一道中考数学题引发的思考 ——体验特殊到一般的数学思想探究发现：△ABC是等边三角形，∠AEF=，EF交△ABC的外角平分线CF所在的直线于
点F，点E是BC的中点。求证：AE=EF方法1：在边AB上截取AM=CE，连接ME。∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC，∠B
AC=∠ABC=∠ACB=。∵点E是BC的中点∴AE⊥BC，∠BAE=∠CAE=。∵∠AEF=∴∠FEC=-∠AEF=∴∠FEC=
∠MAE∵AM=CE∴AB - AM = BC - CE，即BM=BE。∴△BME是等边三角形∴∠BME=，∠AME=。∵∠ACD
=，CF平分∠ACD∴∠ACF=∠FCD=∴∠ECF=∠AME=∴△AME△ECF∴AE=EF方法2：在边AB上截取BM=BE，连
接ME。∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=。∴△BME是等边三角形，AB -BM = BC
- BE，即AM=CE。∴∠BME=，∠AME=。∵∠ACD=，CF平分∠ACD∴∠ACF=∠FCD=∴∠ECF=∠AME=∵点E
是BC的中点∴AE⊥BC，∠BAE=∠CAE=。∵∠AEF=∴∠FEC=-∠AEF=∴∠FEC=∠MAE∴△AME△ECF∴AE=
EF方法3：过点E作EM∥AC交AB于点M。∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=。∵EM∥AC
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=∴△BME是等边三角形∴BE=BM=ME，∠BME=，即∠AME=。∴AB - BM =BC -B
E，即AM=CE∵∠ACD=，CF平分∠ACD∴∠ACF=∠FCD=∴∠ECF=∠AME=∵点E是BC的中点∴AE⊥BC，∠BAE
=∠CAE=。∵∠AEF=∴∠FEC=-∠AEF=∴∠FEC=∠MAE∴△AME△ECF∴AE=EF方法4：延长FC至点G，使CG
=CE，连接EG。∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=。∵∠ACD=，CF平分∠ACD∴∠AC
F=∠FCD=∠ECG=∴△CGE为等边三角形∴∠ECG=∠CGE=∠GEC=，EG=CG=CE。∵点E是BC的中点∴AE⊥BC，
∠BAE=∠CAE=。∵∠AEF=∴∠FEC=-∠AEF=∴∠FEG=∠AEB=，∠EGC=∠ABE=。∵BE=CE∴BE=EG∴
△ABE△FGE∴AE=EF数学思考1：△ABC是等边三角形，∠AEF=，EF交△ABC的外角平分线CF所在的直线于点F，点E是线
段BC上任意一点。求证：AE=EF方法1：在边AB上截取AM=CE，连接ME。∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC，∠BAC=
∠ABC=∠ACB=。∵AM=CE∴AB - AM = BC - CE，即BM=BE。∴△BME是等边三角形∴∠BME=，∠AME
=。∵∠ACD=，CF平分∠ACD∴∠ACF=∠FCD=∴∠ECF=∠AME=∵∠AEC=∠BAE+∠ABE，∠AEF=。∴+∠F
EC=+∠MAE∴∠MAE=∠FEC∴△AME△ECF∴AE=EF方法2：在边AB上截取BM=BE，连接ME。∵△ABC是等边三角
形∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=。∴△BME是等边三角形，AB -BM = BC - BE，即AM=CE。∴∠
BME=，∠AME=。∵∠ACD=，CF平分∠ACD∴∠ACF=∠FCD=∴∠ECF=∠AME=∵∠AEC=∠BAE+∠ABE，∠
AEF=。∴+∠FEC=+∠MAE∴∠MAE=∠FEC∴△AME△ECF∴AE=EF方法3：过点E作EM∥AC交AB于点M。∵△A
BC是等边三角形∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=。∵EM∥AC∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=∴△BME是等边三
角形∴BE=BM=ME，∠BME=，即∠AME=。∴AB - BM =BC -BE，即AM=CE∵∠ACD=，CF平分∠ACD∴∠
ACF=∠FCD=∴∠ECF=∠AME=∵∠AEC=∠BAE+∠ABE，∠AEF=。∴+∠FEC=+∠MAE∴∠MAE=∠FEC∴
△AME△ECF∴AE=EF方法4：延长FC至点G，使CG=CE，连接EG。∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC，∠BAC=∠
ABC=∠ACB=。∵∠ACD=，CF平分∠ACD∴∠ACF=∠FCD=∠ECG=∴△CGE为等边三角形∴∠ECG=∠CGE=∠G
EC=，EG=CG=CE。∴∠ACE=∠EGF=∵∠AEF=∠CEG=∴∠AEF+∠FEC=∠CGF+∠FEC，即∠AEC=∠GE
F。∴△AEC△FEG∴AE=EF数学思考2：△ABC是等边三角形，∠AEF=，EF交△ABC的外角平分线CF所在的直线于点F，点
E是线段BC延长线上任意一点。求证：AE=EF方法1：在边CF上截取CG=CE，连接EG。∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC
，∠BAC=∠ABC=∠ACB=。∴∠ACD=∵CF平分∠ACD∴∠ACF=∠FCE=∴△CGE是等边三角形∴CG=CE=GE，∠
CGE=∴∠ACE=∠EGF=∵∠AEF=∠GEC=∴∠AEF - ∠GEA = ∠GEC - ∠GEA，即∠AEC=∠FEG∴△
ACE△FGE∴AE=EF方法2：延长AC至点G，使CG=CE，连接GE。∵△ABC是等边三角形∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=∴
∠ECG=∠ACB=∴△CGE是等边三角形∴CG=CE=GE，∠CGE=∵∠ACD=，CF平分∠ACD∴∠ACF=∠FCD=∠CG
E=∵∠AEF=∠GEC=∴∠AEF + ∠AEC = ∠AEC +∠GEC，即∠FEC=∠AEG∴△AEG△FEC∴AE=EF方
法3：延长BA至点G，使BG=BE，连接GE。∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=。∴△BGE
是等边三角形∴BG=BE=GE，∠BGE=∴BG - AB = BE - BC ，即AG=CE。∵∠ACD=，CF平分∠ACD∴∠
ACF=∠FCD=∠BGE=∵∠BAC=∠BGE=∴AC∥GE∴∠CAE=∠AEG∵∠ACM+∠CMA+CAE=∠EMF+∠CFE
+∠AEF=，∠AMC=∠FME，∠ACE=∠AEF=∴∠CAE=∠CFE∴∠AEG=∠CFE∴△EGA△FCE∴AE=EF数学思
考3：△ABC是等边三角形，∠AEF=，EF交△ABC的外角平分线CF所在的直线于点F，点E是线段BC反向延长线上任意一点。求证：
AE=EF方法1：延长AB至点G，使BG=BE，连接GE。∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=
。∴∠EBG=∠ABC=∴△BGE是等边三角形∴BG=BE=GE，∠BGE=∴AB+BG=BC+BE，AG=CE。∵∠ECD=，C
F平分∠ECD∴∠ECF=∠FCD=∠AGE=∵∠AEF=∠AEB+∠FEC=∠AEB+∠EAB=∴∠EAB = ∠CEF∴△AG
E△ECF∴AE=EF方法2：延长CF至点G，使CG=CE，连接GE。∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC
=∠ACB=。∵∠ECD=，CF平分∠ECD∴∠ECF=∠FCD=∴△CGE是等边三角形∴CG=CE=GE，∠CGE=∠GEC=∠
ACB=∵∠AEF=∠GEC=∴∠AEF - ∠FEC = ∠GEC - ∠FEC，即∠AEC=∠FEG。∴△AEC△FEG∴AE
=EF拓展应用：当点E在线段BC延长线上时，若CE=BC，运用上述结论求:的值。解：∵∠AEF=，AE=EF∴△AEF为等边三角形∵△ABC是等边三角形∴△ABC∽△AEF∴ = ∵CA=CE，CF平分∠ACE∴∠ACH = ∠ACE = ，CH⊥AE，AE=2AH∴∠CHE=∴AC=2CH设CH=x，则AC=2x，AE=2=2x∴ = =1 |
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