2009—2023普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数学试题
2023年6月10日
目录
2023高考试题（新高考全国卷1）数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2023高考试题（新高考全国卷2）数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2023高考试题全国卷（课标版甲卷）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2022高考试题全国卷（课标版甲卷）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2023高考试题全国卷（课标版乙卷）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2023高考试题全国卷（课标版乙卷）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2022高考试题（新高考全国卷1）数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2022高考试题（新高考全国卷2）数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2022高考试题全国卷（课标版甲卷）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2022高考试题全国卷（课标版甲卷）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2022高考试题全国卷（课标版乙卷）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2022高考试题全国卷（课标版乙卷）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2021高考试题（新高考全国卷1）数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2021高考试题（新高考全国卷2）数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2021高考试题（全国卷I）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2021高考试题（全国卷I）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2021高考试题（全国卷II）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2021高考试题（全国卷II）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2020高考试题（全国卷I）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2020高考试题（全国卷I）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2020高考试题（全国卷II）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2020高考试题（全国卷II）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2020高考试题（全国卷III）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2020高考试题（全国卷III）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2020高考试题（新高考全国卷I）数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2020高考试题（新高考全国卷II）数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2019高考试题（全国卷I）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2019高考试题（全国卷I）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2019高考试题（全国卷II）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2019高考试题（全国卷II）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2019高考试题（全国卷III）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2019高考试题（全国卷III）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2018高考试题（全国卷I）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2018高考试题（全国卷I）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2018高考试题（全国卷II）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2018高考试题（全国卷II）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2018高考试题（全国卷III）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2018高考试题（全国卷III）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2017高考试题（全国卷I）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2017高考试题（全国卷I）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2017高考试题（全国卷II）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2017高考试题（全国卷II）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2017高考试题（全国卷III）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2017高考试题（全国卷III）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2016高考试题（全国卷I）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2016高考试题（全国卷I）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2016高考试题（全国卷II）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2016高考试题（全国卷II）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2016高考试题（全国卷III）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2016高考试题（全国卷III）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2015高考试题（全国卷I）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2015高考试题（全国卷I）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2015高考试题（全国卷II）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2015高考试题（全国卷II）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2014高考试题（全国卷I）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2014高考试题（全国卷I）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2014高考试题（全国卷II）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2014高考试题（全国卷II）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2013高考试题（全国卷I）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2013高考试题（全国卷I）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2013高考试题（全国卷II）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2013高考试题（全国卷II）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2013高考试题全国卷（大纲版）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2013高考试题全国卷（大纲版）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2012高考试题全国卷I（新课标版）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2012高考试题全国卷I（新课标版）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2012高考试题全国卷II（大纲版）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2012高考试题全国卷II（大纲版）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2011高考试题全国卷I（新课标）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2011高考试题全国卷I（新课标）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2011高考试题全国卷II（大纲版）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2011高考试题全国卷II（大纲版）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2010高考试题全国卷（新课标版）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2010高考试题全国卷（新课标版）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2010高考试题全国卷I（大纲版）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2010高考试题全国卷I（大纲版）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2010高考试题全国卷II（大纲版）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2010高考试题全国卷II（大纲版）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
2009高考试题（课标版全国卷）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2009高考试题（课标版全国卷）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
2009高考试题（大纲版全国卷I）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2009高考试题（大纲版全国卷I）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2009高考试题（大纲版全国卷II）理科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
2009高考试题（大纲版全国卷II）文科数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2023高考试题（新高考全国卷1）数学使用省份：鲁、湘、鄂、苏、浙、冀、粤、闽
2023高考试题（新高考全国卷1）数学
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合M = {?2,?1,0,1,2}，N = {x | x2 ?x?6 ? 0}，则M N =
A. {?2,?1,0,1} B. {0,1,2} C. {?2} D. {2}
2.已知z = 1?i2 + 2i，则z ? ˉz =
A. ?i B. i C. 0 D. 1
3.已知向量a = (1,1)，b = (1,?1)．若(a+ λb) ⊥ (a+ μb)，则
A. λ + μ = 1 B. λ + μ = ?1 C. λμ = 1 D. λμ = ?1
4.设函数f(x) = 2x(x?a)在区间(0, 1)单调递减，则a的取值范围是
A. (?∞,?2] B. [?2, 0) C. (0, 2] D. [2,+∞)
5.设椭圆C1 : x
2
a2 +y
2 = 1(a > 1)，C2 : x
2
4 +y
2 = 1的离心率分别为e1, e2．若e2 = √3e1，则a=
A. 2
√3
3 B.
√2 C. √3 D. √6
6.过点(0, ?2)与圆x2 + y2 ?4x?1 = 0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=
A. 1 B.
√15
4 C.
√10
4 D.
√6
4
7.记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：
Sn
n
为等差数列，则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是必要条件
8.已知sin(α?β) = 13，cosαsinβ = 16，则cos(2α + 2β) =
A. 79 B. 19 C. ?19 D. ?79
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据x1,x2,··· ,x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则
A. x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,··· ,x6的平均数
B. x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,··· ,x6的中位数
C. x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,··· ,x6的标准差
D. x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,··· ,x6的极差
10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp = 20 ×lg pp
0
，其
中常数p0(p0 > 0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源与声源的距离/m声压级/dB
燃油汽车10 60～90
混合动力汽车10 50～60
电动汽车10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1, p2, p3，则
A. p1 ? p2 B. p2 > 10p3 C. p3 = 100p0 D. p1 ? 100p2
11.已知函数f(x)的定义域为R，f(xy) = y2f(x) + x2f(y)，则
A. f(0) = 0 B. f(1) = 0
C. f(x)是偶函数D. x = 0为f(x)的极小值点
12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有
A.直径为0.99m的球体B.所有棱长为1.4m的四面体
C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，满分20分。
13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门
课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选修方案共有种（用数字作答）．
14.正四棱台ABCD?A1B1C1D1中，AB = 2, A1B1 = 1, AA1 = √2，则该棱台的体积为．
—第1页—
2023高考试题（新高考全国卷1）数学
15.若函数f(x) = cosωx?1(ω > 0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是．
16.已知双曲线C : x
2
a2 ? 0
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为F1, F2．点A在C上，点B
在y轴上，# ?F1A ⊥ # ?F1B，# ?F2A = ?23 # ?F2B，则C的离心率为．
四、解答题：共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10分)
已知在△ABC中，A + B = 3C，2sin(A?C) = sinB．
（1）求sinA；
（2）设AB = 5，求AB边上的高．
18. (12分)
如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB = 2，AA1 = 4．
点A2, B2, C2, D2分别在棱AA1, BB1, CC1, DD1上，AA2 = 1，
BB2 = DD2 = 2，CC2 = 3．
（1）证明：B2C2 A2D2；
（2）点P在棱BB1上，当二面角P?A2C2?D2为150?时，
求B2P．
A
BC
D
A1
B1C1
D1
A2
B2
C2
D2
P
19. (12分)
已知函数f(x) = a(ex + a)?x．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）证明：当a > 0时，f(x) > 2lna + 32．
20. (12分)
设等差数列{an}的公差为d，且d > 1．令bn = n
2 + n
an，记Sn, Tn分别为数列{an}, {bn}的
前n项和．
（1）若3a2 = 3a1 + a3，S3 + T3 = 21，求{an}的通项公式；
（2）若{bn}为等差数列，且S99 ?T99 = 99，求d．
21. (12分)
甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对
方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由
抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi = 1) = 1?P(Xi = 0) = qi，i = 1,2,··· ,n，
则E
nX
i=1
Xi
=
nX
i=1
qi．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E(Y )．
22. (12分)
在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于P到点 0, 12 的距离，记动点P的轨迹为W．
（1）求W的方程；
（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3√3．
—第2页—
2023高考试题（新高考全国卷2）数学使用地区：辽、渝、琼、云、藏、晋、皖、吉、黑
2023高考试题（新高考全国卷2）数学
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.在复平面内，(1 + 3i)(3?i)对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.设集合A = {0,?a}，B = {1,a?2,2a?2}．若A B，则a =
A. 2 B. 1 C. 23 D. ?1
3.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初
中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则
不同的抽样结果共有
A. C45400 ·C15200种B. C20400 ·C40200种C. C30400 ·C30200种D. C40400 ·C20200种
4.若f(x) = (x + a)ln 2x?12x + 1为偶函数，则a =
A. ?1 B. 0 C. 12 D. 1
5.已知椭圆C : x
2
3 + y
2 = 1的左、右焦点分别为F1, F2，直线y = x + m与C交于A, B两点，
若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m =
A. 23 B.
√2
3 C. ?
√2
3 D. ?
2
3
6.已知函数f(x) = aex ?lnx在区间(1, 2)单调递增，则a的最小值为
A. e2 B. e C. e?1 D. e?2
7.已知α为锐角，cosα = 1 +
√5
4，则sin
α
2 =
A. 3?
√5
8 B.
?1 +√5
8 C.
3?√5
4 D.
?1 +√5
4
8.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4 = ?5，S6 = 21S2，则S8 =
A. 120 B. 85 C. ?85 D. ?120
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB = 120?，PA = 2，点C在底
面圆周上，且二面角P?AC?O为45?，则
A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为4√3π
C. AC = 2√2 D. △PAC的面积为√3
10.设O为坐标原点，直线y = ?√3(x? 1)过抛物线C : y2 = 2px(p > 0)的焦点，且与C交于
M, N两点，l为C的准线，则
A. p = 2 B. |MN| = 83
C.以MN为直径的圆与l相切D. △OMN为等腰三角形
11.若函数f(x) = alnx + bx + cx2(a 0)既有极大值也有极小值，则
A. bc > 0 B. ab > 0 C. b2 + 8ac > 0 D. ac < 0
12.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0 < α < 1)，收
到0的概率为1 ?α；发送1时，收到0的概率为β(0 < β < 1)，收到1的概率为1 ?β．考
虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送一次；三次传输是指每个
信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；
三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如收到1,0,1，则译码为1）．
A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1?α)(1?β)2
B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1?β)2
C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1?β)2 + (1?β)3
D.当0 < α < 0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案
译码为0的概率
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，满分15分。
13.已知向量a, b满足|a?b| = √3，|a+b| = |2a?b|，则|b| =．
14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四
棱锥，所得棱台的体积为．
15.已知直线x?my + 1 = 0与⊙C : (x?1)2 + y2 = 4交于A, B两点，写出满足“△ABC面积
为85”的m的一个值．
—第3页—
2023高考试题（新高考全国卷2）数学
16.已知函数f(x) = sin(ωx+φ)，如图，A, B是直线
y = 12与曲线y = f(x)的两个交点，若|AB| = π6，
则f(π) =．x
y
A B
2π
3
1
2
O
四、解答题：共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10分)
记△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知△ABC面积为√3，D为BC的中点，
且AD = 1．
（1）若∠ADC = π3，求tanB；
（2）若b2 + c2 = 8，求b, c．
18. (12分)
已知{an}为等差数列，bn =
§a
n ?6, n为奇数
2an, n为偶数．记Sn, Tn分别为数列{an}, {bn}的前n项
和，S4 = 32, T3 = 16．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：当n > 5时，Tn > Sn．
19. (12分)
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调
查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
指标
频率/组距
95 100 105 110 115 120 125 130
0.002
0.012
0.0340.036
0.040
患病者
指标
频率/组距
70 75 80 85 90 95 100 105
0.002
0.010
0.0340.036
0.0380.040
未患病者
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等
于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未
患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发
生的概率．
（1）当漏诊率p(c) = 0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
（2）设函数f(c) = p(c)+q(c)．当c ∈ [95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]
的最小值．
20. (12分)
如图，三棱锥A?BCD中，DA = DB = DC，BD ⊥ CD，
∠ADB = ∠ADC = 60?，E为BC的中点．
（1）证明：BC ⊥ DA；
（2）点F满足# ?EF = # ?DA，求二面角D?AB?F的正弦值．
A
B
C
D
E
F
21. (12分)
已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(?2√5,0)，离心率为√5．
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为A1, A2，过点(?4,0)的直线与C的左支交于M, N两点，M在
第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．
22. (12分)
（1）证明：当0 < x < 1时，x?x2 < sinx < x；
（2）已知函数f(x) = cosax?ln(1?x2)，若x = 0是f(x)的极大值点，求a的取值范围．
—第4页—
2023高考试题全国卷（课标版甲卷）理科数学使用地区：贵、川、桂
2023高考试题全国卷（课标版甲卷）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.设集合A = {x | x = 3k+1,k ∈ Z}，B = {x | x = 3k+2,k ∈ Z}，U为整数集，则?U(A B) =
A. {x | x = 3k,k ∈ Z} B. {x | x = 3k?1,k ∈ Z}
C. {x | x = 3k?2,k ∈ Z} D. ?
2.若实数a满足(a + i)(1?ai) = 2，则a =
A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2
3.执行右边的程序框图，输出的B =
A. 21
B. 34
C. 55
D. 89
开始
输入A = 1,B = 2,n = 1
n ? 3
A = A+B
B = A+B
n = n+ 1
是
输出B
否
结束
4.向量a, b, c满足|a| = |b| = 1，|c| = √2，a+b+c = 0，则cos?a?c,b?c? =
A. ?25 B. ?15 C. 15 D. 25
5.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1 = 1，S5 = 5S3 ?4，则
A. 7 B. 9 C. 15 D. 30
6.某学校高一年级有50人报名参加足球俱乐部，60人报名参加乒乓球俱乐部，70人报名参加足
球俱乐部或乒乓球俱乐部．若已知该年级某同学报名参加了足球俱乐部，则其报名参加乒乓球
俱乐部的概率为
A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1
7.设甲：sin2 α + sin2 β = 1，乙：sinα + cosβ = 0，则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是必要条件
8.离心率为√5的双曲线x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的一条渐近线与圆(x?2)
2 + (y?3)2 = 1交
于A, B两点，则|AB| =
A.
√5
5 B.
2√5
5 C.
3√5
5 D.
4√5
5
9. 5名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有一
人连续两天参加服务的选择种数为
A. 120 B. 60 C. 40 D. 30
10.将曲线y = cos
2x + π6
向左平移π6个单位长度后所得曲线与直线y = 12x? 12的交点个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11.底面为正方形的四棱锥P?ABCD中，AB = 4, PC = PD = 3，∠PCA = 45?，则△PBC的
面积为
A. 2√2 B. 3√2 C. 4√2 D. 5√2
12.已知椭圆C : x
2
9 +
y2
6 = 1的两焦点为F1, F2，P为C上的点，O是坐标原点，则|PO| =
A. 25 B.
√30
2 C.
3
5 D.
√35
2
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.已知f(x) = (x?1)2 + ax + sin
x + π2
为偶函数，则a =．
14.已知x, y满足
8<
:
2x?3y + 3 ? 0
3x?2y ?3 ? 0
x + y ?1 ? 0
，则z = 3x + 2y的最大值为．
15.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E, F分别为CD, A1B1的中点，则以EF为直径的球面与
该正方体的所有棱的公共点的总个数为．
16.在△ABC中，AB = 2, BC = √6，∠BAC = 60?，∠BAC的平分线交BC于点D，则
AD =．
—第5页—
2023高考试题全国卷（课标版甲卷）理科数学
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17. (12分)
记Sn为数列{an}的前n项和．已知a2 = 1，2Sn = nan．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列
an+1
2n
的前n项和Tn．
18. (12分)
如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A1C ⊥底面ABC，
CA ⊥ CB，AA1 = 2，A1到平面BCC1B1的距离为1．
（1）证明：AC = A1C；
（2）若直线AA1与BB1之间的距离为2，求AB1与平
面BCC1B1所成角的正弦值．
A
BC
A1
B1C1
19. (12分)
一项试验旨在研究臭氧效应，实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验
组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正
常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（1）随机分组时，设其中两只小白鼠在对照组中的数目为X，求X的分布列和数学期望；
（2）设40只小白鼠体重的增加量的中位数为m．
（i）求m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据个数，完成如下列联表：
< m ? m
对照组
实验组
（ii）能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度环境中与在正常环境中体重的增加量有差异?
附：K2 = n(ad?bc)
2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)，
P(K2 ? k) 0.10 0.05 0.010
k 2.706 3.841 6.635
20. (12分)
已知直线x?2y + 1 = 0与抛物线C : y2 = 2px(p > 0)交于A, B两点，且|AB| = 4√15．
（1）求p；
（2）设F为C的焦点，M, N为C上两点，且# ?MF · # ?NF = 0，求△MNF面积的最小值．
21. (12分)
已知函数f(x) = ax? sinxcos2 x，x ∈ 0, π2 ．
（1）若a = 8，讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x) < sin2x恒成立，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，已知点P(2,1)，直线l的参数方程为
currency1
x = 2 + tcosα
y = 1 + tsinα（t为参数，α
是倾斜角），l与两坐标轴的正半轴分别交于点A, B，且|PA|·|PB| = 4．
（1）求α；
（2）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) = 2|x?a|?a，a > 0．
（1）解不等式f(x) < x；
（2）若曲线y = f(x)与坐标轴围成的图形的面积为2，求a．
—第6页—
2022高考试题全国卷（课标版甲卷）文科数学使用地区：贵、川、桂
2022高考试题全国卷（课标版甲卷）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.设全集U = {1,2,3,4}，集合M = {1,4}，N = {2,5}，则N ?UM =
A. {2,3,5} B. {x1,3,4} C. {1,2,4,5} D. {2,3,4,5}
2. 5(1 + i
3)
(2 + i)(2?i) =
A. ?1 B. 1 C. 1?i D. 1 + i
3.已知向量a = (3, 1)，b = (2, 2)，则cos?a+b, a?b? =
A. 117 B.
√17
17 C.
√5
5 D.
2√5
5
4.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这四名学生中随机选2名组织文艺汇
演，则这2名学生来自不同年级的概率为
A. 16 B. 13 C. 12 D. 23
5.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1 + a6 = 10 = 1，a4a8 = 45，则S5=
A. 25 B. 22 C. 20 D. 15
6.执行右边的程序框图，输出的B =
A. 21
B. 34
C. 55
D. 89
开始
输入A = 1,B = 2,n = 1
n ? 3
A = A+B
B = A+B
n = n+ 1
是
输出B
否
结束
7.设F1, F2为椭圆C : x
2
5 +y
2 = 1的两个焦点，点P在C上，若# ?PF1· # ?PF2 = 0，则|PF1|·|PF2| =
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
8.曲线y = e
x
x + 1在点
1, e
2
处的切线方程为
A. y = e4x B. y = e2x C. y = e4x + e4 D. y = e2x + 3e4
9.离心率为√5的双曲线x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的一条渐近线与圆(x?2)
2 + (y?3)2 = 1交
于A, B两点，则|AB| =
A.
√5
5 B.
2√5
5 C.
3√5
5 D.
4√5
5
10.在三棱锥P?ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA = PB = 2，PC = √6，则该棱
锥的体积为
A. 1 B. √3 C. 2 D. 3
11.已知函数f(x) = e?(x?1)2．记a = f
√2
2
，b = f
√3
2
，c = f
√6
2
，则
A. b > c > a B. b > a > c C. c > b > a D. c > a > b
12.将曲线y = cos
2x + π6
向左平移π6个单位长度后所得曲线与直线y = 12x? 12的交点个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6 = 7S3，则{an}的公比为．
14.已知f(x) = (x?1)2 + ax + sin
x + π2
为偶函数，则a =．
15.已知x, y满足约束条件
8>
<
>:
2x?3y + 3 ? 0
3x?2y ?3 ? 0
x + y ?1 ? 0
，则z = 3x + 2y的最大值为．
16.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，AB = 4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面
有公共点，则球O的半径的取值范围是．
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
—第7页—
2022高考试题全国卷（课标版甲卷）文科数学
17. (12分)
记△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c．已知b
2 + c2 ?a2
cosA = 2．
（1）求bc；
（2）若acosB ?bcosAacosB + bcosA ? bc = 1，求△ABC的面积．
18. (12分)
如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A1C ⊥底面ABC，
CA ⊥ CB．
（1）证明：平面ACC1A1 ⊥平面BB1C1C；
（2）设AB = A1B, AA1 = 2，求四棱锥A1?BB1C1C
的高．
A
BC
A1
B1C1
19. (12分)
一项试验旨在研究臭氧效应，实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验
组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正
常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（1）计算试验组的样本平均数；
（2）设40只小白鼠体重的增加量的中位数为m．
（i）求m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据个数，完成如下列联表：
< m ? m
对照组
实验组
（ii）能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度环境中与在正常环境中体重的增加量有差异?
附：K2 = n(ad?bc)
2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)，
P(K2 ? k) 0.10 0.05 0.010
k 2.706 3.841 6.635
20. (12分)
已知函数f(x) = ax? sinxcos2 x，x ∈ 0, π2 ．
（1）若a = 1，讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x) + sinx < 0恒成立，求a的取值范围．
21. (12分)
已知直线x?2y + 1 = 0与抛物线C : y2 = 2px(p > 0)交于A, B两点，且|AB| = 4√15．
（1）求p；
（2）设F为C的焦点，M, N为C上两点，且# ?MF · # ?NF = 0，求△MNF面积的最小值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，已知点P(2,1)，直线l的参数方程为
§x = 2 + tcosα
y = 1 + tsinα（t为参数，α
是倾斜角），l与两坐标轴的正半轴分别交于点A, B，且|PA|·|PB| = 4．
（1）求α；
（2）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) = 2|x?a|?a，a > 0．
（1）解不等式f(x) < x；
（2）若曲线y = f(x)与坐标轴围成的图形的面积为2，求a．
—第8页—
2023高考试题全国卷（课标版乙卷）理科数学使用地区：豫、陕、赣、宁、甘、青、新、蒙
2023高考试题全国卷（课标版乙卷）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.设z = 2 + i1 + i2 + i5，则ˉz =
A. 1?2i B. 1 + 2i C. 2?i D. 2 + i
2.设全集U = R，集合M = {x | x < 1}，N = {x | ?1 < x < 2}，则集合{x | x ? 2} =
A. ?U(M N) B. N ?UM C. ?(M N) D. M ?UN
3.如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形边长
为1，则该零件的表面积为
A. 24
B. 26
C. 28
D. 30
4.已知f(x) = xe
x
eax ?1是偶函数，则a =
A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2
5.设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{(x,y) | 1 ? x2 + y2 ? 4}内随机取一点，记该点为A，
则直线OA的倾斜角不大于π4的概率为
A. 18 B. 16 C. 14 D. 12
6.已知函数f(x) = sin(ωx + φ)在区间
π
6,
2π
3
单调递增，直线x = π6和x = 2π3为曲线
y = f(x)的两条对称轴，则f
? 5π12
=
A. ?
√3
2 B. ?
1
2 C.
1
2 D.
√3
2
7.甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的
选法共有
A. 30种B. 60种C. 120种D. 240种
8.已知圆锥PO的底面半径为√3，O为底面圆心，PA, PB为圆锥母线，∠AOB = 120?，若
△PAB面积等于9
√3
4，则该圆锥的体积为
A. π B. √π C. 3π D. 3√6π
9.在四面体ABCD中，已知△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，△ABD为等边三角形．
若二面角C?AB?D为150?，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为
A. 15 B.
√2
5 C.
√3
5 D.
2
5
10.已知等差数列{an}的公差为2π3，集合S = {cosan | n ∈ N?}，若S = {a, b}，则ab =
A. ?1 B. ?12 C. 0 D. 12
11.设A, B为双曲线x2 ? y
2
9 = 1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是
A. (1,1) B. (?1,2) C. (1,3) D. (?1,4)
12.已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B, C两点，D为
BC的中点．若|PO| = √2，则# ?PA · # ?PD的最大值为
A. 1 +
√2
2 B.
1 + 2√2
2 C. 1 +
√2 D. 2 +√2
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.已知点A(1,√5)在抛物线C : y2 = 2px上，则A到C的准线的距离为．
14.已知x, y满足约束条件
8
><
>:
x?3y + 1 ? 0
x + 2y ?9 ? 0
3x + y ?7 ? 0
，则z = 2x?y的最大值为．
15.等比数列{an}满足a2a4a5 = a3a6，a9a10 = ?8，则a7 =．
16.设a ∈ (0,1)，若函数f(x) = ax + (1 +a)x在(0,+∞)单调递增，则a的取值范围是．
—第9页—
2023高考试题全国卷（课标版乙卷）理科数学
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17. (12分)
某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行了10次配对试验，每次配对试
验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测得处理
后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi, yi(i = 1,2,··· ,10)，
试验结果如下：
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi = x1 ?yi( = 1,2,··· ,10)，设z1,z2,··· ,z10的样本平均数为ˉz，样本方差为s2．
（1）求ˉz, s2；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提
高（若ˉz ? 2
s2
10，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高）？
18. (12分)
在△ABC中，已知∠BAC = 120?，AB = 2，AC = 1．
（1）求sin∠ABC；
（2）若D为BC上一点，且∠BAD = 90?，求△ADC的面积．
19. (12分)
如图，在三棱锥P ?ABC中，AB ⊥ BC，AB = 2，
BC = 2√2，PB = PC = √6，BP, AP, BC的中点分别为
D, E, O，且AD = √5DO．点F在AC上，BF ⊥ AO．
（1）证明：EF平面AOD；
（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF；
（3）求二面角D?AO?C的正弦值．
A
B C
D
E
F
O
P
20. (12分)
已知椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的离心率为
√5
3，点A(?2,0)在C上．
（1）求C的方程；
（2）过点(?2,3)的直线交C于P, Q两点，直线AP, AQ与y轴的交点分别为M, N．证明：
线段MN的中点为定点．
21. (12分)
已知函数f(x) =
1
x + a
ln(1 + x)．
（1）当a = ?1时，求曲线y = f(x)在点 1,f(1) 处的切线方程；
（2）是否存在a, b，使得曲线y = f
1
x
关于直线x = b对称?若存在，求a, b的值；若不存
在，说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标
方程为ρ = 2sinθ
π
4 ? θ ?
π
2
，曲线C2的参数方程为
currency1x = 2cosα
y = 2sinα（α为参数，且
π
2 < α < π）．
（1）写出C1的直角坐标方程；
（2）若直线y = x + m既与C1没有公共点，也与C2没有公共点，求m的取值范围．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知f(x) = 2|x|+|x?2|．
（1）求不等式f(x) ? 6?x的解集；
（2）在直角坐标系xOy中，求不等式组
currency1f(x) ? y
x + y ?6 ? 0所确定的平面区域的面积．
—第10页—
2023高考试题全国卷（课标版乙卷）文科数学使用地区：豫、陕、赣、宁、甘、青、新、蒙
2023高考试题全国卷（课标版乙卷）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1. 2 + i2 + 2i3 =
A. 1 B. 2 C. √5 D. 5
2.设全集U = {0,1,2,4,6,8}，集合M = {0,4,6}，N = {0,1,6}，则集合M ?UN =
A. {0,2,4,6,8} B. {0,1,4,6,8} C. {1,2,4,6,8} D. U
3.如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形边长
为1，则该零件的表面积为
A. 24
B. 26
C. 28
D. 30
4.在△ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c，若acosB?bcosA = c，且C = π5，则B =
A. π10 B. π5 C. 3π10 D. 2π5
5.已知f(x) = xe
x
eax ?1是偶函数，则a =
A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2
6.正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，则# ?EC · # ?ED =
A. √5 B. 3 C. 2√5 D. 5
7.设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{(x,y) | 1 ? x2 + y2 ? 4}内随机取一点，记该点为A，
则直线OA的倾斜角不大于π4的概率为
A. 18 B. 16 C. 14 D. 12
8.已知函数f(x) = x3 + ax + 2存在三个零点，则a的取值范围是
A. (?∞,?2) B. (?∞,?3) C. (?4,?1) D. (?3,0)
9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题作文，则甲、乙两位
参赛同学抽到不同主题的概率为
A. 56 B. 23 C. 12 D. 13
10.已知函数f(x) = sin(ωx + φ)在区间
π
6,
2π
3
单调递增，直线x = π6和x = 2π3为曲线
y = f(x)的两条对称轴，则f
? 5π12
=
A. ?
√3
2 B. ?
1
2 C.
1
2 D.
√3
2
11.已知实数x, y满足x2 + y2 ?4x?2y ?4 = 0，则x?y的最大值为
A. 1 + 3
√2
2 B. 4 C. 1 + 3
√2 D. 7
12.设A, B为双曲线x2 ? y
2
9 = 1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是
A. (1,1) B. (?1,2) C. (1,3) D. (?1,4)
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.已知点A(1,√5)在抛物线C : y2 = 2px上，则A到C的准线的距离为．
14.若0 < θ < π2，tanθ = 12，则sinθ?cosθ =．
15.已知x, y满足约束条件
8
><
>:
x?3y + 1 ? 0
x + 2y ?9 ? 0
3x + y ?7 ? 0
，则z = 2x?y的最大值为．
16.已知点S,A,B,C均在半径为2的同一球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面
ABC，则SA =．
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
—第11页—
2023高考试题全国卷（课标版乙卷）文科数学
17. (12分)
某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行了10次配对试验，每次配对试
验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测得处理
后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi, yi(i = 1,2,··· ,10)，
试验结果如下：
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi = x1 ?yi( = 1,2,··· ,10)，设z1,z2,··· ,z10的样本平均数为ˉz，样本方差为s2．
（1）求ˉz, s2；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提
高（若ˉz ? 2
s2
10，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高）？
18. (12分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2 = 11, S10 = 40．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{|an|}的前n项和Tn．
19. (12分)
如图，在三棱锥P ?ABC中，AB ⊥ BC，AB = 2，
BC = 2√2，PB = PC = √6，BP, AP, BC的中点分别为
D, E, O，点F在AC上，且BF ⊥ AO．
（1）证明：EF平面AOD；
（2）若∠POF = 120?，求三棱锥P?ABC的体积．
A
B C
D
E
F
O
P
20. (12分)
已知函数f(x) =
1
x + a
ln(1 + x)．
（1）当a = ?1时，求曲线y = f(x)在点 1,f(1) 处的切线方程；
（2）若f(x)在(0,+∞)单调递增，求a的取值范围．
21. (12分)
已知椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的离心率为
√5
3，点A(?2,0)在C上．
（1）求C的方程；
（2）过点(?2,3)的直线交C于P, Q两点，直线AP, AQ与y轴的交点分别为M, N．证明：
线段MN的中点为定点．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标
方程为ρ = 2sinθ
π
4 ? θ ?
π
2
，曲线C2的参数方程为
currency1x = 2cosα
y = 2sinα（α为参数，且
π
2 < α < π）．
（1）写出C1的直角坐标方程；
（2）若直线y = x + m既与C1没有公共点，也与C2没有公共点，求m的取值范围．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知f(x) = 2|x|+|x?2|．
（1）求不等式f(x) ? 6?x的解集；
（2）在直角坐标系xOy中，求不等式组
currency1f(x) ? y
x + y ?6 ? 0所确定的平面区域的面积．
—第12页—
2022高考试题（新高考全国卷1）数学使用省份：鲁、鄂、湘、苏、冀、粤、闽
2022高考试题（新高考全国卷1）数学
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.若集合M = {x | √x < 4}，N = {x | 3x ? 1}，则M N =
A. {x | 0 ? x < 2} B.
x
1
3 ? x < 2
C. {x | 3 ? x < 16} D.
x
1
3 ? x < 16
2.若i(1?z) = 1，则z + ˉz =
A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2
3.在△ABC中，点D在边AB上，BD = 2DA．记# ?CA = m, # ?CD = n，则# ?CB =
A. 3m?2n B. ?2m+ 3n C. 3m+ 2n D. 2m+ 3n
4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水
位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积
为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看做一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上
升到157.5m时，增加的水量约为（√7 ≈ 2.65）
A. 1.0×109 m3 B. 1.2×109 m3 C. 1.4×109 m3 D. 1.6×109 m3
5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为
A. 16 B. 13 C. 12 D. 23
6.记函数f(x) = sin
ωx+ π4
+b(ω > 0)的最小正周期为T．若2π3 < T < π，且y = f(x)的图
像关于点
3π
2 ,2
中心对称，则f π2 =
A. 1 B. 32 C. 52 D. 3
7.设a = 0.1e0.1，b = 19，c = ?ln0.9，则
A. a < b < c B. c < b < a C. c < a < b D. a < c < b
8.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3 ? l ? 3√3，
则该正四棱锥体积的取值范围是
A.
18, 814
B.
27
4 ,
81
4
C.
27
4 ,
64
3
D. [18,27]
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知正方体ABCD?A1B1C1D1，则
A.直线BC1与DA1所成的角为90?
B.直线BC1与CA1所成的角为90?
C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45?
D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45?
10.已知函数f(x) = x3 ?x + 1，则
A. f(x)有两个极值点B. f(x)有三个零点
C.点(0,1)是曲线y = f(x)的对称中心D.直线y = 2x是曲线y = f(x)的切线
11.已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C : x2 = 2py(p > 0)上，过点B(0,?1)的直线交C
于P, Q两点，则
A. C的准线为y = ?1 B.直线AB与C相切
C. |OP|·|OQ| > |OA|2 D. |BP|·|BQ| > |BA|2
12.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x) = f′(x)．若f
3
2 ?2x
, g(2 +x)均
为偶函数，则
A. f(0) = 0 B. g ? 12 = 0 C. f(?1) = f(4) D. g(?1) = g(2)
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，满分20分。
13. 1? yx (x + y)8的展开式中x2y6的系数为（用数字作答）．
14.写出与圆x2 + y2 = 1和(x?3)2 + (y ?4)2 = 16都相切的一条直线的方程．
—第13页—
2022高考试题（新高考全国卷1）数学
15.若曲线y = (x + a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．
16.已知椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1, F2，离心率为
1
2．过
F1且垂直于AF2的直线与C交于D, E两点，|DE| = 6，则△ADE的周长是．
四、解答题：共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10分)
记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1 = 1，
Sn
an
是公差为13的等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：1a
1
+ 1a
2
+···+ 1a
n
< 2．
18. (12分)
记△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知cosA1 + sinA = sin2B1 + cos2B．
（1）若C = 2π3，求B；
（2）求a
2 + b2
c2的最小值．
19. (12分)
如图，直三棱柱ABC?A1B1C1的体积为4，△A1BC
的面积为2√2．
（1）求A到平面A1BC的距离；
（2）设D为A1C的中点，AA1 = AB，平面A1BC ⊥
平面ABB1A，求二面角A?BD?C的正弦值．
A
B
C
D
A1
B1
C1
20. (12分)
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良
好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人
群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好良好
病例组40 60
对照组10 90
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到
的人患有该疾病”，P(B|A)P(B|A)与P(B|A)P(B|A)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度
量指标，记该指标为R .
（i）证明：R = P(A|B)P(A|B) · P(A|B)P(A|B)；
（ii）利用该调查数据，给出P(A|B), P(A|B)的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值．
附：K2 = n(ad?bc)
2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)，
P(K2 ? k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
21. (12分)
已知点A(2,1)在双曲线C : x
2
a2 ?
y2
a2 ?1 = 1(a > 1)上，直线l交C于P, Q两点，直线
AP, AQ的斜率之和为0．
（1）求l的斜率；
（2）若tan∠PAQ = 2√2，求△PAQ的面积．
22. (12分)
已知函数f(x) = ex ?ax和g(x) = ax?lnx有相同的最小值．
（1）求a；
（2）证明：存在直线y = b，其与两条曲线y = f(x)和y = g(x)共有三个不同的交点，并且从左
到右的三个交点的横坐标成等差数列．
—第14页—
2022高考试题（新高考全国卷2）数学使用地区：辽、渝、琼
2022高考试题（新高考全国卷2）数学
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合A = {?1,1,2,4}, B = {x | |x?1|? 1}，则A B =
A. {?1,2} B. {1,2} C. {1,4} D. {?1,4}
2. (2 + 2i)(1?2i) =
A. ?2 + 4i B. ?2?4i C. 6 + 2i D. 6?2i
3.图1是中国古建筑中的举架结构，AA′, BB′, CC′, DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，
垂直距离称为举．图2是某古建筑屋顶截面的示意图，其中DD1, CC1, BB1, AA1是举，
OD1, DC1, CB1, BA1是相等的步．相邻桁的举步之比分别为DD1OD
1
= 0.5, CC1DC
1
= k1, BB1CB
1
=
k2, AA1BA
1
= k3．已知k1, k2, k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3 =
A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9
D
C
B
A
A′
B′
C′
D′
O O x
y
D
C
B
A
D1
C1
B1
A1
图1图2
4.已知向量a = (3,4), b = (1,0), c = a+ tb，若?a,c? = ?b,c?，则t =
A. ?6 B. ?5 C. 5 D. 6
5.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演．若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的
排列方式共有
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
6.若sin(α + β) + cos(α + β) = 2√2cos
α + π4
sinβ，则
A. tan(α?β) = 1 B. tan(α + β) = 1 C. tan(α?β) = ?1 D. tan(α + β) = ?1
7.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3√3和4√3，其顶点都在同一球面上，则该球
的表面积为
A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π
8.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x + y) + f(x?y) = f(x)f(y)，f(1) = 1，则
22X
k=1
f(k) =
A. ?3 B. ?2 C. 0 D. 1
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x) = sin(2x + φ)(0 < φ < π)的图像关于点
2π
3 ,0
中心对称，则
A. f(x)在区间
0, 5π12
单调递减
B. f(x)在区间
? π12, 11π12
有两个极值点
C.直线x = 7π6是曲线y = f(x)的对称轴
D.直线x =
√3
2 ?x是曲线y = f(x)的切线
10.已知O为坐标原点，过抛物线C : y2 = 2px(p > 0)的焦点F的直线与C交于A, B两点，其
中A在第一象限，点M(p,0)．若|AF| = |AM|，则
A.直线AB的斜率为2√6 B. |OB| = |OF|
C. |AB| > 4|OF| D. ∠OAM +∠OBM < 180?
11.如图，四边形ABCD为正方形，ED ⊥平面ABCD，FB ED，
AB = ED = 2FB．记三棱锥E?ACD, F?ABC, F?ACE的体
积分别为V1, V2, V3，则
A B
CD
E
FA. V3 = 2V2 B. V3 = V1
C. V3 = V1 + V2 D. 2V3 = 3V1
12.若x, y满足x2 + y2 ?xy = 1，则
A. x + y ? 1 B. x + y ??2 C. x2 + y2 ? 2 D. x2 + y2 ? 1
—第15页—
2022高考试题（新高考全国卷2）数学
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，满分20分。
13.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(2 < X ? 2.5) = 0.36，则P(X > 2.5) =．
14.曲线y = ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为，．
15.设点A(?2,3), B(0,a)．若直线AB关于y = a对称的直线与圆(x+ 3)2 + (y + 2)2 = 1有公共
点，则a的取值范围是．
16.已知直线l与椭圆x
2
6 +
y2
3 = 1在第一象限交于A, B两点，l与x轴，y轴分别交于M, N两
点，且|MA| = |NB|，|MN| = 2√3，则l的方程为．
四、解答题：共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10分)
已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2 ?b2 = a3 ?b3 = b4 ?a4．
（1）证明：a1 = b1；
（2）求集合{k | bk = am + a1, 1 ? m ? 500}中元素的个数．
18. (12分)
记△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，分别以a, b, c为边长的三个正三角形的面积
依次为S1, S2, S3．已知S1 ?S2 + S3 =
√3
2 , sinB =
1
3．
（1）求△ABC的面积；
（2）若sinAsinC =
√2
3，求b．
19. (12分)
某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率
分布直方图：
频率/组距
年龄/岁0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.006
0.012
0.017
0.020
0.023
0.0010.002
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口
的16%，从该地区中任选1人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率（以样本
数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）．
20. (12分)
如图，PO是三棱锥P?ABC的高，PA = PB，
AB ⊥ AC，E为PB的中点．
（1）证明：OE平面PAC；
（2）若∠ABO = ∠CBO = 30?，PO = 3,PA = 5，
求二面角C?AE?B的正弦值．
A B
C
P
E
O
21. (12分)
已知双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y = ±
√3x．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A, B两点，点P(x1,y1), Q(x2,y2)在C上，且
x1 > x2 > 0, y1 > 0．过P且斜率为?√3的直线与过Q且斜率为√3的直线交于点M．从下
面1 2 3中选取两个作为条件，证明另一个成立．
1 M在AB上；2 PQ AB；3 |MA| = |MB|．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
22. (12分)
已知函数f(x) = xeax ?ex．
（1）当a = 1时，讨论f(x)的单调性；
（2）当x > 0时，f(x) < ?1，求a的取值范围；
（3）设n ∈ N?，证明：1√12 + 1 + 1√22 + 1 +···+ 1√n2 + 1 > ln(n + 1)．
—第16页—
2022高考试题全国卷（课标版甲卷）理科数学使用地区：云、贵、川、藏、桂
2022高考试题全国卷（课标版甲卷）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.若z = ?1 +√3i，则zzˉz ?1 =
A. ?1 +√3i B. ?1?√3i C. ?13 +
√3
3 i D. ?
1
3 ?
√3
3 i
2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居
民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座
后问卷答题的正确率如下图：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
60%
65%
70%
75%
80%
85%
90%
95%
100%
0
? ? ? ? ?
?
? ?
?
?
居民编号
?讲座前
讲座后正确率
则
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3.设全集U = {?2,?1,0,1,2,3}，集合A = {?1,2}, B = {x | x2 ?4x+ 3 = 0}，则?U(A∪B) =
A. {1,3} B. {0,3} C. {?2,1} D. {?2,0}
4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格
小正方形的边长为1，则该多面体的体积为
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
5.函数y = (3x ?3?x)cosx在区间 ? π2, π2 的图像大致为
A. x
y
1
π
2?
π
2
O B. x
y
1
π
2?
π
2
O
C. x
y
1
π
2?
π
2
O D.
x
y
1
π
2?
π
2
O
6.当x = 1时，函数f(x) = alnx + bx取得最大值?2，则f′(2) =
A. ?1 B. ?12 C. 12 D. 1
7.在长方体ABCD?A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为
30?，则
A. AB = 2AD B. AB与平面AB1C1D所成的角为30?
C. AC = CB1 D. B1D与平面BB1C1C所成的角为45?
8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，
AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D
在 AB上，CD ⊥ AB．“会圆术”给出 AB的弧长的近似值s
的计算公式：s = AB+ CD
2
OA．当OA = 2, ∠AOB = 60
?时，s =
O
A BC
D
A. 11?3
√3
2 B.
11?4√3
2
C. 9?3
√3
2 D.
9?4√3
2
9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体
积分别为V甲和V乙．若S甲S
乙
= 2，则V甲V
乙
=
A. √5 B. 2√2 C. √10 D. 5
√10
4
10.椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的左顶点为A，点P, Q均在C上，且关于y轴对称．若直
线AP, AQ的斜率之积为14，则C的离心率为
A.
√3
2 B.
√2
2 C.
1
2 D.
1
3
11.设函数f(x) = sin
ωx + π3
在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是
A.
5
3,
13
6
B.
5
3,
19
6
C.
13
6 ,
8
3
D.
13
6 ,
19
6
—第17页—
2022高考试题全国卷（课标版甲卷）理科数学
12.已知a = 3132，b = cos 14，c = 4sin 14，则
A. c > b > a B. b > a > c C. a > b > c D. a > c > b
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.设向量a, b的夹角的余弦值为13，且|a| = 1, |b| = 3，则(2a+b) ·b =．
14.若双曲线y2 ? x
2
m2 = 1(m > 0)的渐近线与圆x
2 + y2 ?4y + 3 = 0相切，则m =．
15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为．
16.已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB = 120?，AD = 2，CD = 2BD．当ACAB取得最小
值时，BD =．
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17. (12分)
记Sn为数列{an}的前n项和．已知2Snn + n = 2an + 1．
（1）证明：{an}是等差数列；
（2）若a4, a7, a9成等比数列，求Sn的最小值．
18. (12分)
在四棱锥P?ABCD中，PD ⊥底面ABCD，CD AB，
AD = DC = CB = 1，AB = 2，DP = √3．
（1）证明：BD ⊥ PA；
（2）求PD与平面PAB所成角的正弦值．
A B
CD
P
19. (12分)
甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没
有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分
别为0.5, 0.4, 0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
20. (12分)
设抛物线C : y2 = 2px(p > 0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M, N两点．当
直线MD垂直于x轴时，|MF| = 3．
（1）求C的方程；
（2）设直线MD, ND与C的另一个交点分别为A, B，记直线MN, AB的倾斜角分别为
α, β．当α?β取得最大值时，求直线AB的方程．
21. (12分)
已知函数f(x) = e
x
x ?lnx + x?a．
（1）若f(x) ? 0，求a的取值范围；
（2）证明：若f(x)有两个零点x1, x2，则x1x2 < 1．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
(
x = 2 + t6
y = √t
（t为参数），曲线C2的参数方程
为
(
x = ?2 + s6
y = ?√s
（s为参数）．
（1）写出C1的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为
2cosθ?sinθ = 0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知a, b, c均为正数，且a2 + b2 + 4c2 = 3，证明：
（1）a + b + 2c ? 3；
（2）若b = 2c，则1a + 1c ? 3．
—第18页—
2022高考试题全国卷（课标版甲卷）文科数学使用地区：云、贵、川、藏、桂
2022高考试题全国卷（课标版甲卷）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.设集合A = {?2,?1,0,1,2}，B = {x | 0 ? x < 52}，则A B =
A. {0,1,2} B. {?2,?1,0} C. {0,1} D. {1,2}
2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居
民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座
后问卷答题的正确率如下图：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
60%
65%
70%
75%
80%
85%
90%
95%
100%
0
? ? ? ? ?
?
? ?
?
?
居民编号
?讲座前
讲座后正确率
则
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3.若z = 1 + i，则|iz + 3ˉz| =
A. 4√5 B. 4√2 C. 2√5 D. 2√2
4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格
小正方形的边长为1，则该多面体的体积为
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
5.将函数f(x) = sin
ωx + π3
(ω > 0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C．若C关于
y轴对称，则ω的最小值是
A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
6.从分别写有1, 2, 3, 4, 5, 6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之
积是4的倍数的概率为
A. 15 B. 13 C. 25 D. 23
7.函数y = (3x ?3?x)cosx在区间 ? π2, π2 的图像大致为
A. x
y
1
π
2?
π
2
O B. x
y
1
π
2?
π
2
O
C. x
y
1
π
2?
π
2
O D.
x
y
1
π
2?
π
2
O
8.当x = 1时，函数f(x) = alnx + bx取得最大值?2，则f′(2) =
A. ?1 B. ?12 C. 12 D. 1
9.在长方体ABCD?A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为
30?，则
A. AB = 2AD B. AB与平面AB1C1D所成的角为30?
C. AC = CB1 D. B1D与平面BB1C1C所成的角为45?
10.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体
积分别为V甲和V乙．若S甲S
乙
= 2，则V甲V
乙
=
A. √5 B. 2√2 C. √10 D. 5
√10
4
11.椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的离心率为
1
3，A1, A2分别为C的左、右顶点，若B为C
的上顶点．若# ?BA1 · # ?BA2 = ?1，则C的方程为
A. x
2
18 +
y2
16 = 1 B.
x2
9 +
y2
8 = 1 C.
x2
3 +
y2
2 = 1 D.
x2
2 + y
2 = 1
12.已知9m = 10，a = 10m ?11，b = 8m ?9，则
A. a > 0 > b B. a > b > 0 C. b > a > 0 D. b > 0 > a
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.已知向量a = (m,3), b = (1,m + 1)．若a⊥b，则m =．
—第19页—
2022高考试题全国卷（课标版甲卷）文科数学
14.设点M在直线2x+y?1 = 0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为．
15.记双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的离心率为e，写出满足条件“直线y = 2x与C无公
共点”的e的一个值．
16.已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB = 120?，AD = 2，CD = 2BD．当ACAB取得最小
值时，BD =．
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17. (12分)
甲、乙两城之间的长度客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长度客车的运行情
况，随机调查了甲、乙两城之间的的500个班次，得到下面的列联表：
准点班次数未准点班次数
A 240 20
B 210 30
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：K2 = n(ad?bc)
2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)，
P(K2 ? k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18. (12分)
记Sn为数列{an}的前n项和．已知2Snn + n = 2an + 1．
（1）证明：{an}是等差数列；
（2）若a4, a7, a9成等比数列，求Sn的最小值．
19. (12分)
小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包
装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，
△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形，且它们所在平
面都与平面ABCD垂直．
（1）证明：EF平面ABCD；
（2）求该包装盒的容积（不计包装材料的厚度）．
A B
CD
E F
G
C
20. (12分)
已知函数f(x) = x3 ?x，g(x) = x2 + a，曲线y = f(x)在点 x1,f(x11) 处的切线也是曲线
y = g(x)的切线．
（1）若x1 = ?1，求a；
（2）求a的取值范围．
21. (12分)
设抛物线C : y2 = 2px(p > 0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M, N两点．当
直线MD垂直于x轴时，|MF| = 3．
（1）求C的方程；
（2）设直线MD, ND与C的另一个交点分别为A, B，记直线MN, AB的倾斜角分别为
α, β．当α?β取得最大值时，求直线AB的方程．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
(
x = 2 + t6
y = √t
（t为参数），曲线C2的参数方程
为
(
x = ?2 + s6
y = ?√s
（s为参数）．
（1）写出C1的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为
2cosθ?sinθ = 0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知a, b, c均为正数，且a2 + b2 + 4c2 = 3，证明：
（1）a + b + 2c ? 3；
（2）若b = 2c，则1a + 1c ? 3．
—第20页—
2022高考试题全国卷（课标版乙卷）理科数学使用地区：皖、豫、陕、晋、赣、甘、黑、吉、宁、青、新、蒙
2022高考试题全国卷（课标版乙卷）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.设全集U = {1,2,3,4,5}，集合M满足?UM = {1,3}，则
A. 2 ∈ M B. 3 ∈ M C. 4 ?∈ M D. 5 ?∈ M
2.已知z = 1?2i，且z + aˉz + b = 0，其中a, b为实数，则
A. a = 1,b = ?2 B. a = ?1,b = 2 C. a = 1,b = 2 D. a = ?1,b = ?2
3.已知向量a, b满足|a| = 1, |b| = √3, |a?2b| = 3，则a·b =
A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2
4.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造卫
星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：
b1 = 1 + 1α
1
，b2 = 1 + 1
α1 + 1α
2
，b3 = 1 + 1
α1 + 1
α2 + 1α
3
，···，依此类推，其中
αk ∈ N?(k = 1,2,···)．则
A. b1 < b5 B. b3 < b8 C. b6 < b2 D. b4 < b7
5.设F为抛物线C : y2 = 4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)．若|AF| = |BF|，则|AB| =
A. 2 B. 2√2 C. 3 D. 3√2
6.执行右边的程序框图，输出的n =
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
开始
输入a = 1,b = 1,n = 1
b = b+ 2a
a = b?a,n = n+ 1
b
2
a2 ?2
< 0.01
是
输出n
否
结束
7.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E, F分别为AB, BC的中点，则
A.平面B1EF ⊥平面BDD1 B.平面B1EF ⊥平面A1BD
C.平面B1EF平面A1AC D.平面B1EF平面A1C1D
8.已知等比数列{an}的前3项和为168，a2 ?a5 = 42，则a6 =
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
9.已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥
的体积最大时，其高为
A. 13 B. 12 C.
√3
3 D.
√2
2
10.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比
赛获胜的概率分别为p1, p2, p3，且p3 > p2 > p1 > 0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则
A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
11.双曲线C的两个焦点为F1, F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于
M, N两点，且cos∠F1NF2 = 35，则C的离心率为
A.
√5
2 B.
3
2 C.
√13
2 D.
√17
2
12.已知函数f(x), g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2?x) = 5，g(x)?f(x?4) = 7．若y = g(x)
的图像关于直线x = 2对称，g(2) = 4，则
22X
k=1
f(k) =
A. ?21 B. ?22 C. ?23 D. ?24
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．
14.过四点(0,0), (4,0), (?1,1), (4,2)中的三点的一个圆的方程为．
15.记函数f(x) = cos(ωx + φ)(ω > 0,0 < φ < π)的最小正周期为T．若f(T) =
√3
2，x =
π
9为
f(x)的零点，则ω的最小值为．
16.已知x = x1和x = x2分别是函数f(x) = 2ax ?ex2 (a > 0且a 1)的极小值点和极大值点．
若x1 < x2，则a的取值范围是．
—第21页—
2022高考试题全国卷（课标版乙卷）理科数学
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17. (12分)
记△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知sinC sin(A?B) = sinBsin(C ?A)．
（1）证明：2a2 = b2 + c2；
（2）若a = 5, cosA = 2531，求△ABC的周长．
18. (12分)
如图，四面体ABCD中，AD ⊥ CD，AD = CD，
∠ADB = ∠BDC，E为AC的中点．
（1）证明：平面BED ⊥平面ACD；
（2）设AB = BD = 2，∠ACB = 60?，点F在BD
上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所
成角的正弦值．
A
B
C
D
E
F
19. (12分)
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，
随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得
到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10总和
根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得
10X
i=1
x2i = 0.038，
10X
i=1
y2i = 1.6158，
10X
i=1
xiyi = 0.2474．
（1）估计该林区这种树木平均一颗的根部横截面积与平均一颗的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部截面积总和为
186m2．已知树木的材积量与其根部截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材
积量的估计值.
附：相关系数r =
nP
i=1
(x1 ? ˉx)(yi ? ˉy)
? nP
i=1
(xi ? ˉx)2
nP
i=1
(yi ? ˉy)2
，√1.896 ≈ 1.377．
20. (12分)
已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0,?2), B
3
2,?1
两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点P(1,?2)的直线交E于M, N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于
点T,点H满足# ?MT = # ?TH．证明：直线HN过定点．
21. (12分)
已知函数f(x) = ln(1 + x) + axe?x．
（1）当a = 1时，求曲线y = f(x)在点 0,f(0) 处的切线方程；
（2）若f(x)在区间(?1,0)，(0,+∞)各有一个零点，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
currency1x = √3cos2t
y = 2sint（t为参数）．以坐标原点为极
点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin
θ + π3
+ m = 0．
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知a, b, c都是正数，且a32 + b32 + c32 = 1，证明：
（1）abc ? 19；
（2）ab + c + ba + c + ca + b ? 12√abc．
—第22页—
2022高考试题全国卷（课标版乙卷）文科数学使用地区：皖、豫、陕、晋、赣、甘、黑、吉、宁、青、新、蒙
2022高考试题全国卷（课标版乙卷）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.设集合M = {2,4,6,8,10}，N = {x | ?1 < x < 6}，则M N =
A. {2,4} B. {2,4,6} C. {2,4,6,8} D. {2,4,6,8,10}
2.设(1 + 2i)a + b = 2i，其中a, b为实数，则
A. a = 1,b = ?1 B. a = 1,b = 1 C. a = ?1,b = 1 D. a = ?1,b = ?1
3.已知向量a = (2,1)，b = (?2,4)，则|a?b| =
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如茎叶图
甲乙
6 1 5.
8 5 3 0 6. 3
7 5 3 2 7. 4 6
6 4 2 1 8. 1 2 2 5 6 6 6 6
4 2 9. 0 2 3 8
10. 1
则下列结论错误的是
A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
5.若x, y满足约束条件
8>
<
>:
x + y ? 2,
x + 2y ? 4,
y ? 0,
则z = 2x?y的最大值是
A. ?2 B. 4 C. 8 D. 12
6.设F为抛物线C : y2 = 4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)．若|AF| = |BF|，则|AB| =
A. 2 B. 2√2 C. 3 D. 3√2
7.执行右边的程序框图，输出的n =
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
开始
输入a = 1,b = 1,n = 1
b = b+ 2a
a = b?a,n = n+ 1
b
2
a2 ?2
< 0.01
是
输出n
否
结束
8.右图是下列四个函数中的某个函数在区间[?3,3]的大致图像，则该函数是
A. y = ?x
3 + 3x
x2 + 1 B. y =
x3 ?x
x2 + 1
C. y = 2xcosxx2 + 1 D. y = 2sinxx2 + 1
x
y
1
31?3
O
9.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E, F分别为AB, BC的中点，则
A.平面B1EF ⊥平面BDD1 B.平面B1EF ⊥平面A1BD
C.平面B1EF平面A1AC D.平面B1EF平面A1C1D
10.已知等比数列{an}的前3项和为168，a2 ?a5 = 42，则a6 =
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
11.函数f(x) = cosx + (x + 1)sinx + 1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为
A. ?π2, π2 B. ?3π2 , π2 C. ?π2, π2 + 2 D. ?3π2 , π2 + 2
12.已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥
的体积最大时，其高为
A. 13 B. 12 C.
√3
3 D.
√2
2
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3 = ? S2 + 6，则公差d =．
14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．
15.过四点(0,0), (4,0), (?1,1), (4,2)中的三点的一个圆的方程为．
—第23页—
2022高考试题全国卷（课标版乙卷）文科数学
16.若f(x) = ln
a + 11?x
+ b是奇函数，则a = , b =．
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17. (12分)
记△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知sinC sin(A?B) = sinBsin(C ?A)．
（1）若A = 2B，求C；
（2）证明：2a2 = b2 + c2．
18. (12分)
如图，四面体ABCD中，AD ⊥ CD，AD = CD，
∠ADB = ∠BDC，E为AC的中点．
（1）证明：平面BED ⊥平面ACD；
（2）设AB = BD = 2，∠ACB = 60?，点F在BD
上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F?ABC的体积．
A
B
C
D
E
F
19. (12分)
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，
随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得
到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10总和
根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得
10X
i=1
x2i = 0.038，
10X
i=1
y2i = 1.6158，
10X
i=1
xiyi = 0.2474．
（1）估计该林区这种树木平均一颗的根部横截面积与平均一颗的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部截面积总和为
186m2．已知树木的材积量与其根部截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材
积量的估计值.
附：相关系数r =
nP
i=1
(x1 ? ˉx)(yi ? ˉy)
? nP
i=1
(xi ? ˉx)2
nP
i=1
(yi ? ˉy)2
，√1.896 ≈ 1.377．
20. (12分)
已知函数f(x) = ax? 1x ?(a + 1)lnx．
（1）当a = 0时，求f(x)的最大值；
（2）若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
21. (12分)
已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0,?2), B
3
2,?1
两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点P(1,?2)的直线交E于M, N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于
点T,点H满足# ?MT = # ?TH．证明：直线HN过定点．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
currency1x = √3cos2t
y = 2sint（t为参数）．以坐标原点为极
点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin
θ + π3
+ m = 0．
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知a, b, c都是正数，且a32 + b32 + c32 = 1，证明：
（1）abc ? 19；
（2）ab + c + ba + c + ca + b ? 12√abc．
—第24页—
2021高考试题（新高考全国卷1）数学使用省份：鲁、鄂、湘、苏、冀、粤、闽
2021高考试题（新高考全国卷1）数学
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.设集合A = {x | ?2 < x < 4}，B = {2,3,4,5}，则A B =
A. {2} B. {2,3} C. {3,4} D. {2,3,4}
2.已知z = 2?i，则z(ˉz + i) =
A. 6?2i B. 4?2i C. 6 + 2i D. 4 + 2i
3.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为
A. 2 B. 2√2 C. 4 D. 4√2
4.下列区间中，函数f(x) = 7sin
x? π6
单调递增的区间是
A.
0, π2
B.
π
2,π
C.
π, 3π2
D.
3π
2 ,2π
5.已知F1, F2是椭圆C : x
2
9 +
y2
4 = 1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
6.若tanθ = ?2，则sinθ(1 + sin2θ)sinθ + cosθ =
A. ?65 B. ?25 C. 25 D. 65
7.若过点(a,b)可以作曲线y = ex的两条切线，则
A. eb < a B. ea < b C. 0 < a < eb D. 0 < b < ea
8.由6个相同的球，分别标有数字1, 2, 3, 4, 5, 6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲
表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事
件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则
A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据x1,x2,··· ,xn，由这组数据得到新样本数据y1,y2,··· ,yn，其中yi = xi +c，c
为非零常数，则
A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同
10.已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,?sinβ)，P3 cos(α+β),sin(α+β) ，A(1,0)，
则
A. # ?OP1 = # ?OP2 B. # ?AP1 = # ?AP2
C. # ?OA · # ?OP3 = # ?OP1 · # ?OP2 D. # ?OA · # ?OP1 = # ?OP2 · # ?OP3
11.已知点P在圆(x?5)2 + (y ?5)2 = 16上，点A(4,0)，B(0,2)，则
A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，|PB| = 3√2 D.当∠PBA最大时，|PB| = 3√2
12.在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB = AA1 = 1，点P满足# ?BP = λ# ?BC + μ# ?BB1，其中
λ ∈ [0,1], μ ∈ [0,1]，则
A.当λ = 1时，△AB1P的周长为定值
B.当μ = 1时，三棱锥P?A1BC的体积为定值
C.当λ = 12时，有且仅有一个点P，使得A1P ⊥ BP
D.当μ = 12时，有且仅有一个点P，使得A1B ⊥平面AB1P
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，满分20分。
13.已知函数f(x) = x3 a·2x ?2?x 是偶函数，则a =．
14.已知O为坐标原点，抛物线C : y2 = 2px(p > 0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂
直，Q为x轴上一点，且PQ ⊥ OP．若|FQ| = 6，则C的准线方程为．
15.函数f(x) = |2x?1|?2lnx的最小值为．
—第25页—
2021高考试题（新高考全国卷1）数学
16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为
20dm × 12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm × 12dm，20dm × 6dm两种规格的
图形，它们的面积之和S1 = 240dm2，对折2次共可以得到5dm × 12dm，10dm × 6dm，
20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2 = 180dm2，以此类推．则对折4次共可以得
到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么
nX
k=1
Sk = dm2．
四、解答题：共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10分)
已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 =
currency1a
n + 1, n为奇数,
an + 2, n为偶数.
（1）记bn = a2n，写出b1, b2，并求数列{bn}的通项公式；
（2）求{an}的前20项和．
18. (12分)
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中
选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问
题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答
正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回
答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
19. (12分)
记△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c．已知b2 = ac，点D在边AC上，且
BDsin∠ABC = asinC．
（1）证明：BD = b；
（2）若AD = 2DC，求cos∠ABC．
20. (12分)
如图，在三棱锥A?BCD中，平面ABD ⊥平面
BCD，AB = AD，O为BD的中点．
（1）证明：OA ⊥ CD；
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在
棱AD上，DE = 2EA，且二面角E?BC?D的大小
为45?，求三棱锥A?BCD的体积．
A
B
C
D
E
O
21. (12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(?√17,0), F2(√17,0)，点M满足|MF1|?|MF2| = 2．
记M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线x = 12上，过T的两条直线分别交C于A, B两点和P, Q两点，且
|TA|·|TB| = |TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
22. (12分)
已知函数f(x) = x(1?lnx)．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）设a, b为两个不相等的正数，且blna?alnb = a?b，证明：2 < 1a + 1b < e．
—第26页—
2021高考试题（新高考全国卷2）数学使用省份：辽、渝、琼
2021高考试题（新高考全国卷2）数学
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数2?i1?3i对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.若全集U = {1,2,3,4,5,6}，集合A = {1,3,6}，B = {2,3,4}，则A ?UB =
A. {3} B. {1,6} C. {5,6} D. {1,3}
3.若抛物线y2 = 2px(p > 0)的焦点到直线y = x + 1的距离为√2，则p =
A. 1 B. 2 C. 2√2 D. 4
4.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重
要成果，在卫星导航系统中，地球的一颗静止同
步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道
高度为36000km（轨道高度指卫星到地球表面的
最短距离）．把地球看成一个球心为O，半径r为
6400km的球，其上的点A的纬度是指OA与赤
道所在平面所成角的度数．地球表面能直接观测到
的这颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度最大值记为α，记该卫星信号覆盖地球表面的面积为
S = 2πr2(1?cosα)（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为
A. 26% B. 34% C. 42% D. 50%
5.正四棱台的上、下底面的边长分别为2, 4，侧棱长为2，则四棱台的体积为
A. 20 + 12√3 B. 28√2 C. 563 D. 28
√2
3
6.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2)，则下列结论中不正确的是
A. σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等
7.设a = log5 2, b = log8 3, c = 12，则
A. c < b < a B. b < a < c C. a < c < b D. a < b < c
8.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x + 2)是偶函数，f(2x + 1)是奇函数，则
A. f
? 12
= 0 B. f(?1) = 0 C. f(2) = 0 D. f(4) = 0
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列统计量可用于度量样本x1,x2,··· ,xn离散程度的有
A. x1,x2,··· ,xn的标准差B. x1,x2,··· ,xn的中位数
C. x1,x2,··· ,xn的极差D. x1,x2,··· ,xn的平均数
10.如图，下列各正方体中，O为下底面中心，P为其所在棱的中点，M, N为正方体的顶点，则满
足MN ⊥ OP的是
A.
M
N
O
P
B. M
N
O
P
C.
M
NO
P
D.
M
N O
P
11.已知直线l : ax + by ?r2 = 0与圆C : x2 + y2 = r2，点A(a,b)，则下列说法正确的是
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
12.设正整数n = a0 + a1 · 2 + ··· + ak?1 · 2k?1 + ak · 2k，其中ai ∈ {0,1}(i = 0,1,··· ,k)，记
ω(n) = a0 + a1 +···+ ak，则
A. ω(2n) = ω(n) B. ω(2n + 3) = ω(n) + 1
C. ω(8n + 5) = ω(4n + 3) D. ω(2n ?1) = n
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，满分20分。
13.已知双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的离心率e = 2，则双曲线C的渐近线方程
为．
—第27页—
2021高考试题（新高考全国卷2）数学
14.写出一个同时具有下列性质1 2 3的函数f(x) :．
1 f(x1x2) = f(x1)f(x2); 2当x ∈ (0,+∞)时，f′(x) > 0; 3 f′(x)是奇函数．
15.已知向量a, b, c满足a+b+c = 0，|a| = 1, |b| = |c| = 2，则a·b+b·c+c·a =．
16.已知函数f(x) = ex ?1 ，x1 < 0 < x2，f(x)的图像在点A x1,f(x1) 和点B x2,f(x2) 处的
两条切线互相垂直，且分别交y轴于M, N两点，则|AM||BN|的取值范围是．
四、解答题：共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10分)
记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，已知a3 = S5，a2a4 = S4．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求使得Sn > an成立的n的最小值．
18. (12分)
记△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c．已知b = a + 1, c = a + 2．
（1）若2sinC = 3sinA，求△ABC的面积；
（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理
由．
19. (12分)
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为
2的正方形，且PA = PD = √5，PC = 3．
（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD；
（2）求二面角B?PD?A的余弦值．
A
B C
D
P
20. (12分)
已知离心率为
√6
3的椭圆C :
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的右焦点为F(
√2,0)．
（1）求C的方程；
（2）设点M, N是C上的两点，直线MN与曲线x2 + y2 = b2(x > 0)相切，证明：M, N, F
三点共线的充要条件是|MN| = √3．
21. (12分)
一种微生物群体可以经过自身不断繁殖生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖
后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的
分布列．设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X = i) = pi(i = 0,1,2,3)．
（1）若p0 = 0.4, p1 = 0.2, p2 = 0.2, p3 = 0.1，求E(X)；
（2）设p表示该微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：
p0 + p1x + p2x2 + p3x3 = x
的一个最小正根，求证：当E(X) ? 1时，p = 1；当E(X) > 1时，p < 1；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
22. (12分)
已知函数f(x) = (x?1)ex ?ax2 + b．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点．
1 12 < a ? e
2
2，b > 2a;
2 0 < a < 12，b ? 2a．
—第28页—
2021高考试题（全国卷I）理科数学使用省份：皖、豫、陕、晋、赣、甘、黑、吉、宁、青、新、蒙
2021高考试题（全国卷I）理科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1.设2(z + ˉz) + 3(z ? ˉz) = 4 + 6i，则z =
A. 1?2i B. 1 + 2i C. 1 + i D. 1?i
2.已知集合S = {s | s = 2n + 1,n ∈ Z}，T = {t | t = 4n + 1,n ∈ Z}，则S T =
A. ? B. S C. T D. Z
3.已知命题P : ?x ∈ R, sinx < 1；命题q : ?x ∈ R, e|x| ? 1．则下列命题中为真命题的是
A. p∧q B. ?p∧q C. p∧?q D. ?(p∨q)
4.设函数f(x) = 1?x1 + x，则下列函数中为奇函数的是
A. f(x?1)?1 B. f(x?1) + 1 C. f(x + 1)?1 D. f(x + 1) + 1
5.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为
A. π2 B. π3 C. π4 D. π6
6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志
愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有
A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种
7.把函数y = f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平
移π3个单位长度，得到函数y = sin
x? π4
的图像，则f(x) =
A. sin
x
2 ?
7π
12
B. sin
x
2 +
π
12
C. sin
2x? 7π12
D. sin
2x + 7π12
8.在区间(0,1)与(1,2)个随机取一个数，则两数之和大于74的概率为
A. 79 B. 2332 C. 932 D. 29
9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量
的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如
图，点E, H, G在水平线AC上，DE和FG
是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高
度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和
EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为
“表目距的差”，则海岛的高AB =
A.表高×表距表目距的差+表高B.表高×表距表目距的差?表高
C.表高×表距表目距的差+表距D.表高×表距表目距的差?表距
10.设a 0，若x = a为函数f(x) = a(x?a)2(x?b)的极大值点，则
A. a < b B. a > b C. ab < a2 D. ab > a2
11.设B是椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB| ? 2b，
则C的离心率的取值范围是
A.
√2
2 ,1
B.
1
2,1
C.
0,
√2
2
D.
0, 12
12.设a = 2ln1.01，b = ln1.02，c = √1.04?1，则
A. a < b < c B. b < c < a C. b < a < c D. c < a < b
二、填空题：共4个小题，每小题5分，满分20分
13.已知双曲线C : x
2
m ? y
2 = 1(m > 0)的一条渐近线为√3x + my = 0，则C的焦距
为．
14.已知向量a = (1,3)，b = (3,4)，若(a?λb) ⊥b，则λ =．
15.记△ABC的内角A, B, C,的对边分别为a, b, c，面积为√3，B = 60?，a2 + c2 = 3ac，则
b =．
—第29页—
2021高考试题（全国卷I）理科数学
16.以图1为正视图，在图2 3 4 5中选
两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个
三棱锥的三视图．则所选侧视图和俯视图
的编号依次为（写出符合
要求的一组答案即可）．
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
图1图2图3
图4图5
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17. (12分)
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧
设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为ˉx和ˉy，样本方差分别记为s21和s22．
（1）求ˉx，ˉy，s21，s22；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果ˉy?ˉx ? 2
?
s21 + s22
10，
则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
18. ( 12分)
如图，四棱锥P?ABCD的底面是矩形，PD ⊥底面
ABCD，PD = DC = 1，M为BC的中点，且PB ⊥ AM．
（1）求BC；
（2）求二面角A?PM?B的正弦值．
A B
CD
P
M
19. ( 12分)
记Sn为{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项.积，已知2S
n
+ 1b
n
= 2．
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式．
20. ( 12分)
设函数f(x) = ln(a?x)，已知x = 0是函数y = xf(x)的极值点．
（1）求a；
（2）设函数g(x) = x + f(x)xf(x)，证明g(x) < 1．
21. ( 12分)
已知抛物线C : x2 = 2py(p > 0)的焦点为F，且F与圆M : x2 + (y + 4)2 = 1上点的距离的
最小值为4．
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA, PB是C的两条切线，A, B是切点，求△PAB面积的最大值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1．
（1）写出⊙C的一个参数方程；
（2）过点F(4,1)作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求
这两条切线的极坐标方程．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) = |x?a|+|x + 3|．
（1）当a = 1时，求不等式f(x) ? 6的解集；
（2）若f(x) > ?a，求a的取值范围．
—第30页—
2021高考试题（全国卷I）文科数学使用省份：皖、豫、陕、晋、赣、甘、黑、吉、宁、青、新、蒙
2021高考试题（全国卷I）文科数学
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的
1.已知全集U = {1,2,3,4,5}，集合M = {1,2}，N = {3,4}，则?U(M N) =
A. {5} B. {1,2} C. {3,4} D. {1,2,3,4}
2.设iz = 4 + 3i，则z =
A. ?3?4i B. ?3 + 4i C. 3?4i D. 3 + 4i
3.已知命题P : ?x ∈ R, sinx < 1；命题q : ?x ∈ R, e|x| ? 1．则下列命题中为真命题的是
A. p∧q B. ?p∧q C. p∧?q D. ?(p∨q)
4.函数f(x) = sin x3 + cos x3的最小正周期和最大值分别是
A. 3π和√2 B. 3π和2 C. 6π和√2 D. 6π和2
5.若x, y满足约束条件
8>
<
>:
x + y ? 4,
x?y ? 2,
y ? 3,
则z = 3x + y的最小值为
A. 18 B. 10 C. 6 D. 4
6. cos2 π12 ?cos2 5π12 =
A. 12 B.
√3
3 C.
√2
2 D.
√3
2
7.在区间 0, 12 随机取一个数，则取到的数小于13的概率为
A. 34 B. 23 C. 13 D. 16
8.下列函数中最小值为4的是
A. y = x2 + 2x + 4 B. y = |sinx|+ 4|sinx|
C. y = 2x + 22?x D. y = lnx + 4lnx
9.设函数f(x) = 1?x1 + x，则下列函数中为奇函数的是
A. f(x?1)?1 B. f(x?1) + 1 C. f(x + 1)?1 D. f(x + 1) + 1
10.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为
A. π2 B. π3 C. π4 D. π6
11.设B是椭圆C : x
2
5 + y
2 = 1的上顶点，点P在C上，则PB的最大值是
A. 52 B. √6 C. √5 D. 2
12.设a 0，若x = a为函数f(x) = a(x?a)2(x?b)的极大值点，则
A. a < b B. a > b C. ab < a2 D. ab > a2
二、填空题：共4个小题，每小题5分，满分20分
13.已知向量a = (2,5)，b = (λ,4)，若a b，则λ =．
14.双曲线C : x
2
4 ?
y2
5 = 1的右焦点到直线x + 2y ?8 = 0的距离为．
15.记△ABC的内角A, B, C,的对边分别为a, b, c，面积为√3，B = 60?，a2 + c2 = 3ac，则
b =．
16.以图1为正视图，在图2 3 4 5中选
两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个
三棱锥的三视图．则所选侧视图和俯视图
的编号依次为（写出符合
要求的一组答案即可）．
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
图1图2图3
图4图5
—第31页—
2021高考试题（全国卷I）文科数学
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17. (12分)
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设
备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为ˉx和ˉy，样本方差分别记为s21和s22．
（1）求ˉx，ˉy，s21，s22；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果ˉy? ˉx ? 2
?
s21 + s22
10，
则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
18. ( 12分)
如图，四棱锥P?ABCD的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD，
M为BC的中点，且PB ⊥ AM．
（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD；
（2）若PD = DC = 1，求四棱锥P?ABCD的体积．
A B
CD
P
M
19. ( 12分)
设{an}是首项为1的等比数列，数列bn满足bn = nan3．已知a1, 3a2, 9a3成等差数列．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明Tn < Sn2．
20. ( 12分)
已知抛物线C : y2 = 2px(p > 0)的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点．点P在C上，点Q满足# ?PQ = 9# ?QF，求直线OQ斜率的最大值．
21. ( 12分)
设函数f(x) = x3 ?x2 + ax + 1．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）求曲线y = f(x)过坐标原点的切线与曲线y = f(x)的公共点的坐标．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1．
（1）写出⊙C的一个参数方程；
（2）过点F(4,1)作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求
这两条切线的极坐标方程．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) = |x?a|+|x + 3|．
（1）当a = 1时，求不等式f(x) ? 6的解集；
（2）若f(x) > ?a，求a的取值范围．
—第32页—
2021高考试题（全国卷II）理科数学使用省份：云、贵、川、藏、桂
2021高考试题（全国卷II）理科数学
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的
1.设集合M = {x | 0 < x < 4}，N = {x 13 ? x ? 5}，则M N =
A. {x | 0 < x ? 13} B. {x | 13 ? x < 4} C. {x | 4 ? x < 5} D. {x | 0 < x ? 5}
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数
据整理得到如下频率分布直方图：
频率/组距
收入/万元
2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 12.5 13.5 14.5
0.02
0.04
0.10
0.14
0.20
0
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3.已知(1?i)2z = 3 + 2i，则z =
A. ?1? 32i B. ?1 + 32i C. ?32 + i D. ?32 ?i
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记
录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L = 5 + lgV．已知某同
学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（10√10 ≈ 1.259）
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
5.已知F1, F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2 = 60?，|PF1| = 3|PF2|，则
C的离心率为
A.
√7
2 B.
√13
2 C.
√7 D. √13
6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E, F, G．该正方体截去
三棱锥A?EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应
的侧视图是
正视图
A. B. C. D.
7.等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．设甲：q > 0，乙：{Sn}是递增数列，则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程
为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之
一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A, B, C三点，且
A, B, C在同一水平面上的投影A′, B′, C′满足∠A′C′B′ = 45?，
∠A′B′C′ = 60?．由C点测得B点的仰角为15?，BB′与CC′
的差为100；由B点测得A点的仰角为45?，则A, C两点到水
平面A′B′C′的高度差AA′ ?CC′约为（√3 ≈ 1.732）
A
B
C A′
B′C′
A. 346 B. 373 C. 446 D. 473
9.若α ∈ 0, π2 ，tan2α = cosα2?sinα，则tanα =
A.
√15
15 B.
√5
5 C.
√5
3 D.
√15
5
10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为
A. 13 B. 25 C. 23 D. 45
11.已知A, B, C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC ⊥ BC，AC = BC = 1，则三棱
锥O?ABC的体积为
A.
√2
12 B.
√3
12 C.
√2
4 D.
√3
12
12.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x ∈ [1,2]时，f(x) = ax2+b．
若f(0) + f(3) = 6，则f 92) =
A. ?94 B. ?32 C. 74 D. 52
—第33页—
2021高考试题（全国卷II）理科数学
二、填空题：共4个小题，每小题5分，满分20分
13.曲线y = 2x?1x + 2在点(?1,?3)处的切线方程为．
14.已知向量a = (3,1)，b = (1,0)，c = a+ kb．若a⊥c，则k =．
15.已知F1, F2为椭圆C : x
2
16 +
y2
4 = 1的两个焦点，P, Q为C上关于坐标原点对称的两点，且
|PQ| = |F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为．
16.已知函数f(x) = 2cos(ωx + φ)的部分图像如图所示，则满
足条件
f(x)?f
? 7π4
f(x)?f
4π
3
> 0的最小正整
数x为．x
y
2
O π3 13π12
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17. (12分)
甲、乙两台机床生产同种产品，产品质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，
分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品二级品合计
甲机床150 50 200
乙机床120 80 200
合计270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K2 = n(ad?bc)
2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)，
P(K2 ? k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18. ( 12分)
已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面1 2 3中选取两个作为
条件，证明另外一个成立．
1数列{an}是等差数列；2数列
pS
n
是等差数列；
3 a2 = 3a1．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19. ( 12分)
已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，
AB = BC = 2，E, F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1
上的点，BF ⊥ A1B1．
（1）证明：BF ⊥ DE；
（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DEF所成的二面
角正弦值最小？A B
C
DA1 B1
C1
E
F
20. ( 12分)
抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l : x = 1交C于P, Q两点，且OP ⊥ OQ．
已知点M(2,0)，且⊙M与l相切．
（1）求C，⊙M的方程；
（2）设A1, A2, A3是C上的三个点，直线A1A2, A1A3均与⊙M相切．判断A2A3与⊙M的
位置关系，并说明理由．
21. ( 12分)
已知a > 0且a 1，函数f(x) = x
a
ax(x > 0)．
（1）若a = 2，求f(x)的单调区间；
（2）若曲线y = f(x)与直线y = 1有且仅有两个交点，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标
方程为ρ = 2√2cosθ．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足# ?AP = √2# ?AM，写出P的轨迹
C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) = |x?2|，g(x) = |2x+3|?|2x?1|．
（1）画出y = f(x)和y = g(x)的图像；
（2）若f(x + a) ? g(x)，求a的取值范围．
x
y
O 1
1
—第34页—
2021高考试题（全国卷II）文科数学使用省份：云、贵、川、藏、桂
2021高考试题（全国卷II）文科数学
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的
1.设集合M = {1,3,5,7,9}，N = {x | 2x > 7}，则M N =
A. {7,9} B. {5,7,9} C. {3,5,7,9} D. {1,3,5,7,9}
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数
据整理得到如下频率分布直方图：
频率/组距
收入/万元
2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 12.5 13.5 14.5
0.02
0.04
0.10
0.14
0.20
0
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3.已知(1?i)2z = 3 + 2i，则z =
A. ?1? 32i B. ?1 + 32i C. ?32 + i D. ?32 ?i
4.下列函数中是增函数的为
A. f(x) = ?x B. f(x) = 23 x C. f(x) = x2 D. f(x) = 3√x
5.点(3,0)到双曲线x
2
16 ?
y2
9 = 1的一条渐近线的距离为
A. 95 B. 85 C. 65 D. 45
6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记
录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L = 5 + lgV．已知某同
学视力的五分记录分的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（10√10 ≈ 1.259）
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
7.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E, F, G．该正方体截去
三棱锥A?EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应
的侧视图是
正视图
A. B. C. D.
8.在△ABC中，已知B = 120?，AC = √19，AB = 2，则BC =
A. 1 B. √2 C. √5 D. 3
9.记Sn为等比数列{an}的前n项，若S2 = 4，S4 = 6，则S6 =
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为
A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8
11.若α ∈ 0, π2 ，tan2α = cosα2?sinα，则tanα =
A.
√15
15 B.
√5
5 C.
√5
3 D.
√15
5
12.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1 + x) = f(?x)．若f 13 = 13，则f 53 =
A. ?53 B. ?13 C. 13 D. 53
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.若向量a, b满足|a| = 3，|a?b| = 5，a·b = 1，则|b| =．
14.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为．
—第35页—
2021高考试题（全国卷II）文科数学
15.已知函数f(x) = 2cos(ωx + φ)的部分图像如图所示，则
f
π
2
=．
x
y
2
O π3 13π12
16.已知F1, F2为椭圆C : x
2
16 +
y2
4 = 1的两个焦点，P, Q为C上关于坐标原点对称的两点，且
|PQ| = |F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为．
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17. (12分)
甲、乙两台机床生产同种产品，产品质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，
分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品二级品合计
甲机床150 50 200
乙机床120 80 200
合计270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K2 = n(ad?bc)
2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)，
P(K2 ? k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18. ( 12分)
记Sn为数列{an}的前n项和，已知an > 0，a2 = 3a1，且数列
p
Sn 是等差数列，证明
{an}是等差数列．
19. ( 12分)
已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，
AB = BC = 2，E, F分别为AC和CC1的中点，BF ⊥ A1B1．
（1）求三棱锥F–EBC的体积；
（2）已知D为棱A1B1上的点，证明BF ⊥ DE．
A B
C
DA1 B1
C1
E
F
20. ( 12分)
设函数f(x) = a2x2 + ax?3lnx + 1．其中a > 0．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若y = f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
21. ( 12分)
抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l : x = 1交C于P, Q两点，且OP ⊥ OQ．
已知点M(2,0)，且⊙M与l相切．
（1）求C，⊙M的方程；
（2）设A1, A2, A3是C上的三个点，直线A1A2, A1A3均与⊙M相切．判断A2A3与⊙M的
位置关系，并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标
方程为ρ = 2√2cosθ．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足# ?AP = √2# ?AM，写出P的轨迹
C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) = |x?2|，g(x) = |2x+3|?|2x?1|．
（I）画出y = f(x)和y = g(x)的图像；
（II）若f(x + a) ? g(x)，求a的取值范围．
x
y
O 1
1
—第36页—
2020高考试题（全国卷I）理科数学使用省份：冀、豫、闽、晋、赣、鄂、湘、粤、皖
2020高考试题（全国卷I）理科数学
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的
1.若z = 1 + i，则| z2 ?2z |=
A. 0 B. 1 C. √2 D. 2
2.设集合A = {x | x2 ?4 ? 0}，B = {x | 2x + a ? 0}，且A B = {x | ?2 ? x ? 1}，则a =
A. ?4 B. ?2 C. 2 D. 4
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为
边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正
方形的边长的比值为
A.
√5?1
4
B.
√5?1
2
C.
√5 + 1
4
D.
√5 + 1
2
4.已知A为抛物线C : y2 = 2px(p > 0)上一点，点A到C的焦点距离为12，到y轴的距离为
9，则p =
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：?C）的关系，在20个不
同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi,yi)(i = 1,2,··· ,20)得到下面的散点图：
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0 10 20 30 40
发芽率
温度/?C
由此散点图，在10?C至40?C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x
的回归方程类型的是
A. y = a + bx B. y = a + bx2 C. y = a + bex D. y = a + blnx
6.函数f(x) = x4 ?2x3的图像在点 1,f(1) 处的切线方程为
A. y = ?2x?1 B. y = ?2x + 1 C. y = 2x?3 D. y = 2x + 1
7.设函数f(x) = cos ωx + π6 在[?π,π]的图像大致如图所示，
则f(x)的最小正周期为
A. 10π9 B. 7π6
C. 4π3 D. 3π2
x
y
O π?π ?4π
9
8. x + y
2
x
(x + y)5的展开式中x3y3的系数为
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
9.已知α ∈ (0,π)，且3cos2α?8cosα = 5，则sinα =
A.
√5
3 B.
2
3 C.
1
3 D.
√5
9
10.已知A, B, C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，
AB = BC = AC = OO1，则球O的表面积为
A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π
11.已知⊙M : x2 + y2 ? 2x? 2y ? 2 = 0，直线l : 2x + y + 2 = 0，P为l上的动点．过点P作
⊙M的切线PA, PB，切点为A, B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为
A. 2x?y ?1 = 0 B. 2x + y ?1 = 0 C. 2x?y + 1 = 0 D. 2x + y + 1 = 0
12.若2a + log2 a = 4b + 2log4 b，则
A. a > 2b B. a < 2b C. a > b2 D. a < b2
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分
13.若x, y满足约束条件
8<
:
2x + y ?2 ? 0,
x?y ?1 ? 0,
y + 1 ? 0,
则z = x + 7y的最大值为．
14.设a, b为单位向量，且|a+b| = 1，则|a?b|=．
—第37页—
2020高考试题（全国卷I）理科数学
15.已知F为双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，
且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为．
16.如图，在三棱锥P?ABC的平面展开图中，AC = 1，AB = AD = √3，
AB ⊥ AC，AB ⊥ AD，∠CAE = 30?，则cos∠FCB =．
A B
C
D(P)
E(P)
F(P)
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2,a3的等差中项．
（1）求{an}的公比；
（2）若a1 = 1，求数列{nan}的前n项和．
18. ( 12分)
如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为
底面直径，AE = AD．△ABC是底面的内接正三角形，P
为DO上一点，PO =
√6
6 DO．
（1）证明：PA ⊥平面PBC；
（2）求二面角B ?PC ?E的余弦值．
A B
C
D
EO
P
19. ( 12分)
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者
进行下一场比赛，负者下一轮轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直
至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
20. ( 12分)
已知A, B分别为椭圆E : x
2
a2 + y
2 = 1(a > 1)的左、右顶点，G为E的上顶点，# ?AG· # ?GB = 8．
P为直线x = 6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点．
21. ( 12分)
已知函数f(x) = ex + ax2 ?x．
（1）当a = 1时，讨论f(x)的单调性；
（2）当x ? 0时，f(x) ? 12x3 + 1，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
currency1
x = cosk t
y = sink t（t为参数）．以坐标原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ?16ρsinθ + 3 = 0
（1）当k = 1时，C1是什么曲线？
（2）当k = 4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) = |3x + 1|?2|x?1|.
（1）画出y = f(x)的图像；
（2）求不等式f(x) > f(x + 1)的解集．
x
y
O 1
1
—第38页—
2020高考试题（全国卷I）文科数学使用省份：冀、豫、闽、晋、赣、鄂、湘、粤、皖
2020高考试题（全国卷I）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A = {x | x2 ?3x?4 < 0}，B = {?4,1,3,5}，则A B =
A. {?4,1} B. {1,5} C. {3,5} D. {1,3}
2.若z = 1 + 2i + i3，则| z |=
A. 0 B. 1 C. √2 D. 2
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为
边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正
方形的边长的比值为
A.
√5?1
4
B.
√5?1
2
C.
√5 + 1
4
D.
√5 + 1
2
4.设O为正方形ABCD的中心，在O, A, B, C, D中任取3点，则取到的3点共线的概率为
A. 15 B. 25 C. 12 D. 45
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：?C）的关系，在20个不
同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi,yi)(i = 1,2,··· ,20)得到下面的散点图：
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0 10 20 30 40
发芽率
温度/?C
由此散点图，在10?C至40?C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x
的回归方程类型的是
A. y = a + bx B. y = a + bx2 C. y = a + bex D. y = a + blnx
6.已知圆x2 + y2 ?6x = 0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.设函数f(x) = cos ωx + π6 在[?π,π]的图像大致如图所示，
则f(x)的最小正周期为
A. 10π9 B. 7π6
C. 4π3 D. 3π2
x
y
O π?π ?4π
9
8.设alog3 4 = 2，则4?a =
A. 116 B. 19 C. 18 D. 16
9.执行右面的程序框图，则输出的n =
A. 17
B. 19
C. 21
D. 23
开始
输入n = 1, S = 0
S = S + n
S ? 100是
n = n + 2
否
输出n
结束
10.设{an}是等比数列，且a1 + a2 + a3 = 1，a2 + a3 + a4 = 2，则a6 + a7 + a8 =
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
11.设F1, F2是双曲线C : x2 ? y
2
3 = 1的两个焦点，O是坐标原点，点P在C上且|OP| = 2，则
△PF1F2的面积为
A. 72 B. 3 C. 52 D. 2
12.已知A, B, C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，
AB = BC = AC = OO1，则球O的表面积为
A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分
13.若x, y满足约束条件
8<
:
2x + y ?2 ? 0,
x?y ?1 ? 0,
y + 1 ? 0,
则z = x + 7y的最大值为．
14.设向量a = (1,?1)，b = (m + 1,2m?4)，若a⊥b，则m =．
—第39页—
2020高考试题（全国卷I）文科数学
15.曲线y = lnx + x + 1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为．
16.数列{an}满足an+2 + (?1)nan = 3n?1，前16项和为540，则a1 =．
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C，D四个等级．加
工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于
D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成
本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分
厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级A B C D
频数40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级A B C D
频数28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪
个分厂承接加工业务？
18. ( 12分)
△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c．已知B = 150?．
（1）若a = √3c，b = 2√7，求△ABC的面积；
（2）若sinA +√3sinC =
√2
2，求C．
19. ( 12分)
如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC
是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC = 90?．
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC；
（2）设DO = √2，圆锥的侧面积为√3π，求三棱锥
P ?ABC的体积．
A B
C
D
O
P
20. ( 12分)
已知函数f(x) = ex ?a(x + 2)．
（1）当a = 1时，讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
21. ( 12分)
已知A, B分别为椭圆E : x
2
a2 + y
2 = 1(a > 1)的左、右顶点，G为E的上顶点，# ?AG· # ?GB = 8．
P为直线x = 6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
currency1
x = cosk t
y = sink t（t为参数）．以坐标原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ?16ρsinθ + 3 = 0
（1）当k = 1时，C1是什么曲线？
（2）当k = 4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) = |3x + 1|?2|x?1|.
（1）画出y = f(x)的图像；
（2）求不等式f(x) > f(x + 1)的解集．
x
y
O 1
1
—第40页—
2020高考试题（全国卷II）理科数学使用省份：甘、青、蒙、辽、吉、黑、宁、新、陕、渝
2020高考试题（全国卷II）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知集合U = {?2,?1,0,1,2,3}，A = {?1,0,1}，B = {1,2}，则?U(A B) =
A. {?2,3} B. {?2,2,3} C. {?2,?1,0,3} D. {?2,?1,0,2,3}
2.若α为第四象限角，则
A. cos2α > 0 B. cos2α < 0 C. sin2α > 0 D. sin2α < 0
3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订
单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某
日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天
能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至
少需要志愿者
A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名
4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、
下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），
环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外
每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的
最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已
知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层
共有扇面形石板（不含天心石）
A. 3699块B. 3474块
C. 3402块D. 3339块
5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x?y ?3 = 0的距离为
A.
√5
5 B.
2√5
5 C.
3√5
5 D.
4√5
5
6.数列{an}中，a1 = 2，am+n = aman．若ak+1 + ak+2 +···+ ak+10 = 215 ?25，则k =
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条
棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯
视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对
应的点为
A. E B. F
C. G D. H
M
G H
E F
N
8.设O为坐标原点，直线x = a与双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的两条渐近线分别交于
D, E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
9.设函数f(x) = ln|2x + 1|?ln|2x?1|，则f(x)
A.是偶函数，且在 12,+∞ 单调递增B.是奇函数，且在 ? 12, 12 单调递减
C.是偶函数，且在 ?∞,?12 单调递增D.是奇函数，且在 ?∞,?12 单调递减
10.已知△ABC是面积为9
√3
4的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为
16π，则O到平面ABC的距离为
A. √3 B. 32 C. 1 D.
√3
2
11.若2x ?2y < 3?x ?3?y，则
A. ln(y ?x + 1) > 0 B. ln(y ?x + 1) < 0 C. ln|x?y| > 0 D. ln|x?y| < 0
12. 0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列a1a2···an···满足ai ∈ {0,1}(i = 1,2,···)，
且存在正整数m，使得ai+m = ai(i = 1,2,···)成立，则称其为0-1周期序列，并称满足
ai+m = ai(i = 1,2,···)的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0-1序列
a1a2···an···，C(k) = 1m
mX
i=1
aiai+k(k = 1,2,··· ,m?1)是描述其性质的重要指标．下列周期
为5的0-1序列中，满足C(k) ? 15(k = 1,2,3,4)的序列是
A. 11010··· B. 11011··· C. 10001··· D. 11001···
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.已知单位向量a, b的夹角为45?，ka?b与a垂直，则k =．
14. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去一个小区，每个小区至少安排1名
同学，则不同的安排方法共有种．
15.设复数z1, z2满足|z1| = |z2| = 2，z1 + z2 = √3 + i，则|z1 ?z2|=．
—第41页—
2020高考试题（全国卷II）理科数学
16.设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥ l．
则下述命题中所有真命题的序号是．
1 p1 ∧p4 2 p1 ∧p2 3 ?p2 ∨p3 4 ?p3 ∨?p4
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
△ABC中，sin2 A?sin2 B ?sin2 C = sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC = 3，求△ABC周长的最大值．
18. ( 12分)
某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生
动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为
样区，调查得到样本数据(xi,yi)(i = 1,2,··· ,20)，其中x1和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面
积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得：
20X
i=1
xi = 60，
20X
i=1
yi = 1200，
20X
i=1
(x1 ? ˉx)2 = 80，
20X
i=1
(yi ? ˉy)2 = 9000，
20X
i=1
(xi ? ˉx)(yi ? ˉy) = 800．
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物
数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi,yi)(i = 1,2,··· ,20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区
这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数r =
nP
i=1
(x1 ? ˉx)(yi ? ˉy)
? nP
i=1
(xi ? ˉx)2
nP
i=1
(yi ? ˉy)2
，√2 ≈ 1.414．
19. ( 12分)
已知椭圆C1 : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的
顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A, B两点，交C2于C, D两点，且|CD| = 43|AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点．若|MF| = 5，求C1与C2的标准方程．
20. ( 12分)
如图，已知三棱柱ABC ?A1B1C1的底面是正三角
形，侧面BB1C1C是矩形，M, N分别为BC, B1C1的
中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB
于E，交AC于F．
（1）证明：AA1 MN，且平面A1AMN ⊥平面
EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心．若AO平面
EB1C1F，且AO = AB，求直线B1E与平面A1AMN
所成角的正弦值．
A
B
C
A1
B1
C1
M
NO
E
F
P
21. ( 12分)
已知函数f(x) = sin2 xsin2x．
（1）讨论f(x)在区间(0,π)的单调性；
（2）证明：|f(x)|? 3
√3
8；
（3）设n ∈ N?，证明：sin2 xsin2 2xsin2 4x···sin2 2nx ? 3
n
4n．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线C1, C2的参数方程为
C1 :
currency1x = 4cos2 θ
y = 4sin2 θ（θ为参数），C2 :
8<
:
x = t + 1t
y = t? 1t
（t为参数）．
（1）将C1, C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1, C2的交点为P，求圆心在极
轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) = |x?a2|+|x?2a + 1|.
（1）当a = 2时，求不等式f(x) ? 4的解集；
（2）若f(x) ? 4，求a的取值范围．
—第42页—
2020高考试题（全国卷II）文科数学使用省份：甘、青、蒙、辽、吉、黑、宁、新、陕、渝
2020高考试题（全国卷II）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分0分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1.已知集合A = {x |x| < 3,x ∈ Z}，B = {x |x| > 1,x ∈ Z}，则A B) =
A. ? B. {?3,?2,2,3} C. {?2,0,2} D. {?2,2}
2. (1?i)4 =
A. ?4 B. 4 C. ?4i D. 4i
3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,··· ,a12．
设1 ? i < j < k ? 12．若k ?j = 3且j ?i = 4，
则称ai,aj,ak为原位大三和弦；若k ? j = 4且
j ? i = 3，则称ai,aj,ak为原位小三和弦．用这
12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦
的个数之和为
a1 a3 a5 a6 a8 a10 a12
a2 a4 a7 a9 a11
A. 5 B. 8 C. 10 D. 15
4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订
单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某
日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天
能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至
少需要志愿者
A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名
5.已知单位向量a, b的夹角为60?，则在下列向量中，与b垂直的是
A. a+ 2b B. 2a+b C. a?2b D. 2a?b
6.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5 ?a3 = 12，a6 ?a4 = 24，则Sna
n
=
A. 2n ?1 B. 2?21?n C. 2?2n?1 D. 21?n ?1
7.执行右面的程序框图，若输入的k = 0, a = 0，则输出
的k =
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
开始
输入k, a
a = 2a + 1
k = k + 1
a > 10
是
输出k
是
结束
8.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x?y ?3 = 0的距离为
A.
√5
5 B.
2√5
5 C.
3√5
5 D.
4√5
5
9.设O为坐标原点，直线x = a与双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的两条渐近线分别交于
D, E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
10.设函数f(x) = x3 ? 1x3，则f(x)
A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
11.已知△ABC是面积为9
√3
4的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为
16π，则O到平面ABC的距离为
A. √3 B. 32 C. 1 D.
√3
2
12.若2x ?2y < 3?x ?3?y，则
A. ln(y ?x + 1) > 0 B. ln(y ?x + 1) < 0 C. ln|x?y| > 0 D. ln|x?y| < 0
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.若sinx = ?23，则cos2x =．
14.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1 = ?2，a2 + a6 = 2，则S10 =．
15.若x,y满足约束条件
8<
:
x + y ??1,
x?y ??1,
2x?y ? 1.
则z = x + 2y的最大值为．
—第43页—
2020高考试题（全国卷II）文科数学
16.设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥ l．
则下述命题中所有真命题的序号是．
1 p1 ∧p4 2 p1 ∧p2 3 ?p2 ∨p3 4 ?p3 ∨?p4
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知cos2 π2 + A + cosA = 54．
（1）求A；
（2）若b?c =
√3
3 a，证明：△ABC是直角三角形．
18. ( 12分)
某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生
动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为
样区，调查得到样本数据(xi,yi)(i = 1,2,··· ,20)，其中x1和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面
积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得：
20X
i=1
xi = 60，
20X
i=1
yi = 1200，
20X
i=1
(x1 ? ˉx)2 = 80，
20X
i=1
(yi ? ˉy)2 = 9000，
20X
i=1
(xi ? ˉx)(yi ? ˉy) = 800．
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物
数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi,yi)(i = 1,2,··· ,20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区
这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数r =
nP
i=1
(x1 ? ˉx)(yi ? ˉy)
? nP
i=1
(xi ? ˉx)2
nP
i=1
(yi ? ˉy)2
，√2 ≈ 1.414．
19. ( 12分)
已知椭圆C1 : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的
顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A, B两点，交C2于C, D两点，且|CD| = 43|AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线的距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
20. ( 12分)
如图，已知三棱柱ABC ?A1B1C1的底面是正三角
形，侧面BB1C1C是矩形，M, N分别为BC, B1C1的
中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB
于E，交AC于F．
（1）证明：AA1 MN，且平面A1AMN ⊥平面
EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心．若AO = AB = 6，
AO平面EB1C1F，且∠MPN = π3，求四棱锥
B ?EB1C1F的体积．
A
B
C
A1
B1
C1
M
NO
E
F
P
21. ( 12分)
已知函数f(x) = 2lnx + 1．
（1）若f(x) ? 2x + c，求c的取值范围；
（2）设a > 0，讨论g(x) = f(x)?f(a)x?a的单调性．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线C1, C2的参数方程为
C1 :
currency1x = 4cos2 θ
y = 4sin2 θ（θ为参数），C2 :
8<
:
x = t + 1t
y = t? 1t
（t为参数）．
（1）将C1, C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1, C2的交点为P，求圆心在极
轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) = |x?a2|+|x?2a + 1|.
（1）当a = 2时，求不等式f(x) ? 4的解集；
（2）若f(x) ? 4，求a的取值范围．
—第44页—
2020高考试题（全国卷III）理科数学使用省份：云、贵、川、藏、桂
2020高考试题（全国卷III）理科数学
一、选择题：(本题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。)
1.已知集合A = {(x,y) | x,y ∈ N?,y ? x}，B = {(x,y) | x + y = 8}，则A B中元素的个数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
2.复数11?3i的虚部是
A. ? 310 B. ? 110 C. 110 D. 310
3.在一组样本数据中，1, 2, 3, 4出现的频率分别为p1, p2, p3, p4，且
4X
i=1
pi = 1，则下面四种情形
中，对应样本的标准差最大的一组是
A. p1 = p4 = 0.1，p2 = p3 = 0.4 B. p1 = p4 = 0.4，p2 = p3 = 0.1
C. p1 = p4 = 0.2，p2 = p3 = 0.3 D. p1 = p4 = 0.3，p2 = p3 = 0.2
4. Logistic模型是常用的数学模型之一，可用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区
新冠肺炎累计确诊病例数I(t)（t的单位：天）的Logistic模型：I(t) = K1 + e?0.23(t?53)，其中
K为最大确诊病例数．当I(t?) = 0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t?约为（ln19 ≈ 3）
A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
5.设O为坐标原点，直线x = 2与抛物线C : y2 = 2px(p > 0)交于D, E两点，若OD ⊥ OE，
则C的焦点坐标为
A. 14,0 B. 12,0 C. (1,0) D. (2,0)
6.已知向量a, b满足|a| = 5, |b| = 6，a·b = ?6，则cos?a,a+b? =
A. ?3135 B. ?1935 C. 1735 D. 1935
7.在△ABC中，cosC = 23，AC = 4，BC = 3，则cosB =
A. 19 B. 13 C. 12 D. 23
8.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
A. 6 + 4√2
B. 4 + 4√2
C. 6 + 2√3
D. 4 + 2√3
2
2
2
9.已知2tanθ?tan θ + π4 = 7，则tanθ =
A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2
10.若直线l与曲线y = √x和圆x2 + y2 = 15都相切，则l的方程为
A. y = 2x + 1 B. y = 2x + 12 C. y = 12x + 1 D. y = 12x + 12
11.设双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为F1, F2，离心率为
√5．P是C上
一点，且F1P ⊥ F2P．若△PF1F2的面积为4，则a =
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
12.已知55 < 84，134 < 85．设a = log5 3，b = log8 5，c = log13 8，则
A. a < b < c B. b < a < c C. b < c < a D. c < a < b
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分。)
13.若x,y满足约束条件
8<
:
x + y ? 0,
2x?y ? 0,
x ? 1.
则z = 3x + 2y的最大值为．
14. x2 + 2x 6的展开式中常数项是．
15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．
16.关于函数f(x) = sinx + 1sinx有如下四个命题：
1 f(x)的图像关于y轴对称．
2 f(x)的图像关于原点对称．
3 f(x)的图像关于直线x = π2对称．
4 f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是．
—第45页—
2020高考试题（全国卷III）理科数学
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
设数列{an}满足a1 = 3，an+1 = 3an ?4n．
（1）计算a2, a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
18. ( 12分)
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整
理数据得到下表（单位：天）：
空气质量等级
锻炼人次[0,200] (200,400] (400,600]
1（优）2 16 25
2（良）5 10 12
3（轻度污染）6 7 8
4（中度污染）7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或
4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否
有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次? 400人次> 400
空气质量好
空气质量不好
附：K2 = n(ad?bc)
2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)，
P(K2 ? k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19. ( 12分)
如图，在长方体ABCD ? A1B1C1D1中，点E, F分别在棱
DD1, BB1上，且2DE = ED1, BF = 2FB1．
（1）证明：点C1在平面AEF内；
（2）若AB = 2, AD = 1, AA1 = 3，求二面角A?EF ?A1的
正弦值．
A
BC
D
E
F
A1
B1C1
D1
20. ( 12分)
已知椭圆C : x
2
25 +
y2
m2 = 1(0 < m < 5)的离心率为
√15
4，A, B分别为C的左、右顶点．
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线x = 6上，且|BP| = |BQ|，BP ⊥ BQ，求△APQ的面积．
21. ( 12分)
设函数f(x) = x3 + bx + c，曲线y = f(x)在点 12,f(12) 处的切线与y轴垂直．
（1）求b；
（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)的所有零点的绝对值都不大于1．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
currency1
x = 2?t?t2,
y = 2?3t + t2.（t是参数且t 1），C与坐
标轴交于A, B两点．
（1）求|AB|；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
设a, b, c ∈ R,a + b + c = 0，abc = 1．
（1）证明：ab + bc + ca < 0；
（2）用max{a,b,c}表示a, b, c的最大值，证明：max{a,b,c}? 3√4．
—第46页—
2020高考试题（全国卷III）文科数学使用省份：云、贵、川、藏、桂
2020高考试题（全国卷III）文科数学
一、选择题：(本题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。)
1.已知集合A = {1,2,3,5,7,11}，B = {x | 3 < x < 15}，则A B中元素的个数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.若ˉz(1 + i) = 1?i，则z =
A. 1?i B. 1 + i C. ?i D. i
3.设一组样本数据x1,x2,··· ,xn的方差0.01，则数据10x1,10x2,··· ,10xn的方差为
A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10
4. Logistic模型是常用的数学模型之一，可用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区
新冠肺炎累计确诊病例数I(t)（t的单位：天）的Logistic模型：I(t) = K1 + e?0.23(t?53)，其中
K为最大确诊病例数．当I(t?) = 0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t?约为（ln19 ≈ 3）
A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
5.已知sinθ + sin θ + π3 = 1，则sin θ + π6 =
A. 12 B.
√3
3 C.
2
3 D.
√2
2
6.在平面内，A, B是两个定点，C是动点．若# ?AC · # ?BC = 1，则点C的轨迹为
A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线
7.设O为坐标原点，直线x = 2与抛物线C : y2 = 2px(p > 0)交于D, E两点，若OD ⊥ OE，
则C的焦点坐标为
A. 14,0 B. 12,0 C. (1,0) D. (2,0)
8.点(0,?1)到直线y = k(x + 1)距离的最大值为
A. 1 B. √2 C. √3 D. 2
9.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
A. 6 + 4√2
B. 4 + 4√2
C. 6 + 2√3
D. 4 + 2√3
2
2
2
10.设a = log3 2，b = log5 3，c = 23，则
A. a < c < b B. a < b < c C. b < c < a D. c < a < b
11.在△ABC中，cosC = 23，AC = 4，BC = 3，则tanB =
A. √5 B. 2√5 C. 4√5 D. 8√5
12.已知函数f(x) = sinx + 1sinx，则
A. f(x)的最小值为2 B. f(x)的图像关于y轴对称
C. f(x)的图像关于直线x = π对称D. f(x)的图像关于直线x = π2对称
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分。)
13.若x,y满足约束条件
8<
:
x + y ? 0,
2x?y ? 0,
x ? 1.
则z = 3x + 2y的最大值为．
14.设双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的一条渐近线为y =
√2x，则C的离心率为．
15.设函数f(x) = e
x
x + a．若f
′(1) = e
4，则a =．
16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．
—第47页—
2020高考试题（全国卷III）文科数学
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
设等比数列{an}满足a1 + a2 = 4，a3 ?a1 = 8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为数列{log3 an}的前n项和．若Sm + Sm+1 = Sm+3，求m．
18. ( 12分)
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整
理数据得到下表（单位：天）：
空气质量等级
锻炼人次[0,200] (200,400] (400,600]
1（优）2 16 25
2（良）5 10 12
3（轻度污染）6 7 8
4（中度污染）7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或
4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否
有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次? 400人次> 400
空气质量好
空气质量不好
附：K2 = n(ad?bc)
2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)，
P(K2 ? k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19. ( 12分)
如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，点E, F分别在棱
DD1, BB1上，且2DE = ED1, BF = 2FB1．证明
（1）当AB = BC时，EF ⊥ AC；
（2）点C1在平面AEF内．
A
BC
D
E
F
A1
B1C1
D1
20. ( 12分)
已知函数f(x) = x3 ?kx + k2．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)有三个零点，求k的取值范围．
21. ( 12分)
已知椭圆C : x
2
25 +
y2
m2 = 1(0 < m < 5)的离心率为
√15
4，A, B分别为C的左、右顶点．
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线x = 6上，且|BP| = |BQ|，BP ⊥ BQ，求△APQ的面积．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
currency1
x = 2?t?t2,
y = 2?3t + t2.（t是参数且t 1），C与坐
标轴交于A, B两点．
（1）求|AB|；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
设a, b, c ∈ R,a + b + c = 0，abc = 1．
（1）证明：ab + bc + ca < 0；
（2）用max{a,b,c}表示a, b, c的最大值，证明：max{a,b,c}? 3√4．
—第48页—
2020高考试题（新高考全国卷I）数学使用省份：鲁
2020高考试题（新高考全国卷I）数学
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.设集合A = {x | 1 ? x ? 3}，B = {x | 2 < x < 4}，则A B =
A. {x | 2 < x ? 3} B. {x | 2 ? x ? 3} C. {x | 1 ? x < 4} D. {x | 1 < x < 4}
2. 2?i1 + 2i =
A. 1 B. ?1 C. i D. ?i
3. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安
排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有
A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直
的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个
球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地
球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A
且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷
面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40?，则
晷针与点A处的水平面所成角为
A. 20? B. 40? C. 50? D. 90?
5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，
82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
A. 62% B. 56% C. 46% D. 42%
6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染
的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用
指数模型：I(t) = ert描述累计感染病例数I(t)随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率
r与R0, T近似满足R0 = 1 +rT．有学者基于已有数据估计出R0 = 3.28，T = 6．据此，在新
冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln2 ≈ 0.69）
A. 1.2天B. 1.8天C. 2.5天D. 3.5天
7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则# ?AP · # ?AB的取值范围是
A. (?2,6) B. (?6,2) C. (?2,4) D. (?4,6)
8.若定义在R的奇函数f(x)在(?∞,0)单调递减，且f(2) = 0，则满足xf(x? 1) ? 0的x的
取值范围是
A. [?1,1] [3,+∞) B. [?3,?1] [0,1] C. [?1,0] [1,+∞) D. [?1,0] [1,3]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9.已知曲线C : mx2 + ny2 = 1．
A.若m > n > 0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m = n > 0，则C是圆，其半径为√n
C.若mn < 0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = ±
?mn x
D.若m = 0, n > 0，则C是两条直线
10.右图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ) =
A. sin x + π3
B. sin π3 ?2x
C. cos 2x + π6
D. cos 5π6 ?2x
x
y
π
6
2π
3
O
1
11.已知a > 0, b > 0，且a + b = 1，则
A. a2 + b2 ? 12 B. 2a?b > 12
C. log2 a + log2 b ??2 D. √a +
√
b ?√2
12.信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1,2,··· ,n，且P(X =
i) = pi > 0(i = 1,2,··· ,n)，
nX
i=1
pi = 1，定义X信息熵H(X) = ?
nX
i=1
pi log2 pi．则
A.若n = 1，则H(X) = 0
B.若n = 2，则H(X)随着p1的增大而增大
C.若pi = 1n(i = 1,2,··· ,n)，则H(X)随着n的增大而增大
D.若n = 2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,··· ,m，且P(Y = j) = pj + p2m+1?j(j =
1,2,··· ,m)，则H(X) ? H(Y )
—第49页—
2020高考试题（新高考全国卷I）数学
三、填空题：(共4小题，每小题5分，满分20分。)
13.斜率为√3的直线过抛物线C : y2 = 4x的焦点，且与C交于A, B两点，则|AB| =．
14.将数列{2n ? 1}与{3n ? 2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和
为．
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的
截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的
圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆
弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，
BC ⊥ DG，垂足为C，tan∠ODC = 35，BH DG，
EF = 12cm，DE = 2cm，A到直线DE和EF的
距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分
的面积为cm2．
O
A
B
CD
E F
G
H
16.已知直四棱柱ABCD ?A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD = 60?．以D1为球心，√5为半径
的球面与侧面BCC1B1的交线长为
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. ( 12分)
在1 ac = √3，2 csinA = 3，3 c = √3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问
题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A, ,B, C的对边分别为a, b, c，且sinA = √3sinB，C = π6，
?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. ( 12分)
已知公比大于1的等比数列{an}满足a2 + a4 = 20，a3 = 8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bm为{an}在区间(0,m](m ∈ N?)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．
19. ( 12分)
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天
空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m3），得下表：
PM2.5 SO2 [0,50] (50,150] (150,475]
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
PM2.5 SO2 [0,150] (150,475]
[0,75]
(75,115]
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓
度有关？
附：K2 = n(ad?bc)
2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)，
P(K2 ? k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
20. ( 12分)
如图，四棱锥P ? ABCD的底面为正方形，PD ⊥平面
ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l ⊥平面PDC；
（2）已知PD = AD = 1，Q为l上一点，求PB与平面QCD
所成角的正弦值的最大值．
A B
CD
P
21. ( 12分)
已知函数f(x) = aex?1 ?lnx + lna．
（1）当a = e时，求曲线y = f(x)在点 1,f(1) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f(x) ? 1，求a的取值范围．
22. ( 12分)
已知椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的离心率为
√2
2，且过点A(2,1)．
（1）求C的方程；
（2）点M, N在C上，且AM ⊥ AN，AD ⊥ MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
—第50页—
2020高考试题（新高考全国卷II）数学使用省份：琼
2020高考试题（新高考全国卷II）数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.设集合A = {2,3,5,7}，B = {1,2,3,5,8}，则A B =
A. {1,3,5,7} B. {2,3} C. {2,3,5} D. {1,2,3,5,7,8}
2. (1 + 2i)(2 + i) =
A. 4 + 5i B. 5i C. ?5i D. 2 + 3i
3.在△ABC中，D是AB边的中点，则# ?CB =
A. 2# ?CD + # ?CA B. # ?CD?2# ?CA C. 2# ?CD? # ?CA D. # ?CD + 2# ?CA
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直
的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个
球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地
球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A
且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷
面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40?，则
晷针与点A处的水平面所成角为
A. 20? B. 40? C. 50? D. 90?
5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，
82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
A. 62% B. 56% C. 46% D. 42%
6.要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村至少有一名志愿者，
则不同的安排方法共有
A. 2种B. 3种C. 6种D. 8种
7.已知函数f(x) = lg(x2 ?4x?5)在(a,+∞)上单调递增，则a的取值范围是
A. (2,+∞) B. [2,+∞) C. (5,+∞) D. [5,+∞)
8.若定义在R的奇函数f(x)在(?∞,0)单调递减，且f(2) = 0，则满足xf(x? 1) ? 0的x的
取值范围是
A. [?1,1] [3,+∞) B. [?3,?1] [0,1] C. [?1,0] [1,+∞) D. [?1,0] [1,3]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9.我国新冠疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图：
日期
指数
78%
80%
82%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110
复产
复工
下列说法正确的是
A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量
C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%
D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量
10.已知曲线C : mx2 + ny2 = 1．
A.若m > n > 0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m = n > 0，则C是圆，其半径为√n
C.若mn < 0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = ±
?mn x
D.若m = 0, n > 0，则C是两条直线
11.右图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ) =
A. sin x + π3
B. sin π3 ?2x
C. cos 2x + π6
D. cos 5π6 ?2x
x
y
π
6
2π
3
O
1
12.已知a > 0, b > 0，且a + b = 1，则
A. a2 + b2 ? 12 B. 2a?b > 12
C. log2 a + log2 b ??2 D. √a +
√
b ?√2
—第51页—
2020高考试题（新高考全国卷II）数学
三、填空题：(共4小题，每小题5分，满分20分。)
13.已知正方体ABCD ? A1B1C1D1的棱长为2，M, N分别为BB1, AB的中点，则三棱锥
A?NMD1的体积为
14.斜率为√3的直线过抛物线C : y2 = 4x的焦点，且与C交于A, B两点，则|AB| =．
15.将数列{2n ? 1}与{3n ? 2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和
为．
16.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的
截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的
圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆
弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，
BC ⊥ DG，垂足为C，tan∠ODC = 35，BH DG，
EF = 12cm，DE = 2cm，A到直线DE和EF的
距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分
的面积为cm2．
O
A
B
CD
E F
G
H
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. ( 12分)
在1 ac = √3，2 csinA = 3，3 c = √3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问
题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A, ,B, C的对边分别为a, b, c，且sinA = √3sinB，C = π6，
?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. ( 12分)
已知公比大于1的等比数列{an}满足a2 + a4 = 20，a3 = 8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求a1a2 ?a2a3 +···+ (?1)n?1anan+1．
19. ( 12分)
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天
空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m3），得下表：
PM2.5 SO2 [0,50] (50,150] (150,475]
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
PM2.5 SO2 [0,150] (150,475]
[0,75]
(75,115]
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓
度有关？
附：K2 = n(ad?bc)
2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)，
P(K2 ? k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
20. ( 12分)
如图，四棱锥P ?ABCD的底面为正方形，PD ⊥平面ABCD．
设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l ⊥平面PDC；
（2）已知PD = AD = 1，Q为l上的点，QB = √2，求PB
与平面QCD所成角的正弦值．
A B
CD
P
21. ( 12分)
已知椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为
1
2．
（1）求C的方程；
（2）点N为C上任意一点，求△AMN面积的最大值．
22. ( 12分)
已知函数f(x) = aex?1 ?lnx + lna．
（1）当a = e时，求曲线y = f(x)在点 1,f(1) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f(x) ? 1，求a的取值范围．
—第52页—
2019高考试题（全国卷I）理科数学使用省份：冀、豫、闽、晋、赣、鄂、湘、粤、皖、鲁
2019高考试题（全国卷I）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M = {x | ?4 < x < 2}，N = {x | x2 ?x?6 < 0}，则M N =
A. {x | ?4 < x < 3} B. {x | ?4 < x < ?2}
C. {x | ?2 < x < 2} D. {x | 2 < x < 3}
2.设复数z满足|z ?i| = 1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则
A. (x + 1)2 + y2 = 1 B. (x?1)2 + y2 = 1 C. x2 + (y ?1)2 = 1 D. x2 + (y + 1)2 = 1
3.已知a = log2 0.2，b = 20.2，c = 0.20.3，则
A. a < b < c B. a < c < b C. c < a < b D. b < c < a
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比
是
√5?1
2
√5?1
2 ≈ 0.618，称为黄金分割比例
，著名的“断臂维纳斯”便
是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√
5?1
2．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子
下端的长度为26cm，则其身高可能是
A. 165cm B. 175cm
C. 185cm D. 190cm
5.函数f(x) = sinx + xcosx + x2在[?π,π]的图像大致为
A. x
y
1
O π?π B. x
y
1
O π?π
C. x
y
1
O π?π D. x
y
1
O π?π
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排
列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦．在所
有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A. 516 B. 1132 C. 2132 D. 1116
7.已知非零向量a, b满足|a| = 2|b|，且(a?b) ⊥b，则a与b的夹角为
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
8.右图是求1
2 + 1
2 + 12
的程序框图，图中空白框中应填入
A. A = 12 + A
B. A = 2 + 1A
C. A = 11 + 2A
D. A = 1 + 12A
开始
A = 12
k = 1
k ? 2
是
k = k + 1
否
输出A
结束
9.记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4 = 0, a5 = 5，则
A. an = 2n?5 B. an = 3n?10 C. Sn = 2n2 ?8n D. Sn = 12n2 ?2n
10.已知椭圆C的焦点为F(?1,0), F2(1,0)，过F2的直线与C交于A, B两点，若|AF2| =
2|F2B|, |AB| = |BF1|，则C的方程为
A. x
2
2 + y
2 = 1 B. x
2
3 +
y2
2 = 1 C.
x2
4 +
y2
3 = 1 D.
x2
5 +
y2
4 = 1
11.关于函数f(x) = sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
1 f(x)是偶函数2 f(x)在区间
π
2, π
单调递增
3 f(x)在[?π, π]有四个零点4 f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A. 1 2 4 B. 2 4 C. 1 4 D. 1 3
12.已知三棱锥P –ABC的四个顶点在球O的球面上，PA = PB = PC，△ABC是边长为2的
正三角形，E, F分别是PA, AB的中点，∠CEF = 90?，则球O的体积为
A. 8√6π B. 4√6π C. 2√6π D. √6π
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.曲线y = 3(x2 + x)ex在点(0,0)处的切线方程为．
14.即Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1 = 13, a24 = a6，则S5 =．
—第53页—
2019高考试题（全国卷I）理科数学
15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根
据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，
客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4 : 1获胜的概率是．
16.已知双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为F1, F2，过F1的直线与C的两
条渐近线交于A, B两点．若# ?F1A = # ?AB, # ?F1B · # ?F2B = 0，则C的离心率为．
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c．设(sinB ?sinC)2 = sin2 A?sinBsinC．
（1）求A；
（2）若√2a + b = 2c，求sinC．
18. ( 12分)
如图，直四棱柱ABCD ? A1B1C1D1的底面是菱
形，AA1 = 4, AB = 2, ∠BAD = 60?，E, M, N分别是
BC, BB1, A1D的中点．
（1）证明：MN平面C1DE；
（2）求二面角A?MA1 ?N的正弦值．
A B
CD E
A1 B1
C1D1
MN
19. ( 12分)
已知抛物线C : y2 = 3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A, B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF| = 4，求l的方程；
（2）若# ?AP = 3# ?PB，求|AB|．
20. ( 12分)
已知函数f(x) = sinx?ln(1 + x)，f′(x)为f(x)的导数．证明：
（1）f′(x)在区间 ?1, π2 存在唯一极大值点；
（2）f(x)有且仅有2个零点．
21. ( 12分)
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道那种新药更有效，为此进行动物实验．试验
方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只
施以乙药．一轮的疗效结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的
白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试
验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得?1分；若施以乙药的白
鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得?1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0
分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i = 0,1,··· ,8)表示“甲药的累计得分为i时，最
终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0 = 0, p8 = 1, pi = api?1 +bpi +cpi+1(i = 1,2,··· ,7)，其中
a = P(X = ?1), b = P(X = 0), c = P(X = 1)．假设α = 0.5, β = 0.8．
（i）证明：{pi+1 ?pi}(i = 0,1,2,··· ,7)为等比数列；
（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
8>
<
>:
x = 1?t
2
1 + t2,
y = 4t1 + t2.
（t为参数）．以坐标原点O为极
点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ +√3ρsinθ + 11 = 0．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l的距离的最小值．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知a, b, c为正数，且满足abc = 1．证明：
（1）1a + 1b + 1c ? a2 + b2 + c2；
（2）(a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 ? 24．
—第54页—
2019高考试题（全国卷I）文科数学使用省份：冀、豫、闽、晋、赣、鄂、湘、粤、皖、鲁
2019高考试题（全国卷I）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.设z = 3?i1 + 2i，则|z| =
A. 2 B. √3 C. √2 D. 1
2.已知集合U = {1,2,3,4,5,6,7}，A = {2,3,4,5}, B = {2,3,6,7}，则B ?UA =
A. {1,6} B. {1,7} C. {6,7} D. {1,6,7}
3.已知a = log2 0.2，b = 20.2，c = 0.20.3，则
A. a < b < c B. a < c < b C. c < a < b D. b < c < a
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比
是
√5?1
2
√5?1
2 ≈ 0.618，称为黄金分割比例
，著名的“断臂维纳斯”便
是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√
5?1
2．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子
下端的长度为26cm，则其身高可能是
A. 165cm B. 175cm
C. 185cm D. 190cm
5.函数f(x) = sinx + xcosx + x2在[?π,π]的图像大致为
A. x
y
1
O π?π B. x
y
1
O π?π
C. x
y
1
O π?π D. x
y
1
O π?π
6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,··· ,1000，从这些新生中用系统
抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的
是
A. 8号B. 200号C. 616号D. 815?
7.已知非零向量a, b满足|a| = 2|b|，且(a?b) ⊥b，则a与b的夹角为
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
8. tan255? =
A. ?2?√3 B. ?2 +√3 C. 2?√3 D. 2 +√3
9.右图是求1
2 + 1
2 + 12
的程序框图，图中空白框中应填入
A. A = 12 + A
B. A = 2 + 1A
C. A = 11 + 2A
D. A = 1 + 12A
开始
A = 12
k = 1
k ? 2
是
k = k + 1
否
输出A
结束
10.双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的一条渐近线的倾斜角为130
?，则C的离心率为
A. 2sin40? B. 2cos40? C. 1sin50? D. 1cos50?
11. △ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c．已知asinA?bsinB = 4csinC，cosA = ?14，
则bc =
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
12.已知椭圆C的焦点为F(?1,0), F2(1,0)，过F2的直线与C交于A, B两点，若|AF2| =
2|F2B|, |AB| = |BF1|，则C的方程为
A. x
2
2 + y
2 = 1 B. x
2
3 +
y2
2 = 1 C.
x2
4 +
y2
3 = 1 D.
x2
5 +
y2
4 = 1
—第55页—
2019高考试题（全国卷I）文科数学
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.曲线y = 3(x2 + x)ex在点(0,0)处的切线方程为．
14.即Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1 = 1, S3 = 34，则S4 =．
15.函数f(x) = sin 2x + 3π2 ?3cosx的最小值为．
16.已知∠ACB = 90?，P为平面ABC外一点，PC = 2，点P到∠ACB两边AC, BC的距离
均为√3，那么P到平面ABC的距离为．
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
某商场为提高服务质量，随机调查了50男顾客和50名女顾客．每位顾客对该商场的服务给出
满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意不满意
男顾客40 10
女顾客30 20
（1）分别估计男、女顾客对商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2 = n(ad?bc)
2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)，
P(K2 ? k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18. ( 12分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9 = ?a5．
（1）若a3 = 4，求{an}的通项公式；
（2）若a1 > 0，求使得Sn ? an的n的取值范围．
19. ( 12分)
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，
AA1 = 4, AB = 2, ∠BAD = 60?，E, M, N分别是
BC, BB1, A1D的中点．
（1）证明：MN平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
A B
CD E
A1 B
1
C1D1
MN
20. ( 12分)
已知函数f(x) = 2sinx?xcosx?x，f′(x)为f(x)的导数．
（1）证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点；
（2）若x ∈ [0,π]，f(x) ? ax，求a的取值范围．
21. ( 12分)
已知点A, B关于坐标原点对称，|AB| = 4，⊙M过点A, B且与直线x + 2 = 0相切．
（1）若A在直线x + y = 0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|?|MP|为定值？并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
8>
<
>:
x = 1?t
2
1 + t2,
y = 4t1 + t2.
（t为参数）．以坐标原点O为极
点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ +√3ρsinθ + 11 = 0．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l的距离的最小值．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知a, b, c为正数，且满足abc = 1．证明：
（1）1a + 1b + 1c ? a2 + b2 + c2；
（2）(a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 ? 24．
—第56页—
2019高考试题（全国卷II）理科数学使用省份：甘、青、蒙、辽、吉、黑、宁、新、陕、渝、琼
2019高考试题（全国卷II）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.设集合A = {x | x2 ?5x + 6 > 0}，B = {x | x?1 < 0}，则A B =
A. (?∞,1) B. (?2,1) C. (?3,?1) D. (3,+∞)
2.设z = ?3 + 2i，则在复平面内ˉz对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知# ?AB = (2,3)，# ?AC = (3,t)， # ?BC = 1，则# ?AB · # ?BC =
A. ?3 B. ?2 C. 2 D. 3
4. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得
又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．
为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨迹运
行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离
为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
M1
(R + r)2 +
M2
r2 = (R + r)
M1
R3 .
设α = rR．由于α的值很小，因此在近似计算中3α
3 + 3α4 + α5
(1 + α)2 ≈ 3α
3，则r的近似值为
A.
?
M2
M1R B.
?
M2
2M1R C.
3
?
3M2
2M1R D.
3
?
M2
3M1R
5.演讲比赛共有9为评委分别给出某选手的原始得分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中
去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变
的数字特征是
A.中位数B.平均分C.方差D.极差
6.若a > b，则
A. ln(a?b) > 0 B. 3a < 3b C. a3 ?b3 > 0 D. |a| > |b|
7.设α, β为两个平面，则α β的充要条件是
A. α内有无数条直线与β平行B. α内有两条相交直线与β平行
C. α, β平行于同一条直线D. α, β垂直于同一平面
8.若抛物线y2 = 2px(p > 0)的焦点是椭圆x
2
3p +
y2
p = 1的一个焦点，则p =
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
9.下列函数中，以π2为周期且在区间 π4, π2 单调递增的是
A. f(x) = |cos2x| B. f(x) = |sin2x| C. f(x) = cos|x| D. f(x) = sin|x|
10.已知α ∈ 0, π2 ，2sin2α = cos2α + 1，则sinα =
A. 15 B.
√5
5 C.
√3
3 D.
2√5
3
11.设F为双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与
圆x2 + y2 = a2交于P, Q两点．若|PQ| = |OF|，则C的离心率为
A. √2 B. √3 C. 2 D. √5
12.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+ 1) = 2f(x)，且当x ∈ (0,1]时，f(x) = x(x?1)．若对
任意x ∈ (?∞,m]，都有f(x) ??89，则m的取值范围是
A. ?∞, 94 B. ?∞, 73 C. ?∞, 52 D. ?∞, 83
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为
0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有
车次的平均正点率的估计值为．
14.已知f(x)是奇函数，且当x < 0时，f(x) = ?eax，若f(ln2) = 8，则a =．
15. △ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c．若b = 6, a = 2c, B = π3，则△ABC的面积
为．
—第57页—
2019高考试题（全国卷II）理科数学
16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形式多为长方体、正方体或圆柱
体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两
种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半
正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体
共有个面，其棱长为．（本题第一空2分，第二空3分）
图1图2
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
如图，长方体ABCD?A1B1C1D1的底面是正方形，点E
在棱AA1上，BE ⊥ EC1．
（1）证明：BE ⊥平面EB1C1；
（2）若AE = A1E，求二面角B ?EC ?C1的正弦值．
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
18. ( 12分)
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10 : 10平后，每球交换发球权，先多得2分
的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙
发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10 : 10平后，甲先发球，两人又打
了X个球该局比赛结束．
（1）求P(X = 2)；
（2）求事件“X = 4且甲获胜”的概率．
19. ( 12分)
已知数列{an}和{bn}满足a1 = 1, b1 = 0，4an+1 = 3an ?bn + 4, 4bn+1 = 3bn ?an ?4．
（1）证明：{an + bn}是等比数列，{an ?bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式．
20. ( 12分)
已知函数f(x) = lnx? x + 1x?1．
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y = lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y = ex
的切线．
21. ( 12分)
已知点A(?2,0), B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为?12．记M的轨迹
为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P, Q两点，点P在第一象限，PE ⊥ x轴，垂足为E，连结QE
并延长交C于点G．
（i）证明：△PQG是直角三角形；
（ii）求△PQG面积的最大值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0,θ0)(ρ0 > 0)在曲线C : ρ = 4sinθ上，直线l过点A(4,0)
且与OM垂直，垂足为P．
（1）当θ0 = π3时，求ρ0及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知f(x) = |x?a|x +|x?2|(x?a)．
（1）当a = 1时，求不等式f(x) < 0的解集；
（2）若x ∈ (?∞,1)时，f(x) < 0，求a的取值范围．
—第58页—
2019高考试题（全国卷II）文科数学使用省份：甘、青、蒙、辽、吉、黑、宁、新、陕、渝、琼
2019高考试题（全国卷II）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.设集合A = {x | x > ?1}，B = {x | x < 2}，则A B =
A. (?1,+∞) B. (?∞,2) C. (?1,2) D. ?
2.设z = i(2 + i)，则ˉz =
A. 1 + 2i B. ?1 + 2i C. 1?2i D. ?1?2i
3.已知向量a = (2,3)，b = (3,2)，则|a?b| =
A. √2 B. 2 C. 5√2 D. 50
4.生物实验室有5只兔子，其中有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰
有两只测量过该指标的概率为
A. 23 B. 35 C. 25 D. 15
5.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同，且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次
序为
A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙
6.设f(x)为奇函数，且当x ? 0时，f(x) = ex ?1，则当x < 0时，f(x) =
A. e?x ?1 B. e?x + 1 C. ?e?x ?1 D. ?e?x + 1
7.设α, β为两个平面，则α β的充要条件是
A. α内有无数条直线与β平行B. α内有两条相交直线与β平行
C. α, β平行于同一条直线D. α, β垂直于同一平面
8.若x1 = π4, x2 = 3π4是函数f(x) = sinωx(ω > 0)两个相邻的极值点，则ω =
A. 2 B. 32 C. 1 D. 12
9.若抛物线y2 = 2px(p > 0)的焦点是椭圆x
2
3p +
y2
p = 1的一个焦点，则p =
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
10.曲线y = 2sinx + cosx在点(π,?1)处的切线方程为
A. x?y ?π ?1 = 0 B. 2x?y ?2π ?1 = 0
C. 2x + y ?2π + 1 = 0 D. x + y ?π + 1 = 0
11.已知α ∈ 0, π2 ，2sin2α = cos2α + 1，则sinα =
A. 15 B.
√5
5 C.
√3
3 D.
2√5
3
12.设F为双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与
圆x2 + y2 = a2交于P, Q两点．若|PQ| = |OF|，则C的离心率为
A. √2 B. √3 C. 2 D. √5
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.若变量x, y满足约束条件
8<
:
2x + 3y ?6 ? 0,
x + y ?3 ? 0,
y ?2 ? 0.
则z = 3x?y的最大值是．
14.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为
0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有
车次的平均正点率的估计值为．
15. △ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c．已知bsinA + acosB = 0，则B =．
—第59页—
2019高考试题（全国卷II）文科数学
16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形式多为长方体、正方体或圆柱
体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两
种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半
正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体
共有个面，其棱长为．（本题第一空2分，第二空3分）
图1图2
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
如图，长方体ABCD?A1B1C1D1的底面是正方形，点E在
棱AA1上，BE ⊥ EC1．
（1）证明：BE ⊥平面EB1C1；
（2）若AE = A1E，AB = 3，求四棱锥E?BB1C1C的体积．
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
18. ( 12分)
已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1 = 2，a3 = 2a2 + 16．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn = log2 an，求数列{bn}的前n项和．
19. ( 12分)
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第
一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．
y的分组[?0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)
企业数2 24 53 14 7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用改组区间的中点值
为代表）．（精确到0.01）
附：√74 ≈ 8.602．
20. ( 12分)
已知点F1, F2是椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
（2）过如果存在点P，使得PF1 ⊥ PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范
围．
21. ( 12分)
已知函数f(x) = (x?1)lnx?x?1．证明：
（1）f(x)存在唯一的极值点；
（2）f(x) = 0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0,θ0)(ρ0 > 0)在曲线C : ρ = 4sinθ上，直线l过点A(4,0)
且与OM垂直，垂足为P．
（1）当θ0 = π3时，求ρ0及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知f(x) = |x?a|x +|x?2|(x?a)．
（1）当a = 1时，求不等式f(x) < 0的解集；
（2）若x ∈ (?∞,1)时，f(x) < 0，求a的取值范围．
—第60页—
2019高考试题（全国卷III）理科数学使用省份：云、贵、川、藏、桂
2019高考试题（全国卷III）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.设集合A = {?1, 0, 1, 2}，B = {x | x2 ? 1}，则A B =
A. {?1, 0, 1} B. {0, 1} C. {?1, 1} D. {0, 1, 2}
2.若z(1 + i) = 2i，则z =
A. ?1?i B. ?1 + i C. 1?i D. 1 + i
3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大
名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西
游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》
且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比
值的估计值为
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8
4. (1 + 2x2)(1 + x)4的展开式中x3的系数为
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
5.已知各项为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5 = 3a3 + 4a1，则a3 =
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
6.已知曲线y = aex + xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y = 2x + b，则
A. a = e, b = ?1 B. a = e, b = 1 C. a = e?1, b = 1 D. a = e?1, b = ?1
7.函数y = 2x
3
2x + 2?x在[?6,6]的图像大致为
A. x
y
O 4
8
B. x
y
O 4
8
C. x
y
O 4
8
D. x
y
O 4
8
8.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，
平面ECD ⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则
A. BM = EN，且直线BM, EN是相交直线
B. BM EN，且直线BM, EN是相交直线
C. BM = EN，且直线BM, EN是异面直线
D. BM EN，且直线BM, EN是异面直线A
BC
D
E
M
N
9.执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出的s的
值等于
A. 2? 124
B. 2? 125
C. 2? 126
D. 2? 127
开始
输入ε
x = 1,s = 0
s = s + x
x = x2
x < ε
是
否
输出s
结束
10.双曲线C : x
2
4 ?
y2
2 = 1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若
|PO| = |PF|，则△PFO的面积为
A. 3
√2
4 B.
3√2
2 C. 2
√2 D. 3√2
11.设f(x)是定义在R的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则
A. f log3 14 > f 2?32 > f 2?23 B. f log3 14 > f 2?23 > f 2?32
C. f 2?32 > f 2?23 > f log3 14 D. f 2?23 > f 2?32 > f log3 14
12.设函数f(x) = sin ωx + π5 （ω > 0），已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：
1 f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点2 f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点
3 f(x)在
0, π
10
单调递增
4 ω的取值范围是
12
5 ,
29
10
正确的有
A. 1 4 B. 2 3 C. 1 2 3 D. 1 3 4
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.已知a, b为单位向量，且a·b = 0，若c = 2a?√5b，则cos?a,c? =．
14.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1 0，a2 = 3a1，则S10S
5
=．
—第61页—
2019高考试题（全国卷III）理科数学
15.设F1, F2为椭圆C : x
2
36 +
y2
20 = 1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为
等腰三角形，则M的坐标为．
16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该
模型为长方体ABCD?A1B1C1D1挖去四棱锥O?EFGH
后得到的几何体，其中O为长方体的中心，E, F, G, H分别
为所在棱的中点，AB = BC = 6cm，AA1 = 4cm．3D打印
原料密度为0.9g/cm3．不计打印损耗，制作该模型所需原料
的质量为g．A B
CD
E
F
G
H
A1 B1
C1D1
O
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B
两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶
液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．
根据实验数据分别得到如下直方图：
频率/组距
百分比1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5
0.05
0.10
0.15
0.20
0.30
甲离子残留百分比直方图
频率/组距
百分比2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5
0.05
0.15
0.20
b
a
乙离子残留百分比直方图
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”．根据直方图得到P(C)的估计值为
0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中a, b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组数据用该区间的中点值为代表）．
18. ( 12分)
△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c．已知asin A + C2 = bsinA．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c = 1，求△ABC面积的取值范围．
19. ( 12分)
图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB = 1, BE =
BF = 2，∠FBC = 60?．将其沿AB, BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．
（1）证明：图2中的A, C, G, D四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B ?CG?A的大小．
A
B
C
D
E
F G
（图1）
A
B C
D
E(F) G
（图2）
20. ( 12分)
已知函数f(x) = 2x3 ?ax2 + b．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）是否存在a, b，使得f(x)在区间[0, 1]的最小值为?1，且最大值为1？若存在，求出a, b
的所有值；若不存在，说明理由．
21. ( 12分)
已知曲线C : y = x
2
2，D为直线y = ?
1
2上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A, B．
（1）证明：直线AB过定点；
（2）若以E 0, 52 为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的
面积．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
如图，在极坐标系Ox中，A(2,0), B √2, π4 , C √2, 3π4 , D(2,π)，弧 AB, BC, CD所在圆
的圆心分别是(1,0), 1, π2 , (1,π)，曲线M1是弧 AB,曲线M2是弧 BC,曲线M3是弧 CD．
（1）分别写出M1, M2, M3的极坐标方程；
（2）曲线M由M1, M2, M3构成，若点P在M
上，且|OP| = √3，求P的极坐标．
xO A
BC
D
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
设x, y, z ∈ R，且x + y + z = 1．
（1）求(x?1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2的最小值；
（2）若(x?2)2 + (y ?1)2 + (z ?a)2 ? 13，证明：a ??3或a ??1．
—第62页—
2019高考试题（全国卷III）文科数学使用省份：云、贵、川、藏、桂
2019高考试题（全国卷III）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.设集合A = {?1, 0, 1, 2}，B = {x | x2 ? 1}，则A B =
A. {?1, 0, 1} B. {0, 1} C. {?1, 1} D. {0, 1, 2}
2.若z(1 + i) = 2i，则z =
A. ?1?i B. ?1 + i C. 1?i D. 1 + i
3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率为
A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
4.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大
名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西
游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》
且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比
值的估计值为
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8
5.函数f(x) = 2sinx?sin2x在[0,2π]的零点个数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.已知各项为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5 = 3a3 + 4a1，则a3 =
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
7.已知曲线y = aex + xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y = 2x + b，则
A. a = e, b = ?1 B. a = e, b = 1 C. a = e?1, b = 1 D. a = e?1, b = ?1
8.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，
平面ECD ⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则
A. BM = EN，且直线BM, EN是相交直线
B. BM EN，且直线BM, EN是相交直线
C. BM = EN，且直线BM, EN是异面直线
D. BM EN，且直线BM, EN是异面直线A
BC
D
E
M
N
9.执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出的s的
值等于
A. 2? 124
B. 2? 125
C. 2? 126
D. 2? 127
开始
输入ε
x = 1,s = 0
s = s + x
x = x2
x < ε
是
否
输出s
结束
10.已知F是双曲线C : x
2
4 ?
y2
5 = 1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP| = |OF|，
则△OPF的面积为
A. 32 B. 52 C. 72 D. 92
11.记不等式组
currency1
x + y ? 6,
2x?y ? 0.表示的平面区域为D．命题p : ?(x,y) ∈ D, 2x + y ? 9；命题
q : ?(x,y) ∈ D, 2x + y ? 12．下面给出了四个命题：
1 p∨q 2 ?p∨q 3 p∧?q 4 ?p∧?q
这四个命题中，所有真命题的编号是
A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4
12.设f(x)是定义在R的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则
A. f log3 14 > f 2?32 > f 2?23 B. f log3 14 > f 2?23 > f 2?32
C. f 2?32 > f 2?23 > f log3 14 D. f 2?23 > f 2?32 > f log3 14
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.已知向量a = (2,2)，b = (?8,6)，则cos?a,b? =．
14.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3 = 5, a7 = 13，则S10 =．
15.设F1, F2为椭圆C : x
2
36 +
y2
20 = 1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为
等腰三角形，则M的坐标为．
—第63页—
2019高考试题（全国卷III）文科数学
16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该
模型为长方体ABCD?A1B1C1D1挖去四棱锥O?EFGH
后得到的几何体，其中O为长方体的中心，E, F, G, H分别
为所在棱的中点，AB = BC = 6cm，AA1 = 4cm．3D打印
原料密度为0.9g/cm3．不计打印损耗，制作该模型所需原料
的质量为g．A B
CD
E
F
G
H
A1 B1
C1D1
O
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B
两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶
液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．
根据实验数据分别得到如下直方图：
频率/组距
百分比1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5
0.05
0.10
0.15
0.20
0.30
甲离子残留百分比直方图
频率/组距
百分比2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5
0.05
0.15
0.20
b
a
乙离子残留百分比直方图
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”．根据直方图得到P(C)的估计值为
0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中a, b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组数据用该区间的中点值为代表）．
18. ( 12分)
△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c．已知asin A + C2 = bsinA．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c = 1，求△ABC面积的取值范围．
19. ( 12分)
图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB = 1, BE =
BF = 2，∠FBC = 60?．将其沿AB, BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．
（1）证明：图2中的A, C, G, D四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE；
（2）求图2中的四边形ACGD的面积．
A
B
C
D
E
F G
（图1）
A
B C
D
E(F) G
（图2）
20. ( 12分)
已知函数f(x) = 2x3 ?ax2 + 2．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）当0 < a < 3时，记f(x)在区间[0, 1]的最大值为M，最大值为m，求M ?m取值范围．
21. ( 12分)
已知曲线C : y = x
2
2，D为直线y = ?
1
2上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A, B．
（1）证明：直线AB过定点；
（2）若以E 0, 52 为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
如图，在极坐标系Ox中，A(2,0), B √2, π4 , C √2, 3π4 , D(2,π)，弧 AB, BC, CD所在圆
的圆心分别是(1,0), 1, π2 , (1,π)，曲线M1是弧 AB,曲线M2是弧 BC,曲线M3是弧 CD．
（1）分别写出M1, M2, M3的极坐标方程；
（2）曲线M由M1, M2, M3构成，若点P在M
上，且|OP| = √3，求P的极坐标．
xO A
BC
D
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
设x, y, z ∈ R，且x + y + z = 1．
（1）求(x?1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2的最小值；
（2）若(x?2)2 + (y ?1)2 + (z ?a)2 ? 13，证明：a ??3或a ??1．
—第64页—
2018高考试题（全国卷I）理科数学使用省份：闽、豫、冀、晋、赣、鄂、湘、粤、皖、鲁、琼
2018高考试题（全国卷I）理科数学
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.设z = 1?i1 + i + 2i，则|z| =
A. 0 B. 12 C. 1 D. √2
2.已知集合A = {x | x2 ?x?2 > 0}，则?RA=
A. {x | ?1 < x < 2} B. {x | ?1 ? x ? 2}
C. {x | x < ?1} {x | x > 2} D. {x | x ??1} {x | x ? 2}
3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农
村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼
图：
其他收入4%
6%第三产业收入
30%
养殖收入
60%种植收入
建设前经济收入构成比例
其他收入5%
28%
第三产业收入
30%
养殖收入
37%种植收入
建设后经济收入构成比例
则下面结论不正确的是
A.新农村建设后，种植收入减少
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3 = S2 + S4，a1 = 2，则a5=
A. ?12 B. ?10 C. 10 D. 12
5.设函数f(x) = x3 + (a?1)x2 + ax．若f(x)为奇函数，则曲线y = f(x)在点(0,0)处的切线
方程为
A. y = ?2x B. y = ?x C. y = 2x D. y = x
6.在△ABC中，AD为BC的中线，E为AD的中点，则# ?EB=
A. 34 # ?AB ? 14 # ?AC B. 14 # ?AB ? 34 # ?AC C. 34 # ?AB + 14 # ?AC D. 14 # ?AB ? 34 # ?AC
7.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右
图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，
圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则
在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路
径的长度为
A. 2√17 B. 2√5
C. 3 D. 2
A
B
8.设抛物线C : y2 = 4x的焦点为F，过点(?2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点，则
# ?FM · # ?FN=
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
9.已知函数f(x) =
currency1ex, x ? 0,
lnx, x > 0, ,g(x) = f(x) + x + a．若g(x)存在两个零点，则a的取值范
围是
A. [?1,0] B. [0,+∞) C. [?1,∞) D. [1,+∞)
10.右图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几
何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径
分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边
AB,AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑
色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中
随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记
为p1，p2，p3，则
A
B C
A. p1 = p2 B. p1 = p3 C. p2 = P3 D. p1 = p2 + p3
11.已知双曲线C : x
2
3 ?y
2 = 1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近
线的交点分别为M, N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=
A. 32 B. 3 C. 2√3 D. 4
12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面
面积的最大值为
A. 3
√3
4 B.
2√3
3 C.
3√2
4 D.
√3
2
—第65页—
2018高考试题（全国卷I）理科数学
二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分。
13.若x,y满足约束条件
8<
:
x?2y ?2 ? 0,
x?y + 1 ? 0,
y ? 0.
则z = 3x + 2y的最大值为.
14.记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn = 2an + 1，则S6= .
15.从2位女生，4为男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共
有种．（用数字填写答案）
16.已知函数f(x) = 2sinx + sin2x，则f(x)的最小值是.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
在平面四边形ABCD中，∠ADC = 90?，∠A = 45?，AB = 2，BD = 5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC = 2√2，求BC．
18. ( 12分)
如图，四边形ABCD为正方形，E, F分别为AD, BC
的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P
的位置，且PF ⊥ BF．
（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成的角的正弦值．
A B
CD
E F
P
19. ( 12分)
设椭圆C : x
2
2 + y
2 = 1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A, B两点，点M的坐标为
(2,0)．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA = ∠OMB．
20. ( 12分)
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检
验出不合格产品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决
定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0 < p < 1)，且各件产品是
否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中有两件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有两件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已
知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元
的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX．
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21. ( 12分)
已知函数f(x) = 1x ?x + alnx．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)存在两个极值点x1 ,x2，证明：f(x1)?f(x2)x
1 ?x2
< a?2．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y = k|x|+ 2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2 + 2ρcosθ?3 = 0．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个交点，求C1的方程．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知f(x) = |x + 1|?|ax?1|．
（1）当a = 1时，求不等式f(x) > 1的解集；
（2）若x ∈ (0,1)时不等式f(x) > x成立，求a的取值范围．
—第66页—
2018高考试题（全国卷I）文科数学使用省份：闽、豫、冀、晋、赣、鄂、湘、粤、皖、鲁、琼
2018高考试题（全国卷I）文科数学
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合A = {0, 2},B = {?2, ?1, 0, 1, 2}，则A B=
A. {0, 2} B. {1, 2} C. {0} D. {?2, ?1, 0, 1, 2}
2.设z = 1?i1 + i + 2i，则|z| =
A. 0 B. 12 C. 1 D. √2
3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区
农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下
饼图：
其他收入4%
6%第三产业收入
30%
养殖收入
60%种植收入
建设前经济收入构成比例
其他收入5%
28%
第三产业收入
30%
养殖收入
37%种植收入
建设后经济收入构成比例
则下面结论不正确的是
A.新农村建设后，种植收入减少
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4.已知椭圆C : x
2
a2 +
y2
4 = 1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为
A. 13 B. 12 C.
√2
2 D.
2√2
3
5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1, O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积
为8的正方体，则该圆柱的表面积为
A. 12√2π B. 12π C. 8√2π D. 10π
6.设函数f(x) = x3 + (a?1)x2 + ax．若f(x)为奇函数，则曲线y = f(x)在点(0,0)处的切线
方程为
A. y = ?2x B. y = ?x C. y = 2x D. y = x
7.在△ABC中，AD为BC的中线，E为AD的中点，则# ?EB=
A. 34 # ?AB ? 14 # ?AC B. 14 # ?AB ? 34 # ?AC C. 34 # ?AB + 14 # ?AC D. 14 # ?AB ? 34 # ?AC
8.已知函数f(x) = 2cos2 x?sin2 x + 2，则
A. f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B. f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C. f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D. f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
9.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右
图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，
圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则
在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路
径的长度为
A. 2√17 B. 2√5
C. 3 D. 2
A
B
10.在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB = BC = 2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30?，则
该长方体的体积为
A. 8 B. 6√2 C. 8√2 D. 8√3
11.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a),B(2,b)，且
cos2α = 23，则|a?b| =
A. 15 B.
√5
5 C.
2√5
5 D. 1
12.设函数f(x) =
currency12?x, x ? 0,
1, x > 0,则满足f(x + 1) < f(2x)的x的取值范围是
A. (?∞,?1] B. (0,+∞) C. (?1,0) D. (?∞,0)
二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x) = log2(x2 + a)．若f(3) = 1，则a = .
—第67页—
2018高考试题（全国卷I）文科数学
14.若x,y满足约束条件
8
<
:
x?2y ?2 ? 0,
x?y + 1 ? 0,
y ? 0.
则z = 3x + 2y的最大值为.
15.直线y = x + 1与圆x2 + y2 + 2y ?3 = 0交于A,B两点，则|AB| = .
16.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知bsinC + csinB = 4asinBsinC，且
b2 + c2 ?a2 = 8，则△ABC的面积为.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
已知数列{an}满足a1 = 1，nan+1 = 2(n + 1)an．设bn = ann．
（1）求b1 ,b2 ,b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{an}的通项公式．
18. ( 12分)
如图，在平行四边形ABCM中，AB = AC = 3，
∠ACM = 90?，以AC为折痕将△ACM折起，使
点M到达点D的位置，且AB ⊥ DA．
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC；
（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一
点，且BP = DQ = 23DA，求三棱锥Q-ABP的体积．
A B
C
D
M
Q
P
19. ( 12分)
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日
用水量数据得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量[0, 0.1) [0.1, 0.2) [0.2, 0.3) [0.3, 0.4) [0.4, 0.5) [0.5, 0.6) [0.6, 0.7)
频数1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量[0, 0.1) [0.1, 0.2) [0.2, 0.3) [0.3, 0.4) [0.4, 0.5) [0.5, 0.6)
频数1 5 13 10 16 5
.
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50
天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水
量小于0.35m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年
能节省多少水？（一年按365天计算，同一组
中的数据以这组数据所在区间的中点的值作代
表．)
频率/组距
日用水量/m30.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
0
20. ( 12分)
设抛物线C : y2 = 2x，点A(2,0),B(?2,0)，过点A的直线l与C交于M,N两点．
（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
（2）证明：∠ABM = ∠ABN．
21. ( 12分)
已知函数f(x) = aex ?lnx?1．
（1）设x = 2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；
（2）证明：当a ? 1e时，f(x) ? 0．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y = k|x|+ 2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2 + 2ρcosθ?3 = 0．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个交点，求C1的方程．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知f(x) = |x + 1|?|ax?1|．
（1）当a = 1时，求不等式f(x) > 1的解集；
（2）若x ∈ (0,1)时不等式f(x) > x成立，求a的取值范围．
—第68页—
2018高考试题（全国卷II）理科数学使用省份：陕、甘、青、蒙、宁、新、黑、吉、辽
2018高考试题（全国卷II）理科数学
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1. 1 + 2i1?2i =
A. ?45 ? 35i B. ?45 + 35i C. ?35 ? 45i D. ?35 + 45i
2.已知集合A = {(x,y) | x2 + y2 ? 3, x ∈ Z,y ∈ Z}，则A中的元素个数为
A. 9 B. 8 C. 5 D. 4
3.函数f(x) = e
x ?e?x
x2的图像大致是
A. x
y
O 1
1 B.
x
y
O 1
1 C.
x
y
O 1
1 D.
x
y
O 1
1
4.已知向量a,b满足|a| = 1, a·b = ?1，则a· (2a?b) =
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
5.双曲线x
2
a2 ?
y2
b2 = 1（a > 0,b > 0）的离心率为
√3，则其渐近线方程为
A. y = ±√2x B. y = ±√3x C. y = ±
√2
2 x D. y = ±
√3
2 x
6.在△ABC中，cos C2 =
√5
5，BC = 1，AC = 5，则AB =
A. 4√2 B. √30 C. √29 D. 2√5
7.为计算S = 1? 12 + 13 ? 14 +···+ 199 ? 1100，设
计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入
A. i = i + 1
B. i = i + 2
C. i = i + 3
D. i = i + 4
开始
N = 0,T = 0
i = 1
i < 100是
N = N + 1i
否
T = T+ 1i+ 1
S = N ?T
输出S
结束
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜是“每个大于
2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 = 7 + 23．在不超过30的素数中，随机选取两个不
同的数，其和等于30的概率是
A. 112 B. 114 C. 115 D. 118
9.在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB = BC = 1，AA1 = √3，则异面直线AD1与DB1所
成角的余弦值为
A. 15 B.
√5
6 C.
√5
5 D.
√2
2
10.若f(x) = cosx?sinx在[?a, a]是减函数，则a的最大值是
A. π4 B. π2 C. 3π4 D. π
11.已知f(x)是定义域为(?∞,+∞)的奇函数，满足f(1 ? x) = f(1 + x)．若f(1) = 2，则
f(1) + f(2) +···+ f(50) =
A. ?50 B. 0 C. 2 D. 50
12.已知F1 ,F2是椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1（a > b > 0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过
A且斜率为
√3
6的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P = 120
?，则C的离心率为
A. 23 B. 12 C. 13 D. 14
二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分。
13.曲线y = 2ln(x + 1)在点(0,0)处的切线方程为.
14.若x,y满足约束条件
8>
<
>:
x + 2y ?5 ? 0,
x?2y + 3 ? 0,
x?5 ? 0.
则z = x + y的最大值为.
15.已知sinα + cosβ = 1，cosα + sinβ = 0，则sin(α + β)= .
16.已知圆锥的顶点为S，母线SA,SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45?．若
△SAB的面积为5√15，则该圆锥的侧面积为.
—第69页—
2018高考试题（全国卷II）理科数学
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1 = ?7，S3 = ?15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
18. ( 12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
年份
投资额
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
11 19
25 35
37 42 42 47
53 56
122 129
148
171
184
209 220
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．
根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,··· ,17）建立模型1：?y = ?30.4+13.5t；
根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,··· ,7）建立模型2：?y = 99 + 17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？说明理由．
19. ( 12分)
设抛物线C : y2 = 4x的焦点为F，过F且斜率为k（k > 0）的直线l与C交于A,B两点，
|AB| = 8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程．
20. ( 12分)
如图，在三棱锥P ? ABC中，AB = BC = 2√2，
PA = PB = PC = AC = 4，O为AC的中点．
（1）证明：PO ⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M ?PA?C为
30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
O
A C
B
M
P
21. ( 12分)
已知函数f(x) = ex ?ax2．
（1）若a = 1，证明：当x ? 0时，f(x) ? 1；
（2）若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求a．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
currency1x = 2cosθ,
y = 4sinθ.（θ为参数），直线l的参数方程为
currency1x = 1 + tcosα,
y = 2 + tsinα.（t为参数）．
（1）求C与l的普通方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的方程．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知f(x) = 5?|x + a|?|x?2|．
（1）当a = 1时，求不等式f(x) ? 0的解集；
（2）若f(x) ? 1，求a的取值范围．
—第70页—
2018高考试题（全国卷II）文科数学使用省份：陕、甘、青、蒙、宁、新、黑、吉、辽
2018高考试题（全国卷II）文科数学
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1. i(2 + 3i) =
A. 3?2i B. 3 + 2i C. ?3?2i D. ?3 + 2i
2.已知集合A = {1,3,5,7}，B = {2,3,4,5}，则A B =
A. {3} B. {5} C. {3,5} D. {1,2,3,4,5,7}
3.函数f(x) = e
x ?e?x
x2的图像大致是
A. x
y
O 1
1 B.
x
y
O 1
1 C.
x
y
O 1
1 D.
x
y
O 1
1
4.已知向量a,b满足|a| = 1, a·b = ?1，则a· (2a?b) =
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
5.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为
A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3
6.双曲线x
2
a2 ?
y2
b2 = 1（a > 0,b > 0）的离心率为
√3，则其渐近线方程为
A. y = ±√2x B. y = ±√3x C. y = ±
√2
2 x D. y = ±
√3
2 x
7.在△ABC中，cos C2 =
√5
5，BC = 1，AC = 5，则AB =
A. 4√2 B. √30 C. √29 D. 2√5
8.为计算S = 1? 12 + 13 ? 14 +···+ 199 ? 1100，设
计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入
A. i = i + 1
B. i = i + 2
C. i = i + 3
D. i = i + 4
开始
N = 0,T = 0
i = 1
i < 100是
N = N + 1i
否
T = T+ 1i+ 1
S = N ?T
输出S
结束
9.在正方体ABCD ?A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切
值为
A.
√2
2 B.
√3
2 C.
√5
2 D.
√7
2
10.若f(x) = cosx?sinx在[0, a]是减函数，则a的最大值是
A. π4 B. π2 C. 3π4 D. π
11.已知F1 ,F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1 ⊥ PF2，且∠PF2F1 = 60?，则
C的离心率为
A. 1?
√3
2 B. 2?
√3 C. √3?1
2 D.
√3?1
12.已知f(x)是定义域为(?∞,+∞)的奇函数，满足f(1 ? x) = f(1 + x)．若f(1) = 2，则
f(1) + f(2) +···+ f(50) =
A. ?50 B. 0 C. 2 D. 50
二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分。
13.曲线y = 2lnx在点(1,0)处的切线方程为.
14.若x,y满足约束条件
8>
<
>:
x + 2y ?5 ? 0,
x?2y + 3 ? 0,
x?5 ? 0.
则z = x + y的最大值为.
—第71页—
2018高考试题（全国卷II）文科数学
15.已知tan
α? 5π4
= 15，则tanα= .
16.已知圆锥的顶点为S，母线SA,SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30?．若△SAB的面
积为8，则该圆锥的体积为.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1 = ?7，S3 = ?15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
18. ( 12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
年份
投资额
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
11 19
25 35
37 42 42 47
53 56
122 129
148
171
184
209 220
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．
根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,··· ,17）建立模型1：?y = ?30.4+13.5t；
根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,··· ,7）建立模型2：?y = 99 + 17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？说明理由．
19. ( 12分)
如图，在三棱锥P –ABC中，AB = BC = 2√2，
PA = PB = PC = AC = 4，O为AC的中点．
（1）证明：PO ⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且MC = 2MB，求点C到
平面POM的距离．
OA C
B
M
P
20. ( 12分)
设抛物线C : y2 = 4x的焦点为F，过F且斜率为k（k > 0）的直线l与C交于A,B两点，
|AB| = 8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程．
21. ( 12分)
已知函数f(x) = 13x3 ?a(x2 + x + 1)．
（1）若a = 3，求f(x)的单调区间；
（2）证明：f(x)只有一个零点．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
currency1x = 2cosθ,
y = 4sinθ.（θ为参数），直线l的参数方程
为
currency1x = 1 + tcosα,
y = 2 + tsinα.（t为参数）．
（1）求C与l的普通方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的方程．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知f(x) = 5?|x + a|?|x?2|．
（1）当a = 1时，求不等式f(x) ? 0的解集；
（2）若f(x) ? 1，求a的取值范围．
—第72页—
2018高考试题（全国卷III）理科数学使用省份：云、贵、川、桂、藏
2018高考试题（全国卷III）理科数学
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合A = {x | x?1 ? 0}，B = {0, 1, 2}，则A B=
A. {0} B. {1} C. {1,2} D. {0,1,2}
2. (1 + i)(2?i)=
A. ?3?i B. ?3 + i C. 3?i D. 3 + i
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫
榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若
如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则
咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
俯
视
方
向
A. B. C. D.
4.若sinα = 13，则cos2α=
A. 89 B. 79 C. ?79 D. ?89
5.
x2 + 2x
5
的展开式中x4的系数为
A. 10 B. 20 C. 40 D. 80
6.直线x + y + 2 = 0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆(x ? 2)2 + y2 = 2上，则
△ABP面积的取值范围是
A. [2,6] B. [4,8] C. [√2,3√2] D. [2√2,3√2]
7.函数y = ?x4 + x2 + 2的图像大致为
A. x
y
O 1
1 B. x
y
O 1
1 C. x
y
O 1
1 D. x
y
O 1
1
8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体
的10位成员中使用移动支付的人数，DX = 2.4，P(X = 4) < P(X = 6)，则p =
A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3
9. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．若△ABC的面积为a
2 + b2 ?c2
4，则C=
A. π2 B. π3 C. π4 D. π6
10.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9√3，则
三棱锥D?ABC的体积的最大值为
A. 12√3 B. 18√3 C. 24√3 D. 54√3
11.设F1, F2是双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1（a > 0,b > 0）的左，右焦点，O是坐标原点，过F2作C
的一条渐近线的垂线，垂足为P，若 PF1 = √6 OP ，则C的离心率为
A. √5 B. 2 C. √3 D. √2
12.设a = log0.2 0.3，b = log2 0.3，则
A. a + b < ab < 0 B. ab < a + b < 0 C. a + b < 0 < ab D. ab < 0 < a + b
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a = (1,2)，b = (2,?2)，c = (1,λ)，若c (2a+b)，则λ= .
14.曲线y = (ax + 1)ex在点(0,1)处的切线斜率为?2，则a= .
15.函数f(x) = cos
3x + π6
在[0,π]的零点个数为.
16.已知M(?1,1)和抛物线C : y2 = 4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点，若
∠AMB = 90?，则k = .
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
—第73页—
2018高考试题（全国卷III）理科数学
17.（12分）
等比数列{an}中，a1 = 1，a5 = 4a3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和，若Sm = 63，求m.
18.（12分）
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为
比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种
生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了
如下茎叶图：
8 6 5 5 6 8 9
9 7 6 2 7 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8
9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 8 1 4 4 5
2 1 1 0 0 9 0
第一种生产方式第二种生产方式
（1）根据茎叶图判断那种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不
超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
附：K2 = n(ad?bc)
2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)，
P(K2 ? k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19.（12分）
如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与半圆
弧 CD所在平面垂直，M是 CD上异于C,D的点.
（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M ?ABC体积最大时，求面MAB
与面MCD所成的二面角的正弦值.
A B
CD
M
20.（12分）
已知斜率为k的直线l与椭圆C : x
2
4 +
y2
3 = 1交于A, B两点，线段AB的中点为M(1,m)
（m > 0）.
（1）证明：k < ?12；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且# ?FP + # ?FA+ # ?FB = 0，证明： # ?FA , # ?FP , # ?FB
成等差数列，并求该数列的公差．
21.（12分）
已知函数f(x) = (2 + x + ax2)ln(1 + x)?2x．
（1）若a = 0，证明：当?1 < x < 0时，f(x) < 0；当x > 0时，f(x) > 0；
（2）若x = 0是f(x)的极大值点，求a．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为
currency1
x = cosθ,
y = sinθ,（θ为参数）．过点(0,?
√2)且倾
斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) = |2x + 1|+|x?1|.
（1）画出y = f(x)的图像；
（2）当x ∈ (0,+∞)时，f(x) ? ax + b，求
a + b的最小值．
x
y
O 1
1
—第74页—
2018高考试题（全国卷III）文科数学使用省份：云、贵、川、桂、藏
2018高考试题（全国卷III）文科数学
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合A = {x | x?1 ? 0}，B = {0, 1, 2}，则A B=
A. {0} B. {1} C. {1,2} D. {0,1,2}
2. (1 + i)(2?i)=
A. ?3?i B. ?3 + i C. 3?i D. 3 + i
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫
榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若
如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则
咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
俯
视
方
向
A. B. C. D.
4.若sinα = 13，则cos2α=
A. 89 B. 79 C. ?79 D. ?89
5.某群体中的成员只用现金支付的概率0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不
用现金支付的概率为
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
6.函数f(x) = tanx1 + tan2 x的最小正周期为
A. π4 B. π2 C. π D. 2π
7.下列函数中，其图像与函数y = lnx的图像关于直线x = 1对称的是
A. y = ln(1?x) B. y = ln(2?x) C. y = ln(1 + x) D. y = ln(2 + x)
8.直线x + y + 2 = 0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆(x ? 2)2 + y2 = 2上，则
△ABP面积的取值范围是
A. [2,6] B. [4,8] C. [√2,3√2] D. [2√2,3√2]
9.函数y = ?x4 + x2 + 2的图像大致为
A. x
y
O 1
1 B. x
y
O 1
1 C. x
y
O 1
1 D. x
y
O 1
1
10.已知双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1（a > 0,b > 0）的离心率为
√2，则点(4,0)到C的渐近线的距离
为
A. √2 B. 2 C. 3
√2
2 D. 2
√2
11. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．若△ABC的面积为a
2 + b2 ?c2
4，则C=
A. π2 B. π3 C. π4 D. π6
12.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9√3，则
三棱锥D?ABC的体积的最大值为
A. 12√3 B. 18√3 C. 24√3 D. 54√3
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a = (1,2)，b = (2,?2)，c = (1,λ)，若c (2a+b)，则λ= .
14.某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有极大差异，为了解客户的评价，该公
司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样，分层抽样和系统抽样，则最合适
的抽样方法是.
15.若变量x,y满足约束条件
8<
:
2x + y + 3 ? 0,
x?2y ?4 ? 0,
x?2 ? 0.
则z = x + 13y的最大值是.
16.已知函数f(x) = ln(√1 + x2 ?x) + 1，f(a) = 4，则f(?a)= .
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
—第75页—
2018高考试题（全国卷III）文科数学
17.（12分）
等比数列{an}中，a1 = 1，a5 = 4a3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和，若Sm = 63，求m.
18.（12分）
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为
比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一
种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制
了如下茎叶图：
8 6 5 5 6 8 9
9 7 6 2 7 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8
9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 8 1 4 4 5
2 1 1 0 0 9 0
第一种生产方式第二种生产方式
（1）根据茎叶图判断那种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和
不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
附：K2 = n(ad?bc)
2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)，
P(K2 ? k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19.（12分）
如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与半圆弧
CD所在平面垂直，M是 CD上异于C,D的点.
（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC平面
PBD?说明理由．
A B
CD
M
20.（12分）
已知斜率为k的直线l与椭圆C : x
2
4 +
y2
3 = 1交于A, B两点，线段AB的中点为M(1,m)
（m > 0）.
（1）证明：k < ?12；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且# ?FP + # ?FA + # ?FB = 0，证明：
2 # ?FP = # ?FA + # ?FB .
21.（12分）
已知函数f(x) = ax
2 + x?1
ex．
（1）求曲线y = f(x)在点(0,?1)处的切线方程；
（2）证明：当a ? 1时，f(x) + e ? 0．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为
currency1
x = cosθ,
y = sinθ,（θ为参数）．过点(0,?
√2)且倾
斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) = |2x + 1|+|x?1|.
（1）画出y = f(x)的图像；
（2）当x ∈ (0,+∞)时，f(x) ? ax + b，求
a + b的最小值．
x
y
O 1
1
—第76页—
2017高考试题（全国卷I）理科数学使用省份：闽、豫、冀、晋、鄂、湘、粤、皖
2017高考试题（全国卷I）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A = {x | x < 1}，B = {x | 3x < 1}，则
A. A B = {x | x < 0} B. A B = R
C. A B = {x | x > 1} D. A B = ?
2.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的
黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内
随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A. 14 B. π8
C. 12 D. π4
3.设有下面四个命题
p1 :若复数z满足1z ∈ R，则z ∈ R；
p2 :若复数z满足z2 ∈ R，则z ∈ R；
p3 :若复数z1，z2满足z1z2 ∈ R，则z = z2；
p4 :若复数z ∈ R，则z ∈ R.
其中真命题为
A. p1,p3 B. p1,p4 C. p2,p3 D. p2,p4
4.即Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4 + a5 = 24，S6 = 48，则{an}的公差为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
5.函数f(x)在(?∞,+∞)单调递减，且为奇函数．若f(1) = ?1，则满足?1 ? f(x?2) ? 1的
x的取值范围是
A. [?2,2] B. [?1,1] C. [0,4] D. [1,3]
6. 1 + 1x2 1 + x 6的展开式中x2的系数为
A. 15 B. 20 C. 30 D. 35
7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形
和等腰直角三角形组成，正方形的边长是2，俯视图为等腰直
角三角形．该多面体的各个面中有若干个梯形，这些梯形的面
积之和为
A. 17π
B. 18π
C. 20π
D. 28π
8.右面程序框图是为了求出满足3n ?2n > 1000的最小偶数n，
那么在和两个空白框中，可以分别填入
A. A > 1000和n = n + 1
B. A > 1000和n = n + 2
C. A ? 1000和n = n + 1
D. A ? 1000和n = n + 2
开始
输入n = 0
A = 3n ?2n
否是
输出n
结束
9.已知曲线C1 : y = cosx，C2 : y = sin
2x + 2π3
，则下列结论正确的是
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单
位长度，得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单
位长度，得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单
位长度，得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单
位长度，得到曲线C2
10.已知F为抛物线C : y2 = 4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1,l2，直线l1与C交于
A, B两点，直线l2与C交于D, E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A. 16 B. 14 C. 12 D. 10
11.设x,y,z为正数，且2x = 3y = 5z，则
A. 2x < 3y < 5z B. 5z < 2x < 3y C. 3y < 5z < 2x D. 3y < 2z < 5z
12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出
了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，
1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，···，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，
再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N : N > 100且该数列的
前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是
A. 440 B. 330 C. 220 D. 110
二、填空题：(共4个小题，每小题5分,满分20分)
13.已知向量a, b = (1,2)的夹角为60?，|a| = 2, |b| = 1，则|a+ 2b| =．
14.设x,y满足约束条件
8<
:
x + 2y ? 1,
2x + y ??1,
x?y ? 0.
则z = 3x?2y的最小值为.
15.已知双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1（a > 0,b > 0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆
A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点．若∠MAN = 60?，则C的离心率为．
—第77页—
2017高考试题（全国卷I）理科数学
16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的
等边三角形ABC的中心为O．D,E,F为圆O上的点，
△DBC, △ECA, △FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等
腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB为折痕折起
△DBC, △ECA, △FAB，使得D,E,F重合，得到三棱锥．
当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的
最大值为．
A
B
C
D
E
F O
三、解答题：满分70分
17. ( 12分)
△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,．已知△ABC的面积为a
2
3sinA．
（I）求sinBsinC;
（II）若6cosBcosC = 1，a = 3，求△ABC的周长．
18. (12分)
如图，在四棱锥P ?ABCD中，AB CD，且
∠BAP = ∠CDP = 90?．
（I）证明：平面PAB ⊥平面PAD；
（II）若PA = PD = AB = DC，∠APD = 90?，
求二面角A?PB ?C的余弦值．
A B
CD
P
19. (12分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并
测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件服从正态
分布N(μ,σ2)．
（I）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中尺寸在(μ?3σ,μ + 3σ)之外的
零件数，求P(X ? 1)及X的数学期望；
（II）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ? 3σ,μ + 3σ)之外的零件，就认为这条生产线
在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性;
（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得ˉx = 116
16X
i=1
xi = 9.97, s =
1
16
16X
i=1
(xi ? ˉx)2 =
1
16
16X
i=1
x2i ?16ˉx2
≈ 0.212．
其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i = 1,2,··· ,16．
用样本平均数ˉx作为μ的估计值?μ，用样本标准差s作为σ的估计值?σ，利用估计值判断是否
需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ?3σ,μ + 3σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确
到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ?3σ < Z < μ + 3σ) = 0.9974．
0.997416 ≈ 0.9592, √0.008 ≈ 0.09．
20. (12分)
已知椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1（a > b > 0），四点P1(1,1), P2(0,1), P3
? 1,
√3
2
,P4
1,
√3
2
中
恰有三点在椭圆C上．
（I）求C的方程；
（II）设直线l不经过P2且与C相交于A,B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为
?1，证明：l过定点．
21. (本小题满分12分)
已知函数f(x) = ae2x + (a?2)ex ?x．
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为
currency1
x = 3cosθ,
y = sinθ,（θ为参数），直线l的参数方程为
currency1
x = a + 4t,
y = 1?t,（t为参数）．
（I）若a = ?1，求C与l的交点坐标；
（II）若C上的点到l的距离的最大值为√17，求a．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) = ?x2 + ax + 4，g(x) = |x + 1|+|x?1|．
（I）当a = 1时，求不等式f(x) ? g(x)的解集；
（II）若不等式f(x) ? g(x)的解集包含[?1,1]，求a的取值范围．
—第78页—
2017高考试题（全国卷I）文科数学
2017高考试题（全国卷I）文科数学
使用省份：闽、豫、冀、晋、鄂、湘、粤、皖
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A = {x | x < 2}，B = {x | 3?2x > 0}，则
A. A B = {x | x < 32} B. A B = ?
C. A B = {x | x < 32} D. A B = R
2.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地做试验田，这n块地的亩产量（单位：kg）分别为
x1,x2,··· ,xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
A. x1,x2,··· ,xn的平均数B. x1,x2,··· ,xn的标准差
C. x1,x2,··· ,xn的最大值D. x1,x2,··· ,xn的中位数
3.下列各式的运算结果为纯虚数的是
A. i(1 + i)2 B. i2(1?i) C. (1 + i)2 D. i(1 + i)
4.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的
黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内
随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A. 14 B. π8
C. 12 D. π4
5.已知F是双曲线C : x2 ? y
2
3 = 1的右焦点，P是C上的一点，且PF与x轴垂直，点A的
坐标是(1,3)，则△APF的面积为
A. 13 B. 12 C. 23 D. 32
6.如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,Q为所在棱的中点，则在这四
个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是
A
B
M
N
Q
A.
A B
M
N
QB.
A
B MN
Q
1C.
A
B
M
N
Q
1D.
7.设x,y满足约束条件
8<
:
x + 3y ? 3,
x?y ? 1,
y ? 0.
，则z = x + y的最大值为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.函数y = sin2x1?cosx的部分图像大致为
x
y
O 1 π?π
1
A.
x
y
O 1 π?π
1
B.
x
y
O 1 π?π
1
C.
x
y
O 1 π?π
1
D.
9.已知函数f(x) = lnx + ln(2?x)，则
A. f(x)在(0,2)单调递增B. f(x)在(0,2)单调递减
C. y = f(x)的图像关于直线x = 1对称D. y = f(x)的图像关于点(1,0)对称
10.右面程序框图是为了求出满足3n ?2n > 1000的最小偶数n，
那么在和两个空白框中，可以分别填入
A. A > 1000和n = n + 1
B. A > 1000和n = n + 2
C. A ? 1000和n = n + 1
D. A ? 1000和n = n + 2
开始
输入n = 0
A = 3n ?2n
否是
输出n
结束
11. △ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,．已知sinB+sinA(sinC?cosC) = 0，a = 2,c =√
2，则C=
A. π12 B. π6 C. π4 D. π3
12.设A,B是椭圆C : x
2
3 +
y2
m = 1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB = 120
?，则
m的取值范围是
A. (0,1] [9,+∞) B. (0,√3] [9,+∞) C. (0,1] [4,+∞) D. (0,√3] [4,+∞)
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.已知向量a = (?1,2)，b = (m,1)．若向量a+b与a垂直，则m =．
14.曲线y = x2 + 1x在点(1,2)处的切线方程为.
15.已知α ∈ 0, π2 ，tanα = 2，则cos α? π4 =．
16.已知三棱锥S–ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA ⊥平面
SCB，SA = AC，SB = BC，三棱锥S–ABC的体积为9，则求O的表面积为．
—第79页—
2017高考试题（全国卷I）文科数学
三、解答题：满分70分
17. ( 12分)
记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2 = 2, S3 = ?6．
（I）求{an}的通项公式;
（II）求Sn，并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列．
18. (12分)
如图，在四棱锥P?ABCD中，AB CD，且
∠BAP = ∠CDP = 90?．
（I）证明：平面PAB ⊥平面PAD；
（II）若PA = PD = AB = DC，∠APD = 90?，
且四棱锥P–ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面
积．A B
CD
P
19. (12分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零
件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得ˉx = 116
16X
i=1
xi = 9.97, s =
1
16
16X
i=1
(xi ? ˉx)2 =
1
16
16X
i=1
x2i ?16ˉx2
≈ 0.212，
16X
i=1
(i?8.5)2 ≈ 18.439，
16X
i=1
(xi ? ˉx)(i?8.5) = ?2.78．
其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i = 1,2,··· ,16．
（I）求(xi,i)（i = 1,2,··· ,16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不
随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r| < 0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行
而系统地变大或变小）．
（II）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(ˉx?3s, ˉx + 3s)之外的零件，就认为这条生产线在
这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（i）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ii）在(ˉx? 3s, ˉx + 3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零
件尺寸的均值和标准差．（精确到0.01）
附：样本(xi,yi)（i = 1,2,··· ,n）的相关系数r =
nP
i=1
(xi ? ˉx)(yi ? ˉy)
? nP
i=1
(xi ? ˉx)2
? nP
i=1
(yi ? ˉy)2
．√0.008 ≈ 0.09．
20. (12分)
设A,B为曲线C : y = x
2
4上两点，A与B的横坐标之和为4．
（I）求直线AB的斜率；
（II）设M为曲线C上一点．C在M处的切线与直线AB平行，且AM ⊥ BM，求直线AB
的方程．
21. (本小题满分12分)
已知函数f(x) = ex(ex ?a)?a2x．
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）若f(x) ? 0，求a的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为
currency1
x = 3cosθ,
y = sinθ,（θ为参数），直线l的参数方程为
currency1
x = a + 4t,
y = 1?t,（t为参数）．
（I）若a = ?1，求C与l的交点坐标；
（II）若C上的点到l的距离的最大值为√17，求a．
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) = ?x2 + ax + 4，g(x) = |x + 1|+|x?1|．
（I）当a = 1时，求不等式f(x) ? g(x)的解集；
（II）若不等式f(x) ? g(x)的解集包含[?1,1]，求a的取值范围．
—第80页—
2017高考试题（全国卷II）理科数学使用省份：陕、甘、青、蒙、宁、新、藏、黑、吉、辽
2017高考试题（全国卷II）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1. 3 + i1 + 2i =
A. 1 + 2i B. 1?2i C. 2 + i D. 2?i
2.设集合A = {1,2,4}，B = {x|x2 ?4x + m = 0}．若A B = {1}，则B=
A. {1,?3} B. {1,0} C. {1,3} D. {1,5}
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数
是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏
4.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何
体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，
则该几何体的体积为
A. 90π
B. 63π
C. 42π
D. 36π
5.设x,y满足约束条件
8<
:
2x + 3y ?3 ? 0,
2x?3y + 3 ? 0,
y + 3 ? 0.
，则z = 2x + y的最大值为
A. ?15 B. ?9 C. 1 D. 9
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式
共有
A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有两位优秀，
2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：
我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则
A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图，如果输入的a = ?1，则输出
的S =
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
开始
输入a
S = 0,K = 1
K ? 6
是
否
S = S +a·K
a = ?a
K = K + 1
输出S
结束
9.若双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1（a > 0,b > 0）的一条渐近线被圆(x?2)
2 +y2 = 4所截得的弦长为
2，则C的离心率为
A. 2 B. √3 C. √2 D. 2
√3
3
10.直三棱柱ABC–A1B1C1中，∠ABC = 120?，AB = 2，BC = CC1 = 1，则异面直线AB1与
BC1所成的角的余弦为
A.
√3
2 B.
√15
5 C.
√10
5 D.
√3
3
11.若x = ?2是函数f(x) = (x2 + ax?1)ex?1的极值点，则f(x)的极小值为
A. ?1 B. ?2e?3 C. 5e?3 D. 1
12.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则# ?PA · # ?PB + # ?PC 的最小
值是
A. ?2 B. ?32 C. ?43 D. ?1
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽
到的二等品件数，则D(X)= .
14.函数f(x) = sin2 x +√3cosx? 34（x ∈ 0, π2 ）的最大值是.
15.等差数列{an}的前n项和为Sn，a3 = 3,S4 = 10，则
nX
k=1
1
Sk=．
16.已知F是抛物线C : y2 = 8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M
为FN的中点，则|FN|= .
—第81页—
2017高考试题（全国卷II）理科数学
三、解答题：满分70分
17. ( 12分)
△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,．已知sin(A + C) = 8sin2 B2．
（I）求cosB;
（II）若a + c = 6，△ABC的面积为2，求b．
18. ( 12分)
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，
测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
频率/组距
箱产量/kg
25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
0.020
0.024
0.040
0.0120.014
0.0320.034
（旧养殖法）
频率/组距
箱产量/kg
35 40 45 50 55 60 65 70
0.004
0.020
0.068
0.0080.010
0.0440.046
（新养殖法）
（I）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养
殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；
（II）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
箱产量<50 kg箱产量?50 kg
旧养殖法
新养殖法
附：P(K
2 ? k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
，K2 = n(ad?bc)
2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d).
（III）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．
19. (12分)
如图，四棱锥P –ABCD中，侧面PAD为等
边三角形且垂直于底面ABCD，AB = BC = 12AD，
∠BAD = ∠ABC = 90?，E是PD的中点．
（1）证明：CE平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD
所成角为45?．求二面角M –AB–D的余弦值．
P
A
B C
D
EM
20. (12分)
设O为坐标原点，动点M在椭圆C : x
2
2 + y
2 = 1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点
P满足# ?NP = √2# ?NM．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x = ?3上，且# ?OP · # ?PQ = 1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C
的左焦点F．
21. (12分)
已知函数f(x) = ax2 ?ax?xlnx，且f(x) ? 0．
（1）求a；
（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e?2 < f(x0) < 2?2．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4?4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1
的极坐标方程为ρcosθ = 4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP| = 16，求点P的轨迹
C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为 2, π3 ，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
23. [选修4?5：不等式选讲]（10分）
已知a > 0,b > 0, a3 + b3 = 2．证明：
（1）(a + b)(a5 + b5) ? 4；
（2）a + b ? 2．
—第82页—
2017高考试题（全国卷II）文科数学使用省份：陕、甘、青、蒙、宁、新、藏、黑、吉、辽
2017高考试题（全国卷II）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.设集合A = {1,2,3}，B = {2,3,4}．则A B=
A. {1,2,3,4} B. {1,2,3} C. {2,3,4} D. {1,3,4}
2. (1 + i)(2 + i) =
A. 1?i B. 1 + 3i C. 3 + i D. 3 + 3i
3.函数f(x) = sin 2x + π3 的最小正周期为
A. 4π B. 2π C. π D. π2
4.设非零向量a,b满足|a+b| = |a?b|，则
A. a⊥b B. |a| = |b| C. a b D. |a| > |b|
5.若a > 1，则双曲线x
2
a2 ?y
2 = 1的离心率的取值范围是
A. (√2,+∞) B. (√2,2) C. (1,√2) D. (1,2)
6.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何
体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，
则该几何体的体积为
A. 90π
B. 63π
C. 42π
D. 36π
7.设x,y满足约束条件
8<
:
2x + 3y ?3 ? 0,
2x?3y + 3 ? 0,
y + 3 ? 0.
，则z = 2x + y的最大值为
A. ?15 B. ?9 C. 1 D. 9
8.函数f(x) = ln(x2 ?2x?8)的单调递增区间是
A. (?∞,?2) B. (?∞,1) C. (1,+∞) D. (4,+∞)
9.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有两位优秀，
2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：
我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则
A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩
10.执行右面的程序框图，如果输入的a = ?1，则输出
的S =
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
开始
输入a
S = 0,K = 1
K ? 6
是
否
S = S +a·K
a = ?a
K = K + 1
输出S
结束
11.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取一张，则抽得的第一张
卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
A. 110 B. 15 C. 310 D. 25
12.过抛物线C : y2 = 4x的交点F，且斜率为√3的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C
的准线，点N在l上且MN ⊥ l，则M到NF的距离为
A. √5 B. 2√2 C. 2√3 D. 3√3
二、填空题：(共4个小题,每小题5分,满分20分)
13.函数f(x) = 2cosx + sinx的最大值为.
14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x ∈ (?∞,0)时，f(x) = 2x3 +x2，则f(2)= .
15.长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上．则球O的表面积为．
16. △ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,．若2bcosB = acosC + ccosA．则B= .
三、解答题：满分70分
17. ( 12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等不数列{bn}的前n项和为Tn，a1 = ?1,b1 = 1，
a2 + b2 = 2．
（1）若a3 + b3 = 5，求{bn}的通项公式；
（2）若T3 = 21，求S3．
—第83页—
2017高考试题（全国卷II）文科数学
18. (12分)
如图，四棱锥P –ABCD中，侧面PAD为等边
三角形且垂直于底面ABCD，AB = BC = 12AD，
∠BAD = ∠ABC = 90?．
（1）证明：BC平面PAD；
（2）若△PCD的面积为2√7，求四棱锥P –ABCD
的体积．
P
A
B C
D
19. ( 12分)
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产值对比，收获时各随机抽取了100个网箱，
测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
频率/组距
箱产量/kg
25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
0.020
0.024
0.040
0.0120.014
0.0320.034
（旧养殖法）
频率/组距
箱产量/kg
35 40 45 50 55 60 65 70
0.004
0.020
0.068
0.0080.010
0.0440.046
（新养殖法）
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
箱产量<50 kg箱产量?50 kg
旧养殖法
新养殖法
附：P(K
2 ? k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
，K2 = n(ad?bc)
2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d).
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．
20. ( 12分)
设O为坐标原点，动点M在椭圆C : x
2
2 + y
2 = 1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点
P满足# ?NP = √2# ?NM．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x = ?3上，且# ?OP · # ?PQ = 1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C
的左焦点F．
21. (12分)
已知函数f(x) = (1?x2)ex，且f(x) ? 0．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）当x ? 0时，f(x) ? ax + 1，求a的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4?4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1
的极坐标方程为ρcosθ = 4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP| = 16，求点P的轨迹
C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为 2, π3 ，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
23. [选修4?5：不等式选讲]（10分）
已知a > 0,b > 0, a3 + b3 = 2．证明：
（1）(a + b)(a5 + b5) ? 4；
（2）a + b ? 2．
—第84页—
2017高考试题（全国卷III）理科数学使用省份：云、贵、川、桂
2017高考试题（全国卷III）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A = {(x,y) x2 + y2 = 1}，B = {(x,y) y = x}，则A B中元素的个数为
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2.设复数z满足(1 + i)z = 2i，则|z| =
A. 12 B.
√2
2 C.
√2 D. 2
3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年
12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
月接待游客量（万人）
2014年2015年2016年
1 1 12 2 23 3 34 4 45 5 56 6 67 7 78 8 89 9 910 10 1011 11 1112 12 12
25
30
35
40
45
根据该折线图，下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4. (x + y)(2x?y)5的展开式中x3y3的系数为
A. ?80 B. ?40 C. 40 D. 80
5.已知双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的一条渐近线方程为y =
√5
2 x，且与椭圆
x2
12 +
y2
3 = 1
有公共焦点，则C的方程为
A. x
2
8 ?
y2
10 = 1 B.
x2
4 ?
y2
5 = 1 C.
x2
5 ?
y2
4 = 1 D.
x2
4 ?
y2
3 = 1
6.设函数f(x) = cos x + π3 ，则下列结论错误的是
A. f(x)的一个周期为?2π B. y = f(x)的图像关于直线x = 8π3对称
C. f(x + π)的一个零点为x = π6 D. f(x)在 π2,π 单调递减
7.执行右面的程序框图，为使输出的S的值小
于91，则输入的正整数N的最小值为
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
开始
输入N
t = 1,M = 100,S = 0
t ? N
是
S = S +M
M = ?M10
t = t+ 1
否
输出S
结束
8.已知圆柱的高为1，它的两个底面圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A. π B. 3π4 C. π2 D. π4
9.等差数列{an}的首项为1，公差不为0，若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项的和为
A. ?24 B. ?3 C. 3 D. 8
10.已知椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的左、右顶点分别为A1, A2，且以线段A1A2为直径的
圆与直线bx?ay + 2ab = 0相切，则C的离心率为
A.
√6
3 B.
√3
3 C.
√2
3 D.
1
3
11.已知函数f(x) = x2 ?2x + a ex?1 + e?x+1 有唯一零点，则a =
A. ?12 B. 13 C. 12 D. 1
12.在矩形ABCD中，AB = 1, AD = 2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若
# ?AP = λ# ?AB + μ# ?AD，则λ + μ的最大值为
A. 3 B. 2√2 C. √5 D. 2
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满, 20分)
13.若x，y满足约束条件
8
<
:
x?y ? 0
x + y ?2 ? 0
y ? 0
，则z = 3x?4y的最小值为.
14.设等比数列{an}满足a1 + a2 = ?1，a1 ?a3 = ?3，则a4 = .
—第85页—
2017高考试题（全国卷III）理科数学
15.设函数f(x) =
currency1x + 1, x ? 0,
2x, x > 0.则满足f(x) + f
x? 1
2
> 1的x取值范围是.
16. a, b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a, b都垂
直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
1当直线AB与a成60?角时，AB与b成30?角；
2当直线AB与a成60?角时，AB与b成60?角；
3直线AB与a所成的角的最小值为45?；
4直线AB与a所成的角的最大值为60?.
其中正确的是.（填写所有正确结论的代号）
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知sinA +√3cosA = 0，a = 2√7，b = 2.
（I）求c；
（II）设D为BC边上一点，且AD ⊥ AC，求△ABD的面积.
18.（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出
的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高
气温（单位：?C）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间[20,25)，
需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前
三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温[10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数2 16 36 25 7 4
（I）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（II）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n
（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19.（12分）
如图，在四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD
是直角三角形，∠ABD = ∠CBD，AB = BD.
（I）证明：平面ACD ⊥平面ABC；
（II）过直线AC的平面交BD于点E，若平面AEC把
四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D?AE?C
的余弦值．
A
B
C
D
E
20.（12分）
已知抛物线C : y2 = 2x，过点(2,0)的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径
的圆.
（I）证明：坐标原点O在圆M上；
（II）设圆M过点P(4,?2)，求直线l与圆M的方程.
21.（12分）
已知函数f(x) = x?1?alnx.
（I）若f(x) ? 0，求a的值；
（II）设m为整数，且对于任意正整数n， 1 + 12 1 + 122 ··· 1 + 12n < m，求m的最小值.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为
currency1
x = 2 + t,
y = kt,（t为参数），直线l2的参数方程为(
x = ?2 + m,
y = mk ,（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为为曲线C.
（I）写出C的普通方程；
（II）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设l3 : ρ(cosθ+sinθ)?√2 = 0，
M为l3与C的交点，求M的极径.
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) = |x + 1|?|x?2|.
（I）求不等式f(x) ? 1的解集；
（II）若不等式f(x) ? x2 ?x + m的解集非空，求m的取值范围.
—第86页—
2017高考试题（全国卷III）文科数学使用省份：云、贵、川、桂
2017高考试题（全国卷III）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A = {1,2,3,4}，B = {2,4,6,8}，则A B中元素的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.复平面内表示复数z = i(?2 + i)的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年
12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
月接待游客量（万人）
2014年2015年2016年
1 1 12 2 23 3 34 4 45 5 56 6 67 7 78 8 89 9 910 10 1011 11 1112 12 12
25
30
35
40
45
根据该折线图，下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4.已知sinα?cosα = 43，则sin2α =
A. ?79 B. ?29 C. 29 D. 79
5.若x，y满足约束条件
8<
:
3x + 2y ?6 ? 0
x ? 0
y ? 0
，则z = x?y的取值范围是
A. [?3,0] B. [?3,2] C. [0,2] D. [0,3]
6.函数f(x) = 15 sin x + π3 + cos x? π6 的最大值为
A. 65 B. 1 C. 35 D. 15
7.函数y = 1 + x + sinxx2的的部分图像大致为
A. x
y
O 1 B. x
y
O 1
1 C. x
y
O 1
1 D. x
y
O 1
1
8.执行右面的程序框图，为使输出的S的值小
于91，则输入的正整数N的最小值为
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
开始
输入N
t = 1,M = 100,S = 0
t ? N
是
S = S +M
M = ?M10
t = t+ 1
否
输出S
结束
9.已知圆柱的高为1，它的两个底面圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A. π B. 3π4 C. π2 D. π4
10.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则
A. A1E ⊥ DC1 B. A1E ⊥ BD C. A1E ⊥ BC1 D. A1E ⊥ AC
11.已知椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的左、右顶点分别为A1, A2，且以线段A1A2为直径的
圆与直线bx?ay + 2ab = 0相切，则C的离心率为
A.
√6
3 B.
√3
3 C.
√2
3 D.
1
3
12.已知函数f(x) = x2 ?2x + a ex?1 + e?x+1 有唯一零点，则a =
A. ?12 B. 13 C. 12 D. 1
—第87页—
2017高考试题（全国卷III）文科数学
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.已知向量a = (?2,3)，b = (3,m)，且a⊥b，则m = .
14.双曲线x
2
a2 ?
y2
9 = 1(a > 0)的一条渐近线方程为y =
3
5x，则a = .
15. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知C = 60?，b = √6，c = 3，则A =
16.设函数f(x) =
8<
:
x + 1, x ? 0,
2x, x > 0.
则满足f(x) + f x? 12 > 1的x取值范围是.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
设数列{an}满足a1 + 3a2 +···+ (2n?1)an = 2n.
（I）求{an}的通项公式；
（II）求数列
n an
2n + 1
o
的前n项和.
18.（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出
的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高
气温（单位：?C）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间[20,25)，
需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前
三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温[10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于各区间的概率.
（I）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（II）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量为
450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率。
19.（12分）
如图，在四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD = CD.
（I）证明：AC ⊥ BD；
（II）已知△ACD是直角三角形，AB = BD，若E为棱
BD上与D不重合的点，且AE ⊥ EC，求四面体ABCE与
四面体ACDE的体积比．
A
B
C
D
E
20.（12分）
在直角坐标系xOy中，曲线: y = x2 + mx?2与x轴交于A,B两点，点C的坐标为(0,1)．
当m变化时，解答下列问题：
（I）能否出现AC ⊥ BC的情况？说明理由；
（II）证明过A,B,C三点的圆在y轴上解得的弦长为定值.
21.（12分）
已知函数f(x) = lnx + ax2 + (2a + 1)x.
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）当a < 0时，证明f(x) ?? 34a ?2.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为
currency1
x = 2 + t,
y = kt,（t为参数），直线l2的参数方程为(
x = ?2 + m,
y = mk ,（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为为曲线C.
（I）写出C的普通方程；
（II）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设l3 : ρ(cosθ+sinθ)?√2 = 0，
M为l3与C的交点，求M的极径.
23. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) = |x + 1|?|x?2|.
（I）求不等式f(x) ? 1的解集；
（II）若不等式f(x) ? x2 ?x + m的解集非空，求m的取值范围.
—第88页—
2016高考试题（全国卷I）理科数学使用省份：闽、豫、冀、晋、鄂、湘、粤、皖
2016高考试题（全国卷I）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A = {x | x2 ?4x + 3 < 0}，B = {x | 2x?3 > 0}，则A B =
A. ?3,?32 B. ?3, 32 C. 1, 32 D. 32,3
2.设(1 + i)x = 1 + yi，其中x,y是实数，则|x + yi| =
A. 1 B. √2 C. √3 D. 2
3.已知等差数列{an}前9项的和为27，a10 = 8，则a100 =
A. 100 B. 99 C. 98 D. 97
4.某公司的班车在7 : 30, 8 : 00, 8 : 30发车，小明在7 : 50至8 : 30之间到达发车站乘坐班车，且
到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
A. 13 B. 12 C. 23 D. 34
5.已知方程x
2
m2 + n ?
y2
3m2 ?n = 1表示双曲线，且该双曲线的焦距为4，则n的取值范围是
A. (?1,3) B. (?1,√3) C. (0,3) D. (0,√3)
6.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆
中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则
它的表面积是
A. 17π
B. 18π
C. 20π
D. 28π
7.函数y = 2x2 ?e|x|在[?2,2]的图像大致为
A. x
y
?2 2
1
O B. x
y
?2 2
1
O
C. x
y
?2 2
1
O D. x
y
?2 2
1
O
8.若a > b > 1, 0 < c < 1，则
A. ac < bc B. abc < bac C. alogb c < bloga c D. loga c < logb c
9.执行右面的程序框图，如果输入的x = 0, y = 1, n = 1，则
输出的x, y的值满足
A. y = 2x
B. y = 3x
C. y = 4x
D. y = 5x
开始
输入x,y,n
x = x+ n?12 ,y = ny
x2 +y2 ? 36
是
否
n = n+ 1
输出x,y
结束
10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A, B两点，交C的准线于D, E两点．已知|AB| =
4√2, |DE| = 2√5，则C的焦点到准线的距离为
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
11.平面α过正方体ABCD–A1B1C1D1的顶点A，α平面CB1D1, α平面ABCD = m, α
平面ABB1A1 = n，则m, n所成角的正弦值为
A.
√3
2 B.
√2
2 C.
√3
3 D.
1
3
12.已知函数f(x) = sin(ωx + φ) ω > 0,|φ| ? π2 ，x = ?π4是f(x)的零点，x = π4为y = f(x)
的图像的对称轴，且f(x)在 π18, 5π36 单调，则ω的最大值为
A. 11 B. 9 C. 7 D. 5
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.设向量则a = (m,1), b = (1,2)，且|a+b|2 = |a|2 +|b|2，则m =．
14. (2x +√x)5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）
15.设等比数列{an}满足a1 + a3 = 10, a2 + a4 = 5，则a1a2···an的最大值为．
16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料
1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个
工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材
料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A，产品B的利润之和
的最大值为元．
—第89页—
2016高考试题（全国卷I）理科数学
三、解答题：满分70分
17. (本小题12分)
△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,，已知2cosC(acosB + bcosA) = c．
（I）求C;
（II）若c = √7，△ABC的面积为3
√3
2，求△ABC的周长．
18. (本小题12分)
如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，
面ABEF为正方形，AF = 2FD, ∠AFD = 90?，且
二面角D–AF –E与二面角C –BE–F都是60?．
（I）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC；
（II）求二面角E–BC –A的余弦值．
A
B
C
D
E
F
19. (本小题12分)
某公司计划购买2台机器，该种机器使
用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在
购进机器时，可以额外购买这种零件作为备
件，每个200元．在机器使用期间，如果备
件不足再购买，则每个500元．现需决策在
购买机器时应同时购买几个易损零件，为此
搜集并整理了100台这种机器在三年使用期
内更换的易损零件数，得右面柱状图：
频数
更换的易损零件数8 9 10 11
20
40
0
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表
示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（I）求X的分布列；
（II）若要求P(X ? n) ? 0.5，确定n的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n = 19与n = 20之中选其一，应选用
哪个？
20. (本小题12分)
设圆x2 + y2 + 2x? 15 = 0的圆心为A，直线l过点B(1, 0)且与x轴不重合，l交圆A于
C, D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为C1，直线l交C1于M, N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于
P, Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
21. (本小题12分)
已知函数f(x) = (x?2)ex + a(x?1)2有两个零点．
（I）求a的取值范围；
（II）设x1, x2是f(x)的两个零点，证明：x1 + x2 < 2．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. (本小题10分)选修4–1：几何证明选讲
如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB = 120?．以O为
圆心，12OA为半径作圆．
（I）证明：直线AB与⊙O相切；
（II）点C, D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：
AB CD．
O
A B
CD
23. (本小题10分)选修4?4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中曲线C1的参数方程为
currency1
x = acost,
y = 1 + asint,（t为参数，a > 0）．在以坐标原
点为极点，x轴正半轴的极坐标系中，曲线C2 : ρ = 4cosθ．
（I）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为θ = α0，其中α0满足tanα0 = 2，若曲线C1与C2的公共点都
在C3上，求a．
24. (本小题10分)选修4?5：不等式选讲
已知函数f(x) = |x + 1|?|2x?3|．
（I）在答题卡第24题图中画出y = f(x)的图像；
（II）求不等式|f(x)| > 1的解集．
x
y
O 1
1
—第90页—
2016高考试题（全国卷I）文科数学使用省份：闽、豫、冀、晋、鄂、湘、粤、皖
2016高考试题（全国卷I）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A = {1,3,5,7}，B = {x|2 ? x ? 5}，则A B =
A. {1,3} B. {3,5} C. {5,7} D. {1,7}
2.设(1 + 2i)(a + i)实部与虚部相等，其中a为实数，则a =
A. ?3 B. ?2 C. 2 D. 3
3.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选两种花种在一个花坛中，余下的2种花种
在另一个花坛中，则紫色和红色的花不在同一花坛的概率是
A. 13 B. 12 C. 23 D. 56
4. △ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c．已知a = √5, c = 2, cosA = 23，则b=
A. √2 B. √3 C. 2 D. 3
5.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的
离心率为
A. 13 B. 12 C. 23 D. 34
6.将函数y = 2sin 2x + π6 的图像向右平移14个周期后，所的图像对应的函数为
A. y = 2sin 2x + π4 B. y = 2sin 2x + π3
C. y = 2sin 2x? π4 D. y = 2sin 2x? π3
7.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆
中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则
它的表面积是
A. 17π
B. 18π
C. 20π
D. 28π
8.若a > b > 0, 0 < c < 1，则
A. loga c < logb c B. logc a < logc b C. ac < bc D. ca > cb
9.函数y = 2x2 ?e|x|在[?2,2]的图像大致为
A. x
y
?2 2
1
O B. x
y
?2 2
1
O
C. x
y
?2 2
1
O D. x
y
?2 2
1
O
10.执行右面的程序框图，如果输入的x = 0, y = 1, n = 1，则
输出的x, y的值满足
A. y = 2x
B. y = 3x
C. y = 4x
D. y = 5x
开始
输入x,y,n
x = x+ n?12 ,y = ny
x2 +y2 ? 36
是
否
n = n+ 1
输出x,y
结束
11.平面α过正方体ABCD–A1B1C1D1的顶点A，α平面CB1D1, α平面ABCD = m, α
平面ABB1A1 = n，则m, n所成角的正弦值为
A.
√3
2 B.
√2
2 C.
√3
3 D.
1
3
12.已知函数f(x) = x? 13 sin2x + asinx在(?∞,+∞)单调递增，则a的取值范围是
A. [?1,1] B. [?1, 13] C. [?13, 13] D. [?1,?13]
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.设向量a = (x,x + 1), b = (1,2)，且a⊥b，则x =．
14.已知θ是第四象限角，且sin(θ + π4) = 35，则tan(θ? π4) =．
15.设直线y = x+ 2a与圆C : x2 +y2 ?2ay?2 = 0相交于A, B两点，若|AB| = 2√3，则圆C
的面积为．
16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料
1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个
工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材
料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A，产品B的利润之和
的最大值为元．
—第91页—
2016高考试题（全国卷I）文科数学
三、解答题：满分70分
17. (本小题12分)
已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1 = 1, b2 = 13, anbn+1 + bn+1 = nbn．
（I）求{an}的通项公式;
（II）求{bn}的前n项和．
18. (本小题12分)
如图，已知正三棱锥P –ABC的侧面是直角三角
形，PA = 6．顶点P在平面ABC内的正投影为点D，
D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交
AB于点G．
（I）证明：G是AB的中点；
（II）在答题卡第18题图中作出点E在平面PAC
内的正投影F（说明作法及理由）并求四面体PDEF的
体积．
A
B
C
D
E
G
P
19. (本小题满分12分)
某公司计划购买1台机器，该种机器使用
三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进
机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每
个200元．在机器使用期间，如果备件不足再
购买，则每个500元．现需决策在购买机器时
应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了
100台这种机器在三年使用期内更换的易损零
件数，得右面柱状图：
频数
更换的易损零件数16 17 18 19 20 21
6
10
16
20
24
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所
需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．
（I）若n = 19，求y与x的函数解析式；
（II）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，
分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买一台机器的同
时应购买19个还是20个易损零件？
20. (本小题满分12分)
在直角坐标系xOy中，直线l : y = t(t 0)交y轴于点M，交抛物线C : y2 = 2px(p > 0)于
点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H．
（I）求|OH||ON|；
（II）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．
21. (本小题满分12分)
已知函数f(x) = (x?2)ex + a(x?1)2．
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. (本小题10分)选修4–1：几何证明选讲
如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB = 120?．以O为
圆心，12OA为半径作圆．
（I）证明：直线AB与⊙O相切；
（II）点C, D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：
AB CD．
O
A B
CD
23. (本小题满分10分)选修4?4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中曲线C1的参数方程为
currency1
x = acost,
y = 1 + asint,（t为参数，a > 0）．在以坐标原
点为极点，x轴正半轴的极坐标系中，曲线C2 : ρ = 4cosθ．
（I）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为θ = α0，其中α0满足tanα0 = 2，若曲线C1与C2的公共点都
在C3上，求a．
24. (本小题满分10分)选修4?5：不等式选讲
已知函数f(x) = |x + 1|?|2x?3|．
（I）在答题卡第24题图中画出y = f(x)的图像；
（II）求不等式|f(x)| > 1的解集．
x
y
O 1
1
—第92页—
2016高考试题（全国卷II）理科数学使用省份：陕、甘、青、蒙、宁、新、藏、黑、吉、辽、瑜、琼
2016高考试题（全国卷II）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知z = (m + 3) + (m?1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是
A. (?3,1) B. (?1,3) C. (1,+∞) D. (?∞,?3)
2.已知集合A = {1,2,3}，B = {x|(x + 1)(x?2) < 0,x ∈ Z}，则A B =
A. {1} B. {1,2} C. {0,1,2,3} D. {?1,0,1,2,3}
3.已知向量a = (1,m)，b = (3,?2)，且(a+b) ⊥b，则m =
A. ?8 B. ?6 C. 6 D. 8
4.圆x2 + y2 ?2x?8y + 13 = 0的圆心到直线ax + y ?1 = 0的距离为1，则a =
A. ?43 B. ?34 C. √3 D. 2
5.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志
愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A. 24
B. 18
C. 12
D. 9 E
F
G
6.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何
体的表面积为
A. 20π
B. 24π
C. 28π
D. 32π
4
2√3
4 4
7.若将函数y = 2sin2x的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为
A. x = kπ2 ? π6(k ∈ Z) B. x = kπ2 + π6(k ∈ Z)
C. x = kπ2 ? π12(k ∈ Z) D. x = kπ2 + π12(k ∈ Z)
8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法
的程序框图.执行该程序框图，若输入的x = 2,n = 2，依次
输入的a为2, 2, 5，则输出的s =
A. 7
B. 12
C. 17
D. 34
开始
输入x,n
k = 0,s = 0
输入a
s = s·x+a
k = k + 1
k > n否
是
输出s
结束
9.若cos π4 ?α = 35，则sin2α =
A. 725 B. 15 C. ?15 D. ? 725
10.从区间[0,1]随机取2n个数x1,x2,··· ,xn,y1,y2,··· ,yn，构成n个数对
(x1, y1),(x2, y2),··· ,(xn, yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟
的方法得到的圆周率π的近似值为
A. 4nm B. 2nm C. 4mn D. 2mn
11.已知F1, F2是双曲线E : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > b > 0)的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴
垂直，sin∠MF2F1 = 13，则E的离心率为
A. √2 B. 32 C. √3 D. 2
12.已知函数f(x)(x ∈ R)满足f(?x) = 2 ?f(x)，若函数y = x + 1x与y = f(x)图像的交点为
(x1,y1), (x2,y2), ··· , (xm,ym)，则
mX
i=1
(xi + yi) =
A. 0 B. m C. 2m D. 4m
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若cosA = 45, cosC = 513, a = 1，则b = .
14. α,β是两个平面，m,n是两条直线，有下列四个命题：
1如果m ⊥ n, m ⊥ α, n β，那么α ⊥ β.
2如果m ⊥ α, n α，那么m ⊥ n.
3如果α β, m ? α，那么m β.
4如果m n, α β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有.（填写所有正确命题的编号）
—第93页—
2016高考试题（全国卷II）理科数学
15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡
片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的
数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．
16.若直线y = kx + b是曲线y = lnx + 2的切线，也是曲线y = ln(x + 2)的切线，b = .
三、解答题：满分70分
17. (本小题12分)
Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1 = 1, S7 = 28．记bn = [lgan]，其中[x]表示不超过x
的最大整数，如[0.9]=0,[lg99]=1．
（I）求b1, b11, b101;
（II）求数列{bn}的前1000项的和．
18. (本小题12分)
某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人成为续保人，续保人本年度
的保费与上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数0 1 2 3 4 ? 5
保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数0 1 2 3 4 ? 5
概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
（I）求一续保人本年度高于基本保费的概率；
（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19. (本小题12分)
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点
O，AB = 5, AC = 6，点E, F分别在AD, CD上，
AE = CF = 54，EF交BD于点H，将△DEF沿EF
折到△D′EF的位置，OD′ = √10．
（I）证明D′H ⊥平面ABCD；
（II）求二面角B–D′A–C的正弦值．
B
A
D′
C
D
O H
E
F
20. (本小题12分)
已知椭圆E : x
2
t +
y2
3 = 1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k > 0)的直线交E
于A,M两点，点N在E上，MA ⊥ NA．
（I）当t = 4, |AM| = |AN|时，求△AMN的面积；
（II）当2|AM| = |AN|时，求k的取值范围．
21. (本小题12分)
（I）讨论函数f(x) = x?2x + 2ex的单调性，并证明当x > 0时，(x?2)ex + x + 2 > 0
（II）证明：当a ∈ [0,1)时，函数g(x) = e
x ?ax?a
x2 (x > 0)有最小值，设g(x)的最小值为
h(a)，求函数h(a)的值域．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. (本小题10分)选修4–1：几何证明选讲
如图，在正方形ABCD中，E, G分别在边DA, DC上
（不与端点重合），且DE = DG，过D点作DF ⊥ CE，垂
足为F．
（I）证明：B, C, G, F四点共圆；
（II）若AB = 1, E为DA的中点，求四边形BCGF
的面积．
A B
CD
E
G
F
23. (本小题10分)选修4?4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x + 6)2 + y2 = 25．
（I）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（II）直线l的参数方程是
(
x = tcosα,
y = tsinα,（t为参数），l与C交于A, B两点，|AB| =
√10，求l
的斜率．
24. (本小题10分)选修4?5：不等式选讲
已知函数f(x) = |x? 12|+|x + 12|, M为不等式f(x) < 2的解集．
（I）求M；
（II）证明：当a, b ∈ M时，|a + b| < |1 + ab|．
—第94页—
2016高考试题（全国卷II）文科数学使用省份：陕、甘、青、蒙、宁、新、藏、黑、吉、辽、瑜、琼
2016高考试题（全国卷II）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A = {1,2,3}，B = {x|x2 < 9,x ∈ Z}，则A B =
A. {?2,?1,0,1,2,3} B. {?2,?1,0,1,2} C. {1,2,3} D. {1,2}
2.设复数z满足z + i = 3?i，则ˉz =
A. ?1 + 2i B. 1?2i C. 3 + 2i D. 3?2i
3.函数y = Asin(ωx + φ)的部分图像如图所示，则
A. y = 2sin 2x? π6
B. y = 2sin 2x? π3
C. y = 2sin x + π6
D. y = 2sin x + π3
x
y
2
?π6
?2
π
3
O
4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A. 12π B. 323 π C. 8π D. 4π
5.设F为抛物线C : y2 = 4x的焦点，曲线y = kx(k > 0)与C交于点P，PF ⊥ x轴，则k =
A. 12 B. 1 C. 32 D. 2
6.圆x2 + y2 ?2x?8y + 13 = 0的圆心到直线ax + y ?1 = 0的距离为1，则a =
A. ?43 B. ?34 C. √3 D. 2
7.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何
体的表面积为
A. 20π
B. 24π
C. 28π
D. 32π
4
2√3
4 4
8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路
口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为
A. 710 B. 58 C. 38 D. 310
9.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法
的程序框图.执行该程序框图，若输入的x = 2,n = 2，依次
输入的a为2, 2, 5，则输出的s =
A. 7
B. 12
C. 17
D. 34
开始
输入x,n
k = 0,s = 0
输入a
s = s·x+a
k = k + 1
k > n否
是
输出s
结束
10.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y = 10lgx的定义域和值域相同的是
A. y = x B. y = lgx C. y = 2x D. y = 1√x
11.函数f(x) = cos2x + 6cos(π2 ?x)的最大值为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
12.已知函数f(x)(x ∈ R)满足f(x) = f(2?x)，若函数y = |x2 ?2x?3|与y = f(x)图像的交点
为(x1,y1), (x2,y2), ··· , (xm,ym)，则
mX
i=1
xi =
A. 0 B. m C. 2m D. 4m
二、填空题：(共4个小题,每小题5分,满分20分)
13.已知向量a = (m, 4)，b = (3, ?2)，且a b，则m =．
14.若x，y满足约束条件
8>
<
>:
x?y + 1 ? 0
x + y ?3 ? 0
x?3 ? 0
，则z = x?2y的最小值为.
15. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若cosA = 45, cosC = 513, a = 1，则b = .
—第95页—
2016高考试题（全国卷II）文科数学
16.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡
片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的
数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．
三、解答题：满分70分
17. (本小题12分)
等差数列{an}中，a3 + a4 = 4, a5 + a7 = 6．
（I）求{an}的通项公式;
（II）设bn = [an]，求数列{bn}的前10项的和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如
[0.9]=0,[2.6]=2．
18. (本小题12分)
某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人成为续保人，续保人本年度
的保费与上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数0 1 2 3 4 ? 5
保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
出险次数0 1 2 3 4 ? 5
频率60 50 30 30 20 10
（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；
（II）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)
的估计值；
（III）求续保人本年度的平均保费的估计值．
19. (本小题12分)
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，
点E, F分别在AD, CD上，AE = CF，EF交BD于点
H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′ = √10．
（I）证明：AC ⊥ HD′；
（II）若AB = 5, AC = 6, AE = 54, OD′ = 2√2，求
五棱锥D′ –ABCFE的体积．
C
A
D′
B
D
O H
E
F
20. (本小题满分12分)
已知函数f(x) = (x + 1)lnx?a(x?1)．
（I）当a = 4时，求曲线y = f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
（II）若当x ∈ (1,+∞)时，f(x) > 0，设a的取值范围．
21. (本小题满分12分)
已知A是椭圆E : x
2
4 +
y2
3 = 1的左顶点，斜率为k(k > 0)的直线交E于A,M两点，点N
在E上，MA ⊥ NA．
（I）当|AM| = |AN|时，求△AMN的面积；
（II）当2|AM| = |AN|时，证明：√3 < k < 2．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. (本小题10分)选修4–1：几何证明选讲
如图，在正方形ABCD中，E, G分别在边DA, DC上
（不与端点重合），且DE = DG，过D点作DF ⊥ CE，垂
足为F．
（I）证明：B, C, G, F四点共圆；
（II）若AB = 1, E为DA的中点，求四边形BCGF
的面积．
A B
CD
E
G
F
23. (本小题10分)选修4?4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x + 6)2 + y2 = 25．
（I）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（II）直线l的参数方程是
8<
:
x = tcosα,
y = tsinα,
（t为参数），l与C交于A, B两点，|AB| = √10，求l
的斜率．
24. (本小题满分10分)选修4?5：不等式选讲
已知函数f(x) = |x? 12|+|x + 12|, M为不等式f(x) < 2的解集．
（I）求M；
（II）证明：当a, b ∈ M时，|a + b| < |1 + ab|．
—第96页—
2016高考试题（全国卷III）理科数学使用省份：云、贵、桂
2016高考试题（全国卷III）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分。)
1.设集合S = {x|(x?2)(x?3) ? 0},T = {x|x > 0}，则S T =
A. [2,3] B. (?∞,2] [3,+∞) C. [3,+∞) D. (0,2] [3,+∞)
2.若z = 1 + 2i，则4izz ?1 =
A. 1 B. ?1 C. i D. ?i
3.已知向量# ?BA =
1
2,
√3
2
, # ?BC =
√3
2 ,
1
2
，则∠ABC =
A. 30? B. 45? C. 60? D. 120?
4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年
中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A
点表示十月的平均最高气温约为15?C，B点表示四月的
平均最低气温约为5?C.下面叙述不正确的是
A.各月平均最低气温都在0?C以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20?C的月份有5个
0?C
5?C
10?C
15?C
20?C
四月
三月
二月
一月十二月
十一月
十月
九月
八月七月六月
五月
A B
平均最低气温平均最高气温
5.若tanα = 34，则cos2 α + 2sin2α =
A. 6425 B. 4825 C. 1 D. 1625
6.已知a = 243,b = 425,c = 2513，则
A. b < a < c B. a < b < c C. b < c < a D. c < a < b
7.执行右面的程序框图，如果输入的
a = 4, b = 6，那么输出的n =
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
开始
输入a,b
n = 0,s = 0
a = b?a
b = b?a
a = b+a
s = s+a,n = n+ 1
s > 16否
是
输出n
停止
8.在△ABC中，B = π4, BC边上的高等于13BC，则cosA =
A. 3
√10
10 B.
√10
10 C. ?
√10
10 D. ?
3√10
10
9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多
面体的三视图，则该多面体的表面积为
A. 18+36√5
B. 54 + 18√5
C. 90
D. 81
10.在封闭的直三棱柱ABC –A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB ⊥ BC,AB = 6,BC =
8,AA1 = 3，则V的最大值是
A. 4π B. 9π2 C. 6π D. 32π3
11.已知O为坐标原点，F是椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的左焦点，A,B分别C的左，右顶点.P为C上一点，且PF ⊥ x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.
若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
A. 13 B. 12 C. 23 D. 34
12.定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对于任意
k ? 2m，a1,a2,··· ,ak中的0的个数不少于1的个数，若m = 4，则不同的“规范01数列”
共有
A. 18个B. 16个C. 14个D. 12个
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.若x，y满足约束条件
8>
<
>:
x?y + 1 ? 0
x?2y ? 0
x + 2y ?2 ? 0
，则z = x + y的最大值为.
14.函数y = sinx?√3cosx的图像可由函数y = sinx+√3cosx的图像至少向右平移个
单位长度得到.
15.已知f(x)为偶函数，当x < 0时，f(x) = ln(?x) + 3x，则曲线y = f(x)在点(1,?3)处的切
线方程是.
16.已知直线l : mx + y + 3m?√3 = 0与圆x2 + y2 = 12交于A,B两点，过A,B分别作l的垂
线与x轴交于C,D两点，若|AB| = 2√3，则|CD| = .
—第97页—
2016高考试题（全国卷III）理科数学
三、解答题：满分70分
17. ( 12分)
已知数列{an}的前n项和Sn = 1 + λan，其中λ 0.
（I）证明{an}是等比数列的，并求其通项公式;
（II）若S5 = 3132，求λ.
18. ( 12分)
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
0.80年生活垃圾无害化处理量
y
年份代码t
注意：年份代码1–7分别对应2008–2014
1 2 3 4 5 6 7
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（II）建立y与t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
参考数据：
7X
i=1
yi = 9.32,
7X
i=1
tiyi = 40.17,
7X
i=1
(yi ? ˉy)2 = 0.55, √7 ≈ 2.646.
参考公式：相关系数r =
nP
i=1
(ti ? ˉt)(yi ? ˉy)
? nP
i=1
(ti ? ˉt)2
nP
i=1
(yi ? ˉy)2
，
回归方程?y = ?a + ?bt中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：
?b =
nP
i=1
(ti ? ˉt)(yi ? ˉy)
nP
i=1
(ti ? ˉt)2
, ?a = ˉy ??bˉt.
19. ( 12分)
四棱锥P –ABCD中，PA ⊥底面ABCD，AD BC，
AB = AD = AC = 3,PA = BC = 4,M为线段AD上一
点，AM = 2MD,N为PC的中点.
（I）证明MN平面PAB；
（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．A
P
B
C
DM
N
20. (12分)
已知抛物线C : y2 = 2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点，交
C的准线于P,Q两点.
（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR FQ；
（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
21. (12分)
设函数f(x) = αcos2x + (α?1)(cosx + 1)，其中α > 0，记|f(x)|的最大值为A.
（I）求f′(x)；
（II）求A；
（III）证明|f′(x)|? 2A.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. (10分)选修4–1：几何证明选讲
如图，⊙O中 AB的中点为P，弦PC, PD分别交
AB于E, F两点.
（I）若∠PFB = 2∠PCD，求∠PCD的大小；
（II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于
点G，证明OG ⊥ CD.
O
G
A B
E F
C
P
D
23. (10分)选修4?4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
8<
:
x = √3cosα,
y = sinα,
（α为参数）.以坐标原点为极
点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin θ + π4 = 2√2．
（I）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（II）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
24. (10分)选修4?5：不等式选讲
已知函数f(x) = |2x?a|+ a.
（I）当a = 2时，求不等式f(x) ? 6的解集；
（II）设函数g(x) = |2x?1|.当x ∈ R时，f(x) + g(x) ? 3，求a的取值范围.
—第98页—
2016高考试题（全国卷III）文科数学使用省份：云、贵、桂
2016高考试题（全国卷III）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分.)
1.设集合A = {0,2,4,6,8,10},B = {4,8}，则?AB =
A. {4,8} B. {0,2,6} C. {0,2,6,10} D. {0,2,4,6,8,10}
2.若z = 4 + 3i，则ˉz|z| =
A. 1 B. ?1 C. 45 + 35i D. 45 ? 35i
3.已知向量# ?BA =
1
2,
√3
2
, # ?BC =
√3
2 ,
1
2
，则∠ABC =
A. 30? B. 45? C. 60? D. 120?
4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年
中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A
点表示十月的平均最高气温约为15?C，B点表示四月的
平均最低气温约为5?C.下面叙述不正确的是
A.各月平均最低气温都在0?C以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20?C的月份有5个
0?C
5?C
10?C
15?C
20?C
四月
三月
二月
一月十二月
十一月
十月
九月
八月七月六月
五月
A B
平均最低气温平均最高气温
5.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二
位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
A. 815 B. 18 C. 115 D. 130
6.若tanθ = ?13，则cos2θ =
A. ?45 B. ?15 C. 15 D. 45
7.已知a = 243,b = 323,c = 2513，则
A. b < a < c B. a < b < c C. b < c < a D. c < a < b
8.执行右面的程序框图，如果输入的a = 4, b = 6，
那么输出的n =
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
开始
输入a,b
n = 0,s = 0
a = b?a
b = b?a
a = b+a
s = s+a,n = n+ 1
s > 16否
是
输出n
停止
9.在△ABC中，B = π4, BC边上的高等于13BC，则sinA =
A. 310 B.
√10
10 C.
√5
5 D.
3√10
10
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多
面体的三视图，则该多面体的表面积为
A. 18+36√5
B. 54 + 18√5
C. 90
D. 81
11.在封闭的直三棱柱ABC –A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB ⊥ BC,AB = 6,BC =
8,AA1 = 3，则V的最大值是
A. 4π B. 9π2 C. 6π D. 32π3
12.已知O为坐标原点，F是椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的左焦点，A,B分别C的左，右顶点.P为C上一点，且PF ⊥ x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.
若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
A. 13 B. 12 C. 23 D. 34
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.若x，y满足约束条件
8<
:
2x?y + 1 ? 0
x?2y ?1 ? 0
x ? 1
，则z = 2x + 3y ?5的最小值为.
14.函数y = sinx?√3cosx的图像可由函数y = 2sinx的图像至少向右平移个单位长
度得到.
15.已知直线l : x?√3y + 6 = 0与圆x2 + y2 = 12交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x
轴交于C,D两点，则|CD| = .
16.已知f(x)为偶函数，当x ? 0时，f(x) = e?x?1 ?x，则曲线y = f(x)在点(1,2)处的切线方
程是.
三、解答题：满分70分
17. (本小题12分)
已知各项都为正数的数列{an}满足a1 = 1, a2n ?(2an+1 ?1)an ?2an+1 = 0.
（I）求a2, a3;
（II）若{an}的通项公式.
—第99页—
2016高考试题（全国卷III）文科数学
18. (本小题12分)
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
0.80年生活垃圾无害化处理量
y
年份代码t
注意：年份代码1–7分别对应2008–2014
1 2 3 4 5 6 7
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（II）建立y与t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
参考数据：
7X
i=1
yi = 9.32,
7X
i=1
tiyi = 40.17,
7X
i=1
(yi ? ˉy)2 = 0.55, √7 ≈ 2.646.
参考公式：相关系数r =
nP
i=1
(ti ? ˉt)(yi ? ˉy)
? nP
i=1
(ti ? ˉt)2
nP
i=1
(yi ? ˉy)2
，
回归方程?y = ?a + ?bt中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：
?b =
nP
i=1
(ti ? ˉt)(yi ? ˉy)
nP
i=1
(ti ? ˉt)2
, ?a = ˉy ??bˉt.
19. (本小题12分)
如图，四棱锥P –ABCD中，PA ⊥底面ABCD，
AD BC，AB = AD = AC = 3,PA = BC = 4,M为线
段AD上一点，AM = 2MD,N为PC的中点.
（I）证明MN平面PAB；
（II）求四面体N ?BCM的体积．
A
P
B C
DM
N
20. (本小题满分12分)
已知抛物线C : y2 = 2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点，交
C的准线于P,Q两点.
（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR FQ；
（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
21. (本小题满分12分)
设函数f(x) = lnx?x + 1.
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）证明当x ∈ (1,+∞)时，1 < x?1lnx < x；
（III）设c > 1，证明当x ∈ (0,1)时，1 + (c?1)x > cx.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. (本小题满分10分)选修4–1：几何证明选讲
如图，⊙O中 AB的中点为P，弦PC, PD分别交
AB于E, F两点.
（I）若∠PFB = 2∠PCD，求∠PCD的大小；
（II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于
点G，证明OG ⊥ CD.
O
G
A B
E F
C
P
D
23. (本小题满分10分)选修4?4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
8<
:
x = √3cosα,
y = sinα,
（α为参数）.以坐标原点为极
点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin θ + π4 = 2√2．
（I）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（II）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
24. (本小题满分10分)选修4?5：不等式选讲
已知函数f(x) = |2x?a|+ a.
（I）当a = 2时，求不等式f(x) ? 6的解集；
（II）设函数g(x) = |2x?1|.当x ∈ R时，f(x) + g(x) ? 3，求a的取值范围.
—第100页—
2015高考试题（全国卷I）理科数学使用省份：豫、冀、晋、赣
2015高考试题（全国卷I）理科数学
一、选择题（单项选择题）：本题共12个小题，每小题5分，共60分。
1.设复数z满足1 + z1?z = i，则| z |=
A. 1 B. √2 C. √3 D. 2
2. sin20? cos10? ?cos160? sin10?=
A. ?
√3
2 B.
√3
2 C. ?
1
2 D.
1
2
3.设命题p : ?n ∈ N，n2 > 2n，则?p为
A. ?n ∈ N，n2 > 2n B. ?n ∈ N，n2 ? 2n C. ?n ∈ N，n2 > 2n D. ?n ∈ N，n2 = 2n
4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，
且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.312
5.已知M(x0,y0)是双曲线C : x
2
2 ?y
2 = 1上的一点，F1,F2是C的两个焦点，若# ?MF1· # ?MF2 < 0，
则y0的取值范围是
A.
?
√3
3，
√3
3
B.
?
√3
6，
√3
6
C.
? 2
√2
3，
2√3
3
D.
? 2
√3
3，
2√3
3
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问
题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及委米几何？”其
意思为：“在屋内墙角堆放米（如图，面堆为一个圆锥的四分之一），米
堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各
为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出
堆放的米约有
A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛
7.设D是△ABC所在平面内一点，若# ?BC = 3# ?CD，则# ?AD =
A. ?13 # ?AB + 43 # ?AC B. 13 # ?AB ? 43 # ?AC C. 43 # ?AB + 13 # ?AC D. 43 # ?AB ? 13 # ?AC
8.函数f(x) = cos(ωx + φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为.
A. kπ ? 14, kπ + 34 ，k ∈ Z B. 2kπ ? 14, 2kπ + 34 ，k ∈ Z
C. k? 14, k + 34 ，k ∈ Z D. 2k? 14, 2k + 34 ，k ∈ Z x
y
1
4
5
4
O
9.执行右面的程序框图，如果输入的
t = 0.01，则输出的n=
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
开始
输入t
S = 1,n = 0,m = 0.5
S = S ?m
m = m2 ,n = n+ 1
S > t是
否
输出n
结束10. (x2 + x + y)5的展开式中，x5y2的系数为
A. 10 B. 20 C. 30 D. 60
11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组
成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视
图如图所示．若该几何体的表面积为16 + 20π，则
r =
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
2r
正视图
俯视图
12.设函数f(x) = ex(2x?1)?ax+a，其中a < 1，若存在唯一整数x0，使得f(x0) < 0，则a的
取值范围是
A. ? 32e,1 B. ? 32e, 34 C. 32e, 34 D. 32e,1
二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分。
13.若函数f(x) = xln(x +√a + x2)为偶函数，则a = .
14.一个圆经过椭圆x
2
16 +
y2
4 = 1的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为.
15.若x,y满足约束条件
8<
:
x?1 ? 0,
x?y ? 0,
x + y ?4 ? 0.
则yx的最大值为.
16.在平面四边形ABCD中，∠A = ∠B = ∠C = 75?，BC = 2，则AB的取值范围是.
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
—第101页—
2015高考试题（全国卷I）理科数学
17. ( 12分) Sn为数列{an}的前n项和，已知an > 0，a2n + 2an = 4Sn + 3．
（I）求{an}的通项公式；
（II）设bn = 1a
nan+1
，求数列{bn}的前n项和．
18. ( 12分)
如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC = 120?，E,F是
平面ABCD同侧的两点，BE ⊥平面ABCD，DF ⊥平面
ABCD，BE = 2DF，AE ⊥ EC．
（I）证明：平面AEC ⊥平面AFC；
（II）求直线AE与直线CF所成的角的余弦值．A
B C
D
E
F
19. ( 12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年
销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi
（i = 1,2,··· ,8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值：
年销售量
/t
年宣传费/千元
34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56
480
500
520
540
560
580
600
620
x y w
8X
i=1
(xi ?x)2
8X
i=1
(wi ?w)2
8X
i=1
(xi ?x)(yi ?y)
nX
i=1
(wi ?w)(yi ?y)
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中wi = √xi，w = 18
8X
i=1
wi.
（I）根据散点图判断y = a + bx和y = c + d√x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x
的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z = 0.2y?x，根据（II）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x = 49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),··· ,(un,vn)，其回归直线v = α + βu的斜率和截距的最小
二乘估计公式为：
?β =
nP
i=1
(ui ? ˉu)(vi ? ˉv)
nP
i=1
(ui ? ˉu)2
, ?α = ˉv ? ?βˉu.
20. ( 12分)
在直角坐标系xOy中，曲线C : y = x
2
4与直线l : y = kx + a(a > 0)交于M，N两点．（I）当k = 0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（II）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM = ∠OPN？说明理由．
21. ( 12分)
已知函数f(x) = x3 + ax + 14，g(x) = ?lnx．
（I）当a为何值时，x轴为曲线y = f(x)的切线；
（II）用min{m,n}表示m,n中的最小值，设函数h(x) = min{f(x),g(x)}(x > 0)，讨论h(x)
零点的个数．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分。
22.（10分）选修4–1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交
⊙O于点E．
（I）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（II）若OA = √3CE，求∠ACB的大小．OA B
C
D
E
23.（10分）选修4–4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线C1 : x = ?2，圆C2 : (x? 1)2 + (y ? 2)2 = 1，以坐标原点为极
点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（I）求C1，C2的极坐标方程；
（II）若直线C3的极坐标方程为θ = π4 (ρ ∈ R)，设C2与C3的交点为M,N，求△C2MN的
面积．
24.（10分）选修4–5：不等式选讲
已知f(x) = |x + 1|?2|x?a|，a > 0．
（I）当a = 1时，求不等式f(x) > 1的解集；
（II）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
—第102页—
2015高考试题（全国卷I）文科数学使用省份：豫、冀、晋、赣
2015高考试题（全国卷I）文科数学
一、选择题（单项选择题）：本题共12个小题，每小题5分，共60分。
1.已知集合A = {x | x = 3n + 2,n ∈ N}，B = {6,8,10,12,14}，则集合A B中元素的个数为
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
2.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量# ?AC = (?4,?3)，则向量# ?BC=
A. (?7,?4) B. (7,4) C. (?1,4) D. (1,4)
3.已知复数z满足(z ?1)i = 1 + i，则z =
A. ?2?i B. ?2 + i C. 2?i D. 2 + i
4.如果三个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这三个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5
中任取三个不同的数，则这三个数构成一组勾股数的概率为
A. 310 B. 15 C. 110 D. 120
5.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C : y2 = 8x的焦点重合，
A, B是C的准线与E的两个交点，则| AB |=
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问
题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及委米几何？”其
意思为：“在屋内墙角堆放米（如图，面堆为一个圆锥的四分之一），米
堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各
为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出
堆放的米约有
A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛
7.已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8 = 4S4，则a10 =
A. 172 B. 192 C. 10 D. 12
8.函数f(x) = cos(ωx + φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为.
A. kπ ? 14, kπ + 34 ，k ∈ Z B. 2kπ ? 14, 2kπ + 34 ，k ∈ Z
C. k? 14, k + 34 ，k ∈ Z D. 2k? 14, 2k + 34 ，k ∈ Z x
y
1
4
5
4
O
9.执行右面的程序框图，如果输入的
t = 0.01，则输出的n=
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
开始
输入t
S = 1,n = 0,m = 0.5
S = S ?m
m = m2 ,n = n+ 1
S > t是
否
输出n
结束
10.已知函数f(x) =
§2x?1 ?2, x ? 1,
?log2(x + 1), x > 1.且f(a) = ?3，则f(6?a) =
A. ?74 B. ?54 C. ?34 D. ?14
11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组
成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视
图如图所示．若该几何体的表面积为16 + 20π，则
r =
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
2r
正视图
俯视图
12.设函数y = f(x)的图像与y = 2x+a的图像关于直线y = ?x对称，且f(?2) + f(?4) = 1，则
a=
A. ?1 B. 1 C. 2 D. 4
二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分。
13.在数列{an}中，a1 = 2，an+1 = 2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn = 126，则n = .
14.已知函数f(x) = ax3 + x + 1的图像在点 1,f(1) 处的切线过点(2,7)，则a = .
15.若x,y满足约束条件
8<
:
x + y ?2 ? 0,
x?2y + 1 ? 0,
2x?y + 2 ? 0.
则z = 3x + y的最大值为.
16.已知F是双曲线C : x2 ? y
2
8 = 1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6
√6)．当△APF周
长最小时，该三角形的面积为.
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
—第103页—
2015高考试题（全国卷I）文科数学
17. ( 12分)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，sin2 B = 2sinAsinC．
（I）若a = b，求cosB；
（II）设B = 90?，且a = √2，求△ABC的面积．
18. ( 12分)
如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交
点，BE ⊥平面ABCD．
（I）证明：平面AEC ⊥平面BED；
（II）若∠ABC = 120?，AE ⊥ EC，三棱锥E–ACD
的体积为
√6
3，求该三棱锥的侧面积．
A
B C
D
E
G
19. ( 12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年
销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi
（i = 1,2,··· ,8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值：
年销售量
/t
年宣传费/千元
34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56
480
500
520
540
560
580
600
620
x y w
8X
i=1
(xi ?x)2
8X
i=1
(wi ?w)2
8X
i=1
(xi ?x)(yi ?y)
nX
i=1
(wi ?w)(yi ?y)
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中wi = √xi，w = 18
8X
i=1
wi.
（I）根据散点图判断y = a + bx和y = c + d√x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x
的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z = 0.2y?x，根据（II）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x = 49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),··· ,(un,vn)，其回归直线v = α + βu的斜率和截距的最小
二乘估计公式为：
?β =
nP
i=1
(ui ? ˉu)(vi ? ˉv)
nP
i=1
(ui ? ˉu)2
, ?α = ˉv ? ?βˉu.
20. ( 12分)
已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C : (x?2)2 + (y ?3)2 = 1交于M，N两点．
（I）求k的取值范围；
（II）若# ?OM · # ?ON = 12，其中O为坐标原点，求| MN |．
21. ( 12分)
设函数f(x) = e2x ?alnx．
（I）讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；
（II）证明：当a > 0时，f(x) ? 2a + aln 2a．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分。
22.（10分）选修4–1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交
⊙O于点E．
（I）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（II）若OA = √3CE，求∠ACB的大小．OA B
C
D
E
23.（10分）选修4–4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线C1 : x = ?2，圆C2 : (x? 1)2 + (y ? 2)2 = 1，以坐标原点为极
点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（I）求C1，C2的极坐标方程；
（II）若直线C3的极坐标方程为θ = π4 (ρ ∈ R)，设C2与C3的交点为M,N，求△C2MN的
面积．
24.（10分）选修4–5：不等式选讲
已知f(x) = |x + 1|?2|x?a|，a > 0．
（I）当a = 1时，求不等式f(x) > 1的解集；
（II）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
—第104页—
2015高考试题（全国卷II）理科数学使用省份：青、藏、甘、蒙、新、宁、辽、吉、黑、云、贵、桂
2015高考试题（全国卷II）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分。)
1.已知集合A = {?2, ?1, 0, 1, 2}，B = {x | (x?1)(x + 2) < 0}，则A∩B=
A. {?1, 0} B. {0,1} C. {?1, 0, 1} D. {0,1,2}
2.设a为实数，且(2 + ai)(a?2i) = ?4i，则a =
A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2
3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不
正确的是
2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年
1900
2000
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B. 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C. 2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势
D. 2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关
4.已知等比数列{an}满足a1 = 3，a1 + a3 + a5 = 21，则a3 + a5 + a7 =
A. 21 B. 42 C. 63 D. 84
5.设函数f(x) =
8<
:
1 + log2(2?x), x < 1
2x?1, x ? 1
，则f(?2) + f(log2 12) =
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的
三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的
比值为
A. 18 B. 17
C. 16 D. 15
7.过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,?7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN| =
A. 2√6 B. 8 C. 4√6 D. 10
8.右边的程序框图的算法思路源于我国
古代数学名著《九章算术》中的“更
相减损术”．执行该程序，若输入的a，
b分别为14，18，则输出的a =
A. 0 B. 2
C. 4 D. 14
开始
输入a,b
a b是
a > b是
a = a?b
否
b = b?a
否
输出a
结束
9.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB = 90?，C为该球面上的动点，若三棱锥
O–ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为
A. 36π B. 64π C. 144π D. 256π
10.如图，长方形ABCD的边长AB = 2，BC = 1，O
是AB的中点，点P沿着边BC, CD与DA运动，
记∠BOP = x．将动点P到A，B两点距离之和表
示为x的函数f(x)，则f(x)的图像大致为A O B
CPD
x
x
y
π
4
π
2
3π
4 π
2
A. x
y
π
4
π
2
3π
4 π
2
B. x
y
π
4
π
2
3π
4 π
2
C. x
y
π
4
π
2
3π
4 π
2
D.
11.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120?，
则E的离心率为
A. √5 B. 2 C. √3 D. √2
12.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f(?1) = 0，当x > 0时，
xf′(x)?f(x) < 0，则使得f(x) > 0成立的x的取值范围是
A. (?∞, ?1)∪(0,1) B. (?1, 0)∪(1,+∞)
C. (?∞, ?1)∪(?1, 0) D. (0, 1)∪(1,+∞)
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.设向量a，b不平行，向量λa+b与a+ 2b平行，则实数λ = .
14.若x，y满足约束条件
8<
:
x?y + 1 ? 0
x?2y ? 0
x + 2y ?2 ? 0
，则z = x + y的最大值为．
15. (a + x)(1 + x)4的展开式中x的奇次幂项的系数之和为32，则a =．
16.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1 = ?1，an+1 = SnSn+1，则Sn =．
—第105页—
2015高考试题（全国卷II）理科数学
三、解答题：满分70分
17. (12分) △ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
（I）求sin∠Bsin∠C；
（II）若AD = 1，DC =
√2
2，求BD和AC的长.
18. ( 12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得
到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（I）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分
的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
A地区B地区
4
5
6
7
8
9
（II）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分低于70分70分到89分不低于90分
满意度等级不满意满意非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户
的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.
19. ( 12分)
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1中，AB = 16，
BC = 10，AA1 = 8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，
A1E = D1F = 4．过点E，F的平面α与此长方体的面相
交，交线围成一个正方形．
（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（II）求直线AF与平面α所成角的正弦值．
C1
A B
C
B1A1
D1
D
F
E
20.（12分）
已知是椭圆C : 9x2 + y2 = m2 (m > 0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个
交点A，B，线段AB的中点为M.
（I）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（II）若l过点(m3 ,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若
能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.
21. (12分)
设函数f(x) = emx + x2 ?mx.
（I）证明f(x)在(?∞, 0)单调递减，在(0,+∞)单调递增；
（II）若对于任意x1, x2 ∈ [?1, 1]，都有|f(x1)?f(x2)|? e?1，求m的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. (10分)选修4–1：几何证明选讲
如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC
的底边BC交于M, N两点，与底边上的高AD交于点
G，且与AB，AC分别相切于E，F两点.
（I）证明：EF//BC；
（II）若AG等于⊙O的半径，且AE = MN = 2√3，
求四边形EBCF的面积.
D
O
A
B CM N
G
E F
23. (10分)选修4?4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1 :
8<
:
x = tcosα
y = tsinα
，（t是参数，t ?= 0），
其中0 ? α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 : ρ = 2sinθ，
C3 : ρ = 2√3cosθ．
（I）求C2与C3的交点的直角坐标；
（II）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.
24. (10分)选修4?5：不等式选讲
设a,b,c,d均为正数，且a + b = c + d，证明：
（I）若ab > cd，则√a +
√
b > √c +
√
d；
（II）√a +
√
b > √c +
√
d是|a?b| < |c?d|的充要条件.
—第106页—
2015高考试题（全国卷II）文科数学使用省份：青、藏、甘、蒙、新、宁、辽、吉、黑、云、贵、桂
2015高考试题（全国卷II）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分。)
1.已知集合A = {x | ?1 < x < 2}，B = {x | 0 < x < 3}，则A∪B=
A. (?1, 3) B. (?1, 0) C. (0, 2) D. (2, 3)
2.设a为实数，且2 + ai1 + i = 3 + i，则a =
A. ?4 B. ?3 C. 3 D. 4
3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不
正确的是
2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年
1900
2000
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B. 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C. 2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势
D. 2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关
4.向量a = (1, ?1)，b = (?1, 2)，则(2a+b) ·a =
A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2
5.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1 + a3 + a5 = 3，则S5 =
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的
三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的
比值为
A. 18 B. 17
C. 16 D. 15
7.已知三点A(1,0)，B(0,√3)，C(2,√3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为
A. 53 B.
√21
3 C.
2√5
3 D.
4
3
8.右边的程序框图的算法思路源于我国
古代数学名著《九章算术》中的“更
相减损术”．执行该程序，若输入的a，
b分别为14，18，则输出的a =
A. 0 B. 2
C. 4 D. 14
开始
输入a,b
a b是
a > b是
a = a?b
否
b = b?a
否
输出a
结束
9.已知等比数列{an}满足a1 = 14，a3a5 = 4(a4 ?1)，则a2 =
A. 2 B. 1 C. 12 D. 18
10.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB = 90?，C为该球面上的动点，若三棱锥
O–ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为
A. 36π B. 64π C. 144π D. 256π
11.如图，长方形ABCD的边长AB = 2，BC = 1，O
是AB的中点，点P沿着边BC,CD与DA运动，
记∠BOP = x．将动点P到A，B两点距离之和表
示为x的函数f(x)，则f(x)的图像大致为A O B
CPD
x
x
y
π
4
π
2
3π
4 π
2
A. x
y
π
4
π
2
3π
4 π
2
B. x
y
π
4
π
2
3π
4 π
2
C. x
y
π
4
π
2
3π
4 π
2
D.
12.设函数f(x) = ln(1 +|x|)? 11 + x2，则使得f(x) > f(2x?1)成立的x的取值范围是
A. 13, 1 B. ?∞, 13 ∪ 1,+∞
C. ? 13, 13 D. ?∞, ?13 ∪ 13,+∞
二、填空题：(共4个小题．每小题5分，满分20分)
13.已知函数f(x) = ax3 ?2x的图像过点(?1,4)，则a =．
14.若x，y满足约束条件
8
>><
>>:
x?y ?5 ? 0
2x?y ?1 ? 0
x?2y + 1 ? 0
，则z = 2x + y的最大值为．
15.已知双曲线过点(4,√3)，且渐近线方程为y = ±12x，则该双曲线的标准方程为.
16.已知曲线y = x + lnx在点(1,1)处的切线与曲线y = ax2 + (a + 2)x + 1相切，则a =．
—第107页—
2015高考试题（全国卷II）文科数学
三、解答题：满分70分
17. (12分) △ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD = 2DC．
（I）求sin∠Bsin∠C；II）若∠BAC = 60?，求∠B．
18. ( 12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根
据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满
意度评分的频数分布表．
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
频率/组距
满意度评分40 50 60 70 80 90 100
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035
0.040
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组[50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数2 8 14 10 6
（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意
度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）;
频率/组距
满意度评分50 60 70 80 90 100
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035
0.040
（II）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分低于70分70分到89分不低于90分
满意度等级不满意满意非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.
19. ( 12分）
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1中，AB = 16，BC =
10，AA1 = 8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E =
D1F = 4．过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线
围成一个正方形．
（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（II）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
C1
A B
C
B1A1
D1
D
F
E
20. (12分)已知是椭圆C：x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的离心率为
√2
2，点(2,
√2)在C上.
（I）求C的方程；
（II）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，
证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值
21. (12分)已知函数f(x) = lnx + a(1?x)．
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）当f(x)有最大值，且最大值大于2a?2时，求a的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. (10分)选修4–1：几何证明选讲
如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC
的底边BC交于M, N两点，与底边上的高AD交于点
G，且与AB，AC分别相切于E，F两点.
（I）证明：EF//BC；
（II）若AG等于⊙O的半径，且AE = MN = 2√3，
求四边形EBCF的面积.
D
O
A
B CM N
G
E F
23. (10分)选修4?4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1 :
8<
:
x = tcosα
y = tsinα
，（t是参数，t 0），
其中0 ? α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 : ρ = 2sinθ，
C3 : ρ = 2√3cosθ．
（I）求C2与C3的交点的直角坐标；
（II）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.
24. (10分)选修4?5：不等式选讲
设a, b, c, d均为正数，且a + b = c + d，证明：
（I）若ab > cd，则√a +
√
b > √c +
√
d；
（II）√a +
√
b > √c +
√
d是|a?b| < |c?d|的充要条件.
—第108页—
2014高考试题（全国卷I）理科数学使用省份：豫、冀、晋
2014高考试题（全国卷I）理科数学
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A = {x | x2 ?2x?3 ? 0}，B = {x | ?2 ? x < 2}，则A B=
A. [?2,?1] B. [?1,2) C. [?1,1] D. [1,2]
2. (1 + i)
3
(1?i)2=
A. 1 + i B. 1?i C. ?1 + i D. ?1?i
3.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是
A. f(x)g(x)是偶函数B. |f(x)|g(x)是奇函数
C. f(x)|g(x)|是奇函数D. |f(x)g(x)|是奇函数
4.已知F为双曲线C : x2 ?my2 = 3m(m > 0)的一个焦点，则F到C的一条渐近线的距离为
A. √3 B. 3 C. √3m D. 3m
5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动
的概率为
A. 18 B. 38 C. 58 D. 78
6.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，
角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA
的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函
数f(x)，则y = f(x)在[0,π]的图像大致为
O
x A
M
P
A.
x
y
1
O π
B.
x
y
1
O π
C.
x
y
1
O π
D.
x
y
1
O π
7.执行右面的程序框图，若输入的a，b，k分
别为1，2，3，则输出的M =
A. 203
B. 72
C. 165
D. 158
开始
输入a,b,k
n = 1
n ? k
是
否
M = a + 1b
a = b
b = M
n = n + 1
输出M
结束
8.设α ∈ 0, π2 ，β ∈ 0, π2 ，且tanα = 1 + sinβcosβ，则
A. 3α?β = π2 B. 3α + β = π2 C. 2α?β = π2 D. 2α + β = π2
9.不等式组
§x + y ? 1,
x?2y ? 4的解集记为D，有下面四个命题：
P1 : ?(x,y) ∈ D，x + 2y ??2，P2 : ?(x,y) ∈ D，x + 2y ? 2，
P3 : ?(x,y) ∈ D，x + 2y ? 3，P4 : ?(x,y) ∈ D，x + 2y ??1，
其中真命题是
A. P2,P3 B. P1,P2 C. P1,P4 D. P1,P3
10.已知抛物线C : y2 = 8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交
点，若# ?FP = 4# ?FQ，则|QF|=
A. 72 B. 3 C. 52 D. 2
11.已知函数f(x) = ax3 ?3x2 + 1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0 > 0，则a的取值范围是
A. (2,+∞) B. (1,+∞) C. (?∞,?2) D. (?∞,?1)
12.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体
的三视图，则该几何体的各条棱中，最长的棱长为
A. 6√2 B. 6
C. 4√2 D. 4
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分
13. (x?y)(x + y)8的展开式中x2y7的系数为.（用数字填写答案）
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为.
15.已知A, B, C为圆O上的三点，若# ?AO = 12 # ?AB + # ?AC ，则# ?AB与# ?AC的夹角为.
16.已知a, b, c分别为△ABC三个内角A, B, C的对边，a = 2，且(2 + b)(sinA ? sinB) =
(c?b)sinC，则△ABC的面积的最大值为.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21
题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
—第109页—
2014高考试题（全国卷I）理科数学
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1 = 1，an 0，anan+1 = λSn ?1，其中λ为常数．
（I）证明：an+2 ?an = λ；
（II）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
18.（12分）
从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频
率分布直方图：
频率/组距
质量指标值165 175 185 195 205 215 225 235
0.002
0.022
0.024
0.033
0.008
0.009
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数ˉx和样本方差s2（同组数据用区间的中点值作代
表）；
（II）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近
似为样本平均数ˉx,σ2近似为样本方差s2.
（1）利用该正态分布，求P(187.8 < Z < 212.2);
（2）某用户从该企业购买了100件这种产品，X表示这100件产品中质量指标值位于区间
(187.8,212.2]的产品件数，求EX.
附：√150 ≈ 12.2
若Z ～ N(μ,σ2)，则P(μ?σ < Z < μ+σ) = 0.6826,P(μ?2σ < Z < μ+ 2σ) = 0.9544
19.（12分）
如图，三棱柱ABC –A1B1C1中，侧面BB1C1C
为菱形，AB ⊥ B1C．
（I）证明：AC = AB1；
（II）若AC ⊥ AB1，∠CBB1 = 60?，AB = BC，
求二面角A–A1B1 –C1的余弦值．
A
B
C
A1
B1
C1
20.（12分）
已知点A(0,?2)，椭圆E : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的离心率为
√3
2，F是椭圆E的右焦点，直
线AF的斜率为2
√3
3，O为坐标原点．
（I）求E的方程；
（II）设过点A的动直线l与E相交于P, Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
21.（12分）
设函数f(x) = aex lnx+ be
x?1
x，曲线y = f(x)在点
1,f(1) 处的切线方程为y = e(x?1)+2．
（I）求a, b；
（II）证明：f(x) > 1．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分。
22. [选修4–1：几何证明选讲]（10分）
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB
的延长线与DC的延长线交于点E，且CB = CE．
（I）证明：∠D = ∠E；
（II）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，
且MB = MC，证明：△ADE为等边三角形．
A B
C
D
E
M
O
23. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线C : x
2
4 +
y2
9 = 1，直线l :
§x = 2 + t,
y = 2?2t,（t为参数）．
（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（II）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30?的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
24. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知a > 0, b > 0，且1a + 1b =
√
ab．
（I）求a3 + b3的最小值；
（II）是否存在a, b，使得2a + 3b = 6?并说明理由．
—第110页—
2014高考试题（全国卷I）文科数学使用省份：豫、冀、晋
2014高考试题（全国卷I）文科数学
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M = {x | ?1 < x < 3}，N = {x | ?2 < x < 1}，则M N=
A. (?2,1) B. (?1,1) C. (1,3) D. (?2,3)
2.若tanα > 0，则
A. sinα > 0 B. cosα > 0 C. sin2α > 0 D. cos2α > 0
3.设z = 11 + i + i，则|z|=
A. 12 B.
√2
2 C.
√3
2 D. 2
4.已知双曲线x
2
a2 ?
y2
3 = 1(a > 0)的离心率为2，则a=
A. 2 B.
√6
2 C.
√5
2 D. 1
5.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是
A. f(x)g(x)是偶函数B. |f(x)|g(x)是奇函数
C. f(x)|g(x)|是奇函数D. |f(x)g(x)|是奇函数
6.设D, E, F分别为△ABC的三边BC, CA, AB的中点，则# ?EB + # ?FC=
A. # ?AD B. 12 # ?AD C. 12 # ?BC D. # ?BC
7.在函数1 y = cos|2x|，2 y = |cosx|，3 y = cos 2x+ π6 ，4 y = tan 2x? π4 中，最小
正周期为π的所有函数为
A. 1 2 3 B. 1 3 4 C. 2 4 D. 1 3
8.如图，网格纸上的各小格都是正方形，图中粗实线画出的是一个几
何体的三视图，则该几何体是
A.三棱锥B.三棱柱
C.四棱锥D.四棱柱
9.执行右面的程序框图，若输入的a，b，k分
别为1，2，3，则输出的M =
A. 203
B. 72
C. 165
D. 158
开始
输入a,b,k
n = 1
n ? k
是
否
M = a + 1b
a = b
b = M
n = n + 1
输出M
结束
10.已知抛物线C : y2 = x的焦点为F，A(x0,y0)是C上一点，|AF| = 54x0，则x0=
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
11.设x, y满足约束条件
§x + y ? a,
x?y ??1，且z = x + ay的最小值为7，则a =
A. ?5 B. 3 C. ?5或3 D. 5或?3
12.已知函数f(x) = ax3 ?3x2 + 1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0 > 0，则a的取值范围是
A. (2,+∞) B. (1,+∞) C. (?∞,?2) D. (?∞,?1)
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分
13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率
为.
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为.
15.设函数f(x) =
§ex?1, x < 1,
x13, x ? 1,则使得f(x) ? 2成立的x的取值范围是.
—第111页—
2014高考试题（全国卷I）文科数学
16.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山顶C测
量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN = 60?，
C点的仰角∠CAB = 45?以及∠MAC = 75?；从C
点测得∠MCA = 60?．已知山高BC=100m，则山高
MN= .
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22、23题为选考题。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
已知{an}是递增的等差数列，a2,a4是方程x2 ?5x + 6 = 0的根．
（I）求{an}的通项公式；
（II）求数列
nan
2n
o
的前n项和．
18.（12分）
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频
数分布表：
质量指标值分组[75,85) [85,95) (95,105) [105,115) [115,125)
频数6 26 38 22 8
（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方
图；
（II）估计这种产品质量指标值的样本平均数ˉx
和方差s2（同组数据用区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生
产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至
少占全部产品的80%”的规定？
频率/组距
质量指标值75 85 95 105 115 125
0.0020.004
0.0060.008
0.0100.012
0.0140.016
0.0180.020
0.0220.024
0.0260.028
0.0300.032
0.0340.036
0.0380.040
0
19.（12分）
如图，三棱柱ABC –A1B1C1中，侧面BB1C1C为
菱形，B1C的中点为O，且AO ⊥平面BB1C1C．
（I）证明：B1C ⊥ AB；
（II）若AC ⊥ AB1，∠CBB1 = 60?，BC = 1，求
三棱柱ABC –A1B1C1高．O
A
B
C
A1
B1
C1
20.（12分）
已知点P(2,2)，圆C : x2 +y2 ?8y = 0，过点P的动直线l与圆C交于A, B两点，线段AB
的中点为M，O为坐标原点．
（I）求M的轨迹方程；
（II）当|OP| = |OM|时，求l的方程及△POM的面积．
21.（12分）
设函数f(x) = alnx + 1?a2 x2 ?bx(a 1)，曲线y = f(x)在点 1,f(1) 处的切线斜率为0．
（I）求b；
（II）若存在x0 ? 1，使得f(x0) < aa?1，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分。
22. [选修4–1：几何证明选讲]（10分）
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB
的延长线与DC的延长线交于点E，且CB = CE．
（I）证明：∠D = ∠E；
（II）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，
且MB = MC，证明：△ADE为等边三角形．
A B
C
D
E
M
O
23. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线C : x
2
4 +
y2
9 = 1，直线l :
§x = 2 + t,
y = 2?2t,（t为参数）．
（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（II）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30?的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
24. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知a > 0, b > 0，且1a + 1b =
√
ab．
（I）求a3 + b3的最小值；
（II）是否存在a, b，使得2a + 3b = 6?并说明理由．
—第112页—
2014高考试题（全国卷II）理科数学使用省份：青、藏、甘、云、贵、蒙、新、宁、黑、吉
2014高考试题（全国卷II）理科数学
一、选择题：(共12个小题，每小题5分，满分60分)
1.设集合M = {0, 1, 2}, N = {x|x2 ?3x + 2 ? 0}，则M∩N=
A. {1} B. {2} C. {0,1} D. {1, 2}
2.设复数z1, z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1 = 2 + i，则z1z2 =
A. ?5 B. 5 C. ?4+i D. ?4?i
3.设向量a, b满足：|a+b| = √10，|a?b| = √6，则a·b =
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
4.钝角三角形ABC的面积是12，AB = 1, BC = √2，则AC =
A. 5 B. √5 C. 2 D. 1
5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率
是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45
6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出
的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6 cm
的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比
值为
A. 1727 B. 59
C. 1027 D. 13
7.执行右面的程序框图，如果输入的x, t均为2，则
输出的S =
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
开始
输入x,t
M = 1,S = 3
k = 1
k ? t是否
M = Mk x
S = M + S
k = k + 1
输出S
结束
8.设曲线y = ax?ln(x + 1)在点(0,0)处的切线方程为y = 2x，则a =
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9.设x, y满足约束条件
8
>><
>>:
x + y ?7 ? 0
x?3y + 1 ? 0
3x?y ?5 ? 0
，则z = 2x?y的最大值为
A. 10 B. 8 C. 3 D. 2
10.设F为抛物线C : y2 = 3x的焦点，过F且倾斜角为30?的直线交C于A, B两点，O为坐标
原点，则△OAB的面积为
A. 3
√3
4 B.
9√3
8 C.
63
32 D.
9
4
11.直三棱柱ABC –A1B1C1中，∠BCA = 90?, M, N分别为A1B1, A1C1的中点，BC = CA =
CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为
A. 110 B. 25 C.
√30
10 D.
√2
2
12.设函数f(x) = √3sin πxm，若存在f(x)的极值点x0满足x20 + [f(x0)]2 < m2，则m的取值范
围是
A. (?∞, ?6)∪(6,+∞) B. (?∞, ?4)∪(4,+∞)
C. (?∞, ?2)∪(2,+∞) D. (?∞, ?1)∪(1,+∞)
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13. (x + a)10的展开式中，x7的系数为15，则a =（用数字填写答案）.
14. f(x) = sin(x + 2φ)?2sinφcos(x +φ)的最大值为.
15.已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减，f(2) = 0．若f(x?1) > 0，则x的取值范围是.
16.设点M(x0, 1)，若在圆O : x2 + y2 = 1上存在点N，使得∠OMN = 45?，则x0的取值范围
是.
—第113页—
2014高考试题（全国卷II）理科数学
三、解答题：满分70分
17. (本小题12分)
已知数列{an}满足a1 = 1, an+1 = 3an + 1．
（I）证明{an + 12}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（II）证明：1a
1
+ 1a
2
+···+ 1a
n
< 32.
18. (本小题12分)
如图，四棱锥P –ABCD中，底面ABCD为矩形，
直线PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
（I）证明：PB平面AEC
（II）设二面角D–AE–C为60?，AP = 1，AD =√
3，求三棱锥E–ACD的体积. A
B C
D
E
P
19. (本小题12分)
某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（I）求y关于t的线性回归方程；
（II）利用（I）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情
况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
?b =
nP
i=1
(ti ? ˉt)(yi ? ˉy)
nP
i=1
(ti ? ˉt)2
, ?a = ˉy ??bˉt?
20. (本小题满分12分)
设F1, F2分别是椭圆C：x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x
轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．
（I）若直线MN的斜率为34，求C的离心率；
（II）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN| = 5|F1N|，求a, b．
21. (本小题满分12分)
已知函数f(x) = ex ?e?x ?2x.
（I）讨论f(x)的单调性.
（II）设g(x) = f(2x)?4bf(x)，当x > 0时，g(x) > 0，求b的最大值.
（III）已知1.4142 < √2 < 1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. (本小题满分10分)选修4?1：几何证明选讲
如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线
PBC与⊙O相交于B, C，PC = 2PA，D为PC的中点，
AD的延长线交⊙O于点E．证明：
（I）BE = EC；
（II）AD·DE = 2PB2．
A
B
C
D
E
P O
23. (本小题满分10分)选修4?4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐
标方程为ρ = 2cosθ, θ ∈ 0, π2 ．
（I）求C的参数方程；
（II）设点D在C上，C在D处的切线与直线l : y = √3x+ 2垂直，根据（?）中你得到的参
数方程，确定D的坐标.
24. (本小题满分10分)选修4?5：不等式选讲
设函数f(x) = |x + 1a|+|x?a|(a > 0)．
（I）证明：f(x) ? 2；
（II）若f(3) < 5，求a的取值范围．
—第114页—
2014高考试题（全国卷II）文科数学使用省份：青、藏、甘、云、贵、蒙、新、宁、黑、吉
2014高考试题（全国卷II）文科数学
一、选择题：(共12个小题，每小题5分，满分60分)
1.设集合A = {?2, 0, 2}，B = {x | x2 ?x?2 = 0}，则A∩B=
A. ? B. {2} C. {0} D. {?2}
2. 1 + 3i1?i =
A. 1+2i B. ?1+2i C. 1?2i D. ?1?2i
3.函数f(x)在x = x0处导数存在，若p : f′(x0) = 0；q : x = x0是f(x)的极值点，则
A. p是q的充分必要条件
B. p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D. p既不是是q的充分条件，也不是q的必要条件
4.设向量a, b满足：|a+b| = √10，|a?b| = √6，则a·b =
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
5.等差数列{an}的公差为2，若a2, a4, a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn =
A. n(n + 1) B. n(n?1) C. n(n + 1)2 D. n(n?1)2
6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出
的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6 cm
的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比
值为
A. 1727 B. 59
C. 1027 D. 13
7.正三棱柱ABC –A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为√3，D为BC的中点，则三棱锥A-B1DC1
的体积为
A. 3 B. 32 C. 1 D.
√3
2
8.执行右面的程序框图，如果输入的x, t均为2，则
输出的S =
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
开始
输入x,t
M = 1,S = 3
k = 1
k ? t是否
M = Mk x
S = M + S
k = k + 1
输出S
结束
9.设x, y满足约束条件
(x + y ?1 ? 0
x?y ?1 ? 0
x?3y + 3 ? 0
，则z = x + 2y的最大值为
A. 8 B. 7 C. 2 D. 1
10.设F为抛物线C : y2 = 3x的焦点，过F且倾斜角为30?的直线交C于A, B两点，则|AB| =
A.
√30
3 B. 6 C. 12 D. 7
√3
11.若函数f(x) = kx?lnx在区间(1, +∞)单调递增，则k的取值范围是
A. (?∞, ?2] B. (?∞,?1] C. [2, +∞) D. [1, +∞)
12.设点M(x0, 1)，若在圆O : x2 +y2 = 1上存在点N，使得∠OMN = 45?，则x0的取值范围是
A. [?1, 1] B. [?12, 12] C. [?√2, √2] D. [?
√2
2 ,
√2
2 ]
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择一种，则他们选择相同
颜色运动服的概率为．
14.函数f(x) = sin(x +φ)?2sinφcosx的最大值为．
15.已知偶函数f(x)的图像关于直线x = 2对称，若f(3) = 3，则f(?1) =．
16.数列{an}满足an+1 = 11?a
n
，a8 = 2，则a1 =．
—第115页—
2014高考试题（全国卷II）文科数学
三、解答题：满分70分
17. (本小题12分)
四边形ABCD的内角A与C互补，AB = 1, BC = 3, CD = DA = 2．
（I）求C和BD；
（II）求四边形ABCD的面积．
18. (本小题12分)
如图，四棱锥P –ABCD中，底面ABCD为矩形，
直线PA ⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（I）证明：PB平面AEC
（II）设AP = 1, AD = √3，三棱锥P –ABD的
体积为V =
√3
4，求A到平面PBC的距离．
A
B C
D
E
P
19. (本小题12分)
某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门
的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：
甲部门乙部门
3 5 9
4 4 0 4 4 8
9 7 5 1 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9
9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 0 6 0 1 1 2 3 4 6 8 8
9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 0 7 0 0 1 1 3 4 4 9
6 6 5 5 2 0 0 8 1 2 3 3 4 5
6 3 2 2 2 0 9 0 1 1 4 5 6
10 0 0 0
（I）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
（II）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分高于90的概率；
（III）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.
20. (本小题满分12分)
设F1, F2分别是椭圆C：x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与
x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．
（I）若直线MN的斜率为34，求C的离心率；
（II）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN| = 5|F1N|，求a, b．
21. (本小题满分12分)
已知函数f(x) = x3 ?3x2 +ax+ 2，曲线y = f(x)在点(0, 2)处的切线与x轴交点的横坐标为
?2．
（I）求a；
（II）证明：当k < 1时，曲线y = f(x)与直线y = kx?2只有一个交点.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. (本小题满分10分)选修4?1：几何证明选讲
如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线
PBC与⊙O相交于B, C，PC = 2PA，D为PC的中点，
AD的延长线交⊙O于点E．证明：
（I）BE = EC；
（II）AD·DE = 2PB2．
A
B
C
D
E
P O
23. (本小题满分10分)选修4?4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐
标方程为ρ = 2cosθ, θ ∈ 0, π2 ．
（I）求C的参数方程；
（II）设点D在C上，C在D处的切线与直线l : y = √3x+ 2垂直，根据（?）中你得到的参
数方程，确定D的坐标.
24. (本小题满分10分)选修4?5：不等式选讲
设函数f(x) = |x + 1a|+|x?a|(a > 0).
（I）证明：f(x) ? 2；
（II）若f(3) < 5，求a的取值范围.
—第116页—
2013高考试题（全国卷I）理科数学使用省份：豫、冀、晋、吉、黑、新、云、蒙、宁
2013高考试题（全国卷I）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A = {x | x2 ?2x > 0}，B = {?√5 < x < √5}，则
A. A B = ? B. A B = R C. B A D. A B
2.若复数z满足(3?4i)z = |4 + 3i|，则z的虚部为
A. ?4 B. ?45 C. 4 D. 45
3.为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先
已了解该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异
不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是
A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层成员D.系统抽样
4.已知双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0, b > 0)的离心率为
√5
2，则C的渐近线方程为
A. y = ±14x B. y = ±13x C. y = ±12x D. y = ±x
5.执行右面的程序框图，如果输入的t ∈ [?1, 3]，则
输出的s属于
A. [?3,4]
B. [?5,2]
C. [?4,3]
D. [?2,5]
开始
输入t
t < 1是
s = 3t
否
s = 4t?t2
输出s
结束
6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器
高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面
恰好接触水面时测得水深6cm，如果不计容器厚度，则
球的体积为
A·500π3 cm3 B·864π3 cm3
C·1372π3 cm3 D·2048π3 cm3
7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm?1 = ?2，Sm = 0，Sm+1 = 3，则m=
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的
体积为
A. 16 + 8π
B. 8 + 8π
C. 16 + 16π
D. 8 + 16π
4
2
4
2
9.设m为正整数，(x + y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x + y)2m+1展开式的二项式系
数的最大值为b，若13a = 7b，则m =
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10.已知椭圆E : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的右焦点为F(1,0)，过F的直线交E于A, B两点．若AB的中点坐标为(1,?1)，则E的方程为
A. x
2
45 +
y2
36 = 1 B.
x2
36 +
y2
27 = 1 C.
x2
27 +
y2
18 = 1 D.
x2
18 +
y2
9 = 1
11.已知函数f(x) =
§?x2 + 2x, x ? 0,
ln(x + 1), x > 0.，若|f(x)|? ax，则a的取值范围是
A. (?∞,0] B. (?∞,1] C. [?2,1] D. [?2,0]
12.设△AnBnCn的三边长分别为an, bn, cn，面积为Sn，n = 1,2,···若b1 > c1, b1 + c1 =
2a1, bn+1 = an + cn2 , cn?1 = an + bn2，则
A. {Sn}为递减数列B. {Sn}为递增数列
C. {S2n?1}为递增数列，{S2n}为递减数列D. {S2n?1}为递减数列，{S2n}为递增数列
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.已知两个单位向量a, b的夹角为60?，c = ta+ (1?t)b，若b·c = 0，则实数t=．
14.若数列{an}的前n项和为Sn = 23an + 13，则该数列的通项公式是an =．
15.设当x = θ时，函数f(x) = sinx?2cosx取得最大值，则cosθ =．
16.若函数f(x) = (1?x2)(x2 +ax+b)的图像关于直线x = ?2对称，则f(x)的最大值是．
—第117页—
2013高考试题（全国卷I）理科数学
三、解答题：满分70分
17. ( 12分)
在△ABC中，∠ABC = 90?，AB = √3, BC = 1，P
为△ABC内一点，且∠BPC = 90?．
（I）若PB = 12，求PA；
（II）若∠APB = 150?，求tan∠PBA．
A B
C
P
18. ( 12分)
如图，三棱柱ABC –A1B1C1中，CA = CB, AB =
AA1，∠BAA1 = 60?．
（I）证明：AB ⊥ A1C；
（II）若平面ABC ⊥平面AA1B1B，且BA = BC，
求直线A1C与平面BB1C1C所成的角的正弦值．
A
B
C
A1
B1
C1
19. ( 12分)
一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优
质品的件数记为n．如果n = 3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过
检验；如果n = 4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况
下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否
为优质品相互独立．
（I）求这批产品通过检验的概率；
（II）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检
验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
20. ( 12分)
已知圆M : (x + 1)2 + y2 = 1，圆N : (x? 1)2 + y2 = 9，动圆P与圆M外切并且与圆N内
切，圆心P的轨迹为曲线C．
（I）求C的方程；
（II）l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A, B两点，当圆P的半径最长时，
求|AB|．
21. ( 12分)
已知函数f(x) = x2 + ax + b，g(x) = ex(cx + d)．若曲线y = f(x)和曲线y = g(x)都过点
P(0,2)，且在点P处由相同的切线y = 4x + 2．
（I )求a, b, c, d的值；
（II）若x ??2时，f(x) ? kg(x)，求k的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4–1：几何证明选讲]（10分）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在
圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直
BE交圆于点D．
（I）证明：DB = DC；
（II）设圆的半径为1，BC = √3，延长CE交
AB于点F，求△BCF外接圆的半径．A
B
C
D
E
F
23. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线C1的参数方程为
§x = 4 + 5cost,
y = 5 + 5sint,（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ = 2sinθ．
（I）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（II）求C1与C2交点的极坐标．
24. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) =|2x?1| + |2x + a|，g(x) = x + 3．
（I）当a = 2时，求不等式f(x) < g(x)的解集；
（II）设a > ?1，且当x ∈ ? a2, 12 时，f(x) ? g(x)，求a的取值范围．
—第118页—
2013高考试题（全国卷I）文科数学使用省份：豫、冀、晋、吉、黑、新、云、蒙、宁
2013高考试题（全国卷I）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A = {1, 2, 3, 4}，B = {x | x = n2, n ∈ A}，则A B =
A. {1, 4} B. {2, 3} C. {9, 16} D. {1, 2}
2. 1 + 2i(1?i)2=
A. ?1? 12i B. ?1 + 12i C. 1 + 12i D. 1? 12i
3.从1, 2, 3, 4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
A. 12 B. 13 C. 14 D. 16
4.已知双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0, b > 0)的离心率为
√5
2，则C的渐近线方程为
A. y = ±14x B. y = ±13x C. y = ±12x D. y = ±x
5.已知命题p : ?x ∈ R，2x < 3x；命题q : ? ∈ R，x3 = 1?x2，则下列命题中为真命题的是
A. p∧q B. ?p∧q C. p∧?q D. ?p∧?q
6.设首项为1，公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn，则
A. Sn = 2an ?1 B. Sn = 2an ?2 C. Sn = 4?3an D. Sn = 3?2an
7.执行右面的程序框图，如果输入的t ∈ [?1, 3]，则
输出的s属于
A. [?3,4]
B. [?5,2]
C. [?4,3]
D. [?2,5]
开始
输入t
t < 1是
s = 3t
否
s = 4t?t2
输出s
结束
8. O为坐标原点，F为抛物线C : y2 = 4√2x的焦点，P为C上一点，若|PF| = 4√2，则△POF
的面积为
A. 2 B. 2√2 C. 2√3 D. 4
9.函数f(x) = (1?cosx)sinx在[?π, π]的图像大致为
A. x
y
O
π
?π B. x
y
O π?π
C. x
y
O π?π D. x
y
O π?π
10.已知锐角△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，23cos2 A + cos2A = 0，a = 7, c = 6，
则b =
A. 10 B. 9 C. 8 D. 5
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的
体积为
A. 16 + 8π
B. 8 + 8π
C. 16 + 16π
D. 8 + 16π
4
2
4
2
12.已知函数f(x) =
§?x2 + 2x, x ? 0,
ln(x + 1), x > 0.，若|f(x)|? ax，则a的取值范围是
A. (?∞,0] B. (?∞,1] C. [?2,1] D. [?2,0]
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.已知两个单位向量a, b的夹角为60?，c = ta+ (1?t)b，若b·c = 0，则实数t=．
14.设x, y满足约束条件
§1 ? x ? 3
?1 ? x?y ? 0，则z = 2x?y的最大值为．
15.已知H是球O的直径AB上一点，AH : HB = 1 : 2，AB ⊥平面α，H为垂足，α截球O
所得截面的面积为π，则球O的表面积为．
16.设当x = θ时，函数f(x) = sinx?2cosx取得最大值，则cosθ =．
—第119页—
2013高考试题（全国卷I）文科数学
三、解答题：满分70分
17. ( 12分)
已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3 = 0，S5 = ?5．
（I）求{an}的通项公式；
（II）求数列
n 1
a2n?1a2n+1
o
的前n项和．
18. ( 12分)
为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药、B药）的疗效，随机选取20位患者服用A药，
20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h），实
验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（I）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（II）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
A药B药
0.
1.
2.
3.
19. ( 12分)
如图，三棱柱ABC –A1B1C1中，CA =
CB, AB = AA1，∠BAA1 = 60?．
（I）证明：AB ⊥ A1C；
（II）若AB = CB = 2，A1C = √6，求三棱柱
ABC –A1B1C1的体积．
A
B
C
A1
B1
C1
20. ( 12分)
已知函数f(x) = ex(ax+b)?x2?4x，曲线y = f(x)在点 0,f(0) 处的切线方程为y = 4x+4．
（I )求a, b的值；
（II）讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
21. ( 12分)
已知圆M : (x+ 1)2 +y2 = 1，圆N : (x?1)2 +y2 = 9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，
圆心P的轨迹为曲线C．
（I）求C的方程；
（II）l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A, B两点，当圆P的半径最长时，
求|AB|．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4–1：几何证明选讲]（10分）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在
圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直
BE交圆于点D．
（I）证明：DB = DC；
（II）设圆的半径为1，BC = √3，延长CE交
AB于点F，求△BCF外接圆的半径．A
B
C
D
E
F
23. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线C1的参数方程为
§x = 4 + 5cost,
y = 5 + 5sint,（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ = 2sinθ．
（I）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（II）求C1与C2交点的极坐标．
24. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) =|2x?1| + |2x + a|，g(x) = x + 3．
（I）当a = 2时，求不等式f(x) < g(x)的解集；
（II）设a > ?1，且当x ∈ ? a2, 12 时，f(x) ? g(x)，求a的取值范围．
—第120页—
2013高考试题（全国卷II）理科数学使用省份：黔、甘、青、藏
2013高考试题（全国卷II）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M = {x | (x?1)2 < 4, x ∈ R}，N = {?1, 0, 1, 2, 3}，则M N =
A. {0, 1, 2} B. {?1, 0, 1, 2} C. {?1, 0, 2, 3} D. {0, 1, 2, 3}
2.设复数z满足(1?i)z = 2i，则z =
A. ?1 + i B. ?1?i C. 1 + i D. 1?i
3.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3 = a2 + 10a1，a5 = 9，则a1 =
A. 13 B. ?13 C. 19 D. ?19
4.已知m, n为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l满足l ⊥ m, l ⊥ n, l α, l β，则
A. α β且l α B. α ⊥ β且l ⊥ β
C. α与β相交，且交线垂直于l D. α与β相交，且交线平行于l
5.已知(1 + ax)(1 + x)5的展开式中x2的系数为5，则a =
A. ?4 B. ?3 C. ?2 D. ?1
6.执行右面的程序框图，如果输入的
N = 10，那么输出的S =
A. 1 + 12 + 13 +···+ 110
B. 1 + 12! + 13! +···+ 110!
C. 1 + 12 + 13 +···+ 111
D. 1 + 12! + 13! +···+ 111!
开始
输入N
k = 1,S = 0,T = 1
T = Tk
S = S +T
k = k + 1
k > N
是
否
输出S
结束
7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O–xyz中的坐标分别是(1,0,1), (1,1,0), (0,1,1), (0,0,0)，
画该四面体三视图的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为
A. B. C. D.
8.设a = log3 6，b = log5 10，c = log7 14，则
A. c > b > a B. b > c > a C. a > c > b D. a > b > c
9.已知a > 0，x,y满足约束条件
8
<
:
x ? 1
x + y ? 3
y ? a(x?3)
，若z = 2x + y的最小值为1，则a =
A. 14 B. 12 C. 1 D. 2
10.已知函数f(x) = x3 + ax2 + bx + c，下列结论中错误的是
A. ?x0 ∈ R，f(x0) = 0
B.函数y = f(x)的图像是中心对称图形
C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(?∞, x0)单调递减
D.若x0是f(x)的极小值点，则f′(x0) = 0
11.设抛物线C : y2 = 2px(p > 0)的焦点为F，点M在C上，|MF| = 5，若以MF为直径的圆
过点(0,2)，则C的方程为
A. y2 = 4x或y2 = 8x B. y2 = 2x或y2 = 8x
C. y2 = 4x或y2 = 16x D. y2 = 2x或y2 = 16x
12.已知点A(?1,0), B(1,0), C(0,1)，直线y = ax + b(a > 0)将△ABC分割为面积相等的两部
分，则b的取值范围是
A. (0, 1) B. 1?
√2
2 ,
1
2
C. 1? √2
2 ,
1
3
D. 1
3,
1
2
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则# ?AE · # ?BD =．
14.从n个正整数1, 2, ··· , n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，
则n =．
—第121页—
2013高考试题（全国卷II）理科数学
15.设θ为第二象限角，若tan θ + π4 = 12，则sinθ + cosθ =．
16.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10 = 0, S15 = 25，则nSn的最小值为．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，第
22～24题为选考题，考生根据要求作答。
17. ( 12分)
△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知a = bcosC + csinB．
（I）求B；
（II）若b = 2，求△ABC面积的最大值．
18. ( 12分)
如图，直棱柱ABC –A1B1C1中，D, E分别是
AB, BB1的中点，AA1 = AC = CB =
√2
2 AB．（I）证明：BC
1平面A1CD；
（II）求二面角D–A1C –E的正弦值．
A
B
C
A1 C1
D
E
19.（12分）
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售
出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损
300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频
率分布直方图，如右图所示，经销商为下一个销售季度
购进了130t该农产品。以X（单位：t，100 ? X ? 150）
表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表
示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
频率/组距
X
100 110 120 130 140 150
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
（I）将T表示为X的函数；
（II）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
（III）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的
频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若X ∈ [100,110)，则取X = 105，且X = 105的概
率等于需求量落入[100,110)概率），求利润T的数学期望.
20. ( 12分)
过椭圆M : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的右焦点的直线x + y ?
√3 = 0交M于A, B两点，P为
AB的中点，且OP的斜率为12．
（I）求M的方程；
（II）C, D为M上的两点，若四边形ABCD的对角线CD ⊥ AB，求四边形ABCD面积的最大值．
21. ( 12分)
已知函数f(x) = ex ?ln(x + m)．
（I）设x = 0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
（II）当m ? 2时，证明：f(x) > 0．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4–1：几何证明选讲]（10分）
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交
直线CD于点D．E、F分别为弦AB与弦AC上的点，若
BC · AE = DC · AF，且B, E, F, C四点共圆．
（I）证明：CA是△ABC外接圆的直径；
（II）若DB = BE = EA，求过B, E, F, C四点的圆
的面积与△ABC外接圆面积的比值．AB
C
D E
F
23. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
已知P, Q都在曲线C :
§x = 2cost,
y = 2sint,（t为参数）上，对应参数分别为t = α与t = 2α(0 <
α < 2π)，M为PQ的中点．
（I）求M的轨迹的参数方程；
（II）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
24. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
设a, b, c均为正数，且a + b + c = 1，证明：
（I）ab + bc + ac ? 13；
（II）a
2
b +
b2
c +
c2
a ? 1．
—第122页—
2013高考试题（全国卷II）文科数学使用省份：黔、甘、青、藏
2013高考试题（全国卷II）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M = {x | ?3 < x < 4}，N = {?3, ?2, ?1, 0, 1}，则M N =
A. {?2, ?1, 0, 1} B. {?3, ?2, ?1, 0} C. {?2, ?1, 0} D. {?3, ?2, ?1}
2.
2
1 + i
=
A. 2√2 B. 2 C. √2 D. 1
3.设x,y满足约束条件
8<
:
x?y + 1 ? 1
x + y + 1 ? 3
x ? 3
，则z = 2x?3y的最小值是
A. ?7 B. ?6 C. ?5 D. ?3
4. △ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知b = 2, B = π6, C = π4，则△ABC的面积
为
A. 2√3 + 2 B. √3 + 1 C. 2√3?2 D. √3?1
5.设椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF1 ⊥ PF2，∠PF
1F2 = 30?，则C的离心率为
A.
√6
6 B.
1
3 C.
1
2 D.
√3
3
6.已知sin2α = 23，则cos2 α + π4 =
A. 16 B. 13 C. 12 D. 23
7.执行右面的程序框图，如果输入的N = 4，那么
输出的S =
A. 1 + 12 + 13 + 14
B. 1 + 12 + 13×2 + 14×3×2
C. 1 + 12 + 13 + 14 + 15
D. 1 + 12 + 13×2 + 14×3×2 + 15×4×3×2
开始
输入N
k = 1,S = 0,T = 1
T = Tk
S = S +T
k = k + 1
k > N
是
否
输出S
结束
8.设a = log3 2，b = log5 2，c = log2 3，则
A. a > c > b B. b > c > a C. c > b > a D. c > a > b
9.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O–xyz中的坐标分别是(1,0,1), (1,1,0), (0,1,1), (0,0,0)，
画该四面体三视图的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为
A. B. C. D.
10.设抛物线C : y2 = 4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A, B两点．若|AF| = 3|BF|，则
l的方程为
A. y = x?1或y = ?x + 1 B. y =
√3
3 (x?1)或y = ?
√3
3 (x?1)
C. y = √3(x?1)或y = ?√3(x?1) D. y =
√2
2 (x?1)或y = ?
√2
2 (x?1)
11.已知函数f(x) = x3 + ax2 + bx + c，下列结论中错误的是
A. ?x0 ∈ R，f(x0) = 0
B.函数y = f(x)的图像是中心对称图形
C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(?∞, x0)单调递减
D.若x0是f(x)的极小值点，则f′(x0) = 0
12.若存在正数x，使2x(x?a) < 1成立，则a的取值范围是
A. (?∞,+∞) B. (?2,+∞) C. (0,+∞) D. (?1,+∞)
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.从1, 2, 3, 4, 5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是．
14.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则# ?AE · # ?BD =．
15.已知正四棱锥O–ABCD的体积为3
√2
2，底面边长为
√3，则以O为球心，OA为半径的球的
表面积为．
—第123页—
2013高考试题（全国卷II）文科数学
16.函数y = cos(2x + φ)(?π ? φ < π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y = sin 2x + π2 的
图像重合，则φ =．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，第
22～24题为选考题，考生根据要求作答。
17. ( 12分)
已知等差数列{an}是公差不为零，a1 = 25，且a1, a11, a13成等比数列．
（I）求{an}的通项公式；
（II）若a1 + a4 + a7 +···+ a3n?2．
18. ( 12分)
如图，直棱柱ABC –A1B1C1中，D, E分别是AB, BB1
的中点，AA1 = AC = CB =
√2
2 AB．（I）证明：BC
1平面A1CD；
（II）求三棱锥C –A1DE的体积．
A
B
C
A1 C1
D
E
19.（12分）
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售
出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损
300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频
率分布直方图，如右图所示，经销商为下一个销售季度
购进了130t该农产品。以X（单位：t，100 ? X ? 150）
表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表
示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
频率/组距
X
100 110 120 130 140 150
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
（I）将T表示为X的函数；
（II）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
20. ( 12分)
已知圆P在x轴上截得线段长为2√2，在y轴上截得线段长为2√3．
（I）求圆心P的轨迹方程；
（II）若P点到直线y = x的距离为
√2
2，求圆P的方程．
21. ( 12分)
已知函数f(x) = x2e?x．
（I）求f(x)的极大值和极小值；
（II）当曲线y = f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x上截距的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4–1：几何证明选讲]（10分）
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交
直线CD于点D．E、F分别为弦AB与弦AC上的点，若
BC · AE = DC · AF，且B, E, F, C四点共圆．
（I）证明：CA是△ABC外接圆的直径；
（II）若DB = BE = EA，求过B, E, F, C四点的圆
的面积与△ABC外接圆面积的比值．AB
C
D E
F
23. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
已知P, Q都在曲线C :
§x = 2cost,
y = 2sint,（t为参数）上，对应参数分别为t = α与t = 2α(0 <
α < 2π)，M为PQ的中点．
（I）求M的轨迹的参数方程；
（II）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
24. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
设a, b, c均为正数，且a + b + c = 1，证明：
（I）ab + bc + ac ? 13；
（II）a
2
b +
b2
c +
c2
a ? 1．
—第124页—
2013高考试题全国卷（大纲版）理科数学使用省份：桂
2013高考试题全国卷（大纲版）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A = {1,2,3}，B = {4,5}，则M = {x | x = a + b,a ∈ A,b ∈ B}，则M中的元素个
数为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. (1 +√3i)3 =
A. ?8 B. 8 C. ?8i D. 8i
3.已知向量m = (λ + 1,1), n = (λ + 2,2)，若(m+n) ⊥ (m?n)，则λ =
A. ?4 B. ?3 C. ?2 D. ?1
4.已知函数f(x)的定义域为(?1,0)，则函数f(2x + 1)的定义域为
A. (?1,1) B. ?1,?12 C. (?1,0) D. 12,1
5.函数f(x) = log2 1 + 1x (x > 0)的反函数f?1(x) =
A. 12x ?1(x > 0) B. 12x ?1(x 0) C. 2x ?1(x ∈ R) D. 2x ?1(x > 0)
6.已知数列{an}满足3an+1 + an = 0，a2 = ?43，则{an}的前10项和等于
A. ?6 1?3?10 B. 19 1?310 C. 3 1?3?10 D. 3 1 + 3?10
7. (1 + x)8(1 + y)4的展开式中x2y2的系数是
A. 56 B. 84 C. 112 D. 168
8.椭圆C : x
2
4 +
y2
3 = 1的左、右顶点分别为A1, A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围
是[?2,?1]，那么直线PA1斜率的取值范围是
A.
1
2,
3
4
B.
3
8,
3
4
C.
1
2,1
D.
3
4,1
9.若函数f(x) = x2 + ax + 1x在 12,+∞ 是增函数，则a的取值范围是
A. [?1,0] B. [?1,+∞] C. [0,3] D. [3,+∞]
10.已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1 = 2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等
于
A. 23 B.
√3
3 C.
√2
3 D.
1
3
11.已知抛物线C : y2 = 8x与点M(?2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A, B两点．
若# ?MA · # ?MB = 0，则k =
A. 12 B.
√2
2 C.
√2 D. 2
12.已知函数f(x) = cosxsin2x，下列结论中错误的是
A. y = f(x)的图像关于点(π,0)中心对称B. y = f(x)的图像关于直线x = π2对称
C. f(x)的最大值为
√3
2 D. f(x)既是奇函数，又是周期函数
二、填空题：(共-12个小题，每小题5分，满分-60分)
13.已知α是第三象限的角，sinα = ?13，则cotα =．
14. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种．（用数字作答）
15.记不等式组
8>
><
>>:
x ? 0,
x + 3y ? 4,
3x + y ? 4.
所表示的平面区域为D．若直线y = a(x + 1)与D有公共点，则a
的取值范围是．
16.已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK = 32，且圆O与
圆K所在的平面所成的一个二面角为60?，则球O的表面积等于．
—第125页—
2013高考试题全国卷（大纲版）理科数学
三、解答题：共6道题，满分70分
17. ( 10分)
等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3 = a22，且S1, S2, S4成成等比数列，求{an}的通项公式．
18. ( 12分)
△ABC的内角A, B, C,的对边分别为a, b, c，已知(a + b + c)(a?b + c) = ac．
（I）求B；
（II）若sinAsinC =
√3?1
4，求C．
19. ( 12分)
如图，四棱锥P?ABCD中，∠ABC = ∠BAD = 90?，
BC = 2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．
（I）证明：PB ⊥ CD；
（II）求二面角A?PD?C的大小．A
BC
P
D
20. ( 12分)
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方
在下一句当裁判．设各句中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第一局甲当裁判．
（I）求第4局甲当裁判的概率；
（II）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
21. ( 12分)
已知双曲线E : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的左、右焦点分别为F1, F2，离心率为3，直线y = 2
与C的两个交点间的距离为√6．
（I）求a, b；
（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A, B两点，且|AF1| = |BF1|，证明：
|AF2|, |AB|, |BF2|成等比数列．
22. ( 12分)
已知函数f(x) = ln(1 + x)? x(1 + λx)1 + x．
（I）若x ? 0时，f(x) ? 0，求λ的最小值；
（II）设数列{an}的通项an = 1 + 12 + 13 +···+ 1n，证明：a2n ?an + 14n > ln2．
—第126页—
2013高考试题全国卷（大纲版）文科数学使用省份：桂
2013高考试题全国卷（大纲版）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.设全集U = {1,2,3,4,5}，A = {1,2}，则?UA =
A. {1,2} B. {3,4,5} C. {1,2,3,4,5} D. ?
2.已知α是第二象限角，sinα = 513，则cosα =
A. ?1213 B. ? 513 C. 513 D. 1213
3.已知向量m = (λ + 1,1), n = (λ + 2,2)，若(m+n) ⊥ (m?n)，则λ =
A. ?4 B. ?3 C. ?2 D. ?1
4.不等式|x3 ?2| < 2的解集是
A. (?1,1) B. (?2,2) C. (?1,0) (0,1) D. (?2,0) (0,2)
5. (1 + x)8的展开式中x6的系数是
A. 28 B. 56 C. 112 D. 224
6.函数f(x) = log2 1 + 1x (x > 0)的反函数f?1(x) =
A. 12x ?1(x > 0) B. 12x ?1(x 0) C. 2x ?1(x ∈ R) D. 2x ?1(x > 0)
7.已知数列{an}满足3an+1 + an = 0，a2 = ?43，则{an}的前10项和等于
A. ?6 1?3?10 B. 19 1?310 C. 3 1?3?10 D. 3 1 + 3?10
8.已知F1(?1,0), F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A, B两点，
且|AB| = 3，则C的方程为
A. x
2
2 + y
2 = 1 B. x
2
3 +
y2
2 = 1 C.
x2
4 +
y2
3 = 1 D.
x2
5 +
y2
4 = 1
9.函数y = sin(ωx + φ)(ω > 0)的部分图像如图，则ω =
x
y
x0
y0
?y0
x0+π4
O
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
10.已知曲线y = x4 + ax2 + 1在点(?1,a + 2)处切线的斜率为8，则a =
A. 9 B. 6 C. ?9 D. ?6
11.已知正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AA1 = 2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等
于
A. 23 B.
√3
3 C.
√2
3 D.
1
3
12.已知抛物线C : y2 = 8x与点M(?2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A, B两点．
若# ?MA · # ?MB = 0，则k =
A. 12 B.
√2
2 C.
√2 D. 2
二、填空题：(共-12个小题，每小题5分，满分-60分)
13.设f(x)是以2为周期的函数，且当x ∈ [1,3)时，f(x) = x?2，则f(?1) =．
14.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共
有种．（用数字作答）
15.若x, y满足约束条件
8>
><
>>:
x ? 0,
x + 3y ? 4,
3x + y ? 4.
则z = ?x + y的最小值为．
16.已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK = 32，且圆O与
圆K所在的平面所成的一个二面角为60?，则球O的表面积等于．
—第127页—
2013高考试题全国卷（大纲版）文科数学
三、解答题：共6道题，满分70分
17. ( 10分)
等差数列{an}中，a7 = 4，a19 = 2a9．
（I）求{an}的通项公式；
（II）设bn = 1na
n
，求数列{bn}的前n项和为Sn．
18. ( 12分)
△ABC的内角A, B, C,的对边分别为a, b, c，已知(a + b + c)(a?b + c) = ac．
（I）求B；
（II）若sinAsinC =
√3?1
4，求C．
19. ( 12分)
如图，四棱锥P–ABCD中，∠ABC = ∠BAD = 90?，
BC = 2AD，△PAB和△PAD都是边长为2的等边三
角形．
（I）证明：PB ⊥ CD；
（II）求点A到平面PCD的距离．A
BC
P
D
20. ( 12分)
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的
一方在下一句当裁判．设各句中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第一局甲当裁判．
（I）求第4局甲当裁判的概率；
（II）求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．
21. ( 12分)
已知函数f(x) = x3 + 3ax2 + 3x + 1．
（I）当a = ?√2时，讨论f(x)的单调性；
（II）若x ∈ [2,+∞)时，f(x) ? 0，求a的取值范围．
22. ( 12分)
已知双曲线E : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的左、右焦点分别为F1, F2，离心率为3，直线y = 2
与C的两个交点间的距离为√6．
（I）求a, b；
（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A, B两点，且|AF1| = |BF1|，证明：
|AF2|, |AB|, |BF2|成等比数列．
—第128页—
2012高考试题全国卷I（新课标版）理科数学使用省份：冀、豫、宁、云、琼、新、黑、吉、陕、晋、蒙
2012高考试题全国卷I（新课标版）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {(x,y) | x ∈ A,y ∈ A,x?y ∈ A}，则B中所含元素的个数
为
A. 3 B. 6 C. 8 D. 10
2.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1
名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种
3.下面是关于复数z = 2?1 + i的四个命题：
p1 : |z| = 2 p2 : z2 = 2i p3 : z的共轭复数为1 + i p4 : z的虚部为?1
其中的真命题为
A. p2,p3 B. p1,p2 C. p2,p4 D. p3,p4
4.设F1, F2分别是椭圆E : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的左、右焦点，P为直线x =
3a
2上一点，△F
1PF2是底角为30?的等腰三角形，则E的离心率为
A. 12 B. 23 C. 34 D. 45
5.已知{an}为等比数列，a4 + a7 = 2, a5a6 = ?8，则a1 + a10 =
A. 7 B. 5 C. ?5 D. ?7
6.执行右边的程序框图，输入正整数N(N ? 2)和实数
a1,a2,··· ,aN，输出A,B，则
A. A + B为a1,a2,··· ,aN的和
B. A + B2为a1,a2,··· ,aN的算术平均数
C. A和B分别是a1,a2,··· ,aN中的最大数和最小数
D. A和B分别是a1,a2,··· ,aN中的最小数和最大数
开始
输入N，a1,a2,··· ,aN
k = 1,A = a1,B = a1
x = ak
x > A
否
x < B
否
是
B = x
k ? N
是
输出A, B
是
A = x
否
k = k + 1
结束
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的
三视图，则此几何体的体积为
A. 6 B. 9
C. 12 D. 18
8.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2 = 16x的准线交于A, B两点，
|AB| = 4√3，则C的实轴长为
A. √2 B. 2√2 C. 4 D. 8
9.已知ω > 0，函数f(x) = sin ωx + π4 在 π2,π 单调递减，则ω的取值范围是
A. 12, 54 B. 12, 34 C. 0, 12 D. (0,2]
10.已知函数f(x) = 1ln(x + 1)?x，则y = f(x)的图像大致为
A. x
y
1
1
O B. x
y
1
1
O C. x
y
1
1O D. x
y
1
1
O
11.已知三棱锥S–ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为
球O的直径，且SC = 2，则此棱锥的体积为
A.
√2
6 B.
√3
6 C.
√2
3 D.
√2
2
12.设点P在曲线y = 12ex上，点Q在曲线y = ln(2x)上，则|PQ|的最小值为
A. 1?ln2 B. √2(1?ln2) C. 1 + ln2 D. √2(1 + ln2)
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.已知向量a, b夹角为45?，且|a| = 1, |2a?b| = √10，则|b| =．
14.设x,y满足约束条件
8>
><
>>:
x?y ??1,
x + y ? 3,
x ? 0,
y ? 0.
则z = x?2y的取值范围是．
15.某一部件由三个电子元件按右图方式连接而成，元件1或
元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．
设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布
N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该
部件的使用寿命超过1 000小时的概率为．
元件1
元件2
元件3
—第129页—
2012高考试题全国卷I（新课标版）理科数学
16.数列{an}满足an+1 + (?1)nan = 2n?1，则{an}的前60项和为．
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c．已知acosC +√3asinC ?b?c = 0．
（I）求A；
（II）若a = 2，△ABC的面积为√3，求b, c．
18. ( 12分)
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当
天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（I）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，
n ∈ N）的函数解析式；
（II）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数10 20 16 16 15 13 10
以这100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望
及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
19. ( 12分)
如图，直三棱柱ABC –A1B1C1中，AC = BC = 12AA1，
D是棱AA1的中点，DC1 ⊥ BD．
（I）证明：DC1 ⊥ BC；
（II）求二面角A1 –BD–C1的大小．
A
B
C
A1
B1C1
D
20. ( 12分)
设抛物线C : x2 = 2py(p > 0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA
为半径的圆F交l于B, D两点．
（I）若∠BFD = 90?，△ABD的面积为4√2，求p的值及圆F的方程；
（II）若A, B, F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐
标原点到m, n距离的比值．
21. ( 12分)
已知f(x)满足：f(x) = f′(1)ex?1 ?f(0)x + 12x2.
（I）求f(x)的解析式及单调区间；
（II）若f(x) ? 12x2 + ax + b，求(a + 1)b的最大值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分。
22. [选修4–1：几何证明选讲]（10分）
如图，D, E分别为△ABC边AB, AC的中点，直线
DE交△ABC的外接圆与F, G两点．若CF AB，证明：
（I）证明：CD = BC；
（II）△BCD △GBD．
A
B C
D E FG
23. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线C1的参数方程是
§x = 2cosφ,
y = 3sinφ,（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ = 2．正方形ABCD的顶点都在C2上，且A, B, C, D
依逆时针次序排列，点A的极坐标为 2, π3 ．
（I）求点A, B, C, D的直角坐标；
（II）设P为C1上任意一点，求|PA|2 +|PB|2 +|PC|2 +|PD|2的取值范围．
24. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) = |x + a|+|x?2|．
（I）当a = ?3时，求不等式f(x) ? 3的解集；
（II）若f(x) ?|x?4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
—第130页—
2012高考试题全国卷I（新课标版）文科数学使用省份：冀、豫、宁、云、琼、新、黑、吉、陕、晋、蒙
2012高考试题全国卷I（新课标版）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A = {x | x2 ?x?2 < 0}，B = {x | ?1 < x < 1}，则
A. A B B. B A C. A = B D. A B = ?
2.复数z = ?3 + i2 + i的共轭复数是
A. 2 + i B. 2?i C. ?1 + i D. ?1?i
3.在一组样本数据(x1,y1), (x2,y2), ··· , (xn,yn)（n ? 2, x1,x2,··· ,xn不全相等）的散点图中，
若所有样本点(xi,yi)(i = 1,2,··· ,n)都在直线y = 12x + 1上，则这组样本数据的样本相关系
数为
A. ?1 B. 0 C. 12 D. 1
4.设F1, F2分别是椭圆E : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的左、右焦点，P为直线x =
3a
2上一点，△F
1PF2是底角为30?的等腰三角形，则E的离心率为
A. 12 B. 23 C. 34 D. 45
5.已知正三角形ABC的顶点为A(1,1), B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x,y)在△ABC内
部，则z = ?x + y的取值范围是
A. (1?√3,2) B. (0,2) C. (√3?1,2) D. (0,1 +√3)
6.执行右边的程序框图，输入正整数N(N ? 2)和实数
a1,a2,··· ,aN，输出A,B，则
A. A + B为a1,a2,··· ,aN的和
B. A + B2为a1,a2,··· ,aN的算术平均数
C. A和B分别是a1,a2,··· ,aN中的最大数和最小数
D. A和B分别是a1,a2,··· ,aN中的最小数和最大数
开始
输入N，a1,a2,··· ,aN
k = 1,A = a1,B = a1
x = ak
x > A
否
x < B
否
是
B = x
k ? N
是
输出A, B
是
A = x
否
k = k + 1
结束
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的
三视图，则此几何体的体积为
A. 6 B. 9
C. 12 D. 18
8.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为√2，则此球的体积为
A. √6π B. 4√3π C. 4√6π D. 6√3π
9.已知ω > 0, 0 < φ < π，直线x = π4和x = 5π4是函数f(x) = sin(ωx + φ)图像的两条相邻的
对称轴，则φ =
A. π4 B. π3 C. π2 D. 3π4
10.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2 = 16x的准线交于A, B两点，
|AB| = 4√3，则C的实轴长为
A. √2 B. 2√2 C. 4 D. 8
11.当0 < x ? 12时，4x < loga x，则a的取值范围是
A. 0,
√2
2
B. √2
2 ,1
C. 1,√2 D. √2,2
12.数列{an}满足an+1 + (?1)nan = 2n?1，则{an}的前60项和为
A. 3690 B. 3660 C. 1845 D. 1830
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.曲线y = x(3lnx + 1)在点(1,1)处的切线方程为．
14.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3 + 3S2 = 0，则公比q =．
15.已知向量a, b夹角为45?，且|a| = 1, |2a?b| = √10，则|b| =．
16.设函数f(x) = (x + 1)
2 + sinx
x2 + 1的最大值为M，最小值为m，则M + m =．
—第131页—
2012高考试题全国卷I（新课标版）文科数学
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c．已知c = √3asinC ?ccosA．
（I）求A；
（II）若a = 2，△ABC的面积为√3，求b, c．
18. ( 12分)
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当
天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（I）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，
n ∈ N）的函数解析式；
（II）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数10 20 16 16 15 13 10
（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）；
（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以这100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，
求当天的利润不少于75元的概率．
19. ( 12分)
如图，三棱柱ABC –A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB =
90?，AC = BC = 12AA1，D是棱AA1的中点．
（I）证明：平面BDC1 ⊥ BDC；
（II）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
A
B
C
A1
B1C1
D
20. ( 12分)
设抛物线C : x2 = 2py(p > 0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA
为半径的圆F交l于B, D两点．
（I）若∠BFD = 90?，△ABD的面积为4√2，求p的值及圆F的方程；
（II）若A, B, F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐
标原点到m, n距离的比值．
21. ( 12分)
设函数f(x) = ex ?ax?2．
（I）求f(x)的单调区间；
（II）若a = 1，k为整数，且当x > 0时，(x?k)f′(x) + x + 1 > 0，求k的最大值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分。
22. [选修4–1：几何证明选讲]（10分）
如图，D, E分别为△ABC边AB, AC的中点，直线
DE交△ABC的外接圆与F, G两点．若CF AB，证明：
（I）证明：CD = BC；
（II）△BCD △GBD．
A
B C
D E FG
23. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线C1的参数方程是
§x = 2cosφ,
y = 3sinφ,（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ = 2．正方形ABCD的顶点都在C2上，且A, B, C, D
依逆时针次序排列，点A的极坐标为 2, π3 ．
（I）求点A, B, C, D的直角坐标；
（II）设P为C1上任意一点，求|PA|2 +|PB|2 +|PC|2 +|PD|2的取值范围．
24. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x) = |x + a|+|x?2|．
（I）当a = ?3时，求不等式f(x) ? 3的解集；
（II）若f(x) ?|x?4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
—第132页—
2012高考试题全国卷II（大纲版）理科数学使用省份：桂、贵、甘、青、藏
2012高考试题全国卷II（大纲版）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.复数?1 + 3i1 + i =
A. 2 + i B. 2?i C. 1 + 2i D. 1?2i
2.已知集合A = {1, 3, √m}，B = {1, m}，A B = A，则m =
A. 0或√3 B. 0或3 C. 1或√3 D. 1或3
3.椭圆是中心在原点，焦距为4，一条准线为x = ?4，则该椭圆的方程为
A. x
2
16 +
y2
12 = 1 B.
x2
16 +
y2
8 = 1 C.
x2
8 +
y2
4 = 1 D.
x2
12 +
y2
4 = 1
4.已知正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB = 2, CC1 = 2√2，E为CC1的中点，则直线AC1
与平面BED的距离为
A. 2 B. √3 C. √2 D. 1
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5 = 5, S5 = 15，则数列
n 1
anan+1
o
的前100项和为
A. 100101 B. 99101 C. 99100 D. 101100
6. △ABC中，AB边的高为CD．# ?CB = a, # ?CA = b，a·b = 0，|a| = 1, |b| = 2，则# ?AD =
A. 13a? 13b B. 23a? 23b C. 35a? 35b D. 45a? 45b
7.已知α为第二象限的角，sinα + cosα =
√3
3，则cos2α =
A. ?
√5
3 B. ?
√5
9 C.
√5
9 D.
√5
3
8.已知F1, F2为双曲线C : x2 ? y2 = 2的左、右焦点，点P在C上，|PF1| = 2|PF2|，则
cos∠F1PF2 =
A. 14 B. 35 C. 34 D. 45
9.已知x = lnπ，y = log5 2，z = e?12，则
A. x < y < z B. z < x < y C. z < y < x D. y < z < x
10.已知函数y = x3 ?3x + c的图像与x轴恰有两个公共点，则c =
A. ?2或2 B. ?9或3 C. ?1或1 D. ?3或1
11.将字母a,a,b,b,c,c随机排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则
不同的排列方法共有
A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种
12.正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE = BF = 37，动点P从
E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第
一次碰到E时，P与正方形的边碰撞次数为
A. 16 B. 14 C. 12 D. 10
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.若x, y满足约束条件
8>
<
>:
x?y + 1 ? 0,
x + y ?3 ? 0,
x + 3y ?3.
则z = 3x?y的最小值为．
14.当函数y = sinx?√3cosx(0 ? x ? 2π)取得最大值时，x =．
15.若 x + 1x n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数
为．
—第133页—
2012高考试题全国卷II（大纲版）理科数学
16.三棱柱ABC –A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1 = ∠CAA1 = 60?，则异面直线
AB1与BC1所成角的余弦值为．
三、解答题：共6个小题，共70分
17. ( 10分)
△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c．已知cos(A?C) + cosB = 1，a = 2c，求C．
18. ( 12分)
如图，四棱锥P –ABCD中，底面ABCD为菱形，
PA ⊥底面ABCD，AC = 2√2, PA = 2，E是PC上
的一点，且PE = 2EC．
（I）证明：PC ⊥平面BED；
（II）设二面角A–PB–C为90?，求PD与平面
PBC所成角的大小．
A
B
C
P
E
D
19. ( 12分)
乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球
2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得
1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（I）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（II）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．
20. ( 12分)
设函数f(x) = ax + cosx，x ∈ [0,π]．
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）设f(x) ? 1 + sinx，求a的取值范围．
21. ( 12分)
已知抛物线C : y = (x + 1)2与圆M : (x?1)2 + (y ? 12 )2 = r2 (r > 0)有一个公共点A，且在
A处两曲线的切线为同一直线l．
（I）求r；
（II）设m, n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离．
22. ( 12分)
函数f(x) = x2 ?2x?3，定义数列{xn}如下：x1 = 2，xn+1是过两点P(4,5), Qn xn,f(xn)
的直线PQn与x轴的交点横坐标．
（I）证明：2 ? xn < xn+1 < 3；
（II）求数列{xn}的通项公式．
—第134页—
2012高考试题全国卷II（大纲版）文科数学使用省份：桂、贵、甘、青、藏
2012高考试题全国卷II（大纲版）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A = {x | x是平行四边形}，B = {x | x是矩形}，C = {x | x是正方形}，
D = {x | x是菱形}，则
A. A B B. C B C. D C D. A D
2.函数y = √x + 1(x ??1)的反函数为
A. y = x2 ?1(x ? 0) B. y = x2 ?1(x ? 1) C. y = x2 + 1(x ? 0) D. y = x2 + 1(x ? 0)
3.若函数f(x) = sin x +φ3 (φ ∈ [0,2π])是偶函数，则φ =
A. π2 B. 2π3 C. 3π2 D. 5π3
4.已知α为第二象限的角，sinα = 35，则sin2α =
A. ?2425 B. ?1225 C. 1225 D. 2425
5.椭圆是中心在原点，焦距为4，一条准线为x = ?4，则该椭圆的方程为
A. x
2
16 +
y2
12 = 1 B.
x2
16 +
y2
8 = 1 C.
x2
8 +
y2
4 = 1 D.
x2
12 +
y2
4 = 1
6.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1 = 1，Sn = 2an+1，则Sn =
A. 2n?1 B.
3
2
n?1
C.
2
3
n?1
D. 12n?1
7. 6为选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有
A. 240种B. 360种C. 480种D. 720种
8.已知正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB = 2, CC1 = 2√2，E为CC1的中点，则直线AC1
与平面BED的距离为
A. 2 B. √3 C. √2 D. 1
9. △ABC中，AB边的高为CD．# ?CB = a, # ?CA = b，a·b = 0，|a| = 1, |b| = 2，则# ?AD =
A. 13a? 13b B. 23a? 23b C. 35a? 35b D. 45a? 45b
10.已知F1, F2为双曲线C : x2 ? y2 = 2的左、右焦点，点P在C上，|PF1| = 2|PF2|，则
cos∠F1PF2 =
A. 14 B. 35 C. 34 D. 45
11.已知x = lnπ，y = log5 2，z = e?12，则
A. x < y < z B. z < x < y C. z < y < x D. y < z < x
12.正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE = BF = 13，动点P从
E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第
一次碰到E时，P与正方形的边碰撞次数为
A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13. x + 12x 8的展开式中x2的系数是．
14.若x, y满足约束条件
8>
<
>:
x?y + 1 ? 0,
x + y ?3 ? 0,
x + 3y ?3.
则z = 3x?y的最小值为．
15.当函数y = sinx?√3cosx(0 ? x ? 2π)取得最大值时，x =．
—第135页—
2012高考试题全国卷II（大纲版）文科数学
16.已知正方体ABCD–A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与
D1F所成角的余弦值为．
三、解答题：共6个小题，共70分
17. ( 10分)
△ABC中，内角A, B, C成等差数列，其对边a, b, c满足2b2 = 3ac，求A．
18. ( 12分)
已知数列{an}中，a1 = 1，前n项和Sn = n + 23 an．
（I）求a2, a3；
（II）求{an}的通项公式．
19. ( 12分)
如图，四棱锥P –ABCD中，底面ABCD为菱形，PA ⊥
底面ABCD，AC = 2√2, PA = 2，E是PC上的一点，且
PE = 2EC．
（I）证明：PC ⊥平面BED；
（II）设二面角A–PB–C为90?，求PD与平面PBC
所成角的大小．
A
B
C
P
E
D
20. ( 12分)
乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球
2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得
1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（I）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（II）求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．
21. ( 12分)
设函数f(x) = 13x3 + x2 + ax．
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）设f(x)有两个极值点x1, x2，若过两点 x1,f(x1) , x2,f(x2) 的直线l与x轴的交点在
曲线y = f(x)上，求a的值．
22. ( 12分)
已知抛物线C : y = (x + 1)2与圆M : (x?1)2 + (y ? 12 )2 = r2 (r > 0)有一个公共点A，且在
A处两曲线的切线为同一直线l．
（I）求r；
（II）设m, n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离．
—第136页—
2011高考试题全国卷I（新课标）理科数学使用省份：冀、豫、晋、桂
2011高考试题全国卷I（新课标）理科数学
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.复数2 + i1?2i的共轭复数是
A. ?35i B. 35i C. ?i D. 2?|x|
2.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是
A. y = x3 B. y = |x|+ 1 C. y = ?x2 + 1 D. y = 2?|x|
3.执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出
的p是
A. 120
B. 720
C. 1440
D. 5040
开始
输入N
k = 1, p = 1
p = p·k
k < N
否
输出p
k = k + 1
是
结束
4.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相
同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A. 13 B. 12 C. 23 D. 34
5.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y = 2x上，则cos2θ =
A. ?45 B. ?35 C. 35 D. 45
6.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右
图所示，则相应的侧视图可以为
A. B.
C. D.
（正视图）
（俯视图）
7.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A, B两点，|AB|
为C的实轴长的2倍，则C的离心率为
A. √2 B. √3 C. 2 D. 3
8. x + ax 2x? 1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
A. ?40 B. ?20 C. 20 D. 40
9.由曲线y = √x，直线y = x?2及y轴所围成的图形的面积为
A. 103 B. 4 C. 163 D. 6
10.已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，由下列四个命题
p1 : |a+b| > 1 ?? θ ∈ 0, 2π3 p2 : |a+b| > 1 ?? θ ∈ 2π3 ,π
p3 : |a?b| > 1 ?? θ ∈ 0,π p4 : |a?b| > 1 ?? θ ∈ π3,π
其中的真命题是
A. p1, p4 B. p1, p3 C. p2, p3 D. p2, p4
11.设函数f(x) = sin(ωx + φ) + cos(ω + φ)(ω > 0,|φ| < π2)的最小正周期为π，且f(?x) = f(x)，
则
A. f(x)在 0, π2 单调递减B. f(x)在 π4, 3π4 单调递减
C. f(x)在 0, π2 单调递增D. f(x)在 π4, 3π4 单调递增
12.函数y = 11?x的图像与函数y = 2sinπx(?2 ? x ? 4)的图像所有交点的横坐标之和等于
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.若变量x, y满足约束条件
currency1
3 ? 2x + y ? 9,
6 ? x?y ? 9,则z = x + 2y的最小值为．
14.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1, F2在x轴上，离心率为
√2
2．过
F1的直线l交C于A, B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．
15.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB = 6，BC = 2√3，则棱锥
O?ABCD的体积为．
16.在△ABC中，B = 60?，AC = √3，则AB + 2BC的最大值为．
—第137页—
2011高考试题全国卷I（新课标）理科数学
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～24题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
等比数列{an}的各项均为正数，且2a1 + 3a2 = 1，a23 = 9a2a6．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设bn = log3 a1 + log3 a2 +···+ log3 an，求数列 1b
n
的前n项和．
18. ( 12分)
如图，四棱锥P ?ABCD中，底面ABCD为平行四边
形，∠DAB = 60?，AB = 2AD，PD ⊥底面ABCD．
（I）证明：PA ⊥ BD；
（II）若PD = AD，求二面角A?PB ?C的余弦值．
A B
CD
P
19. ( 12分)
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等
于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这
种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组[90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]
频数8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组[90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]
频数4 12 42 32 10
（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（II）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为
y =
8<
:
?2, t < 94,
2, 94 ? t < 102,
4, t ? 102.
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以
试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
20. ( 12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,?1)，点B在直线y = ?3上，点M满足# ?MB # ?OA，
# ?MA · # ?AB = # ?MB · # ?BA，点M的轨迹为曲线C．
（I）求C的方程；
（II）P为C上的动点，l为C在P处的切线，求O到l距离的最小值．
21. ( 12分)
已知函数f(x) = alnxx + 1 + bx，曲线y = f(x)在点 1,f(1) 处的切线方程为x + 2y ?3 = 0．
（I）求a, b的值；
（II）如果当x > 0，且x 1时，f(x) > lnxx?1 + kx，求k的取值范围．
（二）必考题：共10分。请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分。
22. [选修4–1：几何证明选讲]（10分）
如图，D, E分别为△ABC的边AB, AC上的点，且不与
△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD, AB
的长是关于x的方程x2 ?14x + mn = 0的两根．
（I）证明：C, B, D, E四点共圆；
（II）若∠A = 90?，且m = 4, n = 6，求C, B, D, E所在圆
的半径．A B
C
D
E
23. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
§x = 2cosα,
y = 2 + 2sinα.（α为参数），M是C1上的
动点，P点满足# ?OP = 2# ?OM，P点的轨迹为曲线C2．
（I）求C2的方程；
（II）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ = π3与C1的异于极点的交点
为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．
24. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
设函数f(x) = |x?a|+ 3x，其中a > 0．
（I）当a = 1时，求不等式f(x) ? 3x + 2的解集；
（II）若不等式f(x) ? 0的解集为{x | x ??1}，求a的值．
—第138页—
2011高考试题全国卷I（新课标）文科数学使用省份：冀、豫、晋、桂
2011高考试题全国卷I（新课标）文科数学
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合M = {0,1,2,3,4}，N = {1,3,5}，P = M N，则P的子集共有
A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个
2.复数5i1?2i =
A. 2?i B. 1?2i C. ?2 + i D. ?1 + 2i
3.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是
A. y = x3 B. y = |x|+ 1 C. y = ?x2 + 1 D. y = 2?|x|
4.椭圆x
2
16 +
y2
8 = 1的离心率为
A. 13 B. 12 C.
√3
3 D.
√2
2
5.执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出
的p是
A. 120
B. 720
C. 1440
D. 5040
开始
输入N
k = 1, p = 1
p = p·k
k < N
否
输出p
k = k + 1
是
结束
6.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相
同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A. 13 B. 12 C. 23 D. 34
7.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y = 2x上，则cos2θ =
A. ?45 B. ?35 C. 35 D. 45
8.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右
图所示，则相应的侧视图可以为
A. B.
C. D.
（正视图）
（俯视图）
9.设直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A, B两点，|AB| = 12，P
为C的准线上一点，则△ABP的面积为
A. 18 B. 24 C. 36 D. 48
10.在下列区间中，函数f(x) = ex + 4x?3的零点所在的区间为
A. ? 14,0 B. 0, 14 C. 14, 12 D. 12, 34
11.设函数f(x) = sin 2x + π4 + cos 2x + π4 ，则
A. y = f(x)在 0, π2 单调递增，其图像关于直线x = π4对称
B. y = f(x)在 0, π2 单调递增，其图像关于直线x = π2对称
C. y = f(x)在 0, π2 单调递减，其图像关于直线x = π4对称
D. y = f(x)在 0, π2 单调递减，其图像关于直线x = π2对称
12.已知函数y = f(x的周期为2，当x ∈ [?1,1]时，f(x) = x2，那么函数y = f(x)的图像与函数
y = |lgx|的图像的交点共有
A. 10个B. 9个C. 8个D. 1个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知a和b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a + b与向量ka ? b垂直，则
k =．
14.若变量x, y满足约束条件
currency1
3 ? 2x + y ? 9,
6 ? x?y ? 9,则z = x + 2y的最小值为．
15. △ABC中，B = 120?，AC = 7, AB = 5，则△ABC的面积为．
16.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积
是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者与体积较大者的高的比值为．
—第139页—
2011高考试题全国卷I（新课标）文科数学
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～24题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
等比数列{an}的各项均为正数，且a1 = 13，公比q = 13．
（I）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn = 1?an2；
（II）设bn = log3 a1 + log3 a2 +···+ log3 an，求数列{bn}的通项公式．
18. ( 12分)
如图，四棱锥P ?ABCD中，底面ABCD为平行四边
形，∠DAB = 60?，AB = 2AD，PD ⊥底面ABCD．
（I）证明：PA ⊥ BD；
（II）若PD = AD = 1，求棱锥D?PBC的高．
A B
CD
P
19. ( 12分)
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于
102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种
产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组[90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]
频数8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组[90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]
频数4 12 42 32 10
（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（II）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为
y =
8<
:
?2, t < 94,
2, 94 ? t < 102,
4, t ? 102.
估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均
一件的利润．
20. ( 12分)
在平面直角坐标系xOy中，曲线y = x2 ?6x + 1与坐标轴的交点都在圆C上．
（I）求圆C的方程；
（II）若圆C与直线x?y + a = 0交于A, B两点，且OA ⊥ OB，求a的值．
21. ( 12分)
已知函数f(x) = alnxx + 1 + bx，曲线y = f(x)在点 1,f(1) 处的切线方程为x + 2y ?3 = 0．
（I）求a, b的值；
（II）证明：当x > 0，且x 1时，f(x) > lnxx?1．
（二）必考题：共10分。请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做
的第一题计分。
22. [选修4–1：几何证明选讲]（10分）
如图，D, E分别为△ABC的边AB, AC上的点，且不与
△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD, AB
的长是关于x的方程x2 ?14x + mn = 0的两根．
（I）证明：C, B, D, E四点共圆；
（II）若∠A = 90?，且m = 4, n = 6，求C, B, D, E所在圆
的半径．A B
C
D
E
23. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
§x = 2cosα,
y = 2 + 2sinα.（α为参数），M是C1上的
动点，P点满足# ?OP = 2# ?OM，P点的轨迹为曲线C2．
（I）求C2的方程；
（II）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ = π3与C1的异于极点的交点
为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．
24. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
设函数f(x) = |x?a|+ 3x，其中a > 0．
（I）当a = 1时，求不等式f(x) ? 3x + 2的解集；
（II）若不等式f(x) ? 0的解集为{x | x ??1}，求a的值．
—第140页—
2011高考试题全国卷II（大纲版）理科数学使用省份：云、贵、黑、吉、甘、新、蒙、青、藏
2011高考试题全国卷II（大纲版）理科数学
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.复数z = 1 + i，ˉz为z的共轭复数，则zˉz ?z ?1 =
A. ?2i B. ?i C. i D. 2i
2.函数y = 2√x(x ? 0)的反函数为
A. y = x
2
4 (x ∈ R) B. y =
x2
4 (x ? 0) C. y = 4x
2(x ∈ R) D. y = 4x2(x ? 0)
3.下列四个条件中，使a > b成立的充分而不必要的条件是
A. a > b + 1 B. a > b?1 C. a2 > b2 D. a3 > b3
4.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1 = 1，公差d = 2，Sk+2 ?Sk = 24，则k =
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
5.设函数f(x) = cosω(ω > 0)，将f(x)的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像
重合，则ω的最小值等于
A. 13 B. 3 C. 6 D. 9
6.已知直二面角α–l–β，点A ∈ α, AC ⊥ l，C为垂足，B ∈ β, BD ⊥ l，D为垂足，若
AB = 2, AC = BD = 1，则D到平面ABC的距离等于
A.
√2
2 B.
√3
3 C.
√6
3 D. 1
7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，
则不同的赠送方法共有
A. 4种B. 10种C. 18种D. 20种
8.曲线y = e?2x + 1在点(0,2)处的切线与直线y = 0和y = x围成的三角形面积为
A. 13 B. 12 C. 23 D. 1
9.设f(x)是周期为2的奇函数，当0 ? x ? 1时，f(x) = 2x(1?x)，则f ? 25 =
A. ?12 B. ?14 C. 14 D. 12
10.已知抛物线C : y2 = 4x的焦点为F，直线y = 2x?4与C交于A, B两点，则cos∠AFB =
A. 45 B. 35 C. ?35 D. ?45
11.已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60?二面角的平面β截该球面得圆N，若
该球面半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为
A. 7π B. 9π C. 11π D. 13π
12.设向量a,b,c满足|a| = |b| = 1，a·b = ?12，?a?c,b?c? = 60?，则|c|的最大值等于
A. 2 B. √3 C. √2 D. 1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. (1?√x)20的二项展开式中，x的系数与x3的系数之差为．
14.已知α ∈ π2,π ，sinα =
√5
5，则tan2α =．
15.已知F1,F2分别为双曲线C : x
2
9 ?
y2
27 = 1的左、右焦点，点A ∈ C，点M的在坐标为(2,0)，
AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2| =．
16.已知E, F分别在正方体ABCD?A1B1C1D1的棱BB1, CC1上，且B1E = 2EB，CF = 2FC1，
则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．
—第141页—
2011高考试题全国卷II（大纲版）理科数学
三、解答题：本题共6小题，共70分
17. ( 12分)
△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知A?C = π2，a + c = √2b，求C．
18. ( 12分)
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不够卖甲种保险的概
率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（II）X表示该地的100位车主中，甲、乙两只保险都不购买的车主数，求X的期望．
19. ( 12分)
如图，四棱锥S ?ABCD中，AB CD，
BC ⊥ CD，侧面SAB为等边三角形，AB =
BC = 2，CD = SD = 1．
（I）证明：SD ⊥平面SAB；
（II）求AB与平面SBC所成角的大小．A B
CD
S
20. ( 12分)
设数列{an}满足a1 = 0，且11?a
n+1
? 11?a
n
= 1．
（I）求{an}的通项公式；
（II）设bn = 1?
√a
n+1√
n，记Sn =
nX
k=1
bk，证明Sn < 1．
21. ( 12分)
已知O为坐标原点，F为椭圆C : x2 + y
2
2 = 1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为?
√2的
直线l与C交于A, B两点，点P满足# ?OA + # ?OB + # ?OP = 0．
（I）证明：点P在C上；
（II）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A, P, B, Q四点在同一圆上．
22. ( 12分)
（I）设函数f(x) = ln(1 + x)? 2xx + 2，证明：当x > 0时，f(x) > 0．
（II）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20
次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：p < 910 19 < 1e2．
—第142页—
2011高考试题全国卷II（大纲版）文科数学使用省份：云、贵、黑、吉、甘、新、蒙、青、藏
2011高考试题全国卷II（大纲版）文科数学
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.设集合U = {1,2,3,4}，M = {1,2,3}，N = {2,3,4}，则?U(M N) =
A. {1,2} B. {2,3} C. {2,4} D. {1,4}
2.函数y = 2√x(x ? 0)的反函数为
A. y = x
2
4 (x ∈ R) B. y =
x2
4 (x ? 0) C. y = 4x
2(x ∈ R) D. y = 4x2(x ? 0)
3.设向量a, b满足|a| = |b| = 1，a·b = ?12，则|a+ 2b| =
A. √2 B. √3 C. √5 D. √7
4.若变量x,y满足约束条件
8>
><
>>:
x + y ? 6
x?3y ??2
x ? 1
，则z = 2x + 3y的最小值为
A. 17 B. 14 C. 5 D. 3
5.下列四个条件中，使a > b成立的充分而不必要的条件是
A. a > b + 1 B. a > b?1 C. a2 > b2 D. a3 > b3
6.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1 = 1，公差d = 2，Sk+2 ?Sk = 24，则k =
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
7.设函数f(x) = cosω(ω > 0)，将f(x)的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像
重合，则ω的最小值等于
A. 13 B. 3 C. 6 D. 9
8.已知直二面角α–l–β，点A ∈ α, AC ⊥ l，C为垂足，B ∈ β, BD ⊥ l，D为垂足，若
AB = 2, AC = BD = 1，则CD =
A. 2 B. √3 C. √2 D. 1
9. 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有
A. 12种B. 24种C. 30种D. 36种
10.设f(x)是周期为2的奇函数，当0 ? x ? 1时，f(x) = 2x(1?x)，则f ? 25 =
A. ?12 B. ?14 C. 14 D. 12
11.设两圆C1, C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2| =
A. 4 B. 4√2 C. 8 D. 8√2
12.已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60?二面角的平面β截该球面得圆N，若
该球面半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为
A. 7π B. 9π C. 11π D. 13π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. (1?x)10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为．
14.已知α ∈ π, 3π2 ，tanα = 2，则cosα =．
15.已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余
弦值为．
16.已知F1,F2分别为双曲线C : x
2
9 ?
y2
27 = 1的左、右焦点，点A ∈ C，点M的在坐标为(2,0)，
AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2| =．
—第143页—
2011高考试题全国卷II（大纲版）文科数学
三、解答题：本题共6小题，共70分
17. ( 12分)
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a2 = 6，6a1 + a2 = 30，求an和Sn．
18. ( 12分)
△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知asinA + csinC ?√2asinC = bsinB．
（I）求B；
（II）若A = 75?，b = 2，求a和c．
19. ( 12分)
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不够卖甲种保险的概
率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（II）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
20. ( 12分)
如图，四棱锥S ?ABCD中，AB CD，
BC ⊥ CD，侧面SAB为等边三角形，AB =
BC = 2，CD = SD = 1．
（I）证明：SD ⊥平面SAB；
（II）求AB与平面SBC所成角的大小．A B
CD
S
21. ( 12分)
已知函数f(x) = x3 + 3ax2 + (3?6a)x + 12a?4（a ∈ R）．
（I）证明：曲线y = f(x)在x = 0处的切线过点(2,2)；
（II）若f(x)在x = x0处取得极小值，且x0 ∈ (1,3)，求a的取值范围．
22. ( 12分)
已知O为坐标原点，F为椭圆C : x2 + y
2
2 = 1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为?
√2
的直线l与C交于A, B两点，点P满足# ?OA + # ?OB + # ?OP = 0．
（I）证明：点P在C上；
（II）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A, P, B, Q四点在同一圆上．
—第144页—
2010高考试题全国卷（新课标版）理科数学使用省份：黑、吉、宁、陕、琼
2010高考试题全国卷（新课标版）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A = {x |x|? 2, x ∈ R}，B = {x √x ? 4, x ∈ Z}，则A B =
A. (0,2) B. [0,2] C. {0,2} D. {0,1,2}
2.已知复数z =
√3 + i
(1?√3i)2，ˉz是z的共轭复数，则z · ˉz =
A. 14 B. 12 C. 1 D. 2
3.曲线y = xx + 2在点(?1,?1)处的切线方程为
A. y = 2x + 1 B. y = 2x?1 C. y = ?2x?3 D. y = ?2x?2
4.如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为
P0(√2,?√2)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t
的函数图像大致为
x
y
O
P
P0
A. t
d
2
O π B. t
d
√22
O 3π4 C. t
d
√22
O π4 D. t
d
2
O π4
5.已知命题
p1 :函数y = 2x ?2?x在R为增函数，
p2 :函数y = 2x + 2?x在R为减函数．
则在命题q1 : p1 ∨p2，q2 : p1 ∧p2，q3 : ?p1 ∨p2，q4 : p1 ∧?p2中，真命题是
A. q1, q3 B. q2, q3 C. q1, q4 D. q2, q4
6.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2
粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为
A. 100 B. 200 C. 300 D. 400
7.执行右边的程序框图，输入N = 5，则输出的数等于
A. 54
B. 45
C. 65
D. 56
开始
输入N
k = 1,S = 0
S = S + 1k(k + 1)
k < N
否
输出S
是
k = k + 1
结束
8.设偶函数f(x)满足f(x) = x3 ?8(x ? 0)，则{x | f(x?2) > 0} =
A. {x | x < ?2或x > 4} B. {x | x < 0或x > 4}
C. {x | x < 0或x > 6} D. {x | x < ?2或x > 2}
9.若cosα = ?45，α是第三象限的角，则
1 + tan α2
1?tan α2
=
A. ?12 B. 12 C. 2 D. ?2
10.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的面积为
A. πa2 B. 73πa2 C. 113 πa2 D. 5πa2
11.已知函数f(x) =
( lgx , 0 < x ? 10,
?12x + 6, x > 10.若a, b, c互不相等，且f(a) = f(b) = f(c)，则abc的
取值范围是
A. (1,10) B. (5,6) C. (10,12) D. (20,24)
12.已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A, B两点，且
AB的中点为N(?12,?15)，则E的方程为
A. x
2
3 ?
y2
6 = 1 B.
x2
4 ?
y2
5 = 1 C.
x2
6 ?
y2
3 = 1 D.
x2
5 ?
y2
4 = 1
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.设y = f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0 ? f(x) ? 1，可以用随机模拟方法近似计算积分Z
1
0
f(x)dx．先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2,··· ,xN和y1,y2,··· ,yN，
由此得到N个点(xi,yi)(i = 1,2,··· ,N)．再数出其中满足yi ? f(xi)(i = 1,2,··· ,N)的点数
N1，那么由随机模拟方法可得积分
Z 1
0
f(x)dx的近似值为．
—第145页—
2010高考试题全国卷（新课标版）理科数学
14.正视图为一个三角形的几何体可以是．(写出三种)
15.过点A(4,1)的圆C与直线x?y ?1 = 0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为．
16.在△ABC中，D为边BC上一点，BD = 12DC, ∠ADB = 120?, AD = 2，若△ADC的面积
为3?√3，则∠BAC =．
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～24题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
设数列{an}满足a1 = 2，an+1 ?an = 3·22n?1．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）令bn = nan，求数列{bn}的前n项和Sn．
18. ( 12分)
如图，已知四棱锥P ?ABCD的底面为等腰梯形，
AB CD，AC ⊥ BD,垂足为H，PH是四棱锥的高，E
为AD的中点．
（I）证明：PE ⊥ BC；
（II）若∠APB = ∠ADB = 60?，求直线PA与平面
PEH所成角的正弦值．
A B
C
H
P
E
D
19. ( 12分)
为调查某地区老年人是否需要提供志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500
位老年人，结果如下：
是否需要志愿者
性别男女
需要40 30
不需要160 270
（I）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（II）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（III）根据（II）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供
帮助的老年人的比例？说明理由．
附：K2 = n(ad?bc)
2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)，
P(K2 ? k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
20. ( 12分)
设F1, F2分别是椭圆E : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E
相交于A, B两点，且|AF2|, |AB|, |BF2|成等差数列．
（I）求E的离心率；
（II）设点P(0,?1)满足|PA| = |PB|，求E的方程．
21. ( 12分)
设函数f(x) = ex ?1?x?ax2．
（I）若a = 0，求f(x)的单调区间；
（II）若当x ? 0时，f(x) ? 0，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分。
22. [选修4–1：几何证明选讲]（10分）
如图，已知圆上的弧 AC = BD，过C点的圆的
切线与BA的延长线交于E点．证明：
（I）∠ACE = ∠BCD；
（II）BC2 = BE ×CD．AB
CD
E
23. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
已知直线C1的参数方程是
currency1x = 1 + tcosα,
y = tsinα,（t为参数），圆C2 :
currency1x = cosθ,
y = sinθ,（θ为参数）．
（I）当α = π3时，求C1与C2的交点坐标；
（II）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的
参数方程，并指出它是什么曲线．
24. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
设函数f(x) = |2x?4|+ 1．
（I）画出函数y = f(x)的图像；
（II）若不等式f(x) ? ax的解集非空，求a的取
值范围．x
y
O 1
1
—第146页—
2010高考试题全国卷（新课标版）文科数学使用省份：黑、吉、宁、陕、琼
2010高考试题全国卷（新课标版）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A = {x |x|? 2, x ∈ R}，B = {x √x ? 4, x ∈ Z}，则A B =
A. (0,2) B. [0,2] C. {0,2} D. {0,1,2}
2. a, b为平面向量，已知a = (4,3), 2a+b = (3,18)，则a, b夹角的余弦值等于
A. 865 B. ? 865 C. 1665 D. ?1665
3.已知复数z =
√3 + i
(1?√3i)2，则|z| =
A. 14 B. 12 C. 1 D. 2
4.曲线y = x3 ?2x + 1在点(1,0)处的切线方程为
A. y = x?1 B. y = ?x + 1 C. y = 2x?2 D. y = ?2x + 2
5.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,?2)，则它的离心率为
A. √6 B. √5 C.
√6
2 D.
√5
2
6.如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为
P0(√2,?√2)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t
的函数图像大致为
x
y
O
P
P0
A. t
d
2
O π B. t
d
√22
O 3π4 C. t
d
√22
O π4 D. t
d
2
O π4
7.设长方体的长、宽、高分别为2a, a, a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A. 3πa2 B. 6πa2 C. 12πa2 D. 24πa2
8.执行右边的程序框图，输入N = 5，则输出的数等于
A. 54
B. 45
C. 65
D. 56
开始
输入N
k = 1,S = 0
S = S + 1k(k + 1)
k < N
否
输出S
是
k = k + 1
结束
9.设偶函数f(x)满足f(x) = 2x ?4(x ? 0)，则{x | f(x?2) > 0} =
A. {x | x < ?2或x > 4} B. {x | x < 0或x > 4}
C. {x | x < 0或x > 6} D. {x | x < ?2或x > 2}
10.若cosα = ?45，α是第三象限的角，则sin
α + π4
=
A. ?7
√2
10 B.
7√2
10 C. ?
√2
10 D.
√2
10
11.已知ABCD的三个顶点为A(?1,2), B(3,4), C(4,?2)，点(x,y)在ABCD的内部，则
z = 2x?5y的取值范围是
A. (?14,16) B. (?14,20) C. (?12,18) D. (?12,20)
12.已知函数f(x) =
( lgx , 0 < x ? 10,
?12x + 6, x > 10.若a, b, c互不相等，且f(a) = f(b) = f(c)，则abc的
取值范围是
A. (1,10) B. (5,6) C. (10,12) D. (20,24)
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.圆心在原点且与直线x + y ?2 = 0相切的圆的方程为．
14.设y = f(x)为区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0 ? f(x) ? 1，可以用随机
模拟方法近似计算曲线y = f(x)及直线x = 0,x = 1,y = 0所围成部分的面积S．先产生两
组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2,··· ,xN和y1,y2,··· ,yN，由此得到N个点
(xi,yi)(i = 1,2,··· ,N)．再数出其中满足yi ? f(xi)(i = 1,2,··· ,N)的点数N1，那么由随机
模拟方法可得S的近似值为．
—第147页—
2010高考试题全国卷（新课标版）文科数学
15.正视图为一个三角形的几何体可能是下列几何体中的．(填入所有可能的几何体
前的编号)
1三棱锥2四棱锥3三棱柱4四棱柱5圆锥6圆柱
16.在△ABC中，D为边BC上一点，BC = 3BD, AD = √2, ∠ADB = 135?．若AC = √2AB，
则BD =．
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～24题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17. ( 12分)
设等差数列{an}满足a3 = 5，a10 = ?9．
（I）求{an}的通项公式；
（II）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
18. ( 12分)
如图，已知四棱锥P ?ABCD的底面为等腰梯形，
AB CD，AC ⊥ BD,垂足为H，PH是四棱锥的高．
（I）证明：平面PAC ⊥平面PBD；
（II）若AB = √6, ∠APB = ∠ADB = 60?，求四棱锥
P–ABCD的体积．
A B
C
H
P
D
19. ( 12分)
为调查某地区老年人是否需要提供志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了
500位老年人，结果如下：
是否需要志愿者
性别男女
需要40 30
不需要160 270
（I）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（II）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（III）根据（II）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供
帮助的老年人的比例？说明理由．
附：K2 = n(ad?bc)
2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)，
P(K2 ? k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
20. ( 12分)
设F1, F2分别是椭圆E : x2 + y
2
b2 = 1(0 < b < 1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于
A, B两点，且|AF2|, |AB|, |BF2|成等差数列．
（I）求|AB|；
（II）若直线l的斜率为1，求b的值．
21. ( 12分)
设函数f(x) = x(ex ?1)?ax2．
（I）若a = 12，求f(x)的单调区间；
（II）若当x ? 0时，f(x) ? 0，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分。
22. ( 12分)
如图，已知圆上的弧 AC = BD，过C点的圆的
切线与BA的延长线交于E点．证明：
（I）∠ACE = ∠BCD；
（II）BC2 = BE ×CD．AB
CD
E
23. [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
已知直线C1的参数方程是
currency1x = 1 + tcosα,
y = tsinα,（t为参数），圆C2 :
currency1x = cosθ,
y = sinθ,（θ为参数）．
（I）当α = π3时，求C1与C2的交点坐标；
（II）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的
参数方程，并指出它是什么曲线．
24. [选修4–5：不等式选讲]（10分）
设函数f(x) = |2x?4|+ 1．
（I）画出函数y = f(x)的图像；
（II）若不等式f(x) ? ax的解集非空，求a的取
值范围．x
y
O 1
1
—第148页—
2010高考试题全国卷I（大纲版）理科数学使用省份：鄂、冀、豫、赣、晋、桂
2010高考试题全国卷I（大纲版）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.复数3 + 2i2?3i =
A. i B. ?i C. 12?13i D. 12 + 13i
2.记cos(?80?) = k，那么tan100? =
A.
√1?k2
k B. ?
√1?k2
k C.
k√
1?k2 D. ?
k√
1?k2
3.若变量x, y满足约束条件
8>
><
>>:
y ? 1,
x + y ? 0,
x?y ?2 ? 0.
则z = x?2y的最大值为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4.已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3 = 5, a7a8a9 = 10，则a4a5a6 =
A. 5√2 B. 7 C. 6 D. 4√2
5. (1 + 2√x)3(1? 3√x)5的展开式中x的系数是
A. ?4 B. ?2 C. 2 D. 4
6.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中公选3门，若要求两类课程中各至
少选一门，则不同的选法共有
A. 30种B. 35种C. 42种D. 48种
7.正方体ABCD?A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为
A.
√2
3 B.
√3
3 C.
2
3 D.
√6
3
8.设a = log3 2，b = ln2，c = 5?12，则
A. a < b < c B. b < c < a C. c < a < b D. c < b < a
9.已知F1, F2分别为双曲线C : x2 ?y2 = 1的两焦点，点P在C上，∠F1PF2 = 60?，则P到
x轴的距离为
A.
√3
2 B.
√6
2 C.
√3 D. √6
10.已知函数f(x) = |lgx|，若0 < a < b，且f(a) = f(b)，则a + 2b的取值范围是
A. (2√2,+∞) B. [2√2,+∞) C. (3,+∞) D. [3,+∞)
11.已知圆O的半径为1，PA, PB为该圆的两条切线，A, B为切点，那么# ?PA · # ?PB的最小值为
A. ?4 +√2 B. ?3 +√2 C. ?4 + 2√2 D. ?3 + 2√2
12.已知在半径为2的球面上有A, B, C, D四点，若AB = CD = 2，则四面体ABCD的体积的
最大值为
A. 2
√3
3 B.
4√3
3 C. 2
√3 D. 8√3
3
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.不等式√2x2 + 1?x ? 1的解集是．
14.已知α为第三象限的角，cos2α = ?35，则tan
π
4 + 2α
=．
15.直线y = 1与曲线y = x2 ?|x|+ a有4个交点，则a的取值范围是．
16.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且
# ?BF = 2# ?FD，则C的离心率为．
—第149页—
2010高考试题全国卷I（大纲版）理科数学
三、解答题：(共6个小题，满分70分)
17. ( 10分)
已知△ABC的内角A, B及其对边a, b满足a + b = acotA + bcotB，求内角C．
18. ( 12分)
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；
若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进
行复审，若能通过，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各位初审专家评审的概率为0.5，复
审的稿件能通过的概率为0.3，各专家独立评审．
（I）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（II）记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．
19. ( 12分)
如图，四棱锥S?ABCD中，SD ⊥底面ABCD，
AB DC，AD ⊥ DC，AB = AD = 1，DC = SD = 2，E
为棱SB上的一点，平面EDC ⊥平面SBC．
（I）证明：SE = 2EB；
（II）求二面角A?DE?C的大小．
A B
C
E
S
D
20. ( 12分)
已知函数f(x) = (x + 1)lnx?x + 1．
（I）若xf′(x) ? x2 + ax + 1，求a的取值范围；
（II）证明：(x?1)f(x) ? 0．
21. ( 12分)
已知抛物线C : y2 = 4x的焦点为F，过点K(?1,0)的直线l与C交于A, B两点，点A关
于x轴的对称点为D．
（I）证明：点F在直线BD上；
（II）设# ?FA · # ?FB = 89，求△BDK的内切圆M的方程．
22. ( 12分)
已知数列{an}中，a1 = 1，an+1 = c? 1a
n
．
（I）设c = 52，bn = 1a
n ?2
，求数列{bn}的通项公式；
（II）求使不等式an < an+1 < 3成立的c的取值范围．
—第150页—
2010高考试题全国卷I（大纲版）文科数学使用省份：鄂、冀、豫、赣、晋、桂
2010高考试题全国卷I（大纲版）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1. cos300? =
A. ?
√3
2 B. ?
1
2 C.
1
2 D.
√3
2
2.设全集U = {1,2,3,4,5}，集合M = {1,4}, N = {1,3,5}，则N ?UM =
A. {1,3} B. {1,5} C. {3,5} D. {4,5}
3.若变量x, y满足约束条件
8>
><
>>:
y ? 1,
x + y ? 0,
x?y ?2 ? 0.
则z = x?2y的最大值为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4.已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3 = 5, a7a8a9 = 10，则a4a5a6 =
A. 5√2 B. 7 C. 6 D. 4√2
5. (1?x)4(1?√x)3的展开式中x2的系数是
A. ?6 B. ?3 C. 0 D. 3
6.直三棱柱ABC?A1B1C1中，若∠BAC = 90?，AB = AC = AA1，则异面直线BA1与AC1
所成的角等于
A. 30? B. 45? C. 60? D. 90?
7.已知函数f(x) = |lgx|，若a b，且f(a) = f(b)，则a + b的取值范围是
A. (1,+∞) B. [1,+∞) C. (2,+∞) D. [2,+∞)
8.已知F1, F2分别为双曲线C : x2 ? y2 = 1的两焦点，点P在C上，∠F1PF2 = 60?，则
|PF1|·|PF2| =
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
9.正方体ABCD?A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为
A.
√2
3 B.
√3
3 C.
2
3 D.
√6
3
10.设a = log3 2，b = ln2，c = 5?12，则
A. a < b < c B. b < c < a C. c < a < b D. c < b < a
11.已知圆O的半径为1，PA, PB为该圆的两条切线，A, B为切点，那么# ?PA · # ?PB的最小值为
A. ?4 +√2 B. ?3 +√2 C. ?4 + 2√2 D. ?3 + 2√2
12.已知在半径为2的球面上有A, B, C, D四点，若AB = CD = 2，则四面体ABCD的体积的
最大值为
A. 2
√3
3 B.
4√3
3 C. 2
√3 D. 8√3
3
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.不等式x?2x2 + 3x + 2 > 0的解集是．
14.已知α为第二象限的角，sinα = 35，则tan2α =．
15.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中公选3门，若要求两类课程中各至
少选一门，则不同的选法共有．（用数字作答）
16.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且
# ?BF = 2# ?FD，则C的离心率为．
—第151页—
2010高考试题全国卷I（大纲版）文科数学
三、解答题：(共6个小题，满分70分)
17. ( 10分)
记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3 = 12，且2a1, a2, a3 + 1成等比数列，求Sn．
18. ( 12分)
已知△ABC的内角A, B及其对边a, b满足a + b = acotA + bcotB，求内角C．
19. ( 12分)
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；
若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进
行复审，若能通过，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各位初审专家评审的概率为0.5，复
审的稿件能通过的概率为0.3，各专家独立评审．
（I）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（II）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
20. ( 12分)
如图，四棱锥S?ABCD中，SD ⊥底面ABCD，
AB DC，AD ⊥ DC，AB = AD = 1，DC = SD = 2，E
为棱SB上的一点，平面EDC ⊥平面SBC．
（I）证明：SE = 2EB；
（II）求二面角A?DE?C的大小．
A B
C
E
S
D
21. ( 12分)
已知函数f(x) = 3ax4 ?2(3a + 1)x2 + 4x．
（I）当a = 16时，求f(x)的极值；
（II）若f(x)在(?1,1)上是增函数，求a的取值范围．
22. ( 12分)
已知抛物线C : y2 = 4x的焦点为F，过点K(?1,0)的直线l与C交于A, B两点，点A关
于x轴的对称点为D．
（I）证明：点F在直线BD上；
（II）设# ?FA · # ?FB = 89，求△BDK的内切圆M的方程．
—第152页—
2010高考试题全国卷II（大纲版）理科数学使用省份：云、贵、甘、青、新、蒙、藏
2010高考试题全国卷II（大纲版）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.复数
3?i
1 + i
2
=
A. ?3?4i B. ?3 + 4i C. 3?4i D. 3 + 4i
2.函数f(x) = 1 + ln(x?1)2 (x > 1)的反函数是
A. y = e2x+1 ?1(x > 0) B. y = e2x?1 + 1(x > 0)
C. y = e2x+1 ?1(x ∈ R) D. y = e2x?1 + 1(x ∈ R)
3.若变量x, y满足约束条件
8>
><
>>:
x ??1,
y ? x,
3x + 2y ? 5,
则z = 2x + y的最大值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.如果等差数列{an}中，a3 + a4 + a5 = 12，那么a1 + a2 +···+ a7 =
A. 14 B. 21 C. 28 D. 35
5.不等式x
2 ?x?6
x?1 > 0的解集为
A. {x | x < ?2或x > 3} B. {x | x < ?2或1 < x < 3}
C. {x | ?2 < x < 1或x > 3} D. {x | ?2 < x < 1或1 < x < 3}
6.将标号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为
1, 2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有
A. 12种B. 18种C. 36种D. 54种
7.为了得到函数y = sin 2x? π3 的图像，只需将函数y = sin 2x + π6 的图像
A.向左平移π4个长度单位B.向右平移π4个长度单位
C.向左平移π2个长度单位D.向右平移π2个长度单位
8. △ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB．若# ?CB = a, # ?CA = b，|a| = 1, |b| = 2，则
# ?CD =
A. 13a+ 23b B. 23a+ 13b C. 35a+ 45b D. 45a+ 35b
9.已知正四棱锥S?ABCD中，SA = 2√3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为
A. 1 B. √3 C. 2 D. 3
10.若曲线y = x?12在点 a,a?12 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为18，则a =
A. 64 B. 32 C. 16 D. 8
11.与正方体ABCD?A1B1C1D1的三条棱AB, CC1, A1D1所在直线的距离相等的点
A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个
12.已知椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的离心率为
√3
2，过右焦点F且斜率为k(k > 0)的直线
与C相交于A, B两点．若# ?AF = 3# ?FB，则k =
A. 1 B. √2 C. √3 D. 2
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.已知α是第二象限的角，tan(π+ 2α) = ?43，则tanα =．
14.若 x? ax 9的展开式中x3的系数是?84，则a =．
15.已知抛物线C : y2 = 2px(p > 0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为√3的直线与l相交于点A，
与C的一个交点为B．若# ?AM = # ?MB，则p =．
16.已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB = 4．
若OM = ON = 3，则两圆圆心的距离MN =．
—第153页—
2010高考试题全国卷II（大纲版）理科数学
三、解答题：(共6个小题，满分70分)
17. ( 10分)
△ABC中，D为边BC上一点，BD = 33，sinB = 513，cos∠ADC = 35，求AD．
18. ( 12分)
已知数列{an}的前n项和Sn = (n2 + n)·3n．
（I）求lim
n→∞
an
Sn；
（II）证明：a112 + a222 +···+ ann2 > 3n．
19. ( 12分)
如图，直三棱锥ABC?A1B1C1中，AC = BC，
AA1 = AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，
AE = 3EB1．
（I）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂
线；
（II）设异面直线AB1与CD的夹角为45?，求
二面角A1?AC1?B1的大小．A
B
C
A1
B1
C1
E
D
20. ( 12分)
如图，由M到N的电路中有4个元件，分别
标为T1, T2, T3, T4，电流能通过T1, T2, T3的概率
都是p，电流能通过T4的概率为0.9．电流能否通
过各元件相互独立．已知T1, T2, T3中至少有一个能
通过电流的概率为0.999．
M N
T1
T2 T3
T4
（I）求p；
（II）求电流能在M与N之间通过的概率；
（III）设ξ表示T1, T2, T3, T4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．
21. ( 12分)
已知斜率为1的直线l与双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)相交于B, D两点，且BD的
中点为M(1,3)．
（I）求C的离心率；
（II）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF| = 17，证明：过A, B, D三点的圆与x轴
相切．
22. ( 12分)
设函数f(x) = 1?e?x．
（I）证明：当x > ?1时，f(x) ? xx + 1；
（II）设当x ? 0时，f(x) ? xax + 1，求a的取值范围．
—第154页—
2010高考试题全国卷II（大纲版）文科数学使用省份：云、贵、甘、青、新、蒙、藏
2010高考试题全国卷II（大纲版）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.设全集U = {x ∈ N? | x < 6}，集合A = {1,3}, B = {3,5}，则?U(A B) =
A. {1,4} B. {1,5} C. {2,4} D. {2,5}
2.不等式x?3x + 2 < 0的解集为
A. {x | ?2 < x < 3} B. {x | x < ?2}
C. {x | x < ?2或x > 3} D. {x | x > 3}
3.已知sinα = 23，则cos(π?2α) =
A. ?
√5
3 B. ?
1
9 C.
1
9 D.
√5
3
4.函数f(x) = 1 + ln(x?1)(x > 1)的反函数是
A. y = ex+1 ?1(x > 0) B. y = ex?1 + 1(x > 0)
C. y = ex+1 ?1(x ∈ R) D. y = ex?1 + 1(x ∈ R)
5.若变量x, y满足约束条件
8>
><
>>:
x ??1,
y ? x,
3x + 2y ? 5,
则z = 2x + y的最大值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.如果等差数列{an}中，a3 + a4 + a5 = 12，那么a1 + a2 +···+ a7 =
A. 14 B. 21 C. 28 D. 35
7.若曲线y = x2 + ax + b在点(0,b)处的切线方程是x?y + 1 = 0，则
A. a = 1,b = 1 B. a = ?1,b = 1 C. a = 1,b = ?1 D. a = ?1,b = ?1
8.已知三棱锥S?ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，
SA = 3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为
A.
√3
4 B.
√5
4 C.
√7
4 D.
3
4
9.将标号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为
1, 2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有
A. 12种B. 18种C. 36种D. 54种
10. △ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB．若# ?CB = a, # ?CA = b，|a| = 1, |b| = 2，则
# ?CD =
A. 13a+ 23b B. 23a+ 13b C. 35a+ 45b D. 45a+ 35b
11.与正方体ABCD?A1B1C1D1的三条棱AB, CC1, A1D1所在直线的距离相等的点
A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个
12.已知椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的离心率为
√3
2，过右焦点F且斜率为k(k > 0)的直线
与C相交于A, B两点．若# ?AF = 3# ?FB，则k =
A. 1 B. √2 C. √3 D. 2
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.已知α是第二象限的角，tanα = ?12，则cosα =．
14.若 x + 1x 9的展开式中x3的系数是．
15.已知抛物线C : y2 = 2px(p > 0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为√3的直线与l相交于点A，
与C的一个交点为B．若# ?AM = # ?MB，则p =．
16.已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB = 4．
若OM = ON = 3，则两圆圆心的距离MN =．
—第155页—
2010高考试题全国卷II（大纲版）文科数学
三、解答题：(共6个小题，满分70分)
17. ( 10分)
△ABC中，D为边BC上一点，BD = 33，sinB = 513，cos∠ADC = 35，求AD．
18. ( 12分)
已知{an}是各项均为正数的等比数列，且
a1 + a2 = 2 1a
1
+ 1a
2
, a
3 + a3 + a4 = 64
1
a3 +
1
a4 +
1
a5
.
（I）求{an}的通项公式；
（II）设bn = an + 1a
n
2，求数列{b
n}的前n项和Tn．
19. ( 12分)
如图，直三棱锥ABC?A1B1C1中，AC = BC，
AA1 = AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，
AE = 3EB1．
（I）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂
线；
（II）设异面直线AB1与CD的夹角为45?，求
二面角A1?AC1?B1的大小．A
B
C
A1
B1
C1
E
D
20. ( 12分)
如图，由M到N的电路中有4个元件，分别
标为T1, T2, T3, T4，电流能通过T1, T2, T3的概率
都是p，电流能通过T4的概率为0.9．电流能否通
过各元件相互独立．已知T1, T2, T3中至少有一个能
通过电流的概率为0.999．
M N
T1
T2 T3
T4
（I）求p；
（II）求电流能在M与N之间通过的概率．
21. ( 12分)
已知函数f(x) = x3 ?3ax2 + 3x + 1．
（I）设a = 2，求f(x)的单调区间；
（II）设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．
22. ( 12分)
已知斜率为1的直线l与双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)相交于B, D两点，且BD的
中点为M(1,3)．
（I）求C的离心率；
（II）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF| = 17，证明：过A, B, D三点的圆与x轴
相切．
—第156页—
2009高考试题（课标版全国卷）理科数学使用地区：宁、琼
2009高考试题（课标版全国卷）理科数学
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合A = {1,3,5,7,9}，B = {0,3,6,9,12}，则A ?NB =
A. {1,5,7} B. {3,5,7} C. {1,3,9} D. {1,2,3}
2.复数3 + 2i2?3i ? 3?2i2 + 3i =
A. 0 B. 2 C. ?2i D. 2i
3.整理变量x, y的观测数据(xi,yi)(i = 1,2,··· ,10)，得散点图1；整理变量u, v的观测数据
(ui,vi)(i = 1,2,··· ,10)，得散点图2．由这两个散点图可以判断
x
y
1 2 3 4 5 6 7
5
10
15
20
25
30
（图1）
x
y
1 2 3 4 5 6 7
10
20
30
40
50
60
(图2)
A. x与y正相关，u与v正相关B. x与y正相关，u与v负相关
C. x与y负相关，u与v正相关D. x与y负相关，u与v负相关
4.双曲线x
2
4 ?
y2
12 = 1的焦点到渐近线的距离为
A. 2√3 B. 2 C. √3 D. 1
5.有4个关于三角函数的命题：
p1 : ?x ∈ R, sin2 x2 + cos2 x2 = 12；p2 : ?x,y ∈ R, sin(x?y) = sinx?siny；
p3 : ?x ∈ [0,π],
1?cos2x
2 = sinx；p4 : sinx = cosy =? x + y =
π
2．
其中的假命题是
A. p1, p4 B. p2, p4 C. p1, p3 D. p2, p3
6.设x, y满足
8<
:
2x + y ? 4
x?y ??1
x?2y ? 2
，则z = x + y
A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值
C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值
7.等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1, 2a2, a3成等差数列．若a1 = 2,则S4 =
A. 7 B. 8 C. 15 D. 16
8.如图，正方体ABCD?A1B1C1D1棱长为1，线段B1D1上
有两个动点E, F，且EF =
√2
2，则下列结论中错误的是A. AC ⊥ BE
B. EF平面ABCD
C.三棱锥A?BEF的体积为定值
D.异面直线AE, BF所成的角为定值A
BC
C1
D
D1
E
F
A1
B1
9.已知O, N, P在△ABC所在平面内，且 # ?OA = # ?OB = # ?OC ，# ?NA + # ?NB + # ?NC = 0，# ?
PA · # ?PB = # ?PB · # ?PC = # ?PC · # ?PA，则O, N, P依次是△ABC的
A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心
10.如果执行如图所示的程序框图，输入
x = ?2，h = 0.5，那么输出的各个数的
和等于
A. 3
B. 3.5
C. 4
D. 4.5
开始
输入x,h
x < 0是
y = 0
否
x < 1是
y = x
否
y = 1
输出y
x ? 2
是
否
x = x+h
结束
11.一个棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图
是全等的等腰三角形，则该棱锥的表面积（单位：
cm2）为
A. 48 + 12√2
B. 48 + 24√2
C. 36 + 12√2
D. 36 + 24√2
6
4
3
（单位：cm）
12.用min{a,b,c}表示a, b, c三个数中的最小值．设f(x) = min{2x,x + 2,10 ? x}(x ? 0)，则
f(x)的最大值为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，满分20分。
13.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A, B两点．若
AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为．
14.函数y = sin(ωx + φ)(ω > 0,?π ? φ < π)的部分图像如图
所示，则φ =．x
y
?1
2π
1
O
3π
4
15. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排
方案共有种．（用数字作答）
16.等差数列{an}的前n项和为Sn．已知am?1 +am+1?a2m = 0, S2m?1 = 38，则m =．
—第157页—
2009高考试题（课标版全国卷）理科数学
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～24题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17. (12分)为了测量两山顶M, N间的距
离，飞机沿水平方向在A, B两点进行测
量．A, B, M, N在同一铅垂平面内（如
示意图），飞机能够测量的数据有俯角和
A, B间的距离．请设计一个方案，包括：
1指出需要测量的数据(用字母表示，
并在图中标出）；
2用文字和公式写出计算M, N间的
距离的步骤．
M
N
A B
18.（12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750
名工人参加过长期培训（称为B类工人）．现用分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该工
厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）．
（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；
（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2．
表一：生产能力分组[100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150)
人数4 8 x 5 3
表二：生产能力分组[110,120) [120,130) [130,140) [140,150)
人数6 y 36 18
（i）先确定x, y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体
间差异程度与B类工人中个体间差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答）
频率/组距
生产能力
100 110 120 130 140 150
0.004
0.008
0.012
0.016
0.020
0.024
0.028
0.032
0.036
0
A类工人生产能力频率分布直方图
频率/组距
生产能力
100 110 120 130 140 150
0.0040.008
0.0120.016
0.0200.024
0.0280.032
0.0360.040
0.0440.048
0
B类工人生产能力频率分布直方图
（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均
数．（同一组中的数据用区间中点值作代表）
19. (12分)如图，四棱锥S?ABCD的底面是正方形，每条侧棱
的长都是底面边长的√2倍，P为侧棱SD上的点．
（I）求证：AC ⊥ SD；
（II）若SD ⊥平面PAC，求二面角P?AC?D的大小；
（III）在（II）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使
得BE平面PAC．若存在，求SE : EC；若不存在，说明理由．
A
B C
D
S
P
20. (12分)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点到两个焦点的距离分别为7和1．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP||OM| = λ，求点M
的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
21. (12分)已知函数f(x) = (x3 + 3x2 + ax + b)e?x．
（I）若a = b = ?3，求f(x)的单调区间；
（II）若f(x)在(?∞,α), (2,β)单调递增，在(α,2), (β,+∞)单调递减，证明：β ?α < 6．
（一）选考题：共10分。
22. (10分)如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交
于H，∠B = 60?，F在AC上，且AE = AF．
（I）证明：B, D, H, E四点共圆；
（II）证明：CE平分∠DEF．
A
B CD
E
F
H
23. (10分)已知曲线C1 :
currency1
x = ?4 + cost
y = 3 + sint（t是参数），C1 :
currency1
x = 8cosθ
y = 3sinθ（θ是参数）．
（I）化C1, C2的方程为普通方程，并指出它们分别表示什么曲线；
（II）若C1上的点P对应的参数t = π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线
C3 :
currency1
x = 3 + 2t
y = ?2 + t（t是参数）距离的最小值．
24. (10分)如图，O为数轴原点，A, B, M为数轴上的三点，C为线段OM上的动点．设x表示
C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和．
（I）将y表示成x的函数；
（II）要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？
A B MO
—第158页—
2009高考试题（课标版全国卷）文科数学使用地区：宁、琼
2009高考试题（课标版全国卷）文科数学
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合A = {1,3,5,7,9}，B = {0,3,6,9,12}，则A B =
A. {3,5} B. {3,6} C. {3,7} D. {3,9}
2.复数3 + 2i2?3i =
A. 1 B. ?1 C. i D. ?i
3.整理变量x, y的观测数据(xi,yi)(i = 1,2,··· ,10)，得散点图1；整理变量u, v的观测数据
(ui,vi)(i = 1,2,··· ,10)，得散点图2．由这两个散点图可以判断
x
y
1 2 3 4 5 6 7
5
10
15
20
25
30
（图1）
x
y
1 2 3 4 5 6 7
10
20
30
40
50
60
(图2)
A. x与y正相关，u与v正相关B. x与y正相关，u与v负相关
C. x与y负相关，u与v正相关D. x与y负相关，u与v负相关
4.有4个关于三角函数的命题：
p1 : ?x ∈ R, sin2 x2 + cos2 x2 = 12；p2 : ?x,y ∈ R, sin(x?y) = sinx?siny；
p3 : ?x ∈ [0,π],
1?cos2x
2 = sinx；p4 : sinx = cosy =? x + y =
π
2．
其中的假命题是
A. p1, p4 B. p2, p4 C. p1, p3 D. p2, p3
5.已知圆C1 : (x + 1)2 + (y ?1)2 = 1，圆C2与圆C1关于直线x?y ?1 = 0对称，则圆C2的
方程为
A. (x + 2)2 + (y ?2)2 = 1 B. (x?2)2 + (y ?2)2 = 1
C. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 1 D. (x?2)2 + (y ?2)2 = 1
6.设x, y满足
(2x + y ? 4
x?y ??1
x?2y ? 2
，则z = x + y
A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值
C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值
7.已知向量a = (?3,2), b = (?1,0)，λa+b与a?2b垂直，则实数λ的值为
A. ?17 B. 17 C. ?16 D. 16
8.等差数列{an}的前n项和为Sn．已知am?1 + am+1 ?a2m = 0, S2m?1 = 38，则m =
A. 38 B. 20 C. 10 D. 9
9.如图，正方体ABCD?A1B1C1D1棱长为1，线段B1D1上
有两个动点E, F，且EF =
√2
2，则下列结论中错误的是A. AC ⊥ BE
B. EF平面ABCD
C.三棱锥A?BEF的体积为定值
D.异面直线AE, BF所成的角为定值
A
BC
C1
D
D1
E FA1
B1
10.如果执行如图所示的程序框图，输入
x = ?2，h = 0.5，那么输出的各个数的
和等于
A. 3
B. 3.5
C. 4
D. 4.5
开始
输入x,h
x < 0是
y = 0
否
x < 1是
y = x
否
y = 1
输出y
x ? 2
是
否
x = x+h
结束
11.一个棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图
是全等的等腰三角形，则该棱锥的表面积（单位：
cm2）为
A. 48 + 12√2
B. 48 + 24√2
C. 36 + 12√2
D. 36 + 24√2
6
4
3
（单位：cm）
12.用min{a,b,c}表示a, b, c三个数中的最小值．设f(x) = min{2x,x + 2,10 ? x}(x ? 0)，则
f(x)的最大值为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，满分20分。
13.曲线y = xex + 2x + 1在点(0,1)处的切线方程为．
14.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，直线y = x与抛物线C相交于A, B两点．
若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为．
15.等比数列{an}的公比q > 0．已知a2 = 1, an+2+an+1 = 6an，则{an}的前4项和S4 =．
—第159页—
2009高考试题（课标版全国卷）文科数学
16.函数y = 2sin(ωx + φ)的部分图像如图所示，则f
7π
12
=
．
x
y
?2
?1
1
2
O π4 5π
4
三、解答题：共70分，第17～21题为必考题，第22～24题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17. (本题满分12分)如图，为了解某海域海底构造，在
海平面内一条直线上的A, B, C三点进行测量．已知
AB = 50m, BC = 120m，于A处测得水深AD = 80m；于
B处测得水深BE = 200m；于C处测得水深CF = 110m，
求∠DEF的余弦值．
E
F
D
A B C
18. (12分)如图，在三棱锥P?ABC的中，△PAB是等边三角
形，∠PAC = ∠PBC = 90?．
（I）求证：AB ⊥ PC；
（II）若PC = 4，且平面PAC ⊥平面PBC，求三棱锥
P?ABC的体积．A
B C
P
19.（12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750
名工人参加过长期培训（称为B类工人）．现用分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该工
厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）．
（I）A类工人和B类工人各抽查多少人？
（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2．
表一：生产能力分组[100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150)
人数4 8 x 5 3
表二：生产能力分组[110,120) [120,130) [130,140) [140,150)
人数6 y 36 18
（i）先确定x, y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体
间差异程度与B类工人中个体间差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答）
频率/组距
生产能力
100 110 120 130 140 150
0.004
0.008
0.012
0.016
0.020
0.024
0.028
0.032
0.036
0
A类工人生产能力频率分布直方图
频率/组距
生产能力
100 110 120 130 140 150
0.0040.008
0.0120.016
0.0200.024
0.0280.032
0.0360.040
0.0440.048
0
B类工人生产能力频率分布直方图
（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均
数．（同一组中的数据用区间中点值作代表）
20. (12分)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点到两个焦点的距离分别为7和1．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP||OM| = e(e为椭圆
C的离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
21. (12分)已知函数f(x) = x3 ?3ax2 ?9a2x + a3．
（I）若a = 1，求f(x)的极值；
（II）若a > 14，且当x ∈ [1,4a]时，|f′(x)|? 12a恒成立，试确定a的取值范围．
（一）选考题：共10分。
22. (10分)[如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交
于H，∠B = 60?，F在AC上，且AE = AF．
（I）证明：B, D, H, E四点共圆；
（II）证明：CE平分∠DEF．
A
B CD
E
F
H
23. (10分)已知曲线C1 :
currency1
x = ?4 + cost
y = 3 + sint（t是参数），C1 :
currency1
x = 8cosθ
y = 3sinθ（θ是参数）．
（I）化C1, C2的方程为普通方程，并指出它们分别表示什么曲线；
（II）若C1上的点P对应的参数t = π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线
C3 :
currency1
x = 3 + 2t
y = ?2 + t（t是参数）距离的最小值．
24. (10分)如图，O为数轴原点，A, B, M为数轴上的三点，C为线段OM上的动点．设x表示
C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和．
（I）将y表示成x的函数；
（II）要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？
A B MO
—第160页—
2009高考试题（大纲版全国卷I）理科数学使用省份：冀、豫、陕、晋、桂
2009高考试题（大纲版全国卷I）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.设集合A = {4,5,7,9}，B = {3,4,7,8,9}，全集U = A B，则集合?U(A B)中的元素共有
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
2.已知ˉz1 + i = 2 + i，则复数z =
A. ?1 + 3i B. 1?3i C. 3 + i D. 3?i
3.不等式
x + 1x?1
< 1的解集为
A. {x | 0 < x < 1} {x | x > 1} B. {x | 0 < x < 1}
C. {x | ?1 < x < 0} D. {x | x < 0}
4.若双曲线x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的渐近线与抛物线y = x
2 + 1相切，则该双曲线的离心率
等于
A. √3 B. 2 C. √5 D. √6
5.甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2
名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
A. 150种B. 180种C. 300种D. 345种
6.设a, b, c是单位向量，且a·b = 0，则(a?c) · (b?c)的最小值为
A. ?2 B. √2?2 C. ?1 D. 1?√2
7.已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中
点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为
A.
√3
4 B.
√5
4 C.
√7
4 D.
3
4
8.如果函数y = 3cos(2x + φ)的图像关于点
4π
3 ,0
中心对称，那么|φ|的最小值为
A. π6 B. π4 C. π3 D. π2
9.已知直线y = x + 1与曲线y = ln(x + a)相切，则a的值为
A. 1 B. 2 C. ?1 D. ?2
10.已知二面角α?l?β为60?，动点P, Q分别在面α, β内，P到β的距离为√3，Q到α的距
离为2√3，则P, Q两点之间距离的最小值为
A. √2 B. 2 C. 2√3 D. 4
11.函数f(x)的定义域为R．若f(x + 1)和f(x?1都是奇函数，则
A. f(x)是奇函数B. f(x)是偶函数C. f(x) = f(x + 2) D. f(x + 3是奇函数
12.已知椭圆C : x
2
2 + y
2 = 1的右焦点为F，右准线为l，点A ∈ l，线段AF交C于点B．若
# ?FA = 3# ?FB，则 # ?AF =
A. √2 B. 2 C. √3 D. 3
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13. (x?y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．
14.设等差数列{an}的前n项和为Sn．若S9 = 72，则a2 + a4 + a9 =．
15.直三棱柱ABC?A1B1C1的各顶点都在同一球面上．若AB = AC = AA1 = 2，∠BAC = 120?，
则此球的表面积等于．
16.若π4 < x < π2，则函数y = tan2xtan3 x的最大值为．
—第161页—
2009高考试题（大纲版全国卷I）理科数学
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c．已知a2 ?c2 = 2b，且
sinAcosC = 3cosAsinC，求b．
18. (本小题满分12分)
如图，四棱锥S?ABCD的底面是矩形，SD ⊥底面ABCD，
AD = √2，DC = SD = 2．点M在侧棱SC上，∠ABM = 60?．
（I）证明：M是侧棱SC的中点；
（II）求二面角S?AM?B的大小．
A B
CD
S
M
19. (本小题满分12分)
甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜三局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局
中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜一局．
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（II）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．
20. (本小题满分12分)
在数列{an}中，a1 = 1，an+1 =
1 + 1n
an + n + 12n．
（I）设bn = ann，求数列{bn}的通项公式；
（II）求数列{an}的前n项和Sn．
21. (本小题满分12分)
如图，已知抛物线E : y2 = x与圆M : (x? 4)2 + y2 =
r2 (r > 0)相交于A, B, C, D四点．
（I）求r的取值范围；
（II）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC, BD
的交点P的坐标．
x
y
O
A
B
C
D
P M
22. (本小题满分12分)
设函数f(x) = x3 + 3bx2 + 3cx有两个极值点x1, x2，且x1 ∈ [?1,0]，x2 ∈ [1,2]．
（I）求b, c满足的约束条件，并在右边的坐标平面内，画出满足这些条件的点(b,c)的区域；
（II）证明：?10 ? f(x2) ??12．
b
c
O?1
?1
1
1
2
2
3
3
—第162页—
2009高考试题（大纲版全国卷I）文科数学使用地区：冀、豫、陕、晋、桂
2009高考试题（大纲版全国卷I）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1. sin585?的值为
A. ?
√2
2 B.
√2
2 C. ?
√3
2 D.
√3
2
2.设集合A = {4,5,7,9}，B = {3,4,7,8,9}，全集U = A B，则集合?U(A B)中的元素共有
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
3.不等式
x + 1x?1
< 1的解集为
A. {x | 0 < x < 1} {x | x > 1} B. {x | 0 < x < 1}
C. {x | ?1 < x < 0} D. {x | x < 0}
4.已知tanα = 4，cotβ = 13，则tan(α + β) =
A. 711 B. ? 711 C. 713 D. ? 713
5.若双曲线x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的渐近线与抛物线y = x
2 + 1相切，则该双曲线的离心率
等于
A. √3 B. 2 C. √5 D. √6
6.已知函数f(x)的反函数为g(x) = 1 + 2lgx(x > 0)，则f(1) + g(1) =
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
7.甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2
名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
A. 150种B. 180种C. 300种D. 345种
8.设非零向量a, b, c满足|a| = |b| = |c|，a+b = c，则?a,b?=
A. 150? B. 180? C. 60? D. 30?
9.已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中
点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为
A.
√3
4 B.
√5
4 C.
√7
4 D.
3
4
10.如果函数y = 3cos(2x + φ)的图像关于点
4π
3 ,0
中心对称，那么|φ|的最小值为
A. π6 B. π4 C. π3 D. π2
11.已知二面角α?l?β为60?，动点P, Q分别在面α, β内，P到β的距离为√3，Q到α的距
离为2√3，则P, Q两点之间距离的最小值为
A. √2 B. 2 C. 2√3 D. 4
12.已知椭圆C : x
2
2 + y
2 = 1的右焦点为F，右准线为l，点A ∈ l，线段AF交C于点B．若
# ?FA = 3# ?FB，则 # ?AF =
A. √2 B. 2 C. √3 D. 3
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13. (x?y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．
14.设等差数列{an}的前n项和为Sn．若S9 = 72，则a2 + a4 + a9 =．
15.已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的
面积为3π，则球O的表面积等于．
16.若直线m被两平行线l1 : x?y + 1 = 0与l2 : x?y + 3所截得的线段的长为2√2，则m的倾
斜角可以是
1 15? 2 30? 3 45? 4 60? 5 75?
其中正确答案的序号是．（写出所有正确答案的序号）
—第163页—
2009高考试题（大纲版全国卷I）文科数学
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn．已知
a1 = 1, b1 = 3, a3 + b3 = 17, T3 ?S3 = 12，求{an}, {bn}的通项公式．
18. (本小题满分12分)
在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c．已知a2?c2 = 2b，且sinB = 4cosAsinC，
求b．
19. (本小题满分12分)
如图，四棱锥S?ABCD的底面是矩形，SD ⊥底面ABCD，
AD = √2，DC = SD = 2．点M在侧棱SC上，∠ABM = 60?．
（I）证明：M是侧棱SC的中点；
（II）求二面角S?AM?B的大小．
A B
CD
S
M
20. (本小题满分12分)
甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜三局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局
中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜一局．
（I）求再赛2局结束这次比赛的概率；
（II）求甲获得这次比赛胜利的概率．
21. (本小题满分12分)
设函数f(x) = x4 ?3x2 + 6．
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）设点P在曲线y = f(x)上．若该曲线在点P处的切线l通过原点，求l的方程．
22. (本小题满分12分)
如图，已知抛物线E : y2 = x与圆M : (x?4)2 + y2 =
r2 (r > 0)相交于A, B, C, D四点．
（I）求r的取值范围；
（II）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC, BD
的交点P的坐标．
x
y
O
A
B
C
D
P M
—第164页—
2009高考试题（大纲版全国卷II）理科数学使用地区：云、贵、吉、黑、甘、新、藏、蒙、青
2009高考试题（大纲版全国卷II）理科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1. 10i2?i =
A. ?2 + 4i B. ?2?4i C. 2 + 4i D. 2?4i
2.设集合A = {x | x > 3}，B =
x
x?1
x?4 < 0
，则A B =
A. ? B. (3,4) C. (?2,1) D. (4,+∞)
3.已知△ABC中，cotA = ?125，则cosA =
A. 1213 B. 513 C. ? 513 D. ?1213
4.曲线y = x2x?1在点(1,1)处的切线方程为
A. x?y ?2 = 0 B. x + y ?2 = 0 C. x + 4y ?5 = 0 D. x?4y ?5 = 0
5.已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1 = 2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与
CD1所成的角的余弦值为
A.
√10
10 B.
1
5 C.
3√10
10 D.
3
5
6.已知向量a = (2,1)，a·b = 10，|a+b| = 5√2，则|b| =
A. √5 B. √10 C. 5 D. 25
7.设a = log3 π，b = log2√3，c = log3√2，则
A. a > b > c B. a > c > b C. b > a > c D. b > c > a
8.若将函数y = tan
ωx+ π4
(ω > 0)的图像向右平移π6个单位长度后，与函数y = tan
ωx+ π6
的图像重合，则ω的最小值为
A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
9.已知直线y = k(x + 2)(k > 0)与抛物线C : y2 = 8x相交于A, B两点，F为C的焦点．若
|FA| = 2|FB|，则k =
A. 13 B.
√2
3 C.
2
3 D.
2√2
3
10.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
A. 6种B. 12种C. 30种D. 36种
11.已知双曲线C : x
2
a2 ?
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的右焦点为F，过F且斜率为
√3的直线交C于
A, B两点．若# ?AF = 4# ?FB，则C的离心率为
A. 65 B. 75 C. 85 D. 95
12.纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东，南、西、北.
现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示
的平面图形，则标记“?”的面对应方位是
A.南B.北C.西D.下
?
上东
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13. (x√y ?y√x)4的展开式中，x3y3的系数为．
14.设等差数列{an}的前n项和为Sn．若a9 = 5a3，则S9S
5
=．
15.设OA为球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45?角的平面截球O的表面得到
圆C．若圆C的面积为7π4，则球O的表面积等于．
16.已知AC, BD为圆O : x2 +y2 = 4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1,√2)，则四边形ABCD
的面积的最大值为．
—第165页—
2009高考试题（大纲版全国卷II）理科数学
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c．已知cos(A?C) + cosB = 32，且
b2 = ac，求B．
18. (本小题满分12分)
如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB ⊥ AC，D, E分
别为AA1, B1C的中点，DE ⊥平面BCC1．
（I）证明：AB = AC；
（II）设二面角A?BD?C为60?，求B1C与平面BCD
所成角的大小．
A
B
C
D E
A1
B1
C1
19. (本小题满分12分)
设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1 = 1，Sn+1 = 4an + 2．
（I）设bn = an+1 ?2an，证明数列{bn}是等比数列；
（II）求数列{an}的通项公式．
20. (本小题满分12分)
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分
层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．
21. (本小题满分12分)
已知椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的离心率为
√3
3，过右焦点F的直线l与C相交于A, B
两点．当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为
√2
2．
（I）求a, b的值；
（II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有# ?OP = # ?OA + # ?OB成立？若存在，
求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
22. (本小题满分12分)
设函数f(x) = x2 + aln(1 + x)有两个极值点x1, x2，且x1 < x2．
（I）求a的取值范围；
（II）证明：f(x2) > 1?2ln24．
—第166页—
2009高考试题（大纲版全国卷II）文科数学使用地区：云、贵、吉、黑、甘、新、藏、蒙、青
2009高考试题（大纲版全国卷II）文科数学
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知全集U = {1,2,3,4,5,6,7,8}，M = {1,3,5,7}，N = {5,6,7}，则?U(M N) =
A. {5,7} B. {2,4} C. {2,4,8} D. {1,3,5,6,7}
2.函数y = √?x(x ? 0)的反函数是
A. y = x2 (x ? 0) B. y = ?x2 (x ? 0) C. y = x2 (x ? 0) D. y = ?x2 (x ? 0)
3.函数y = log2 2?x2 + x的图像
A.关于原点对称B.关于直线y = ?x对称
C.关于y轴对称D.关于直线y = x对称
4.已知△ABC中，cotA = ?125，则cosA =
A. 1213 B. 513 C. ? 513 D. ?1213
5.已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1 = 2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与
CD1所成的角的余弦值为
A.
√10
10 B.
1
5 C.
3√10
10 D.
3
5
6.已知向量a = (2,1)，a·b = 10，|a+b| = 5√2，则|b| =
A. √5 B. √10 C. 5 D. 25
7.设a = lge，b = (lge)2，c = lg√e，则
A. a > b > c B. a > c > b C. c > a > b D. c > b > a
8.双曲线x
2
6 ?
y2
3 = 1的渐近线与圆(x?3)
2 + y2 = r2(r > 0)相切，则r =
A. √3 B. 2 C. 3 D. 6
9.若将函数y = tan
ωx+ π4
(ω > 0)的图像向右平移π6个单位长度后，与函数y = tan
ωx+ π6
的图像重合，则ω的最小值为
A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
10.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有
A. 6种B. 12种C. 24种D. 30种
11.已知直线y = k(x + 2)(k > 0)与抛物线C : y2 = 8x相交于A, B两点，F为C的焦点．若
|FA| = 2|FB|，则k =
A. 13 B.
√2
3 C.
2
3 D.
2√2
3
12.纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东，南、西、北.
现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示
的平面图形，则标记“?”的面对应方位是
A.南B.北C.西D.下
?
上东
二、填空题：(共4个小题，每小题5分，满分20分)
13.设等比数列{an}的前n项和为Sn．若a1 = 1, S6 = 4S3，则a4 =．
14. (x√y ?y√x)4的展开式中，x3y3的系数为．
15.已知圆O : x2 + y2 = 5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的
面积等于．
16.设OA为球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45?角的平面截球O的表面得到
圆C．若圆C的面积为7π4，则球O的表面积等于．
—第167页—
2009高考试题（大纲版全国卷II）文科数学
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
已知等差数列{an}中，a3a7 = ?16, a4 + a6 = 0，求{an}的前n项和Sn．
18. (本小题满分12分)
设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c．已知cos(A?C) + cosB = 32，且
b2 = ac，求B．
19. (本小题满分12分)
如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB ⊥ AC，D, E分别
为AA1, B1C的中点，DE ⊥平面BCC1．
（I）证明：AB = AC；
（II）设二面角A?BD?C为60?，求B1C与平面BCD所
成角的大小．
A
B
C
D E
A1
B1
C1
20. (本小题满分12分)
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用
分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．
（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．
21. (本小题满分12分)
设函数f(x) = 13x3 ?(1 + a)x2 + 4ax + 24a，其中常数a > 1．
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）若当x ? 0时，f(x) > 0，求a的取值范围．
22. (本小题满分12分)
已知椭圆C : x
2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的离心率为
√3
3，过右焦点F的直线l与C相交于A, B
两点．当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为
√2
2．
（I）求a, b的值；
（II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有# ?OP = # ?OA + # ?OB成立？若存在，
求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
—第168页—
|
|
