陕西省商洛市2023届高三下学期第一次模拟考试文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：__________
____一、单选题1．设集合，则（?）A．B．C．D．2．已知为虚数单位，则复数的模为（?）A．2B．C．D．3．在等差数列中，若
，则该数列的前项和为（?）A．B．C．D．4．某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2：3：5，为研究这三种产品的质量
，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出100件进行测试，则应该抽取的A型号产品的件数为（?）A．20B．30C
．50D．805．设，则（?）A．B．C．D．6．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（?）A．B．C．D．7．在区间上随机取一个数
，则事件“”的概率为（?）A．B．C．D．8．已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是图象的一条对称轴；③把函数的图象上所有
点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是（?）A．①B．①③C．②③D．①②③9．如图，在正方体中，异面直
线与所成的角为（?）A．B．C．D．10．在xOy平面内，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过左顶点A且斜率为的直线与渐近线在第一
象限的交点为M，若，则该双曲线的离心率是（?）A．B．C．D．11．如图，一个空间几何体正视图与左视图为全等的等边三角形，俯视图为
一个半径为1的圆，那么这个几何体的表面积为A．B．C．D．12．抛物线的焦点为，是上一点，若到的距离是到轴距离的两倍，且三角形的面
积为（为坐标原点），则的值为A．B．C．D．二、填空题13．已知向量，则___________.14．设满足约束条件则的最小值为_
_________.15．请写出一个同时满足条件①②③的函数______.①，；②函数的最小值为1；③函数不是二次函数.16．设等
差数列的前项和为，若，，则当取得最大值时，的值为_______________．三、解答题17．在中，内角A，B，C的对边分别为a
，b，c，且．(1)求C；(2)若，，求的周长．18．红旗中学高三年级共有学生1800名，在一次数学考试后，抽取了200名同学的成
绩（满分150分），绘制成频率分布直方图（如图），成绩的分组区间为.(1)求频率分布直方图中的值；(2)由样本估计总体﹑估计这次考
试，年级成绩优秀（分数大于或等于120分即为优秀）人数和平均分数（用各组的中点值代替该组的平均值）.19．如图，在直三棱柱中，，为
的中点，，.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.20．已知椭圆：的焦点为、，离心率为，直线：，、在直线上的射影分别为M、N，且.(
1)求椭圆的标准方程；(2)设直线与椭圆C交于A、B两点，，求的面积的最大值.21．已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，，以为直径的
圆与轴相切于点，且．(1)求抛物线的方程；(2)是直线上的动点，过点作抛物线的切线，切点分别为，证明：直线过定点，并求出定点坐标．
22．已知直线l的参数方程为（其中t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(1)求曲线C
的直角坐标方程及直线l的极坐标方程；(2)若，直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求的值．23．已知函数．(1)求函数的最小值M
；(2)若且，求的最小值．参考答案：1．A【分析】解指数不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式得：，则，而，
又，所以.故选：A2．B【分析】首先根据复数代数形式的乘法运算化简，再计算其模即可；【详解】解：，所以；故选：B3．B【分析】利用
等差数列的求和公式与等差数列的基本性质可求得数列的前项和.【详解】由题意可知，等差数列的前项和为.故选：B.4．A【分析】根据分层
抽样的性质求出抽样比，然后求解即可.【详解】某工厂生产的A，B，C三种不同型号产品的数量之比为，则A被抽的抽样比为，所以抽出100
件产品中A型号产品的件数为，故选：A5．D【分析】分别根据指数函数，对数函数和余弦函数的单调性求出取值范围即可判断.【详解】由指数
函数的单调性可知：；由对数函数的单调性可知：；由余弦函数的单调性可知：，故选：.6．A【分析】求出函数的导函数，再求出，然后利用导
数的几何意义求解作答.【详解】函数，求导得：，则，而，于是得：，即，所以曲线在点处的切线方程为.故选：A7．A【分析】根据余弦函数
的性质解不等式，再结合几何概型求解即可.【详解】解：因为，所以，故所求概率.故选：A.8．A【分析】利用三角函数的周期性、对称性、
平移变换即可得出答案.【详解】对于①，的最小正周期为，故①正确；对于②，，所以②不正确；对于③，把函数的图象上所有点向左平移个单位
长度得到，所以③不正确.故选：A.9．C【分析】作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解.【详解】连接与，因为，则为
所求，又是正三角形，.故选：C.10．B【分析】由得出，进而由斜率公式结合离心率公式求解即可.【详解】因为且点M在渐近线上，由得，
则，，于是.故选：B11．B【详解】 由三视图可知，该几何体表示底面半径为，母线长为，所以该几何体的表面积为，故选B.12．B【详
解】设点 ，根据已知可知，解得：，，所以 ，解得 ，故选B.【点睛】本题考查了抛物线的方程和几何性质，属于基础题型，抛物线的最重要
的几何性质就是抛物线上任一点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样就可以得到抛物线的焦半径公式，这样抛物线的焦半径和坐标建立起联系，
如果题设倾向于用平面几何知识解决问题，那有焦半径，也一定需做出到准线的距离，然后再用平面几何解决问题.13．【分析】利用向量夹角公
式即可得到结果.【详解】，，，．故答案为：【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查平面向量夹角公式，考查计算能力，属于基础题.14
．【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．【详解】作出可行域如图所示.把转化为，当经过点时，纵截距最低，最小.当直线经
过点时，取得最小值.故答案为：.15．（答案不唯一）【分析】根据要求写解析式即可.【详解】由①可得，为偶函数，再结合②③可得，可以
为.故答案为：（答案不唯一）.16．6【分析】根据等差数列的前项和的性质，结合二次函数性质确定最大值，即得结果.【详解】设等差数列
的公差为，因为，，所以,为开口向下的二次函数，所以对称轴为,因为，所以当且仅当6时， 取最大值，故答案为：6.17．(1)(2)1
2【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式与三角形内角的关系化简即可；（2）根据余弦定理列式求解可得，进而可得面积.【详解
】（1）由已知及正弦定理可得，∴．∴，即．∵，∴，即．又，∴．（2）由余弦定理得，∴．∴，∴．∴的周长为12．18．(1)(2)优
秀人数有450人，平均分数为108.35分【分析】（1）根据频率之和为1即可求解；（2）求出样本中分数大于或等于120分的频率，从
而求出人数；根据平均数公式即可求解．【详解】（1）由题意，得，解之，得；（2）由频率分布直方图，得样本中，分数大于或等于120分的
频率为，∴由样本估计总体，得高三年级这次数学考试成绩的优秀率为25%，∴这次考试年级优秀人数为1800×25%=450，设样本的平
均分数为，，由样本估计总体，估计这次考试平均分数为108.35分，∴这次数学考试，估计优秀人数有450人，平均分数为108.35分
．19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）由（1）可知平面，可得出，结合体积
公式可求得三棱锥的体积.【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面，平面，.又，、平面，且，平面，又平面，.（2）解：由（1）知平面，
.20．(1)(2)【分析】（1）根据射影可求出，结合离心率即可求得椭圆方程；（2）设点坐标，联立直线与椭圆方程，使判别式大于零解
得m的取值范围，求出弦长及点到直线的距离，写出面积的式子，构造新函数，求导求单调性求最值即可.【详解】（1）解：因为直线：的斜率为
-1，所以倾斜角为，所以，即椭圆的焦距，，由椭圆的离心率为，得，得，，所以椭圆C的标准方程为；（2）由消去，得，令，解得，设，，则
，，所以，而点到直线的距离为，所以，设，，所以，，由得，，，当时，点在直线上.故将舍去.当变化时，和的变化情况如下表-223+0-
0+0-极大值0极大值因为，，所以，即，故的面积的最大值为.【点睛】方法点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于中难题，关于最
值问题的方法有：（1）设直线方程，考虑斜率存在（或为0）的情况，设出点的坐标；（2）联立直线与圆锥曲线方程，使判别式大于零，写出韦
达定理；（3）列出题中所需式子，化简后将韦达定理代入；（4）根据基本不等式求出最值，或构造新函数求导求单调性求最值即可.21．(1
)(2)证明见解析，定点坐标为【分析】（1）根据垂直关系可得，结合圆的半径可求得，由此可得抛物线方程；（2）结合导数几何意义可利用
，得到等量关系，，由此可得直线方程，由直线过定点的方法可求得结果.【详解】（1）由抛物线方程知：，连接，为切点，，又，，，．，，解
得：，则抛物线的方程为．（2）设，，，由得：，，则，化简整理可得：，即，同理：由得：，则点都在直线上，即直线的方程为，令得：，直线
过定点，该定点坐标为．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的定点问题的求解；本题求解定点的关键是能够结合导数的几何意
义，利用切线斜率构造等量关系得到所满足的二元一次方程，即直线的方程.22．(1)，；(2).【分析】（1）由已知可得，进而即可得出
曲线C的直角坐标方程.消去参数，可得直线方程为，即可得出直线的极坐标方程；（2）解法一：将直线的参数方程代入曲线可得，.根据韦达定
理得到的关系，代入即可求解；解法二：联立直线与曲线的方程，求出交点的坐标.然后根据两点间的距离公式，求出、的值，代入即可得出结果.
【详解】（1）由曲线C的极坐标方程得，化为直角坐标方程为．又由直线l的参数方程得直线，所以直线l的极坐标方程为．（2）解法一：将直
线的参数方程代入曲线可得，，整理可得，.设点对应的参数分别为，则是方程的两个根.由韦达定理可得，.所以，.解法二：联立直线与曲线的方程可得，，解得，.代入可得，，.不妨设，，则，.所以，.23．(1);(2).【分析】（1）利用零点分段法将写出分段函数的形式，画出图象，由图象可以看出函数的最小值；（2）由（1）知，利用基本不等式可得，再利用基本不等式可得的最小值.【详解】（1）由于，作出此函数图象如图所示:由图象可知函数的最小值为，即．（2）由（1）知，所以，所以，即，当且仅当时等号成立，∴,当且仅当时等号成立．故的最小值为.试卷第11页，共33页试卷第11页，共33页答案第11页，共22页答案第11页，共22页 |
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