2020北京燕山初三二模 数 学 2020年6月考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。2．
在试卷和答题纸上准确填写学校名称、班级、姓名和考号。3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。4．在答题纸上，选择题
、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。5．考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回。一、选择题（本题共16分，每小题2
分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．2020年5月5日18时，长征五号B运载火箭首飞成功，标志着我国空间站工程
建设进入实质阶段．长征五号B运载火箭运载能力超过22000千克，是目前我国近地轨道运载能力最大的火箭．将22000用科学记数法表示
应为A．2.2×104 B．2.2×105 C．22×103 D．0.22×1052．如图，用三角板作△ABC的边AB上的高
线，下列三角板的摆放位置正确的是A． B． C． D．3．下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A．
B． C． D．4．如图是某几何体的展开图，则该几何体是A．四棱锥 B．三棱锥 C．四棱柱 D．长方体5．如图，在数轴
上，实数a，b的对应点分别为点A，B，则ab＝A．1.5 B．1C．－1 D．－46．2019年10月20日，第六届世界互联网
大会在浙江乌镇举行，会议发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果属于芯片领域．小飞同学要从这15项“世界互联网领先科
技成果”中任选1项进行了解，则他恰好选中芯片领域成果的概率为A． B． C． D．7．若，则代数式的值为A．1 B．2C
．4 D．68．“实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性能的重要指标．某汽车生产厂家为了解某
型号电动汽车的“实际平均续航里程”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过40岁和年龄在40岁以上将客
户分为A，B两组，从A，B组各抽取10位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”数据整理成下图，其中“⊙”表示A组的客户，“”表示B
组的客户．下列推断不正确的是A．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值低于B组B．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程
”的方差低于B组C．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值低于B组D．这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的中位
数落在B组二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．函数中，自变量x的取值范围是 ．10．分解因式：＝ ．11．右图中的四边形
均为矩形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式： ．12．用一个的值说明命题“若，则”是假命题，这个值可以是＝ ．13．如图
，∠1，∠2，∠3均是五边形ABCDE的外角，AE∥BC，则∠1＋∠2＋∠3＝ °．第14题图14．如图，边长为1的小正方形网格
中，点A，B，C，D，E均在格点上，半径为2的⊙A与BC交于点F，则tan∠DEF＝ ．第13题图15．《算法统宗》是中国古代数
学名著，作者是明代数学家程大位．其中有一个“绳索量竿”问题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，问索
长几尺”．译文：现有一根杆和一条绳索，用绳索去量杆，绳索比杆子长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿子短5尺，问绳索长几尺？
注：一托＝5尺设绳索长尺，竿子长尺，依题意，可列方程组为 ．16．四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M，N，P，Q分
别为边AB，BC，CD，DA的中点．有下列四个推断，①对于任意四边形ABCD，四边形MNPQ都是平行四边形；②若四边形ABCD是平
行四边形，则MP与NQ交于点O；③若四边形ABCD是矩形，则四边形MNPQ也是矩形；④若四边形MNPQ是正方形，则四边形ABCD也
一定是正方形．所有正确推断的序号是 ．三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，
28题，每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：．18．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．19．如图
，△ABC中，AB＝BC，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线AE交BC于点E．(1) 使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(
2) 求证：∠BCD＝∠CAE．20．已知关于x的方程．(1) 求证：方程总有两个实数根；(2) 若方程的两个根均为正整数，写出一
个满足条件的m的值，并求此时方程的根． 21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，O为BC中点，连结DO并延长到
点E，使OE＝OD，连接BE，CE．(1) 求证：四边形DCEB为菱形；(2) 若AC＝6，∠DCB＝30°，求四边形DCEB的面
积．22．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点C，与反比例函数的图象交于点A(1，4)和点B．(1) 求m，k的值及点C
的坐标；(2) 若点P是x轴上一点，且S△ABP＝5，直接写出点P的坐标．23．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O
切线CD交BA的延长线于点D，过点O作OE∥AC交切线DC于点E，交BC于点F.(1) 求证：∠B＝∠E；(2) 若AB＝10，c
osB＝，求EF的长.24．已知y1，y2均是x的函数，下表是y1，y2与x的几组对应值：x…－4－3－2－101234…y1…－
3－3－3－3－3－2.5－11.55…y2…－1.88－2.4－3.2－4043.22.41.88…小聪根据学习函数的经验，利用
上述表格所反映出的y1，y2与x之间的变化规律，分别对函数y1，y2的图象与性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：(1
) 如图，在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象；(2)
结合画出的函数图象，解决问题：① 当x＝3.5时，对应的函数值y1约为 ；② 写出函数y2的一条性质： ；③ 当y1>
y2时，x的取值范围是 ．25．某学校八、九年级各有学生200人，为了提高学生的身体素质，学校开展了主题为“快乐运动，健康
成长”的系列体育健身活动．为了了解学生的运动状况，从八、九年级各随机抽取40名学生进行了体能测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对
数据(成绩)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．（说明：成绩80分及以上为优秀，70--79分为良好，60--69分为合格
，60分以下为不合格）a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为五组：50x60， 60x70，70x80，80x90， 9
0x100）b．八年级学生成绩在70x80这一组的是：70 71 73 73 73 74 76
77 78 79c．九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下：平均数中位数众数优秀率79768440%
根据以上信息，回答下列问题:(1) 在此次测试中，小腾的成绩是74分，在年级排名是第17名，由此可知他是 年级的学生（填“八”，或
“九”）；(2) 根据上述信息，推断 年级学生运动状况更好，理由为 ；（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）(3) 假设八、九
年级全体学生都参加了此次测试，① 预估九年级学生达到优秀的约有 人；② 如果年级排名在前70名的学生可以被评选为“运动达人”，预估
八年级学生至少要达到 分才可以入选．26．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B(A在B的左侧)．(1) 求点A，B的坐标及
抛物线的对称轴；(2) 已知点P(2，2)，Q(2＋2a，5a)，若抛物线与线段PQ有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．27
．已知菱形ABCD中，∠A＝60°，点E为边AD上一个动点(不与点A，D重合)，点F在边DC上，且AE＝DF，将线段DF绕着点D逆
时针旋转120°得线段DG，连接GF，BF，EF．(1) 依题意补全图形；(2) 求证：△BEF为等边三角形；(3) 用等式表示线
段BG，GF，CF的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系中的点P和图形，给出如下定义：若图形上存在两个点A，B，使得△PAB
是边长为2的等边三角形，则称点P是图形的一个“和谐点”．已知直线l：与x轴交于点M，与y轴交于点N，⊙O的半径为r．(1) 若n＝
0，在点(2，0)，(0，2)，(4，1)中，直线l的和谐点是 ；(2) 若r＝，⊙O上恰好存在2个直线l的和谐点，求n的取值范围
；(3) 若n＝3，线段MN上存在⊙O的和谐点，直接写出r的取值范围．2020北京燕山初三二模数学参考答案一、选择题（本题共16分
，每小题2分）题号12345678选项ABDACBDC二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．； 10．；11．答案不唯
一，如，； 12．答案不唯一，如，－2；13．180；14．；15． 16．①②．三、解答题（本题共68分，第1
7－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．解：原式＝＝．18．解：去分母，得，去括号，
得，移项合并同类项，得， 系数化为1，得，∴原不等式的解集为． 在数轴上表示如下：19．(1) 解：补全的图形如下图； (2) 证
明：∵AB＝BC，∴∠B＝∠ACB．又∵AE是∠BAC的平分线，∴AE⊥BC，∴∠ACB＋∠CAE＝90°．∵CD⊥AB，∴∠B＋
∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠CAE．20．解：(1)由题意，得Δ＝ ＝＝＝．∵不论m为何实数，恒成立，即Δ≥0恒成立，∴方程总
有两个实数根．(2) 此题答案不唯一由求根公式，得， ∴原方程的根为，．∵方程的两个根都是正整数，∴取，此时方程的两根为，． 21
．(1)证明：∵O是BC边中点，∴OC＝OB，又∵OE＝OD，∴四边形DCEB是平行四边形．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D
为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形DCEB为菱形． (2) 解：∵CD＝BD，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝∠DCB＝30°．∵R
t△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，∠ABC＝30°，∴AB＝12，BC＝．∵D为AB中点，O是BC中点，∴DO＝AC＝3，
∴S菱形DCEB＝BC·DO＝．22．解：(1) 将点A(1，4)的坐标代入中，得 ，解得．在中，令，得，∴点C的坐标为(－3，0
)．将点A(1，4)的坐标代入中，得 k＝1×4＝4．(2) P(－5，0)或P(－1，0)．23．(1)证明：如图，连接OC，∵
AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACO＋∠OCB＝90°．∵DE是⊙O的切线，∴∠OCD＝∠ACO＋∠ACD＝90°，∴∠OCB＝
∠ACD.∵OB，OC是⊙O的半径，∴OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.∵OE∥AC，∴∠ACD＝∠E，∴∠B＝∠E.(2)解：在Rt
△ACB中,cosB＝＝，AB＝10，∴BC＝8，AC＝6．∵∠ACB＝∠OCE＝90°，∠B＝∠E，∴△ACB∽△OCE，∴，∴
，∴OE＝．∵OF∥AC，O为AB中点，∴OF＝AC＝3，∴EF＝OE－OF＝. 24．解：本题答案不唯一，如，(1) (2) ①
3.13；②当x＝－1时，y2有最小值－4；③，或．25．解：(1)八；(2)九；理由：①九年级优秀率40%，八年级优秀率30%
，说明九年级体能测试优秀人数更多；②九年级中位数为76，八年级为72，说明九年级一半的同学测试成绩高于76分，而八年级一半同学的测
试成绩仅高于72分．③通过图表，估计八年级成绩平均数为73.25，低于九年级的79分，说明九年级整体水平高于八年级．综合以上三个(
两个)理由，说明九年级学生的运动状况更好．(3) ①80；②78．26．解：(1) ∵＝，∴抛物线与x轴交于点A(0，0)，B(4
，0)．抛物线的对称轴为直线：． (2) ＝＝，抛物线的顶点坐标为(2，－4a)．令，得，，解得，或，∴当时，抛物线上两点M(－1
，5a)，N(5，5a)．图2图3图1①当时，抛物线开口向上，顶点位于x轴下方，且Q(2＋2a，5a)位于点P的右侧，如图1，当点
N位于点Q左侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时2＋2a≥5，解得．②当时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点Q(2＋2a，5a
)位于点P的左侧，(ⅰ)如图2，当顶点位于点P下方时，抛物线与线段PQ有公共点，此时－4a <2，解得．(ⅱ)如图3，当顶点位于点
P上方，点M位于点Q右侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时2＋2a<－1，解得．综上，a的取值范围是，或，或． 27．(1)解：补
全图形，如图． (2)证明：∵菱形ABCD，∴AB＝AD．又∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD＝∠BDC＝60°，
AB＝BD．在△ABE和△DBF中，AB＝BD，∠A＝∠BDF，AE＝DF，∴△ABE≌△DBF，∴BE＝BF，∠ABE＝∠D
BF，∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠EBD＋∠ABE＝∠ABD＝60°，∴△BEF为等边三角形． (3) BG，GF，CF的数
量关系为(BG－CF)＝2GF． 证明：如图2，取FG中点H，连接DH，∵AE＝DF＝DG，∠FDG＝120°，∴∠DFG＝∠DG
F＝30°，DH⊥GF，∴GF＝2GH＝2DG·cos30°＝DG．又∵△BCD为等边三角形，∴BD＝CD，∠BDC＝60°．∵∠
FDG＝120°，∴∠BDC＋∠FDG＝180°，即B，D，G三点在同一条直线上，∴BG＝BD＋DG＝CD＋DG＝CF＋DF＋DG
＝CF＋2DG，∴BG－CF＝2DG．∴(BG－CF)＝2DG＝2GF． 28．解：(1)直线l的和谐点是 ， ； (2) 如图，
设A，B在直线l上，点C在⊙O上，△ABC是边长为2的等边三角形，∵，∴当直线l位于l1时，⊙O上只有1个点C是直线l的和谐点，当
直线l位于l2时，⊙O上有3个点C，C2，C3都是直线l的和谐点，∴满足条件的直线l应位于直线l1和l2之间．设过点C且与⊙O相切
的直线为l''，直线l1，l2，l''分别与x轴，y轴交于点M1，N1，M2，N2，M''，N''．连接OC，则OC⊥l''，OC＝2．取A
B中点D，连接CD，则CD＝，且O，C，D三点共线，∴OD＝2＋．∵直线l：与x轴交于点M，与y轴交于点N，∴M(－n，0)，N(
0，n)，∴tan∠MNO＝＝，∴∠MNO＝30°．∴在Rt△OCN''和Rt△ODN1中，ON''＝2OC＝4，ON1＝2OD＝4＋
2，∴N''N1＝ON1－ON''＝2，由对称性得N''N2＝2，即N2(0，4－2)，∴n的取值范围是． (3) r的取值范围是．详解如下：∵，∴N(0，)，ON＝，∠ONM＝30°．如图，设A，B在⊙O上，P是MN上的点，△ABP是边长为2的等边三角形，设AB的中点为D，则O，P，D三点共线，∴r＝OB＝，又OD＝OP－PD（图1），或OD＝OP＋PD（图2），而BD＝1，PD＝为定值，∴只需考虑OP的取值范围即可．图1图2图1如图3，当OP⊥MN时，OP最小，此时⊙O的半径最小．∵ ON＝，∠ONP＝30°，∴OP＝ON＝．又∵PD＝，图3∴OD＝OP－PD＝．∴在Rt△OBD中，BD＝1，OD＝，∴r＝OB＝＝．如图4，当⊙O的和谐点恰好是N点(即P点与N点重合)时，OP最大，此时⊙O的半径最大，∵ON＝，ND＝，∴OD＝，又BD＝1，∴r＝OB＝＝7．图4综上，r的取值范围是． 1 / 1 |
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