湖北 省 武汉 市 2023 届高三 二月调考
公式： 727 时间： 2023-02-16 09:21
原试卷名： 武汉市 2023 届高中毕业生二月调研考试 (2023.2.14)
一、选择题 ： 本题共 8 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 40 分 ． 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符
合题目要求的 ．
1． 已知集合 {2,3,4,5,6}A= ， 2{ | 8 1 2 0}B x x x= ? + ?， 则 RAB?=( )
A． {2,3,4,5} B． {2,3,4,5,6} C． {3,4,5} D． {3,4,5,6}
【 答案 】 C
【 解 析 】 { | 2B x x=?或 6}x? ， (2,6)RB= ， 故 {3, 4,5}RAB?= ．
2． 若虚数 z 使得 2zz+ 是实数 ， 则 z 满足 ( )
A． 实部是 12? B． 实部是 12 C． 虚部是 12? D． 虚部是 12
【 答案 】 A
【 解 析 】 设 z a bi=+ ( 0)b? ，
故 2 2 2 2z z a b a b i a b i+ = ? + + +22( ) ( 2 1 ) Ra a b a b i= ? + + ? ? ?，
? 20ab b+= ， 由 0b? 得 12a? =? ．
3． 平面向量 ( 2, )ak=? ， (2,4)b= ， 若 ab⊥ ， 则 ||ab?=( )
A． 6 B． 5 C． 26 D． 25
【 答案 】 B
【 解 析 】 4 4 0a b k? = ? = ， ? 1k= ， ? ( 4, 3)ab? = ? ? ， 22| | ( 4 ) ( 3 ) 5ab? = ? + ? =．
4． 南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献 ， 他的著名研究成果“杨辉三角”记录于
其重要著作《详解九章算法》 ， 该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列 ． 以高阶等差数列
中的二阶等差数列为例 ， 其特点是从数列中的第二项开始 ， 每一项与前一项的差构成等差数列 ． 若
某个二阶等差数列的前 4 项为 ： 2， 3， 6， 11， 则该数列的第 15 项为 ( )
A． 196 B． 197 C． 198 D． 199
【 答案 】 C
【 解 析 】 法 1： (不 完 全 归 纳 法 ) 1 2a= ， 211aa=+， 3113aa= + + ， 411 3 5aa= + + + ，
依 次 类 推 ， 15 1 (1 3 5 27 )aa= + + + + +21 14 198a= + = ．
法 2： (累 加 法 ) 211aa?=， 323aa?=， 3 2 2 1( ) ( ) 2a a a a? ? ? =，
由 题 意 知： 1 1 2( 1 ) 2 1nna a n n+ ? = + ? = ?，
累加得 ： 1 1 3 5 ( 2 3 )na a n? = + + + + ?1 (1 2 3)2n n?= + ? 2 21nn= ? + ，
? 2 23na n n= ? + ． ? 15 198a = ．
法 3： (待 定 系 数 法 )设 2na An Bn C= + +，
? 24 2 3
9 3 6
A B C
A B C
A B C
+ + =??
+ + =??
+ + =?
1
2
3
A
B
C
=??
? =???
=?
， ? 2 23na n n= ? + ． ? 15 198a = ．
5． 已知函数 1,()
2,xx x afx xa+??= ? ??
， 若 ()fx的值 域是 R ， 则实数 a 的取值范围是 ( )
A． ( ,0]?? B． [0,1] C． [0, )+? D． ( ,1]??
【 答案 】 B
【 解 析 】 21a a?+， 0a= 或 1a= 时取等 号 ， 作 函 数 1yx=+与 2xy= ，
如 图 ， 两 个 函 数 的 交 点 为 (0,1) ， (1,2) ， 作 直 线 xa= 与 上 述 两 函 数 相 交 ，
即 得 分 段 函 数 ()fx， 其 值 域 为 R ， ?01a??．
6． 某车间需要对一个圆柱形工件进行加工 ， 该工件底面半径 15cm ， 高 10cm ， 加工方法为在底面
中心处打一个半径为 rcm 且和原工件有相同轴的圆柱形通孔 ． 若要求工件加工后的表面积最大 ， 则
r 的值应设计为 ( )
A． 10 B． 15 C． 4 D． 5
【 答案 】 D
x
y
x = a
–1 1
1
2
O
A
【 解 析 】 法 1： 表面积的增量 ： 222 10 2 2 ( 10 )S r r r r? ? ?? = ? ? = ?， 当 5r= 时取最大 ；
法 2： 表 面 积 222 (1 5 ) 2 (1 5 ) 1 0S r r??= ? + + ?2 (15 )(25rr?= + ?
21 5 2 52 ( ) 8 0 02rr??+ + ??=， 当且 仅 当 15 25rr+ = ? 时 ， 即 5r= 取 等 号 ．
7． 已知函数 ( ) sin( )f x A x??=+的部分图象如图所示 ， 其中 0A? ， 0?? ， 02? ?? ? ? ． 在已知
2
1
xx 的条件下 ， 则下列选项中可以确定其值的量为 ( )
A． ? B． ? C． ?? D． sinA ?
【 答案 】 B
【 解 析 】 1
2
22xk? ? ?? ? ? ?+=?? + = +? ， ? 2
1
2 2kx? ? ????? =? ． 该 可 以 解 出 ? 的 值 ．
8． 设 A ， B 是半径为 3 的球体 O 表面上两定点 ， 且 60AOB? = ? ， 球体 O 表面上动点 P 满足
2PA PB= ， 则点 P 的轨迹长度为 ( )
A． 1211
11?
B． 4 15
5 ?
C． 6 14
7 ?
D． 1213
13 ?
【 答案 】 D
【 解 析 】 法 1： 由空间中动点 P 满足 2PA PB= 的点的集合为阿氏球面 ，
(即将下图的阿氏圆 S 以 AB 为轴旋转一周得到的球面 ，
其中圆 S 以线段 12PP 为直径 ， 1| | 1BP= ， 2| | 3BP= )，
则所求轨 迹为阿氏球面与球面 O 的交线圆，从而以 O 为圆心 ， 3为半径 的圆与以 S 为圆心 ，
2 为半径的圆的公共弦长的一半即为所求 交线圆的半径 ，
圆心距 22| | | 0 | | | 2 | 0 | | | co sO S A A S A A S O A S= + ? ? ?13= 2223=+，
?公共弦长一半为 6 1313r= ， 所求轨迹长度为 6 132 13?? 12 1313 ?= ．
法 2： 记 ( , , )Px yz ， (0,0,0)O ， (3,0,0)A ， 3 3 3( , ,0)
22B
，
由 2 2 2
2 2 2 2 2 2
9
3 3 3( 3 ) 4 [ () )]
22(
x y z
x y z x y z
? + + =?
? ? + + = ? + ? +?
?
，
得 ： 2 3 9 0xy+ ? = ， O 到上述直线的距 离 913d= ，
?截面圆的半径 22r R d=? 81 69 13
13= ? =
，
?截面圆的周长为 122 1313r??= ．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求 ． 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 ．
9． 若椭圆 221
2xymm+=+ ( 0)m?
的某两个顶点间的距离为 4， 则 m 的可能取值有 ( )
A． 5 B． 7 C． 2 D． 2
【 答案 】 BCD
【 解 析 】 ① 长 轴 的 长 为 4， 2224am= + = ， 2m= ；
② 短 轴 的 长 为 4， 224bm==， 2m= ；
③ 长 轴 端 点 到 短 轴 的 端点 为 4， 即 2224mm+ + = ， ? 7m= ．
10． 在一次全市视力达标测试后 ， 该市甲乙两所学校统计本校理科和文科学生视力达标率结果得到
下表 ：
定义总达标率为理科与文科学生达标人数之和与文理科学生总人数的比 ， 则下列说法中正确的有
A． 乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校
B． 两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率
C． 若甲校理科生和文科生达标人数相同 ， 则甲校总达标率为 65%
D． 甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率
【 答案 】 ABD
【 解 析 】 对于 A 选项 ， 由表 格可 知 ， 乙校的理科生达标率为 65% ，
甲校的理科生达标率为 60% ； 65% 60%? ．
乙校的文科生达标率为 75% ， 甲校的文科生达标率为 70% ； 75% 70%? ．
?乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校 ， 故选项 A 正确 ．
对于 B 选项，由表格可知 ， 甲校的文科生达标率为 70% ， 甲校的理科生达标率为 60% ；
70% 60%? ． 乙校的文科生达标率为 75% ， 乙校的理科生达标率为 65% ； 75% 65%? ．
?两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率 ， 故选项 B 正确 ．
对于 C 选项 ， 设甲校理科生达标人数为 x ， 则乙校理科生达标人数也为 x ；
则理科生总人数为 560% 3xx?=， 文科生总人数为 1070% 7xx?=，
?甲校总达标率为 2 100%5 10
27
x
xx?+ 64.6% 65%??
， 故选项 C 错 误 ．
对于 D 选项 ， 由于甲乙两校理科生和文科生人数末知 ，
?假设甲校理科生为 x ， 假 设 甲校 文科生为 10x ，
假设乙校理科生为 10x ， 假设乙校文科生为 x ．
则此时甲校的总达标率为 0 .6 7 1 0 0 % 6 9 .1 %10xxxx+ ??+ ；
则此时乙校的总达标率为为 6 .5 0 .7 5 1 0 0 % 6 5 .9 %10xx+ ??+ ．
此时 69.1% 65.9%? ． ?甲校的总达标率可能高干乙校的总达标率 ， 故选项 D 正确 ．
11． 已知离散 型随机变 量 X 服从二项分布 ( , )Bnp ， 其中 Nn? ， 01p??， 记 X 为奇数的概率为
a ， X 为偶数的概率为 b ， 则下列说法中正确的有 ( )
A． 1ab+= B． 12p= 时 ， ab=
C． 10 2p?? 时 ， a 随着 n 的增大而增大 D． 1 12 p??时 ， a 随着 n 的增大而减小
【 答案 】 ABC
【 解 析 】 对于 A 选项 ， 由概率的基本性质可知 ， 1ab+= ， 故选项 A 正确 ．
对于 B 选项 ， 由 12p= 时 ， 离散型随机变量 x 服从二项分布 1( , )2Bn ，
则 11( ) ( ) ( )22k k n k
nP X k C ?== ( 0,1, 2, 3 , )kn= ??
，
? 1 3 51( ) ( .)2 n
n n na C C C= + + + ? ?111( ) (2)22nn?==
；
0241( ) ( )2 n n n nb C C C= + + + ?111( ) (2)22nn?==． ?ab= ； 故选项 B 正确 ．
对于 C， D 选项 ， [( 1 ) ] [( 1 ) ]
2nnp p p pa ? + ? ? ?= 1 (1 2 )2 np??=
，
当 10 2p??时 ， 1 (1 2 )
2 npa ??=
为正项为单调递增的正项等比数列 ，
故 a 随着 n 的增大而增大 ， 故选 项 C 正确 ．
当 1 12 p??时 ， (1 2 )np? 为正负交替的交错数列 ， 故选项 D 错 误 ．
12． 已知函数 ( ) sin lnf x x x=+， 将 ()fx的所有极值点按照由小到大的顺序排列 ， 得到数列 {}nx ，
对于正整数 n ， 则下列说法中正确的有 ( )
A． ( 1) nn x n??? ? ? B． 1nnxx?+ ??
C． (2 1){| |}2
n nx ???
为递减数列 D．
2 ( 4 1 )( ) 1 ln 2n nfx ??? ? +
【 答案 】 AC
【 解 析 】 对 ()fx进行分析可知 ， 定义域为 0x? ， 求导 1( ) cosf x x x? = + ( 0)x? ；
考虑 cosyx= 和 1y x=? 在 0x? 时的图象交点问题 ， 如图所示 ，
由图可知 ( 1) nn x n??? ? ? ． 故选项 A 正确 ．
由图可知 1nnxx?+ ??， 故选项 B 错 误 ．
对于 C 选项 ， (2 1)||2
n nx ??? | ( ) |2nxn??= ? ?
的意义是 nx 与 2n ??? 两个数字之间的差 ，
根据 图象 cosyx= 和 1y x=? 在 0x? 时的图象交点的横坐标 nx 与 2n ??? 之间的差越来越小 ，
? (2 1){| |}2
n nx ???
为递减数列 ． 故选项 C 正确 ．
对于 D 选项 ， 由图可知
2 ( 4 1 )( 2 1 ) 2n nnx ?? ?? ? ?
，
且在 ( 4 1)( 2 1) 2nnx ?? ?? ? ? 时 ， 1cosx x?? ， 即 ( ) 0fx??，
?
2 ( 4 1)( ) ( )2n nf x f ??? (4 1)1 ln 2n ??= ? +
． 故选项 D 错 误 ．
三、填空题 ： 本题共 4 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 20 分 ．
x
y
O
13．锐角 ? 满足 1sin( )
43? ??=，则 cos2?=
________．
【 答案 】 42
9
【解析】由已知可得 (0, )2??? ， 又 1sin( ) 043? ?? = ?， ? ( ) (0, )4? ???? ．
解得 344x??? ? ? ， ? (0, )4??? ． ? 2 (0, )2??? ．
1sin( )43? ??=展开得 1si n co s co s si n4 4 3?????=， 即 21(cos si n )23???=．
? 2cos sin 3???=； 两边平方得 21 sin2 9??=； 解得 7sin2 9?= ；
又 2 (0, )2??? ， ? 2 42c o s 2 1 ( si n 2 )
9??= ? =
．
14．若两条直线 1l ： 3y x m=+， 2l ： 3y x n=+与圆 22 30x y x y k+ + + + =的四个交点能构成矩形，
则 mn+=_________．
【 答案 】 8
【 解 析 】 由直线 1l 与直线 2l 到圆心的距离相等 ，
即直线 3 2mnyx+=+ 经过圆心 )31,2( 2??， 得 8mn+= ．
15．已知函数 1() xxf x e e ax?= ? ?有两个极值点 1x 和 2x ，若 12( ) ( ) 4f x f x+ = ?，则实数 a=
______．
【 答案 】 4
【 解 析 】 法 1： 1() xxf x e e a?? = + ?可得 ( ) 0fx?=． 即 1 0xxe e a?+ ? = ， 等式两 边乘以 xe ，
可得 2( ) 0xxe ae e? + =， 由韦达定理可得 1 2 1 2x x x xe e e e+==． ? 121xx+=．
1 1 2 2111 2 1 2( ) ( ) x x x xf x f x e e ax e e ax??+ = ? ? + ? ?1 2 2 112()x x x xe e a x x e e= ? ? + ?a=? ，
? 4a? =? ． 即 4a= ．
法 2： 注意 1() xxg x e e ?=? ， ( ) (1 ) 0g x g x+ ? =
?若 12( ) ( ) 4f x f x+ = ?， 则 121xx+=，
? 1 2 1 1( ) ( ) ( 1 ) 4f x f x ax a x a+ = ? ? ? = ? = ?， 4a?=．
16． 设 F 为双曲线 E ： 221xy
ab?=( 0, 0)ab??
的右焦点 ， A ， B 分别为双曲线 E 的左右顶点 ，
点 P 为双曲线 E 上异于 A ， B 的动点 ， 直线 l ： xt= 使得过 F 作直线 AP 的垂线交直线 l 于点 Q 时
总有 B ， P ， Q 三点共线 ， 则 ta 的最大值为 ________．
【 答案 】
【 解 析 】 由题意做出下图 ， 由双曲线的第三定义可知 ， 22
21AP PB bk k e a? = ? =
；
又 1PA FQkk? =? ， ? 2
2PBFQkbka=? tcta?=?
， ? 22
2t ac c aac+?= 2 5( ) 1 4aacc= ? + + ?
．
法 2： 取 1a= ， 2211
1P A P BP A Q FK K e cKK???? ? = ? = ???? =
， tantan QBFQFB?? 1ctt?=? 2 1PB
QF
K cK= = ?? ，
? 2
2 1 1 1 51 ( )24ct cc?= + = ? ? +
， 当 2c= 时 ， t 取最大值 54 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分 ． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ．
17． (10 分 )记数列 {}na 的前 n 项和为 nS ， 对任意正整数 n ， 有 2 nnS na= ， 且 2 3a= ．
(1)求数列 {}na 的通项公式 ；
(2)对所有正整数 m ， 若 12mkkaa+?? ， 则在 ka 和 1ka+ 两项中插入 2m ， 由此得到一个新数列
{}nb ， 求 {}nb 的前 40 项和 ．
【 解 析 】 (1)由 2 nnS na= ， 则 112 ( 1)nnS n a++=+ ， 两式相减得 ： 112 ( 1)n n na n a na++= + ?．
整理得 ： 1( 1) nnn a na+?=， 即 2n? 时 ， 1 1n
n
a nan+ = ? ．
? 2n? 时 ， 13
21 2 2nnn a a aaaa a a???= ? ?? ? ?1 2 2 32 3 1nn??= ? ??? ?3( 1)n=?
．
又 1n= 时 ， 112aa= ， 得 1 0a= ， 也满足上式 ． 故 3( 1)nan=?．
(2)由 40 117a = ， ? 674022a??．
又 634 99 2a =?， ?{}nb 前 40 项中有 34 项来自 {}na ．
故 1 2 40b b b+ +?+ 1 2 61 2 34( ) ( 2 2 2 )a a a= + + ? + + + + ? +
61 3 43 4 ( ) 2 ( 2 1)2 2 1aa+ ?=+ ?1683 126 1809= + = ．
18． (12 分 )如图，四棱台 1 1 1 1ABCD A B C D? 的下底面和上底面分别是边长为 4 和 2 的正方形，侧棱
1CC 上点 E 满足 1
1
13CECC= ．
(1)证明：直线 1 //AB 平面 1ADE ；
(2)若 1CC⊥ 平面 ABCD ，且 1 3CC= ，求直线 1BB 与平面 1ADE 所成角的正弦值．
【 解 析 】 (1)延长 1DE和 DC 交于点 M ， 连 MA 交 BC 于点 N ， 连 1DN ．
由
1 12CECE=
， 故
1112CDCM=
， ? 4CM AB== ， 即 N 为 BC 中点 ．
此时 1 1 1 1// //A D B C BN==， 故四边形 11ABND 为平行四边形 ． ? 11//AB DN ，
又 1DN? 平面 1ADE ， 1AB?? 平面 1ADE ． ? 1 //AB 平面 1ADE ．
(2)以 C 为原点 ， CD ， CB ， 1CC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴 ，
则 (0,4,0)B ， 1(0,2,3)B ， (4,4,0)A ， 1(2,0,3)D ， (0,0,2)E ．
? 1 (0, 2,3)BB =? ， 1 ( 2, 4,3)AD = ? ? ， ( 4, 4,2)AE = ? ? ．
设平面 1ADE 的法向量 ( , , )n x y z= ，
由 1 0
0
n AD
n AE
? ?=??
?=??
， 得 2 4 3 0
4 4 2 0x y zx y z? ? + =??? ? + =?
，
取 (1, 2, 2)n= ? ? ， 故所求角的正弦值为 1
1
| | | 4 6 | 2 1 339| | | | 9 1 3n B Bn B B??==? ?．
?直线 1BB 与平面 1ADE 所成角的正弦值为 21339 ．
19． (12 分 )在 ABC? 中， 2AB= ， D 为 AB 中点， 2CD= ．
(1)若 2BC= ，求 AC 的长； (2)若 2BAC BCD? = ? ，求 AC 的长．
【 解 析 】 (1)法 1： 在 BDC? 中 ，
2 2 2 2c o s 24B D C D B CB D C B D C D+?? = =?． 2c o s c o s 4A D C B D C? = ? ? = ?，
在 ADC? 中 ， 2 2 2 2 c o s 4A C A D C D A D C D A D C= + ? ? ? ? =， ? 2AC= ．
法 2： 由 中 线 定 理 ： 2 2 2 222C A C B C D B D+ = +， 得 2AC= ．
(2)设 AC x= ， BCy= ．
由正弦定理 ， 在 ADC? 和 BDC? 中 ， si n si n2BAC AD Cx??= ， si n si n1BC D BD Cy??= ．
又 s in s inAD C BD C? = ?， 得 sin 2
sin BAC yBCD x? =?
．
由余弦定理 ， 在 BDC? 中 ， 2 21c o s
22yBCD y+??=
．
由 2BAC BCD? = ? ， 有 s in 2 s in c o sB A C B C D B C D? = ? ?．
? 22 2 12 22yyx y+?=? ， 整理得 ： 222 ( 1)y x y=+． ①
又由 c o s c o sA D C B D C? = ? ?， 221 2 1 2
2 2 2 2xy+ ? + ?=?
， 整理得 ： 226xy+=． ②
联立 ① ② 得 ： 322 7 12 0x x x? ? + =． 即 2( 3)( 4 ) 0x x x? + ? =．
又 2 1 2 1x? ? ? +， 故 1 17
2x ?+=
． ? 1 17
2AC ?+=
．
20． (12 分 )口袋中共有 7 个质地和大小均相同的小球 ， 其中 4 个是黑球 ， 现采用不放回抽取方式每
次从口袋中随机抽取一个小球 ， 直到将 4 个黑球全部取出时停止 ．
(1)记总的抽取次数为 X ， 求 ()EX ；
(2)现对方案进行调整 ： 将这 7 个球分装在甲乙两个口袋中 ， 甲袋装 3 个小球 ， 其中 2 个是黑球 ；
乙袋装 4 个小球 ， 其中 2 个是黑球 ． 采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球 ， 当甲袋
的 2 个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取 ， 直到将乙袋的 2 个黑球也全部取出后停
止 ． 记这种方案的总抽取次数为 Y ， 求 ()EY 并 从实际意义解释 ()EY 与 (1)中的 ()EX 的大小关系 ．
【 解 析 】 (1)X 可能取值为 4， 5， 6， 7．
33
47 1( 4 ) 35CPX C= = =
； 31
47 4( 5) 35CPX C= = =
； 35
47 10( 6 ) 35CPX C= = =
；
36
47 20( 7 ) 35CPX C= = =
； 故 1 4 1 0 2 0 3 2( ) 4 5 6 73 5 3 5 3 5 3 5 5EX = ? + ? + ? + ? =．
(2)Y 可能取值为 4， 5， 6， 7， 设甲袋和乙钙抽取次数分别为 1Y 和 2Y ，
12( 4 ) ( 2 ) ( 2 )P Y P Y P Y= = = =1122
34
CCCC=? 118= ；
1 2 1 2( 5) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 2 )P Y P Y P Y P Y P Y= = = = + = =1 1 1 11 2 2 12 2 2 2
3 4 3 4
C C C CC C C C= ? + ? 418= ；
1 2 1 2( 6 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 3 )P Y P Y P Y P Y P Y= = = = + = =11 1 131 2 22 2 2 2
3 4 3 4
CC C CC C C C= ? + ? 718= ；
11 32
12 2234( 7 ) ( 3 ) ( 4 ) CCP Y P Y P Y CC= = = = = ?618=
；
1 4 7 6( ) 4 5 6 7 61 8 1 8 1 8 1 8EY = ? + ? + ? + ? =，
在将球分装时，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，
若此时甲袋中还有其它球，则该球的干扰作用已经消失，
?同样是要取出 4 个黑球，调整后的方案总抽取次数的期望更低 ．
21． (12 分 )过坐标原点 O 作圆 C ： 22( 2) 3xy+ + = 的两条切线 ， 设切点为 P ， Q ， 直线 PQ 恰为抛
物线 E ： 2 2 ( 0)y px p=?的准线 ．
(1)求抛物线 E 的标准方程 ；
(2)设点 T 是圆 C 上的动点 ， 拋物线 E 上四点 A ， B ， M ， N 满足 ： 2TA TM= ， 2TB TN= ，
设 AB 中点为 D ． ①求直线 TD 的斜率 ； ②设 TAB? 面积为 S ， 求 S 的最大值 ．
【 解 析 】 (1)设直线 PQ 与 x 轴交于
0( ,0)2pP ?
，
由几何性质 ： 2 0| | | | | |CP CP CO=?． 即 ： 3 ( 2) 22p= ? + ? ， 解得 ： 1p= ．
故抛 物线 E 的标准方程为 ： 2 2yx= ．
(2)设 00( , )Tx y ， 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ．
① 由题意 ， TA 中点 M 在抛物线 E 上 ， 即 20 1 0 1( ) 222y y x x++=? ，
又 2112yx= ， 将 21
1 2yx=
代入 ， 得 ： 221 0 1 0 02 4 0y y y x y? + ? =．
同理 ： 222 0 2 0 02 4 0y y y x y? + ? =． 有 1 2 0
21 2 0 024y y yy y x y+=?? =??
，
此时 D 点纵坐标为 12
02yyy+ =
． ?直线 TD 的斜率为 0．
② 221 2 1 2
24x x y y++= 21 2 1 2( ) 24y y y y+?= 200342yx?=
，
故点 200
034( , )2yxDy?
， 此时
121 | | | |2S TD y y= ? ?
．
200
034| | | |2yxTD x?=?2003 | 2 |2 yx=?
.
21 2 1 2 1 2| | ( ) 4y y y y y y? = + ?2008( 2 )yx=?， 230032 ( 2 )2S y x= ? ?，
又点 T 在圆 C 上 ， 有 2200( 2) 3xy+ + = ， 即 220 0 041y x x= ? ? ?，
代入上式可得 ： 23
0032 ( 6 1 )2S x x= ? ? ? ? 23032 [ ( 3 ) 8 ]2 x= ? ? + +
，
由 02 3 2 3x? ? ? ? ? +， 故 0x=? 时 ， S 取到最大值 332 8 48
2 ?=
．
?S 的 最 大值为 48．
22． (12 分 )已知关于 x 的方程 ln 0ax x?=有两个不相等的正实根 1x 和 2x ， 且 12xx? ．
(1)求实数 a 的取值范围 ；
(2)设 k 为常数 ， 当 a 变化时 ， 若 12kxx 有最小值 e ， 求常数 k 的值 ．
【 解 析 】 (1)令 ( ) 0fx= ， 得 lnx ax = ．
设 ln() xFx x= ， 则 ()fx零点为函数 ()Fx 图象与直线 ya= 交点的横坐标 ．
21 ln() xFx x??=
， 令 ( ) 0Fx?=， 解得 xe= ．
0 xe?? 时 ， ( ) 0Fx??， ()Fx 单调递增 ； xe? 时 ， ( ) 0Fx??， ()Fx 单调递减 ．
又 0x→ 时 ， ()Fx→?? ； x→+? 时 ， ( ) 0Fx→ ；
函数 ()Fx 图象与直线 ya= 有两个交点时 ， 0 ( )a F e?? ． ?a 的取值范围是 1(0, )e ．
(2) (1) 0F = ， 由 (1)得 ： 121 x e x? ? ? ． 1
1
lnxa x= 2
2
lnxx= ， 22
11
lnlnxx= ，
设 2
1 ( 1)
x ttx =?， 则 1
1
ln lnlntxt x+= ． 即 1 lnln 1tx t= ? ， 2 lnln 1ttx t= ? ．
由 12kxx 有最小值 e ， 即
12 ( ) lnln ln 1k t tk x x t++= ?
有最小值 e ．
设 ( )ln() 1k t tgt t+= ? ( 1)t?
2
( 1 ) ln 1()
( 1 )
kk t t kt
gt t? + + ? + ?? = ?．
记 ( ) ( 1 ) l n 1kG t k t t kt= ? + + ? + ?，
21( ) 1kkGt tt+? = ? + + 2( 1)( )t t kt??=
．
记 ( ) ( 1 ) l n 1kG t k t t kt= ? + + ? + ?，
21( ) 1kkGt tt+? = ? + + 2( 1)( )t t kt??=
．
由 1t? ，
若 1k? ， 则 ( ) 0Gt??， ()Gt 递增 ， 此时 ( ) (1) 0G t G?=，
故 ( ) 0, ( )g t g t?? 递增 ， 此时 ()gt 在 (1, )+? 没有最小值 ， 不符合题意 ．
若 1k? ， 则 ()Gt 在 (1, )k 递减 ， 在 ( , )k+? 递增 ．
又 (1) 0G = ， 且 t→+? 时 ， ()Gt→+? ， 故存在唯一 0 ( , )tk? +? ， 使得 0( ) 0Gt= ．
此时 01 tt?? 时 ， () 0Gt? ， () 0gt??， ()gt 递减 ；
0tt? 时 ， () 0Gt? ， ( ) 0gt??， ()gt 递增 ．
? 1k? 时 ， ()gt 有最小值 0()gt ．
由
00 0( 1 ) l n 1 0kk t t kt? + + ? + ? =
， 整理得 ： 00
0 0
ln 11
ln 1
ttk
t t
? + ?=
+?
．
此时 20 0 00
0 0
0
( ) l n ( l n )() 1
1 l n 1
k t t tgt
t t t
+==
? +?， 由题意 ： 0()gt e= ．
设 2()
1xxhx xe?= +?( 0)x?
，
2[ ( 2 ) 2 ]() ( 1 )
x
xx x e xhx xe
?
?+ + ??= +?
．
设 ( ) ( 2 ) 2xH x x e x?= + + ?， ( ) ( 1) 1xH x x e?? = ? + +．
设 ( ) ( )u x H x=? ， ( ) 0xu x xe?? = ? ， 故 ()Hx? 递增 ， ( ) (0) 0H x H? ? ? =．
此时 ()Hx递增 ， 有 ( ) (0) 0H x H?=， 此时 ( ) 0hx??．
又易证 ， 当 0x? 时 ， 10xxe?+ ? ? ， 故 ()hx在 (0, )+? 递增 ．
由 (1)he= 知 ， ()hx e= 的唯一解是 1x= ． 故 0()gt e= 的唯一解是 0ln 1t = ， 即 0te= ．
综上所述 ： 200
0 0
ln 1 21
ln 1
ttk e e
t t
? + ?= = ?
+?
．
浙江 省 杭州 市 2023 届高三 第二次模拟
公式：时间： 2023-04-07 15:44
原试卷名： 2022 学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测 (2023.4.6)
一、选择题 ： 本题共 8 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 40 分 ． 在每小题给出的四个选项中 ， 有一项是符合
题目要求的 ．
1． 设集合 2{ N | 4 }A x x x= ? ?， { | 3}B x y x= = ?， 则 RAB?=( )
A． [0,3] B． [1,3] C． {1,2} D． {1,2,3}
【答案】 C
【解析】 {1,2,3,4}A= ， { | 3}B x x=?， R { | 3}B x x=?， R {1,2}AB?=．
2． 设复数 z 满足 (1 ) 2z i i+ = ? + (i 是虚数单位 )， 则 ||z= ( )
A． 10
2
B． 54 C． 52 D． 5
2
【答案】 A
【解析】 法 1： 两边同时取模 | (1 ) | | 2 |z i i+ = ? +， | | 2 5z ?=， 10||
2z=
．
法 2： ( 2 )(1 )(1 )(1 )iiz ? + ?= +?
2131 ii+= ? 1322i=+
， 221 3 1 0| | ( ) ( )
2 2 4z = + =102=
．
3． 在数列 {}na 中 ， “数列 {}na 是等比数列”是“ 22 1 3a aa= ”的 ( )
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 数列 {}na 是等比数列 ? 22 1 3a aa= ；
反之不成立，例如 2130a a a= = = ，但不成等比数列；
4． 设平面向量 (1,3)a= ， | | 2b= ， 且 | | 10ab?= ， 则 (2 ) ( )a b a b+ ? ? =( )
A． 1 B． 14 C． 14 D． 10
【答案】 B
【解析】 | | 10a= ， 2 2 2| | 2a b a b a b? = + ? ?10 4 2 10ab= + ? ? =，得 2ab?= ；
22( 2 ) ( ) 2a b a b a a b b+ ? ? = ? ? ?20 2 4 14= ? ? = ．
5． 某兴趣小组研究光照时长 (h)x 和向日葵种子发芽数量 y (颗 )之间的关系 ， 采集 5组数据 ， 作如
图所示的散点图 ． 若去掉 (10,2)D 后 ， 下列说法正确的是 ( )
A． 相关系数 r 变小 B． 决定系数 2R 变小
C． 残差平方和变大 D． 解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强
【答案】 D
【解析】 (10,2)D 的位置偏 离 A ， B ， C ， E 的带状区域，
去掉后， 相关系数 r 变大，残差平方和变小，决定系数 2R 变大， 线性相关性增强 ．
6． 已知 1a? ， 1b? ， 且 2log log 4ba = ， 则 ab 的最小值为 ( )
A． 4 B． 8 C． 16 D． 32
【答案】 C
【解析】 法 1： 令 2lo g lo g 4bat==，则 2ta= ， 4ta= ， 4tb= ， 14tb= ，
故 114 4 4tt ttab += ? = ，由于 1122tt
tt+ ? ? =
， 故 24 16ab?=．
法 2： 2log log 4ba =
2 212log2 loga b?= 22lo g lo g 4ab? ? =
，
? 2 2 2lo g lo g lo gab a b=+ 222 lo g lo g 4ab? ? =，故 16ab? ．
7． 如图 ， 点 A ， B ， C ， M ， N 为正方体的顶点或所在棱的中点 ， 则下列各图中 ， 不满足直线
//MN 平面 ABC 的是 ( )
【答案】 D
【解析】 A： //DN AB ，故 //DN 平面 ABC ； //DM BC ，故 //DM 平面 ABC ；
于是 平面 //DMN 平面 ABC ， 得 //MN 平面 ABC ，故 A对 ；
B： // //MN ED AB ， 得 //MN 平面 ABC ， 故 B对 ；
C： // //EB FN AC ， 且 // //AE GD MN ，得 //MN 平面 AEBC ，故 C对 ；
D： A ， B ， C ， D ， M ， N 六个点共面构成一个正六边形，故 MN? 平面 ABC ，故 D错．
8． 已知 ( ) sin( )f x x??=+( 0)?? 满足 ( ) 14f ? = ， 5( ) 03f ? = 且 ()fx在 5( , )46??上单调 ， 则
? 的最大值为 ( )
A． 127 B． 1817 C． 617 D． 3017
【答案】 B
【解析】
m ax( ) 1 ( )4f f x? ==
， 故 ()fx在 5( , )46??上应是单调递减，
其区间长 度应小于半个周期，得 56 4 2T? ? ??? ? = ，解得 120 7??? ； （ ）
( ) si n ( ) 144f ? ?? ?= + =，知 1242k??? ? ?+ = +， ①
5( ) si n ( ) 033f ????= + =， 知 253 k ?? ??+= ， ②
上述两式相减得
211 2 1[( 2 ) ]1 7 2kk? = ? ?
， 12,Nkk +? ，
记 212k k k=? ，故 12 1()17 2k? =? ( N)k? ，
由 ()取 2k= ，得
max 1817? =
， 此时 取 1 0k= ， 2 2k= ， 417??= ，
当 5( , )46x ??? 时， 5( + , + )46x ??? ? ? ? ? ?+? 1 9 3( , ) [ , ]2 1 7 2 2? ? ? ?=?符合．
二、多项选择题 ： 本题共 4 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 20 分 ． 在每小题给出的四个选项中 ， 有多项符
合题目要求 ． 全部选对的得 5 分 ， 部分选对的得 2 分 ， 有选错的得 0 分 ．
9． 若直线 1y kx=+与圆 C ： 22( 2) 9xy? + =相交于 A ， B 两点 ， 则 AB 的长度可能等于 ( )
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
【答案】 CD
【解析】 直线 1y kx=+过定点 (0,1)P ，该点在圆的内部， 故 AB 最长为 圆的直径；
当 CP AB⊥ 时， AB 最短，由 | | 5CP= ，故 22m in 24AB R CP= ? =，即 46AB??．
10． 已知函数 ()fx ( R)x? 是奇函数 ， ( 2) ( )f x f x+ = ?且 (1) 2f = ， ()fx? 是 ()fx的导函数 ，
则 ( )
A． (2023) 2f = B． ()fx? 的周期是 4 C． ()fx? 是偶函数 D． (1) 1f?=
【答案】 BC
【解析】 ( 2 ) ( ) ( )f x f x f x+ = ? = ?，用 2x+ 替换上式的 x ，得 ( 2 2 ) ( 2 )f x f x+ + = ? +，
两式联立得 ( 4 ) ( 2 ) ( )f x f x f x+ = ? + =，故 ()fx的周期为 4T= ；
A： ( 2023 ) ( 1 ) (1 ) 2f f f= ? = ? = ?，故 A错；
B：对 ( 4) ( )f x f x+= 两边同时求导得 ( 4) ( )f x f x??+= ，故 B对；
C：对 ( ) ( )f x f x? = ? 两边同时求导得 ( ) ( 1) ( )f x f x??? ? ? = ?，于是 ( ) ( )f x f x???= ，故 C对；
D： ( 2) ( )f x f x+ = ?两边同时求导得 ( 2 ) ( ) ( 1 )f x f x??+ = ? ? ?，
令 1x=? ，得 (1) (1)ff??=? ，故 (1) 0f?=，故 D错．
11． 一口袋中有除颜色外完全相同的 3个红球和 2个白球 ， 从中无放回的随机取两次 ， 每次取 1个
球 ， 记事件 1A ： 第一次取出的是红球 ； 事件 2A ： 第一次取出的是白球 ； 事件 B ： 取出的两球同
色 ； 事件 C ： 取出的两球中至少有一个红球 ， 则 ( )
A． 事件 1A ， 2A 为互斥事件 B． 事件 B ， C 为独立事件
C． 2()5PB= D．
2 3( | ) 4P C A =
【答案】 ACD
【解析】
1 3()5PA=
，
2 2()5PA=
， 3 2 2 1 2() 5 4 5 4 5PB = ? + ? =， 2 1 9( ) 1 5 4 1 0PC ? ? =，
A：取出的 第一个 球要么红色， 要么白色，不可能同时发生，故 A对；
B：事件 BC 同时 发生，则取出的两个球均为红色，得 3 2 3 ( ) ( )5( 4 1 0)PB PCC BP?== ?，故 B错；
C：由上述计算知 C对；
D：
2 2 3 3() 5 4 1 0P A C = ? =
， 2
2 2()( | ) ()P A CP C A PA= 3 5 310 2 4= ? =
， 故 D对．
12． 如图圆柱内有一个内切球 ， 这个球的直径恰好与圆柱的高相等 ， 1O ， 2O 为圆柱上下底面的圆
心 ， O 为球心 ， EF 为底面圆 1O 的一条直径 ， 若球的半径 2r= ， 则 ( )
A． 球与圆柱的体积之比为 2:3
B． 四面体 CDEF 的体积的取值范围为 (0,32]
C． 平面 DEF 截得球的截面面积最小值为 45?
D． 若 P 为球面和圆柱侧面的交线上一点 ， 则 PE PF+ 的取值范围为 [2 2 5,4 3]+
【答案】 AD
【解析】 圆柱的底面半径为 2R= ，高 24HR==；
A：球的体 体积为 3
1 43VR?=
，圆柱的体积为 232 2V R H R??==，故 12: 2:3VV= ， 故 A对；
B：
11CD E F E CD O F CD OV V V??=+ 12 E CDOV?=
1
112 4 432 E C D Od →= ? ? ? ?
1
1 6 1 6 3 223 3 3E C D Od →= ? ? =．故 B错；
C：设截面圆的半径为 r ，球心 O 到截面 DEF 的距离为 d ，
则 2 2 2 4r d R+ = = ，要使 r 最 小 ，则 d 最 大；
过 O 作 1OG DO⊥ 于 G ， 2
11
OG ODOO OG= ，知 25OG= ，
故
max 25d =
， 22
min 164 5rd= ? =
， 2 165Sr??==，故 C错；
D： 易知 P 点在平面于圆 柱底面的大圆 O 上，过 P 作 PP?⊥ 底面圆 1O 于 P? ，连 接 EP? 、 FP? ，
则 EP EP??⊥ ， 记 EFP ???=，得 s in 4 s inEP EF ??? = ? =， c o s 4 c o sFP EF ??? = ? =，
2PP R?==，故 2 2 24 16 sinP E P E P P ???= + = +， 2 2 24 16 co sP F P F P P ???= + = +，
由 20 sin 1??易知 [2,2 5]PE? ，
法 1： 2224PE PF+=， 设 [2, 2 5]PE x=? ， 则 224PF x=?，
令 2( ) 24f x x x= + ?，
2( ) 1 24xfx x? =? ?
， 故 ( ) 0fx? = ，得 23x= ；
()fx在 (2,2 3) 上单调递增，在 (2 3,2 5) 上单调递减，
故 ( 2 ) ( 2 5 ) ( ) ( 2 3 )f f f x f= ? ?，即 2 2 5 ( ) 4 3fx+ ? ?，故 D正确；
法 2： 2224PE PF+=， 设 [2, 2 5]PE x=? ， PFy= ， z x y=+ ，
即 2224xy+=， (2,2 5)M ， (2 5,2)N ， 直线 l ： y x z=? + 与弧 MN 有公共点，
当直线 l 过点 M 与 N 时，得 min 2 2 5z =+ ， (请自己作平面圆及直线图形 )
当直线 l 与 弧 MN 相切 时，圆心 O 至直线距离为半 径 26，得 max 43z = ；
故 2 2 5 4 3P E P F+ ? + ?；
法 3： 224 16 sin 4 16 co sP E P F ??+ = + + +，
则 2 2 2( ) 2 4 2 ( 4 1 6 si n ) ( 4 1 6 co s )P E P F ??+ = + + +
令 216 sin [0,16 ]t ?=?， ( ) (4 )(20 )g t t t= + ? 24 2 0( ) 1 4 42tt+ + ??=，
2( ) 16 80g t t t= ? + +， 其对称轴为 8t= ，故当 0t= 或 16时， min( ) 80gt = ；
故 22( ) 24 2 144 48 ( 4 3 )P E P F+ ? + = =，且 22( ) 24 2 80 24 8 5 ( 2 2 5 )P E P F+ ? + = + = +，
于是 2 2 5 4 3P E P F+ ? + ?．
三、填空题 ： 本大题共 4 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 20 分 ．
13． 在 1()nx
x? 的展开式中 ， 只有第
5项的二项式系数最大 ， 则展开式中含 2x 项的系数为
______．
【答案】 70
【解析】 只有第 5项的二项式系数最大，故 8n= ，
展开式的 通项为 388 2
1 8 81( ) ( 1 ) rr r r r rrT C x C xx ??+ = ? ? ? = ? ?
，
令 3822r?=，得 4r= ，故 4 4 2 258( 1 ) 70T C x x= ? ? ? =．
14． 已知 s in c o s 2 s in? ? ?+=， 2sin co s sin? ? ?= ， 则 224 co s 2 co s 2???=______．
【答案】 0
【解析】 s in c o s 2 s in? ? ?+=平方得 21 2 s in c o s 4 s in? ? ?+=，
上式联立 2sin co s sin? ? ?= 得 221 2 sin 4 sin??+=，降幂得 1 1 c o s 2 2 (1 c o s 2 )??+ ? = ? ?，
即 cos 2 2 cos 2??= ，故 224 co s 2 co s 2 0???=．
15． 费马定理是几何光学中的一条重要原理 ， 在数学中可以推导出圆 锥 曲线的一些光学性质 ． 例
如 ， 点 P 为双曲线 ( 1F ， 2F 为焦点 )上一点 ， 点 P 处的切线平分 12FPF? ． 已知双曲线 C ：
22142xy?=， O 为坐标原点 ， l 是点 10(3, )2P 处的切线 ， 过左焦点 1F 作 l 的垂线 ， 垂足为 M ，
则 ||OM= ______．
【答案】 2
【解析】 延长 2PF 、 1FM 交于点 N ，则 1PF PN= ， 2 2FN OM= ， (PM 三线合一 )，
故
2 1 211( ) ( ) 222O M P N P F P F P F a= ? = ? = =
． (参见 2023潍坊一模第 11题 )
16． 已知函数 2( ) 2 2xxf x e e x= ? +在点 00( , ( ))P x f x 处的切线方程为 l ： ()y g x= ， 若对任意
Rx? ， 都有 0( ) ( ( ) ( ) ) 0x x f x g x? ? ?成立 ， 则 0x= ______．
【答案】 ln2?
【解析】 法 1： (实际为函数的拐点，二阶导数等于 0，贯穿式的切线 )
2( ) 2 2 2xxf x e e? = ? +， 2( ) 4 2 2 ( 2 1 ) 0x x x xf x e e e e?? = ? = ? =，得 1ln ln 22x = =? ，即 0 ln2x =? ；
法 2： 先求函数 ()y f x= 在点 00( , ( ))P x f x 处的切线 l ： ()y g x= ，
2( ) 2 2 2xxf x e e? = ? +， 0020( ) 2 2 2xxk f x e e= ? = ? +
由直线的点斜式方程可知 l ： 0 0 0 022 00( ) ( 2 2 2 ) ( ) 2 2x x x xy g x e e x x e e x= = ? + ? + ? +，
0 0 0 0222 00( ) ( ) 2 2 [ ( 2 2 2 ) ( ) 2 2 ]x x x xxxf x g x e e x e e x x e e x? = ? + ? ? + ? + ? +
0 0 0 0 0 02 2 22 02 2 ( ) [ 2 2 ( ) ]x x x x x xxxe e e e x e e e e x= ? ? ? ? ? ? ?
令 0022( ) 2 2 ( )xxxxh x e e e e x= ? ? ?，则 0( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x h x? = ?；
对于 Rx?? ， 0( ) ( ( ) ( ) ) 0x x f x g x? ? ? ? 00( ) ( ( ) ( ) ) 0x h x h x? ? ? ? ?；
0022( ) 2 2 ( )xxxxh x e e e e x= ? ? ?，
0022( ) 2 2 2 ( )xxxxh x e e e e? = ? ? ?， 2 1( ) 4 2 4 ( )2x x x xh x e e e e?? = ? = ?，
令 ( ) 0hx?? = ， ln2x=? ， ()hx? 在 ( , ln2)??? 上递减， ( ln2, )? +? 上递增；
0021( l n 2 ) 2 ( )2 xxh e e? ? = ? ? ?0 212( )2xe=? ?
当 0 ln2x =? 时， ( ln2) 0h? ? = ，此时 ()y hx= 在 Rx? 递增，
故满足不等式 00( ) ( ( ) ( ) ) 0x x h x h x? ? ? ?；
当 0 ln2x ?? 时， ( ln2) 0h? ? ? ，当 x→?? ， ( ) 1hx?→， x→+? ， ( ) 0hx??，
令 ( ) 0hx?=，令 1xt= ， 2xt= ， 12ln2tt?? ? ， 1t ， 2t 满足方程 00222 2 2 ( ) 0xxxxe e e e? ? ? =，
()y hx= 在 1( , )xt? ?? ， 2( , )t +? 上递增， 12( , )tt 上递减．不满足条件，综上 0 ln2x =? ．
四、解答题 .
17． 在 ABC? 中 ， 内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， co s si n 02ACB ++=．
(1)求角 B 的大小 ；
(2)若 : 3:5ac= ， 且 AC 边上的高为 153
14
， 求 ABC? 的周长 ．
【解析】 si n si n22A C B?+?= cos2B= ， ? cos cos 02BB +=，
即 22 c o s c o s 1 022BB+ ? =，解得 1cos22B= 或 cos 12B=? ，
0 B ???， ? 0 22B ???，则 cos 02B? ，故 1cos22B= ，则 23B ?= ，故 23B ?= ．
(2)令 5 ( 0)c m m=?，则 3am= ，
由三角形面积公式，得 1 1 1 5 3s in
2 2 1 4ac B b=?
， ? 27bm= ，
由余弦定理可，得 2 2 2 2 co sb a c ac B= + ? ，则 4249 49mm= ，解得 1m= ，
从而 3a= ， 7b= ， 5c= ，故 ABC? 的周长为 15a b c+ + = ．
18． 设公差不为 0的等差数列 {}na 的前 n 项和为 nS ， 5 20S= ， 23 2 5a aa= ．
(1)求数列 {}na 的通项公式 ；
(2)若数列 {}nb 满足 1 1b= ， 1 ( 2 ) nannbb++= ， 求数列 2{}nb 的前 n 项和 nS ．
【解析】 (1)由题意，知 1
21 1 1
5 1 0 2 0( 2 ) ( ) ( 4 )ada d a d a d+=?? + = + +? ，
解得 1 0a= ， 2d= ； ? 22nan=?．
(2) 11 2nnnbb ?++=， ①
? 121bb+=，又 1 1b= ， ? 2 0b= ．
当 2n? 时， 1 22nnnbb? ?+= ， ②
① -②，得 2112nnnbb ?+??=，即 32 2nnnbb ???=( 3)n? ．
? 232 2 2 2 nnnbb ???=， 252 2 2 4 2 nnnbb ????=，…， 1422bb?=，
累加，得 1
22 2 (4 1)3 nnbb ?? = ?( 2)n?
， ? 1
2 2 (4 1)3 nnb ?=?( 1)n?
，
?数列 2{}nb 的前 n 和为
2 4 2 2 2 249 3 9nn nb b b+ + ?+ = ? ? ?
．
19． 在三棱 锥 S ABC? 中 ， 底面 ABC? 为等腰直角三角形 ， SAB SC B A B C? = ? = ?90=?．
(1)求证 ： AC SB⊥ ；
(2)若 2AB= ， 22SC= ， 求平面 SAC 与平面 SBC 夹角的余弦值 ．
【解析】 (1)设 AC 的中点为 E ，连结 SE ， BE ， AB BC= ， ? BE AC⊥ ，
在 SCB? 和 SAB? 中， 90SAB SCB? = ? = ?， AB BC= ．
? SCB SAB? ?? ， ?SA SC= ． ?SE AC⊥ ，
? AC⊥ 平面 SBE ， SB? 平面 SBE ， ? AC SB⊥ ．
(2)过 S 作 SD⊥ 平面 ABC ，垂足为 D ，连接 AD ， CD ， ?SD AB⊥ ，
AB SA⊥ ， ? AB⊥ 平面 SAD ， ? AB AD⊥ ，同理， BC CD⊥ ．
?四边形 ABCD 是边长为 2的正方形．
建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz? ，则 (2,0,0)A ， (2,2,0)B ， (0,2,0)C ， (0,0,2)S ，
? (0,2, 2)SC =?， ( 2,2,0)AC =? ， ( 2,0,0)BC =? ，
设平面 SAC 的法向量 1 1 1 1( , , )n x y z= ，则 1 1 1
1 1 1
2 2 0
2 2 0
n SC y z
n AC x y
? ? = ? =??
? = ? + =??
，
取 1 1x= ， 1 1y= ， 1 1z= ， ? 1 (1,1,1)n = ．
同理可得平面 SBC 的法向量 2 (0,1,1)n = ．
设平面 SAC 与平面 SBC 夹角为 ? ， ? 12co s | co s , |nn? = ? ? 12
22
| | 6| || | 3nnnn?==，
?平面 SAC 与平面 SBC 夹角的余弦值为 63 ．
20． 已知椭圆 C ： 221xy
ab+=( 0)ab??
． 的离心率为 3
2
， 左 ， 右顶点分别为 A ， B ， 点
P ， Q 为椭圆上异于 A ， B 的两点 ， PAB? 面积的最大值为 2．
(1)求椭圆 C 的方程 ；
(2)设直线 AP ， QB 的斜率分别为 1k ， 2k ， 且 1235kk= ． ①求证 ： 直线 PQ 经过定点 ． ②设
PQB? 和 PQA? 的面积分别为 1S ， 2S ， 求 12||SS? 的最大值 ．
【解析】 (1)知 3
2ca=
， 2ab= ， ? 2a= ， 1b= ， 3c= ，
?椭圆 C 的方程为 2 2 14x y+=．
(2)①设 11( , )Px y ， 22( , )Qx y ．
若直线 PQ 的斜率为 0，则点 P ， Q 关于 y 轴对称，则 AP BQkk=? ，不合题意；
?直线 PQ 的斜率不为 0，设直线 PQ 的方程为 x ty n=+( 2)n?? ，
则 2244xy
x ty n? +=? =+?
，得 2 2 2( 4 ) 2 4 0t y tny n+ + + ? =，
由 2216( 4 ) 0tn? = ? + ?，得 224tn+? ．
12 22 4tnyy t+=+
， 2
12 2 44nyy t ?= +
．
? 1 2 1
2 1 2
( 2)( 2)k x yk x y?= + 21
12
( 2)( 2)ty n yty n y+?= ++ 1 2 1
1 2 2
( 2 ) 5( 2 ) 3ty y n yty y n y+?==++ ．
2
1 2 1 24 ()2 nty y y yn?=+
，
?
2
1 2 11 2 1
2
1 2 2 1 2 2
4 ( ) ( 2 )
( 2 ) 2
4( 2 ) ( ) ( 2 )
2
n y y n y
ty y n y n
nty y n y y y n y
n
? + + ?
+? =
?++ + + +
1 2 1
1 2 2
2 ( 2 ) ( ) 22 ( 2 ) ( ) 2n n y y n yn n y y n y? + + ?=?+ ? + +2523nn?==+ ，
解得 12n=? ， ?直线过定点 1( ,0)2? ．
②
12 2 4tyy t+=+
，
12 2154( 4)yy t=? +
， 2 14 4t +? ．
?
1 2 1 21| | | |2S S y y? = ? 21 2 1 21 ( ) 42 y y y y= + ?
2
24 154tt += + 22 1( 2 ) 44t= ? ? ++ 154?
，当 0t= 时等号成立．
? 12||SS? 的最大值为 154 ．
21． 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型 ， 也是机器学习和人工智能的基石 ， 在强化学习、自
然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用 ． 其数学定义为 ： 假设我们的序列
状态是 … ， 2tX? ， 1tX? ， tX ， 1tX+ ,… ， 那么 1tX+ 时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 tX ， 即
1 2 1 1( , , , ) ( )|t t t t t tP X X X X P X X+ ? ? +?= ∣，现实生活中也存在着许多马尔科夫链 ， 例如著名的赌徒
模型 ．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏 ， 每一局赌徒暑赢的概率为 50% ， 且每局赌赢可以
赢得 1元 ， 每一局赌徒赌输的概率为 50% ， 且赌输就要输掉 1元 ． 赌徒会一直玩下去 ， 直到遇到
如下两种情况才会结束赌博游戏 ： 一种是手中赌金为 0元 ， 即赌徒输光 ； 一种是赌金达到预期的 B
元 ， 赌徒停止赌博 ． 记赌徒的本金为 A ( NA? ， )AB? ， 赌博过程如下图的数轴所示 ．
当赌徒手中有 n 元 (0 nB?? ， Nn? )时 ， 最终输光的概率为 ()Pn ， 请回答下列问题 ：
(1)请直接写出 (0)P 与 ()PB 的数值 ．
(2)证明 { ( )}Pn 是一个等差数列 ， 并写出公差 d ．
(3)当 100A= 时 ， 分别计算 200B= ， 1000B= 时 ， ()PA的数值 ，： 并结合实际 ， 解释当
B→? 时 ， ()PA的统计含义 ．
【解析】 (1)当 0n= 时，赌徒已经输光了，因此 (0) 1P = ．
当 nB= 时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率 ( ) 0PB= ．
(2)记 M ：赌徒有 n 元最后输光的事件， N ：赌徒有 n 元下一场赢的事件，
( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P M P N P M N P N P M N=+， 即 11( ) ( 1 ) ( 1 )22P n P n P n= ? + +，
? ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( )P n P n P n P n? ? = + ?， ?{ ( )}Pn 是一个等差数列．
设 ( ) ( 1)P n P n d? ? =，则 ( 1 ) ( 2 )P n P n d? ? ? =，…， (1) (0)P P d?=，
累加得 ( ) (0)P n P nd?=，故 ( ) (0)P B P Bd?=，得 1d B=? ．
(3)由 ( ) (0)P n P nd?=得 ( ) (0)P A P Ad?=，即 ( ) 1 APA B=? ．
当 200B= ， ( ) 50%PA= ，当 1000B= ， ( ) 90%PA= ，
当 B→? ， ( ) 1PA→ ，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会 100%的概率输光．
22． 已知函数 () x af x e x=?( R)a? ．
(1)讨论函数 ()fx零点个数 ；
(2)若 | ( ) | lnf x a x a??恒成立 ， 求 a 的取值范围 ．
【解析】 (1)由 ( ) 0fx= ，得 ( 0)xxe a x=?．
设 () xh x xe= ，则 ( ) ( 1) xh x x e? = + ，
?在 ( 1,0)? ， (0, )+? 上单调递增；在 ( , 1)??? 上单调递减， ?
m in 1( ) ( 1)h x h e= ? = ?
．
据此可画出大致图象如 图 ，
?①当 1a e?? 或 0a= 时， ()fx无零点；
②当 1a e=? 或 0a? 时， ()fx有一个零点；
③当 1 0ae? ? ? 时， ()fx有两个零点；
(2)①当 0a= 时， 0xe? ，符合题意；
(2)当 0a? 时，因 0x? ，则 0x ae x??，则 lnx ae a x ax? ? ?，即 1( ln 1)xe x ax? + ?，
设 1( ) ln 1m x xx= + ?，则
211()mx xx? = ? + 21xx?=
，
? ()mx在 (0,1) 上单调递减，在 (1, )+? 上单调递增． ? ( ) (1) 0m x m?=，
?当 0a? 时， 10 ( ln 1)xe x ax? ? + ?，
即 | ( ) | lnf x a x a??成立，即 0a? 合题意；
(3)当 0a? 时，由 (1)可知， () xh x a xe a? = ?，在 (0, )+? 上单调递增．
又 (0) 0h a a? = ? ?， ( ) ( 1) 0ah a a a e? = ? ?．
? 0 (0, )xa?? ，使 000( ) 0xh x a x e a? = ? =．
① 当 0(0, )xx? 时， 0xxe a?? ，即 0x ae x??，
设 ( ) l n 0xag x e a x ax= ? ? + ?，
则
2( ) 0xaag x exx? = ? ? ? ?
， ? ()gx在 0(0, )x 上单调递减，
? 0(0, )xx? 时， 00( ) ( ) lng x g x a x a? = ? +；
② 当 0( , )xx? +? 时， 0xxe a?? ，即 0x ae x??，
设 ( ) l n 0x at x e a x ax= ? ? + ?，
2() x aat x e xx? = + ?
2
2
xx e a axx+?= ，
令 2() xp x x e a ax= + ?， 0( , )xx? +? ，则 2( ) ( 2 ) xp x x x e a? = + ?，
又令 2( ) ( 2 ) xn x x x e a= + ?， 0( , )xx? +? ，
则 2( ) ( 4 2 ) 0xn x x x e? = + + ?，得 ()nx在 0( , )+? 上单调递增．
有 0( ) ( ) ( )p x n x n x? = ? 0200( 2 ) xx x e a= + ? 0 0ax a= + ? ，
得 ()px 在 0( , )x +? 上单调递增，有 020 0 0( ) ( ) 0xp x p x x e a a x a? = + ? = ?．则
2()( ) 0pxtx x? = ?
，得 ()tx在 0( , )x +? 上单调递增．
则 0( , )xx? +? 时， 00( ) ( ) lnt x t x a x a? = ? +．
又 0(0, )xx? 时， 00( ) ( ) lng x g x a x a? = ? +，
得当 0a? 时， | ( ) | lnf x a x a??时， 0ln 0a x a? + ? 00 xe? ? ? ，
由上可知 00 xa xe= ， () xh x xe= 在 (0, )+? 上单调递增，则此时 10 eae+?? ；
综上可知， a 的范围是 1( , )ee+?? ．
广东 省 深圳 市 2023 届高三 第一次模拟
公式： 889 时间： 2023-02-16 23:44
原试卷名： 2023 年深圳市高三年级第一次调研考试 (2023.2.15)
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 ． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的 ．
1．已知 i 为虚数单位， (1 ) 2iz+=，则 z= ( )
A． 1i+ B． 1i? C． 1i?+ D． 1i??
【 答案 】 B
【解析】 21z i= + 2(1 ) 12 i i?= = ? ．
2．满足等式 3{ 0 ,1} { R | }X x x x? = ? =的集合 X 共有 ( )
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
【 答案 】 D
【解析】 {0,1} {0, 1}X? = ?，故 1 X?? ，集合 X 的个数即为 {0,1} 的子集个数 4．
{0,1} 的子集为 ? ， {0} ， {1} ， {0,1} ，对应的 X 为 {1}? ， {0, 1}? ， {1, 1}? ， {0, 1}? ．
3．已知 ()fx为奇函数，且 0x? 时， ()xf x e= ，则 ()fe= ( )
A． e B． e? C． ee? D． ee??
【 答案 】 D
【解析】 ( ) ( ) ef e f e e?= ? ? = ?．
4．如图，一个棱长 1分米的正方体形封闭容器中盛有 V 升的水，若将该容器任意放置均不能使水
平面呈三角形，则 V 的取值范围是 ( )
A． 15( , )66 B． 12( , )33 C． 12( , )23 D． 11( , )62
【 答案 】 A
【解析】 当以最小水量形成最大三角形时，水面为正三角形，水量增加将破坏三角形水面，
水面刚好过正方体的 3个顶点，水面下方刚好 1个顶点，此时水量为 16 ；
当以最多水量形成最大的三角形时，水面为正三角形，水量增加，三角形水面变小，
水面下方有 4个顶点，水面 3个顶点，水面上方有 1个顶点，此时缺失的水量为 16 ，存量为 56 ，
故符合题意的水量范围是 15( , )66 ． (存 量 或 缺失 水 量 均 为 侧 棱 两 两 垂 直 的 正 三 棱 锥 )
5．已知 a ， b 为单位向量，且 |3 5 | 7ab?=，则 a 与 ab? 的夹角为 ( )
A． 3? B． 23? C． 6? D． 56?
【 答案 】 C
【解析】 2(3 5 ) 49ab?=， 即 229 30 25 49a a b b? ? ? + =，
又 221ab==， ? 12ab? =? ， 且 2 2 2( ) 2 3a b a a b b? = ? ? + =， 即 | | 3ab?= ；
2 ()c o s ,
| || |a a ba a b a a b??? ? ? = ?2
3 32
233a a b??= = =
， 则有 , 6a a b ?? ? ?= ．
6．将一个顶角为 120? 的等腰三角形 (含边界和内部 )的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构
成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操
作．如果这个操作过程无限继续下去 ，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的 Koch曲线，如图所
示．已知最初等腰三角形的面积为 1，则经过 4次操作之后所得图形的面积是 ( )
A． 1681 B． 2081 C． 827 D． 1027
【 答案 】 A
【解析】 最初的等腰三角形面积为 1，记为 0a ；操作一次后，面积变为原来的 23 ；……；
操作 n 次后，面积原为的
0 2()3 nnaa=?
，故 4次操作后 4
4 2 16()3 81a ==
．
7．安排 5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排 1名大学生，
则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为 ( )
A． 15 B． 310 C． 325 D． 625
【 答案 】 D
【解析】 问题等价于， 5个人分三组，每组至少 1人，求甲、乙分到同一组的概率．
分组分两类： 1 1 3++ 模式，共 35C ； 1 2 2++ 模式，共 152C? ；共有 31552 25CC+ ? = 种；
甲乙若位于 3人组，则有 13 3C= 种；甲乙两人独立成组，另 3人为 12+ 组，共 13 3C= 种；
故甲 乙位于同组共 6种，所求的概率为 625 ．
8．已知函数 ( ) 2 lnf x x=+ ， ()g x a x= ，若总存在两条不同的直线与函数 ()y f x= ， ()y gx=
图象均相切，则实数 a 的取值范围为 ( )
A． (0,1) B． (0,2) C． (1,2) D． (1,)e
【 答案 】 B
【解析】 法 1： (大概估计法 )当 ()fx与 ()gx有两个交点时，
可在两个交点之间的 ( ) 2 lnf x x=+ 上找到两点作切线，
如下图，此两条切 线 分别与 ()g x a x= 相切于两交点之外部分；
当 ()fx与 ()gx只有一个交点或无交点时，则无法作出两条切线 (如下右图 )；
1()fxx? = ， ()2agx x? = ，当 ()fx与 ()gx只有一个交点时，有公有切线，
设切点为 ( , )mn ，则 2 lnmn+=， n a m= ， 1 2am m= ，解得 1m= ， 2n= ， 2a= ；
当 2a? 时，当 ()fx与 ()gx无交点，当 02a??时有两个交点．
法 2： 1()fxx? = ， ()2agx x? = ，
设与函数 ()fx， ()gx均相切的直 线切点分别为 11( ,2 ln )xx+ ， 22( , )x a x ，
故过 11( ,2 ln )xx+ 的切线方程为
1111( 2 ln ) ( )y x x xx? + = ?
，即
111 ln 1y x xx= + +
① ，
过 22( , )x a x 的切线 方程为
222 ()2 ay a x x xx? = ?
，即
22 22 aay x xx=+
② ，
①②为同一条直线，故
1 2
1 2ax x= ， 12ln 1 2axx+= ，上述两式相乘得 2 1
1
ln 14axx+= ， ③
记 ln 1() tht t+= ， 则 ln() tht t? =? ，易 知 ()ht 在 (0,1) 上单 调递增，在 (1, )+? 上单调递 减，
如下图，故 ln 1( ) (1) 1th t ht+= ? =， ③要有两解，则 201
4a??
，得 02a??．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求 ． 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 ．
9．已知函数 ()fx的图象是由函数 2sin cosy x x= 的图象向右平移 6? 个单位得到，则 ( )
A． ()fx的最小正周期为 ? B． ()fx在区间 [ , ]63??? 上单调递增
C． ()fx的图象关于直线 3x ?= 对称 D． ()fx的图象关于点 ( ,0)6? 对称
【 答案 】 AD
【解析】 sin2yx= 向右平移 6? 得到 si n 2 ( ) si n ( 2 )63y x x??= ? = ?，故周期为 T ?= ， A正 确；
当 [ , ]63x ???? 时， 2(2 ) [ , ]3 3 3x ???? ? ? ， 而 sinyx= 在 2[ , ]33??? 上不单调，故 B错误；
sin2yx= 的对称轴为 24kx ??=+( Z)k? ，故平移后的对称轴为 52 12kx ??=+( Z)k? ，故 C错误；
sin2yx= 的对称中 心为 ( ,0)2k? ( Z)k? ，故平移后的对称中 心为 ( ,0)26k??+ ( Z)k? ，故 D正 确．
10．已知抛物线 C ： 2 2yx= 的准线为 l ，直线 x my n=+与 C 相交于 A 、 B 两点， M 为 AB 的中
点．则 ( )
A．当 12n= 时，以 AB 为直径的圆与 l 相交
B．当 2n= 时，以 AB 为直径的圆经过原点 O
C．当 | | 4AB= 时，点 M 到 l 的距离的最小值为 2
D．当 | | 1AB= 时，点 M 到 l 的距离无最小值
【 答案 】 BC
【解析】 设 21
1( , )2yAy
， 22
2( , )2yBy
，联立抛物线与直线方程得 2 2 2 0y my n? ? =， ①
当 12n= 时，直线过抛物线的焦点 F ， AB AF BF AM BM= + = +，
且 AA AF?= ， BB BF?= ，故 1 1 1( ) ( )2 2 2M M A A B B A F B F A B? ? ?= + = + =，
故以 AB 为直径的圆与 l 相切，故 A错；
当 2n= 时，由①知 12 2yy n=? ，以 AB 为直径的圆经过原点 O ，
即证 OA OB⊥ ，即 2212
12 022yy yy? + =
，即证 12 4yy=? 成立，故 B正确；
设 AB d= ， 中点 M 的 横坐标为 2212
4M yyx += 21 2 1 21 [( ) 2 ]4 y y y y= + ?
，
由弦长公式得 2 121 | |d m y y= + ? 221 2 1 21 ( ) 4m y y y y= + ? + ?，
由①得 122y y m+ =? ， 12 2yy n=? ，
代入上式平方得 2 2 2(1 )( 4 8 )d m m n= + +，故得 22
28(1 ) 2dmn m=?+
， ②
12MMM x?=+ 21 2 1 211[( ) 2 ]42y y y y= + ? ?2 12mn= + + ，
将②代入上式得 22
2 18 (1 ) 2dmMM m +? =++
，
当 4d= 时， 2
221 212mMM m +? =+?+
，当 212m+=，即 1m=? 时取等号，故 C正确；
当 1d= 时， 2
2118 (1 ) 2mMM m +? =++
，设 211mt+ = ? ，则 11(4 )8MM t t?=+，
1( ) 4f t t t=+在 [1, )+? 上单调递增，故 MM? 的最小值为 15(1)88f = ，故 D错误．
11．已知函数 2( ) ( 3)f x x x=?，若 ( ) ( ) ( )f a f b f c==，其中 a b c?? ，则 ( )
A． 12a?? B． 6a b c+ + =
C． 2ab+? D． abc 的取值范围是 (0,4)
【 答案 】 BCD
【解析】 2 )( ) ( 3 ) 2( 3fx xxx? += ?? ?3( 1)( 3)= ? ? ，易得 ()fx的极值点为 1， 3；
作出图知 0 1 3 4 ( 4 )a b c f? ? ? ? ? ? =，故 A错误；
设 ( ) ( ) ( )f a f b f c m= = =，即 2( 3) mxx? = 有三个根，展开得 326 9 0x x x m? + ? =，①；
以 a ， b ， c 为根的三次方程为 ( )( )( ) 0x a x b x c? ? ? =，
将展开得 32( ) ( ) 0x a b c x ab bc ca x abc? + + + + + ? =，②
比较①②的系数得 6a b c+ + = ， 9ab bc ca+ + = ， abc m= ，故 B正确；
6 6 4 2a b c+ = ? ? ? =，故 C正确；
由图知的对应极值为 0， 4，故直线 xm= 与 ()fx有三个交点，则 (0,4)abc m=? ，故 D正确 ．
12．如图，已知正三棱台 1 1 1ABC ABC? 的上、下底面边长分别为 2和 3，侧棱长为 1，点 P 在侧面
11BCCB 内运动 (包含边界 )，且 AP 与平面 11BCCB 所成角的正切值为 6 ，则 ( )
A． CP 长度的最小值为 31?
B．存在点 P ，使得 AP BC⊥
C．存在点 P ，存在点 11Q BC? ，使得 1//APAQ
D．所有满足条件的动线段 AP 形成的曲面面积为 7
3?
【 答案 】 ACD
【解析】 由已知条件，将正三棱台还原成正三棱锥 A BCO? ，
经计算 且该正三棱锥的 侧棱长与底面边长均为 3，故该正三棱锥为正四面体；
作侧面 OBC? 的高 (中线 )OE 交 11BC 于 D ， 连接 AD ，则 D 为 OE 的三等分点， OBC? 的中心，
故 AD⊥ 平面 OBC ， 由正四面体的棱长 3计算得高 6AD= ，
AP 与平面 11BCCB 所成角即为 APD? ，故 tan 6APD?=，得 1DP= 为定长，
故 P 点在 平面 11BCCB 内，以 D 为圆心， 1为半径的圆周上，
易得 3CD= ， 当 P ， C ， D 三点共线时， PC 最 短，得 m in 31P C CD DP= ? = ?，故 A正确；
BC⊥ 平面 ADE ，故当 P 点位于右图 F 点时， 方有 AP BC⊥ ，
但 P 点 不在侧面四边形 11BCCB 内，不符题意，故 B错误；
当 P 点位 于 M 、 N 点时， AP? 平面 ABC ， 由平面 //ABC 平面 1 1 1ABC 知，
存在点存在点 11Q BC? ，使得 1//APAQ ， (连接 OM ， ON 与 11BC 的 交点即是 )，故 C正确；
所有满足条件的动线段 AP 形成的曲面为圆锥的侧面两部分构成，
底面两段圆周弧为 1BM 、 1CN ，其对应的圆心角为 3? ， 弧长和为 23?
圆锥的 母线长为 7 ， 得 1 2 77
2 3 3S ??= ? ? =
，故 D正确．
三、填空题 ： 本题共 4 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 20 分 ．
13． 5(1 )x? 的展开式中 3x 的系数为 ________(用数字做答 )．
【 答案 】 10?
【解析】 展开式的通项为 51 5 51 ( ) ( )r r r r rrT C x C x?+ = ? ? ? = ? ?，令 3r= ，得 34 10Tx=? ．
14．若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的 2倍，则该椭圆的离心率为 __________．
【 答案 】 13
【解析】 椭圆上的点到焦点距离的最大值 ac+ ，最小值为 ac? ，
故 2acac+ =? ， 得 3ac= ， 则该椭圆的离心率 13ce a==．
15．定义开区间 (, )ab 的长度为 ba? ．经过估算，函数 131()
2xf x x=?
的零点属于开区间
__________(只要求写出一个符合条件，且长度不超过 16 的开区间 )．
【 答案 】 11( , )32 (注：答案不唯一，还可能的答案有 21( , )52 ， 31( , )82 等，函数零点 0.418)x?
【解析】 易知 ()fx为 减函数，最多只有一个零点 0x ，
取值 (0) 1 0f =? ， 1(1) 02f =? ? ， (0) (1) 0ff??，故 0 (0,1)x ? ；
计算 1113321 1 1( ) ( ) 2 2 0
222f ??= ? = ? ?
， 1(0) ( ) 02ff??，故
0 1(0, )2x ?
，
计算 21 341( ) 2 2 0
4f ??= ? ?
， 11( ) ( ) 042ff??，故
0 11(,)42x ?
；
计算 3 1 1 18 3 8 33 3 1 3( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0
8 8 8 8f ?= ? = ? ?
，故 31( ) ( ) 082ff??，故
0 31( , )82x ?
．
注： 比较 181()
8
与 133()
8
，即比较 1 1 3ln ln 28 8 8a = = ? 与 1 3 1ln (ln 3 3 ln 2 )3 8 3b = = ?，
则 51ln 2 ln 383ab? = ? 1 (15 ln 2 8 ln 3)24=? 15 81 (ln 2 ln 3 )24=?，
15 82 3 2 1 0 2 4 3 2 7 2 4 3= ? ? = ?，故 ab? ．
16．设 0a? ， (2 ,0)Aa ， (0,2)B ， O 为坐标原点，则以 OA 为弦，且与 AB 相切于点 A 的圆的标准
方程为 _____________；若该圆与以 OB 为直径的圆相交于第一象限内的点 P (该点称为直角 OAB?
的 Brocard点 )，则点 P 横坐标 x 的最大值为 _________．
【 答案 】 2 2 2 2 4( ) ( )x a y a a a? + + = +， 45
【解析】 OA 的中垂线为 xa= ，过 A 且与 AB 垂直的直线为 ( 2 )y a x a=?，
将直线 xa= 与 ( 2 )y a x a=?联立可得圆心 2( , )aa? ，其半径为 24aa+ ，
标准方程为 2 2 2 2 4( ) ( )x a y a a a? + + = +；
将圆 2 2 2 2 4( ) ( )x a y a a a? + + = +与圆 22( 1) 1xy+ ? = 相减可得直线
2 1ayxa= +
，
即 P 在直线
2 1ayxa= +
上，再代入 22( 1) 1xy+ ? = 可得 2 2
22()
2
1
1 1
a
ax
a
a
+=
+ +
，
令
2 1at a= +
，则 12t? ， 22 2 4115tx t
t t= = ?+ +
．
四、解答题 ： 本题共 6 小题 ， 共 70 分 ． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ．
17． (10分 )记 nS 为数列 {}na 的前 n 项和，已知 2 12n
n aSn= + +
， Nn? ．
(1)求 12aa+ ，并证明 1{}nnaa++ 是等差数列； (2)求 nS ．
【解析】 (1)当 1n= 时， 1
1 22aa =+
， 1 4a= ；
当 2n= 时， 2
12 52aaa+ = +
， 2 2a= ． ? 126aa+=． …… 2分
2 12nn aSn= + + ① ， ? 211 ( 1) 12nn aSn++ = + + +② ．
② -①得 ， 221
1 ( 1 )22nnn aaa n n++ = ? + + ?
， 整理得 1 42nna a n++ = + ， Nn? ．
? 1 2 1( ) ( ) [ 4( 1 ) 2 ] ( 4 2 ) 4n n n na a a a n n+ + ++ ? + = + + ? + =(常数 )， Nn? ． ……4 分
? 1{}nnaa++ 是首项为 6，公差为 4的等差数列．…… 5分
(2)由 (1)知， 1 4( 1 ) 2 4 2nna a n n? + = ? + = ?， Nn? ， 2n? ．
当 n 为偶数时， 1 2 3 4 1( ) ( ) ( )n n nS a a a a a a?= + + + + + +
1 [ (6 4 2)]22n n= + ? 2nn=+； ……7 分
当 n 为奇数时， 1 2 3 4 5 1( ) ( ) ( )n n nS a a a a a a a?= + + + + + + +
114 [ (1 0 4 2 )]22n n?= + + ?2 2nn= + + ， ……9 分
综上所述， 2
2 2 ,N
, 2 1,2n n n n kS n n k kn? + = ?= ? + ?+=? ．
18． (12分 )记 ABC? 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 2 si n( )6b c a C ?+ = +．
(1)求 A ；
(2)设 AB 的中点为 D ，若 CD a= ，且 1bc?= ，求 ABC? 的面积．
【解析】 (1)由已知得， 3 sin co sb c a C a C+ = +，…… 1分
由正弦定理可得， sin sin 3 sin sin sin co sB C A C A C+ = +，…… 2分
A B C ?+ + = ， ? s in s in( ) s in co s co s s inB A C A C A C= + = +． 代入上式 ，
整理得 co s sin sin 3 sin sinA C C A C+=， ……3 分
又 (0, ), sin 0CC???， ? 3 sin co s 1AA?=， 即 1sin( )62A ??=． ……5 分
而 56 6 6A? ? ?? ? ? ? ， ? 66A ???= ， 3A?= ．…… 6分
(2)在 ACD? 中，由余弦定理得， 222 2 c o s
42ccC D b b A= + ? ?．
而 3A?= ， CD a= ， ? 222
42c bcab= + ?
．①…… 8分
在 ABC? 中，由余弦定理得， 2 2 2a b c bc= + ? ，②…… 10分
由①②两式消去 a ， 得 232c bc= ， ? 32cb= ． 又 1bc?= ， 解得 3b= ， 2c= ． …… 11分
? ABC? 的面积 1 3 3si n22S bc A==． …… 12分
19． (12分 )如图，在四棱锥 P ABCD? 中， PD AB⊥ ，且 PD PB= ，底面 ABCD 是边长为 2的菱
形， 3BAD ??=．
(1)证明：平面 PAC⊥ 平面 ABCD ；
(2)若 PA PC⊥ ，求平面 PAB 与平面 PBC 夹角的余弦值．
【 解析 】 (1)连接 DB 交 AC 于点 O ， 连接 PO ．
ABCD 是菱形 ， ? BD AC⊥ ， 且 O 为 BD 的中点 ． …… 1分
PB PD= ， ? PO BD⊥ ． …… 2分
又 AC ， PO? 平面 APC ， 且 AC PO O?=， ?BD⊥ 平面 APC ． …… 3分
又 BD? 平面 ABCD ， ?，平面 APC⊥ 平面 ABCD ．…… 5分
(2)取 AB 中点 M ，连接 DM 交 AC 于点 H ，连接 PH ．
3BAD ??=， ? ABD? 是等边三角形， ?DM AB⊥ ．
又 PD AB⊥ ， ?AB⊥ 平面 PDM ． ? AB PH⊥ ．
由 (1)知 BD PH⊥ ，且 AB BD B?=， ?PH⊥ 平面 ABCD ．
由 ABCD 是边长为 2的菱形，在 ABC? 中， cos30AMAH= ? 23
3=
， co s 30 3AO AB ?= ? =，
由 AP PC⊥ ，在 APC? 中， 2PH AH HC=? 2 3 4 3
33=? 83=
， ? 26
3PH=
； …… 7分
法 1： 以 O 为坐标原点， OB 、 OC 分别为 x 轴、 y 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则 (0, 3,0)A ? ， (1,0,0)B ， (0, 3,0)C ， 3(0, ,0)
3H ?
， 3 2 6(0, , )
33P ?
，
? (1, 3,0)AB= ， (1, 3,0)CB =? ， 3 2 6( 1, , )33BP = ? ? ．
设平面 PAB 的法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z= ，
? 1
1
0
0
n BP
n AB
? ?=??
?=??
1 1 1
11
3 2 6 0
33
30
x y z
xy
?? ? + =?
? ??
+=?
，令 1 1y= 得
1 2( 3,1, )2n = ? ?
， ……9 分
设平面 PBC 的法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z= ，
? 2
2
0
0
n BP
n CB
? ?=??
?=??
， 2 2 2
22
3 2 6 0
33
30
x y z
xy
? ? ? + =?
? ??
?=?
， 令 2 1y= 得 2 ( 3,1, 2)n = ．…… 10分
设平面 PAB 与平面 PBC 的夹角为 ? ．
? 12
12 12||c o s | c o s , | | || |nnnn nn? ?= ? ? =
2 2 2 2 2 2
2| 3 3 1 1 2 |
2
2( 3 ) 1 ( ) ( 3 ) 1 ( 2 )
2
? ? + ? ? ?
=
? + + ? ? + +
33= ．
?平面 PAB 与平面 PBC 夹角的余弦值为 33 ．…… 12分
法 2： 22 2P B P A P H A H= = + =， 22 22P C A C P A= ? =，
? 2 2 2PB BC PC+=， ? PB BC⊥ ．…… 8分
取 PB 中点 N ，过点 N 作 //NQBC 且交 PC 于点 Q ，连接 AN ， AQ ．
APB? 是等边三角形， ? AN PB⊥ ．又 //NQBC ， ? NQ PB⊥ ，
? ANQ? 为二面角 C PB A??的平面角．…… 10分
在 APB? 中， sin 60 3AN AB= ? ? =．在 BPC? 中， 1 12NQ BC==．
在 APC? 中， 22 6AQ PA PQ= + =． ? 2 2 2c o s 2A N N Q A QA N Q A N N Q+??= ?3
3=?
，
?平面 PAB 与平面 PBC 夹角的余弦值为 33 ．…… 12分
20． (12分 )某企业因技术升级，决定从 2023年起实现新的绩效方案．方案起草后，为了解员工对
新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中 1个黑球， 2个白球．企业所有员工从袋子中有放
回的随机摸两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式 I回答问卷，否
则按方式 II回答问卷”．
方式 I：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“ O ”，否则画“ ? ”；
方式 II：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“ O ”，否则画“ ? ”．
当所有员工完成问卷调查后，统 计画 O ，画 ? 的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可
求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中，
100%=?企业所有对新绩效方案满意的员工人数满意度 企业所有员工人数
(1)若该企业某部门有 9名员工，用 X 表示其中按方式 I回答问卷的人数，求 X 的数学期望；
(2)若该企业的所有调查问卷中，画“ O ”与画“ ? ”的比例为 $4： 5$，试估计该企业员工对新
绩效方案的满意度．
【 解析 】 (1)每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率 1
3 2 1 2 49p C p p==
．…… 2分
每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率 1
3 2 1 2 49p C p p==
.
由题意该部门 9名员工中按方式 I回答问卷的人数 3~ (9, )X B p ．… … 4分
?X 的数学期望 3( ) 9 4E X np p= = =．…… 6分
(2)记事件 A 为“按方式 I回答问卷”，事件 B 为“按方式 II回答问卷”，
事件 C 为“在问卷中画○”．
由 (1)知 4()9PA= ， 5( ) 1 ( ) 9P B P A= ? =，
2 1 2( ) ( | ) ( ) 3 3 9P A P C A P A C= = ? =，…… 9分
又 44() 4 5 9PC ==+ ，由全概率公式 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P C P A P C A P B P C B=+，
得 4 2 5 ( | )9 9 9 P C B=+ ，解得 2( | ) 0.45P C B ==．…… 11分
?根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为 40% ．…… 12分
21． (12分 )已知双曲线 E ： 2 2 1
4x y?=
与直线 l ： 3y kx=?相交于 A 、 B 两点， M 为线段 AB 的
中点．
(1)当 k 变化时，求点 M 的轨迹方程；
(2)若 l 与双曲线 E 的两条渐近线分别相交于 C 、 D 两点，问：是否存在实数 k ，使得 A 、 B
是线段 CD 的两个三等分点？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由．
【 解析 】 (1)法 1： 设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ， 00( , )Mx y ．
联立直线 l 与双曲线 E 的方程，得
22344y kxxy=??? ?=?
， …… 1分
消去 y ，得 22(1 4 ) 24 40 0k x kx? + ? =．
由 2160 64 0k? = ? ?且 21 4 0k??，得 2 52k? 且 2 14k? ．
由韦达定理，得
12 22414kxx k?+=?
，
12 24014xx k?= ?
． …… 2分
? 12
0 2122 1 4x x kx k+?==?
， 003y kx=? 2
221 2 331 4 1 4kkk??= ? =
．
由 0 2
0 2
12
14
3
14
kx
k
y k
?? =?
? ??
?? =
? ??
消去 k ，得 220 0 04 12x y y=+． …… 4分
由 2 52k? 且 2 14k? ，得 0 3y?? 或
0 13y?
．
?点 M 的轨迹方程为 224 12x y y=+，其中 3y?? 或 13y? ． …… 6分
法 2： 设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ， 00( , )Mx y ．
①当 0k= 时 ， 易得 (0, 3)M ? ．
②当 0k? 时 ， 0 0x? ，
由 2211
22
44xy? ?=?? ， 两式相减 ， 整理得 121 2 1 2
124 ( )
yyx x y y xx?+ = + ? ?．
而 1 2 02x x x+= ， 1 2 02y y y+= ， 012
1 2 0
3yyy kx x x+? ==? ， ? 000
0
34 yxyx+=? ， 即 220 0 04 12x y y=+．
综上 ， 点 M 的轨迹方程为 224 12x y y=+(除去 10 3y??的一段 )．
(2)法 1： 设 33( , )Cx y ， 44( , )Dx y ， 双曲线 E 的渐近线方程为 12yx=? ．
联立 12
3
yx
y kx
? =?
?? =?
?
得
3 621x k= ?
，同理可得
4 621x k= +
，
34 02122 1 4xx k xk+ ?==? ， ?线段 AB 的中点 M 也是线段 CD 的中点．
?A ， B 为线段 CD 的两个三等分点 | | 3 | |CD AB?= ． …… 9分
即 223 4 1 21 | | 3 1 | |k x x k x x+ ? = + ?， 3 4 1 2| | 3 | |x x x x? = ?．
而 22
1 2 1 2 1 2 222 4 1 6 0| | ( ) 4 ( )1 4 1 4kx x x x x x kk?? = + ? = +??
，
34 66| | | |2 1 2 1xx kk? = ??+212|4 1|k= ?
，
? 2
2 2 21 2 2 4 1 6 03 ( )| 4 1 | 1 4 1 4kk k k?=+? ? ?
，解得 3k=? ，
?存在实数 32k=? ，使得 A 、 B 是线段 CD 的两个三等分点．
?存在实数 32k=? ， 使得 A 、 B 是线段 CD 的两个三等分点 ．…… 12分
法 2：双曲线 E 的渐近线方程为 2 2 0
4x y?=
． 设 33( , )Cx y ， 44( , )Dx y ，
联立直线 l 与双曲线 E 的渐近线方程 ， 得
22340y kxxy=??? ?=?
，
消去 y ， 得 22(1 4 ) 24 36 0k x kx? + ? =．
由韦达定理 ， 得线段 CD 的中点横坐标为 34
02122 1 4xx k xk+ ?==?
．
?线段 AB 的中点 M 也是线段 CD 的中点．
?A ， B 为线段 CD 的两个三等分点 | | 3 | |CD AB?= ．…… 9分
? 222
2( 2 4 ) 4 3 6 ( 1 4 )1 | 1 4 |kkk k+ ? ? ?+? ?
222
2( 2 4 ) 4 4 0 ( 1 4 )31 | 1 4 |kkk k+ ? ? ?= + ? ?
，
解得 32k=? ， ?存在实数 32k=? ，使得 A 、 B 是线段 CD 的两个三等分点． ……12 分
22． (12分 )已知函数 ( 4)()
xaxfx e+=
，其中 Ra? 且 0a? ．
(1)当 1a= 时，求函数 ()fx的单调区间；
(2)若存在实数 0x ，使得 00()f x x= ，则称 0x 为函数 ()fx的“不动点”．求函数 ()fx的“不动
点”的个数；
(3)若关于 x 的方程 ( ( )) ( )f f x f x= 有两个相异的实数根，求 a 的取值范围．
【解析 】 (1)当 1a= 时， 4()
xxfx e+=
，定义域为 R ．
3() xxfx e+? =? ，令 ( ) 0fx?=，得 3x=? ．
当 3x?? 时， ( ) 0fx??；当 3x?? 时， ( ) 0fx??．
? ()fx的单调增区间为 ( , 3)??? ，单调减区间为 ( 3, )? +? ．
(2)函数 ()fx的不动点即为方程 ( ) 0f x x?= 的根，即方程 ( 4) 0
xax xe+ ?=
的根．
显然， 4x=? 不是方程 ( 4) 0
xax xe+ ?=
的根， ? ( 4) 0
xax xe+ ?= 04
xxe ax? ? =+ ．
记 ( ) ( 4 )
4xxeF x a xx= ? ? ?+
， 2
2( 2 )( ) 0( 4 )
xxeFx x+? = ?+ (当且仅当 2x=? 取等号 )，
? ()Fx 在 ( , 4)??? 和 ( 4, )? +? 上均单调递增．
由 ( 4 )()
4xxe a xFx x?+= +
，记 ( ) ( 4 )xh x xe a x= ? +．
①当 0a? 时，
(i)当 ( , 4)x? ??? 时，
44( 4) 0h e?? = ?
， 1( 4 ) 0h ae? ? ? (可证 1xxe e?? 利用放缩可得 )，
存在 1 ( , 4)t ? ??? ，使得 1( ) 0ht= ，即存在唯一 1 ( , 4)t ? ??? 使得 1( ) 0Ft= ；
注：也可通过 x→?? 时， ()F x a→? ， 4x→? 且 4x?? 时， ()Fx→+? ，
存在唯一 1 ( , 4)t ? ??? 使得 1( ) 0Ft= ．
(ii)当 ( 4, )x? ? +? 时， (0) 4 0ha=? ? ， (4 ) 0ha? (可证 1xex?+ )，
存在 2 (0, )t ? +? ，使得 2( ) 0ht= ，即存在唯一 2 (0, )t ? +? 使得 2( ) 0Ft= ．
②当 0a? 时， (i)当 ( , 4)x? ??? 时， ( ) 0
4xxeF x ax= ? ?+
无零点；
(ii)当 ( 4, )x? ? +? 时， (0) 4 0ha=? ? ，
44( 4) 0h e?? = ?
，
存在 0 ( 4,0)t ?? ，使得 0( ) 0ht= ，即存在唯一 0 ( 4, )t ? ? +? 使得 0( ) 0Ft= ．
注：也可通过 4x→? 且 4x?? 时， ()Fx→?? ， x→+? 时， ()Fx→+? ，
存在唯一 0 ( 4, )t ? ? +? 使得 0( ) 0Ft= ．
综上所述，当 0a? 时，函数 ()fx有两个“不动点” 1t ， 2t ；
当 0a? 时，函数 ()fx有一个“不动点” 0t ．
(3)由 (2)知 ( ( )) ( ) 0f f x f x?=()if x t?=(其中 {0,1,2}i? )．
由 ( ) 0
4itii iteF t a t= ? = +
，代入得 44
ii tx
txee++ = ．
记 4()
xxGx e+=
，由 (1)知，当 ( , 4]x? ??? 时，函数 ()Gx 单调递增，且 ( ) ( ,0]Gx? ?? ；
当 ( 4, 3)x?? ? 时，函数 ()Gx 单调递增，且 3( ) (0, )G x e? ；
当 ( 3, )x? ? +? 时，函数 ()Gx 单调递减，且 3( ) (0, )G x e? ．
由 1( ) ( ) 0G x G t=?可得 1xt= ； 2( ) ( ) 0G x G t=?可得 2xt= ， 0x ，共三个解．
? ()Ft 有一个零点 0t ． ? ( ( )) ( ) 0f f x f x?= 0()f x t?=，
由 00
0 0( ) 0 4
tteF t a t= ? = +，代入得
00
44 tx txee++ = ，由 (1)知，
当 0 3t =? ，即
33a e=?
时， 10( ) ( )G x G t= 的解为 0t ；
当 0 3t ?? ，即 0a? 且
33a e??
时，所 10( ) ( )G x G t= 的解为 1x ， 0t ．
综上所述，当 0a? 且
33a e??
时方程有两个不同实数根．
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