2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1（．5分）设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|≤x≤5}，则M∩N＝（）
A．{x|0＜x≤}
D．{x|0＜x≤5}
B．{x|≤x＜4} C．{x|4≤x＜5}
2．（5分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽
样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直
方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5
万元之间
3．（5分）已知（1﹣i）2z＝3+2i，则z＝（）
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A．﹣1﹣i B．﹣1+ i C．﹣+i D．﹣﹣i
4．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力
表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记
录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5+lgV．已知某同
学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据
约为（）（
A．1.5
≈1.259）
B．1.2 C．0.8 D．0.6
5．（5分）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为（）
A． B． C． D．
6．（5分）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，
G．该正方体截去三棱锥A﹣EFG后，所得多面体的三视图中，
正视图如图所示，则相应的侧视图是（）
A． B． C． D．
7．（5分）等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．设甲：q＞0，
乙：{Sn}是递增数列，则（）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
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D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．（5分）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最
新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量
方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C
三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A''，B''，C''满足∠A''C''B''
＝45°，∠A''B''C''＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB''
与CC''的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两
点到水平面A''B''C''的高度差AA''﹣CC''约为（）（≈1.732）
A．346
B．373 C．446 D．473
9．（5分）若α∈（0，
A． B．
），tan2α＝
C．
，则tanα＝（）
D．
10．（5分）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概
率为（）
A． B． C． D．
11．（5分）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，
且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）
A． B． C． D．
12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）
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为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（0）+f（3）＝6，
则f（）＝（）
A．﹣ B．﹣ C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）曲线y＝
为 ．
14．（5分）已知向量＝（3，1），＝（1，0），＝+k．若⊥，
则k＝ ．
15．（5分）已知F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，P，Q为
在点（﹣1，﹣3）处的切线方程
C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2
的面积为．
16．（5分）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，
则满足条件（f（x）﹣f（﹣
正整数x为．
））（f（x）﹣f（））＞0的最小
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选
考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品
和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生
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产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
甲机床
乙机床
合计
一级品
150
120
270
二级品
50
80
130
合计
200
200
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质
量有差异？
附：K2＝
P（K2≥k）
k
0.050
3.841
．
0.010
6.635
0.001
10.828
18．（12分）已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，
从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{ }是等差数列；③a2＝3a1．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方
形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1
上的点，BF⊥A1B1．
（1）证明：BF⊥DE；
（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正
弦值最小？
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20．（12分）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：
x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M（2，0），且⊙M
与l相切．
（1）求C，⊙M的方程；
（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M
相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
21．（12分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝
（1）当a＝2时，求f（x）的单调区间；
（2）若曲线y＝f（x）与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取
值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如
果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10
分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足
＝
（x＞0）．
cosθ．
，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有
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公共点．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝|2x+3|﹣|2x﹣1|．
（1）画出y＝f（x）和y＝g（x）的图像；
（2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围．
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参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．参考答案：集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|≤x≤5}，则M∩N
＝{x|≤x＜4}，
故选：B．
点拨：本题考查了交集及其运算，是基础题．
2．参考答案：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比
率为（0.02+0.04）×1＝0.06＝6%，故选项A正确；
对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为
（0.04+0.02×3）×1＝0.1＝10%，故选项B正确；
对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5
×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×
0.02+13×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5万元，故选项C错误；
对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为
（0.1+0.14+0.2+0.2）×1＝0.64＞0.5，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5
万元之间，故选项D正确．
故选：C．
点拨：本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率
分布直方图中频率的求解方法以及平均数的计算方法，属于基础
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题．
3．参考答案：因为（1﹣i）2z＝3+2i，
所以
故选：B．
点拨：本题考查了复数的运算，主要考查了复数的乘法运算法则以
及除法的运算法则的运用，考查了运算能力，属于基础题．
4．参考答案：在L＝5+lgV中，L＝4.9，所以4.9＝5+lgV，即lgV
＝﹣0.1，
解得V＝10﹣0.1＝＝＝≈0.8，
．
所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．
故选：C．
点拨：本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，
是基础题．
5．参考答案：F1，F2为双曲线C的两个焦点，P是C上的一点，|PF1|
＝3|PF2|，
设|PF1|＝3m，|PF2|＝m，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2m＝
2a，即m＝a，
所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，因为∠F1PF2＝60°，|F1F2|＝2c，
所以4c2＝9a2+a2﹣2×3a×a×cos60°，整理得4c2＝7a2，
所以e＝＝
故选：A．
点拨：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查方程思想、转化思
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．
想与运算求解能力，属于中档题．
6．参考答案：由题意，作出正方体，截去三棱锥A﹣EFG，根据正
视图，
可得A﹣EFG在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影，
可得相应的侧视图是D图形，
故选：D．
点拨：本题考查简单空间图形的三视图，属基础题．
7．参考答案：若a1＝﹣1，q＝1，则Sn＝na1＝﹣n，则{Sn}是递减
数列，不满足充分性；
∵Sn＝
则Sn+1＝
（1﹣qn），
（1﹣qn+1），
（qn﹣qn+1）＝a1qn，∴Sn+1﹣Sn＝
若{Sn}是递增数列，
∴Sn+1﹣Sn＝a1qn＞0，
则a1＞0，q＞0，
∴满足必要性，
故甲是乙的必要条件但不是充分条件，
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故选：B．
点拨：本题主要考查数列的函数特性，充分条件和必要条件，属于
中档题．
8．参考答案：过C作CH⊥BB′于H，过B作BM⊥AA′于M，
则∠BCH＝15°，BH＝100，∠ABM＝45°，CH＝C′B′，A′
B′＝BM＝AM，BB′＝MA′，∠C′A′B′＝75°
∴tan∠BCH＝tan15°＝tan（45°﹣30°）＝
，sin75°＝sin（45°+30°）＝
则在Rt△BCH中，CH＝
（2+）
＝100（2+
），∴C′B′＝100
在△A′B′C′中，由正弦定理知，A′B′＝
＝100（
∴AA′﹣CC′＝AM+BH＝100（
故选：B．
+1），∴AM＝100（
+1）+100≈373，
+1），
点拨：理解仰角的概念，各个三角形不共面，因此做好辅助线是关
键．
9．参考答案：由tan2α＝
即，
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，得，
∵α∈（0，），∴cosα≠0，
则2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin2α，解得sinα＝，
则cosα＝
∴tanα＝
故选：A．
点拨：本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的
应用，是基础题．
10．参考答案：4个1和2个0随机排成一行，共有种，
＝，
．
2个0不相邻，先将4个1全排列，再用插空法将2个0放入共有
种，
故2个0不相邻的概率为
故选：C．
点拨：本题考查了古典概型概率公式的应用，排列组合的应用，对
于不相邻问题，一般会运用插空法进行求解，属于基础题．
11．参考答案：因为AC⊥BC，AC＝BC＝1，
所以底面ABC为等腰直角三角形，
所以△ABC所在的截面圆的圆心O1为斜边AB的中点，
所以OO1⊥平面ABC，
在Rt△ABC中，AB＝
在Rt△AOO1中，
，则
，
，
．
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故三棱锥O﹣ABC的体积为
故选：A．
．
点拨：本题考查了锥体外接球和锥体体积公式，解题的关键是确定
△ABC所在圆的圆心的位置，考查了逻辑推理能力、化简运算能
力、空间想象能力，属于中档题．
12．参考答案：∵f（x+1）为奇函数，∴f（1）＝0，且f（x+1）＝
﹣f（﹣x+1），
∵f（x+2）偶函数，∴f（x+2）＝f（﹣x+2），
∴f[（x+1）+1]＝﹣f[﹣（x+1）+1]＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣
f（﹣x），
∴f（﹣x+2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x）．
令t＝﹣x，则f（t+2）＝﹣f（t），
∴f（t+4）＝﹣f（t+2）＝f（t），∴f（x+4）＝f（x）．
当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．
f（0）＝f（﹣1+1）＝﹣f（2）＝﹣4a﹣b，
f（3）＝f（1+2）＝f（﹣1+2）＝f（1）＝a+b，
又f（0）+f（3）＝6，∴﹣3a＝6，解得a＝﹣2，
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∵ f（ 1）＝ a+b＝ 0，∴ b＝﹣ a＝ 2，
∴当 x∈[1， 2]时， f（ x）＝﹣ 2x2+2，
∴ f（ ）＝ f（ ）＝﹣ f（ ）＝﹣（﹣ 2× +2）＝ ．
故选： D．
点拨： 本题主要考查函数的奇偶性与周期性， 考查转化思想与运算
求解能力，属于中档题．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． 参考答案：因为 y＝
所以 y′＝
所以 y′ |x＝﹣ 1＝ 5，
则曲线 y＝ 在点（﹣ 1，﹣ 3）处的切线方程为：
＝
， （﹣ 1，﹣ 3）在曲线上，
，
y﹣（﹣ 3）＝ 5[x﹣（﹣ 1） ]，即 5x﹣ y+2＝ 0．
故答案为： 5x﹣ y+2＝ 0．
点拨： 本题主要考查导数的几何意义， 考查运算求解能力， 属于基
础题．
14． 参考答案：因为向量 ＝（ 3， 1） ， ＝（ 1， 0） ， ＝ +k ，
由 ⊥ ，则
＝ 0，
解得 k＝
故答案为：
．
．
＝ 32+12+k（? 3× 1+1× 0）＝ 10+3k
点拨： 本题考查了平面向量的坐标运算， 涉及了平面向量数量积的
运算性质， 平面向量垂直的坐标表示， 考查了运算能力， 属于基础
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题．
15．参考答案：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|
＝|F1F2|，
所以四边形PF1QF2为矩形，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由椭圆的定义可得||PF1|+|PF2||＝m+n＝2a＝8，
所以m2+2mn+n2＝64，
因为|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝4（a2﹣b2）＝48，
即m2+n2＝48，
所以mn＝8，
所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|＝mn＝8．
故答案为：8．
点拨：本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运
算求解能力，属于中档题．
16．参考答案：由图像可得
∵
∴
观察图像可知当
，
∵2∈（），且
，
，
，
，
，即周期为π，
，T＝π，
∴x＝2时最小，且满足题意，
故答案为：2．
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点拨：该题考查了三角函数的周期性，以及如何通过图像判断函数
值的大小，题型灵活，属于中等题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选
考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．参考答案：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件，
因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为
因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为
（2）根据2×2列联表，可得K2＝
＝≈10.256＞6.635．
；
；
所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有
差异．
点拨：本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题．
18．参考答案：选择①③为条件，②结论．
证明过程如下：
由题意可得：a2＝a1+d＝3a1，∴d＝2a1，
数列的前n项和：
故
据此可得数列
（n≥2），
是等差数列．
，
选择①②为条件，③结论：
设数列{an}的公差为d，则：
第16页（共23页）
，
数列
即：
＝3a1．
选择③②为条件，①结论：
由题意可得：S2＝a1+a2＝4a1，∴
则数列的公差为
，
，
，
，
为等差数列，则：，
，整理可得：d＝2a1，∴a2＝a1+d
通项公式为：
据此可得，当n≥2时，
当n＝1时上式也成立，故数列的通项公式为：an＝（2n?1）a1，
由an+1?an＝[2（n+1）?1]a1?（2n?1）a1＝2a1，可知数列{an}是等差
数列．
点拨：本题主要考查等差数列的判定与证明，等差数列的通项公式，
等差数列的前n项和公式等知识，属于中等题．
19．【解答】（1）证明：连接AF，
∵E，F分别为直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱AC和CC1的中点，
且AB＝BC＝2，
∴CF＝1，BF＝，
∵BF⊥A1B1，AB∥A1B1，
∴BF⊥AB
∴AF＝＝＝3，AC＝＝＝，
∴AC2＝AB2+BC2，即BA⊥BC，
第17页（共23页）
故以 B 为原点， BA， BC， BB1所在直线分别为 x， y， z 轴建立如
图所示的空间直角坐标系，
则 A（ 2， 0， 0） ， B（ 0， 0， 0） ， C（ 0， 2， 0） ， E（ 1， 1， 0） ， F
（ 0， 2， 1） ，
设 B1D＝ m，则 D（ m， 0， 2） ，
∴ ＝（ 0， 2， 1） ， ＝（ 1﹣ m， 1，﹣ 2） ，
∴ ? ＝ 0，即 BF⊥ DE．
（ 2） 解： ∵ AB⊥平面 BB1C1C， ∴平面 BB1C1C 的一个法向量为
＝（ 1， 0， 0） ，
由（ 1）知， ＝（ 1﹣ m， 1，﹣ 2） ， ＝（﹣ 1， 1， 1） ，
设平面 DEF的法向量为 ＝ （ x， y， z） ， 则 ， 即 ，
令 x＝ 3，则 y＝ m+1， z＝ 2﹣ m，∴ ＝（ 3， m+1， 2﹣ m） ，
∴ cos＜ ， ＞＝
，
∴当 m＝ 时，面 BB1C1C 与面 DFE 所成的二面角的余弦值最大，
此时正弦值最小，
故当 B1D＝ 时， 面 BB1C1C与面 DFE所成的二面角的正弦值最小．
＝ ＝ ＝
第 18页（共 23页）
点拨：本题考查空间中线与线的垂直关系，二面角的求法，熟练掌
握利用空间向量证明线线垂直和求二面角的方法是解题的关键，考
查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
20．参考答案：（1）因为x＝1与抛物线有两个不同的交点，故可设
抛物线C的方程为：y2＝2px（p＞0），
令x＝1，则，
根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在X轴下方，故
，
因为OP⊥OQ，故
抛物线C的方程为：y2＝x，
因为⊙M与l相切，故其半径为1，故⊙M：（x﹣2）2+y2＝1．
（2）设A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）．
当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时（假设A1为坐标原点时），
设直线A1A2方程为kx﹣y＝0，根据点M（2，0）到直线距离为1
可得＝1，解得k＝，
，
联立直线A1A2与抛物线方程可得x＝3，
此时直线A2A3与⊙M的位置关系为相切，
第19页（共23页）
当A1，A2，A3都不是坐标原点时，即x1≠x2≠x3，直线A1A2的方
程为x?（y1+y2）y+y1y2＝0，
此时有，
同理，由对称性可得，
所以y2，y3是方程
，即
，
的两根，
，
依题意有，直线A2A3的方程为x?（y2+y3）y+y2y3＝0，
令M到直线A2A3的距离为d，则有，
此时直线A2A3与⊙M的位置关系也为相切，
综上，直线A2A3与⊙M相切．
点拨：本题主要考查抛物线方程的求解，圆的方程的求解，分类讨
论的数学思想，直线与圆的位置关系，同构、对称思想的应用等知
识，属于中等题．
21．参考答案：（1）a＝2时，f（x）＝，
f′（x）＝
当x∈（0，
＜0，
故f（x）在（0，
＝＝，
，+∞）时，f′（x））时，f′（x）＞0，当x∈（
）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．
（2）由题知f（x）＝1在（0，+∞）有两个不等实根，
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f（x）＝1?xa＝ax?alnx＝xlna?
令g（x）＝，g′（x）＝
＝，
，g（x）在（0，e）上单调递
增，在（e，+∞）上单调递减，
又g（x）＝﹣∞，g（e）＝，g（1）＝0，g（x）＝0，
作出g（x）的图象，如图所示：
由图象可得0＜＜，解得a＞1且a≠e，
即a的取值范围是（1，e）∪（e，+∞）．
点拨：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与
运算求解能力，属于中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如
果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10
分）
22．参考答案：（1）由极坐标方程为ρ＝2
化为直角坐标方程是x2+y2＝2
即
x，
，0），半径为的圆．
cosθ，得ρ2＝2 ρcosθ，
+y2＝2，表示圆心为C（
（2）设点P的直角坐标为（x，y），M（x1，y1），因为A（1，0），
所以＝（x﹣1，y），＝（x1﹣1，y1），
由＝，
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即，
解得
所以M（
，
（x﹣1）+1，
+＝2，
+y2＝4，表示圆心为C（1 3﹣，
y），代入C的方程得
化简得点P的轨迹方程是
0），半径为2的圆；
化为参数方程是
计算|CC1|＝|（3﹣）﹣
，θ为参数；
|＝3﹣2＜2﹣，
所以圆C与圆C1内含，没有公共点．
点拨：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了转化思
想与运算求解能力，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．参考答案：（1）函数f（x）＝|x﹣2|＝，
g（x）＝|2x+3|﹣|2x﹣1|＝．
画出y＝f（x）和y＝g（x）的图像；
（2）由图像可得：f（6）＝4，g（）＝4，
若f（x+a）≥g（x），说明把函数f（x）的图像向左或向右平移|a|
单位以后，f（x）的图像不在g（x）的下方，
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由图像观察可得：a≥2﹣+4＝
∴a的取值范围为[，+∞）．
点拨：本题考查了分段函数的图像与性质、方程与不等式的解法，
考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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