导数知识必备
无论是高三的你还是高二已经学习导数的你 或是高一要学习导数的 ， 都应该掌握
以下导数的内容 ， 希望整理的 导数 知识对努力好学的你有所帮助 。
1、 导数的定义 ：
（ 1）定义：设函数 上点 在 附近有定义且附近 有 点
，则割线 斜率为：
.
当 无限接近 时，即 接近于零，直线 到达极限位置时的斜率表示为：
，即切线斜率．
（ 2）导数的几何意义： 为 在 处切线的斜率．
2、 导数的运算公式 ：
（ 1）基本初等函数的导数公式：
① （ 为常数） ② （ ） ．
③ （ 且 ） ④ ．
⑤ （ 且 ） ⑥ ．
⑦ ⑧ ．
（ 2）导数的四则运算法则： ， （ ）是可导函数， 为常数．
① ② ．
( )yfx= ( )( )
00
,,Ax f x
( )fx
A
( )( )
00
,Bx xf x x+D +D AB
( ) ( )
( )
( ) ( )
0000
00
AB
fx x fx fx x fx
k
xxx x
+D - +D -
==
+D - D
B A xD AB
( ) ( )
( )
00
0
0
lim
x
fx x fx
kf
x
D?
+D -
￠==
D
( )
0
fx￠ ( )fx ( )( )
00
,Ax f x
0C￠ = C
( )
1nn
xnx
-￠
= n
?Q
( )
ln
xx
aaa
￠
= 0a > 1a 1
( )
ee
xx￠
=
( )
1
log
ln
a
x
xa
￠
= 0a > 1a 1 ( )
1
ln x
x
￠
=
( )sin cosxx
￠
= ( )cos sinxx
￠
=-
( )fx ( )gx ( ) 0gx1
C
( ) ( ) ( ) ( )fx gx f x gx
￠
￠￠±=±éù
??
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fx gx f xgx fxgx
￠
￠￠×= +éù
??
③ ④ ．
⑤ ．
（ 3） 导数运算构造新函数
① 利用 与 构造 （四则运算的逆运算构造）
构造 ．
构造 ．
② 利用 与 构造
构造 ．
构造 ．
构造 ．
构造 ．
3、 切线问题： “ 一切三相等 ” ．
（ 1）求切线方程：
① 已知切点 ，可求导直接带入导函数，求出斜率；
② 未知切点 ，设出切点， 代入方程 ．
（ 2）切点 满足的三个等式：
4、 单调性与导数的相互转化．
( ) ( )Cgx Cgx
￠
￠×=×éù
??
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
fx f xgx fxgx
gx
gx
￠
￠￠éù -
=
êú
éù
??
??
( )( ) ( )( ) ( )fgx f gx gx
￠
￠￠=×éù
??
( )fx
x
( ) ( )''xf x f x+ ( ) ( ) ( )
''xf x xf x f x
￠
=+éù
??
( ) ( )''xf x f x-
( ) ( )
2
''
()
xf x f x
fx
xx
￠
-
éù
=
êú
??
( )fx
e
x
( ) ( )''fx fx+ ( ) ( ) ( )
e''e''
xx
fx f x fxéù=+éù
????
( ) ( )''+fx fxl ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
e''e+ee''+
xxxx
fx f x fx f x fx
llll
ll
￠
éù==
??
( ) ( )''fx fx-
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
''e e ''
ee
e
xx
x
fx f x fx f x fx
￠
--éù
==
êú
??
( ) ( )''fx fxl-
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
''e e ''
e
xx
xx
x
fx f x fx f x fx
ll
ll
l
￠
--éù
==
êú
??
( )
00
,Px y
( )
( ) ( )( )
00
00
01
1
01
,
yfx
ykxb
yy
kfx xy
xx
ì
?
=
?
?
=+
í
?
-
? ￠
=
-?
?
① 切点在曲线上
②切点在切线上
③= 导数与斜率相等 切线过点
（ 1）利用导数判断函数单调性：
① 若在 内 在 内为增函数 为 的单调递增区
间．
② 若在 内 在 内为减函数 为 的单调递减区
间．
注意：若 不能推出 为增函数，但是若 且 在个别点上满足
，则可推出 为增函数；若 不能推出 为减函数，但是
若 且 在个别点上满足 ，则可推出 为减函数． （例如
）
（ 2）函数单调性利用判断导数的正负：
① 若 在 内为增函数 在 内 ．
② 若 在 内为减函数 在 内 ．
5、 求极值、最值
（ 1）极值： 求 的 定义域，令 ，求出 的根 ， 画出 示
意图，判断导函数的正负： 在 处 左负右正， 为极小值 ； 左正右负，
为极大值．
（ 2）最值：在极值点处 或 端点处取得最值，比较端点值与极值的大小，最大者
为最大值，最小者为最小值．
( ),ab ( ) 0fx
￠ > T
( )fx ( ),ab
T
( ),ab ( )fx
( ),ab ( ) 0fx
￠ < T
( )fx ( ),ab
T
( ),ab ( )fx
( ) 0fx
￠ 3
( )fx ( ) 0fx
￠ 3
( ) 0fx
￠ =
( )fx ( ) 0fx
￠ ￡
( )fx
( ) 0fx
￠ ￡
( ) 0fx
￠ =
( )fx
( )
3
=fx x
( )fx ( ),ab
T
( ),ab ( ) 0fx
￠ 3
( )fx ( ),ab
T
( ),ab ( ) 0fx
￠ ￡
( )fx ( ) 0fx
￠ =
( )
0
0fx￠ =
0
x
( )fx
￠
( )fx
0
x
( )
0
fx
( )
0
fx
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