山东省德州市2023届高三第三次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选
题1．若集合，，则（?）．A．B．C．D．2．当时，关于的不等式的解集是，则取得最值的充分条件是（?）A．有最大值，B．有最小值，
C．有最大值，D．有最小值，3．已知扇形的半径为2，圆心角为，则扇形的弧长是（?）A．45B．C．D．904．在极坐标中，点到圆的
圆心的距离为（?）A．B．C．D．5．设，，，则a，b，c的大小关系为（?）A．B．C．D．6．设，若，则（?）A．8B．9C．1
0D．117．已知直线双曲线相交于不同的两点A和B，F为双曲线C的左焦点，且满足，则双曲线C的离心率为（?）A．B．2C．D．8．
已知函数，则（?）A．404B．4044C．2022D．2024二、多选题9．已知复数、，其中，则下列结论正确的是（?）A．的虚部
为B．的共轭复数C．是关于的方程的一个根D．若，则在复平面内对应的点的集合是以为圆心，为半径的圆10．已知函数，下列说法中正确的有
（?）A．函数的极大值为，极小值为B．当时，函数的最大值为，最小值为C．函数的单调减区间为D．曲线在点处的切线方程为11．已知线段
BC的长度为4，线段AB的长度为，点D,G满足，，且点在直线AB上，若以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（
?）A．当时，点的轨迹为圆B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为C．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为D
．当时，面积的最大值为312．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表
身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个
正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在球的表面上，则（?）A．正
四棱柱和正四棱锥的高均为B．正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为C．球的表面积为D．正四棱锥的侧面、侧棱与其底面所成的角分别为
、，则三、填空题13．若，则=__________.14．设是等差数列，且，，若，则___________.15．一批电池(一节)
用于无线麦克风时，其寿命服从均值为34.3小时，标准差为4.3小时的正态分布，随机从这批电池中任意抽取一节，则这节电池可持续使用不
少于30小时的概率为______.(参考数据：，)16．已知函数，，若，则的最小值为______．四、解答题17．如图，在中，，，
，点M?N是边AB上的两点，.(1)求的面积；(2)当，求MN的长.18．已知正项等比数列前项和为，且成等差数列．(1)求数列的通
项公式；(2)记，其前项和为，求数列的前项和．19．盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机性．因其独有的新鲜
性，刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱．已知系列盲盒共有12个款式，为调查系列盲盒更受哪个年龄段的喜爱，向00前、00后人
群各随机发放了50份问卷，并全部收回．经统计，有45%的人未购买该系列育盒，在这些未购买者当中，00后占．(1)请根据以上信息填表
，并分析是否有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关？00前00后总计购买未购买总计100附：，0.100.050.0100.0
012.7063.8416.63510.828(2)一批盲盒中，每个盲盒随机装有一个款式，甲同学已经买到3个不同款，乙、丙同学分别
已经买到个不同款，已知三个同学各自新购买一个盲盒，且相互之间无影响，他们同时买到各自的不同款的概率为．①求；②设表示三个同学中各买
到自己不同款的总人数，求的分布列和数学期望．20．已知直线，平面，且，，．判断直线的位置关系，并说明理由．21．已知分别为三个内角
的对边，且，(1)求；(2)若，求的取值范围.22．已知函数在点处的切线方程为．(1)求函数的单调区间，(2)若函数有三个零点，求
实数m的取值范围．参考答案：1．B【分析】解指数不等式求得集合A，根据集合的交集运算可得答案.【详解】解不等式，即，故，故，故选：
B2．C【解析】计算得到，，计算，根据充分条件的定义得到答案.【详解】不等式的解集是，故，.，当，即时等号成立，根据充分条件的定义
知满足.故选：.【点睛】本题考查了充分条件，不等式的解，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3．C【分析】由弧长公式
求解即可.【详解】因为圆心角的弧度数为，所以扇形的弧长是.故选：C4．C【分析】先把点的坐标和圆的方程都化成直角坐标方程，再求点到
圆心的距离得解.【详解】由题得，所以点的坐标为，因为，所以，所以，即，所以圆心的坐标为，所以点到圆心的距离为，故选：C.5．C【分
析】根据对数函数、指数函数的单调性进行判断即可.【详解】因为，，，所以，故选：C6．D【分析】根据二项展开式分别求出的表达式，解方
程即可求得结果.【详解】由题可知，，所以；同理可得；由可得，即，所以，即，解得.故选：D7．C【分析】由题意设A，B的坐标，代入直
线和双曲线的方程可得A，B的坐标，再由，可得数量积，可得a，c的关系，进而求出离心率.【详解】设，则①，因为，所以，即，可得②，因
为AB在直线上，所以③，由①②③得，解得，所以，故选：C【点睛】本题考查双曲线的性质，及直线的垂直用数量积为0表示，属于中档题.8
．B【分析】利用倒序相加法求得正确答案.【详解】，，所以，以替换得，令，则，两式相加得.故选：B9．BCD【分析】利用复数的概念可
判断A选项的正误；利用共轭复数的定义可判断B选项的正误；解方程可判断C选项的正误；利用复数的几何意义可判断D选项的正误.【详解】对
于A选项，复数的虚部为，A错；对于B选项，，B对；对于C选项， 解方程，即，可得，解得，C对；对于D选项，设，则，所以，，即，故在
复平面内对应的点的集合是以为圆心，为半径的圆，D对.故选：BCD.10．ACD【分析】利用导数研究函数的极值、最值、单调性，利用导
数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程，根据计算结果可得答案.【详解】因为所以，由，得或，由，得，所以函数在上递增，在上递减，在上
递增，故选项正确，所以当时，取得极大值，在时，取得极小值，故选项正确，当时，为单调递增函数，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值
，故选项不正确，因为，所以曲线在点处的切线方程为，即，故选项正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值、最值、单调
区间，考查了导数的几何意义，属于基础题.11．BCD【分析】根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为的圆B，点D为线段AB的中
点，点为线段的中垂线与直线AB的交点，则，利用图形结合圆锥曲线定义理解分析．【详解】根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为的
圆B，点D为线段AB的中点，点为线段的中垂线与直线AB的交点，则当时，线段为圆B的弦，则的中垂线过圆心B，点即点B，A错误；当时，
如图1，点在线段AB上，连接则∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的椭圆，即则椭圆的离心率，B正确；当为椭圆短轴顶点时，面积的最大
若时，则，最大面积为，D正确；当时，过点作圆的切线，切点为若点在劣弧（不包括端点）上，如图2，点在BA的延长线上，连接则∴点的轨迹
为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的左半支若点在优弧（不包括端点）上，如图3，点在AB的延长线上，连接则∴点的轨迹为以B，C为焦点
，长轴长为的双曲线的右半支则点的轨迹为双曲线∴，渐近线方程为，C正确；故选：BCD．12．BC【分析】根据正四棱柱和正四棱锥的几何
的性质，结合球的对称性、球的表面积公式、线面角、二面角的定义逐一判断即可.【详解】设正四棱柱和正四棱锥的高为，球的半径为，根据正四
棱柱和球的对称性可知：该几何体的外接球的球心为正四棱柱的中心，球的直径即为正四棱柱的体对角线，且正四棱柱的体心到正四棱锥的顶点的距
离，根据正四棱柱的体对角线公式得，因此，所求球的表面积为，故选项A不正确，C正确；在直角三角形中，，所以正四棱柱和正四棱锥组成的几
何体的表面积为：，所以选项B正确，如图所示：，，显然有，所以选项D不正确，故选：BC13．【详解】14．【分析】根据等差数列的通项
公式，结合代入法进行求解即可.【详解】设该等差数列的公差为，因为，所以由，由，故答案为：15．0.84135【分析】由题知，故，再
结合正态分布原则求解即可得答案.【详解】解：由题意知，，所以，故.所以这节电池可持续使用不少于30小时的概率为0.84135.故答
案为：0.8413516．【分析】利用函数同构及函数单调性得到，问题转化为求（）的最小值，利用导函数，研究其单调性，求出最小值.【
详解】，则 ，因为，故，又当时，恒成立，即单调递增，所以，则，令（），，当时，，当时，，所以在处取得最小值，，的最小值为.故答案为
：17．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理，可求得，根据结合面积公式求解；（2）在中利用余弦定理求，在直角中根据求解．【详解】
（1）在中，，则由正弦定理得：，，则因为，则或（不合题意，舍去），则的面积为（2）在中，，，由余弦定理可得则有，所以在直角中，，，
则18．(1)；(2).【分析】（1）设的公比为，列方程求得后可得通项公式；（2）由题可得，，然后利用裂项相消法即得．【详解】（1
）设的公比为()，因为，且成等差数列,所以，所以，即，又，所以，所以；（2）由题可知，所以，，所以.19．(1)有99%的把握认为
购买该系列盲盒与年龄有关(2)① 4；②见解析【分析】（1）列出列联表，计算出然后判断.（2）①利用概率的乘法公式计算；②分析的取
值后，由概率的加法公式和乘法公式计算，得到分布列，然后计算期望.【详解】（1）由题意可得00前00后总计购买352055未购买15
3045总计5050100则所以有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关.（2）①由题意三个同学同时买到各自的不同款的概率为，解
得或，因为，所以.②由题的所有可能取值为0，1，2，3；；；其分布列为0123所以数学期望.20．它们是平行直线或异面直线；答案见
解析．【分析】利用反证法，根据两条直线交点的个数，可判断其位置关系；【详解】直线的位置关系是平行直线或异面直线；理由如下：由，直线
分别在平面，内，可知直线没有公共点．因为若有公共点，那么这个点也是平面，的公共点，这与是平面，平行矛盾．因此直线不相交，它们是平行
直线或异面直线．21．(1)(2)【分析】（1）利用三角函数的基本关系式与正弦定理可得；（2）由推得，再由设，将转化为，再引入，得
，最后利用复合函数的单调性即可求解.【详解】（1）因为，则，所以，则，所以为直角三角形，所以（2），所以，而，所以设，所以，令，又
因为，所以，所以，令，因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以，所以的取值范围为.22．(1)单调递减区间是，单调递增区间是(2)【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间；（2）由题意得到，结合条件列出不等式组，即得.（1）由题可得，由题意得，解得，所以，由得或，由得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）因为，由（1）可知，在处取得极大值，在处取得极小值，的单调递减区间是，单调递增区间是，依题意，要使有三个零点，则，即，解得，经检验，，根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点，所以m的取值范围为．答案第11页，共22页试卷第11页，共33页答案第11页，共22页试卷第11页，共33页 |
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