天津市2022-2023学年高三下学期第三次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：_________
_一、单选题1．已知全集，集合，，则（?）A．B．C．D．2．设，则“且”是“”的（?）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充
要条件D．既不充分也不必要条件3．学校组织班级知识竞赛，某班的12名学生的成绩（单位：分）分别是：，则这12名学生成绩的分位数是（
?）．A．92B．87C．93D．914．函数的部分图象大致为（?）A．B．C．D．5．设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和
为，若，则展开式的系数为A．B．C．D．6．设，则的大小关系为（?）A．B．C．D．7．已知函数的图象如图所示，将的图象向右平移个
单位，使新函数为偶函数，则的最小值为（?）A．B．C．D．8．在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是（
?）A．B．C．D．9．设集合，，函数，若，且，则的取值范围是A．B．C．D．二、填空题10．已知，则___________．11
．两圆和相交于两点，则公共弦的长为__________.12．已知正方体的棱长为，其内有2个不同的小球，球与三棱锥的四个面都相切，
球与三棱锥的三个面和球都相切，则球的体积等于______，球的表面积等于______．13．当时，的最小值为______14．在中
，点满足，且对于边上任意一点，恒有.则______.三、双空题15．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件为“取到的2个数之
和为偶数”，事件为“取到的2个数均为偶数”，则为__________，为__________．四、解答题16．已知函数．(1)求的
单调区间；(2)求在区间上的最大值与最小值．17．如图，四棱锥中，平面平面是中点，是上一点.(1)当时，（i）证明：平面；（ii）
求直线与平面所成角的正弦值；(2)平面与平面夹角的余弦值为，求的值.18．已知椭圆的左?右焦点分别为、，过作斜率为的直线与椭圆相交
于、两点，且与轴垂直.(1)求椭圆的离心率；(2)若三角形的面积为，求椭圆的方程.19．在数列中，，（，）.(1)求证：是等比数列
；(2)求数列的前项和.20．已知函数，(1)若函数在处的切线也是函数图象的一条切线，求实数a的值；(2)若函数的图象恒在直线的下
方，求实数a的取值范围；(3)若，且，判断与的大小关系，并说明理由.参考答案1．C【分析】利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】
由已知可得，因此，.故选：C.2．A【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行推理即可.【详解】若且，则，充分性成立；取，则成立，但
“且”不成立，必要性不成立.因此“且”是“”的充分不必要条件.故选：A.3．C【分析】根据百分位数的概念，计算，即可求得答案.【详
解】因为，故的分位数是，故选：C4．B【分析】通过函数的奇偶性可排除AC，通过时函数值的符号可排除D，进而可得结果.【详解】令，其
定义域为关于原点对称，，所以函数为奇函数，即图像关于原点对称，故排除AC，当时，，，，即，故排除D，故选：B.5．B【分析】分别求
出展开式的各项系数之和和二项式系数之和为，根据求出的值，进而写出通项，求出展开式的系数.【详解】中，令得展开式的各项系数之和，根据
二项式系数和公式得二项式系数之和，，所以，解得，的展开式的通项为：，令得，故展开式中的系数为，故选：B.6．B【分析】利用幂函数、
对数函数的性质，结合“媒介”数比较大小作答.【详解】，，则有，所以.故选：B7．D【分析】由，，可求得，由此可得平移后的解析式，根
据平移后为偶函数可构造方程，结合可求得最小值.【详解】由图象可知：，；，，又，；，，解得：，；为偶函数，，解得：，又，当时，.故选
：D.8．B【分析】将椭圆方程化成标准方程求出其焦点坐标，再根据双曲线虚轴长度为6，即可求得双曲线的标准方程.【详解】椭圆的标准方
程为；易得椭圆焦点坐标为，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线的焦点在轴上，且，由双曲线虚轴长为6可知，所以；所以，双曲线的标
准方程为.故选：B.9．B【解析】根据，根据函数解析式，即可求出的取值范围.【详解】根据函数解析式，可得当时，，当时，因为，故可得
，解得，又因为，故令，解得.故.故选：B.【点睛】本题考查由分段函数的函数值范围求解自变量范围的问题，属基础题.10．2【分析】根
据复数的除法可求得z,即可得，结合复数的乘法即可得答案.【详解】由题意得，故，所以，故答案为：211．##【分析】根据已知条件联立
方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式即可求解.【详解】由，解得，或，所以不妨取两圆的交点为，所以.故答案为：.12． 【分析
】由题意可知三棱锥是边长为的正四面体,则球是三棱锥的内切球,设其半径为,由，可知,设平面平面,且球和球均与平面相切于点,则球是正四
面体的内切球,设其半径为,则,最后代入数据计算即可.【详解】因为正方体的棱长为,所以三棱锥是边长为的正四面体,的高为,设底面的中心
为,连接,则,,则球是三棱锥的内切球,设其半径为,则有所以,所以球的体积为,又球与三棱锥的三个面和球都相切,则设平面平面,且球和球
均与平面相切于点,如下图所示, 则球是三棱锥的内切球,设其半径为,故,因此在正四面体中,,所以球的表面积为,故答案为:;.【点睛】
本题主要考查三棱锥内切球的综合问题,考查学生的空间思维及想象能力,有一定难度.13．5【解析】根据基本不等式可求得结果.【详解】因
为，所以，当且仅当时，等号成立.故答案为：5【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定
三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构
成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值
，这也是最容易发生错误的地方.14．0【分析】以为原点，为轴，建立直角坐标系，设，可得，由此列方程求得，可得，利用平面向量数量积的
运算法则求解即可.【详解】以为原点，为轴，建立直角坐标系，设，则，，因为，所以，解得，，所以，故答案为0.【点睛】平面向量数量积的
计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题以及最值问题时，往往先建立适当的
平面直角坐标系，转化为解析几何问题或函数问题，可起到化繁为简的妙用．15．##0.4##0.25【分析】根据条件概率和古典概型概率
计算公式可得答案.【详解】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，有10种情况，事件A有4种情况，事件有1种情况，所以，.故答案为
：①；②.16．(1)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)时有最大值， 时有最小值.【分析】（1）利用正弦函数的单调性，利用整
体代入的方法求得的单调区间；（2）根据函数的关系式，利用函数的定义域确定函数的最大和最小值．【详解】（1）由，解得，所以的单调递增
区间为；由，解得，所以的单调递减区间为（2），时，，当即时有最大值；当即时有最小值17．(1)（i）证明见解析；（ii）(2)【分
析】（1）（i）以为坐标原点，为轴，为轴，过点作面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，求平面的法向量和直线的方向向量，证得，即可证明平
面；（ii）求直线的方向向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.（2）设，求平面与平面的法向量，由二面角的向量公式可求出，即可求
出的值.【详解】（1）解：如图建立空间直角坐标系，以为坐标原点，为轴，为轴，过点作面的垂线为轴，则由题意可得，由，及即，可得.（i
）设平面的一个法向量为，则解得令，得是平面的一个法向量.因为，所以.又平面，所以平面.（ii）由（i）可得，所以直线与平面所成角的
正弦值为.（2）设，则，设是平面的一个法向量，则，取，则是平面的一个法向量，则，解得或（舍去）.所以.18．(1)(2)【分析】（
1）求出点的坐标，根据可得出关于、的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可得出椭圆的方程为，将直线的方程与椭圆的方
程联立，求出点、的坐标，利用三角形的面积公式可求得的值，即可得出椭圆的方程.【详解】（1）解：将代入椭圆的方程可得，解得，因为直线
的斜率为，易知点，所以，，所以，，等式两边同时除以可得，因为，解得.因此，该椭圆的离心率为.（2）解：由（1）知，，，故椭圆方程为
，由题意，则直线的方程为，联立，消去并化简可得，显然，设点、，解得或，故点、，所以，，解得，因此，椭圆的方程为.19．(1)证明见
解析(2)【分析】（1）根据等比数列的定义证明；（2）用分组求和法计算．【详解】（1）在数列中，，（，），所以，则数列是以为首项，
4为公比的等比数列；（2）由（1）得，所以，则所以20．(1)(2)(3)，理由见解析【分析】（1）求出函数的导数，计算，，得到切
线方程，设出与的切点坐标，根据斜率和截距相等，从而求出的值；（2）问题转化为对于恒成立，根据函数的单调性，求出的范围即可；（3）根
据函数的单调性得到，整理变形即可.【详解】（1），在处切线斜率，，所以切线，又，设与相切时的切点为，则斜率，则切线的方程又可表示为
，由，解之得.（2）由题对于恒成立，即对于恒成立，令，则，由得，+0-↗极大值↘则当时，，由，得：，即实数的取值范围是.（3），理由如下：由题知，由得，当时，，单调递减，因为，所以，即，所以，①同理，②①+②得，因为，由得，即，所以，即，所以.【点睛】对于切点坐标不确定的切线问题，设出切点坐标是解题的关键，对于该题中不等式的证明，结合函数的单调性构造出是解题的关键.试卷第11页，共33页答案第11页，共22页答案第11页，共22页试卷第11页，共33页 |
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