福建省2023届高三下学期第二次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选
题1．已知复数，则z的共轭复数的虚部为（?）A．B．C．D．2．使得的展开式中含有常数项的最小的n为A．B．C．D．3．下列命题中
，正确的个数为（?）①“”是“”的一个充分不必要条件②函数既是奇函数又是增函数③函数与是同一函数④函数的值域是A．1个B．2个C．
3个D．4个4．将一个棱长为2的正方体铁块打磨成一个球体零件，则可以制作的最大零件的体积为（?）A．B．C．D．5．“雨打黄梅头，
四十五日无日头”是梅雨时节的特点．福建省某三个地区明天下雨的概率分别为0.8，0.8，0.9，若各地区是否下雨互不影响，则明天至少
有1个地区下雨的概率为（?）A．0.576B．0.648C．0.992D．0.9966．已知角的终边经过点，则（?）A．B．C．2
D．7．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（?）A．垂心B．内心C．外心D．重心8．已知，，，则，，的大小关系为（?）A．B．C．D
．二、多选题9．已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试（满分150分），其中数学考试成绩X近似服从正态分布，则下列说法正确的
是（?）（参考数据：①；②；③）A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分B．的值越大，成绩不低于100分的人数越多C．若，则这
次考试分数高于120分的约有46人D．从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为10．函数的图像可能是（?）A
．B．C．D．11．已知正方体ABCD-的棱长为2，F是正方形的中心，则（?）A．三棱锥F-的外接球表面积为4πB．平面C．平面，
且D．若点E为BC中点，则三棱锥的体积是三棱锥体积的一半.12．定义在R上的函数满足，函数的图象关于对称，则(?)A．的图象关于对
称B．4是的一个周期C． D． 三、填空题13．若函数为奇函数，则φ＝_________.14．已知圆C：与直线相切，且圆D与圆C
关于直线对称，则圆D的方程是___________．15．数列满足，，其前n项积为，则______．16．若双曲线的一条渐近线与圆
相切，则双曲线的离心率为___________.四、解答题17．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.(1)求；(2)若的面积为，
，求的周长.18．如图所示，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中， ，点E在PD上，且.(1)求证PA⊥平面ABCD；(2)求平面E
AC与平面DAC所成角θ的大小；(3)棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论.19．已知正项等差数列和正项等比
数列，为数列的前n项和，且满足．(1)分别求数列和的通项公式；(2)将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列
的前n项和为，求．20．移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45
亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份20
18-2022对应的t分别为1~5．(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关
程度；(2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模
型?（随机误差）．请推导：当随机误差平方和Q＝取得最小值时，参数b的最小二乘估计．(ii)令变量，则变量x与变量Y满足一元线性回归
模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．附：样本相关系数，，，，21．已知函数.(1)讨论
的单调性；(2)当时，，①求的范围；②证明：.22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线
l交C丁A．B两点．当l⊥x轴时，△ABF2的面积为3．(1)求C的方程；(2)是否存在定圆E，使其与以AB为直径的圆内切？若存在
，求出所有满足条件的圆E的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：1．C【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解
：因为所以 的共轭复数的虚部为．故选：C．2．B【详解】二项式展开式的通项公式为，若展开式中有常数项，则，解得，当r取2时，n的最
小值为5，故选B【考点定位】本题考查二项式定理的应用．3．B【分析】解出①中不等式对应的范围即可得命题①是正确的，将函数写成分段函
数形式画出函数图象可知命题②正确；根据函数定义域和值域的取值范围可知命题③错误；利用换元法即可求得函数值域为，可得④错误.【详解】
对于①，由可得，由可得；又因为，所以“”是“”的充分不必要条件，即①正确；对于②，由可得，其图象如下图所示：所以，函数既是奇函数又
是增函数，即②正确；对于③，函数的值域为，函数的值域为，两函数值域不同；所以函数与不是同一函数，即③错误；对于④，令，则，所以，即
其值域为，所以④错误；综上可得①②正确；即正确的命题个数为2个.故选：B4．C【解析】由题意得出该球体为正方体的内切球时体积最大，
最后由球的体积公式得出答案.【详解】由题意可知，当该球体为正方体的内切球时，即该球体半径，可使得体积最大故选：C5．D【分析】利用
对立事件概率公式，即可求解.【详解】明天三个地区都不下雨的概率，则至少有1个地区下雨的概率为.故选：D6．A【分析】根据正弦函数的
定义直接计算即可.【详解】因为角的终边经过点，所以，.故选：A7．C【分析】设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹.【详解】
设的中点是，，即，所以，所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查向量的运算法则，
熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角形的外心定义是解题的关键，属于较难题.8．D【分析】根据题意，构造出函数，对函数进
行求导判断其单调性，进而比较大小.【详解】令，则.因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减.而，，所以在上有.所以在上单调
递减.所以，即.故.故选：D.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上
看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对
函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行
解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.9．BD【分析】根据正态分布中的
意义判断AB选项，根据计算对应的概率求出人数判断C，由独立重复试验计算至少有2人的分数超过90分的概率判断D.【详解】对A，根据正
态分布知，数学考试成绩X的平均值为，故A错误；对B，根据中标准差的意义，的值越大则高于90分低于100分的人数变小，所以成绩不低于
100分的人数增多，故B正确；对于C，时，，故这次考试分数高于120分的约有人，故C错误；对D，由数学考试成绩X近似服从正态分布知
，由n次独立重复试验可知，从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为，故D正确.故选：BD10．ABC【分析】
通过对取值，判断函数的图象，推出结果即可.【详解】由题可知，函数，若时，则，定义域为：，选项C可能；若，取时，则函数定义域为，且是
奇函数；时函数可化为 选项B可能；若时，如取，，定义域为：且是奇函数，选项A可能，故不可能是选项D，故选：【点睛】本题主要考查了由
函数解析式判断函数图象，属于高考高频考点，涉及函数的定义域、奇偶性，单调性，特殊值代入，等属于中档题.11．BCD【分析】可得的中
点到三棱锥F-的各顶点距离相等，即可求出外接球半径，可判断A，可由面面平行得到线面平行，可判断B，由正方体的性质可判断C，通过转换
顶点确定两个三棱锥底面与高的关系可判断D.【详解】对于A，在中，设为的中点，则有，由中位线定理得，故三棱锥F-的外接球半径为，表面
积为，故A错误；对于B，可得，可得平面，故B正确；对于C，平面即平面，在正方体ABCD-中，,可得平面，又，故C正确；对于D，三棱
锥即三棱锥，三棱锥即三棱锥，在正方体中，点E为BC中点，三棱锥和三棱锥底面积相等，三棱锥的高是三棱锥的一半，所以三棱锥的体积是三棱
锥体积的一半，故D正确.故选：BCD.12．AD【分析】对A：由函数的图象关于对称可推得的图象关于对称.对B：令,由及可得到的图象
于对称且关于对称，故4为的一个周期,而不是的一个周期.对C：举例说明.对D：由的周期性求得的值.【详解】对A：因为关于对称,有，令
，则，的图象关于对称.选项A正确；对B：由题设条件得，令，有，则的图象于对称，因为，有，即，则的图象关于对称.所以，又，所以，所以
，所以，所以4为的一个周期，即，则.选项B不正确；对C：由上知图象关于对称，对称，则令符合题意，而.故C不正确;对D：因为图象关于
对称，所以， 故，有.选项D正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：令是解题的关键，通过研究的对称性，周期性得到的性质，关于的求值问题
也转化为的求值问题.13．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数是奇函数，求出φ即可．【详解】函数2s
in（x+φ），因为函数是奇函数，所以φ．故答案为．【点睛】本题考查三角函数的化简，三角函数的奇偶性，考查基本知识的应用能力，是基
础题.14．【详解】试题分析：圆C：的圆心为（-1,2），半径为，因为与直线相切，所以根据圆心到直线的距离等于圆半径可以求出，即半
径为，因为圆D与圆C关于直线对称，所以圆心关于直线对称，半径不变，可以求出（-1,2）关于该直线对称的点为（0,1），所以圆D的方
程是.考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系，圆与圆的关系.点评：两个圆关于某条直线对称，应该圆心关于这条直线对称，而半径不变.1
5．【分析】根据数列的项的周期性，去求的值即可解决.【详解】由，，可得，，，，，，由此可知数列的项具有周期性，且周期为4，第一周期
内的四项之积为1，所以数列的前2022项之积为．故答案为：16．【分析】结合已知条件，写出双曲线的渐近线方程，然后利用圆心到直线的
距离等于半径求出，，之间的关系即可求解.【详解】对于双曲线，其中渐近线方程为：，对于圆，化成圆的标准方程为：，则圆心为，半径，因为
渐近线与圆相切，由圆的位置关系可知，只能与渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离，故，解得.故答案为：.17．(1)(2)8【分析】（
1）由及正弦定理求解；（2）由面积公式求得，由余弦定理及求得，从而得到的周长.【详解】（1）.由正弦定理可得：，所以，所以，，为三
角形内角，，解得，，.（2），，由余弦定理得，，即，解得，的周长为.18．(1)证明见解析(2)(3)是，证明见解析【分析】（1）
由线线垂直证线面垂直；（2）建立空间直角坐标系如图所示，由向量法求面面角.（3）设，由线面平行列式即可解得参数证明.【详解】（1）
∵，四边形ABCD为菱形，∴，∴，∵平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD；（2），则，建立空间直角坐标系如图所示，则，∵点E在PD上
，且，∴.又平面DAC的一个法向量为，设平面EAC的法向量为，，由，取得，∴，则由图可知平面EAC与平面DAC所成角θ的大小为；（
3）设在PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC，设，则，∴.由.∴点F为PC中点时满足条件.19．(1)，;(2)11302.【
分析】（1）利用基本量代换列方程组分别求出公差和公比，即可求出和的通项公式；（2）判断出公共项，利用公式法求和.【详解】（1）设正
项等差数列的公差为.因为所以，解得：，所以.设正项等比数列的公比为.因为所以，解得：，所以.（2）根据（1）的结论，所以数列的前8
项依次为：2、4、8、16、3264、128、256，对应数列第1、2、4、8、16、32、64、128项，故数列的前100项为数
列的前107项，剔除数列的前7项的数列.设数列的前n项和为Bn，所以.20．(1),这两个变量正线性相关，且相关程度很强.(2)（
i）；（ii）经验回归方程;预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.【分析】（1）根据相关系数计算，若两个变量正相关，若两个
变量负相关，越接近于1说明线性相关越强.（2）(i)整理得，根据二次函数求最小值时的取值；(ii) 根据计算公式求得经验回归方程，
并代入可预测2024年移动物联网连接数.【详解】（1）由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关.因为
,所以 ,所以 ,所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强.（2）(i) ，要使取得最小值，当且仅当.(ii) 由(i)知 ，所以
y关于x的经验回归方程，又，所以当 时，则，所以预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.21．(1)见解析(2)①或.②证明
见解析.【分析】（1）求导后，按照和分类讨论导函数的符号可得结果；（2）①分类讨论，得到函数的单调性，利用单调性求出的最小值，由可
求出结果；②根据当时，对，有，即，得到，利用此不等式进行列项求和后可证不等式成立.【详解】（1）因为，，所以，，当时，，，所以在上
单调递减，当时，令，得，得，(舍去)，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时，在上单调递减，当时，在上单调
递减，在上单调递增.（2）①由（1）知，当时，在上单调递减，所以，此时，因为当时，，所以，解得，当时，在上单调递减，在上单调递增，
若，则，，，，，，则在上单调递增，所以，所以，因为当时，，所以，解得.若，则，，不满足当时，.综上所述：的取值范围是或.②由①知，
当时，对，有，即，又时，，，所以，所以.【点睛】（2）①将当时，，转化为求解是解题关键；②利用时， ，然后进行裂项求和证明不等式是
解题关键.22．(1)(2)或【分析】（1）由椭圆的离心率及△ABF2的面积为3，列出两个基本量的方程求解即可； （2）根据对称性
可知，圆E的圆心在轴上，利用直线l特殊位置时求出符合条件的圆E的方程，一般情况下前进性验证即可.【详解】（1）已知椭圆C的离心率为
，所以；由当l⊥x轴时，△ABF2的面积为3，得，即，又，所以，又，则，椭圆方程为.（2）当l⊥x轴时，以AB为直径的圆的圆心为F
1，半径；当l为x轴时，以AB为直径的圆的圆心为O，半径；因为直线l过点F1，所以以AB为直径的所有圆关于轴两两对称的，根据对称性可知，圆E与以AB为直径的圆内切时，圆心在轴上.设圆心E，半径为R,当以AB为直径的圆在圆E内部与E相切时，则，，故，又，所以， ，即，，圆E的方程为；当以AB为直径的圆在圆E外部与E相切时，则，，故，又，所以， ，即，，圆E的方程为；当直线l斜率不为零时，设直线l的方程为,，，联立，得，则，，所以AB的中点即以AB为直径的圆的圆心，半径，当圆E的方程为时，，此时，所以以AB为直径的圆与E相切.当圆E的方程为时，，此时，所以以AB为直径的圆与E相切.综上圆E的方程或.【点睛】与圆锥曲线相关的圆问题方法点睛因为圆的方程在圆锥曲线的求解过程中计算量比较大，所以往往不直接进行求解，而是由特殊位置求解圆的方程或者找到其特征，再一般情况下进行验证即可.试卷第11页，共33页答案第11页，共22页答案第11页，共22页试卷第11页，共33页 |
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