2020北京西城初三（上）期末数学备考几何综合（教师版）一．解答题（共14小题）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接
BD，CE．（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；（2）若AB＝2，AD＝2，∠BAC＝105°，∠CAD＝30°．①B
D的长为 2 ；②点P，Q分别为BC，DE的中点，连接PQ，写出求PQ长的思路．【分析】（1）根据SAS证明△ABD≌△ACE即可
；（2）①如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．想办法证明△AHD是等腰直角三角形，求出BH，DH即可解决问题；②如图2中，连
接PQ，AQ，AP，作QH⊥PA交PA的延长线于H．想办法求出HQ，PH，根据PQ＝计算即可．【解答】解：（1）结论：BD＝CE，
理由：∵△ADE∽△ABC，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△A
CE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）①如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．∵∠BAD＝∠BAC+∠
DAC＝135°，∴∠DAH＝45°，∵∠H＝90°，AD＝2，∴AH＝DH＝2，在Rt△BDH中，BD＝＝＝2，故答案为2．（2
）如图2中，连接PQ，AQ，AP，作QH⊥PA交PA的延长线于H．在Rt△ABP中，AP＝AB?sin37.5°，在Rt△AQD中
，AQ＝AD?sin37.5°，在Rt△AHQ中，根据∠HAQ＝45°，可得AH＝HQ＝AQ，求出HQ，PH，根据PQ＝计算即可．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形
解决问题．2．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠
OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接
AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝ 150 °，此时OM和BD′之间的位置关系为
垂直 ；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABD′+∠C′D
′B＝180°，根据周角的定义即可得到结论；（2）取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N，根据三角形的中位线的性质得到EM
∥OC′，EM＝OC′，根据相似三角形的性质得到∠AOM＝∠2，，根据垂直的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵C′D′∥AB，
∴∠ABD′+∠C′D′B＝180°，∵∠ABO＝∠C′D′O＝60°，∴∠OBD′+∠BD′O＝60°，∴∠BOD′＝120°，
∴∠BOC′＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝150°，∴α＝150°，此时，OM⊥BD′；故答案为：150，垂直；（2）OM
⊥BD′，OM＝BD′，证明：取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N，∵AC′的中点M，∴EM∥OC′，EM＝OC′，∴∠
OEM+∠AOC′＝180°，∵∠AOB＝∠C′OD′＝90°，∴∠BOD′+′AOC′＝180°，∴∠OEM＝∠BOD′，∵∠O
AB＝∠OC′D′＝30°，∴＝＝＝，∴，∴△EOM∽△OBD′，∴∠AOM＝∠2，，即OM＝BD′，∵∠AOB＝90°，∴∠AO
M+∠3＝180°﹣∠AOB＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴OM⊥BD′．【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质
，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD为AB边上的中线．在Rt
△AEF中，∠AEF＝90°，AE＝EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．（1）如图1，点F在△
ABC内，求证：CD＝MN；（2）如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并
加以证明；（3）将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC＝a，AF＝b（b＜a），直接写出EN的最大值与最小值．【分析】（1）利用直角
三角形的斜边的中线等于斜边的一半和三角形的中位线即可；（2）构造出△EMN≌△DNC进而利用互余即可得出结论；（3）借助（2）的结
论，先判断出点N是以点D为圆心，为半径的圆上，即可得出结论．【解答】解：（1）证明：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线．∴
CD＝AB．在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点，∴MN＝AB，∴CD＝MN．（2）答：CN与EN的数量关系CN＝EN，
CN与EN的位置关系CN⊥EN．证明：连接EM，DN，如图．与（1）同理可得 CD＝MN，EM＝DN．在Rt△ABC中，CD是斜边
AB边上的中线，∴CD⊥AB．在△ABF中，同理可证EM⊥AF．∴∠EMF＝∠CDB＝90°．∵D，M，N分别为边AB，AF，BF
的中点，∴DN∥AF，MN∥AB．∴∠FMN＝∠MND，∠BDN＝∠MND．∴∠FMN＝∠BDN．∴∠EMF+∠FMN＝∠CDB+
∠BCN．∴∠EMN＝∠NDC．∴△EMN≌△DNC．∴CN＝EN，∠1＝∠2．∵∠1+∠3+∠EMN＝180°，∴∠2+∠3+∠
FMN＝90°．∴∠2+∠3+∠DNM＝90°，即∠CNE＝90°．∴CN⊥EN．（3）点N是以点D为圆心，为半径的圆上，在Rt△
ABC中，AC＝BC＝a，∴AB＝a，∵CD为AB边上的中线．∴CD＝AB＝，∴CN最大＝CD+＝，CN最小＝CD﹣＝由（2）知，
EN＝CN，∴EN最大＝，EN最小＝即：EN的最大值为，最小值为．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的中线，三角形
的中位线，全等三角形的判定和性质，圆的性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道考查知识点比较多的综合题．4．在△ABC中，∠AC
B＝90°，AC＝BC＝4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接E
D，N为ED的中点，连接AN，MN．（1）如图1，当BD＝2时，AN＝ ，NM与AB的位置关系是 垂直 ；（2）当4＜BD＜8时
，①依题意补全图2；②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长
为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．【分析】（1）根据已知条件得到CD＝2，根据勾股定理得到AD＝＝2，根据旋转
的性质得到△ADE是等腰直角三角形，求得DE＝AD＝2，根据直角三角形的性质得到AN＝DE＝，AM＝AB＝2，推出△ACD∽△AM
N，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）①根据题意补全图形即可；②根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝∠B＝45°，求得∠C
AN+∠NAM＝45°根据旋转的性质得到AD＝AE，∠DAE＝90°，推出△ANM△ADC，由相似三角形的性质得到∠AMN＝∠AC
D，即可得到结论；（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，得到△AKB等腰直角三角形，推出
△ADK≌△ABE，根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠K＝45°，证得△BMG是等腰直角三角形，求出BC＝4，AB＝4，MB＝2
，由ME≥MG，于是得到当ME＝MG时，ME的值最小，根据等量代换即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝
4，BD＝2，∴CD＝2，∴AD＝＝2，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝
2，∵N为ED的中点，∴AN＝DE＝，∵M为AB的中点，∴AM＝AB＝2，∵＝，＝＝，∴，∵∠CAB＝∠DAN＝45°，∴∠CAD
＝∠MAN，∴△ACD∽△AMN，∴∠AMN＝∠C＝90°，∴MN⊥AB，故答案为：，垂直；（2）①补全图形如图2所示，②（1）中
NM与AB的位置关系不发生变化，理由：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠CAN+∠NAM＝45°，∵线
段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∵N为ED的中点，∴，AN⊥DE，∴∠CAN+∠DAC＝
45°，∴∠NAM＝∠DAC，在Rt△AND中，DAN＝cos45°＝，同理＝，∴，∵∠DAC＝45°﹣∠CAN＝∠MAN，∴△A
NM∽△ADC，∴∠AMN＝∠ACD，∵D在BC的延长线上，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠AMN＝90°，∴MN⊥A
B；（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，则△AKB等腰直角三角形，在△ADK与△ABE
中，，∴△ADK≌△ABE，∴∠ABE＝∠K＝45°，∴△BMG是等腰直角三角形，∵BC＝4，∴AB＝4，MB＝2，∴MG＝2，∵
∠G＝90°，∴ME≥MG，∴当ME＝MG时，ME的值最小，∴ME＝BE＝2，∴DK＝BE＝2，∵CK＝BC＝4，∴CD＝2，∴B
D＝6，∴BD的长为6时，ME的长最小，最小值是2．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判
定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5．如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l
经过点A并与AC垂直．当点P在直线l上运动到某一位置（点P不与点A重合）时，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60°得到
△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m（m＞0）．（1）①∠QBC＝ 90 °；②如图1，当点P与点B在直线AC的同侧，且
m＝3时，点Q到直线l的距离等于 2+ ；（2）当旋转后的点Q恰好落在直线l上时，点P，Q的位置分别记为P1，Q1．在图2中画出此
时的线段P1C及△BCQ1，并直接写出相应m的值；（3）当点P与点B在直线AC的异侧，且△PAQ的面积等于时，求m的值．【分析】（
1）根据旋转的性质得到∠QBC＝∠PAC＝90°；（2）根据题意画出图形，利用勾股定理求得m的值；（3）作BG⊥AC于点G，过点Q
作直线l的垂线交l于点D，交BG于点F．易证四边形ADFG为矩形．由等边△ABC的性质易推知DF＝AC＝2，∠CBG＝∠CBA＝3
0°；根据旋转的性质得到：△ACP≌△BCQ，则其对应边相等：AP＝BQ＝m，对应角相等∠PAC＝∠QBC＝90°，所以通过解Rt
△QBF求得QF＝m．要使△PAQ存在，则点P不能与点A，P1重合，所以点P的位置分为以下两种情况：i）如图2，当点P在（2）中的
线段P1A上（点P不与点A，P1重合）时，可得0＜m＜，此时点Q在直线l的下方，由三角形的面积公式来求m的值；ii）如图3，当点P
在（2）中的线段AP1的延长线上（点P不与点A，P1重合）时，可得m＞，此时点Q在直线l的上方，由三角形的面积公式来求m的值．【解
答】解：（1）①∵AC⊥l，∴∠PAC＝90°，∴由旋转的性质得到：∠QBC＝∠PAC＝90°．②m＝3时，点Q到直线l的距离等于
2+；故答案是：90；2+；（2）所画图形见图1．m＝．（3）如图2，作BG⊥AC于点G，过点Q作直线l的垂线交l于点D，交BG于
点F．∵CA⊥直线l，∴∠CAP＝90°．易证四边形ADFG为矩形．∵等边三角形ABC的边长为4，∴∠ACB＝60°，DF＝AG＝
CG＝AC＝2，∠CBG＝∠CBA＝30°．∵将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60°得到△BCQ，∴△ACP≌△BCQ．∴AP＝B
Q＝m，∠PAC＝∠QBC＝90°．∴∠QBF＝60°．在Rt△QBF中，∠QFB＝90°，∠QBF＝60°，BQ＝m，∴QF＝m
．要使△PAQ存在，则点P不能与点A，P1重合，所以点P的位置分为以下两种情况：i）如图2，当点P在（2）中的线段P1A上（点P不
与点A，P1重合）时，可得0＜m＜，此时点Q在直线l的下方．∴DQ＝DF﹣QF＝2﹣m．∵S△PAQ＝AP?DQ＝，∴m（2﹣m）
＝．整理，得m2﹣4m+＝0．解得m1＝，m2＝．经检验，m＝或在0＜m＜的范围内，均符合题意．ii）如图3，当点P在（2）中的线
段AP1的延长线上（点P不与点A，P1重合）时，可得m＞，此时点Q在直线l的上方．∴DQ＝QF﹣DF＝m﹣2．∵S△PAQ＝AP?
DQ＝，∴m（m﹣2）＝．整理，得 3m2﹣4m﹣3＝0．解得 m＝（舍负）．经检验，m＝在m＞的范围内，符合题意．综上所述，m＝
或或时，△PAQ的面积等于．【点评】本题主要考查了几何知识的综合运用和几何变换，求相关线段的长度和解一元二次方程是利用代数方法解决
几何问题，本题意在加强学生的图形与几何的逻辑推理以及代数几何综合能力．6．已知：△ABC，△DEF都是等边三角形，M是BC与EF的
中点，连接AD，BE．（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出AD与BE的数量关系和位置关系；（2）△ABC固定不动，
将图1中的△DEF绕点M顺时针旋转α（0°≤α≤90°）角，如图2，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，
说明理由；（3）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M旋转α（0°≤α≤90°）角，作DH⊥BC于点H．设BH＝x，线段AB，
BE，ED，DA所围成的图形面积为S．当AB＝6，DE＝2时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．【分析】（1）作D
G⊥AB于点G，作EH⊥AB于点H．则四边形DGHE是矩形，则在直角△ADG和直角△BEH中，利用x表示出AD和BE的长，即可求得
数量关系，利用三线合一定理即可证得位置关系；（2）连接DM，AM，然后证明△ADM∽△BEM，然后延长BE交AM于点G，交AD于点
K，证得∠MAD＝∠MBE，∠BGM＝∠AGK，即可证得垂直关系；（3）分当△DEF绕点M顺时针旋转α（0°≤α≤90°）角和当△
DEF绕点M逆时针旋转α（0°≤α≤90°）角时，两种情况进行讨论，根据△ADM∽△BEM，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平
方，以及面积的和差即可求得函数的解析式．【解答】解：（1）作DG⊥AB于点G，作EH⊥AB于点H．则四边形DGHE是矩形（如图1）
，设DG＝HE＝x，在直角△ADG中，AD＝＝2x，在直角△BEH中，BE＝＝，则＝．连接AM、DM，则AM⊥BC于点M，同理DM
⊥BC于点M．则AM和DM重合，则AD⊥BE；（2）证明：连接DM，AM．在等边三角形ABC中，M为BC的中点，∴AM⊥BC，∠B
AM＝∠BAC＝30°，＝．∴∠BME+∠EMA＝90°．同理，＝，∠AMD+∠EMA＝90°．∴＝，∠AMD＝∠BME．∴△AD
M∽△BEM．∴＝＝．延长BE交AM于点G，交AD于点K，过点D作DH⊥BC于点H．∴∠MAD＝∠MBE，∠BGM＝∠AGK．∴∠
GKA＝∠AMB＝90°．∴AD⊥BE．（3）解：（ⅰ）当△DEF绕点M顺时针旋转α（0°≤α≤90°）角时，（如图2），∵△AD
M∽△BEM，∴＝（）2＝3．∴S△BEM＝S△ADM∴S＝S△ABM+S△ADM﹣S△BEM﹣S△DEM＝S△ABM+S△ADM
﹣S△DEM＝×3×3+××3（x﹣3）﹣×1×＝x+．∴s＝x+ （3≤x≤3+）．（ⅱ） 当△DEF绕点M逆时针旋转α（0°≤
α≤90°）角时（如图3），同理△ADM∽△BEM，∴＝（）2＝．∴S△BEM＝S△ADM．∴s＝S△ABM+S△BEM﹣S△AD
M﹣S△DEM＝S△ABM﹣S△ADM﹣S△DEM＝﹣××3（3﹣x）﹣＝x+．∴s＝x+（3﹣≤x≤3）．综上，s＝x+（3﹣≤
x≤3+）．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，求得函数的解析式是关键．7．以平面上一点O为直角顶点，分别画
出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO＝∠DCO＝30°．（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM
、EM．①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，＝ ；②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α
＜60°），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（2）如图3，若BO＝3，点N在线段OD上，且NO＝2．点P
是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为 ，最大值为 ．【分析】（1）①连接EF，由已知
条件证明△EMF是直角三角形，并且可求出∠EMF＝30°，利用30°角的余弦值即可求出的值；②若△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角
（0°＜α＜60°），其他条件不变，的值不发生变化，连接EF、AD、BC，由①的思路证明∠EMF＝30°即可；（2）过O作OE⊥A
B于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，当旋转到OE与OD重合时，NP取最小值为：OP﹣ON＝﹣2；当点P在
点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON＝3+2．【解答】解：（1）①如图1，连接EF，∵点E、F、M分别
是AC、CD、DB的中点，∴EF，FM是分别是△ACD和△DBC的中位线，∴EF∥AD，FM∥CB，∵∠ABO＝∠DCO＝30°，
∴∠CDO＝60°，∴∠EFC＝60°，∠MFD＝30°，∴∠EFM＝90°，∴△EFM是直角三角形，∵EM∥CD，∴∠EMF＝∠
MFD＝30°，∴cos30°＝＝，故答案为：；②结论：的值不变，证明：如图2，连接EF、AD、BC，∵Rt△AOB中，∠AOB＝
90°，∠ABO＝30°，∴．∵Rt△COD中，∠COD＝90°，∠DCO＝30°，∴．∴．∵∠AOD＝90°+∠BOD，∠BOC
＝90°+∠BOD，∴∠AOD＝∠BOC．∴△AOD∽△BOC． ∴，∠1＝∠2．∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，∴
EF∥AD，FM∥CB，且，．∴，∠3＝∠ADC＝∠1+∠6，∠4＝∠5．∵∠2+∠5+∠6＝90°，∴∠1+∠4+∠6＝90°，
即∠3+∠4＝90°．∴∠EFM＝90°．∵在Rt△EFM中，∠EFM＝90°，，∴∠EMF＝30°．∴；（2）如图3，过O作OE
⊥AB于E，∵BO＝3，∠ABO＝30°，∴AO＝3，AB＝6，∴AB?OE＝OA?OB，∴OE＝，∴当P在点E处时，点P到O点的
距离最近为，这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON＝﹣2；如图4，当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线
时，NP取最大值OB+ON＝3+2，∴线段PN长度的最小值为，最大值为．故答案为；．【点评】此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定
与性质、直角三角形的判定和性质三角形的中位线的判定和性质、梯形的中位线和性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应
用，注意旋转前后的对应关系．8．已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN＝45°，
连接MC，NC，MN．（1）填空：与△ABM相似的三角形是△ NDA ，BM?DN＝ a2 ；（用含a的代数式表示）（2）求∠MC
N的度数；（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．【分析】（1）如图（3）由条件可以得出∠BMA＝∠3，∠AB
M＝∠ADN＝135°，就可以得出△ABM∽△NDA，利用相似三角形的性质就可以的得出BM?DN＝a2．（2）由△ABM∽△NDA
，可以得出BM：DA＝AB：ND，再由正方形的性质通过等量代换就可以得出△BCM∽△DNC．利用角的关系和圆周角的度数就可以求出结
论．（3）将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF，证明△ABF≌△ADN．利用边角的关系得出△BMF是直角三角形，
由勾股定理就可以得出结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵BM，DN分别平分正方形的
两个外角，∴∠CBM＝∠CDN＝45°，∴∠ABM＝∠ADN＝135°，∵∠MAN＝45°，∴∠BMA＝∠NAD，∴△ABM∽△N
DA，∴∴BM?DN＝a2．（2）由（1）△ABM∽△NDA可得BM：DA＝AB：ND．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，D
A＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°．∴BM：BC＝DC：ND．∵BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，
∴∠CBM＝∠NDC＝45°．∴△BCM∽△DNC．∴∠BCM＝∠DNC．∴∠MCN＝360°﹣∠BCD﹣∠BCM﹣∠DCN＝27
0°﹣（∠DNC+∠DCN）＝270°﹣（180°﹣∠CDN）＝135°．（3）线段BM，DN和MN之间的等量关系是BM2+DN2
＝MN2．证明：如图，将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF．则△ABF≌△ADN． ∴∠1＝∠3，AF＝AN，B
F＝DN，∠AFB＝∠AND．∴∠MAF＝∠1+∠2＝∠2+∠3＝∠BAD﹣∠MAN＝45°．∴∠MAF＝∠MAN．又∵AM＝AM
，∴△AMF≌△AMN．∴MF＝MN．可得∠MBF＝（∠AFB+∠1）+45°＝（∠AND+∠3）+45°＝90°．∴在Rt△BM
F中，BM2+BF2＝FM2．∴BM2+DN2＝MN2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，全等三角形的判定
与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．9．含30°角的
直角三角板ABC中，∠A＝30°．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A''B''C，A''C边
与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A''B''交CB''边于点E，连接BE．（1）如图1，当A''B''边经过点B时，α＝ 60 °；
（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；（3）设BC＝1，AD＝x，△BDE的
面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S＝时，求AD的长，并判断此时直线A''C与⊙E的位置关系．【分析】（1）有旋转可得出∠
α；（2）①如图1，点D在AB边上时，m＝2；②如图2，点D在AB的延长线上时，m＝4．由相似和旋转的性质得出∠A＝∠CBE＝30
°．从而得出m的值；（3）先求得△ABC的面积，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情况讨论：①当点D在AB边上时，AD＝x，BD
＝AB﹣AD＝2﹣x，得出直线A′C与⊙E相切．②当点D在AB的延长线上时，AD＝x，BD＝x﹣2，得出直线A′C与⊙E相交．【解
答】解：（1）当A′B′过点B时，α＝60°；（2）猜想：①如图1，点D在AB边上时，m＝2；②如图2，点D在AB的延长线上时，m
＝4．证明：①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图1）．∵DE∥A′B′，∴．由旋转性质可知，CA＝CA′，CB＝CB′，∠
ACD＝∠BCE．∴．∴△CAD∽△CBE．∴∠A＝∠CBE＝30°．∵点D在AB边上，∠CBD＝60°，∴∠CBD＝2∠CBE，
即m＝2．②当90°＜α＜120°时，点D在AB的延长线上（如图2）．与①同理可得∠A＝∠CBE＝30°．∵点D在AB的延长线上，
∠CBD＝180°﹣∠CBA＝120°，∴∠CBD＝4∠CBE，即m＝4；（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
BC＝1，∴AB＝2，，．由△CAD∽△CBE得．∵AD＝x，∴，．①当点D在AB边上时，AD＝x，BD＝AB﹣AD＝2﹣x，∠D
BE＝90°．此时，．当S＝时，．整理，得x2﹣2x+1＝0．解得x1＝x2＝1，即AD＝1．此时D为AB中点，∠DCB＝60°，
∠BCE＝30°＝∠CBE．（如图3）∴EC＝EB．∵∠A′CB′＝90°，点E在CB′边上，∴圆心E到A′C的距离EC等于⊙E的
半径EB．∴直线A′C与⊙E相切．②当点D在AB的延长线上时，AD＝x，BD＝x﹣2，∠DBE＝90°．（如图2）.．当S＝时，．
整理，得x2﹣2x﹣1＝0．解得，（负值，舍去）．即．此时∠BCE＝α，而90°＜α＜120°，∠CBE＝30°，∴∠CBE＜∠B
CE．∴EC＜EB，即圆心E到A′C的距离EC小于⊙E的半径EB．∴直线A′C与⊙E相交．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，相
似三角形的判定和性质以及旋转的性质，是一道综合题，难度较大．10．已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．（1）将
△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）．①设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的
过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；②若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长；（2）如图2，若PA2+P
C2＝2PB2，请说明点P必在对角线AC上．【分析】（1）△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积
实际是大扇形BAC与小扇形BPP′的面积差，且这两个扇形的圆心角同为90度；（2）连接PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而可
在Rt△PP′C中，用勾股定理求得PC＝6；（3）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠P′CP＝
90°，再证∠BPC+∠APB＝180°，即点P在对角线AC上．【解答】解：（1）①S阴影＝S扇形ABC+S△BP′C﹣S扇形PB
P′﹣S△ABP＝S扇形ABC﹣S扇形PBP′＝，＝（a2﹣b2）；②连接PP′，根据旋转的性质可知：BP＝BP′，∠PBP′＝9
0°；即：△PBP′为等腰直角三角形，∴∠BPP′＝45°，∵∠BPA＝∠BP′C＝135°，∠BP′P＝45°，∴∠BPA+∠B
PP′＝180°，即A、P、P′共线，∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°；在Rt△PP′C中，PP′＝4，P′C＝PA＝2，根
据勾股定理可得PC＝6．（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′．同（1）①可知：△BPP′是等腰直角
三角形，即PP′2＝2PB2；∵PA2+PC2＝2PB2＝PP′2，∴PC2+P′C2＝PP′2，∴∠P′CP＝90°；∵∠PBP
′＝∠PCP′＝90°，在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC＝180°；∵∠BPA＝∠BP′C，∴∠BPC+∠APB＝180
°，即点P在对角线AC上．【点评】本题是一道综合性很强的题，不但考查了扇形的面积公式，还综合了旋转及三角形、正方形等相关知识，难度
较大．11．已知：如图，△ABC中，AB＝3，∠BAC＝120°，AC＝1，D为AB延长线上一点，BD＝1，点P在∠BAC的平分线
上，且满足△PAD是等边三角形．（1）求证：BC＝BP；（2）求点C到BP的距离．【分析】（1）连接PC．根据SAS证明△PAC≌
△PDB，得PC＝PB，∠2＝∠3，再根据有一个角是60°的等腰三角形证明等边三角形即可；（2）作CE⊥PB于E，PF⊥AB于F．
根据等边三角形APD求得PF和BF的长，再根据勾股定理求得BP的长，即为BC的长，从而求得等边三角形的一边上的高CE的长．【解答】
（1）证明：如图，连接PC．∵AC＝1，BD＝1，∴AC＝BD．∵∠BAC＝120°，AP平分∠BAC，∴∠1＝∠BAC＝60°．
∵△PAD是等边三角形，∴PA＝PD，∠D＝60°．∴∠1＝∠D．∴△PAC≌△PDB．∴PC＝PB，∠2＝∠3．∴∠2+∠4＝∠
3+∠4，∠BPC＝∠DPA＝60°．∴△PBC是等边三角形，BC＝BP．（2）解：如图，作CE⊥PB于E，PF⊥AB于F．∵AB
＝3，BD＝1，∴AD＝4．∴△PAD是等边三角形，PF⊥AB，∴DF＝AD＝2，PF＝PD?sin60°＝．∴BF＝DF﹣BD＝
1，∴BP＝．∴CE＝BC?sin60°＝BP?sin60°＝×＝．即点C至BP的距离等于．【点评】此题要熟练掌握全等三角形的判定
和性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理、锐角三角函数的概念．12．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EA
F＝45°，AP⊥EF于点P．（1）求证：AP＝AB；（2）若AB＝5，求△ECF的周长．【分析】通过作辅助线，①证明△ABF′≌
△ADF和△EAF′≌△EAF，再通过面积公式得出AP＝AB；②三角形的周长＝三边之和，由①中三角形的全等，通过等量代换，得出BE
+BF′＝EF′．【解答】证明：（1）延长CB到F′，使BF′＝DF，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，∴∠
ABF′＝180°﹣∠ABC＝90°＝∠D，∴△ABF′≌△ADF（SAS），∴AF′＝AF，∠1＝∠2，∴∠EAF′＝∠1+∠3
＝∠2+∠3＝90°﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，又∵EA＝EA，∴△EAF′≌△EAF（SAS），∴EF′＝EF，S△AEF''＝
S△AEF，而EF′?AB＝EF?AP，∴AB＝AP．解：（2）C△CEF＝EC+CF+EF＝EC+CF+EF′＝EC+BE+CF
+BF′＝BC+CF+DF＝BC+CD＝2AB＝10．【点评】本题是一道综合题，考查三角形的全等，正方形的性质，以及等量代换的方法
和转化的思想．13．在等腰梯形ABCD中，已知AB＝6，BC＝，∠A＝45°，以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系，将
等腰梯形ABCD饶A点按逆时针方向旋转90°得到等腰梯形OEFG（O、E、F、G分别是A、B、C、D旋转后的对应点）（图1）（1）
写出C、F两点的坐标；（2）等腰梯形ABCD沿x轴的负半轴平行移动，设移动后的OA＝x（图2），等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG
重叠部分的面积为y，当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，求y与x之间的关系式；（3）线段DC上是否存在点P，使EFP为等腰三角形
？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求这两点的坐标其实求出其中一个也就知道另外一个的坐标了，我们求C的坐标
即可．如果过点C向x轴引垂线，那么组成的以BC为斜边的小直角三角形中，两直角边的长就都应该是2（可根据BC＝2，∠A＝∠C＝45°
，用正弦或余弦函数就能求出），那么C点的坐标就应该是（4，2）．而F点的横坐标的绝对值等于C点纵坐标的绝对值，F点的纵坐标的绝对值
等于C点横坐标的绝对值，因此F的坐标应是（﹣2，4）．（2）在（1）中，我们得出了点C的坐标，那么用同样的方法可得出D点的坐标（2
，2），当梯形向左平移x单位后，设DC与y轴交于H，那么DH＝x﹣2．这样我们可以根据重合部分的面积＝梯形DHOA的面积﹣三角形A
QO的面积（设AD、OG交于Q），那么关键是求出三角形AQO的面积，根据旋转的性质可知，∠GQD＝90°，即三角形AQO是个直角三
角形，又因为∠AQO＝45°，OA＝x，那么很明显三角形AQO的两直角边就应该是x，那么三角形AQO的面积＝×（x）2＝x2．在上
面我们求出了DH的长，那么梯形AOHD的面积＝×（x﹣2+x）×2＝2x﹣2．因此重合部分的面积＝梯形ADHO的面积﹣三角形AQM
的面积＝﹣x2+2x﹣2．也就求出了x、y的函数关系式．（3）要分三种情况进行讨论：①以E为顶点，EF、EP为腰的等腰三角形，②以
F为顶点，EF、FP为腰的等腰三角形．③以P为顶点，FP、EP为腰的等腰三角形．我们根据（1）的结果不难得出E点的坐标是（0，6）
，F点的坐标是（﹣2，4）．根据P在DC线上那么，可设P点坐标是（m，2）．那么可用坐标系中两点间的距离公式，分别按三种情况进行计
算，得出符合条件的m的值．【解答】解：（1）C的坐标是（4，2），F的坐标是（﹣2，4）（2）过D作DM⊥AB于M，过C作CN⊥A
B于N，图（1）中，在直角三角形AMD中，AD＝2，∠DOM＝45°，因此DM＝AM＝2．因此D点的坐标是（2，2）．图（2），当
OA＝x时，设DC交y轴于H，AD交GO于Q，那么DH＝x﹣2．所以梯形AODH的面积＝×（DH+OA）×DM＝2x﹣2．△AQO
中，根据旋转的性质及旋转角度为90度．可得：∠AQO＝90°，又因为∠QAM＝45°，因此AQ＝QO＝x，所以△AQO的面积＝×A
Q×OQ＝x2因此重合部分的面积y＝S梯形AODH﹣S△AQO＝2x﹣2﹣x2即：y＝﹣x2+2x﹣2（2＜x＜4）（3）由于P点
在DC线上，设点P的坐标为（m，2）．根据旋转的性质以及图（1）中，B、C两点的坐标可知：E点的坐标是（0，6），F点的坐标是（﹣2，4）．①当以E为顶点，EF、EP为腰时，EF＝EP＝2，因此（2）2＝m2+（2﹣6）2，即m2+16＝8，此方程无解，因此不存在这种情况．②当以F为顶点，EF、FP为腰时，EF＝FP＝2，因此（2）2＝（m+2）2+（2﹣4）2，即m（m+4）＝0，m＝﹣4，m＝0．当m＝﹣4时，P点坐标为（﹣4，2）．PE＝＝4＝2EF，因此P、E、F在一条直线上构不成三角形，因此此时P点的坐标应该是（0，2）．③当以P为顶点，FP、EP为腰，EP＝PF，因此m2+（2﹣6）2＝（m+2）2+（2﹣4）2，即m＝2．那么此时P的坐标为（2，2）．综上所述，存在符合条件的P点且坐标为（2，2）或（0，2）．【点评】本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用，本题中根据梯形的性质得出梯形旋转前后各顶点的坐标是解题的关键．14．如图，在△ABC中，若AB＝5，AC＝2，∠BAC＝120°．以BC为边作等边三角形BCD，把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置．（1）求∠BAD的度数；（2）求AE的长．【分析】（1）由旋转的性质得∠ADE＝60°，AD＝DE，得到等边三角形ADE，求出∠E＝60°，根据旋转得出∠BAD＝∠E＝60°；（2）由（1）知CE＝AB＝5，AC＝2，∠BAD＝60°，有∠DCE+∠BCD+∠BCA＝180°，从而得出AE．【解答】解：（1）连接AE，∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°，到△ECD位置，∴∠ADE＝60°，AD＝DE，∴△ADE是等边三角形，四边形ABDC中，∠BAC＝120°，∠BDC＝60°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣120°﹣60°＝180°，∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，∴∠ECD＝∠ABD，∴∠ECD+∠ACD＝180°，即∠ACE＝180°，∴A、C、E三点共线，∴∠DAE＝60°，∠BAD＝60°（2）∵A、C、E三点在一条直线上，由（1）知CE＝AB＝5，AC＝2，∠BAD＝60°，有∠DCE+∠BCD+∠BCA＝180°，∴AE＝7．【点评】本题考查了旋转的性质，以及等边三角形的性质，是基础知识要熟练掌握． 1 / 1 |
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