半 径的直线是圆的切线． …… 5分20．解法一：建立平面直角坐标系，如图1所示． 则
点的坐标为，顶点为． 设抛物线的表达式为， ………………………… 2分 ∵点在抛物线上， ∴．图1 解得． ∴抛物线
的表达式为． ………………………… 4分 令，则， 解得，（不合实际，舍去）． 即． 答：小丁此次投掷的成绩是米． …
……………………… 5分 解法二：以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图2所示． 则点的坐标为，，． 设抛物线的表达式为，
………………………… 2分 ∵点在抛物线上， ∴．图2 解得． ∴抛物线的表达式为． ……………………… 4分 令，
则 ， 解得，（不合实际，舍去）． ∴ 答：小丁此次投掷的成绩是米． ………………………… 5分21．解：（1）③，④；
………………………… 2分 （2）过点作于点，如图． ………………………… 3分 在中，， ∴， ． ∴． ∴在中，
． 即的长度为． ………………………… 5分22．解：（1）∵函数的图象经过点， ∴． ………………………… 1分
（2）① 1； ………………………… 2分 ②∵直线与轴交于点， ∴点的坐标为，如图． （ⅰ）当直线在下方时， 若点在直线
上， 则，解得． 结合图象，可得． （ⅱ）当直线在上方时， 若点在直线上， 则，解得． 结合图象，可得． 综上所述，
的取值范围是或． ………………… 5分图123．（1）①依题意补全图形． …………… 1分 ②证明：连接，如图1． ∵半径，
∴，． ∵， ∴． ∴． ∵是⊙的切线，是半径， ∴． ∴． ………………………… 3分 （2）解法一：过点作于点，
如图2．图2 ∵是的中点，， ∴． ∴在中，． ∵， ∴． ∴． 即点，，在同一条直线上． 在中，，可得． 在中，，可得，
． ∴． 在中，由勾股定理可得． …………… 6分 解法二：过点作交的延长线于点，如图3（略）． 解法三：过点作于点，如
图4（略）．图5 图3图4 解法四：过点作交的延长线于点，如图5（略）． 24．解：（1），； …………………………
2分 （2），； ………………………… 4分 （3）答案不唯一，理由须支撑推断结论. ………………………… 6分 如：甲；
甲企业的抽样产品的质量合格率为，高于乙企业的. 如：甲；甲企业抽样产品的极差与方差都小于乙企业，产品的稳定性更好. 如：乙；乙企业
的抽样产品的质量优秀率为，高于甲企业的.25．解：本题答案不唯一，如： （1）； ………………………… 1分 （2） ……
…………………… 4分 （3）或．………………………… 6分26．解：（1）∵ ， ∴抛物线的对称轴是直线． ……………………
…… 2分 （2）①∵直线与轴，轴分别交于点，， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵抛物线与轴的交点与点关于轴对称， ∴点的坐
标为． ∵将点向右平移2个单位长度，得到点， ∴点的坐标为． ………………………… 3分 ②抛物线为，顶点为． （ⅰ）当
时，如图1. 令，得， 即点总在抛物线上的点的下方． ∵ ∴点总在抛物线顶点的上方， 结合函数图象，可知当时，抛物线与线段
恰有一个公共点．图1 图2 （ⅱ）当时，如图2. 当抛物线过点时
， ，解得. 结合函数图象，可得. 综上所述，的取值范围是或. …………………… 6分27．（1）； ………………………… 2
分图1 （2）证明：∵四边形是正方形，如图1． ∴，． ∵点与点关于直线对称， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴在四边形中，． ∴． ∴． ∴．………………………… 4分 （3）线段，，之间的数量关系为：． ………………………… 5分 证明：过点作交于点，如图2．图2 ∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵点与点关于直线对称，， ∴． ∴，． ∴≌． ∴． ∵， ∴． ………………………… 7分28．解：（1），； ………………………… 2分 （2）①∵点在直线上， 设点的坐标为． 当时，过点作轴于点，如图． ∴∽． ∴． ∴． 解得，． ∴或． 又∵直线与轴交于点， 结合图形，可得点的纵坐标的取值范围是或．………………………… 5分 ②． ………………………… 7分 1 / 1 |
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