八年级数学下册《第十八章 平行四边形》平行四边形练习-附答案(人教版)1.已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥C
E，且交BC于点F.(1)求证：△ABF≌△CDE；(2)如图，若∠1＝65°，求∠B的大小.2.如图，在?ABCD中，E是BC的
中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．(1)试说明：AB＝CF；(2)连接DE，若AD＝2AB.试说明：DE⊥AF．3.如图，
在△ABC中，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边作?CDFE，过点C作CG∥AB交EF于
点G.连结BG，DE.(1)∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由；(2)求证：△BCG≌△DCE. 4.如图，在△ABC
中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过A点作AF∥BC交BE的延长线于点F，连结CF.求证：四边形ADCF是平行四边形．5.在
平行四边形ABCD中，已知E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝DG，∠BFE＝∠DHG. 求证：(1)△BE
F≌△DGH；(2)四边形EFGH为平行四边形.6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC
，连接CE、OE，连接AE交OD于点F.(1)求证：OE＝CD；(2)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长.7.
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且AC＝2DE，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．(1)求证
：OE＝CD；(2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．8.如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点
沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB;(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形
ADFC是菱形时，求BF的长.9.如图，在?ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF，
且EG平分∠HEF.(1)求证：△AEH≌△CGF；(2)求证：四边形EFGH是菱形.10.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中
线，过点A作AE∥BC，过点D作与DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、E，连接EC.(1)求证：AD＝EC；(2)当△ABC
满足 时，四边形ADCE是菱形.11.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留
在图中了)，连接EF．(1)求证：四边形ABEF为菱形；(2)AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长．12.如图，
四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.(1)求证：BD＝BE；(2)若∠DBC＝30°
，BO＝4，求四边形ABED的面积.13.如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长
线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.14.
在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）若
DE＝BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．15.如图，已知?ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的
一平分线，BE，CF相交于点O.(1)求证：BE⊥CF；(2)试判断AF与DE有何数量关系，并说明理由；(3)当△BOC为等腰直角
三角形时，四边形ABCD是何特殊四边形？(直接写出答案)16.已知：在正方形ABCD中，点G是BC边上的任意一点，DE⊥AG于点E
，BF∥DE，交AG于点F. 求证：(1)△ADE≌△BAF；(2)AF＝BF＋EF.17.已知正方形ABCD，E、F分别为边BC
、CD上的点，DE＝AF.求证：AF⊥DE.18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，
过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF.(1)求证：四边形BDCF是菱形；(2)当Rt△ABC中的边或角满足什么条件时
？四边形BDCF是正方形，请说明理由.19.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△AB
D，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；(2)若AB＝6，求平行四边形B
CFD的面积．20.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN.(1)求
证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长.21.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠
，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝1
0，求四边形CEFG的面积.22.如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠A
CB的外角平分线于点F.(1)求证：EO＝FO；(2)当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论.(3)在(2)问的
结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，求△ABC的面积.23.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D
，将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H.(1)求证：四边形AFHG为正方形；(
2)若BD＝6，CD＝4，求AB的长.24.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O，E，F分别在
BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长． 2
5.(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.求证：CE=CF；(2)如图2，在正方形
ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用(1)的结论证明：GE=BE+GD.(3)运用(1)(2
)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B=90°，AB=BC，E是AB上
一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积.26.下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形AB
CD是正方形，点E是边BC的中点，AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．(提示：取AB的中点G，
连接EG．)(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；(2)如图1，若点E是BC边上任意一点(不与B、C重合
)，其他条件不变．求证：AE＝EF；(3)在(2)的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．设BE＝kBC,当k为何值时，
四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．参考答案1.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D∴
∠1＝∠ECB.∵AF∥CE∴∠AFB＝∠ECB∴∠AFB＝∠1.在△ABF和△CDE中∴△ABF≌△CDE(AAS)；(2)解：
由(1)得∠1＝∠ECB.∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠ECB∴∠1＝∠DCE＝65°∴∠B＝∠D＝180°－2×65°＝50
°.2.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥DF∴∠ABE＝∠FCE∵E为BC中点∴BE＝CE在△ABE与△FCE中∴
△ABE≌△FCE(ASA)∴AB＝FC；(2)∵AD＝2AB，AB＝FC＝CD∴AD＝DF∵△ABE≌△FCE∴AE＝EF∴DE
⊥AF．3.解：(1)∠ACB＝∠GCD.理由如下：∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB.∵CG∥AB∴∠ABC＝∠GCD∴∠ACB＝
∠GCD.(2)证明：∵四边形CDFE是平行四边形∴EF∥CD∴∠ACB＝∠GEC，∠EGC＝∠GCD.∵∠ACB＝∠GCD∴∠G
EC＝∠EGC∴EC＝GC.∵∠GCD＝∠ACB∴∠GCB＝∠ECD.∵BC＝DC∴△BCG≌△DCE.4.证明：∵AF∥BC∴∠
AFE＝∠EBD． 在△AEF和△DEB中∵∴△AEF≌△DEB(AAS)． ∴AF＝BD． ∴AF＝DC．又∵AF∥BC∴四边
形ADCF为平行四边形．5.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形∴∠B＝∠D.在△BEF和△DGH中∵∴△BEF≌△DGH(A
AS)；(2)∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，AB＝DC，∠A＝∠C.由(1)得△BEF≌△DGH∴BF＝DH，EF＝G
H.又∵BE＝DG∴AH＝CF，AE＝CG.在△AEH和△CGF中∵∴△AEH≌△CGF(SAS)∴EH＝GF.又∵EF＝GH∴四
边形EFGH是平行四边形.6. (1)证明：∵DE＝OC，DE∥AC∴四边形OCED是平行四边形∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD
∴∠COD＝90°∴平行四边形OCED是矩形.∴OE＝CD.(2)解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°∴AC＝AB＝4∴在矩形O
CED中，CE＝OD＝2∴在△ACE中，AE＝2.7.证明：(1)四边形ABCD是菱形∴OA＝OC＝AC，AD＝CD∵DE∥AC且
DE＝AC∴DE＝OA＝OC∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形∴OE＝AD∴OE＝CD；(2)解：∵AC⊥BD∴四边形
OCED是矩形∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°∴AC＝AB＝2∴在矩形OCED中，CE＝OD＝．∴在Rt△ACE中，AE＝．8
.证明：(1)证明：∵△ABC绕A点旋转得到△ADE∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠
BAE∴∠EAC＝∠DAB.又AB＝AC∴AE＝AD∴△AEC≌△ADB.(2)∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°∴∠DB
A＝∠BAC＝45°又由旋转知AB＝AD∴∠DBA＝∠BDA＝45°∴△BAD是等腰直角三角形.∴BD2＝AB2＋AD2＝22＋2
2＝8∴BD＝2.∵四边形ADFC是菱形∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2∴BF＝BD﹣DF＝2﹣2.9.证明：(1)∵四边形AB
CD是平行四边形∴∠A＝∠C.∴在△AEH与△CGF中∴△AEH≌△CGF(SAS)；(2)∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝B
C，AB＝CD，∠B＝∠D.∵AE＝CG，AH＝CF∴EB＝DG，HD＝BF.∴△BEF≌△DGH.∴EF＝HG.又∵△AEH≌△
CGF∴EH＝GF.∴四边形HEFG为平行四边形.∴EH∥FG∴∠HEG＝∠FGE.∵EG平分∠HEF∴∠HEG＝∠FEG∴∠FG
E＝∠FEG∴EF＝GF∴四边形EFGH是菱形.10.证明：(1)∵DE∥AB，AE∥BC∴四边形ABDE是平行四边形∴AE∥BD
，且AE＝BD又∵AD是BC边的中线∴BD＝CD∴AE＝CD∵AE∥CD∴四边形ADCE是平行四边形∴AD＝EC；(2)∵∠BAC
＝90°，AD是斜边BC上的中线∴AD＝BD＝CD又∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是菱形.故答案为∠BAC＝90°.
11.证明：(1)由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠F
AE＝∠AEB∴∠BAE＝∠AEB∴AB＝BE∴BE＝FA∴四边形ABEF为平行四边形∵AB＝AF∴四边形ABEF为菱形；(2)解
：∵四边形ABEF为菱形∴AE⊥BF，BO＝FB＝3，AE＝2AO在Rt△AOB中，AO＝4∴AE＝2AO＝8．12.证明：(1)
∵四边形ABCD是矩形∴AC＝BD，AB∥CD.又∵BE∥AC∴四边形ABEC是平行四边形.∴BE＝AC.∴BD＝BE.(2)∵四
边形ABCD是矩形∴AO＝OC＝BO＝OD＝4，即BD＝8.∵∠DBC＝30°∴∠ABO＝90°﹣30°＝60°.∴△ABO是等边
三角形，即AB＝OB＝4于是AB＝DC＝CE＝4.在Rt△DBC中，DC＝4，BD＝8，BC＝4.∵AB∥DE，AD与BE不平行∴
四边形ABED的面积＝(AB＋DE)·BC＝(4＋4＋4)·4＝24.13.(1)证明：∵AF∥BC∴∠AFE＝∠DCE∵点E为A
D的中点∴AE＝DE在△AEF和△DEC中∴△AEF≌△DEC(AAS)∴AF＝CD∵AF＝BD∴CD＝BD∴D是BC的中点；(2
)若AB＝AC，则四边形AFBD是矩形.理由如下：∵△AEF≌△DEC∴AF＝CD∵AF＝BD∴CD＝BD；∵AF∥BD，AF＝B
D∴四边形AFBD是平行四边形∵AB＝AC，BD＝CD∴∠ADB＝90°∴平行四边形AFBD是矩形.14.（1）证明：∵CE∥BF
∴∠CED＝∠BFD∵D是BC边的中点∴BD＝DC在△BDF和△CDE中∴△BDF≌△CDE（AAS）；（2）四边形BFCE是矩形
证明：∵△BDF≌△CDE∴DE＝DF∵BD＝DC∴四边形BFCE是平行四边形∵BD＝CD，DE＝BC∴BD＝DC＝DE∴∠BEC
＝90°∴平行四边形BFCE是矩形．15.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∴∠ABC＋∠BCD＝180°又∵B
E，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线∴∠EBC＋∠FCB＝90°∴∠BOC＝90°故BE⊥CF(2)解：AF＝DE理由如下：∵
AD∥BC∴∠AEB＝∠CBE又∵BE是∠ABC的平分线∴∠ABE＝∠CBE∴∠AEB＝∠ABE∴AB＝AE同理CD＝DF又∵四边
形ABCD是平行四边形∴AB＝CD∴AE＝DF∴AF＝DE(3)当△BOC为等腰直角三角形时四边形ABCD是矩形.16.解：(1)
由正方形的性质可知：AD＝AB∵∠BAF＋∠ABF＝∠BAF＋∠DAE＝90°∴∠ABF＝∠DAE在△ADE与△BAF中∴△ADE
≌△BAF(AAS)(2)由(1)可知：BF＝AE∴AF＝AE＋EF＝BF＋EF17.证明：∵四边形ABCD为正方形∴AD＝DC，
∠ADC＝∠C＝90°在Rt△ADF与Rt△DCE中AF＝DE，AD＝CD∴Rt△ADF≌Rt△DCE(HL)∴∠DAF＝∠EDC
设AF与ED交于点G∴∠DGF＝∠DAF＋∠ADE＝∠EDC＋∠ADE＝∠ADC＝90°∴AF⊥DE.18.证明：(1)∵CF∥A
B∴∠CFA＝∠BAF，∠ADC＝∠FCD，且CE＝DE∴△CEF≌△DEA(AAS)∴CF＝AD∵CD是Rt△ABC的中线∴CD
＝AD＝BD∴CF＝BD，且CF∥AB∴四边形BDCF是平行四边形，且CD＝BD∴四边形BDCF是菱形(2)当AC＝BC时，四边形
BDCF是正方形理由如下：∵AC＝BC，CD是中线∴CD⊥AB，且四边形BDCF是菱形∴四边形BDCF是正方形.19.(1)证明：
在△ABC中，∵∠ACB＝90°∠CAB＝30°∴∠ABC＝60°.在等边△ABD中，∵∠BAD＝60°∴∠BAD＝∠ABC＝60
°，∴BC∥AD.∵E为AB的中点∴CE＝AB，BE＝AB∴CE＝BE∴∠BCE＝∠EBC＝60°∴∠BEC＝∠AEF∴∠AFE＝
∠D＝60°∴FC∥BD∴四边形BCFD是平行四边形．(2)解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6∴BC＝AB＝3，A
C＝BC＝3∴S平行四边形BCFD＝3×3＝9.20.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∠A＝90°∴∠MDO＝∠N
BO，∠DMO＝∠BNO∵在△DMO和△BNO中∴△DMO≌△BNO(AAS)∴OM＝ON∵OB＝OD∴四边形BMDN是平行四边形
∵MN⊥BD∴平行四边形BMDN是菱形.(2)解：∵四边形BMDN是菱形∴MB＝MD设MD长为x，则MB＝DM＝x在Rt△AMB中
，BM2＝AM2＋AB2即x2＝(8﹣x)2＋42，解得：x＝5所以MD长为5.21.证明：(1)由题意可得，△BCE≌△BFE∴
∠BEC＝∠BEF，FE＝CE∵FG∥CE∴∠FGE＝∠CEB∴∠FGE＝∠FEG∴FG＝FE∴FG＝EC∴四边形CEFG是平行四
边形又∵CE＝FE∴四边形CEFG是菱形；(2)∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝
BF＝10∴AF＝8∴DF＝2设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x∵∠FDE＝90°∴22＋(6﹣x)2＝x2，解得，x＝∴CE＝
∴四边形CEFG的面积是：CE?DF＝×2＝.22.证明：(1)∵EF∥BC∴∠OEC＝∠BCE∵CE平分∠ACB∴∠BCE＝∠O
CE∴∠OEC＝∠OCE∴EO＝CO同理：FO＝CO∴EO＝FO；(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如
下：由(1)得：EO＝FO又∵O是AC的中点∴AO＝CO∴四边形CEAF是平行四边形∵EO＝FO＝CO∴EO＝FO＝AO＝CO∴E
F＝AC∴四边形CEAF是矩形；(3)解：由(2)得：四边形CEAF是矩形∴∠AEC＝90°∴AC＝＝5△ACE的面积＝AE×EC
＝×3×4＝6∵122＋52＝132，即AB2＋AC2＝BC2∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°∴△ABC的面积＝AB?AC
＝×12×5＝30.23.证明：(1)∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC＝90°；由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝
90°∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD∴∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°；∴∠GAF＝∠BAG＋∠C
AF＋∠BAC＝90°；∴四边形AFHG是正方形解：(2)∵四边形AFHG是正方形∴∠BHC＝90°又GH＝HF＝AD，GB＝BD
＝6，CF＝CD＝4；设AD的长为x则BH＝GH﹣GB＝x﹣6，CH＝HF﹣CF＝x﹣4.在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2
∴(x﹣6)2＋(x﹣4)2＝102，解得x1＝12，x2＝﹣2(不合题意，舍去)∴AD＝12∴AB＝6.24.解：(1)证明：过
点O作OM⊥AB于点M∵BD是∠ABC的平分线∴OE＝OM∵四边形OECF是正方形∴OE＝OF∴OF＝OM∵OM⊥AB，OF⊥AD
∴AO是∠BAC的角平分线即点O在∠BAC的平分线上；(2)∵在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12∴AB＝＝＝13设CE＝CF＝
x，BE＝BM＝y，AM＝AF＝z∴解得∴OE＝CE＝CF＝2.25. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠B=
∠CDF=90°∵∠ADC=90°，∴∠FDC=90°.∴∠B=∠FDC，∵BE=DF∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF
. (2)证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF.由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF.∴∠BCE+∠
ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF，GC=GC
，∴△ECG≌△FCG.∴GE=GF，∴GE=GF=DF+GD=BE+GD. (3)解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于
G.在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°又∵∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCG为正方形.∴AG=B
C.…∵∠DCE=45°，根据(1)(2)可知，ED=BE+DG.…∴10=4+DG，即DG=6.设AB=x，则AE=x﹣4，AD
=x﹣6，在Rt△AED中∵DE2=AD2+AE2，即102=(x﹣6)2+(x﹣4)2.解这个方程，得：x=12或x=﹣2(舍去
).…∴AB=12.∴S梯形ABCD=0.5(AD+BC)?AB=0.5×(6+12)×12=108.即梯形ABCD的面积为108.…26.解：(1)∵E是BC的中点∴BE＝CE．∵点G是AB的中点∴BG＝AG∴AG＝CE．故答案为：AG＝CE；(2)取AG＝EC，连接EG．∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠B＝90°．∵AG＝CE∴BG＝BE∴△BGE是等腰直角三角形∴∠BGE＝∠BEG＝45°∴∠AGE＝135°．∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD＝90°．∵CF是正方形ABCD外角的平分线∴∠DCF＝45°∴∠ECF＝90°＋45°＝135°．∵AE⊥EF∴∠AEB＋∠FEC＝90°．∵∠BAE＋∠AEB＝90°∴∠BAE＝∠CEF∴△GAE≌△CEF∴AE＝EF；(3)当k＝时，四边形PECF是平行四边形．如图．由(2)得，△GAE≌△CEF∴CF＝EG．设BC＝x，则BE＝kx∴GE＝kx，EC＝(1﹣k)x．∵EP⊥AC∴△PEC是等腰直角三角形∴∠PEC＝45°∴∠PEC＋∠ECF＝180°，PE＝(1﹣k)x．∴PE//CF 当PE＝CF时，四边形PECF是平行四边形∴(1﹣k)x＝kx解得k＝．学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 31 页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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