2022-2023 学年度下 学期高一 年级期中考试
数学试卷 参考答案及评分标准
一 .单选题： BDCA CBAA
二 .多选题： ACD AC CD BCD
三 .填空题： 13. 19 14. 1 1 4( , ) ( , 0 ) ( , )3 3 3? ? ? ? ? ? 15. 17 2
50
16. 12?
四 .解答题：
17.（ 1）解：设点 B 坐标为 ? ?,B x y ，则 3sin 5y ???，
因为点 B 在第二象限，所以 22 34c o s 1 s i n 1
55x ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?????
，
点 B 坐标为 43,55B?????
??
. ………… .. 4 分
（ 2）解：由诱导公式可得 ? ?
? ?
s i n s i n s i n c o s2
4 t a n 4 t a n
?? ? ?
??
? ? ?
??? ? ???
???? ?
??
由（ 1）知 34s in , c o s55??? ? ?，所以 sin 3tan cos 4?? ?? ? ?，
所以 ? ? ? ?
7s i n s i n
s i n c o s 72 5
34 t a n 4 t a n 1 54
4
?? ? ?
??
? ? ?
??? ? ? ???
???? ? ? ? ?
?? ?
. ………… .. 10 分
18. 解： （ 1）如图，以 O 为坐标原点，建立直角坐标系 xOy，
则 ? ?0,0O ， ? ?0,2A ， ? ?2,0B ， ? ?3,1N ， 所以 ? ?0,2OA? ， ? ?2,0OB? ， ? ?3,1ON? .
设 O N xO A y O B??，则 21
23
x
y
????
???
，解得
1
2
3
2
x
y
? ?
??
?
? ?
??
， 所以 13
22O N O A O B??
. … .. 5 分
（ 2）设 ? ?0 θ 90B O N ?? ? ? ? ? ?，则 ? ?2 co s , 2 sinN ??， ? ?0,1M ，
则 ? ?2, 1MB??， ? ?2 c o s , 2 s inON ??? ，
所以 ? ?4 c o s 2 s i n 2 5 c o sM B O N ? ? ? ?? ? ? ? ?，
其中 25cos
5??
， 5sin
5??
（ ? 为锐角） .
因为 0 90??? ? ? ，所以 90? ? ? ?? ? ? ? ?，
则 ? ?
m a x 25c o s c o s 5? ? ?? ? ?
， ? ? ? ?
m i n 5c o s c o s 9 0 s i n 5? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
，
所以 MB ON? 的取值范围为 ? ?2,4? . ………… .. 12 分
19. 解：（ 1）由已知得 2 sin cos???? ，所以 1tan 2???
2 2 2
2 2 2s i n c o s c o s s i n t a n 1 t a n 1s i n c o s c o s 2 s i n c o s t a n 1 5? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???
………… .. 4 分
（ 2）由 2tan 6 tan 1????，可得
22 t a n 1t a n 2 1 t a n 3?? ?? ? ??
，
则
11
t a n t a n 2 23t a n ( 2 ) 1
111 t a n t a n 2 1
23
????
??
???
? ? ? ? ??
??
.
因为 0,2?? ?????
??
，所以 ? ?2 0,??? ，又 13ta n 2
33? ? ? ? ?
，则 52,6????????
??
，
因为 ? ?0,??? ， 13tan
23? ? ? ? ?
，则 5 ,6????????
??
，则 52 , 23?? ? ???????
??
，
所以 72 4?????. ………… .. 12 分
20. 解： ? ? ? ?2 s i n 0 , 2f x x ?? ? ? ???? ? ? ???
??
的单调递增区间为 2 5 2,1 2 1 2kk? ? ? ?????????
??
( Zk? )，
由函数 ??fx图象的相邻对称轴之间的距离为 2? ，由 2T ??? 得 2?? ，
? ? ? ?2 s i n 0 , 2f x x ?? ? ? ???? ? ? ?????的单调递增区间 2222,kk
????
??
??
??????
??
??
( Zk? )，
所以 5 2
12 2
? ?? ?
? ? ?
且 2
12 2
? ?? ?
?
解得 3??? ，所以 ? ? 2 s in 2 3f x x ???????
??
……… .4 分
（ 2） ? ?2 s i n 2 2 s i n 2 2 s i n 2
3 3 3f x x x x? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???
，
得 ? ? 2 sin 2h x x?? ，所以 ??hx的单调递增区间为 32 2 2 ,22k x k k Z????? ? ? ? ?，
解得 3,44??????
??kk????? ?kZ?
. ……… .7 分
（ 3）由 ? ? 2 s in 2 3f x x ???????
??
得 ? ? 2 s i n 2 3f x x ???????
??
，
所以 xR? 时， ? ? ? ?f x f x?? ， ? ?fx为偶函数，
由 ? ? 3fx≥ 得 3s in 2
32x ?????????
，
当 ? ?0,x ?? 时，得 3sin 2
32x ?????????
，所以 223 3 3x? ? ?? ? ? ，或 x ?? ，
即 0 6x ???，或 x ?? ，
根据对称性可得当 06 x?? ? ? 时 ? ? 3fx≥ ，
由 ,2x ? ???????
??
，所以 ,66x ????????
??
或 x ?? . ……… .12 分
21. 解 :（ 1） ? ? 3 s i n 2 c o s 2 1 2 s i n ( 2 ) 16f x x x a x a?? ? ? ? ? ? ? ?.
∵ [ , ]64x ???? ， ∴ 22,663x ? ? ???? ? ???
??
，
则当 2 62x ????，即 6x ?? 时， ??fx取最大值 2 ，即有 2 1 2a? ? ? ，得 1a? .
∴ ( ) 2 s in ( 2 )6f x x ???；
令 ? ?2 62x k k Z???? ? ? ?，解得 2 6+kx ??? ? ?kZ? ，
∴ ??fx的 对称轴 为 2 6+kx ??? ? ?kZ? . ……… .6 分
（ 2） ? ? s i n ( 2 2 )6g x A x m ?? ? ?，
∵ ??gx为偶函数， ∴ 2 62mk???? ? ?? ?kZ? ， ∴ 26km ????? ?kZ? ，
又 ∵ 0 2m ???， ∴ 6m ?? ， ∴ ? ? s i n ( 2 ) c o s 22g x A x A x?? ? ?，
∵
1 [ ,0]3x ???
， ∴
12 [ , ]6 2 6x ? ? ?? ? ?
， ∴ 1()fx的值域为 [ 2,1]? ；
∵
2 [ ,0]3x ???
， ∴
2 22 [ , 0]3x ???
， ∴
2 1cos 2 [ ,1]2x ??
，
0A? ， 2()gx 的值域为 [ , ]2A A? ,而依据题意有 1()fx的值域是 2()gx 值域的子集，
则
0
1
22
A
A
A
?
? ?
? ?
?
?
?? ??
?
∴ 实数 A 的取值范围为 [4, )?? ……… .12 分
22. 解： （ 1） 3( ) c o s s i n ( )2f x x x A???? ? ???
??s i n ( s i n c o s c o s s i n )x x A x A? ? ?
2s i n c o s s i n c o s s i nx x A A x??1 1 c o s 2s i n 2 s i n c o s22 xx A A???
1 sin 2 sin2 xA??11c o s 2 c o s c o s22x A A? 11c ( 2 ) c o s22x A A? ? ?
所以
m i n 1 1 3( ) c o s2 2 4f x A? ? ? ? ?
， 故 1os 2A? . 因为 (0, )A ?? ，所以 3A ?? …… 6 分
（ 2） ：因为 11( ) c o s 2 c o s2 3 2 3f x x ????? ? ???
??11c o s 22 3 4x ???? ?????
，所以 1( ) 2 ( ) 4g x f x??????
??
cos 2 3x ?????????，
令 ( ) c o s 2 3t g x x ???? ? ???
??
， ,33x ????????
??
，由 题 意 知 11, {1}2t ??? ? ???
??
，
考虑 24 1 0t mt? ? ? 在 11, {1}2t ??? ? ???
??
上的解，
因为 0?t 不是 24 1 0t mt? ? ? 的解，
所以 0t? 时 24 1 14tmt
tt?? ? ?
在 1[ 1, 0 ) 0 , {1}2t ??? ? ? ???
??
只有一个解，设 1( ) 4h t t t??
由对号函数图象可知函数 1( ) 4h t t t??在 11, 2t ??? ? ? ??
??
上单调递增， 1,02t ??????
? ?
单调递减，在
10,2t ???????上单调递减，且 ( 1) 5h? ?? ， 1 42h??? ??????， 1 42h??????? ， (1) 5h ?
∴ 4m?? 或 5m?? 或 4m? 且 5m? ． …………… 12 分
|
|
