2021北京陈经纶中学分校初三（上）期中数学（教师版）

2021北京陈经纶中学分校初三（上）期中数 学一、选择题（共8个小题，每小题2分，共16分）1. 下列各项中，方程的两个根互为相反数的是（
）A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴为（ ）．A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线3. 将等边三角形绕其中心旋转n
时与原图案完全重合，那么n的最小值是（ ）A. 60B. 90C. 120D. 1804. 如图，是△ABC的外接圆，已知，则的大
小为（ ）A. 55°B. 60°C. 65°D. 75°5. 在一个不透明口袋中装有3张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字，0
，2，从中随机抽出两张不同卡片，则下列判断正确的是（ ）A. 数字之和是0的概率为0B. 数字之和是正数的概率为C. 卡片上面的数
字之和是负数的概率为D. 数字之和分别是负数、0、正数的概率相同6. 已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系（ ）A. B.
C. D. 7. 如图，已知AB是的直径，C是AB延长线上一点，CE是的切线，切点为D，过点A作于点E，交于点F，连接OD、AD
、BF．则下列结论不一定正确的是（ ）A. B. AD平分C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以(3，0)为圆心作⊙
P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C(0，2)，Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，
PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数
关系的部分图象是（　　）A. B. C. D. 二、填空题（共8个小题．每小题2分，共16分，请将答案填在答题卡的对应位置）9.
若关于x一元二次方程有两个不相等的解，则k的取值范围是________．10. 将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则
旋转后的抛物线解析式是___________．11. 已知在直角坐标平面上的机器人接受指令“”（，）后行动，结果为：在原地顺时针旋
转A后，再向面对方向沿直线前行a．若机器人的位是在原点，面对方向是y轴的负半轴，则它完成一次指令后所在位置的坐标是________
．12. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心坐标是_____．13. 已知关于的二
次函数的图象如图所示，则关于的方程的根为__________14. AB是的直径，点C在上，，点P在线段OB上运动．设，则x的取值
范围是________．15. 抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若，则
时的函数值小于时的函数值．其中正确结论的序号是________．16. 如图，与x轴交于、两点，，点P是y轴上的一个动点，PD切于
点D，则△ABD的面积的最大值是________；线段PD的最小值是________．三、解答题（本题共68分，第17-22题各5
分，第23-26题各6分，第27-28题各7分在答题卡上写出必要的过程）17. 解方程：．18. 已知抛物线的顶点为(﹣2，2)，
且过坐标原点，求抛物线的解析式．19. 元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，OA经过坐标原点O，
并与两坐标轴分别交于B、C两点，点B坐标为，点D在上，且，求OA的半径和圆心A的坐标．元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程：解：如
图2，连接BC．作AELOB于E、AF⊥OC于F．∴、（依据是 ① ）∵，∴（依据是 ② ）．∵，．∴BC是的直径（依据是 ③ ）
．∴∵，∴A的坐标为（ ④ ）的半径为 ⑤ 20. 如图，在一面靠墙的空地上，用长24米的篱笆围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，墙
的最大可用长度为8米，设花圃的一边AB的长为x米，面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式：（2）求自变量x的取值范围．21
. 如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，求⊙O半径的长．22. 一个袋中有3
张形状大小完全相同的卡片，编号为1,2,3，先任取一张，将其编号记为m，再从剩下的两张中任取一张，将其编号记为n.（1）请用树状图
或者列表法，表示事件发生的所有可能情况；（2）求关于x方程有两个不相等实数根的概率.23. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，
，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得△ADC，连接OD．（1）当时， °；（2）当时， °；（3）若，，，则OA的长为 ．24.
在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象过A（-1，-2）、B（1，0）两点．（1）求此二次函数的解析式；（2）点是x轴上的一个动
点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交二次函数的图象于点N．当点M位于点N的上方时，直接写出t的取值范围．25. 如图，AB为
⊙O的直径，射线AP交⊙O于C点，∠PCO的平分线交⊙O于D点，过点D作交AP于E点．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE=
3，AC=8，求直径AB的长．26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．（1）求抛物线的对称轴；（2）
①过点P(0，2)作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．求点M，N的坐标；②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN
围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，求m的取值范围．27. 正方形ABCD的边长为2，将射线AB绕点A顺时针旋转α，所得射
线与线段BD交于点M，作CE⊥AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．（1）如图，当0°＜α＜45°时：①依题意补全图；
②用等式表示∠NCE与∠BAM之间的数量关系：___________；（2）当45°＜α＜90°时，探究∠NCE与∠BAM之间的数
量关系并加以证明；（3）当0°＜α＜90°时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大值．28. 在平面直角坐标系xOy中，对
于△ABC，点M在BC边的垂直平分线上，以点M为圆心，MB为半径作，设与△ABC三条边的公共点个数之和为n．定义：当时，则称点M为
△ABC关于边BC的“可圈可控点”．例如：已知点，．（1）如图1，若点，则△ABC关于边BC的“可圈可控点”坐标是_____．（2
）如图2，若点，则△ABC关于边BC的“可圈可控点”坐标是____．（3）如图3，若点，则在点、、、中，能成为△ABC关于边BC的
“可圈可控点”有_______．（4）如图4，若点，设△ABC关于边BC的“可圈可控点”M坐标是，请直接写出m的取值范围_____
__．参考答案一、选择题（共8个小题，每小题2分，共16分）1. 下列各项中，方程的两个根互为相反数的是（ ）A. B. C. D
. 【答案】B【解析】【分析】设方程的两个根分别为，根据互为相反数的定义得到，即方程中一次项系数为0，分别解方程，，即可得到答案．
【详解】解：设方程的两个根分别为，∵方程的两个根互为相反数，∴，即二次项系数为1的方程中一次项系数为0，排除选项C、D，∵，∴，方
程无解；选项A不符合题意；∵，∴，故选：B．【点睛】此题考查了互为相反数的定义，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系正确掌握
解一元二次方程的方法是解题的关键．2. 抛物线的对称轴为（ ）．A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线【答案】B【解析】【分析】
由抛物线的顶点式可得到抛物线的顶点坐标，从而可得到抛物线的对称轴．【详解】解：∵抛物线y=(x+1)2-2的顶点坐标为（-1，-2
），∴抛物线的对称轴是直线x=-1．故选：B．【点睛】本题考查的是抛物线的顶点坐标、对称轴，二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为
直线，顶点坐标为(，) ．3. 将等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，那么n的最小值是（ ）A. 60B. 90C. 12
0D. 180【答案】C【解析】【分析】根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做
旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角），找到旋转角，求出其度数．【详解】解：等边三角形绕其中心旋转n时与原
图案完全重合，因而绕其中心旋转的最小度数是=120°．故选C．【点睛】本题考查了根据旋转对称性，掌握旋转的性质是解题的关键．4.
如图，是△ABC的外接圆，已知，则的大小为（ ）A. 55°B. 60°C. 65°D. 75°【答案】C【解析】【分析】由OA=
OB，，求出∠AOB=130°，根据圆周角定理求出的度数．【详解】解：∵OA=OB，，∴∠BAO=．∴∠AOB=130°．∴=∠A
OB=65°．故选：C．【点睛】此题考查了同圆中半径相等的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．5. 在一个不透明的
口袋中装有3张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字，0，2，从中随机抽出两张不同卡片，则下列判断正确的是（ ）A. 数字之和是0的
概率为0B. 数字之和是正数的概率为C. 卡片上面的数字之和是负数的概率为D. 数字之和分别是负数、0、正数的概率相同【答案】A【
解析】【分析】列树状图，得到共有6种等可能的情况，和为正数的有4种情况，和为负数的有2种情况，依次判断即可．【详解】解：列树状图如
下：共有6种等可能的情况，和为正数的有4种情况，和为负数的有2种情况，A. 数字之和是0的概率为0，故该项符合题意； B. 数字之
和是正数概率为，故该项不符合题意； C. 卡片上面的数字之和是负数的概率为，故该项不符合题意； D. 数字之和分别是负数、0、正数
的概率不相同，故该项不符合题意； 故选：A．【点睛】此题考查了列树状图求事件的概率，概率的计算公式，正确列出树状图解答是解题的关键
．6. 已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的对称性，增
减性，即可得出y1、y2、y3的大小关系．【详解】解：二次函数y=-（x-2）2的图象开口向下，对称轴为直线x=2，∴C（4，y3
）关于对称轴的对称点为（0，y3），∵-＜0＜1＜2，∴y1＜y3＜y2，故选：B．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特
征，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数的增减性、对称性是解此题的关键．7. 如图，已知AB是的直径，C是AB延长线上一点，C
E是的切线，切点为D，过点A作于点E，交于点F，连接OD、AD、BF．则下列结论不一定正确的是（ ）A. B. AD平分C. D.
【答案】D【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角，切线的性质即可判断A选项；根据，，进而即可判断B选项；设交于点，证明四边形
是矩形，由垂径定理可得，进而可得进而判断C选项；无法判断D选项．【详解】解：∵AB是的直径，∴∵CE是的切线，切点为D，∴，故A选
项正确，，即AD平分，故B选项正确，设交于点，如图，∵，∴四边形是矩形，，故C选项正确若，则由于点不一定是的中点，故D选项不正确；
故选D【点睛】本题考查了直径所对圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，矩形的判定，掌握圆的相关知识是解题的关键．8. 如图，在平面直
角坐标系xOy中，以(3，0)为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C(0，2)，Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接
QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点
B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是（　　）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接PC．根据勾
股定理求得PC2＝13，即圆的半径的平方＝13；根据三个角是直角的四边形是矩形，得矩形PEQF，则PE＝QF，根据垂径定理，得QF
＝BF，则PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝y，从而判断函数的图象．【详解】解：连接PC．∵P（3，0），C（0，2），∴P
C2＝13．∵AB是直径，∴∠Q＝90°．又PE⊥QA于E，PF⊥QB于F，∴四边形PEQF是矩形．∴PE＝QF．∵PF⊥QB于F
，∴QF＝BF．∴PE＝BF．∴y＝PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝13．故选：A．【点睛】此题综合运用矩形的判定和性质、
垂径定理求得y的值，常数函数是平行于坐标轴的一条直线．二、填空题（共8个小题．每小题2分，共16分，请将答案填在答题卡的对应位置）
9. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的解，则k的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据根的判别式解答．【详解
】解：，∵一元二次方程有两个不相等的解，∴，∴>0，解得，故答案为：．【点睛】此题考查了利用一元二次方程根的情况求参数的取值范围，
正确掌握一元二次方程根的判别式的三种情况是解题的关键．10. 将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析
式是___________．【答案】y=-x2-1【解析】【详解】解：根据题意，-y=（-x）2+1，得到y=-x2-1．故旋转后
的抛物线解析式是y=-x2-1．故答案是：y=-x2-111. 已知在直角坐标平面上的机器人接受指令“”（，）后行动，结果为：在原
地顺时针旋转A后，再向面对方向沿直线前行a．若机器人的位是在原点，面对方向是y轴的负半轴，则它完成一次指令后所在位置的坐标是___
_____．【答案】（-1，- ）．【解析】【分析】根据题意画出图形，得出OA=2，∠AOC=30°，求出∠AOB，根据直角三角形
的性质和三角函数求出OB、AB即可．【详解】解：如图，设旋转后的对应点为A，作AB⊥x轴，垂足为B，则∠BOA=60°，OA=2，
在Rt△AOB中，OB=OA?cos60°=1，AB=OA?sin60°=， ∴A（-1，- ）．故答案为：（-1，- ）．．【点
睛】此题考查了三角函数的应用，正确理解题意作出图形利用三角函数求值是解题的关键．12. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在
格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是_____．【答案】（2，1）【解析】【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必
过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直
平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为：（2，1）．【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径
定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．13. 已知关于的二次函数的图象如图所示，则关于的方程的根为__________【答案】0或-3
【解析】【分析】求关于的方程的根，其实就是求在二次函数中，当 y=4时x的值，据此可解．【详解】解：∵抛物线与x轴的交点为（-4，
0），（1，0），∴抛物线的对称轴是直线x=-1.5，∴抛物线与y轴的交点为（0，4）关于对称轴的对称点坐标是（-3，4），∴当x
=0或-3时，y=4,即=4，即=0∴关于x的方程ax2+bx =0的根是x1=0，x2=-3．故答案为：x1=0，x2=-3．【
点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，能根据题意利用数形结合把求出方程的解的问题转化为二次函数的问题是解答此题的关键．1
4. AB是的直径，点C在上，，点P在线段OB上运动．设，则x的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】分别求出当点P
与点O重合时，当点P与点B重合时x的值，即可得到取值范围．【详解】解：当点P与点O重合时，∵OA=OC，∴，即；当点P与点B重合时
，∵AB是的直径，∴，∴x的取值范围是．【点睛】此题考查了同圆中半径相等的性质，直径所对的圆周角是直角的性质，正确理解点P的运动位
置是解题的关键．15. 抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若，则时的函数
值小于时的函数值．其中正确结论的序号是________．【答案】③④【解析】【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点即可判
断；②根据抛物线的对称轴方程即可判断；③根据抛物线经过点，且对称轴为直线可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断；④根据，得出和
的大小及其与的关系，利用二次函数的性质即可判断．【详解】解：①观察图象可知：，，，，所以①错误；②对称轴为直线，即，解得，即，所以
②错误；③抛物线经过点，且对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为，当时，，即，所以③正确；，，由时，随的增大而减小知时的函数值小于
时的函数值，故④正确；故答案为：③④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及点的坐标特
征．16. 如图，与x轴交于、两点，，点P是y轴上的一个动点，PD切于点D，则△ABD的面积的最大值是________；线段PD的
最小值是________．【答案】 ①. ##0.5②. 【解析】【分析】根据题中点的坐标可得圆的直径，半径为1，分析以AB定长为
底，点D在圆上，高最大为圆的半径，即可得出三角形最大的面积；连接AP，设点，根据切线的性质及勾股定理可得，由其非负性即可得．【详解
】解：如图所示：当点P到如图位置时，的面积最大，∵、，∴圆的直径，半径为1，∴以AB定长为底，点D在圆上，高最大为圆的半径，如图所
示：此时面积的最大值为：；如图所示：连接AP，∵PD切于点D，∴，∴，设点，在中，，，∴，在中，，∴，则，当时，PD取得最小值，最
小值为，故答案为：①；②．【点睛】题目主要考查切线的性质及勾股定理的应用，理解题意，作出相应图形求出解析式是解题关键．三、解答题（
本题共68分，第17-22题各5分，第23-26题各6分，第27-28题各7分在答题卡上写出必要的过程）17. 解方程：．【答案】
，【解析】【分析】先计算利用公式法直接解方程即可．【详解】解：∵，，，∴．∴．∴，．【本题】本题考查的是用公式法解一元二次方程，掌
握公式法解一元二次方程是解题的关键．18. 已知抛物线的顶点为(﹣2，2)，且过坐标原点，求抛物线的解析式．【答案】y＝﹣（x+2
）2+2【解析】【分析】设顶点式y＝a（x+2）2+2，然后把（0，0）代入求出a即可．【详解】解：∵抛物线的顶点为(﹣2，2)，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2+2，把（0，0）代入得，a（0+2）2+2＝0，解得a＝﹣，所以抛物线的解析式为y＝﹣（x
+2）2+2．【点睛】本题考查了求二次函数解析式，解题关键是根据已知设抛物线的顶点式，代入数值后准确计算．19. 元元同学在数学课
上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，OA经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于B、C两点，点B的坐标为，点D在上，
且，求OA的半径和圆心A的坐标．元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程：解：如图2，连接BC．作AELOB于E、AF⊥OC于F．∴、
（依据是 ① ）∵，∴（依据是 ② ）．∵，．∴BC是的直径（依据是 ③ ）．∴∵，∴A的坐标为（ ④ ）的半径为 ⑤ 【答案】垂
径定理，圆周角定理，圆周角定理，（1，），2【解析】【分析】根据垂径定理，圆周角定理依次分析解答．【详解】解：如图2，连接BC．作
AE⊥OB于E、AF⊥OC于F．∴、（依据是垂径定理）∵，∴（依据是圆周角定理）．∵，．∴BC是的直径（依据是圆周角定理）．∴，∵
，∴A的坐标为（1，），的半径为2，故答案为：垂径定理，圆周角定理，圆周角定理，（1，），2．【点睛】此题考查了圆的知识，垂径定理
、圆周角定理，熟记各定理知识并综合应用是解题的关键．20. 如图，在一面靠墙的空地上，用长24米的篱笆围成中间隔有两道篱笆的长方形
花圃，墙的最大可用长度为8米，设花圃的一边AB的长为x米，面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式：（2）求自变量x的取值范
围．【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）根据长方形面积公式计算即可；（2）根据0<计算可得自变量x的取值范围．【小问1详
解】解：设AB=x米，则BC=（24-4x）米，∴；【小问2详解】解：∵0<，∴．【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求自变量的
取值范围，正确掌握图形的特点求出函数解析式是解题的关键．21. 如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA
．若AB＝4，CD＝1，求⊙O半径的长．【答案】⊙O半径的长为．【解析】【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列
式可求出r的值．【详解】解：设⊙O的半径为r，则OA＝r，OC＝r﹣1，∵OD⊥AB，AB＝4，∴AC＝AB＝2，在Rt△ACO中
，OA2＝AC2+OC2，∴r2＝22+（r﹣1）2，r＝，答：⊙O半径的长为．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，是常考题型，
熟练掌握垂径定理是关键，垂直于弦的直径平分弦；确定一个直角三角形，设未知数，根据勾股定理列方程解决问题．22. 一个袋中有3张形状
大小完全相同的卡片，编号为1,2,3，先任取一张，将其编号记为m，再从剩下的两张中任取一张，将其编号记为n.（1）请用树状图或者列
表法，表示事件发生的所有可能情况；（2）求关于x的方程有两个不相等实数根的概率.【答案】（1）所有可能情况见解析；（2）．【解析】
【详解】（1）依题意列表如下(m，n)1231(2，1)(3，1)2(1，2)(3，2)3(1，3)(2，3)（2）解：当时，关于
x的方程有两个不相等实数根，而使得的m，有2组，即(3，1)和(3，2)则关于x的方程有两个不相等实数根的概率是. ∴P（有两个不
等实根）=23. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得△ADC，连接OD．（1）当时， °；
（2）当时， °；（3）若，，，则OA的长为 ．【答案】（1）40； （2）60； （3）【解析】【分析】（1）证明△COD是等边
三角形，得到∠ODC=60°，即可得到答案；（2）利用∠ADC-∠ODC求出答案；（3）由△BOC≌△ADC，推出∠ADC=∠BO
C=150°，AD=OB=8，根据△COD是等边三角形，得到∠ODC=60°，OD=，证得△AOD是直角三角形，利用勾股定理求出．
【小问1详解】解：∵CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形；∴∠ODC=60°，∵∠ADC=∠BOC=，∴∠ADC-
∠ODC=40°，故答案为：40；【小问2详解】∵∠ADC=∠BOC=，∴∠ADC-∠ODC=60°，故答案为：60；【小问3详解
】解：当，即∠BOC=150°，∴△AOD是直角三角形．∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，又∵
△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，OD=，∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形，∴,故答案为：．【点睛】本题以“空间
与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进
．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及
解决问题的能力．24. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象过A（-1，-2）、B（1，0）两点．（1）求此二次函数的解析式；
（2）点是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交二次函数的图象于点N．当点M位于点N的上方时，直接写出t的取值范
围．【答案】(1)y=x2+x-2 (2)-1﹤t﹤1.【解析】【详解】试题分析：求函数解析式的常用方法是待定系数法，由于已知给出
了c的值，又知两个坐标点，所以代入即可求出a ,b的值．由于点P在x轴上，由图像知a﹥0，所以开口向上，因图像与x轴有两个交点，所
以满足题意的横坐标t,只有在点A，B之间取得．解：（1）把A（-1,-2）、B（1,0）分别代入中，∴ ；解得： ；∴所求二次函数
的解析式为；（2）考点：二次函数的与图像性质．点评：熟知二次函数的图像与性质，在解题过程中由已知可求的解析式，需要注意的是，在求取
值范围时，要结合函数的图像．本题属于基础题，难度不大．25. 如图，AB为⊙O的直径，射线AP交⊙O于C点，∠PCO的平分线交⊙O
于D点，过点D作交AP于E点．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE=3，AC=8，求直径AB的长．【答案】（1）证明见解析；
（2）10．【解析】【分析】（1）连接OD若要证明DE为⊙O的切线，只要证明∠DOE=90°即可；（2）过点O作OF⊥AP于F，利
用垂径定理以及勾股定理计算即可．【详解】解：连接OD．∵OC=OD，∴∠1=∠3．∵CD平分∠PCO，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3．
∵DE⊥AP，∴∠2+∠EDC=90°．∴∠3+∠EDC=90°．即∠ODE=90°．∴OD⊥DE．∴DE为⊙O的切线．（2）过点
O作OF⊥AP于F．由垂径定理得，AF=CF．∵AC=8，∴AF=4．∵OD⊥DE，DE⊥AP，∴四边形ODEF为矩形．∴OF=D
E．∵DE=3，∴OF=3．在Rt△AOF中，OA2=OF2+AF2=42+32=25．∴OA=5．∴AB=2OA=10．【点睛】
本题考查1.切线的判定；2.勾股定理；3.垂径定理，属于综合性题目，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．26. 在平面直角坐标
系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．（1）求抛物线的对称轴；（2）①过点P(0，2)作与x轴平行的直线，交抛物线于点M
，N．求点M，N的坐标；②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，求m的取
值范围．【答案】（1）x=﹣1；（2）①M(﹣3，2)，N(1，2)；②或【解析】【分析】（1）利用对称轴方程求得即可；（2）①根
据题意M、N的纵坐标相同都是2，把y＝2代入解析式，解方程即可求得；②分两种情况讨论，把临界得代入解析式求得m的值，从而求得m的取
值范围．【详解】解：（1）∵抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1；（2）①把y＝2代入y＝mx2+2mx
﹣3m+2得mx2+2mx﹣3m+2＝2，解得x＝1或﹣3，∴M（﹣3，2）；N（1，2）；②当抛物线开口向上时，如图1，抛物线和
线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，则封闭区域内（不包括边界）3个点为（﹣2，1），（﹣1，1），（0，1），将（
﹣2，1）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到 m＝，将（﹣1，0）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到 m＝，结合图象可得．
当抛物线开口向下时，如图2，则封闭区域内（不包括边界）3个点为（﹣2，3），（﹣1，3），（0，3），将（0，3）代入y＝mx2+
2mx﹣3m+2，得到 m＝﹣，将（﹣1，4）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到 m＝﹣，结合图象可得．综上，m的取值范围为或
．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是熟练运用二次函数的对称轴公式、开口方向和大小解决问题．27. 正方形ABCD的边长为
2，将射线AB绕点A顺时针旋转α，所得射线与线段BD交于点M，作CE⊥AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．（1）如图
，当0°＜α＜45°时：①依题意补全图；②用等式表示∠NCE与∠BAM之间的数量关系：___________；（2）当45°＜α＜
90°时，探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系并加以证明；（3）当0°＜α＜90°时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大
值．【答案】（1）①补图见解析；②∠NCE＝2∠BAM；（2）∠NCE+∠BAM＝90°，证明见解析；（3）1+．【解析】【分析】
（1）作CE⊥AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．由△ABM≌△CBM，可得∠BAM＝∠BCM，由∠ABC＝∠CEA
＝90°，BC，AE交于一点，可得∠BAM＝∠BCE，即可得到∠MCE＝2∠BAM，由点N与点M关于直线CE对称，可得CN＝CM，
即可得到∠NCE＝∠MCE，进而得出∠NCE＝2∠BAM；（2）连接CM，判定△ADM≌△CDM，即可得到∠DAM＝∠DCM，再根
据∠DAQ＝∠ECQ，即可得到∠NCE＝∠MCE＝2∠DAQ，即，再根据∠BAM＝∠BCM，∠BCM+∠DCM＝90°，即可得到；
（3）依据∠CEA＝90°，即可得到点E在以AC为直径的圆上，当EF经过圆心O时，即可得出线段EF长的最大值．【详解】（1）①补全
的图形如图所示：②∠NCE＝2∠BAM．理由如下：如图1，连接MC．∵ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠CBM．∵BM=
BM，∴△ABM≌△CBM，∴∠BAM＝∠BCM．∵∠ABC＝∠CEA＝90°，BC，AE交于一点，∴∠BAM＝∠BCE，∴∠MC
E＝2∠BAM．∵点N与点M关于直线CE对称，∴CN＝CM，∴∠NCE＝∠MCE，∴∠NCE＝2∠BAM．故答案为∠NCE＝2∠B
AM．（2）．理由如下：如图，连接CM．∵AD＝CD，∠ADM＝∠CDM，DM＝DM，∴△ADM≌△CDM，∴∠DAM＝∠DCM．
∵∠ADQ＝∠CEQ＝90°，∠AQD＝∠CQE，∴∠DAQ＝∠ECQ，∴∠NCE＝∠MCE＝2∠DAQ，∴．∵∠BAM＝∠BCM
，∠BCM+∠DCM＝90°，∴．（3）如图，∵∠CEA＝90°，∴点E在以AC为直径的圆上，O为圆心，由题可得：OFCD＝1，O
E＝OCAC．∵OE+OF≥EF，∴当EF经过圆心O时，．【点睛】本题是四边形综合题．主要考查了旋转的性质，圆周角定理，正方形的性
质和全等三角形的判定与性质．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应角相等得出结论．28. 在平面直角坐标系x
Oy中，对于△ABC，点M在BC边的垂直平分线上，以点M为圆心，MB为半径作，设与△ABC三条边的公共点个数之和为n．定义：当时，
则称点M为△ABC关于边BC的“可圈可控点”．例如：已知点，．（1）如图1，若点，则△ABC关于边BC的“可圈可控点”坐标是___
__．（2）如图2，若点，则△ABC关于边BC的“可圈可控点”坐标是____．（3）如图3，若点，则在点、、、中，能成为△ABC关
于边BC的“可圈可控点”有_______．（4）如图4，若点，设△ABC关于边BC的“可圈可控点”M坐标是，请直接写出m的取值范围
_______．【答案】（1）（0，0） （2）（0，） （3）P2，C （4） 坐标可得OA=OB=OC，BC垂直平分线为y轴，根据垂直平分线的性质可得MB=MC，⊙M过点B、C，根据n=3，点A在y轴上可得⊙
M过点A、B、C，即可得出点M与原点重合，即可得答案．（2）如图，根据B、C坐标可得BC垂直平分线为y轴，根据n=3，点A在y轴上
可得⊙M过点A、B、C，MA=MB，设M（0，t），在Rt△OBM中，利用勾股定理列方程求出t值即可得答案．（3）如图，过点B作B
M2⊥BA，交y轴于M2，由点A、C坐标可得AC⊥x轴，可得OM3为△ABC的中位线，根据中位线的性质可得OM3的长，可得M3坐标
，当⊙M1与AC相切时，点M1与原点重合，利用AAS可证明△OBM2≌△CAB，可得OM2=BC，即可得出点M纵坐标的取值范围，进
而可得答案．（4）如图，过B作BM2⊥AB，交y轴于M2，可得⊙M2与AB相切，过点C作CM1⊥AC，交y轴于M1，可得⊙M1与A
C相切，设△ABC的外心M3，利用两点间距离公式列方程可求出M1、M2、M3的坐标，即可得答案．【小问1详解】∵，，，∴OA=OB
=OC，BC垂直平分线为y轴，∵点M在BC边的垂直平分线上，以点M为圆心，MB为半径作，∴MB=MC，⊙M过点B、C，∵n=3，点A在y轴上可得⊙M过点A、B、C，∴点M与原点重合，即M（0，0），故答案为：（0，0）【小问2详解】∵BC垂直平分线为y轴，n=3，点A在y轴上，，∴⊙M过点A、B、C，MA=MB，OA=，设M（0，t），在Rt△OBM中，OM2+OB2=BM2，∴t2+12=（-t）2，解得：t=，∴M（0，），故答案为：（0，）【小问3详解】如图，过点B作BM2⊥BA，交y轴于M2，∵A（1，1），C（1，0），∴AC⊥x轴，AC=1，∴AC//y轴，∵点O为BC中点，∴OM3为△ABC的中位线，∴OM3=AC=，∴M3（0，），当⊙M1与AC相切时，点M1与原点重合，∴M1（0，0），∵BM2⊥BA，∴⊙M2与AB相切，∴∠OM2B+∠OBM2=90°，∠ABC+∠OBM2=90°，∴∠OM2B=∠ABC，在△OBM2和△CAB中，，∴△OBM2≌△CAB，∴OM2=BC=2，∴M2（0，-2），∵n=3，∴点M纵坐标的取值范围为-2