2023届福建省高三第一次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．
若集合，，则（?）A．B．C．D．2．若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（?）A．B．C．D．3．“苏州码子”发源
于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0~9的写法依次为○?丨?刂?川?ㄨ??〦?〧?〨?
攵.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着“〦○”代表距离始发车站的里程为60公里，已知每隔3公里摆放一个
里程碑，若在点处里程碑上刻着“ㄨ”，在点处里程碑上刻着“攵〦”，则从点到点的所有里程碑上所刻数之和为（?）A．1029B．1125
C．1224D．16504．2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的
数据平均数分别为，中位数分别为y1，y2，则（ ）A．，y1＞y2B．，y1=y2C．，y1=y2D．，y1＜y25．1970年
4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星
运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连
线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论不正确的是A．卫星向径的最小值为B．卫星向径的最大值为C．
卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大6．执行如图所示的程序框图，则输出S
的值为（?）A．-1010B．-1009C．1009D．10107．如图，圆锥顶点为，底面圆心为，过轴的截面，为中点，，，则从点经
圆锥侧面到点的最短距离为A．B．C．D．8．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“
赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（?）A．B．C．D．9
．已知函数的部分图象如图所示，则可以是（?）A．B．C．D．10．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离之和的最小值是（
?）A．B．2C．D．11．在四面体ABCD中，，，．若平面同时与直线AB、直线CD平行，且与四面体的每一个面都相交，由此得到一个
多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为（?）A．B．C．D．12．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为A．B．C．D．二、填空
题13．已知数列{an}满足a1=1，且an+1=2an+1（n∈N），则a5=______.14．若，当时，实数的值为____
____15．，有两个不同的解，则k的取值范围是______．16．已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点，其中为左
焦点，P是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为_____________.三、解答题17．在中，角A，
B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)证明：；(2)求的取值范围.18．如图，等腰梯形中，，沿AE把折起成四棱锥，使得.(1)求
证：平面平面；(2)求点到平面的距离.19．已知圆，圆，动圆P与M外切且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)证明C是椭圆（除去
一点），并求C的方程；(2)①一组方向向量为（k为常数）的平行直线与C均有两个公共点，证明这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线
上；②上图是该椭圆旋转一定角度所得的图形，请写出一种尺规作图方案以确定其两个焦点的位置，并在答卷的图中画出来.（不必说明理由）.2
0．某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和．（1
）从，生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求的最小值；（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为
合格品，以（1）中确定的作为的值．①已知，生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检100
0件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级
分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如图所示，用样本的频率
分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．21．设函数，其中和是实数，曲线
恒与轴相切于坐标原点．(1)求常数的值；(2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)求证：对于任意的正整数，不等式恒成
立.22．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是，圆的极坐标方程是．（1）求与交
点的极坐标；（2）设为的圆心，为与交点连线的中点，已知直线的参数方程是（为参数），求的值．23．已知函数．（1）当时，求不等式的解
集；（2）若时，不等式成立，求实数的取值范围．参考答案：1．D【分析】解不等式求得，从而求得.【详解】，，所以.故选：D2．D【分
析】根据复数的几何意义判断在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，进而求出其面积.【详解】在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内
所有点，，故选：D.3．B【分析】根据规定确定点A和B处的里程碑的数值，结合等差数列通项公式求出里程碑的数量，利用等差数列前n项求
和公式计算即可.【详解】由题意知，A点处里程碑刻着数字54，B点处里程碑刻着数字96，里程碑上的数字成等差数列，公差为，则从A到B
的所有里程碑个数为，所以从A到B的所有里程碑上的数字之和为.故选：B.4．B【分析】分别计算甲、乙的平均数和中位数，由此得出选项.
【详解】，故选B.【点睛】本小题主要考查茎叶图的识别，考查平均数和中位数的计算，属于基础题，直接计算求得相应的结果，再进行比较即可
.5．D【解析】由题意向径即椭圆上的点与焦点的连线的距离，由椭圆的性质可得出答案.【详解】根据题意：向径为卫星与地球的连线，即椭圆
上的点与焦点的连线的距离.根据椭圆的几何性质有：卫星向径的最小值为，卫星向径的最大值为，所以A, B正确.当卫星向径的最小值与最大
值的比值越小时，由，可得越大，椭圆越扁，所以C正确.卫星运行速度在近地点时,其向径最小，由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等.
则卫星运行速度在近地点时最大，同理在远地点时最小，所以D不正确.故选：D【点睛】本题考查椭圆的基本性质，属于中档题.6．D【解析】
根据程序框图,先计算出和的含义,再根据即可求得输出值.或利用等差数列的求和公式求解.【详解】依题意：得,.解法一：,故选:D.解法
二：,,所以,故选:D.【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,数列求和公式的应用,属于中档题.7．A【分析】先画出圆锥的侧面展开图
如图所示，再求线段BC的长度，即得点经圆锥侧面到点的最短距离.【详解】先作出圆锥的侧面展开图如图所示，由题得圆锥底面圆的半径为，所
以,所以,所以BC=.故答案为A【点睛】(1)本题主要考查圆锥侧面两点间的最短距离，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析
推理能力.(2)求曲面上两点间的最短距离，一般利用展开法，转化成平面上两点间的最短距离.8．D【分析】利用平面向量的线性运算及平面
向量的基本定理求解即可.【详解】由题意，所以，， .故选：D.9．D【分析】根据函数的奇偶性，定义域，特殊值排除即可得答案.【详解
】解：由函数的定义域，由于选项C的定义域为，故排除；对于A选项，，即函数，不符合函数图像特点，排除；对于B选项，当时，，又，不符合
给出的函数图象的特点排除；对于D选项，函数的定义域为，且时，函数为增函数，且，图像特征满足；故选：D10．D【分析】先求出抛物线的
焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．【详解】依题设P在抛物线准线的投影为P''，
抛物线的焦点为F，A（0，-1）．则F（1，0），依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP''|=|PF|，则点P到点A（0，
-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，d=|PF|+|PA|≥|AF|=．故答案为： 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查求距离
和，解题的关键是点P到点（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和转化为点P到点（0，-1）的距离与P到焦点F的距离之和.11
．B【解析】根据题意可得截面为平行四边形，求出异面直线所成的角，再代入三角形的面积公式，利用基本不等式可求得面积的最值.【详解】如
图所示，在四面体ABCD中，截面为，由线面平行的性质定理可得，同理可得：；四边形为平行四边形；当分别为边的棱的中点时，，为中点，，
，，，；设，则，，，等号成立当且仅当，多边形截面面积的最大值为，故选：B.【点睛】本题考查线面平行性质定理的运用、截面的面积最值、
基本不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意基本不等式求最值的运用.12．D【
解析】如图所示，与直线相交于，关于的对称点在上，根据切线与平行得到，得到答案.【详解】如图所示：与直线相交于，关于的对称点在上.则
设，则，故在上单调递减，在上单调递增，，故恒成立，即恒成立.的导函数，的导函数，当两条切线与平行时，都有，到直线的距离为.故，当，
时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了利用导数研究距离的最值，意在考查学生的综合应用能力.13．31【分析】由题意结合数列的递推公
式，逐步运算即可得解.【详解】因为，,所以，，，.故答案为：31.【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了运算求解能力，属于基
础题.14．0或2.【分析】将原式变形为，通项为，对应的系数，故得到从而得到结果.【详解】因为，将原式变形为，通项为 对应的系数，
故得到 系数为 故答案为0或2.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再
由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其
参数.15．【分析】根据题意，设，分析可得若有两个不同的解，则有2个正根，据此分析可得，解可得k的取值范围，即可得答案．【详解】根
据题意，设，若有两个不同的解，则有2个正根，则有，解可得：，即k的取值范围为；故答案为【点睛】本题考查方程的根判断，涉及函数的零点
与方程根的关系，属于基础题．16．##4.5【分析】设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，所以，从而有，最后利用均值不等式即可求解
.【详解】解：设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，所以，即，故，当且仅当时取等，所以，故答案为：.17．(1)证明见解析(2)【
分析】（1）利用正弦定理，以及两角差的正弦公式，化简求解即可；（2）根据正弦定理以及，，关系，化简为，然后分析的范围，进而利用二次
函数单调性即可求得结果.【详解】（1）由，根据正弦定理得，，则，或，或（舍），.（2）由（1）知，，,又，且，，，.，令，，则，，
根据二次函数性质，可知在内递增，.18．(1)证明见解析；(2)点到平面的距离为.【分析】（1）先证明平面，由此证明，再证明，根据
线面垂直判定定理证明平面，再根据面面垂直判定定理证明平面平面；（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量和，再由距离公式求解.【详解
】（1）因为，所以，所以，又，，所以，故， 又，平面，，所以平面，因为平面，所以，在等腰梯形ABCD中，，所以，所以，又，所以，因
为平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）由（1）平面，，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的
法向量为，则，所以，令，则，所以为平面的一个法向量，所以点到平面的距离为，19．(1)证明见解析，（）(2)①证明见解析；②答案见
解析【分析】（1）根据两圆的位置关系得到，进而根据椭圆的定义即可求出结果；（2）①设其中一直线l与C的两个公共点为，，线段AB的中
点为，然后结合点差法得到，进而可得出结论；②结合椭圆的对称性作出图形即可.(1)由得，，所以圆M的圆心为，半径，由得，，所以圆N的
圆心为，半径.所以，所以圆M内切于圆N，且易得它们切于点.设动圆P的圆心为，半径为R.因为圆P与圆M外切且与圆N内切，圆M内切于圆
N，所以，所，由椭圆的定义可知，C是以M，N为焦点，长半轴长为6的椭圆（下顶点除外），设其方程为，则，，所以，，故C的方程为（）.
(2)①因为该组平行直线的方向向量为，所以它们的斜率为k，设其中一直线l与C的两个公共点为，，线段AB的中点为，则，，，当时，由椭
圆的对称性知，这些直线被C截得的线段的中点均在y轴上；当时，，由得，所以，即.所以D在直线上，由l的任意性知，这些直线被C截得的线
段的中点均在直线上；综上，这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上，且该直线过原点.②先作出两条互相平行的弦，再作出这两条弦的中
点E，F；再作出另外两条互相平行且与前面作出的弦不平行的弦，作出这两条弦的中点M，N；作出直线EF和直线MN的交点O；以O为圆心，
作一个圆交椭圆于P，Q，R，S四点，过O作平行于PQ的直线OA（A为该直线与椭圆的一个交点），过O作平行于QR的直线OB（B为该直
线与椭圆的一个交点），则OA和OB中较长的为长半轴，较短的为短半轴，不妨设OB为短半轴，则以B为圆心，OA为半径作圆交长轴于，两点
，则，为椭圆的两个焦点.【点睛】椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了
动点轨迹是线段或不存在的情况．20．（1）0.95；（2）①生产线挽回的平均损失较多；②分布列见解析，16200元.【解析】（1）
根据独立事件同时发生以及对立事件的概率，求出产品至少有一件合格的概率，根据已知建立的不等量关系，即可求解；（2）①根据（1）的结论
求出生产线不合格品率，进而求出两条生产线的不合格品数，即可求出结论；②的可能取值为6，8，10，根据频数分布图，求出可能值的频率，
得到的分布列，根据期望公式求解即可.【详解】（1）设从，生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件，从，生产线上抽检到合格品分别
为事件，，由题知，，互为独立事件，所以，，，令，解得，故的最小值．（2）由（1）可知，，生产线生产的产品为合格品率分别为0.95和
0.9，不合格品率分别为0.05和0.1．①由题知，生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品（件），可挽回损失为（元），生产线
上随机抽检1000件产品，估计不合格品（件），可挽回损失为（元）．由此，估计生产线挽回的平均损失较多．②由题知，的所有可能取值为6
，8，10，用样本的频率分布估计总体分布，则，，，所以的分布列为6810所以（元）．故估计该厂产量为2000件时利润的期望值为（元
）．【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查创新与应用和运算求解的能力，属于中档题
．21．(1)；(2)；(3)详见解析.【分析】（1）由题可得，进而即得；（2）求出的导数，对讨论，①当时，②当时，③当时，求出单
调区间，求得最小值，即可得到的范围；（3）对要证的不等式等价变形，可得，且运用（2）中的结论，通过的取值，即可得证.（1）由题可得
，根据条件知，所以，∴；（2）由题知，，∴，，设，，则，①当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有，符
合题意；②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即不符合题意；③当时，令，当时，，于是在上单调递减，从而，因此
在上单调递减，即，不符合题意；综上可知，所求实数的取值范围是；（3）要证对于任意的正整数，不等式恒成立，即证，即证恒成立，由（2）
知时，在上单调递减，即而且仅有，取，则成立，由（2）中时，在上单调递增，而且仅有，取，则成立，因此对于任意的正整数，不等式恒成立.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（
或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或
），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造
，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22．(1) ，或；(2) ．【详解】试题分析：（1）联立极坐标方程，解得与交点的极坐标是，或；（2）直线的参数方程化为普通方程，把，的直角坐标带入，解得.试题解析：（1）代入，得．所以或，取，．再由得，或．所以与交点的极坐标是，或．?（2）参数方程化为普通方程得．由（Ⅰ）得，的直角坐标分别是，，代入解得．?23．（1）；（2）.【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）当时，由，可得，分析可得，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）当时，.当时，，解得，此时；当时，，此时；当时，，解得，此时.综上所述，当时，不等式的解集为；（2）若，则，由，可得，即，解得，对任意的时，不等式成立，则，所以，，此不等式组无解.故实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：绝对值不等式的解法： 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．答案第11页，共22页答案第11页，共22页试卷第11页，共33页试卷第11页，共33页 |
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