3.圆的面积 第1课时 圆的面积
?教学内容
教科书P67~68例1及“做一做”第1题，完成教科书P71“练习十五”中第2题。
?教学目标
1.经历操作、观察、验证、讨论和归纳等过程，探索并掌握圆的面积计算公式，能正确计算圆的面积，能应用圆的面积公式解决相关的简单实际问题。
2.运用转化的数学思想方法解决问题，提升问题解决能力，感悟极限和模型思想，增强空间观念，发展数学思维。
3.进一步体验数学与生活的联系，提高学生学习数学的兴趣。
?教学重点
理解并掌握圆的面积计算公式，能正确地计算圆的面积。
?教学难点
理解圆的面积计算公式的推导过程。
?教学准备
课件，圆规，剪刀。
?教学过程
一、创设情境，揭示课题
1.创设情境，激趣导入。
师：大家看，一匹马被拴在木桩上。马在它活动的最大范围内走一圈。（出示课件）
师：那马最多能吃多大面积的草呢？
【学情预设】由于这里没有给出具体的数据，不能直接用数据回答。学生可能不知道怎么表述，如果没有学生回答，也不要强求。
师：马在它活动的最大范围内走一圈的长指的是图中的哪一部分？马最多能吃到的草的部分是圆的什么？
【学情预设】学生说出马在它活动的最大范围内走一圈的长是图中圆的周长，马最多能吃到的草的部分是圆的面积。
【设计意图】没有给出具体的数据，主要是借助具体的情境，让学生体会周长和面积的区别，初步感受面积的意义。
2.明确圆面积的含义，揭示课题。
师：你能用自己的话说说什么是圆的面积吗？
引导学生表述：圆所占平面的大小就是圆的面积。
师：老师这里有两个圆，哪个圆的面积大一些？为什么？（出示课件）
【学情预设】学生都知道左边的圆的面积大一些。因为在圆的认识中已经知道半径决定圆的大小，这里学生都应该知道左边圆的半径大一些，所以面积大一些。
师：同学们都认为圆的面积大小与它的半径有关，那么圆的面积和半径究竟有怎样的关系呢？这就是我们这节课要研究的问题。（板书课题：圆的面积）
【设计意图】用动画情境引入学习内容，既可以激起学生学习的兴趣，又可以让学生在课堂上涉猎生活中的数学问题，让学生体验到数学来源于生活。同时让学生通过观察两个大小不同的圆，初步感知圆的面积大小与圆的半径有关，为后面研究圆的面积的知识奠定基础。
二、合作探究，推导圆的面积计算公式
1.讨论并提出圆的面积的研究方法。
师：前面我们学习过平行四边形、三角形、梯形等图形的面积，还记得我们是怎样推导它们的面积公式的吗？
【学情预设】学生会说以某个图形为例，如用“割补法”将平行四边形转化成长方形推导出了平行四边形的面积计算公式。
师：研究圆的面积我们可以采取怎样的方法呢？同学们先思考一下，然后将自己的想法在小组内说一说。
【学情预设】大部分学生会根据前面的学习经验，想到用“转化”的方法。
师：谁来汇报一下讨论的结果？
【学情预设】通过讨论，少数学生可能想到将圆平均分成若干份，将圆“化曲为直”转化为近似的长方形或平行四边形。对想不出来的学生，教师要适时引导。
【设计意图】让学生提出研究方法，更能调动学生自主学习的内驱力，变过去指令性探究活动为自主设计探究活动，最大限度地激发学生的学习兴趣，激活学生的思维。
2.分组探究将圆转化成学过的图形。
（1）启发思考。
师：如果我们把一个圆平均分成4份，其中的每一份都是这个样子的。同学们，你们觉得它像一个什么图形呢？（出示课件）
师：如果我们继续平均分，把一个圆平均分成16份，其中的每一份都是这个样子的。这时你们觉得它像一个什么图形呢？（出示课件）
师：对比两次平均分，你发现了什么？
【学情预设】平均分得的每一份都是一个近似的三角形，平均分的份数越多，每份越接近三角形。
师：请同学们再想一想，这个近似三角形跟圆有什么关系呢？
【学情预设】引导学生观察，明确这个近似三角形的两条边其实都是圆的半径。
师：想一想，三角形跟我们学过的哪些图形又有联系？那圆可以转化为我们学过的哪些图形呢？
【学情预设】学生会畅所欲言，说三角形跟长方形、平行四边形甚至梯形都有关系。圆可以转化为学过的三角形、长方形、平行四边形……
师：通过刚才的讨论，大家认为可以将圆转化为长方形、平行四边形或三角形甚至梯形，再来研究圆面积的计算，同学们的猜想和推理是否正确呢？
小组合作，自主探索,将圆转化成学过的平面图形。
【学情预设】学生利用近似三角形拼组图形会有一定的难度，教师要加强巡视和有针对性地指导。如果有小组转化成了不规则的图形，教师应及时引导他们转化为已学过的平面图形，既要鼓励学生拼出自己想象中的图形，又要引导他们拼出最简单、最容易计算面积的图形。一般情况下，大多数学生会拼出长方形、平行四边形，少数学生会拼出三角形、梯形。
（2）展示交流。
教师有意选取一组剪拼成长方形的来交流。
师：大家观察，拼成的图形像什么图形？为什么说它像长方形而不是长方形？谁有办法把边变得更直些？把这个近似长方形变得更近似长方形？
【学情预设】学生会想到平均分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。
课件动画演示将圆平均分成4份、8份、16份、32份后拼成的近似平行四边形。
师：把圆分成64等份，拼接后的图形它的边会怎么样？图形会怎么样？
师：闭眼想象，如果把圆面等分成128份、256份……一直这样下去分成很多很多份，剪拼后的图形是什么情形？
【学情预设】分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。
【设计意图】渗透“转化”的数学思想，引导学生抽象概括出新的问题可以转化成旧的知识，利用旧的知识解决新的问题。先让学生想象出等分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。再借助电脑课件的演示，生动形象地展示了“化曲为直”的剪拼过程。在想象的过程中蕴含了另一个重要的数学思想——极限思想。
3.推导圆的面积计算公式。
（1）圆的面积计算公式的推导。
师：下面请同学们以四人小组为单位观察、讨论后回答以下问题。（出示课件）
分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。
师：仔细观察剪拼成的长方形，它与原来的圆之间有什么联系？
师：能否根据我们熟悉的长方形面积公式推导出圆的面积公式？
【学情预设】学生汇报结果。
预设1：转化后，长方形的长近似于圆的周长的一半，宽近似于圆的半径。
预设2：因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr×r。
S表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是S=πr2。
强调r2=r×r(表示两个r相乘)。
板书：长方形的面积=长×宽
圆的面积=πr×r
S=πr2
师：计算圆的面积必须知道什么条件？（半径）
师：你们真了不起，学会用“转化”的方法推导出圆的面积计算公式。
【设计意图】让学生经历观察、推导得出圆面积的计算公式，培养学生的推理能力，有助于加深学生对公式的理解。
（2）数学文化。
师：我国早在魏晋时期就有数学家用“割圆术”来计算圆的面积。
课件出示教科书P68“你知道吗？”。
【设计意图】给学生介绍数学文化，不仅让学生了解我国古代的数学成就，还让学生初步了解“割圆术”，产生继续探究的兴趣。
（3）知识拓展，加深印象。
师：如果转化成三角形或梯形，推导出的公式也是这样吗？
学生交流汇报。
【设计意图】这里将另外几种情况进行演示、推导，一方面可以拓展学生的思维，另一方面渗透数学研究的思想，鼓励学生大胆创新。
三、运用公式，解决问题
1.课件出示教科书P68例1。
（1）指名学生读题，分析题意。
（2）引导学生分析解题思路：要求铺满草皮的价钱，就要先求出草坪的面积。
（3）学生独立完成，指名学生上台板演，集体订正。
【学情预设】20÷2=10（m） 3.14×102=314（m2） 314×8=2512（元）
答：铺满草皮需要2512元。
【设计意图】学生已经掌握了圆面积的计算公式，可大胆放手让学生尝试解答，从而促进理论与实践的结合，培养学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力。
2.解答课前问题。
师：开课时，我们讨论了马吃草及马绕一点走一圈的问题，现在你们能自己解决了吗？要想求出马最多能吃多大面积的草，必须知道什么条件？（出示课件）
学生自主解答后展示交流。
【设计意图】首尾呼应，验证学生开课时的思考，增加学生的学习兴趣，突出生活与数学的联系。
四、巩固练习，深化提高
1.课件展示教科书P68“做一做”第1题。
（1）学生自主解答。
（2）展示交流。
【学情预设】问题中告诉的是直径，学生往往会忽略，直接把直径当作半径计算。
2.课件展示教科书P71“练习十五”第2题。
学生自主解答后展示交流。
【学情预设】计算周长和面积时，学生一般都会计算，但是有的时候容易弄错单位。
【设计意图】本节课是圆的面积的第1课时，主要是理解并掌握圆的面积的计算公式。此处设计两道基础题，重在应用公式计算，并将面积与周长同时解答，加深对面积的理解。
五、课堂小结，激励评价
师：这节课我们学习了什么?有什么收获?还有什么问题?
?板书设计
?教学反思
本节课通过大量的课件演示及学生动手操作，把抽象思维转化为形象思维，让学生多种感官参与，通过观察、比较、分析，自主推导出圆的面积计算公式，教学效果很好。通过练习可以看出，学生对圆的面积的计算掌握得比较到位。由于时间有限，在推导的时候应该多让学生说说，特别是几位把圆转化成三角形和梯形的同学，应多让他们说说自己的推导过程，这样更有利于拓宽学生的思维。
?作业设计
见“状元成才路”系列丛书《创优作业100分》对应课时作业P41第二、三、五题。
二、求下面各圆的面积。
三、上海南站是世界上第一个圆形火车站，其圆形顶棚是建筑设计施工中的最大亮点，圆顶直径约有270m，圆顶的面积约是多少平方米？
五、同学们在操场上围成圆圈做“丢手绢”游戏，乐乐绕圆圈跑一圈跑了12.56m。那么同学们所围成的圆圈的面积是多少平方米？
参考答案
二、1.3.14×72=153.86（dm2）
2.3.14×（16÷2）2=200.96（m2）
三、3.14×（270÷2）2=57226.5（m2）
五、12.56÷3.14÷2=2（m）
3.14×22=12.56（m2）
【教学提示】
如果方便，可以让学生指一指马能吃到草的部分。
【教学提示】
学生会想到将圆转化成学过的图形就行，不一定要求学生都想到转化成长方形或平行四边形。
【教学提示】
推导过程是本节课的重难点，要多给时间学生观察、交流，弄清楚近似长方形与圆的对应关系。
【教学提示】
转化成三角形或梯形的同学可能不多，如果有，也要让学生说说推导过程，但是会发现很难找到转化前后两者之间的联系。如果没有，此环节就不需要。
【教学提示】
解答时，要引导学生读懂题中的信息。
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