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1．已知复数 1z 和 2z 满足 1 18 14 5 4 6z i z i? ? ? ? ? ， 1 2 3z z? ? ，则 2z 的取值范围为（ ）A． ? ?0,13 B． ? ?3,9 C． ? ?0,10 D． ? ?3,132．设复数 1 2sin cos 4 2z i ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?在复平面上对应向量 1OZ????? ，将向量 1OZ????? 绕原点 O按顺时针方向旋转 34? 后得到向量 2OZ?????， 2OZ?????对应复数 ? ?2 cos isinz r ? ?? ? ，则 tan? ?（ ）
A． 2tan 12tan 1???? B． 2tan 12tan 1?? ?? C． 12tan 1?? D． 12tan 1??3．已知复数 z满足 1z ? ，且有 17 1z z? ? ，求 z?（ ）A． 1 32 2 i? B． 3 12 2i? C． 2 22 2 i? D．都不对4．已知复数 z满足 z z? ?4且 z z? ?|z|=0，则 z2019的值为A．﹣ 1 B．﹣ 2
2019 C． 1 D． 2 20195．关于 x的实系数方程 2 4 5 0x x? ? ? 和 2 2 0x mx m? ? ? 有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则 m的取值范围是（ ）A． ? ?5 B． ? ?1? C． ? ?0,1 D． ? ? ? ?0,1 1??6．若集合 ? ? ? ?? ?| 2 cos arcsin cos arccos , , 1N z z t i t t R t? ? ? ? ? ?? ?? ? ，1| , , 1, 01t tM z z i t R t tt t?? ?? ? ? ? ?? ?? ??? ?，则 M N? 中元素的个数为（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 47．已知 Cz? ，且 1,z i i? ? 为虚数单位，则 3 5z i? ? 的最大值是 （ ）A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
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8．在复数列 ? ?nz 中， 1 8 16z i? ? ， ? ?1 2n niz z n ?? ? ? ?N ，设 nz 在复平面上对应的点为 nZ ，则（ ）A．存在点 M ，对任意的正整数 n，都满足 10nMZ ?B．不存在点 M ，对任意的正整数 n，都满足 5 5nMZ ?C．存在无数个点 M ，对任意的正整数 n，都满足 6 5nMZ ?D．存在唯一的点 M ，对任意的正整数 n，都满足 8 5nMZ ?9．在复平面内，复数 ? ?,z a bi a R b R? ? ? ? 对应向量 OZ????（ O为坐标原点），设OZ r?????
，以射线 Ox为始边， OZ为终边逆时针旋转的角为 ?，则 ? ?cos sinz r i? ?? ? ，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理： ? ?1 1 1 1cos sinz r i? ?? ? ， ? ?2 2 2 2cos sinz r i? ?? ? ，则 ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 2cos sinzz rr i? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：? ? ? ?cos sin cos sinnn nz r i r n i n? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ，则 ? ?101 3i? ? ?（ ）A． 1024 1024 3i? B． 1024 1024 3i? ?C． 512 512 3i? D． 512 512 3i? ?10．已知复数 ( , )z x yi x y R? ? ? ，且 | 2| 3z? ? ，则 1yx? 的最大值为（ ）
A． 3 B． 6 C． 2 6? D． 2 6?11．设复数 z的共轭复数是 z ，且 1z ? ，又复数 z对应的点为 Z ， ( 1,0)A ? 与 (0,1)B为定点，则函数 ( ) ( 1)( )f z z z i? ? ? 取最大值时在复平面上以 Z ， A， B三点为顶点的图形是A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形12．（ 2018广东珠海一中等六校高三第三次联考）已知? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 20 1 21 2 2 2 2n nni b i b i b i b i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2n i?（ ， 为虚数
单位），又数列 ? ?na 满足：当 1n? 时， 1 2a ?? ；当 2n? ， na 为 ? ?22 2b i? ? 的虚部，若数列 2na? ??? ?? ?的前 n项和为 nS ，则 2018S ?A． 20172018 B． 20182017 C． 40352018 D． 40332017
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13．设 ,A B为锐角三角形的两个内角，则复数 (cot tan ) (tan cot )z B A B Ai? ? ? ? 对应的点位于复平面的（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．现定义 cos sinie i? ? ?? ? ，其中 i为虚数单位， e为自然对数的底数， R?? ，且实数指数幂的运算性质对 ie? 都适用，若0 5 2 3 2 4 45 5 5cos cos sin cos sina C C C? ? ? ? ?? ? ? ，1 4 3 2 3 5 55 5 5cos sin cos sin sinb C C C? ? ? ? ?? ? ? ，那么复数 a bi? 等于
A． cos5 sin5i? ?? B． cos5 sin5i? ??C． sin5 cos5i? ?? D． sin5 cos5i? ??15．已知 iz a b? ? ( R i )a b?、 ，是虚数单位 ， 1 2, Cz z ? ，定义： ( )D z z a b? ? ? ，1 2 1 2( , )D z z z z? ? ．给出下列命题：（ 1）对任意 Cz? ，都有 ( ) 0D z ? ；（ 2）若 z 是复数 z的共轭复数，则 ( ) ( )D z D z? 恒成立；（ 3）若 1 2(z ) (z )D D? 1 2( C)z z ?、 ，则 1 2z z? ；
（ 4）对任意 ，结论 1 3 1 2 2 3( , ) ( , ) ( , )D z z D z z D z z? ? 恒成立，则其中真命题是 [答 ]．A．（ 1）（ 2）（ 3）（ 4） B．（ 2）（ 3）（ 4） C．（ 2）（ 4） D．（ 2）（ 3）16．复数 z与点 Z对应， 1 2,z z 为两个给定的复数， 1 2z z? ，则 1 2Z Z Z Z? ? ? 决定的 Z的轨迹是（ ）A过 1 2,Z Z 的直线 B．线段 1 2ZZ 的中垂线C．双曲线的一支 D．以 1 2,Z Z 为端点的圆
17．复数 z a bi? ? ? ?,ab R? 的虚部记作 ? ?Im z b? ，则 12Im i? ??? ??? ?A． 13 B． 25 C． 13? D． 15?18．若 cos sinz i? ?? ? （ i为虚数单位），则 2 1z ?? 的 ?值可能是A、 6? B、 4? C、 3? D、 2?
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19．设复数 1 3ω 2 2 i?? ? ，则化简复数 1+ 2 3ω ω ω? ? （ ）A． 1 B． 2 C． 1 32 2 i? D． 1 32 2 i?20．设 1 2,x x 是实系数一元二次方程 2 0ax bx c? ? ? 的两个根，若 1x 是虚数， 212xx 是实数，则 2 4 8 16 321 1 1 1 1 12 2 2 2 2 21 x x x x x xA x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ ）A． 0 B． 1? C． 2? D． 1
21．设 S为复数集 C的非空子集，若对任意 ,x y S? ，都有 , ,x y x y xy S? ? ? ，则称S为封闭集．下列命题：①集合 ? | ,S a bi ab? ? 为整数， i为虚数单位） }为封闭集；②若 S为封闭集，则一定有 0 S? ；③封闭集一定是无限集；④若 S为封闭集，则满足S T C? ? 的任意集合 T也是封闭集 .其中真命题的个数为（ ）A． 1 B． 2 C． 3 D． 422．若复数 ? ? ? ?1 , 0x yi x R y? ? ? ? 的模为 1，则 1yx? 的取值范围是（ ）A． ?0, 3?? B． 30, 3? ?? ?? ? C． 30, 3? ?? ?? ? D． 3 3,3 3? ??? ?? ?
23．已知 1z 、 2z C? ，且 1 4 1z i- = ， 2 22 3 2z z i- = - （ i是虚数单位），则 1 2z z?的最小值为（ ）A． 4 B． 3 C． 2 D． 124．已知复数 z满足 | 4 3 | 2z i? ? ? ，则 | |z 的最大值为（ ）A． 7 B． 6 C． 5 D． 425．若复数 z a bi? ? （ a， b为实数）都可以表示为 (cos sin )r i? ?? 的形式，其中 r是复数 z的模， ?是以 x轴的非负半轴为始边，向量 OZ????所在射线（射线 OZ）为终边
的角，叫做复数 z a bi? ? 的辐角，规定在 [0,2 )? ?? 范围内的辐角 ?的值为辐角主值，通常记作 argz．例如 1z i? ? 的三角形式为 2 cos sin4 4i? ?? ??? ?? ?，则 arg 4z ?? ，已知复数 1 cos sin 2z i ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?，则 z的辐角主值 argz为（ ）
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A． 4 2? ?? B． 2 2? ?? C． 54 2? ?? D． 32 2? ??26． ABC? 的三个顶点所对应的复数分别为中 1 2 3, , , 4, 5z z z AB AC? ? ，点 O为ABC? 所在平面内一点，对应复数 z，满足 1 2 3z z z z z z? ? ? ? ? ，则 AO BC? ????? ????（ ）A． 3? B． 92 C． 6 D． 1027．已知复数 z满足 (1 ) 1 2i z i? ? ? ，则 10| | ( )2z bi b? ? ?R 的一个充分不必要条件
是（ ）A． ? ?1,0b? ? B． ? ?1,0b? ? C． ? ?0,1b? D． ? ?1,2b? ?28．瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式 cos sinixe x i x? ? ? ?x?R ，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当 x ?? 时，得到一个令人着迷的优美恒等式 1 0ie? ? ? ，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底 e，圆周率 ? ，虚数单位 i，自然数的单位 1和数字 0）联系到了一起，若 ie? 表示的复数对应的点在第二象限，则 ? 可以为（ ）
A． 3? B． 23? C． 32? D． 116?29．复数 z满足 1z ? ，且使得关于 x的方程 2 0x z x z? ? ? ? 有实根，则这样的复数 z的个数为（ ）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个30．设 i是虚数单位，则 2 3 20202 3 4 2021i i i i? ? ? ?? 的值为（ ）A． 1011 1010i? B． 1010 1010i?C． 1010 1012i? D． 1011 1010i? ?
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31．如图， ABC? 是圆的内接三角形， BAC? 的平分线交圆于点 D，交 BC于 E，过点 B的圆的切线与 AD的延长线交于点 F ，在上述条件下，给出下列四个结论：
① BD平分 CBF? ；② 2FB FD FA? ? ；③ AE CE BE DE? ? ? ；④ AF BD AB BF? ? ? ．所有正确结论的序号是A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④32．在⊙ O中，直径 AB、 CD互相垂直， BE切⊙ O于 B，且 BE=BC， CE交 AB于 F，交⊙ O于 M，连结 MO并延长，交⊙ O于 N，则下列结论中，正确的是
A． CF=FM B． OF=FBC． 的度数是 22． 5° D． BC∥ MN33．第 24届冬季奥林匹克运动会，将在 2022年 2月 4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯 ”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场 “鸟巢 ”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点 A和
短轴一端点 B分别向内层椭圆引切线 AC， BD（如图），且两切线斜率之积等于 916? ，则椭圆的离心率为（ ）
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A． 34 B． 74 C． 916 D． 3234．我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为 “牟合方盖 ”的立体图形来推算球的体积 .如图 1，在一个棱长为 2a的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图 2，设平行于水平面且与水平面距离为 h的平面为 ? ，记平面 ? 截牟合方盖所得截面的面积为 S，则函数 ( )S f h? 的图象是（ ）
A． B．C． D．
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35．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图 1描绘了筒车的工作原理 .假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动 .将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为 2m，筒车的轴心 O到水面的距离为 1m，筒车每分钟按逆时针转动 2圈 .规定：盛水筒 M对应的点 P从水中浮现（即 0P 时的位置）时开始计算时间，设盛水筒 M从 0P 运动到点 P时所用时间为 t（单位： s），且此时点 P距离水面的高度为 h（单位： m） .若以筒车的轴心 O为坐标原点，过点 O的水平直线为 x轴建立平面直角坐标系 xOy（如图 2），则 h与 t的函数关系式为（ ）
A． 2sin 115 6h t? ?? ?? ? ?? ?? ? ， ? ?0,t? ?? B． 2sin 115 6h t? ?? ?? ? ?? ?? ? ， ? ?0,t? ??C． 2sin 16h t ??? ?? ? ?? ?? ? ， ? ?0,t? ?? D． 2sin 16h t ??? ?? ? ?? ?? ? ， ? ?0,t? ??36．设 ,a b是实数，定义： 2 2 9 9 1( )a b a b ma a b m R? ? ? ? ? ?? .若满足此不等式：1 (2 ( (2018 2019) ) 1?? ? ? ? ? ，则 m的取值范围是A． m 1? B． 20 3 23m ??
C． 913329m? D． 329 432 31 361m ?? ?
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37．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前 262 190? 年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数 ? ?0, 1k k k? ? 的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波罗尼斯圆，已知定点 ? ?2,0A ? 、? ?2,0B ，动点 C满足 2AC BC? ，则动点 C的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆 P，已知点 D在圆 P上（点 D在第一象限）， AD交圆 P于点 E，连接 EB并延长交圆 P于点 F ，连接 DF，当 DFE 30? ? ? 时，直线 AD的斜率为（ ）A． 3913 B． 2613 C． 34 D． 134
38．十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过： “几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿， ”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 36o 的等腰三角形（另一种是顶角为 108?的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金 ABC? 中， 5 12BCAC ?? ，据这些信息，可得 sin126 ?? （ ）
A． 5 14? B． 5 14?? C． 5 38?? D． 2 5 14??39．我们把 22 1nnF ? ? ? ?0,1,2,n? ??? 叫 “费马数 ”（费马是十七世纪法国数学家）．设? ?2log 1n na F? ? ， 1,2,3,n? ???，设数列 ? ?na 的前 n项和为 nS ，则使不等式1 2 3 2021 2nS S S S n? ? ????? ? ? 成立的正整数 n的最小值是（ ）A． 8 B． 9 C． 10 D． 116
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40．瑞典人科赫提出了著名的 “雪花 ”曲线，这是一种分形曲线，它的分形过程是：从一个正三角形 (如图① )开始，把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉 “底边 ”线段，这样就得到一个六角形 (如图② )，所得六角形共有 12条边 .再把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉 “底边 ”线段 .反复进行这一分形，就会得到一个 “雪花 ”样子的曲线，这样的曲线叫作科赫曲线或 “雪花 ”曲线 .已知点 O是六角形的对称中心， A， B是六角形的两个顶点，动点 P在六角形上 (内部以及边界 ).若 OP xOA yOB? ?uuur uur uuur，则 x y? 的取值范围是（ ）
A． [ 3,3]? B． [ 4,4]? C． [ 5,5]? D． [ 6,6]?41．十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础 .著名的 “康托三分集 ”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 [0， 1]均分为三段，去掉中间的区间段 1 2( , )3 3 ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 10,3? ?? ?? ?， 2,13? ?? ?? ?分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作； …，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是 “康托三分集 ”．若使去掉的
各区间长度之和不小于 2627 ，则需要操作的次数 n的最小值为（ ）参考数据：lg2 0.3010? ， lg3 0.4771?A． 6 B． 7 C． 8 D． 9
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42．意大利画家列奥纳多 ·达 ·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比 .光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美 .达 ·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的 “悬链线问题 ”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为 2x xe ey ??? 的“双曲余弦函数 ”相关 .下列选项为 “双曲余弦函数 ”图象的是（ ）
A． B．C． D．43．阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏
圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数 ? ?0, 1? ? ?? ? 的动点的轨迹．已知在ABC? 中，角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，且 sin 2sinA B? ，cos cos 3a B b A? ? ，则 ABC? 面积的最大值为（ ）A． 3 B． 3 3 C． 6 D． 6 3
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44．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出 “三斜求积术 ”，即 “以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积 ”，可用公式 22 2 22 214 2c a bS c a? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? （其中 a， b， c， S为三角形的三边和面积）表示，在 ABC? 中， a， b， c分别为角 A， B， C所对的边，若 2a? ，且2cos cosb C c B c? ? ，则 ABC? 面积的最大值为（ ）A． 1 B． 3 C． 6 D． 2 645．埃及著名的吉沙 ? ?Giza 大金字塔，它的形状是正四棱锥 .大金字塔内有着奇妙的走
道设计，以及神秘的密室，已知它的高度的 2倍的平方等于它的侧面积 .则高的平方与底面棱长的平方的比值为（ ）A． 1 58? B． 1 58? C． 1 54? D． 1 54?46． “中国天眼 ”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）．其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为 底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积 S 2 Rh?? ，其中 R为球的半径，h为球冠的高）设球冠底的半径为 r，周长为 C，球冠的面积为 S，则当 2 16C S? ?? ?，
时， rR?（ ）A． 12 B． 158 C． 138 D． 178
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47．陕西关中一带流行一种纸牌叫 “花花牌 ”，俗称 “花花 ”，牌面纸质和扑克牌差不多，窄长条型的，宽 3.5厘米，长 14厘米．牌面中间画上人物或花草图案，两头则有一些黑红两色的椭圆点，像盲文，这些点的多少代表了牌面的大小．由于 “花花牌 ”不含数字，不识字的人也可以玩，故很受百姓欢迎．相传 “花花牌 ”与唐代流行的 “骨牌 ”玩法颇为相似，下图给出了四张 “骨牌 ”，请按此规律（自左向右）推测下一张 “骨牌 ”应该是（ ）
A． B． C． D．48．数独是源自 18世纪瑞士的一种运用纸、笔进行演算的逻辑游戏 .玩家需要根据 9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（ 3×3）内的数字均含 1-9.2020年中国数独锦标赛决赛作为 2020数独大会重要赛事之一于 10月 18日在国家体育总局举行 .某选手在解决如图所示的标准数独题目时，正确完成后，记第 i行的数字分别为 1ia ， 2ia ， 3ia ， ???，
9ia ，令1 2 3 4 5 6 7 82 3 4 5 6 7 8i i i i i i i i ib a a a a a a a a?? ? ? ? ? ? ? ? 99 ia? ， 1,2,3, ,8,9i? ? ，则1 2 9b b b? ? ? ?? （ ）
A． 45? B． 45 C． 225? D． 225
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49．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形 ABCDEF 的边长为 4，圆 O的圆心为正六边形的中心，半径为 2，若点 P在正六边形的边上运动， MN为圆 O的直径，则 PM PN?????? ????的取值范围是（ ）
A． ? ?6,12 B． ? ?6,16 C． ? ?8,12 D． ? ?8,1650．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有 “数学王子 ”的美誉，用其名字命名的 “高斯函数 ”：设 ,x R? 用 ? ?x 表示不超过 x的最大整数，则 ? ?y x? 称为高斯函数，也称取整函数，例如： ? ? ? ?3.7 4, 2.3 2? ?? ? .已知 ? ? 1 11 2xxef x e ?? ?? ，则函数? ?y f x? ??? ?的值域为（ ）A． ? ?0 B． ? ?1,0? C． ? ?2, 1,0? ? D． ? ?1,0,1?
51．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数 1( ) 0xy D x x?? ??? 为有理数为无理数 ，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：① ? ?( ) 0D D x ? ； ②对任意 x?R ，恒有 ? ?( )D x D x? ? 成立；③任取一个不为零的有理数 T ， ? ? ( )D x T D x? ? 对任意实数 x均成立；④存在三个点 ? ?? ?1 1,A x D x 、 ? ?? ?2 2,B x D x 、 ? ?? ?3 3,C x D x ，使得 ABC? 为等边三角形；其中真命题的序号为（ ）
A．①③④ B．②④ C．②③④ D．①②③
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52．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝ 12 （弦 ×矢 +矢 ×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦 ”指的是弧田弦的长， “矢 ”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦 AB等于 6米，其弧田弧所在圆为圆 O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为 72 平方米，则 sin 2AOB? ?（ ）
A． 34 B． 725 C． 45 D． 3553．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 ?，那么 tan 4??? ??? ?? ?的值等于（ ）
A． 7 B． 17 C． 7? D． 242554．电影《刘三姐》中有一个 “舟妹分狗 ”的片段 .其中，罗秀才唱道 :三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀 ?舟妹唱道；九十九条圩上卖，九十九条腊起来，九十九条赶羊走，剩下三条，财主请来当奴才（讽刺财主请来对歌的三个奴才） .事实上，电影中罗秀才提出了一个数学问题：把 300条狗分成 4群，每群都是单数， 1群少， 3群多，数量多的三群必须都是一样的，否则就不是一少三多，问你怎样分 ?舟妹已唱出其中一种分法，即 ? ?3,99,99,99 ，那么，所有分法的种数为（ ）A． 6 B． 9
C． 10 D． 12
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55．将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等 .建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为 ? ? cosh xf x a a? ，其中 a为悬链线系数， coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为 cosh 2x xe ex ??? ，相应地双曲正弦函数的函数表达式为 sinh 2x xe ex ??? .若直线 x m? 与双曲余弦函数1C 和双曲正弦函数 2C 分别相交于点 A， B，曲线 1C 在点 A处的切线与曲线 2C 在点 B处的切线相交于点 P，则（ ）
A． sinh coshy x x? 是偶函数 B． ? ?cosh cosh cosh sinh sinhx y x y x y? ? ?C． BP 随 m的增大而减小 D． PAB△ 的面积随 m的增大而减小56．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲 ?乙 ?丙 ?丁 ?戊 ?己 ?庚 ?辛 ?壬 ?癸；十二地支即子 ?丑 ?寅 ?卯 ?辰 ?已 ?午 ?未 ?申 ?酉 ?戌 ?亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由 “甲 ”起，地支由 “子 ”起，例如，第一年为 “甲子 ”，第二年为 “乙丑 ”，第三年为 “丙寅 ”， …，以此类推，排列到 “癸酉 ”后，天于回到 “甲 ”重新开始，即 “甲戌 ”， “乙亥 ”，然后地支回到 “子 ”重新开始，即 “丙子 ”，以此类推已知 1949年为 “己丑 ”年，那么 2021年时为（ ）
A．己亥年 B．戊申年 C．庚子年 D．辛丑年57．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德 ·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用 .其定义黎曼函数 ( )R x 为：当 qx p? （ ,p q为正整数， qp是既约真分数）时 ? ? 1R x p? ，当 0x? 或 1x? 或 x为 [0,1]上的无理数时 ? ? 0R x ? .已知a、 b、 ?a b都是区间 [0,1]内的实数，则下列不等式一定正确的是A． ( ) ( ) ( )R a b R a Rb? ? ? B． ( ) ( ) ( )R a b R a R b? ? ?
C． ( ) ( ) ( )R a b R a Rb? ? ? D． ( ) ( ) ( )R a b R a R b? ? ?
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58．《孙子算经》记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，一共五级 .现每个级别的诸侯分别有 1， 2， 3， 4， 5人，按照如下规则给他们分发一批苹果：同一等级的诸侯所得苹果数依次为 1a ， 2a ， 3a ， …，且满足 ? ?1k ka a k k N? ? ? ? ；任一等级诸侯所得苹果数量最多的比高一级的诸侯所得苹果数最少的少一个．现已知等级为男的诸侯所得苹果数为 1，则这批苹果共有（ ）个．A． 158 B． 159 C． 160 D． 16159．蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球 .因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的
足球 .2006年 5月 20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录 .3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法 ”） .过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等） .已知某鞠的表面上有四个点 A、 B、 C、 D，满足任意两点间的直线距离为 2 6cm，现在利用 3D打印技术制作模型，该模型是由鞠的内部挖去由 ABCD组成的几何体后剩余的部分，打印所用原料密度为 31g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的
质量约为（ ）（参考数据：取 3.14? ? ， 2 1.41? ， 3 1.73? ，精确到 0.1）A． 113.0g B． 267.9g C． 99.2g D． 13.8g60．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有 “数学王子 ”的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的 “高斯函数 ”为：设 x?R ，用 [ ]x表示不超过 x的最大整数，则 [ ]y x? 称为高斯函数，也称取整函数，例如： [ 3.7] 4? ?? ，[2.3] 2? ，已知 1( ) 21xxef x e? ?? ，则函数 2[ ( )] [ ( )]y f x f x? ? ? 的值域为（ ）A． { 2, 1,0}? ? B． { 1,0}? C． { 2,0}? D． { 2,1,0}?
61．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢 .问：齐去长安多少里？（ ）A． 1125 B． 1250 C． 2250 D． 2500
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62． 3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即 “积层造型法 ”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用 3D打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为 10 2 cm，母线与底面所成角的正切值为 2．打印所用原料密度为 31 g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（取 π 3.14? ，精确到 0.1）
A． 609.4g B． 447.3g C． 398.3g D． 357.3g63．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”意思是：一座 7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的底层共有灯（ ）A． 64盏 B． 128盏 C． 192盏 D． 256盏64．干支是天干（甲、乙、 …、癸）和地支（子、丑、 …、亥）的合称， “干支纪年法 ”是我国传统的纪年法 .如图是查找公历某年所对应干支的程序框图 .例如公元 2041年，即输入 2041N? ，执行该程序框图，运行相应的程序，输出 58x? ，从干支表中查出对
应的干支为辛酉 .我国古代杰出数学家秦九韶出生于公元 1208年，则该年所对应的干支为（ ）六十干支表（部分） 5 6 7 8 9戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申56 57 58 59 60己未 庚申 辛酉 壬戌 癸亥
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A．戊辰 B．辛未 C．已巳 D．庚申65．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球 .因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球 .2006年 5月 20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点 A、 B、 C、 D，满足5AB CD? ? ， 6BD AC? ? ， 7AD BC? ? ，则该鞠的表面积为（ ）
A． 55? B． 60? C． 63π D． 68?66．对于函数 ? ?y f x? 与 ? ?y g x? ，若存在 0x ，使 ? ? ? ?0 0f x g x? ? ，则称? ?? ?0 0,M x f x ， ? ?? ?0 0,N x g x? ? 是函数 ? ?f x 与 ? ?g x 图象的一对 “隐对称点 ”.已知函数 ? ? ? ?2f x m x? ? ， ? ? ? ?ln 11xg x x ?? ? ，函数 ? ?f x 与 ? ?g x 的图象恰好存在两对 “隐对称点 ”，则实数 m的取值范围为（ ）A． ? ?1,0? B． ? ?, 1?? ?
C． ? ? ? ?0,1 1,??? D． ? ? ? ?, 1 1,0?? ? ?U
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67．十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础 .著名的 “康托三分集 ”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 ? ?0,1 均分为三段，去掉中间的区间段 1 2,3 3? ?? ?? ?，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 10,3? ?? ?? ?， 2,13? ?? ?? ?分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作； …，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段 .操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是 “康托三分集 ”.若使去掉的各区间长度之和不小于 45 ，则需要操作的次数 n的最小值为（ ）参考数据：lg2 0.3010?
， lg3 0.4771?A． 3 B． 4 C． 5 D． 668．《周髀算经》中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论．已知某地立春与雨水两个节气的日影长分别为 10.5尺和 9.5尺，现在从该地日影长小于 9尺的节气中随机抽取 2个节气进行日影长情况统计，则所选取这 2个节气中恰好有 1个节气的日影长小于 5尺的概率为（ ）A． 37 B． 47 C． 1321 D． 57
69．已知数列 ? ?na 的前 n项和为 nS ，把 ? ?nS 的前 n项和称为 “和谐和 ”，用 nH 来表示，对于 3nna ? ，其 “和谐和 ” nH 等于（ ）A． 23 6 94n n? ? ? B． 13 6 94n n? ? ? C． 13 6 94n n? ? ? D． 3 6 94n n? ?70．我国古代著名数学家刘徽的杰作《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产之一，书中记载了他计算圆周率所用的方法．先作一个半径为 1的单位圆，然后做其内接正六边形，在此基础上做出内接正 6 2 ( 1,2, )n n? ? ? 边形，这样正多边形的边逐渐逼近圆周，从而得到圆周率，这种方法称为 “刘徽割圆术 ”．现设单位圆 O的内接正 n边形的一边为AC
，点 B为劣弧 ?AC的中点，则 BC是内接正 2n边形的一边，现记 nAC S? ，2nAB S? ，则（ ）A． 22 2 4n nS S? ? ? B． 22 2 4n nS S? ? ?
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C． 22 2 2 4n nS S? ? ? D． 22 4 3 4n nS S? ? ?71．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题： “今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？ ”，意思是 “今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？ ”两鼠相逢需要的天数最小为（ ）A． 2 B． 3 C． 4 D． 572．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问
题，分为九类，每类九个问题．《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中 在卷五 “三斜求积 ”中提出了已知三角形三边 a、 b、 c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是： “以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积． ”若把以上这段文字写成公式，即 2 2 22 2 21 ( )4 2? ?? ?? ?? ?? ?c a bS c a ．现有周长为 10 2 7? 的 ABC? 满足sin :sin :sin 2:3: 7A B C ? ，则用以上给出的公式求得 ABC? 的面积为A． 12 B． 8 7 C． 4 7 D． 6 3
73．设 b、 c均为实数，关于 x的方程 2 | | 0x b x c? ? ? 在复数集 C上给出下列结论，正确的是（ ）A．存在 b、 c，使得该方程仅有 2个共轭虚根B．存在 b、 c，使得该方程有 4个互不相等的实数根C．存在 b、 c，使得该方程有 5个互不相等的根D．存在 b、 c，使得该方程最多有 6个互不相等的根74．一般地，若函数 ? ?f x 的定义域为 ? ?,ab ，值域为 ? ?,ka kb ，则称为的 “k倍跟随区间 ”；若函数的定义域为 ? ?,ab ，值域也为 ? ?,ab ，则称 ? ?,ab 为 ? ?f x 的 “跟随区间 ”.下
列结论正确的是（ ）A．若 ? ?1,b 为 ? ? 2 2 2f x x x? ? ? 的跟随区间，则 2b?B．函数 ? ? 11f x x? ? 存在跟随区间C．若函数 ? ? 1f x m x? ? ? 存在跟随区间，则 1,04m ? ?? ?? ?? ?
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D．二次函数 ? ? 212f x x x?? ? 存在 “3倍跟随区间 ”75．斐波那契数列，又称黄金分割数列，它在很多方面与大自然神奇地契合，小到地球上的动植物，如向日葵、松果、海螺的成长过程，大到海浪、飓风、宇宙星系演变，都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的 “数学之美 ”，在数学上斐波那契数列 ? ?na 一般以递推的方式被定义： 1 2 1a a? ? ， 2 1? ?? ?n n na a a ，则（ ）A． 10 55a ?B． 22 1 1n n na a a? ?? ?
C． 1 5 12n na a?? ??? ??? ?? ?? ?是等比数列D．设 1nn nab a?? ，则 1 1 2n n n nb bb b? ? ?? ? ?76．已知定义域为 A的函数 ? ?f x ，若对任意的 1 2,x x A? ，都有? ? ? ? ? ?1 2 1 2f x x f x f x? ? ? ，则称函数 ? ?f x 为 “定义域上的优美函数 ”以下函数是 “定义域上的优美函数 ”的有（ ）A． 2( ) 1f x x? ? ， 1 1,2 2x ? ?? ?? ?? ? B． ( ) xf x e? ， x?R
C． ( ) sinf x x? ， [0, ]x ?? D． 3( ) logf x x? ， [2, )x? ??77．若非零复数 ,x y满足 2 2 0x xy y? ? ? ，则 2020 2020x yx y x y? ? ? ??? ? ? ?? ?? ? ? ? 的值是___________.78．在复平面内，等腰直角三角形 1 2OZZ 以 2OZ 为斜边（其中 O为坐标原点），若 2Z 对应的复数 2 1 3z i? ? ，则直角顶点 1Z 对应的复数 1z ?_____________.79． ? ?20183i 1? ?______.
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80．在下列命题中 ,正确的命题有 ________(填写正确的序号 )①若 1x? ,则 4 11x x? ?? 的最小值是 6;②如果不等式 2 2 0ax bx? ? ? 的解集是 1 1,2 3? ??? ?? ?,那么 10a b? ?? 恒成立 ;③设 x, ? ?0,y? ?? ,且 1x y? ? ,则 2 2x y xy? ? 的最小值是 34;④对于任意 1,32m ? ??? ?? ?, 2 2 4t mt m? ? ? 恒成立 ,则 t的取值范围是? ? ? ?, 5 2,?? ? ???
;⑤ “ 2a?? ”是 “复数 ? ? ? ?2 4 1z a a i? ? ? ? (a R? )是纯虚数 ”的必要非充分条件 ;⑥若 3 3cos sinx y a? ?? ? , sin cos 0y x? ?? ? , 0xya? ,则必有 2 2 21 1 1x y a? ? ;81．已知函数 ? ? ? ?13 1log 3 1 2xf x abx? ? ? 为偶函数， ? ? 2 2x xa bg x ?? ? 为奇函数，其中 a、 b为常数，则 ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 3 3 100 100a b a b a b a b? ? ? ? ? ????? ? ?___________82．若复数 z满足 2z ? ，则 3 3z z? ? ? 的取值范围是 ______．
83．已知复数 1 cos 2 ( )iz x f x? ? ， 2 ( 3sin cos ) iz x x? ? ? （ x?R， i为虚数单位），在复平面上，设复数 1z 、 2z 对应的点分别为 1Z 、 2Z ，若 1 2 90ZOZ ?? ? ，其中 O是坐标原点，则函数 ( )f x 的最小正周期为 ________.84．设复数 1 21 3 3z i z i?? ? ? ?， ， 若 ? ?2sin 2cos 2z i R? ? ?? ? ? ?， ， 则1 2z z z z? ? ? 的最小值为 _________.85．对于 n个复数 z
1， z2， …， zn，如果存在 n个不全为零的实数 k1， k2， …， kn，使得 k1z1＋ k2z2＋ …＋ knzn＝ 0，就称 z1， z2， …， zn线性相关．若要说明复数 z1＝ 1＋ 2i，z2＝ 1－ i， z3＝－ 2线性相关，则可取 {k1， k2， k3}＝ ________． (只要写出满足条件的一组值即可 )86．复数 1 1 2z i? ? , 2 3z ? ，则 2 1z z? 的最大值是 ___________．87．已知复数 ? ? ? ?3 3 ,z x y x y i x y R? ? ? ? ? 在复平面内对应的点位于第二象限，且 2 4 15 0x y? ? ? ，则复数 x yi? 的模大于 2的概率为 __________．
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88．下列说法中正确的序号是 ___________① 2 1i i? ? ?②若一个数是实数，则其虚部不存在③虚轴上的点表示的数都是纯虚数④设 1z i? ? （ i为虚数单位） ,若复数 22 zz ? 在复平面内对应的向量为 OZ????，则向量 OZ????的模是 2⑤若 1z i? ，则 5 1z ? 对应的点在复平面内的第四象限．
89．对任意复数 1w . 2w ,定义 1 2 1 2w w ww? ? ,其中 2w 是 2w 的共轭复数 .对任意复数1z . 2z . 3z ,有如下四个命题：① ? ? ? ? ? ?1 2 3 1 3 2 3z z z z z z z? ? ? ? ? ? ；② ? ? ? ? ? ?1 2 3 1 2 1 3z z z z z z z? ? ? ? ? ? ；③ ? ? ? ?1 2 3 1 2 3z z z z z z? ? ? ? ? ； ④ 1 2 2 1z z z z? ? ? .则真命题是 ________（填写命题的序号）90．设 1 2,z z 是复数，给出四个命题：
①．若 1 2 | 0|z z? ? ，则 1 2z z? ②．若 1 2z z? ，则 1 2z z?③．若 1 2| || |z z? ，则 1 1 2 2? ?z z z z? ④．若 1 2| || |z z? ，则 2 21 2z z?其中真命题的序号是 __________．91．已知数列 ? ?na 是无穷等比数列，它的前 n项的和为 nS ，该数列的首项是二项式71x x? ??? ?? ? 展开式中的 x的系数，公比是复数 11 3z i? ? 的模，其中 i是虚数单位，则lim nn S?? =_____．
92．已知复数 = 2 21+ ，当 ≥ 2时， ||2+||+4>0恒成立，则实数 的取值范围是__________．93．在实数集 R中，我们定义的大小关系 “ ”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集 C上也可以定义一个称为 “序 ”的关系，记为 “ ”，定义如下：对于任意两个复数 ， 当且仅当，下面命题① 1?i?0;②若 ， ，则 ；
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③若 ，则对于任意 ， ；④对于复数 ，则其中真命题是 _________94．为求方程 5 1 0x ? ? 的虚根，可以把原方程变形为? ?? ?2 2( 1) 1 1 0x x ax x bx? ? ? ? ? ? ，由此可得原方程的一个虚根为 ______95．格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点 .一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的 “格点距离 ”（如： ( 2,1)P ? ，则点 P到原点的格点距离为 2 1 3? ? ） .格点距离为定值的点的轨迹称为 “格点圆 ”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路
程称为一条半径 .当格点半径为 6时，格点圆的半径有 ______条（用数字作答） .96．球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如图， A， B， C是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为 ? ? ?, ,AB BC CA，由这三条劣弧围成的图形称为球面 ABC? ．已知地球半径为 R，北极为点 N， P， Q是地球表面上的两点若P， Q在赤道上，且 2PQ R? ，则球面 NPQ△ 的面积为 ________；若2 63NP PQ QN R? ? ? ，则球面 NPQ△ 的面积为 ________．
97．《九章算术》是古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉 .《九章算术》卷五记载： “今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈 .问积几何？ ”译文：今有如图所示的屋脊状楔体PQ ABCD? ，下底面 ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即 PQ的中点 R在底面ABCD上的投影为矩形 ABCD的中心点 O， //PQ AB， 4AB? ， 3AD? ， 2PQ? ，1OR? （长度单位：丈） .则楔体 PQ ABCD? 的体积为 ___________（体积单位：立方
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丈） .98．当一个非空数集 G满足 “如果 ,a b G? ，则 ?a b， ?a b， ab G? ，且 0b≠ 时， a Gb? ”
时，我们称 G就是一个数域，以下关于数域的命题：① 0和 1都是任何数域的元素；②若数域 G有非零元素，则 2020 G? ；③任何一个有限数域的元素个数必为奇数；④有理数集是一个数域；⑤偶数集是一个数域，其中正确的命题有 ______________.99．定义：如果函数 ( )f x 在 [ , ]a b 上存在 ? ?1 2 1 2,x x a x x b? ? ? ，满足? ? ? ?1 2 ( ) ( )f a f bf x f x a b?? ?? ? ? ，则称数 1x ， 2 x 为 [ , ]a b 上的 “对望数 ”，函数 ( )f x 为[ , ]a b 上的 “对望函数 ”，给出下列四个命题：（ 1）二次函数 2( )f x x mx n? ? ? 在任意区间 [ , ]a b 上都不可能是 “对望函数 ”；
（ 2）函数 3 21( ) 23f x x x? ? ? 是 [0,2]上的 “对望函数 ”；（ 3）函数 ( ) sinf x x x? ? 是 11,6 6? ?? ?? ?? ?上的 “对望函数 ”；（ 4） ( )f x 为 [ , ]a b 上的 “对望函数 ”，则 ( )f x 在 [ , ]a b 上不单调；其中正确命题的序号为 __________(填上所有正确命题的序号 )100．已知 sin cos 1t t? ? ，令 cos sinS t i t? ? ， ? ? 21 nf S S S S? ? ? ? ??? ，1 2020n? ? ,则所有的 ? ?f S 中，虚部不为 0的共有 ____________个；其中模最大的复
数是 ____________.
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