人教A版（2019）必修第一册第四章4.4对数函数4.4.2对数函数的图象和性质练习题一、单选题1．函数的图像为（?）A．B．C．D．2．已
知对数函数的图像经过点与点，，，，则（?）A．B．C．D．3．函数的图象可能是（?）A．B．C．D．4．下图中的函数图象所对应的解
析式可能是（?）A．B．C．D．5．函数f（x）＝|ax－a|(a>0且a≠1)的图象可能为（?）A．B．C．D．6．下列函数中是
减函数的为（?）A．B．C．D．7．设，则a，b，c的大小关系为（?）A．B．C．D．8．已知函数 (a>0且a≠1)是R上的单调
函数，则a的取值范围是（?）A．B．C．D．9．已知定义在R上的函数满足，对于，，当时，都有，则不等式的解集为（?）A．B．C．D
．10．函数的定义域是（?）A．B．C．D．11．记函数的定义域为集合A，若“”是关于x的不等式成立”的充分不必要条件，则实数m的
取值范围是（?）A．B．C．D．12．下列函数在上是减函数的为（?）A．B．C．D．13．下列函数是偶函数且值域为的是（?）①；②
；③；④ .A．①②B．②③C．①④D．③④14．已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（?）A．B．C．D．15．已知，则（
?）A．B．C．D．16．已知集合，，则（ ）A．B．C．D．17．已知（且，且），则函数与的图像可能是（?）A．B．C．D．1
8．设，，，则（?）A．B．C．D．19．已知函数 在上单调递减，则的取值范围（?）A．B．C．D．20．函数的单调递减区间为（?
）A．B．C．D．21．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为（?）A．B．C．D．二、解答题22．比较下列
各数的大小：（1）与；（2）与；（3）与.23．已知函数的图象经过点.(1)求a的值，及的定义域；(2)求关于x的不等式的解集.2
4．已知函数.(1)若对于任意恒成立，求的取值范围；(2)若函数，，是否存在实数，使得的最小值为0?若存在，求出的值，若不存在，请
说明理由.25．已知函数.(1)在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.问题：已知函数___________，，
求的值域.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.(2)若，，，求的取值范围.26．已知______，且函数.①函数在定义
域上为偶函数；②函数在上的值域为.在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题.(1)判断的
奇偶性，并证明你的结论；(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数c的取值范围.27．定义：若函数在某一区间D上任取两个实数，
且，都有，则称函数在区间D上具有性质L．（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．（2）判断函数在区间上是否具
有性质L？并用所给定义证明你的结论．（3）若函数在区间上具有性质L，求实数a的取值范围．三、填空题28．函数的定义域是______
_____.29．在上递减，则a的范围是_________．30．已知函数，则函数的单调递增区间为__．31．已知函数的值域为R，
则实数的范围是_________32．已知函数且，且的图象恒过定点，则点的坐标为_________.33．已知函数，若互不相等，且
，则的取值范围是____．34．若，，且，则的最小值为___________.四、多选题35．已知函数和的零点所构成的集合分别为M
，N，若存在，，使得，则称与互为“零点伴侣”．若函数与互为“零点伴侣”，则实数a的取值不能是（?）A．1B．2C．3D．436．已
知函数，下列结论中正确的是（?）A．当时，的定义域为B．一定有最小值C．当时，的值域为RD．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围
是参考答案：1．A【分析】根据函数的定义域为可排除B、D.再由单调性即可选出答案.【详解】当时，，故排除B、D.当时，，故A正确.
故选A.【点睛】本题考查函数的图像，属于基础题.解决本类题型的两种思路：①将初等函数的图像通过平移、伸缩、对称变换选出答案，对学生
能力要求较高;②根据选项代入具体的值，判断 的正负号.2．C【分析】根据对数函数可以解得，，再结合中间值法比较大小．【详解】设，由
题意可得：，则∴，，∴故选：C．3．A【分析】利用函数的奇偶性排除选项D，利用当时，，排除选项B，C，即得解.【详解】解：∵函数的
定义域为，关于原点对称，，∴为奇函数，排除选项D．当时，，，∴，排除选项B，C．故选：A．4．A【分析】根据函数图象的对称性、奇偶
性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于对称，且当时，，故排除B、D两项；当时，函数图象单调递
增，无限接近于0，对于C项，当时，单调递减，故排除C项.故选：A.5．C【分析】根据指数函数的单调性分类讨论进行求解即可.【详解】
当时，，显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，函数图象的渐近线为，而，故AB不符合；对于CD，因为渐近线为，故，故时，，故选
项C符合，D不符合；当时，，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为，而，故ABD不符合；故选：C6．B【分析
】利用对数函数单调性判断选项A；利用指数函数单调性判断选项B；利用幂数函数单调性判断选项C；利用二次函数单调性判断选项D.【详解】
选项A：由，可得为增函数.判断错误；选项B：由，可得为增函数，则是减函数.判断正确；选项C：由，可得是减函数，则为增函数.判断错误
；选项D：在上单调递增. 判断错误.故选：B7．B【分析】计算可得，再分析，即可判断【详解】由题意，，，，故故选：B8．C【分析】
根据二次函数和对数函数的单调性，结合分段函数的性质进行求解即可.【详解】二次函数的对称轴为：，因为二次函数开口向上，所以当时，该二
次函数不可能单调递增，所以函数是实数集上的减函数，则有，故选：C9．B【分析】由题设知在R上递增，将不等式转化为，利用单调性求解集
即可.【详解】由题设时，即在R上递增，又，而等价于，所以，即，可得.故不等式解集为.故选：B10．C【分析】依题意可得，根据对数函
数的性质解不等式，即可求出函数的定义域.【详解】解：依题意可得，即，所以，即函数的定义域为.故选：C11．B【分析】求出函数的定义
域得集合，解不等式得的范围，根据充分不必要条件的定义可得答案.【详解】函数有意义的条件为，解得，所以，不等式，即，因为，所以，记不
等式的解集为集合，所以，所以，得.故选：B．12．C【分析】根据熟知函数的图象与性质判断函数的单调性.【详解】对于选项A，在上无意
义，不符合题意；对于选项B，在上是增函数，不符合题意；对于选项C，的大致图象如图所示中，由图可知在上是减函数，符合题意；对于选项D
，在上是增函数，不符合题意.故选：C.13．C【分析】根据奇偶性的定义依次判断，并求函数的值域即可得答案.【详解】对于①，是偶函数
，且值域为；对于②，是奇函数，值域为；对于③，是偶函数，值域为；对于④，是偶函数，且值域为，所以符合题意的有①④故选：C.14．D
【分析】根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是，则根据指数函数的性质，列式求实数的取值范围.【详解】时，，时，，若要使
得存在最小值，只需要，即.故选：D.15．A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，
，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.［
方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得．根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：
利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．16．A【分析】根据一元二次不等式的求解得，根据集合的
交运算即可求解.【详解】因为，，所以，故选：A．17．B【分析】由对数的运算性质可得ab＝1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数
函数的图像的单调性，即可得到答案．【详解】，即为，即有ab＝1.当a＞1时，0＜b＜1，函数与均为减函数，四个图像均不满足当0＜a
＜1时，b＞1，函数数与均为增函数，排除ACD在同一坐标系中的图像可能是B，故选：B．18．B【分析】结合指数函数，对数函数的单调
性，以及临界值0和1，判断即可【详解】由题意，，故故故选：B19．B【分析】转化为函数在上单调递增，且在上恒成立，再根据二次函数的
单调性以及不等式恒成立列式可求出结果.【详解】因为函数 在上单调递减，所以函数在上单调递增，且在上恒成立，所以，解得.故选：B20
．A【分析】先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果【详解】由，得，令，则，在上递增，在上递减，因为在定
义域内为增函数，所以的单调递减区间为，故选：A21．A【分析】由是R上的奇函数求出a值，并求出时，函数的解析式，再分段讨论解不等式
作答.【详解】因函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则，解得，即当时，，当时，，则，而当时，，则当时，，即，变形得，解得，所以不等
式的解集为.故选：A22．（1）.（2）.（3）.【分析】（1）根据，在定义域内是减函数，即可比较二者大小；（2）根据，在定义域内
是增函数，可得，故，即可比较二者大小；（3）根据，，即可比较二者大小.【详解】（1）设.且是减函数，，即.（2）是增函数，.，即.
（3）且，.【点睛】本题主要考查了比较对数的大小，解题关键是掌握对数的单调性和对数的运算性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题
.23．(1)，定义域为(2)【分析】（1）直接将代入函数解析式，即可求出参数的值，从而求出函数解析式，再根据对数的真数大于零得到
不等式组，解得即可；（2）依题意可得，再根据对数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；（1）解：由题意可得，即
，所以，解得，则.由，解得.所以的定义域为.（2）解：由（1）可得，不等式可化为，因为在上是增函数，所以，解得.故不等式的解集为.
24．(1)(2)存在，【分析】（1）利用分离参数法得到对于任意恒成立，令，利用对数的图像与性质即可求得；（2）先整理得到，令，
，研究函数，，根据二次函数的单调性对m进行分类讨论，即可求出m.（1）由题意可知，对于任意恒成立代入可得所以对于任意恒成立令因为，
所以由对数的图像与性质可得：，所以.即实数a的范围为.（2）由，，且代入化简可得.令，因为，所以则，①当，即时，在上为增函数，所以
，解得，不合题意，舍去②当，即时，在上为减函数，在上为增函数，所以，解得，所以③当，即时，在上为减函数，所以解得不合题意，舍去，
综上可知，.【点睛】二次函数中“轴动区间定”或“轴定区间动”类问题，分类讨论的标准是函数在区间里的单调性.25．(1)答案见解析(
2)【分析】（1）根据复合函数的性质即可得到的值域；（2）令，求出其最小值，则问题转化为恒成立，进而求最小值即可.（1）选择①，，
令，则，故函数的值域为R，即的值域为R.选择②，，令，则，因为函数单调递增，所以，即的值域为.（2）令.当时，，，；当时，，，.因
为，所以的最小值为0，所以，即.令，则，所以，故，即的取值范围为.26．(1)选择条件见解析，a＝2，b＝0；为奇函数，证明见解析
；(2).【分析】（1）若选择①，利用偶函数的性质求出参数；若选择②，利用单调性得到关于的方程，求解即可；将的值代入到的解析式中，
再根据定义判断函数的奇偶性；（2）将题中条件转化为“的值域是的值域的子集”即可求解.（1）选择①.由在上是偶函数，得，且，所以a＝
2，b＝0.所以.选择②.当时，在上单调递增，则，解得，所以.为奇函数.证明如下：的定义域为R.因为，所以为奇函数.（2）当时，，
因为，当且仅当，即x＝1时等号成立，所以；当时，因为为奇函数，所以；当x＝0时，，所以的值域为.因为在上单调递减，所以函数的值域是
.因为对任意的，总存在，使得成立，所以，所以,解得.所以实数c的取值范围是.27．（1）；（2）函数在区间上具有性质L；答案见解析
；（3）．【分析】（1）由于底数在上的对数函数满足题意，故可得答案；（2）任取，且，对与作差化简为因式乘积形式，判断出与零的大小，
可得结论；（3）函数在区间上具有性质L，即恒成立，参变分离求出最值，可得参数的范围．【详解】（1）如（或底在上的对数函数）；（2）
函数在区间上具有性质L．证明：任取，且，因为且，所以，即．所以函数在区间上具有性质L．（3）任取，且，则因为且，所以，要使上式大于
零，必须在上恒成立，即，，令，则在上单调递减，即所以，即实数a的取值范围为．【点睛】关键点点睛：本题考查函数新概念，考查不等式的恒
成立问题，解决本题的关键点是将函数在区间上具有性质L，即恒成立，参变分离后转化为求最值问题，并借助于基本不等式和幂函数的单调性得出
参数的范围，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．28．【分析】由对数的真数大于零，同时二次根式在分母，则其被开方数大于零，
从而可求出定义域【详解】由题意可得解得，即的定义域是.故答案为：29．【分析】使复合函数在上递减，需内增外减或外增内减，讨论a求解
即可【详解】由题可得，根据对数的定义，且，所以是减函数，根据复合函数单调性的“同增异减”特点，得到，所以.故答案为：.30．，【分
析】先根据题意求出的解析式，然后在每一段上求出函数的增区间即可【详解】由，得，由，得，所以当时，，则在上递增，当时，，则，由，得，
解得，所以在上递增，综上得函数的单调递增区间为，．故答案为：．31．【分析】先求出分段函数中确定的一段的值域，然后分析另一段的值域
应该有哪些元素．【详解】当时，，因此当时，的取值范围应包含，∴，解得．故答案为．【点睛】本题考查分段函数的值域问题，解题时注意分段
讨论．32．【解析】根据对数函数的性质求解．【详解】令，则，，即图象过定点．故答案为：33．【分析】利用函数图像，数形结合进行分析
.【详解】不妨设，画出函数图像：，，，，解得，，．故答案为：．34．2【分析】由均值不等式求出的最小值，再由对数的运算及性质即可求
解.【详解】因为，，且，所以，即，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为4，所以故答案为：235．AD【分析】首先确定函数的零点，然
后结合新定义的知识得到关于a的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数的取值范围即可.【详解】因为函数是R上的增函数，且，所以，结合“零点伴侣”的定义得，则，又函数在区间上存在零点，即方程在区间上存在实数根，整理得，令，，所以在区间上单调递减，在上单调递增，又，，，所以函数的值域为，所以实数a的取值范围是．故选：AD．36．AC【分析】A项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B项为最值问题，问一定举出反例即可；C项代入参数值即可求出函数的值域；D项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.【详解】对于A，当时，，令，解得或，则的定义域为，故A正确；对于B、C，当时，的值域为R，无最小值，故B错误，C正确；对于D，若在区间上单调递增，则在上单调递增，且当时，，则，解得，故D错误．故选：AC．试卷第11页，共33页答案第11页，共22页试卷第11页，共33页答案第11页，共22页 |
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