北京市师大附属中学2023届高三适应性练习数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：
___________一、单选题1．已知集合，若，则的取值范围是（?）A．B．C．D．2．抛物线的焦点到准线的距离是A．1B．2C
．4D．83．如图，点为角的终边与单位圆的交点，（?）?A．B．C．D．4．在的展开式中，常数项为（?）A．1B．3C．6D．12
5．现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，则
在已知A事件发生的情况下事件发生的概率即（?）A．B．C．D．6．已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（?
）A．1B．C．D．27．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象恰好关于直线对称，则的最小值是（?）A．B．C．D．8．设均为
非零向量，则“”是“对于任意的实数，都有”的（?）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件
9．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（?）A．B．C．D．10．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，
它研究的几何对象具有自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变，具有很多美妙的性质.其中科赫（Koch）曲线是几何中
最简单的形.科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫
曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线，……在分形几何中，若一个图形由个与它的上一级图形相似，且相似比为
的部分组成，则称为该图形分形维数.那么科赫曲线的分形维数是（?）?A．B．C．1D．二、填空题11．若，则的虚部是________
_.12．双曲线的顶点坐标为_________.三、双空题13．已知等比数列，记其前项乘积.若，则_________；的前4项和为
_________.四、填空题14．已知函数在上不是单调函数，且其图象完全位于直线与之间（不含边界），则的一个取值为_______
__.15．如图所示，在的长方形区域（含边界）中有两点，对于该区域中的点，若其到的距离不超过到距离的一半，则称处于的控制下，例如原
点满足，即有点处于的控制下.同理可定义处于的控制下.?给出下列四个结论：①点处于的控制下；②若点不处于的控制下，则其必处于的控制下
；③若处于的控制下，则；④图中所有处于的控制下的点构成的区域面积为.其中所有正确结论的序号是_________.五、解答题16．在
中，.(1)求的值；(2)若，求的面积.17．人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深
理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库，其中“一”出现了30次，统计“一”与其
后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况频数“一个”6“一些”4“一穷”2“一条”2其他
假设用频率估计概率.(1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；(2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个
”出现的次数为，求的分布列和期望；(3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库进行统计，“一”出现了24次，“一格
”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明）18．如
图在几何体中，底面为菱形，.?(1)判断是否平行于平面，并证明；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（i）平面与平面所成角的大小；（ii）求点到平面的距离.条件①：面面条件②：条件③：注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分
.19．已知椭圆过点，长轴长为.(1)求椭圆的方程及其焦距；(2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点，为坐标原点且，求
证：直线过定点，并求出定点坐标.20．已知函数.(1)若，求在处切线方程；(2)求的极大值与极小值；(3)证明：存在实数，当时，函
数有三个零点.21．已知为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.设.例如当时，，，，所以.(1)若，求的值；
(2)设是由3个正实数组成的集合且，证明：为定值；(3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意，设，.已知，且对任意，求
数列的通项公式.参考答案：1．B【分析】根据集合的运算结果建立不等式求解.【详解】由知，，即，解得，故选：B2．C【分析】先根据抛
物线的方程求出的值，再根据抛物线的简单性质即可得到．【详解】由，知＝4，而焦点到准线的距离就是．故选C．【点睛】本题主要考查了抛物
线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用，属于基础题．3．D【分析】根据单位圆、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系
及诱导公式求解.【详解】由单位圆可知，，且为第一象限角，根据同角三角函数的基本关系可得，所以，所以.故选：D4．C【分析】根据二项
式定理，得出展开式的通项，进而可得出结果.【详解】因为展开式的第项为，令，则，所以常数项为.故选：C.5．A【分析】分别求出，，根
据条件概率的计算公式即可求得答案.【详解】由题意可得A表示事件“抽到两名同学性别相同”，则,表示事件“抽到两名女同学”，则,故,故
选：A6．C【分析】首先得出切线长的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.【详解】圆：中，圆心，半径设，则， 则,当时，，故选
：C7．A【分析】由三角函数的相位变换可得变换后的图象对应的解析式，再根据正弦函数的对称轴可得以及的最小值.【详解】将函数的图象向
左平移个单位长度得到的函数图象对应的函数解析式为，因为其图象关于直线对称，所以，解得，则正数的最小值为，故选：A．【点睛】本题考查
了三角函数的图象的相位变换，考查了正弦函数的对称轴．属于基础题.8．C【分析】根据向量的运算法则和公式进行化简，结合充分条件和必要
条件的判定方法，即可求解.【详解】由，则，即，当时，可得，此时恒成立，即充分性成立；当对于任意的实数恒成立时，可得，又，所以，即必
要性成立，综上可得，“”是“对于任意的实数，都有”的充分必要条件.故选：C.9．B【分析】由条件转化为有解，求出与的切点，数形结合
求解即可.【详解】由题意，，即有解，先求与相切时，过定点，的导数，设切点为，则由导数可知，所以，解得，即切点为，此时切线斜率，作出
函数图象，如图，?由图象可知，当时，存在存在，使得成立.故选：B10．D【分析】根据题意得出曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的
，再根据题设条件即可得出结果.【详解】由题意曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的，则其相似的分形维数是，故选：D.11．【分析】
根据复数的除法运算求解.【详解】因为，所以，虚部为.故答案为：12．【分析】化为双曲线标准方程，写出顶点坐标.【详解】因为为双曲线
方程，所以，即，所以双曲线的顶点坐标为.故答案为：13． 4【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式求解.【详解】由题意，
,由，解得，,所以.故答案为：；.14．2(答案不唯一)【分析】根据函数在上不是单调函数利用导数确定，再由函数图象夹在两直线之间由
正弦函数性质列出不等式组求解，即可得解.【详解】由，则，因为的最大最小值必在中取得，且在上不是单调函数，所以必有，解得，由图象完全
位于直线与之间，所以且，即恒成立，所以，综上，.故答案为：2(答案不唯一)15．①③④【分析】根据新定义，直接验证判断①，取特殊点
判断②，根据定义求出点所在区域，判断③，结合图象求出面积判断④.【详解】由图可知,设，则，,满足，故①正确；点不处于的控制下则，即
，得不到，例如取点，，，，即点不处于的控制下，也不处于B的控制下，故②错误；若处于的控制下，则，设，则，化简整理得，作出图象如图，
?由图可知，当点在矩形且在圆及圆内部分满足处于的控制下,由图可知，当处于时，有最大值，故③正确；由③知处于的控制下点构成的区域面积
，可以看作是圆与矩形的面积之和，如图，?故面积为，故④正确.故答案为：①③④【点睛】关键点睛：本题作为一道创新型试题，关键在于理解
所给新定义，对于①②可以利用具体点去直接判断结论正确与否，在这一特殊化的过程中进一步理解新定义，对于③需要根据新定义求出点满足的轨
迹方程（边界），需要对求平面轨迹方程的方法熟练，关键在于求出点所在区域，利用数形结合思想判断③，对于④关键在于把区域分割为四分之一
圆面与矩形，其中需要割补思想的应用.16．(1)(2)【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可；（2）求出，再利用余弦定理求出，然后
利用三角形面积公式可求得答案.【详解】（1）在中，因为，，所以由正弦定理得.（2）因为，所以.由余弦定理得，解得或（舍）.所以的面
积.17．(1)16；(2)分布列见解析；(3)“一个”在前更合适【分析】（1）根据表中数据即可求得a的值；根据古典概型的概率公示
可求得甲类题材中“一”出现的概率；（2）确定，根据二项分布的概率计算即可求得答案；（3）计算样本语料库A，中“一个”和“一格”出现
的概率，比较大小，可得结论.【详解】（1）由题意可得；故甲类题材中“一”出现的概率为；（2）由题意在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2
个“一”，搭配“一个”出现的概率为，则，则,,,故X的分布列为：X012P则.（3）由题意知样本语料库中“一格”出现的概率为，甲类
题材中“一个”出现的概率为，由于，故输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适.18．(1)与平面不平行，证明见解析(2)（i）
；（ii）【分析】（1）利用线面平行的判定定理构造平行四边形得线线平行，即可得结论；（2）选择条件证明线线垂直建立空间直角坐标系，
利用空间向量的坐标运算求解平面与平面的角及点到平面距离.【详解】（1）不平行于平面，理由如下：取中点，?因为，所以则四边形为平行四
边形，所以，又，所以不平行于，假设平面，因为平面平面，平面所以，与不平行于矛盾，所以假设不成立，即不平行于平面；（2）选择条件①：
取中点，连接因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以，由于，所以，又因为面面，面面，面所以面，因为面，所以又因为，面，所以面，而面
，所以，所以如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，?则（i）因为面，所以为平面的一个法向量设平面的法向量为，因为所以，令
，设平面与平面所成角为，所以，则即平面与平面所成角大小为；（ii）因为，由（i）知平面的一个法向量为所以点到平面的距离为.选择条件
②：连接，取中点，连接因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以，由于，所以，在菱形中，有，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以又
因为，面，所以面，而面，所以，所以如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，?则（i）因为面，所以为平面的一个法向量设平面的
法向量为，因为所以，令，设平面与平面所成角为，所以，则即平面与平面所成角大小为；（ii）因为，由（i）知平面的一个法向量为所以点到
平面的距离为.条件③：取中点，连接因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以，由于，所以，因为，由（1）可得，所以所以，即因为，所以
又因为，面，所以面，而面，所以，所以如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，?则（i）因为面，所以为平面的一个法向量设平面
的法向量为，因为所以，令，设平面与平面所成角为，所以，则即平面与平面所成角大小为；（ii）因为，由（i）知平面的一个法向量为所以点
到平面的距离为.19．(1)，焦距为(2)证明见解析，定点为.【分析】（1）根据椭圆过点及列方程组求解；（2）设，，，，联立直线和
椭圆方程得到韦达定理，再求出点的坐标，根据已知得到+=0，再把韦达定理代入化简即得证.【详解】（1）由题得，所以椭圆的方程为，焦距
为.（2）如图，?直线与椭圆方程联立，化简得， ，即.设,，,，则，．直线的方程为，则，直线的方程为，则，因为，所以+=0，所以，
所以，把韦达定理代入整理得或，当时，直线方程为，过定点，即点，不符合题意，所以舍去.当时，直线方程为，过定点.所以直线经过定点.2
0．(1)(2)见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解；（2）求出函数导数，分类讨论得函数单调
性，根据单调性求函数极值即可；（3）根据（2）判断函数大致变化趋势，由函数零点个数即函数图象与x轴交点个数可证明.【详解】（1）当
时，，，所以，又，所以切线方程为，即.（2），当时，，解得，故时，，单调递减；时，，单调递增，故时，的极小值为，无极大值；当时，令
，解得，，故当或时，，单调递增，当时，，单调递减，故的极大值为，极小值为；当时，令，解得，，故当或时，，单调递减，当时，，单调递增
，故的极大值为，极小值为；综上，当时，的极小值为，无极大值；当时，的极大值为，极小值为.（3）当时，由（2）知， 在和上单调递增，
在上单调递减，且时，恒成立，时，，又的极大值为，极小值为，所以存在实数时，函数有三个零点.21．(1)(2)证明见解析.(3)【分
析】（1）根据题中的定义，列举出，即可.（2）先列举，，，中可能元素，根据集合的互异性判断元素个数差即可.（3）类比（1）（2）当数列由到，为保证成立，则必有其成等差数列，故猜想，可用数学归纳法给予证明.【详解】（1）当时，，，，所以，（2）设，其中，则，因，，因，所以，，，，又 ，，，所以，因，，， ，因，，，，所以，，，，，，，所以所以为定值.（3），若，则，,故，，此时，不符合题意，故，猜想，下面给予证明，当时，显然成立，假设当，时，都有成立，即，此时，，故，，，符合题意，，则，，若，的元素个数小于的元素个数则有，不符合题意，故，综上，对于任意的，都有故数列的通项公式.【点睛】关键点点睛：本题的核心是利用集合的新定义，列举集合中元素，注意集合的互异性，进而得到集合的元素个数.答案第1页，共2页答案第1页，共2页试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页 |
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