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给高一下学生做的2023高考真题一、单选1 .已知? = 1?i2+2i，则??? =（）．A.?i B.i C.0 D.1【答案】A【解析】? = 1?i2+2i = (1?i)(1?i)2(1+i)(1?i) = ?2i4 =? 12i，所以? = 12i，??? =? 12i? 12i =?i，故选：A．【考点】【知识点】复数>复数的运算>复数的四则运算综合2 .已知向量?
→ = (1,1)，?→= (1,?1)．若(?→+??→) ⊥ (?→+??→)，则（）．A.?+? = 1 B.?+? =? 1 C.?? = 1 D.?? =? 1【答案】D【解析】由题意得?→+??→ = 1+ ?,1 ??，?→+??→ = 1+ ?,1 ??．因为?→+??→ ⊥ ?→+??→，所以?→+??→ ? ?→+??→ = 0，即1+ ? 1+? + 1?? 1?? = 0，整理可得?? =? 1，故选D．【考点】【知识点】平面向量>平面向量基本定理及其坐标表示>坐标表示平面向量的垂直3 .有一组样本数据?
1，?2，?，?6，其中?1是最小值，?6是最大值，则（）．A.?2，?3，?4，?5的平均数等于?1，?2，?，?6的平均数B.?2，?3，?4，?5的中位数等于?1，?2，?，?6的中位数C.?2，?3，?4，?5的标准差不小于?1，?2，?，?6的标准差D.?2，?3，?4，?5的极差不大于?1，?2，?，?6的极差【答案】BD【解析】【考点】【知识点】统计与概率>统计>用样本估计总体>众数、中位数、平均数4 .已知sin?(?? ?) = 13，cos??sin?? = 16，则cos?(2?+2?) =（）．A.79 B.19 C.? 19 D.? 79【答案】B【解析】已知sin???? = sin??cos??? cos??sin?? =
13，cos??sin?? = 16，所以sin??+? = sin??cos??+cos??sin?? = 23，所以cos?2? +2? = cos?2 ?+ ?= 1 ?2sin2??+ ? = 1 ?2× 23 2 = 19．【考点】【知识点】三角函数>三角恒等变换>二倍角公式>二倍角的余弦5 .在复平面内，(1+3i)(3?i)对应的点位于（）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】非正确答案，使用需谨慎【考点】【知识点】复数>复数的概念及几何意义>复平面>复平面内求点所在象限6 .已知圆锥的顶点为?，底面圆心为?，??为底面直径，∠??? = 120°，?? = 2，点?在底面圆周上，且二面角???? ??为45°，则（）．
A.该圆锥的体积为? B.该圆锥的侧面积为4 3?C.?? = 2 2 D.△???的面积为3【答案】AC【解析】∵ ∠??? = 120°，
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∴底面圆半径?? = ?? ?sin?60° = 2 × 32 = 3，高?? = ??? cos?60° = 2 × 12 = 1，? = 13 ×?( 3)2 ?1 = ?，所以A对；?侧= 12 ×2×2?? 3 = 2 3?，所以B错；过点?作?? ⊥ ??于点?，连接??，∵ ∠???为???? ??的二面角，
∴ ∠??? = 45 °，又∵ ?? ⊥底面???，∴ ?? = ?? = 1，∴ ?? = ??2 ???2 = ( 3)2 ?12 = 2，?? = 2?? = 2 2，所以C对；?? = ??2 ???2 = 22 ?( 2)2 = 2，?△??? = 12 ×??×?? = 12 × 2×2 2 = 2，∴ D错；故选AC．【考点】【知识点】立体几何初步>基本立体图形>空间几何体的体积、表面积>空间几何体的表面积;立体几何初步>基本立体图形>空间几何体的体积、表面积>空间几何体的体积
7 .已知?为锐角，cos?? = 1+ 54，则sin??2 =（）．A.3? 58 B.?1+ 58 C.3? 54 D.?1+ 54【答案】D【解析】cos?? = 1 ?2sin2??2，sin2??2 = 3? 58 = 1? 54 2，∵ ?为锐角，∴ sin??2 > 0，∴ sin??2 = 5?14．故选：D．【考点】【知识点】三角函数>三角恒等变换>二倍角公式>半角公式8 .若?(?) = (?+?)ln?
2??12?+1为偶函数，则? =（）．A.?1 B.0 C.12 D.1【答案】B【解析】定义域2??12?+1 > 0，解得定义域为?∞,? 12 ∪ 12,+∞，取定义域内特殊值：?( ?1) = ?(1)，(?1+ ?)? ln??3?1 = (1+ ?)? ln?13，(??1)ln?3 = ( ?1??)ln?3，??1 =?1 ??，? = 0．故选：B．【考点】【知识点】函数的概念与性质>函数的性质>奇偶性>函数奇偶性的应用>利
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用函数奇偶性求函数解析式9 .若复数(?+i)(1 ??i) = 2，则? =（）．A.?1 B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【考点】【知识点】复数>复数的运算>复数的四则运算综合10 .向量|?→| = |?→| = 1，|?→| = 2，且?→+ ?→= 0→，则cos??→? ?→, ?→? ?→ =（）．A.? 15 B.? 25 C.25 D.45【答案】D【解析】【考点】【知识点】平面向量>平面向量的运算>数量积>利用向量数量积求夹角11 .“sin
2??+sin2?? = 1”是“sin??+cos?? = 0”的（）．A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】【考点】【知识点】常用逻辑用语>充分条件与必要条件>充要条件与三角函数结合12 .已知?(?)为函数? = cos?2? + ?6向左平移?6个单位所得函数，则? = ?(?)时与12?? 12的交点个数为（）．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【考点】【知识点】三角函数>三角函数的图象与性质>正余弦型、正切型函数图象变换13 .在四棱锥??????中，底面????为正方形，?? = 4，
?? = ?? = 3，∠??? = 45°，则△???的面积为（）．A.2 2 B.3 2 C.4 2 D.5 2【答案】C【解析】【考点】【知识点】立体几何初步>基本立体图形>空间几何体的概念>棱柱、棱锥、棱台的结构特征二、填空1 .在正四棱台??????1?1?1?1中，?? = 2，?1?1 = 1，??1 = 2，则该棱台的体积为．【答案】7 66【解析】在等腰梯形?
1?1??中，?? = 2 2，?1?1 = 2，??1 = 2，则? = 62，? = 13(?+?′ + ??′)? = 13(1+4+ 1×4)× 62 = 7 66．【考点】【知识点】立体几何初步>基本立体图形>空间几何体的体积、表面积>空间几何体的体积2 .已知向量?→，?→满足|?→? ?→| = 3，|?→+ ?→| = |2?→? ?→|，则|?→| =．【答案】暂无【解析】【考点】【知识点】平面向量>平面向量的基本概念>向量的模3 .底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．【答案】暂无【解析】
【考点】【知识点】立体几何初步>基本立体图形>空间几何体的体积、表面积>空间几何体的体积
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4 .在正方体??????1?1?1?1中，?，?分别为??，?1?1的中点，则以??为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为．【答案】12【解析】【考点】【知识点】立体几何初步>基本立体图形>空间几何体的概念>棱柱、棱锥、棱台的结构特征5 .已知△???中，∠??? = 60°、?? = 2、?? = 6，??平分∠???交??于点?，则?? =．【答案】2【解析】如图所示，
??2 = ??2 +??2 ?2????? ?cos?60°，即??2 ?2???2 = 0，∴ ?? = 3+1（舍负），∵ ??为∠???平分线，∴ ???? = ???? = 21+ 3，∴ ?? = 6? 1+ 31+ 3+2 = 2．∴ ??2 = ??2 +??2 ?2?? ??? ?cos?30°，∴ ??2 ?(3+ 3)??+2+2 3 = 0，(??? 2)(???1? 3) = 0，∴ ?? = 2或?? = 1+ 3，当?? = 1+ 3时，?? = ??
2 +??2 ?2?????? cos?30° = 2 ≠ 6? 2，舍去．∴ ?? = 2．【考点】【知识点】解三角形>正余弦定理的综合应用>多个三角形拼接的解三角形问题三、解答1 .已知在△???中，?+? = 3?，2sin?(?? ?) = sin??．( 1 )求sin??．( 2 )设?? = 5，求??边上的高．【答案】(1)3 1010．(2)6．【解析】(1)由三角形内角和得? +?+? = ?，又∵?+? = 3?，
∴4? = ?．∴? = ?4．又sin?(?? ?) = sin?? = sin?(? +?)，又sin??? ?4 = sin?? + ?4，2sin??? 2cos?? = 22 sin??+ 22 cos??，22 sin?? = 3 22 cos??，tan?? = ?．由同角三角函数关系sin?? = 3 1010．(2)由同角三角函数关系cos?? = 10
10，sin?? = sin?(? +?) = sin??cos??+ cos??sin??
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= 3 1010 ? 22 + 1010 ? 22= 2 55．由正弦定理??sin? = ??sin?，522 = ??2 55，?? = 2 10，设??边上的高为?，? = ?? ?sin?? = 2 10? 3 1010 = 6．【考点】【知识点】解三角形>正余弦定理的综合应用>正余弦定理综合求解边角;三角函数>三角函数的图象与性质>正弦函数的图象和性质2 .如图，在正四棱柱??????
1?1?1?1中，?? = 2，??1 = 4．点?2，?2，?2，?2分别在棱??1，??1，??1，??1上，??2 = 1，??2 = ??2 = 2，??2 = 3．
( 1 )证明：?2?2///?2?2．( 2 )点?在棱??1上，当二面角???2?2 ??2为150°时，求?2?．【答案】(1)见解析(2)1【解析】(1)以?点为原点，??为?轴，??为?轴，??1为?轴建系，
?2(2,0,2)，?2(0,0,3)，?2(2,2,1)，?2(0,2,2)，?2?2→ = ( ?2,0,1)，?2?2→ = ( ?2,0,1)，∵ ?2?2→ = ?2?2→，∴ ?2?2//?2?2．(2)设点?坐标为(2,0,?)，?2?2→ = (2,2,?2)，?2?2→ = (0,2,?1)，设平面?2?2?2的法向量为?1→ = (?1,?1,?1)，
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则?1→ ? ?2?2→ = 0?1→ ? ?2?2→ = 0，即2?1 +2?1 ?2?1 = 02?1 ??1 = 0，解得?1 = 2?1?1 = ?1，令?1 = 1，取得?1→ = (1,1,2)，设平面?2?2?的法向量为?2→ = (?2,?2,?2)，?2?→ = (2,0,??3)，则?2→ ? ?2?2→ = 0?2→ ? ?2?→ = 0，即2?2 +2?2 ?2?2 = 02?
2 +(??3)?2 = 0，解得：?2 = 3??2 ?2?2 = ??12 ?2，令?2 = 2，取得?2→ = (3 ??,??1,2)，|cos?150°| = ?1→??2→?1→ ? ?2→ = 32= (3??)(??1)+412+12+22? (3??)2+(??1)2+22，解得? = 1或? = 3，∴ ? = 1，? = 3，?
1?2 = ??1 ???2 = 4 ?2 = 2，∴ ?2? = 1．【考点】【知识点】空间向量与立体几何>空间向量的应用>向量法解决二面角问题;立体几何初步>基本图形位置关系>空间中的基本事实与定理>点、直线、平面之间的位置关系3 .记△???的内角?，?，?的对边分别为?，?，?，已知△???面积为3，?为??的中点，且?? = 1．( 1 )若∠??? = ?3，求tan??．( 2 )若?2 +?2 = 8，求?，?．【答案】(1) 35．(2)? = ? = 2．【解析】(1)?为??中点，?
△??? = 3，则?△??? = 32，过?作?? ⊥ ??，垂足为?，△???中，?? = 12，?? = 32，?
△??? = 12 ? 32 ?? = 32，∴?? = 2．∴?? = 2，?? = 52，tan?? = ???? = 3252 = 35．(2)??→ = 12(??→ + ??→ )，??→ 2 = 14(?2 +?2 +2??cos??)，1 = 14(8+2??cos??)，∴??cos?? =?2，①
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?△??? = 12??sin?? = 3．∴??sin?? = 2 3．②由①②解得tan?? =? 3，∴? = 2?3．∴?? = 4．又?2 +?2 = 8，∴? = ? = 2．【考点】【知识点】三角函数>三角函数的概念>任意角的三角函数>三角函数的定义>计算任意角的三角函数值;解三角形>正余弦定理的综合应用>正余弦定理综合求解边角;解三角形>三角形面积公式4 .如图，三棱锥? ????中，?? = ?? = ??，?? ⊥ ??，∠??? = ∠??? = 60°，?为??的中点．
( 1 )证明：?? ⊥ ??．( 2 )点?满足??→ = ??→，求二面角????? ?的正弦值．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)在△???与△???中，?? = ??，∠??? = ∠???，?? = ??，∴△???=∽ △???，∴ ?? = ??．∵ ?为??中点，∴ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??．∵ ?? ?平面???，?? ?平面???，??∩?? = ?，∴ ?? ⊥平面???．∵ ?? ?平面???，∴ ?? ⊥ ??．(2)设?? = ?? = ?? = 2，∠??? = ∠??? = 60°，∴△ ???
与△???为等边三角形，∴ ?? = ?? = 2．∵ ?为??中心，∴ ?? ⊥ ??，?? = ?? = 2．∵ ?? ⊥ ??，∴ ?? = 2 2，∴ ?? = 2．∵ ??2 +??2 = ??2，∴ ?? ⊥ ??．∵ ?? ?平面???，?? ?平面???，??∩ ?? = ?，∴ ?? ⊥平面??．以?为坐标原点，分别以??、??、??所在直线为?轴、?轴、?轴建立空间直角坐标系?????，?(0,0,0)，?( 2,0,0)，?(0,0, 2)，?(0, 2,0)，
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∵ ??→ = ??→，∴ ?(? 2,0, 2)，??→ = (0, 2,? 2)，??→ = ( 2,0,? 2)，??→ = ( ?2,0,0)，设平面???的法向量为?1→ = (?1,?1,?1)，?1→ ? ??→ = 0?1→ ? ??→ = 0，∴ 2?1 ? 2?1 = 02?1 ? 2?1 = 0，令?1 = 1，?1→ = (1,1,1)，设平面???的法向量为?
2→ = (?2,?2,?2)，?2→ ? ??→ = 0?2→ ? ??→ = 0，2?2 ? 2?2 = 0? 2?2 = 0，令?2 = 1，?1→ = (0,1,1)，设二面角??????的平面角为?．|cos??| = cos ?1→ ,?2→ = ?1→??2→?
1→ ?2→ = 23? 2 = 63．∴ sin?? = 1?cos2?? = 33．【考点】【知识点】立体几何初步>基本图形位置关系>空间中的垂直>线线垂直的证明问题;空间向量与立体几何>空间向量的应用>向量法解决二面角问题;空间向量与立体几何>空间向量的应用>向量法解决空间中的垂直问题5 .在三棱柱?????1?1?1中，??1 = 2，?1? ⊥底面???，∠??? = 90°，?1到平面???1?1的距离为1．( 1 )求证：?? = ?1?．( 2 )若直线??1与??1距离为2，求??1与平面???1?1所成角的正弦值．【答案】(1)见解析(2)
1313【解析】(1)∵?1? ⊥底面???，?? ?平面???，∴?1? ⊥ ??．∵∠??? = 90°，即?? ⊥ ??，且?1?1、?? ?平面???1?1，?1?∩?? = ?，∴?? ⊥平面???1?1．∵?? ?平面???1?1，∴平面???1?1 ⊥平面???1?1．过?1作?1? ⊥ ??1交??1于?．
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且平面???1?1 ∩平面???1?1 = ??1，∴?1? ⊥平面???1?1，∵?1到平面???1?1距离为1，∴?1? = 1．在Rt△?1??1中，?1? ⊥ ?1?1，??1 = ??1 = 2，?1? = ??，设?? = ?，则?1? = 2 ??，1+ ?2 +1+(2 ??)2 = 4．解得? = 1，∴?? = ?1? = ?1?1 = 2．(2)∵?? = ?1?1，?? ⊥ ?1?，?? ⊥ ??，∴?? = ??1．过?作?? ⊥ ??
1交??1于?．则?为??
1中点，?1? = 1，?1? = 5，∴?? = 3．∴??1 = (2 2)2 +( 2)2 +( 3)2 = 13，且?到平面???1?1距离也为1．则??1与平面???1?1所成角的正弦值为113 = 1313．【考点】【知识点】立体几何初步>基本图形位置关系>探索性问题>几何法求空间角;立体几何初步>基本图形位置关系>空间中的垂直>直线和平面垂直的性质
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