吉林省白山市2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：______
_____一、单选题1．设全集，集合，则等于（?）A．B．C．D．2．生物入侵指生物由原生存地入侵到另一个新的环境，从而对入侵地的
生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期
，可用对数模型来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，.据此，累计繁殖
数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为（，）（?）A．6.9天B．11.0天C．13.8天D．22.0天3．“”是“直线与直线平行
的（?）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知符号函数，偶函数满足，当时，，则（?）A．
B．C．D．5．已知函数是定义在上的奇函数，，当时，，则（?）A．B．C．2D．36．已知函数的图象关于直线x=2对称，则函数f（
x）图象的大致形状为（?）A．B．C．D．7．已知函数，则不等式的解集是（?）A．B．C．D．8．下列关于命题的说法错误的是A．命
题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C．若命题：，，则，D．命题“，”是真命题9．
曲线在点处的切线方程为，则（?）A．B．C．4D．810．已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（?）A．B．C
．D．11．关于函数，有如下列结论：①函数有极小值也有最小值；②函数有且只有两个不同的零点；③当时，恰有三个实根；④若时，，则的最
小值为．其中正确结论的个数是（?）A．B．C．D．12．已知函数，若存在实数，，，（）满足，则（?）A．B．C．D．二、填空题13
．命题“不成立”是真命题，则实数的取值范围是______．14．在△ABC中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线，于点，，且，
(，)，若的最小值为3，则正数的值为___________.15．已知函数，则不等式的解集为___________.16．已知，若
关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为______．三、解答题17．化简求值：（1）；（2）已知，求的值．18．已知定义域为
的函数是奇函数．(1)求实数、的值；(2)判断函数在的单调性并给予证明；(3)求函数的值域．19．已知函数.(1)当时，求的单调区
间与极值；(2)若在上有解，求实数a的取值范围.20．已知：函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若在上单调递增，求实数的取值
范围.21．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．22．已知函数，．
(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，若关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围；(3)设时，证明：．参考答案1．D【分析】求出全
集和，由此能求出．【详解】解：全集，1，2，3，4，，集合，2，，，，，2，3，，，．故选：D．2．C【分析】根据，，，求得，进而
得到求解.【详解】因为，，，所以，解得.设初始时间为，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量增加3倍后的时间为，则天.故选：C3．A【分
析】求出当时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当时，，即，解得或.当时，直线的方程为，直线的方程为，此时；当时
，直线的方程为，直线的方程为，此时.因为?，因此，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.故选：A.4．C【分析】利用特殊值法可
判断AD选项；利用函数的周期性以及题中定义可判断BC选项.【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，，B错；对于C选项，对任意的，，
则，C对；对于D选项，，而，D错.故选：C.5．D【分析】由函数是定义在上的奇函数，结合，可得函数的周期为4，然后利用周期和及奇函
数的性质，分别对化简，使其自变量在区间上，然后代入解析式中求解即可【详解】解：因为函数是定义在上的奇函数，所以，因为，所以，所以，
所以，所以，所以的周期为4，所以，，因为当时，，所以，故选：D6．A【分析】根据函数图象的变换和的图象关于对称得到，即，然后再根据
对数函数的图象和图象的变换判断即可.【详解】因为的图象关于对称，所以，解得，则，所以的图象可由函数的图象沿轴翻折，再向右平移2个单
位得到.故选：A.7．B【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再利用函数的单调性化简得，解不等式即得解.【详解】因为，所以是奇函数，
当时，是增函数，此时，又，所以在R上是增函数．又因为，，所以可化为所以，解得．故选：B8．D【分析】利用原命题与逆否命题的关系可判
断出A选项的正误；根据充分必要性判断出B选项的正误；利用特称命题的否定可判断出C选项的正误；利用作商法和指数函数的单调性可判断出D
选项的正误.【详解】对于A选项，命题的逆否命题，只需把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可，A选项正确；对于B选项，若函数在
区间上为增函数，则，所以，“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，B选项正确；对于C选项，特称命题的否定为全称，C选项正确
；对于D选项，当时，由于函数为增函数，则，，D选项错误.故选D.【点睛】本题考查四种命题的关系、充分不必要条件的判断、特称命题的否
定以及特称命题真假的判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.9．B【解析】求函数导数，利用切线斜率求出，根据切线过点求出即可.【详解】
因为，所以，故，解得，又切线过点，所以，解得，所以，故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.10．C【
解析】构造函数令，依题意知为偶函数且在区间单调递增；不等式，利用单调性脱去“”即可求得不等式的解集．【详解】解：令，则，因为，所以
，当时，，即在区间单调递增；又是上的偶函数，所以是，，上的偶函数，又；故，于是，不等式化为，故，解得，又，故选：．【点睛】本题考查
利用导数研究函数的单调性，考查函数奇偶性，考查化归思想与运算能力，属于难题．11．C【分析】求导后，根据正负可确定的单调性；根据在
上恒成立，结合极值和最值的定义可知①正确；利用零点存在定理可说明②正确；作出图象，将问题转化为与的交点个数问题，采用数形结合的方式
可确定③错误；根据图象和函数值域可确定④正确.【详解】，当时，；当时，；在，上单调递减，在上单调递增；对于①，在处取得极小值，极小
值为，当时，恒成立，在上恒成立，为的最小值，则既有极小值也有最小值，①正确；对于②，，，，在和上各有一个零点，又当时，恒成立，有且
只有两个不同的零点，②正确；对于③，，图象如下图所示，由图象可知：当时，与有且仅有两个不同交点，即当时，有且仅有两个不等实根，③错
误；对于④，若时，，结合图象可知：，即的最小值为，④正确.故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的相关性质的问题，其
中考查了方程根的个数问题，解决此类问题的基本方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根来确定根的个数；（2）分离参数法：先将参
数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图
象，利用数形结合的方法求解.12．C【分析】根据题意分段函数的定义，逐个分析即可.【详解】由得，，由得，，对应函数图像如图所示，若
，则，A错；，关于对称，，B错；由，，得，即，C对；由，得(),，D错.故选：C13．【详解】恒成立，当时，成立；当时，得；14．
【分析】由平面向量基本定理可得，进而又由点，，三点共线，则，根据“1”的作用由基本不等式的性质，可解得的值．【详解】解：在中，点是
的三等分点，，，，，，，，三点共线，，，当且仅当，即时取等号，的最小值为，即，，．故答案为：．15．【分析】由奇偶性定义、导数判断
的奇偶性及单调性，再应用奇函数、单调性求解不等式即可.【详解】由题设，且定义域为，故为奇函数，又，在定义域上递增，∴，可得，∴，解
得，∴原不等式解集为.故答案为：.16．【分析】利用导函数研究出函数的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问题转化为两函
数交点个数问题，数形结合求出实数的取值范围.【详解】当时，，，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且，当时，恒为正，当时
，，，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，且，画出的图象如下：要想关于x的方程有3个不同实根，则要函数与有3个不同的交点
即可，显然当时，符合要求.故答案为：17．（1）；（2）.【分析】(1)根据指数与对数的运算公式求解即可；(2)根据诱导公式，转化
为其次问题进行求解即可.【详解】(1)原式?? .?(2)原式??.18．(1)(2)单调递减，证明见详解(3)【分析】（1）利用
，列方程求出、的值，然后验证函数为奇函数即可；（2）任取，然后通过计算的正负来判断证明单调性；（3）以为基础，利用不等式的性质计算
的范围，即为函数的值域.【详解】（1）定义域为的函数是奇函数，，即，解得，即，又是奇函数，；（2）由（1）得，其为定义域在上的单调
减函数，任取，，，，，即，函数是上单调递减函数；（3），，，，，即函数的值域为19．(1)在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值
，无极大值(2)【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可；（2）分和两种情况分析求解，当时，不等式变
形为在，上有解，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案．(1)当时，，所以当时；当时，所以在上单调递减，在
上单调递增，所以当时函数有极小值，无极大值.(2)因为在上有解，所以在上有解，当时，不等式成立，此时，当时在上有解，令，则由（1）
知时，即，当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以，综上可知，实数a的取值范围是.【点睛】利用导数研究不等式恒
成立问题或有解问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围．20．（1）单调
递增；（2）.【解析】（1）由得到，求导，再讨论其正负即可.（2）根据在上单调递增，则，恒成立，转化，恒成立，令求其最小值即可.【
详解】（1）当时，，所以，令，则，当时，，递减；当时，，递增；所以取得最小值，所以在上成立，所以在上递增； （2）因为在上单调递增
，所以，恒成立，即，恒成立，令，则，当时，当时，，递减；当时，，递增；所以取得最小值，所以当时，易知，不成立，当a=0时，成立，综
上：，所以实数的取值范围.【点睛】方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性，当f(x)不含参数时，关键在于准确判定导数的符号；当f(
x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．2、可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，转
化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，构建不等式求解，要注意“＝”是否取到．21．（1）；（2）直线的方程为，切点坐标
为．【分析】（1）求导，由导数在切点处的导数值可求切线斜率，根据点斜式即可求解；（2）设切点，求出切线方程，根据切线方程经过，代入
切线方程即可求解.【详解】(1)∵， ∴点在曲线上． ∵， ∴在点处的切线的斜率为 ∴切线的方程为．即.?(2)设切点为，则直线的
斜率为， ∴直线的方程为：.又∵直线过点(0,0)，∴， 整理得，∴，∴，∴直线的方程为，切点坐标为．22．(1)在上单调递增，在
上单调递减(2)(3)证明见解析【分析】（1）将代入，对其求导，利用导数与函数的单调性的关系即可得解；（2）先利用导数求得的最大值
，再将问题转化为，从而得到，构造函数，求得即可得解；（3）结合（2）中结论取特殊值得到恒成立，进而得到，利用累加法即可得证，注意的验证.【详解】（1）当时，，，则．当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．（2）当时，．当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．所以．由不等式恒成立，得恒成立，即在时恒成立，令，，则．当时，单调递增；当时，单调递减．所以的最大值为，所以，即实数b的取值范围是．（3）由（2）知，在上恒成立，当，时，在上恒成立，取，由得，即，则，所以，，…，，上式相加得，，所以．又因为当时，，所以．【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）恒成立；恒成立．（2）恒成立；恒成立．（3）恒成立；恒成立；（4），，．试卷第11页，共33页答案第11页，共22页试卷第11页，共33页答案第11页，共22页 |
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