目录三角函数图象及性质2【知识梳理】21正弦、余弦、正切函数的图象及性质22、三角函数中的平移变换3【考点分类】5考点一、三角函数的图象变换
5考点二、已知图象求解析式6考点三、三角函数综合8【易错题】16三角函数图象及性质【知识梳理】1正弦、余弦、正切函数的图象及性质函
数 图象定义域值域 周期 奇偶性奇偶奇对称中心 最值 无对称轴 无单调性 . 注：凡是涉及到的都要注明. 2、三角函数中的
平移变换2.1图像的变换平移变换：上加下减，左加右减．比如由的图象得 的图象；由的图象得)图象．.伸缩变换：此变换主要是指在轴、轴
方向上的伸缩．比如由的图象得的图象．．翻折变换：此变换主要适用于作函数解析式中带有绝对值的函数图象，比如由的图象得的图象，可将的图
象在轴上方的图象不变．下方的图象翻折到轴上方．总结：由的图象得到（其中）的图象的过程先画出函数的图象，再把正弦曲线向左(右)平移个
单位长度，得到的图象，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象．2
.2函数的性质 （其中）的性质(1)定义域的定义域为．(2)值城的值域为(3)周期性的周期. (4)奇偶性 时，函数为奇函数；当妒
时，函数为偶函数．(5)单调性函数的单调区间求法（1）单调增区间可由解得；（2）单调减区间可由解得．(6)对称中心 的对称中心的
横坐标可由叫解得，纵坐标为0．(7)对称轴的对称轴方程可由解得【考点分类】考点一、三角函数的图象变换【例1】★求函数的值域,取得最
值时的值.【答案】： 取得最大值时，取得最小值时【例2】将函数y=cosx的图象上的每个点的横坐标变为原来的2倍、纵坐标不变，再将
所得图象向右平移个单位，则最后得到的图象对应的函数解析式为（ ）A. B.C. D．【答案】D【例3】将函数的图象向左平移个单位
长度,得到函数图象在区间上单调递减,则的最小值为（A）（B）（C）（D）答案：C【例4】已知函数的最小正周期为,则（A）函数的图象
关于原点对称（B）函数的图象关于直线对称（C）函数图象上的所有点向右平移个单位长度后,所得的图象关于原点对称（D）函数在区间上单调
递增答案：C考点二、已知图象求解析式1.函数的部分图象如图所示,则函数在区间上的零点为答案：2;7/122.若函数(,)的部分图象
如图所示,则.答案：4; 3.已知函数的图象如图所示.（Ⅰ）求的解析式;答案：解：（1）由图象可知，设函数的周期为T，则，求得，从
而，所以..………………5分4★如图，已知函数的图象（部分），则函数的表达式为【答案】：5★函数的部分图象如图，则?（?）A．B．
C．D．【答案】：C考点三、三角函数综合1、设,若函数的最小正周期为,则______答案：22已知函数.(Ⅰ)求的最小正周期;答案
：解：（Ⅰ）的最小正周期为. 3.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期答案：解：（Ⅰ）-所以的最小正周期4.已知函数的最小正周期为.(Ⅰ
)求的值;答案：解：因为， (Ⅰ) 又因为函数的最小正周期为， 所以.解得. 5.已知函数,.（Ⅱ）若,求的最小正周期的表达式并
指出的最大值.答案：（Ⅱ）由 得,又因为函数的最小正周期,且,所以当时,T的最大值为.?6.已知函数,.（Ⅰ）求的最小正周期答
案：（Ⅰ）………………4分，………………6分所以函数的最小正周期.………………7分7已知函数且函数的最小正周期为（Ⅰ）求的值;答案
：解析：（1）8已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期;答案：（Ⅰ）由题意得:,9.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期;答案：（Ⅰ）由得,,所
以的定义域为因为所以的最小正周期为10.已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期;答案：（Ⅰ）所以周期为11已知函数.（Ⅰ）求函数的最小
正周期;答案：（Ⅰ）所以的最小正周期是12已知函数.（Ⅰ）求的定义域;答案：解：（Ⅰ）由，得，．[3分]所以函数的定义域是．[4分
]13.已知函数.（Ⅱ）求函数的定义域和值域.答案：（Ⅱ）解：函数的定义域为，且 化简，得……………10分，……………12分因为，
且，，所以，所以.所以函数的值域为.……………13分（注：或许有人会认为“因为，所以”，其实不然，因为.）15已知函数.（Ⅰ）求的
定义域;答案：（Ⅰ）因为函数的定义域是,所以的定义域为.16已知函数.（Ⅰ）求的定义域答案：（Ⅰ）由得,,所以的定义域为17已知函
数().（Ⅰ）若,求的值答案：（Ⅰ）因为，所以．所以.18已知函数.（Ⅰ）若是第二象限角,且,求的值;答案：因为是第二象限角，且，
所以.……………2分所以，……………4分所以.……………6分19.已知函数.（Ⅰ）求的对称轴的方程;答案：解：（Ⅰ）-令，得.所以
的对称轴方程为.或者：的对称轴方程为和，即和.20已知函数,.（Ⅱ）设,若函数为奇函数,求的最小值.答案：（Ⅱ）解：由题意，得，因
为函数为奇函数，且，所以，即， 所以，，解得，，验证知其符合题意.又因为，所以的最小值为. 【易错题】【例1】★已知函数：①y=t
anx，②y=sin|x|，③y=|sinx|，④y=|cosx|，其中周期为π，且在（0，）上单调递增的是A．①② B．①③ C
．①②③ D．①③④【答案】B【例2】★★已知函数 和 的图象的对称轴完全相同，则 的值是?．【答案】-2【例3】★函数在上的图
象是 【答案】A 【例4】★函数y=f（x）在区间 上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（ ）A.B．C．D．【答
案】B【例5】若将函数的图象向右平移个单位后得到的函数y=的图象,求的单调递增区间.【答案】【例6】设函数y=sinx在区间上的最
大值为M（t），最小值为m（t），则M（t）﹣m（t）的最小值和最大值分别为（ ）A．1，2B．C．D．【答案】解：函数y=si
nx在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t），区间的长度为，正好为函数的周期的，故当函数y=sinx在区间上单调时，则M（t）
﹣m（t）取得最大值．不妨假设函数y=sinx在区间上单调递增，则M（t）﹣m（t）取得最大值为sin（t+）﹣sint=cost
﹣sint=cos（t+）≤，故M（t）﹣m（t）取得最大值为．当区间关于它的图象的对称轴对称时，M（t）﹣m（t）取得最小值，此
时，sin（t+）=±1，不妨设 sin（t+）=1，即t+=2kπ+，k∈Z，即 t=2kπ+，k∈Z，则M（t）﹣m（t）取得
最小值为sin（t+）﹣sint=1﹣sin（2kπ+）=1﹣，故M（t）﹣m（t）的最小值和最大值分别为1﹣，，故选：D．【课后
检测】1.★函数的对称中心是_______,对称轴方程为_______。答案: 2. ★如果函数y=tan（x+φ）的图象经过点
，那么φ可以是（ ）A．B．C．D．【答案】A3．下列函数中，最小正周期为π的是（ ）A．B.C．D．【答案】B4．★已知ta
nα=﹣1，且α∈[0，π），那么α的值等于A．B．C．D．【答案】C5. 先把函数y=cosx的图象上所有点向右平移个单位，再把
所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数图象的解析式为（ ）A．y=cos（2x+）B．y=cos（2x﹣）C．
y=cos（x+）D．y=cos（x﹣）【答案】B6．为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（ ）A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【答案】C7. ★设函数f（x）=A+Bsinx，若B＜0时，f
（x）的最大值是，最小值是－，则A=_______，B=_______【答案】 －18.判断大小：tan(－)______tan(
－)， tan______tan 【答案】： , <9. ★已知．当时，求角x的值；【答案】10. ★★已知函数的最大值为4，最小
值为0，最小正周期为，直线是其图像的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式是（?）A． B． C． D． 答案:D11. 将函数
y＝sin图象上的点P向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则( ) A.t＝，s的最
小值为 B.t＝，s的最小值为 C.t＝，s的最小值为 D.t＝，s的最小值为【答案】：A12. ★★设函数，则下列关于函数的
说法中正确的是（?）A．是偶函数B．最小正周期为πC．图象关于点 对称D．在区间上是增函数答案:D13. ★★给出下列命题：①正切
函数的图象的对称中心是唯一的；②y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为π、；③若x1＞x2，则sinx1＞sinx2；④若
f（x）是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（－）=0其中正确命题的序号是____________【答案】④14. 设函数f（
x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．求f（x）的解
析式.【答案】解：（1）由题意可得：f（x）max=A=2，，于是，故f（x）=2sin（2x+φ），由f（x）在处取得最大值2可
得：（k∈Z），又﹣π＜φ＜π，故，因此f（x）的解析式为．【课后作业】1. ★正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（
）A．x=0B． C．D．x=π【答案】C2. ★★函数的部分图象如图所示，则的值等于A．B．C．D．【答案】：C3. 已知函数f
(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( ) A.
11 B.9 C.7 D.5【答案】：B4. ★★求函数的单调区间.【答案】单调增区间为：单调减区间为： 5. ★★已知
函数（1）求函数最小正周期；（2）求函数取得最大值时x的取值；（3）求函数的单调递减区间；（4）求函数对称轴；（5）求函数对称中心
；【答案】： 6. ★求函数的值域【答案】:7. ★★已知函数。（1）求函数的单调增区间。（2）若函数的定义域为，值域为[2,5]
,求的值。【答案】：（1） （2）8．已知函数y=f（x），若对于任意x∈R，f（2x）=2f（x）恒成立，则称函数y=f（x）具
有性质P，（1）若函数f（x）具有性质P，且f（4）=8，则f（1）= ；（2）若函数f（x）具有性质P，且在（1，2]上的解
析式为y=cosx，那么y=f（x）在（1，8]上有且仅有 个零点．【答案】解：（1）因为函数y=f（x），具有性质P，所以对
于任意x∈R，f（2x）=2f（x）恒成立，所以f（4）=f（2×2）=2f（2）=2f（2×1）=4f（1）=8，所以f（1）=
2．（2）若函数y=f（x）具有性质P，且在（1，2]上的解析式为y=cosx，由y=cosx=0，则x=，由f（2x）=2f（x
）得f（x）=2f（），若2＜x≤4，则1＜≤2，则f（x）=2f（）=2cos，则函数f（x）在（2，4]上的解析式为y=2co
s，由2cos=0，得x=π，若4＜x≤8，则2＜≤4，则f（x）=2f（）=4cos，在（4，8]上的解析式为y=4cos，由y
=4cos=0得x=2π，所以y=f（x）在（1，8]上有且仅有3个零点，分别是，π，2π．故y=f（x）在（1，8]上有且仅有3
个零点.9. ★★设函数,则下列关于函数的说法有：（1）是偶函数； （2）最小正周期为π ； （3）图象关于点对称； （4）在区间
上是增函数.以上说法正确的序号是________【答案】（4）由三角函数的性质可知:的单调区间,则,当时,． 10. ★★ 已知电流I与时间t的关系式为．（1）右图是（ω＞0，）在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式；（2）如果在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？【答案】（１）由图可知 A＝300．设t1＝－，t2＝， 则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝．∴ ω＝＝150π． 又当t＝时，I＝0，即sin（150π·＋）＝0，而， ∴ ＝．故所求的解析式为． （２）依题意，周期T≤，即≤，（ω>0）∴ ω≥300π＞942，又ω∈N，故最小正整数ω＝943． |
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