湖北省襄阳市2022-2023学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷（含解析）

湖北省襄阳市2022-2023学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：______
_____一、单选题1．设全集，集合，，则（?）A．B．C．D．2．已知复数，则（?）A．B．C．D．3．已知，则（?）A．B．C
．D．24．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过的直线交抛物线于、两点，若，则（?）A．8B．C．16D．5．幂函数的图象过点,则
该幂函数的解析式为A．B．C．D．6．半径为的圆内有一点，已知，过点的条弦的长度构成一个递增的等差数列，则的公差的取值范围为（?）
A．B．C．D．7．A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻，E不站两端的不同站法的种数为（?）A．48B
．96C．144D．2888．设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值
范围为A．B．C．D．二、多选题9．已知向量，，则（?）A．B．向量在向量上的投影向量为C．与的夹角余弦值为D．若，则10．下列说
法，正确的有（?）A．a//b，b//α，则a//αB．aα，bα，则a//bC．a//α，b//α，则a//bD．α//， //
，则α//11．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病
例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（?）A．甲地：中位
数为2，极差为5B．乙地：总体平均数为2，众数为2C．丙地：总体平均数为1，总体方差大于0D．丁地：总体平均数为2，总体方差为31
2．已知函数、的定义域均为，为偶函数，且，，下列说法正确的有（?）A．函数的图象关于对称B．函数的图象关于对称C．函数是以为周期的
周期函数D．函数是以为周期的周期函数三、填空题13．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______.14．已知函数在上是增函数，
则的最大值是______.15．将正三棱锥置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”，如图.下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有
________________.①平面；②若在同一球面上，则也在该球面上；③若该“倒影三棱锥”存在外接球，则；④若则的中点必为“
倒影三棱锥”外接球的球心四、双空题16．已知，，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，与内切圆的圆
心分别为，，半径分别为，，则的横坐标为__________；若，则双曲线离心率为__________.五、解答题17．设的内角A，
B，C所对的边分别为a，b，c已知向量，且．(1)求角B的大小；(2)若，求的最大值．18．如图所示，四棱锥中，平面平面，四边形为
等腰梯形，(1)求证：(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值19．规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放
回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一
轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．(1)某人进行该抽球试验时，最多
进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；(2)为验证抽球试验成功的概率不
超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：12345232
98604020求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）；(3)证明：．附：经验回归方程系数：，；参考数据：，，（其中，）
．20．已知数列，且满足，有.(1)求数列的通项公式：(2)若，设数列的前项和为，试求和：.21．已知函数，．(1)若，求函数的单
调区间；(2)若任意，，求的取值范围．22．已知数列的前项和为，其中，当时，成等差数列.(1)求数列的通项公式.(2)记数列的前项
和，求证：.参考答案：1．D【分析】先求出集合，然后根据集合并集补集运算求解.【详解】因为，，所以，因为，所以.故选：D.2．B【
分析】根据复数的运算即可得到，从而得到即可.【详解】复数，故，故选:.3．C【分析】根据已知条件求得，化简求得正确答案.【详解】依
题意，，，，，，.故选：C4．C【解析】设中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，根据抛物线的定义可得，由已知可得，得到重合，，得
出结论.【详解】设中点为，过分别做准线的垂线，垂足分别为，则 ，，，，重合，即为中点，.故选:C.【点睛】本题考查抛物线焦点弦问题
，注意运用定义法解题，对于抛物线常用的几何性质要多归纳总结，属于中档题.5．B【详解】试题分析：设幂函数为考点：幂函数6．A【分析
】计算出过点的直线截圆所得弦长的最大值和最小值，即可求得数列的公差的取值范围.【详解】设圆心到过点的直线的距离为，则，设过点的直线
截圆的弦长为，则，即过点的直线截圆所得弦长的最大值为，最小值为，设等差数列的公差为，则且，解得.故选：A.7．B【分析】使用捆绑法
，然后恰当分类，结合间接法可得.【详解】第一步，先排A、B共种排法，将排好的A、B作为一个整体，记为G；第二步，（1）先将C，D，
G，F排成一排，再在产生的3个空位中选择一个排E共有种排法，（2）先将C、D捆绑在一起记为H，然后将H、G、F排成一排，最后在2个
空位中选一个排E，共有种排法，（3）将C，D，G，F，E排成一排，且C，D不相邻，E不站两端的排法有；综上，满足条件的不同排法共有
种.故选：B8．D【分析】先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数，因为
，所以，所以为奇函数，当时，，所以在上单调递减，所以在R上单调递减.因为存在，所以，所以，化简得，所以，即令，因为为函数的一个零点
，所以在时有一个零点因为当时，，所以函数在时单调递减，由选项知，，又因为，所以要使在时有一个零点，只需使，解得，所以a的取值范围为
，故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.9．BCD【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项的正误；设向
量在向量上的投影向量为，根据题意得出，求出的值，可判断B选项的正误；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断C选项的正误；利用平面向量
垂直的坐标表示可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，，，所以，与不共线，A选项错误；对于B选项，设向量在向量上的投影向量为，则，
即，解得，故向量在向量上的投影向量为，B选项正确；对于C选项，，，C选项正确；对于D选项，若，则，所以，，D选项正确.故选：BCD
.10．BD【分析】利用线面、面面平行、垂直的性质依次判断即可【详解】选项A，由a//b，b//α，则或，错误；选项B，由线面垂直
的性质，正确；选项C，a//α，b//α，则可能平行、相交、异面，错误；选项D，由面面平行的性质，正确故选：BD11．AD【分析】
逐个选项分析是否一定满足每天新增疑似病例不超过7人即可.【详解】对A，因为甲地中位数为2，极差为5，故最大值不会大于，故A正确；对
B，若乙地过去10日分别为，则满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B错误；对C，若丙地过去10日分
别为，则满足总体平均数为1，总体方差大于0， 但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C错误；对D，利用反证法，若至少有一天疑似病例
超过7人，则方差大于.与题设矛盾，故连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故D正确.故选：AD12．BC【分析】利用题中等式以及
函数的对称性、周期性的定义逐项推导，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，因为为偶函数，所以．由，可得，可得，所以，函数的图象关于
直线对称，A错；对于B选项，因为，则，又因为，可得，所以，函数的图象关于点对称，B对；对于C选项，因为函数为偶函数，且，则，从而，
则，所以，函数是以为周期的周期函数，C对；对于D选项，因为，且，，又因为，所以，，又因为，则，所以，，故，因此，函数是周期为的周期
函数，D错.故选：BC.【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；（2）若
函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.13．【分析】由可得原不等式等价于，
两边平方，利用均值不等式求解即可.【详解】因为，所以，所以不等式可化为，设，，则，则，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，即，所以
，故答案为：14．2【解析】先求出函数增区间的通式，再根据包含关系求解即可【详解】对应的增区间应满足，解得，当时， ，要使在上是增
函数，则应满足，，解得，则的最大值是2故答案为：2【点睛】本题考查根据三角函数的增减区间求解的取值范围，属于中档题15．①④【解析
】根据球的几何特征和性质，结合已知逐一判断即可.【详解】由“倒影三棱锥”的几何特征可知平面正确；当在同一球面上时，若的外接圆不是球
的最大圆，则点不在该球面上，错误；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则三棱锥的外接球的半径与等边三角形外接圆的半径相等，设其为，则，则
错误；由的推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为的中心，即的中点，④正确.故正确的说法有.【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了多
面体外接球的问题，考查了空间想象能力.16． 2【分析】根据题意，利用三角形内切圆的性质及双曲线的定义可得双曲线焦点三角形内切圆圆
心的横坐标为；利用三角形相似及两个内切圆半径的比值，构造的齐次方程，即可求解离心率.【详解】如图，在中，圆为内切圆，切点分别为，故
，又是双曲线上的一点，故，即，又，故，则.故的内切圆的圆心横坐标为，同理可得，的内切圆的圆心横坐标为，即；又，则，即，解得.故答案
为：；2.17．(1)；(2).【分析】（1）利用数量积的坐标表示，结合正弦定理边化角即可计算作答.（2）由（1）的结论，利用正弦
定理结合三角恒等变换及正弦函数的性质求解作答.（1）在中，因，，，则有，由正弦定理得：，而，因此，即，，所以.（2）由（1）知，，
而，由正弦定理得：，即，而，则，其中锐角由确定，而，有，则当且仅当，即时，取最大值1，，所以的最大值为.18．(1)证明见解析；(
2).【分析】（1）取中点，根据面面垂直的性质可得平面，结合条件建立坐标系，利用坐标法即得；（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法
即得.【详解】（1）取中点，连接，因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，取的中点，连接，因为为等腰梯形，所以，如图建立
空间直角坐标系，则，所以，所以，所以；（2）由（1）知，设平面的一个法向量为，则，令，可得，设平面的一个法向量为，则，令，可得，设
平面与平面所成的锐二面角为，则，即平面与平面所成的锐二面角余弦值为.19．(1)分布列见解析，数学期望为(2)回归方程为，预测成功
的总人数为465(3)证明见解析【分析】（1）结合相互独立、独立重复试验的概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.（2）利用换元
法，结合回归直线方程的计算公式，计算出关于的回归方程，并由求得预测值.（3）通过求“在前轮没有成功的概率”大于，来求得“前轮就成功
的概率”小于，从而证得不等式成立.【详解】（1）由题知，的取值可能为1，2，3所以；；；所以的分布列为：123所以数学期望为.（2
）令，则，由题知：，，所以，所以，，故所求的回归方程为：，所以，估计时，；估计时，；估计时，；预测成功的总人数为.（3）由题知，在
前轮就成功的概率为又因为在前轮没有成功的概率为，故.20．(1)(2)【分析】（1）通过和分奇偶求出数列的通项公式即可.（2）先利
用分组求和得到数列的前项和为，然后写出数列的通项公式，根据裂项相消法即可求和.【详解】（1）由题设知，且，易得，所以.因为，①所以
，②①②得，，所以数列分别以为首项，公比都是4的等比数列，从而，所以.即所求数列的通项公式为所以.（2）由（1）及题设得，，所以，
所以，所以.21．(1)递减区间为；递增区间为(2)．【分析】（1）对求导，则在上单增，令，解得，即可求出函数的单调区间；（2）方
法一：设，转化为求，求，得出的单调性，即可得出答案.方法二：，恒成立等价于恒成立．设，求，分类讨论，，，得出的单调性，即可得出答案
.（1），∵，∴在上单增，令，解得，则当时，；当，时，．∴的递减区间为；递增区间为（2）方法一：设，，，，，，令，，，①当即时，在
上恒成立，∴在上单增，，在上单增，，∴当时，不等式恒成立，符合题意②当即时，由（1）可得：，在上恒成立，又，∴在成立，∴在单调递减
，，∴在单调递减，，与恒成立矛盾，故不符合题意③当时，此时，与恒成立矛盾，综上，实数的取值范围是．方法二：，恒成立等价于恒成立．设，，，①当即时，在恒成立，函数单调递减，∴，满足题意；②当且即且时，若时，，函数单调递增，∴时，，与矛盾，不符合题意；③当时，，显然不等式不恒成立，与题意矛盾．综上，实数的取值范围是．22．(1)；(2)证明见解析．【分析】(1)利用成等差数列列出等式，根据与关系即可判断为等比数列，根据等比数列通项公式即可求；(2)根据通项公式的特征，采用裂项相消法求其前n项和，根据单调性即可求范围．(1)依题意，当时，，故，由得，故数列是以1为首项，4为公比的等比数列，则；(2)依题意，，故，∵，∴，即．答案第11页，共22页答案第11页，共22页试卷第11页，共33页试卷第11页，共33页