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2022-2023 学年下学期武汉市第一中学五月月考 高一 数学试 卷命题教师：王元祚审题教师万大新考试时间2023年5月27日14:00---16:00试卷满分150分一 、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1．下列说法正确的是（）A．经过三点有且只有一个平面B．经过一条直线和一个点有且只有一个平面
C．四边形是平面图形D．经过两条相交直线有且只有一个平面2．在ABC?中，1AC=，7AB=，3BC=，则ABC?的面积为（）A．3 38 B．3 34 C．3 32 D．3 33．设m，n是两条不同的直线，?，?是两个不同的平面（）A．若m n?，n ?∥，则m ?? B．若m ?∥，? ??，则m ??C．若m ??，n ??，n ??，则m ?? D．若m n?，n ??，? ??，则m ??4．在ABC?中，24, 3, sin 3a b A? ? ?，则B?（）
A．6? B．3? C．6?或56? D．3?或23?5．如图，在长方体1 1 1 1ABCD ABCD?中，2AB?，1 1BC BB? ?，P是1AC的中点，则直线BP与1AD所成角的余弦值为（）A．13 B．64 C．23 D．336．某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（）cm
A. 10 B. 15C. 4 D. 57．已知在ABC?中，22 + ,B A C b ac? ?，则ABC?的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形
2A
1A B CD 1B 1C1D NM
8．与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为2 6，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（）A．6 2? B．6 2? C．6 2 4 3? D．6 2 4 3?二 、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上）9．如图，已知正方体1 1 1 1ABCD ABCD?，,M N分别为1 1AD和1AA的中点，则下列四种说法中正确的是（）
A．1 //CM AC B．1BD AC?C．1BC与AC所成的角为60? D．CD与BN为异面直线10．在ABC?中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列关系式恒成立的是（）A．cos cosc a B b A? ? ? ? B．22sin 1 cos2A B C? ? ?C．? ?2 2 cos cosa b c a B b A? ? ? ? ? ? D．tan tantan 1 tan tanA BC A B?? ?11．如图，在正四棱锥S ABCD-中，, ,E M N分别是, ,BC CD SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论恒成立的是（）
A．EP AC? B．EP//BD C．EP// SBD平面D．SEP AC?平面1 2．如图，在正方体1 1 1 1ABCD ABCD-中，M、N分别为正方形ABCD、1 1BBCC的中心，则下列结论正确的是（）A．平面1DMN与1 1BC的交点是1 1BC的中点B．平面1DMN与BC的交点是BC的三等分点C．平面1DMN与AD的交点是AD的三等分点D．平面1DMN将正方体1 1 1 1ABCD ABCD-分成的两部分的体积之比
为1:1三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．在ABC?中，若4, 7AB AC= =，BC边的中线72AD=，则BC=______．
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14．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为3，高为1，E和F是底面圆周上两点，PEF?面积的最大值为______．15．正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为．16．过正方体1 1 1 1ABCD ABCD?顶点A作平面?，使/ /?平面1 1ABCD，1 1AD和1 1DC的中点分别为E和F，则直线EF与平面?所成角为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示．
（1）求此几何体的表面积；（2）如图，点,P Q在几何体的轴截面上，P为所在母线中点，Q为母线与底面圆的交点，求在几何体侧面上，从P点到Q点的最短路径长．18．（本题满分12分）在ABC?中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，cos cos 3 cosb A a B c A? ?．（1）求cosA；（2）若2a?，求ABC?面积的最大值．
19．（本题满分12分）已知正三棱柱1 1 1ABC ABC?中，2AB?，M是1 1BC的中点．（1）求证：1//AC平面1AMB；（2）点P是直线1AC上的一点，当1AC与平面ABC所成的角的正切值为2时，求三棱锥1P AMB?的体积．
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20．（本题满分1 2分）在ABC?中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos cosb A a B b c? ? ?．（1）求A；（2）若点D在BC边上，且2CD BD?，3cos 3B?，求tan BAD?．21．（本题满分12分）在四棱锥P ABCD?中，90ABC ACD? ?? ? ?，30BCA CDA? ?? ? ?，PA?平面ABCD，E，F分别为PD，PC的中点，2PA AB?．（1）求证：平面PAC?平面AEF；
（2）求二面角E AC B? ?的余弦值．22．（本题满分12分）如图，在一条东西方向的海岸线上的点C处有一个原子能研究所，海岸线北侧有一个小岛，岛上建有一个核电站.该岛的一个端点A位于点C的正北方向4 3km处，另一个端点B位于点A北偏东30°方向，且与点A相距10km，研究所拟在点C正
东方向海岸线上的P处建立一个核辐射监测站．(1)若CP=4km，求此时在P处观察全岛所张视角∠APB的正切值；(2)若要求在P处观察全岛所张的视角最大，问点P应选址何处？
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