广西柳州市2023届高三上学期第二次模拟数学（文）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________一
、单选题1．已知集合且,，，则M等于（?）A．B．C．D．2．复数z的虚部为，模为2，则复数z2的对应点位于复平面内（?）A．第四
象限B．第三象限C．第二象限D．第二或三象限3．函数的单调增区间为（?）A．B．C．D．4．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合
如图的是（?）A．B．C．D．5．经过原点且倾斜角为的直线被圆C:截得的弦长是，则圆在轴下方部分与轴围成的图形的面积等于（?）A．
B．C．D．6．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新的样本数据，，…，，其中（，2，…，n），且，则下列说法中错误的是（?）A
．新样本数据的平均数是原样本数据平均数的c倍B．新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的c倍C．新样本数据的方差是原样本数据
方差的c倍D．新样本数据的极差是原样本数据极差的c倍7．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为（?）A．B
．1C．D．8．设P是△ABC所在平面内的一点，，则A．B．C．D．9．已知椭圆的两焦点分别为，，P为椭圆上一点，且，则的面积等于
（?）．A．6B．C．D．10．如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且，则三棱锥外接球的表面积是（?）A．B．C．D．
11．已知椭圆C的焦点为，，过的直线与C交于A，B两点，若，，则C的方程为（?）A．B．C．D．12．若存在实数x，y满足，则（?
）A．B．0C．1D．二、填空题13．已知向量，，且在上的投影为3，则与夹角为__________．14．已知圆锥的表面积为，且它
的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________．15．函数的图象在点处的切线的斜率为______．16．已知，则_
__________．三、解答题17．某健康社团为调查居民的运动情况，统计了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：小时），并
根据统计数据分为，，，，，六个小组（所调查的居民平均每天运动时长均在内），得到频率分布直方图如图所示.(1)求出图中的值，并估计这
名居民平均每天运动时长的平均值及中位数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；(2)为了分析该小区居民平均每天的运动量与职
业、年龄等的关系，该社团按小组用分层抽样的方法抽出名居民进一步调查，试问在时间段内应抽出多少人?18．在公比大于0的等比数列中，已
知，且，，成等差数列.（1）求的通项公式；（2）已知，试问当为何值时，取得最大值，并求的最大值.19．如图，四棱锥的底面为矩形，底
面，，点是棱的中点．(1)求证：；(2)若，，求三棱锥的体积．20．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)求函数在区间的最大值．
21．已知抛物线上一点，焦点为F．(1)求的值；(2)已知A，B为抛物线上异于P点的不同两个动点，且，过点P作直线AB的垂线，垂足
为C，求C点的轨迹方程．22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半
轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线的极坐标方程与的普通方程；(2)若直线与曲线交于A点、与曲线交于B点，求的值．23．已知的最小值
为．(1)求的值；(2)若正实数满足，求的最小值．参考答案1．B【分析】利用交集的定义直接求解.【详解】因为 ，，且,所以.故选：
B2．D【分析】结合复数的概念及模长求出复数，然后根据复数的乘方运算，即可判断所处象限.【详解】设，因为，所以，所以或，若，则，复
数z2的对应点位于复平面内第二象限；若，则，复数z2的对应点位于复平面内第三象限；故选：D.3．C【分析】根据给定函数，利用余弦函
数的单调性直接列式，求解作答.【详解】由，解得，所以所求函数的增区间为.故选：C4．C【分析】结合图象，根据函数值的特点排除A、B
，根据单调性排除D即可得正确选项.【详解】对于A：当时，且为奇函数图象关于原点对称，不符合题意，故选项A不正确；对于B：当时，，不
符合题意，故选项B不正确；对于D：当时，由 可得，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，不符合图象特点，故选项D不正确；故选
：C.5．A【分析】由已知利用垂径定理求得，得到圆的半径，画出图形，由扇形面积减去三角形面积求解．【详解】解：直线方程为，圆的圆心
坐标为，半径为．圆心到直线的距离．则，解得．圆的圆心坐标为，半径为4．如图，，则，．，，圆在轴下方部分与轴围成的图形的面积等于．故
选：．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查扇形面积的求法，考查计算能力，属于中档题．6．C【分析】根据平均数，百分位数，极
差以及方差的定义以及计算即可根据选项逐一求解.【详解】对于A，根据平均数的定义知，新样本数据的平均数是原样本数据平均数的c倍，选项
A正确；对于B，根据百分位数的定义知，新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的c倍，选项B正确；对于C，根据方差的计算公式知
，新样本数据的方差是原样本数据方差的倍，所以选项C错误；对于D，根据极差的定义知，新样本数据的极差是原样本数据极差的c倍，选项D正
确．故选：C7．B【分析】将正三棱台补全为正三棱锥再做高，结合勾股定理求解即可【详解】如图，延长正三棱台的三条棱，交于点，因为,，
则，作底面于，连接，则，故，故正三棱台的高为故选：B8．B【分析】由向量的加减法运算化简即可得解.【详解】,移项得．【点睛】本题主
要考查了向量的加减法运算，属于基础题.9．B【分析】根据椭圆定义和余弦定理解得，结合三解形面积公式即可求解．【详解】由与是椭圆上一
点，∴，两边平方可得，即，由于，，∴根据余弦定理可得，综上可解得，∴的面积等于，故选：B10．D【分析】在梯形中，利用已知条件求出
三角形和三角形的边长，分别取的中点，连接，可证出面，由知，三棱锥外接球的球心在平面的下方，设三棱锥外接球的球心为，连接，作，垂足为
H，由，解出外接球半径，进而得出表面积．【详解】在梯形中，，，，则，，，即分别取的中点，连接，，且，，又，，面，面由题意可知为直角
三角形斜边的中点，因为，所以三棱锥外接球的球心在平面的下方．设三棱锥外接球的球心为，连接，作，垂足为H，由题中数据可得，，，，设三
棱锥外接球的半径为，则，即，解得，，故三棱锥外接球的表面积是.故选：D11．C【解析】根据椭圆的定义以及余弦定理，结合列方程可解得
，，即可得到椭圆的方程．【详解】，，又，，又，，，，，，，在轴上．在中，，在中，由余弦定理可得．，可得，解得．．椭圆的方程为：．故
选：C．【点睛】方法点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有
可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求
.12．C【分析】令，利用导数求得函数的单调性与最大值，再令，结合基本不等式，求得，进而得到，求得的值，即可求解.【详解】令函数，
可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当，可得，令函数，则，当且仅当时取等号，又由，所以，所以，所以．故选：C.【点睛】对
于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围
；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很
少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.13．【分析】根据投影公式，求得，进而得到，再
由夹角公式得解．【详解】解：因为，，，由公式在上的投影为得，，求解得，所以，即由向量夹角公式，因为则与夹角．故答案为：．【点睛】本
题考查平面向量的数量积及投影公式的运用，考查向量夹角的求法，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．14．【详解】设圆锥的底面
半径为，母线长为，由其侧面展开图为一个半圆可得，所以，所以圆锥的表面积为故答案为:15．【分析】求出函数的导函数，代入计算即可；【
详解】解：因为，所以，即，故函数在点处的切线的斜率为；故答案为：16．【分析】利用分数指数幂的运算，根据平方关系即可求得结果.【详
解】由可得，即，又因为，即，可得即，所以．故答案为：17．(1)，平均数为小时，中位数为小时(2)人【分析】（1）根据频率分布直方
图的性质可得，再利用平均数与中位数的计算公式直接计算；（2）根据分层抽样等比例的性质直接计算.【详解】（1）由频率分布直方图可知，
解得：，平均数：小时；中位数：由，，得中位数在内，设中位数为，则，解得：，即中位数为小时（2）由已知可得在时间段内的频率为，所以在
时间段内应抽出人.18．（1）；（2）当或4时，取得最大值，.【分析】（1）设的公比为，由，得，再根据，，成等差数列，求得公比即可
.（2）根据（1）得到，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）设的公比为，由，即得或（舍）.因为，，成等差数列，所以，即则，解得
或（舍），又，故.所以.（2），又，该二次函数对称轴为，又，故当或4时，二次函数取得最大值，故当或时，取得最大值，即.【点睛】本题
考查等差数列与等比数列的运算以及数列最值问题，还考查运算求解的能力，属于基础题.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂
直性质可得，结合，由线面垂直的判定可得平面，由线面垂直的性质可证得结论；（2）根据体积桥，结合棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1
）平面，平面，；四边形为矩形，，又，平面，平面，又平面，.（2）平面，平面，，又为中点，，由（1）知：平面，.20．(1)函数在单
调递增，在单调递减(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）求导，由，求解；（2）根据（1）的结论，分，，，讨论求解.(1)解：，
当或时，；当时，；∴函数在单调递增，在单调递减；(2)由（1）知当，函数在区间单调递减，∴，当，函数在区间单调递减，在单调递增，，
①当时，，∴，②当时，，∴，当时，函数在区间单调递增，∴综上所述，当时，，当时，21．(1)2(2)【分析】（1）将点代入抛物线方
程，求得抛物线方程，再根据抛物线的定义即可得出答案；（2）设直线AB的方程为：，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得，，再根据
，求得的关系，从而可得直线AB过定点，再根据，可得C点的轨迹为PH为直径的圆，即可得出答案.【详解】（1）解：∵，∴∴抛物线方程为
，准线方程为，；（2）解：由已知直线AB存在斜率，设直线AB的方程为：，由，有，记，则，，∵，∴，则直线AB的方程为：，过定点，∵
，则C点的轨迹为PH为直径的圆，其方程为，则轨迹方程为.22．(1)，(2)【分析】（1）消去参数t，结合取值范围得的方程，根据为
圆的标准参数方程可得普通方程，再根据极坐标与普通方程的关系式可得极坐标方程；（2）根据极坐标中极径的几何意义求解即可.【详解】（1
）在的参数方程中，消去参数t得；所以的普通方程为.又是以为圆心，2为半径的圆，故其普通方程为，把代入上式得的极坐标方程为.（2）将代入可得，即，解得，故.又的极坐标方程为，把代入的极坐标方程得：，解得或（不合，舍去），故有.23．(1)(2)【分析】（1）先在数轴上标根，把数轴分成三区，再打开绝对值，写出分段函数，求其最小值.（2）先把两边平方，再利用重要不等式进行放缩求出结果.【详解】（1）由已知，当时，；当时，；当时，.所以，即，即．（2）由（1）知：，所以，因为，当时取等号；同理，当时取等号；，当时取等号.所以，则，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为．答案第11页，共22页答案第11页，共22页试卷第11页，共33页试卷第11页，共33页 |
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