吉林省2023届高三第三次模拟考试数学试卷（含解析）

吉林省2023届高三第三次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．
用列举法可以将集合使方程有唯一实数解表示为（?）A．B．C．D．或2．若复数，为复数的共轭复数，则的虚部为（?）A．B．C．D．3
．一副三角板有两种规格，一种是等腰直角三角形，另一种是有一个锐角是的直角三角形，如图两个三角板斜边之比为.四边形就是由三角板拼成的
，，，则的值为（?）A．B．C．D．4．“3+1+2”高考方案中，“3”是指统一高考的语文、数学、外语3门科目，其中外语可以从英语
、日语、法语、西班牙语、德语、俄语中任选一门参加高考，“1”是指考生在物理、历史两门选择性考试科目中所选择的一门科目，“2”是指在
思想政治、地理、化学、生物4门选择性科目中所选择的2门科目．则每一名学生参加高考的科目选择方法数共有（?）种A．72B．80C．1
2D．845．某工厂产生的废气经过过滤后排放，若过滤过程中剩余的废气污染物数量P（单位：与时间t（单位：h）之间的关系为，其中为过
滤未开始时废气的污染物数量，则污染物减少75%大约需要的时间为（?）（参考值）A．20B．17C．14D．226．从原点向圆x2+
y2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为(　　)A．πB．2πC．4πD．6π7．设m，n为两个不同的直线
，，为两个不同的平面，则下列说法中不正确的是（　　）A．若，，，则B．当m与平行时，若m与n不平行，则n与不平行C．若，点，点，，
则D．若，，则8．已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（?）A．B．C．D．二、多选题9．下列化简
正确的是（?）A．B．C．D．10．下列不等式成立的是（?）A．B．C．D．11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，
以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则（?）A．B．若，则直线的斜率为C．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于，则抛物线的
方程为D．若点到抛物线准线的距离为，则的最小值为12．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足
为E，点F是PB上一点，则下列判断中正确的是（?）A．平面PACB．C．D．平面平面PBC三、填空题13．（2x3）8的展开式中常
数项是_____.（用数字表示）14．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（
长度均超过千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送
点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是_________________ （千米）.15．设函数，，若函数的极小值不大于
，则的取值范围是__________．16．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为__________.四、解答题17．已知的
内角的对边分别为，且.(1)求；(2)若，求面积的最大值18．设等差数列的前项和为，已知.(1)求数列的通项公式;(2)当为何值时
， 最大，并求的最大值.19．如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点分别为的中点，均为锐角.(1)求证：；(2)若
异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为1，求二面角的平面角的余弦值.20．买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个
盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性，某
礼品店2022年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：月份/月12345678月销售量/百个4567810111
3月利润/千元4.14.64.95.76.78.08.49.6(1)求出月利润y（千元）关于月销售量x（百个）的线性回归方程（精确
到0.01）；(2)某班老师购买了装有兔子玩偶和熊猫玩偶的两款盲盒各4个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，用表示3个中装有兔子
玩偶的盲盒个数，求的分布列和数学期望.参考公式：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，.参考数据：，21．椭圆与抛物线有一
个公共焦点且经过点.（1）求椭圆的方程及其离心率；（2）直线与椭圆相交于，两点，为原点，是否存在点满足，，若存在，求出的取值范围，
若不存在，请说明理由22．函数.（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）求证：，时，.参考答案1．C【解析】根据题意求当
方程有唯一实数解时，求的取值范围，分和两种情况求的取值.【详解】由题意可知集合的元素表示能使方程有唯一实数解的的值，当时， ，解得
，成立；当时，方程有唯一实数解，则，解得：，.故选：C【点睛】本题考查根据方程的实数根的个数求参数的取值，属于简单题型.2．A【分
析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合复数的概念，即可求解.【详解】由，所以，所以的虚部为.故选：A.3．C【分析】建立直角坐标
系,利用数量积的坐标表示求解即可.【详解】建立如图所示直角坐标系：因为，，所以，则，所以，所以,故选：C4．A【分析】根据题意，依
次分析考生在必考科目，物理、历史两门选择性考试科目经以及4门选择性科目中的选择方法数目，由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据
题意，考查必考语文、数学、外语3门科目，其中外语可以从英语、日语、法语、西班牙语、德语、俄语中任选一门参加高考，有6种选法，在物理
、历史两门选择性考试科目中所选择的一门科目，有2种选法，在思想政治、地理、化学、生物4门选择性科目中所选择的2门科目，有种选法，由
分步计数原理可得共有种选法，故选：A5．B【分析】认真审题，求得所需时间的代数式是本题关键所在.【详解】由染物数量减少75%，可得
即，则即故选：B6．B【思路点拨】作出图形,利用几何法求解.【详解】如图,圆x2+y2-12y+27=0可化为x2+(y-6)2=
9,圆心坐标为(0,6),半径为3.在Rt△OBC中可得:∠OCB=,∴∠ACB=,∴所求劣弧长为2π.7．B【分析】由线面垂直的
性质定理和面面垂直的判定定理可判断A；由面面平行的性质定理可判断B；由面面垂直的性质定理可判断C；由面面平行的性质定理可判断D．【
详解】对于A，由，，可得，又，则，故A正确；对于B，过作平面，使得，则内的任一条直线都与平行，故B错误；对于C，若，点点，点，，由
面面垂直的性质定理可得，故C正确；对于D，若，，由面面平行的性质定理可得，故D正确．故选：B．8．B【分析】由题知函数的图像关于直
线对称，进而根据对称性得可得，可得或，再解不等式即可.【详解】解：因为函数为偶函数，所以函数的图像关于直线对称，因为函数在上单调递
增，所以函数在上单调递减，因为，所以，所以由可得，由可得或，解不等式，可得或，解得或，所以，不等式的解集为．故选：B9．ABC【分
析】利用诱导公式、逆用差角正弦公式求值即可判断A；利用诱导公式、倍角正弦公式化简求值即可判断B；根据倍角余弦公式化简即可判断C；和
角正切公式化简求值即可判断D．【详解】对于A，由，故A正确；对于B，由，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误．故选：A
BC．10．BCD【分析】对于选项A，运用指数函数、对数函数单调性比较即可；对于选项B，构造函数运用函数的单调性比较即可；对于选项
C，作差后运用基本不等式判断；对于选项D，寻找中介值比较即可.【详解】对于选项A，因为，所以，，所以，故选项A错误；对于选项B，设
，则，又因为，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即：，又因为，所以.故选项B正确；对于选项C，，因为，所以，所以，即：.故选
项C正确；对于选项D，因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以.故选项D正确.故选：BCD.11．AD【分析】设点、，设直线的方
程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项的正误，根据求出的值，可判断B选项的正
误，利用抛物线的定义求出的值，可判断C选项的正误，求出的取值范围，可判断D选项的正误.【详解】若直线轴，则直线与抛物线有且只有一个
交点，不合乎题意.设点、，设直线的方程为，联立，整理可得，，由韦达定理可得，，，，A正确；，解得，所以，直线的斜率为，B错误；抛物
线上一点到焦点的距离为，则，可得，故抛物线方程：，C错误；抛物线的焦点到准线的距离为，则，所以，抛物线的方程为，所以，，，，所以，
圆的直径为，则，点到轴的距离为,，，，，即，D正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步
骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达
定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.12．ABD【分析】对A，根据线面垂直的性质与判定证明即
可；对B，根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定证明即可；对C，根据与平面不垂直判断即可；对D，由B结合面面垂直的性质判断即可.【
详解】对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而底面圆面，则，又由圆的性质可知，且，平面PAC，则平面PAC.所以A正确；对于
B，由A可知，由题意可知，且，平面，所以平面，而平面，所以，所以B正确；对于C，由B可知平面，因而与平面不垂直，所以不成立，所以C
错误.对于D，由B可知，平面，又平面，故平面平面PBC.所以D正确故选：ABD13．112【解析】根据二项式（2x3）8的展开式的
通项公式进行求解即可.【详解】（2x3）8的展开式的通项为：Tr+1＝C8r（2x3）8﹣r（）r＝28﹣r（﹣1）rC8rx24
﹣4r，令24﹣4r＝0，解得r＝6，则（2x3）8的展开式中常数项是28﹣6（﹣1）6C86＝112，故答案为：112.【点睛】
本题考查了利用二项式的通项公式求二项式展开式中的常数项，考查了数学运算能力.14．4【分析】求出，，在中，利用余弦定理结合基本不等
式即可得出答案.【详解】解：在中，因为，，所以，又与互补，所以，在中，由余弦定理得：，即，即，因为，所以，所以，当且仅当时，取等号
，所以观光线路之和最长是4.故答案为：415．.【分析】根据函数的定义域求得，求得函数的导数，进而求得时函数取得极小值，利用极小值
列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】由题可知，则，由，可知函数时函数取得极小值，所以，解得.【点睛】本题考查导数与极值问题，
考查化归与转化以及运算求解能力.属于中档题.16．【分析】由垂直得一条渐近线的斜率，从而结合双曲线标准方程求得值．【详解】一条渐近
线与直线垂直，则该渐近线的斜率为，双曲线的标准方程为，，，，．故答案为：．17．(1)(2)面积的最大值为．【分析】（1）首先利用
正弦定理，边角互化，转化为边的关系，利用余弦定理求角的值；（2）利用余弦定理结合基本不等式求面积的最大值.【详解】（1）因为，所以
整理得由余弦定理知，所以．因为，所以．（2）由（1）可知，．因为，所以，当且仅当时等号成立，所以， 即面积的最大值为．18．(1)
(2)当或时， 最大，的最大值为【分析】（1）由等差数列的通项公式求得公差，从而得通项公式；（2）由等差数列前项和公式计算出，由二
次函数性质得最大值．(1)设等差数列的公差为，因为，所以，所以.(2)因为，所以对称轴为，当或时， 最大，所以的最大值为.19．(
1)证明见解析(2)【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，从而得到；（2）几何法：通过面面垂直作过二面角的平面角，通过几何计算求
解；空间向量法：建立坐标系用空间向量求解.【详解】（1）底面是菱形，，又平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，.（2）解法一：
由（1）知面，又平面，平面平面，作交线，垂足为，因为平面平面=，平面，则面，又平面，所以.再作，垂足为，面，面， 所以面，又面则，
所以为二面角的平面角，因为平面，所以到底面的距离也为.作，因为平面平面，平面平面＝，平面，所以平面，所以，又为锐角，所以又，所以为
等边三角形，故，所以，因为，所以，所以.所以二面角的平面角的余弦值为.解法二：由（1）知面，又平面，平面平面，作，因为平面平面，平
面平面＝，平面，所以平面，如图，建立直角坐标系：为原点，为轴方向，轴.因为平面，所以到底面的距离也为.所以，又为锐角，所以又，所以
为等边三角形，故， 在空间直角坐标系中：，设，则则，设平面的法向量为，，取设平面的法向量为，，取所以，由题知二面角为锐角，故二面角
的平面角的余弦值为.20．(1)；(2)分布列见解析，.【分析】（1）将表格数据代入公式，计算回归方程；（2）由题可得的所有可能取
值，然后根据古典概型概率公式结合组合数公式求概率，进而可得分布列及期望.【详解】（1）由题可知，，，所以，，，，故月利润y（千元）
关于月销售量x（百个）的回归方程为；（2）由题可知的所有可能取值为0，1，2、3，则，，，，故的分布列为：0123P所以的数学期望
．21．（1），；（2）存在，或.【分析】（1）由题意，椭圆的，再代入，联立即得解，，再由即可得离心率；（2）由题意，R为的重心，
将直线与椭圆联立，借助韦达定理可得，且在圆上，代入可得，由可得，，代入可得，结合的范围可得解.【详解】（1）由题意，抛物线的标准方
程为，∴抛物线焦点坐标为即在椭圆中，，将点代入曲线的方程，得由得，，，则椭圆的方程为则椭圆的离心率（2）存在符合要求的点.直线与椭圆相交于，两点，联立方程，整理得设，两点坐标为，，则，，得∵点满足且，的重心在圆上，，即，，，即，，，令，则，则，或22．（1）（2）见解析【分析】(1)利用函数在区间单调递增，则其导函数在此区间大于等于零恒成立可得；(2)由第（1）问的结论，取 时构造函数，得其单调性，从而不等式左右累加可得.【详解】（1）解：∵，，∴，∵在上为增函数，∴在上恒成立，即在上恒成立，∵，∴，∴的取值范围是.（2）证明：由（1）知时，在上为增函数，∴令，其中，，则，则，即，即，∴……，∴累加得，∴.【点睛】本题关键在于构造出所需函数，得其单调性，累加可得，属于难度题．答案第11页，共22页试卷第11页，共33页试卷第11页，共33页答案第11页，共22页