九年级数学上册《二次函数与图形面积问题》练习题带答案(人教版)1.如图，在平面角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(﹣1，8)并与x轴
交于点A，B两点，且点B坐标为(3，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△BCP的面积．2.
如图，经过原点O的抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于另一点(，0)，在第一象限内与直线y＝x交于点B(2，t).(1)求抛
物线的解析式;(2)在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标.3.如图所示，抛物线y
＝ax2＋bx＋c与两坐标轴分别交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式，并写出
点D的坐标；(2)F(x，y)是抛物线上的动点，当x>1，y>0时，求△BDF面积的最大值．4.如图，抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴
交于A，B两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称.(1)求点A，B，C的坐标;(2)求直线BD的解析式;(3)在直线BD下方
的抛物线上是否存在一点P，使△PBD的面积最大?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.5.如图，抛物线经过A(4，0)，B
(1，0)，C(0，﹣2)三点．(1)求此抛物线的解析式(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的
坐标．6.如图，抛物线过轴上两点A(9,0)，C(﹣3,0)，且与y轴交于点B(0,﹣12)．(1)求抛物线的解析式；(2)若M为
线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M
的坐标；若不存在，请说明理由．②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值．7.
如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点.(1)求此抛物
线的解析式；(2)求C、D两点坐标及△BCD的面积；(3)若点P在x轴上方的抛物线上，满足2S△PCD=S△BCD，求点P的坐标.
8.如图，抛物线y＝ax2＋bx(a＜0)过点E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边)，点C，D在抛物
线上．设A(t，0)，当t＝2时，AD＝4.(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多
少？(3)保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，
求抛物线平移的距离． 9.如图，已知抛物线经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M
是线段BC上的点(不与B，C重合)，过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；(3)在(2)
的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．10.如图，在平面直角坐标系中
，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的
抛物线上一动点.（1）求b,c的值．（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形， 那么是否存在点P，使四边形为菱形？
若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标
和四边形ABPC的最大面积.11.如图，抛物线y=ax2＋bx(a≠0)交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M.已知该
抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B.(1)求a，b的值.(2)P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP
.设点P的横坐标为m△OBP的面积为S，记K=.求K关于m的函数表达式及K的范围.12.如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x＋a(a≠
0)与y轴相交于A点，顶点为M，直线y＝x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．(1)若直线BC和抛物线
有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示点M，A的坐标．(2)将△NAC沿着y轴翻折，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛
物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积．(3)在抛物线y＝﹣x2﹣2x＋a(a＞0)上是否存在点Q，使得以Q，
A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1.解：(1)抛物线经过点与点解得：抛
物线的解析式为：(2) 过点作轴于点，过点作轴交直线于点，过点作轴叫直线于点，如图所示：2.解：(1)因为B(2，t)在直线y＝x
上，所以t＝2.所以点B的坐标为(2，2).因为抛物线经过A(，0)，B(2，2)两点所以解得所以抛物线的解析式是y＝2x2﹣3x
.(2)如图，过点C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D过点B作BF⊥CD于点F因为点C是抛物线上第四象限的点，所以设C(m，
2m2﹣3m)则E(m，0)，D(m，m)所以OE＝m，BF＝2﹣m，CD＝m﹣(2m2﹣3m)＝﹣2m2＋4m.所以S△OBC＝
S△CDO＋S△CDB＝CD·OE＋CD·BF＝CD·(OE＋BF)＝(﹣2m2＋4m)(m＋2﹣m)＝﹣2m2＋4m.因为△OB
C的面积为2所以﹣2m2＋4m＝2，解得m1＝m2＝1.所以点C的坐标为(1，﹣1).3.解：(1)将A(﹣1，0)，B(3，0)
，C(0，3)分别代入y＝ax2＋bx＋c得解得∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3.∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4
∴顶点D的坐标为(1，4)．(2)过点F作FF1∥y轴，交BD于点F1，如图所示．设直线BD的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，将(
3，0)，(1，4)分别代入y＝mx＋n得解得∴直线BD的解析式为y＝﹣2x＋6.∵点F的坐标为(x，﹣x2＋2x＋3)∴点F1的
坐标为(x，﹣2x＋6)∴FF1＝﹣x2＋2x＋3﹣(﹣2x＋6)＝﹣x2＋4x﹣3∴S△BDF＝FF1·(xB﹣xD)＝﹣x2＋
4x﹣3＝﹣(x﹣2)2＋1.∵﹣1＜0∴当x＝2时，S△BDF取得最大值，最大值为1.4.解：(1)解方程x2﹣x﹣2＝0，得x
1＝﹣1，x2＝4.所以点A的坐标为(﹣1，0)，点B的坐标为(4，0).当x＝0时，y＝﹣2所以点C的坐标为(0，﹣2).(2)
因为点D与点C关于x轴对称，所以点D的坐标为(0，2).设直线BD的解析式为y＝kx＋b则解得所以直线BD的解析式为y＝﹣x＋2.
(3)存在.理由如下：如图，作PE∥y轴交BD于E设P(m，m2﹣m﹣2)，则E(m，﹣m＋2)所以PE＝﹣m＋2﹣(m2﹣m﹣2
)＝﹣m2＋m＋4.所以S△PBD＝PE·(xB﹣xD)＝×(﹣m2＋m＋4)×4＝﹣m2＋2m＋8＝﹣(m﹣1)2＋9.因为﹣1
<0，所以m＝1时，△PBD的面积最大，面积的最大值为9.所以点P的坐标为(1，﹣3).5.解.(1)∵该抛物线过点C(0，﹣2)
设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx﹣2.将A(4，0)，B(1，0)代入得解得∴此抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x﹣2.(2)设D
点的横坐标为t(0 2.∴E点的坐标为(t，t﹣2)．∴DE＝﹣t2＋t﹣2﹣(t﹣2)＝﹣t2＋2t.∴S△DCA＝×(﹣t2＋2t)×4＝﹣t2＋
4t＝﹣(t﹣2)2＋4.∴当t＝2时，△DCA面积最大．∴D(2，1)． 6.解：(1)因抛物线过轴上两点 故设抛物线解析式为：
．又； (2)如图2，设直线的解析式为．， 解得 则直线的函数关系式为．设点的横坐标为，则 ．①若四边形为平行四边形，则即△，此
方程无实数根不存在这样的点，使得四边形恰为平行四边形．② 当时， 最大值此时， ．7.解：(1)∵抛物线的顶点为A(1，4)∴设
抛物线的解析式y=a(x﹣1)2＋4把点B(0，3)代入得，a＋4=3，解得a=﹣1∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2＋4；(2
)由(1)知，抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2＋4；令y=0，则0=﹣(x﹣1)2＋4∴x=﹣1或x=3∴C(﹣1，0)，D(3
，0)；∴CD=4∴S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；(3)由(2)知，S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；CD=4
∵S△PCD=S△BCD，∴S△PCD=CD×|yP|=×4×|yP|=3，∴|yP|=∵点P在x轴上方的抛物线上∴yP＞0，∴y
P=∵抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2＋4；∴=﹣(x﹣1)2＋4，∴x=1±∴P(1＋，)，或P(1﹣，).8.解：(1)抛物
线的函数表达式为y＝－x2＋x；(2)由抛物线的对称性得BE＝OA＝t∴AB＝10－2t，当x＝t时，AD＝－t2＋t∴矩形ABC
D的周长＝2(AB＋AD)＝2[(10－2t)＋(－t2＋t)]＝－t2＋t＋20＝－(t－1)2＋∵－＜0∴当t＝1时，矩形AB
CD的周长有最大值，最大值为；(3)如图，当t＝2时，点A，B，C，D的坐标分别为(2，0)，(8，0)，(8，4)，(2，4)∴
矩形ABCD对角线的交点P的坐标为(5，2)∵直线GH平分矩形的面积∴点P是GH和BD的中点∴DP＝PB，由平移知，PQ∥OB∴P
Q是△ODB的中位线∴PQ＝OB＝4所以抛物线向右平移的距离是4个单位．9.解：(1)y=﹣x2＋2x＋3(2)易求直线BC的解析
式为y=﹣x＋3∴M(m，﹣m＋3)又∵MN⊥x轴∴N(m，﹣m2＋2m＋3)∴MN=(﹣m2＋2m＋3)﹣(﹣m＋3)＝﹣m2＋
3m(0＜m＜3) (3)S△BNC=S△CMN＋S△MNB=|MN|·|OB|∴当|MN|最大时，△BNC的面积最大MN=﹣m2
＋3m=﹣(m﹣)2＋所以当m＝时，△BNC的面积最大为.10.解：（1）将B、C两点的坐标代入得 解得： 所以二次函数的表达式为
： （2）存在点P,使四边形为菱形.设P点坐标为（x,）,交CO于E若四边形是菱形，则有PC＝PO．连结， 则PE⊥CO于E，∴O
E=EC=∴=． ∴= 解得=，=（不合题意，舍去）∴P点的坐标为（，）（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设
P（x，）易得，直线BC的解析式为则Q点的坐标为（x，x－3）.= 当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC
的面积． 11.解：(1)将x=2代入y=2x，得：y=4∴点M(2，4)由题意，得：，∴；(2)如图，过点P作PH⊥x轴于点H∵
点P的横坐标为m，抛物线的解析式为y=﹣x2＋4x∴PH=﹣m2＋4m∵B(2，0)∴OB=2∴S=OB?PH=×2×(﹣m2＋4
m)=﹣m2＋4m∴K==﹣m＋4由题意得A(4，0)∵M(2，4)∴2＜m＜4∵K随着m的增大而减小∴0＜K＜2.12.解：(1
)由题意联立整理得2x2＋5x﹣4a＝0由Δ＝25＋32a＞0，解得a＞﹣.∵a≠0∴a＞﹣且a≠0.令x＝0， 得y＝a∴A(0
，a)．由y＝﹣(x＋1)2＋1＋a，得M(﹣1，1＋a)．(2)设直线MA为y＝kx＋b，代入A(0，a)、M(﹣1，1＋a)得
解得故直线MA为y＝﹣x＋a.联立解得∴N(a,﹣).由于P点是N点关于y轴的对称点因此P(﹣a,﹣)，代入y＝﹣x2﹣2x＋a，
得﹣＝﹣a2＋a＋a，解得a＝或a＝0(舍去)．∴A(0,)，C(0,﹣)，M(﹣1,)，∴AC＝.∴S△PCD＝S△PAC﹣S△
DAC＝AC.|xP|﹣AC.|xD|＝××(3﹣1)＝.(3)①当点Q1在y轴左侧时，由四边形AQ1CN为平行四边形，得AC与Q1N相互平分，则点Q1与N关于原点(0，0)中心对称，而N(a,﹣)故Q1(﹣a,﹣)代入y＝﹣x2﹣2x＋a得＝﹣a2＋a＋a，解得a＝或a＝0(舍去)，∴Q1(﹣,).②当点Q2在y轴右侧时，由四边形ACQ2N为平行四边形，得NQ2∥AC且NQ2＝AC而N(a,﹣)，A(0，a)，C(0，﹣a)，故Q2(a,﹣).代入y＝﹣x2﹣2x＋a，得﹣＝﹣a2﹣a＋a，解得a＝或a＝0(舍去)∴Q2(,﹣).∴当点Q的坐标为(﹣,)或(,﹣)时，Q，A，C，N四点能构成平行四边形．学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 17 页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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