圆锥曲线40个专题学生版

专题1：曲线与方程的概念一、单选题1.设方程(x+y-3) x2+y2-2x=0表示的曲线是( )A.一个圆和一条直线B.一个圆和一条射线C.一个圆D.一条直线2.方程C：y2=x2+ 1x2所对应的曲线是( )A. B. C. D.3.在平面直角坐标系中，定义d A,B? ? =max x1-x2? ?, y1-y2? ?? ?为两点A x1,y1? ?，B x2,y2? ?的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q，称d P,Q? ?的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d P,l? ?，给出下列三个命题：①对任意三点A、B、C，都有d C,A? ? +d C,B? ? ≥d A,B? ?；②已知点P 3,1? ?和直线l：2x-y-1=0，则d P,l? ? = 43；③到定点M的距离和到M的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.其中正确的命题有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4.方程x-1?ln x2+y2-1? ? =0所表示的曲线的图形是( )A. B. C. D.5.如果命题“坐标满足方程f x,y? ? =0的点都在曲线C上”不正确，那么以下正确的命题是( )A.曲线C上的点的坐标都满足方程f x,y? ? =0B.坐标满足方程f x,y? ? =0的点有些在C上，有些不在C上C.坐标满足方程f x,y? ? =0的点都不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f x,y? ? =06.已知直线l的方程是f x,y? ? =0，点M x0,y0? ?不在直线l上，则方程f x,y? ? - f x0,y0? ? =0表示的曲线是( )A.直线l B.与l垂直的一条直线C.与l平行的一条直线D.与l平行的两条直线第1页共158页

7.方程3y2-xy=1表示的曲线满足( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.以上说法都不对8.方程x? ? -1= 1- y-1? ? 2表示的曲线是( )A.一条直线B.两条直线C.一个圆D.两个半圆二、多选题9.已知点A,B的坐标分别是(-1,0),(1,0)，经过点A,B的直线相交于点M，且它们的斜率分别为k1,k2，下列命题是真命题的有( )A.若k1+k2=2，则M的轨迹是椭圆(除去两个点)B.若k1-k2=2，则M的轨迹是抛物线(除去两个点)C.若k1?k2=2，则M的轨迹是双曲线(除去两个点)D.若k1÷k2=2，则M的轨迹是一条直线(除去一点)三、填空题10.设函数y= f(x)由方程x|x|+y|y|=1确定，下列结论正确的是(请将你认为正确的序号都填上)①f(x)是R上的单调递减函数；②对于任意x∈R，f(x)+x>0恒成立；③对于任意a∈R，关于x的方程f(x)=a都有解；④f(x)存在反函数f-1(x)，且对任意x∈R，总有f(x)= f-1(x)成立.11.关于曲线C :x2-xy+y2=4，给出下列四个结论：①曲线C关于原点对称，但不关于x轴、y轴对称；②曲线C恰好经过4个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；③曲线C上任意一点都不在圆x2+y2=3的内部；④曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2 2．其中，正确结论的序号是12.已知点P(x,y)在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q(xy,x+y)的轨迹方程是13.已知命题p:方程x2-2y2-2? ? x-1=0表示的图形是双曲线的一支和一条直线；命题q:已知椭圆E: y29 +x2=1,过点P 12 , 12? ?的直线与椭圆E相交于A、B两点,且弦AB被点P平分,则直线AB的方程为9x+y-5=0.则下列四个命题①p∧q;②p∨q;③p∧(?q);④(?p)∨q中,是真命题的是(只写出序号).第2页共158页

14.关于曲线C, 1x2 + 1y2 =1，有如下结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线x±y=0对称；③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2=2无公共点；⑤曲线C与曲线D:|x|+|y|=2 2有4个交点，这4点构成正方形．其中所有正确结论的序号为15.关于曲线C :x2+y4=1的下列说法：(1)关于点(0,0)对称；(2)关于直线x轴对称；(3)关于直线y=x对称；(4)是封闭图形，面积小于π；(5)是封闭图形，面积大于π；(6)不是封闭图形，无面积可言.其中正确的序号是16.平面直角坐标系中，A(-1,0),B(1,0)，若曲线C上存在一点P，使PA?? ?PB?? <0，则称曲线C为“合作曲线”，有下列曲线①x2+y2= 12；②y=x2+1；③2y2-x2=1；④3x2+y2=1；⑤2x+y=4，其中“合作曲线”是．(填写所有满足条件的序号)第3页共158页

专题2：曲线的轨迹方程一、填空题1.圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面上与P不重合的一个定点，P是圆上任意一点，线段PA的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤一个点2.已知椭圆x216 +y2=1的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上任意一点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作y轴的垂线，垂足为N，线段QN的中点为M，则点M的轨迹方程为3.过圆O:x2+y2=4与y轴正半轴的交点A作圆O的切线l，M为l上任意一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q．当点M在直线l上运动时，△MAQ的垂心的轨迹方程为4.已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：x2a2 + y2b2 =1的左、右顶点分别为A1，A2.直线l：m 2-y? ? + 1-2m? ? x=y+1(m∈R)交椭圆于P，Q两点，直线A1P和直线A2Q相交于椭圆外一点R，则点R的轨迹方程为5.点M为椭圆x29 + y25 =1上一点，F1,F2为椭圆的两个焦点，则△F1MF2的内心轨迹方程为二、解答题6.在平面直角坐标系xOy中，A，B为抛物线C :y2=2px p>0? ?上不同的两点，且OA⊥OB，点D 1，2? ?且OD⊥AB于点D.(1)求p的值；(2)过x轴上一点T t，0? ? t≠0 ?的直线l交C于M x1，y1? ?，N x2，y2? ?两点，M，N在C的准线上的射影分别为P，Q，F为C的焦点，若SΔPQF=2SΔMNF，求MN中点E的轨迹方程.7.若动点M到定点A 0,1? ?与定直线l:y=3的距离之和为4.(1)求点M的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；(2)记(1)得到的轨迹为曲线C，问曲线C上关于点B 0,t? ? (t∈R)对称的不同点有几对？请说明理由.第4页共158页

8.已知直线x=-2上有一动点Q，过点Q作直线l，垂直于y轴，动点P在l1上，且满足OP?? ?OQ?? =0(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C．(1)求曲线C的方程；(2)已知定点M - 12，0? ?，N 12，0? ?，点A为曲线C上一点，直线AM交曲线C于另一点B，且点A在线段MB上，直线AN交曲线C于另一点D，求△MBD的内切圆半径r的取值范围．9.已知⊙C1：(x-1)2+y2=1，⊙C2：(x+1)2+y2=25．(1)若直线L与⊙C1相切，且截⊙C2的弦长等于2 21，求直线L的方程．(2)动圆M与⊙C1外切，与⊙C2内切，求动圆M的圆心M轨迹方程．10.如图，设点A和B为抛物线y2=4px p>0? ?上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM ⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．11.设椭圆E: x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的离心率为22，已知A a,0? ?、B 0,-b? ?，且原点到直线AB的距离等于2 33 .，(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)已知过点M 1,0? ?的直线交椭圆E于C、D两点，若存在动点N，使得直线NC、NM、ND的斜率依次成等差数列，试确定点N的轨迹方程.第5页共158页

12.已知抛物线C：x2=2y，过点Q(1,1)的动直线与抛物线C交于不同的两点A,B，分别以A,B为切点作抛物线的切线l1、l2，直线l1、l2交于点P.(1)求动点P的轨迹方程；(2)求△PAB面积的最小值，并求出此时直线AB的方程.13.已知点A -2,0? ?，B 2,0? ?，动点S x,y? ?满足直线AS与BS的斜率之积为- 34，记动点S的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，并说明曲线C是什么样的曲线；(2)设M，N是曲线C上的两个动点，直线AM与NB交于点P，∠MAN =90°.①求证：点P在定直线上；②求证：直线NB与直线MB的斜率之积为定值.14.已知点A 1,0? ?，E，F为直线x=-1上的两个动点，且AE?? ⊥AF??，动点P满足EP?? ?OA??，FO?? ?OP??(其中O为坐标原点).(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若直线l与轨迹C相交于两不同点M、N，如果OM??? ?ON?? =-4，证明直线l必过一定点，并求出该定点的坐标.15.已知椭圆C的方程为x2+ y22 =1，点P(a，b)的坐标满足a2+ b22 ≤1，过点P的直线l与椭圆交于A?B两点，点Q为线段AB的中点，求：(1)点Q的轨迹方程；(2)点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.第6页共158页

16.已知点A(-2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为- 14．记M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程，并说明是什么曲线；(2)设直线l不经过点P(0,1)且与曲线C相交于点D．E两点．若直线PD与PE的斜率之和为2，证明：l过定点．17.在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为-2,0? ?，2,0? ?，P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于- 14，设点P的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设过点1,0? ?且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线AM，BN的交点在直线x=4上.18.过椭圆C外一点P x0,y0? ?作椭圆C : x25 + y24 =1的切线l1，l2，切点分别为A，B，满足l1⊥l2.(1)求P的轨迹方程(2)求△ABP的面积(用P的横坐标x0表示)(3)当P运动时，求△ABP面积的取值范围.第7页共158页

专题3：用方程研究曲线的性质一、单选题1.方程为2x2-4x+y4=2的曲线，给出下列四个结论：①关于x轴对称；②关于坐标原点对称；③关于y轴对称；④1- 2≤x≤1+ 2，- 2≤y≤ 2；以上结论正确的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.如图，半椭圆x2a2 + y2b2 =1(x≥0)与半椭圆y2b2 + x2c2 =1(x≤0)组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0.A1,A2和B1,B2分别是“果圆”与x轴，y轴的交点.给出下列三个结论：①2c
4.已知曲线C :x4+y4+mx2y2=1(m为常数)，给出下列结论：①曲线C为中心对称图形；②曲线C为轴对称图形；③当m=-1时，若点P(x,y)在曲线C上，则|x|≥1或|y|≥1；其中，正确结论是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③5.在数学中有这样形状的曲线：x2+y2= x? ? + y? ?.关于这种曲线，有以下结论：①曲线C恰好经过9个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意两点之间的距离都不超过2；③曲线C所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5.其中正确的结论有：( )A.①③B.②③C.①②D.①②③6.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1 -a,0? ?，F2 a,0? ?距离之积等于a2 a>0? ?的点的轨迹称为双纽线C.已知点P x0,y0? ?是双纽线C上一点，下列说法中正确的有( )①双纽线经过原点O；②双纽线C关于原点O中心对称；③-a2 ≤y0≤ a2；④双纽线C上满足PF1? ? = PF2? ?的点P有两个.A.①②B.①②③C.②③D.②③④7.曲线C为：到两定点M -2,0? ?、N 2,0? ?距离乘积为常数16的动点P的轨迹.以下结论正确的个数为( )(1)曲线C一定经过原点；(2)曲线C关于x轴、y轴对称；(3)ΔMPN的面积不大于8；(4)曲线C在一个面积为64的矩形范围内.A. 1 B. 2 C. 3 D. 48.已知曲线C：x x? ?a2 - y y? ?b2 =1，下列叙述中错误的是( )A.垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点B.直线y=kx+m(k,m∈R)与曲线C最多有三个交点C.曲线C关于直线y=-x对称D.若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)为曲线C上任意两点，则有y1-y2x1-x2 >0第9页共158页

9.关于曲线C :x4+y2=1，给出下列四个命题：①曲线C关于x轴对称；②曲线C关于直线y=x对称；③点P( k,k-2)(k≥0)可能在曲线C上；④曲线C围成的面积小于π；上述命题中，真命题的个数为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 410.笛卡尔?牛顿都研究过方程x-1? ? x-2 ? x-3 ? =xy，关于这个方程表示的曲线有下列说法，其中正确的有( )A.该曲线不关于y轴对称B.该曲线关于原点对称C.该曲线不经过第三象限D.该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数二、多选题11.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布﹒伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1 -a,0? ?，F2 a,0? ?距离之积等于a2 a>0? ?的点的轨迹称为双纽线C.已知点P x0,y0? ?是双纽线C上一点，下列说法中正确的有( )A.双纽线C关于x轴对称B. - a2 ≤y0≤ a2C.双纽线C上满足PF1? ? = PF2? ?的点P有两个D. PO? ?的最大值为2a12.在平面直角坐标系xOy中，P x,y? ?为曲线C :x2+4y2=2+2 x? ? +4 y? ?上一点，则( )A.曲线C关于原点对称B. x∈ -1- 3,1+ 3? ?C.曲线C围成的区域面积小于18 D. P到点0, 12? ?的最近距离为3213.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C : x2+y2? ? 3=16x2y2恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是( )A.曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)B.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2C.曲线C围成区域的面积大于4πD.方程x2+y2? ? 3=16x2y2(xy>0)表示的曲线C在第一象限和第三象限第10页共158页

14.数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”.经研究发现，在平面直角坐标系xOy中，到定点A(-a,0)，B(a,0)距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹C是“∞曲线”.若点P x0,y0? ?是轨迹C上一点，则下列说法中正确的有( )A.曲线C关于原点O中心对称；B. x的取值范围是[-a,a]；C.曲线C上有且仅有一个点P满足|PA|=|PB|；D. PO2-a2的最大值为2a2.15.关于曲线y24 +x x? ? =1的以下描述，正确的是( )A.该曲线的范围为：y∈R，x≤1 B.该曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称C.该曲线与直线2x+y=0有两个公共点D.该曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为116.已知曲线C的方程是x- x? ?x? ? 2+ y- y? ?y? ? 2=2，则下列结论正确的是( )A.曲线C与两坐标轴有公共点B.曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形C.若点P,Q在曲线C上，则PQ? ?的最大值是4 2D.曲线C围成的面积为8+4π三、填空题17.在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程C1: x+ y=1；C2:x4+y4=1，老师问同学们：你想到了什么?能得到哪些结论?下面是四位同学的回答：甲：曲线C1关于y=x对称；乙：曲线C2关于原点对称；丙：曲线C1与坐标轴在第一象限围成的图形面积S1< 12；丁：曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S2< π4；四位同学回答正确的有(选填“甲、乙、丙、丁”).18.曲线C是平面内与两个定点F1(0,1),F2(0,-1)的距离的积等于32的点P的轨迹，给出下列四个结论：①曲线C关于坐标轴对称；②△F1PF2周长的最小值为2+ 6；③点P到y轴距离的最大值为22；④点P到原点距离的最小值为22．其中所有正确结论的序号是．第11页共158页

19.已知曲线W1:x2+y2=m2，W2:x4+y2=m2，其中m>0.①当m=1时，曲线W1与W2有4个公共点；②当01，曲线W1围成的区域面积等于W2围成的区域面积；④?m>0，曲线W1围成的区域内整点(即横、坐标均为整数的点)个数不少于曲线W2围成的区域内整点个数.其中，所有正确结论的序号是20.在平面直角坐标系中，关于曲线y2=x3-2x+1，下列说法中正确的有①该曲线是有界的(即存在实数a,b,使得对于曲线上任意一点A x,y? ?，都有x? ? ≤a，|y|≤b成立)；②该曲线不是中心对称图形；③该曲线是轴对称图形；④直线x=m m>0? ?与该曲线至少有1个公共点.21.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C：x2+y2? ? 3=16x2y2恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4π；④方程x2+y2? ? 3=16x2y2 xy<0? ?表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是第12页共158页

22.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C :x2+y2=1+ x? ?y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点(即横?纵坐标均为整数的点)；②曲线C上存在到原点的距离超过2的点；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有错误结论的序号是23.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C :x2+y2=1+|xy|就是其中之一(如图)，给出下列三个结论：①曲线C恰好经过4个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2.③曲线C所围成的“花形”区域的面积小于4.其中，所有正确结论的序号是24.已知曲线C的方程x225 + y29 =1，给出下列4个结论：①曲线C是以点(-4,0)和(4,0)为焦点的椭圆的一部分；②曲线C关于x轴、y轴、坐标原点O对称；③若点P(x,y)在曲线C上，则x? ? <5，|y|<3；④曲线C围成的图形的面积是30．其中，所有正确结论的序号是25.已知曲线C的方程2x4+ y? ? =4，有以下说法：①曲线C过原点②曲线C与x轴有两个交点③曲线C关于x轴，y轴对称④P(x,y)为曲线C上任意一点，则y? ? ≤4其中全部正确的是第13页共158页

专题4：椭圆的定义与方程一、单选题1.如图所示，已知椭圆C : x24 +y2=1的左、右焦点分别为F1,F2，点M与C的焦点不重合，分别延长MF1,MF2到P,Q,使得MF1?? = 23 F1P??，MF2?? = 23 F2Q??，D是椭圆C上一点，延长MD到N，QD?? = 35 QM??? + 25 QN??，则PN? ? + QN? ? = ( )A. 10 B. 5 C. 6 D. 32.如图所示，在圆锥内放入两个球O1，O2，它们都与圆锥相切(即与圆锥的每条母线相切)，切点圆(图中粗线所示)分别为⊙C1，⊙C2.这两个球都与平面α相切，切点分别为F1，F2，丹德林(G·Dandelin)利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，F1，F2为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为30°，⊙C1，⊙C2的半径分别为1，4，点M为⊙C2上的一个定点，点P为椭圆上的一个动点，则从点P沿圆锥表面到达M的路线长与线段PF1的长之和的最小值是( )A. 6 B. 8 C. 3 3 D. 4 3第14页共158页

3.已知椭圆x24 + y2b2 =1 0b>0? ?的两个焦点F1，F2与短轴的两个端点B1，B2都在圆x2+y2=1上，P是C上除长轴端点外的任意一点，∠F1PF2的平分线交C的长轴于点M，则MB1? ? + MB2? ?的取值范围是( )A. 2, 5? ? B. 2, 6? ? C. 2, 7? ? D. 2,2 2? ?6.已知F1、F2是椭圆x24 + y23 =1的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，以PF1为直径作圆N，直线ON与圆N交于点Q(点Q不在椭圆内部)，则QF1?? ?QF2?? = ( )A. 2 3 B. 4 C. 3 D. 17.已知F是椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的一个焦点，若直线y=kx与椭圆相交于A,B两点，且∠AFB=60°，则椭圆离心率的取值范围是( )A. 32，1? ? B. 0，32? ? C. 0，12? ? D. 12，1? ?8.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的左右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆上一点，线段AF1的垂直平分线与椭圆的一个交点为B，若AB?? =3F2B??，则椭圆C的离心率为( )A. 13 B. 33 C. 23 D. 639.已知椭圆E：x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离等于45，则椭圆E的焦距长( )A. 2 B. 2 3 C. 3 D. 4第15页共158页

10.一光源P在桌面A的正上方，半径为2的球与桌面相切，且PA与球相切，小球在光源P的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是RtΔPAB，其中PA=6，则该椭圆的短轴长为( )A. 6 B. 8 C. 4 3 D. 311.已知椭圆C：x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)，F1,F2为左右焦点，点P(2, 3)在椭圆C上，△F1PF2的重心为G，内心为I，且有PM = (x-1)2+y2 = x2-2x+1+4-2x2 = 6-(x+1)2(λ为实数)，则椭圆方程为( )A. x28 + y26 =1 B. x216 + y24 =1 C. x29 + 5y227 =1 D. x210 + y25 =1二、填空题12.圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面上与P不重合的一个定点，P是圆上任意一点，线段PA的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤一个点13.已知椭圆x216 +y2=1的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上任意一点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作y轴的垂线，垂足为N，线段QN的中点为M，则点M的轨迹方程为14.点F为椭圆x29 + y28 =1的右焦点，M在椭圆上运动，点P 1,-2? ?，则ΔMPF周长的最大值为15.如图，把椭圆x216 + y29 =1的长轴AB八等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，?，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则P1F +? ?P2F +? ?P3F +?+? ?P7F? ?的值为第16页共158页

16.已知椭圆C：x29 + y24 =1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A,B，线段MN的中点在C上，则AN? ? + BN? ? =_______．17.已知椭圆C : x24 + y23 =1的左、右焦点分别为F1、F2，点M 4,4? ?，若点P为椭圆C上的一个动点，则PM? ? - PF1? ?的最小值为18.设椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的左焦点为F，直线x=m与椭圆C相交于A，B两点.当△ABF的周长最大时，△ABF的面积为b2，则椭圆C的离心率e=19.一动圆M与圆C1：x+1? ? 2+y2=25内切，且与圆C2：x-1? ? 2+y2=1外切，则动圆圆心M的轨迹方程是20.若复数z满足z+i? ? + z-i? ? =4，则z在复平面内对应点的轨迹方程是(结果要求化简)21.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点P为椭圆C上一点，满足F1F2?? ?PF2?? =0，△PF1F2的面积为2 33，直线PF1交椭圆C于另一点Q，且PF1?? =3F1Q??，则椭圆C的标准方程为22.圆x2+y2=1的切线与椭圆x24 + y23 =1交于两点A,B分别以A,B为切点的x24 + y23 =1的切线交于点P，则点P的轨迹方程为第17页共158页

专题5：椭圆的对称性一、单选题1.椭圆x29 + y28 =1的左右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，则ΔMF1N的周长为( )A. 8 B. 10 C. 16 D. 222.如图，椭圆C的方程为x24 + y23 =1，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P、Q是椭圆上位于x轴上方的两点，且PF1?QF2，则PF1? ? + QF2? ?的取值范围为( )A. 2,4? ? B. 3,4? ? C. 1,4? ? D. 1.5,4? ?3.椭圆x24 + y23 =1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作x轴的垂线交椭圆于点P，过P与原点o的直线交椭圆于另一点Q，则△F1PQ的周长为( )A. 4 B. 8 C. 4+ 13 D. 2+ 134.已知A、B分别是椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左、右顶点，M、N是椭圆C上两点关于x轴对称，若AM、BN的斜率之积为49，则椭圆C的离心率是( )A. 63 B. 53 C. 5 39 D. 5 295.已知椭圆x216 + y29 =1及以下3个函数：①f(x)=x；②f(x)=sinx；③f(x)=cosx，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个6.设椭圆Γ: x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)，若四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3 -1, 32? ?，P4 1, 32? ?中恰有三点在椭圆Γ上，则不在Γ上的点为( )A. P1 B. P2 C. P3 D. P4第18页共158页

7.设P、Q是椭圆x24 +y2=1上相异的两点.设A 2,0? ?、B 0,1? ? .命题甲：若AP? ? = AQ? ?，则P与Q关于x轴对称；命题乙：若BP? ? = BQ? ?，则P与Q关于y轴对称.关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是( )A.甲和乙都是真命题B.甲是真命题，乙是假命题C.甲是假命题，乙是真命题D.甲和乙都是假命题8.若点A，B是椭圆x24 +y2=1上关于原点对称的两点，F是椭圆的右焦点，则ΔABF面积的最大值是( )A. 4 B. 2 3 C. 2 D. 39.已知椭圆C：x24 + y23 =1，其左右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上一动点，则满足∠F1PF2为45°的点P有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个10.椭圆的离心率为22，F为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称，则椭圆的方程为( )A. x218 + y29 =1 B. x29 + y218 =1C. x218 + y29 =1或x29 + y218 =1 D. x28 + y24 =1或x24 + y28 =1二、填空题11.已知椭圆x22 +y2=1上存在相异两点关于直线y=x+t对称，请写出两个符合条件的实数t的值12.如图，两个椭圆x225 + y29 =1,x29 + y225 =1内部重叠区域的边界记为曲线C,P是曲线C上任意一点，给出下列三个判断：①P到F1(-4,0),F2(4,0),E1(0,-4),E2(0,4)四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x,y=-x均对称；③曲线C所围成区域面积必小于36.上述判断中所有正确命题的序号为第19页共158页

13.已知椭圆x24 +y2=1，P是椭圆的上顶点，过点P作直线l，交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对称点为B，则S△PAB的最大值为14.如图，已知F1,F2分别是椭圆x24 + y23 =1的左，右焦点，A，B，C是椭圆上x轴上方的三点，且AF1∥BO∥CF2(O为坐标原点)，则AF1+CF2? ?OB? ?的取值范围是15.已知椭圆x2a2 +y2=1的左、右焦点为F1、F2，点F1关于直线y=-x的对称点P仍在椭圆上，则ΔPF1F2的周长为16.椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的右焦点F(c，0)关于直线y= bc x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是三、双空题17.已知椭圆的方程为x29 + y24 =1，过椭圆中心的直线交椭圆于A,B两点，F2是椭圆右焦点，则ΔABF2的周长的最小值为，ΔABF2的面积的最大值为．第20页共158页

四、解答题18.已知椭圆x24 + y23 =1，试确定的m取值范围，使得对于直线y=4x+m，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.19.已知椭圆x22 +y2=1上两个不同的点A、B关于直线y=mx+ 12 m≠0? ?对称．(1)若已知C 0, 12? ?，M为椭圆上动点，证明：MC? ? ≤ 102；(2)求实数m的取值范围；(3)求ΔAOB面积的最大值(O为坐标原点)．20.已知椭圆C：x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)经过点1, 32? ?，离心率为12，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P x0,y0? ? (y0≠0)在椭圆C上，求证；直线PF2与直线PF1关于直线l：x0x4 + y0y3 =1对称.第21页共158页

专题6：椭圆的离心率问题一、单选题1.已知椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I，G分别为ΔPF1F2的内心和重心，当IG⊥x轴时，椭圆的离心率为( )A. 13 B. 12 C. 32 D. 632.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”(先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会)国家．根据规划，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD(如图)，且两切线斜率之积等于- 916，则椭圆的离心率为( )A. 34 B. 74 C. 916 D. 323.已知椭圆x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的右焦点和上顶点分别为点F c,0? ? b>c ?和点A，直线l:6x-5y-28=0交椭圆于P,Q两点，若F恰好为△APQ的重心，则椭圆的离心率为( )A. 22 B. 33 C. 55 D. 2 554.设椭圆x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2= π3，若ΔF1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R=4r时，椭圆的离心率为( )A. 45 B. 23 C. 12 D. 155.已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且∠F1PF2= π3，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为( )A. 4 33 B. 3 34 C. 2 D. 2 3第22页共158页

6.已知F1(-c,0)，F2(c,0)为椭圆x2a2 + y2b2 =1的两个焦点，P(不在x轴上)为椭圆上一点，且满足PF1?? ?PF2?? =c2，则椭圆离心率的取值范围是( )A. 33 , 22??? ? B. 13 , 12??? ? ? ? C. 33 ,1??? ? D. 0, 22? ?7.已知椭圆x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的左右焦点分别为F1，F2，点Q为椭圆上一点. △QF1F2的重心为G，内心为I，且GI??=λF1F2??，则该椭圆的离心率为( )A. 12 B. 22 C. 13 D. 23二、填空题8.已知椭圆C：x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为9.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin双球”)；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距离O1O2? ? =8,截面分别与球O1，球O2切于点E，F，(E，F是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于10.设椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当ab 3- 23mn? ? + 2mn +3(ln|m|+ln|n|)取得最小值时，椭圆C的离心率是11.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的右焦点为F，经过坐标原点O的直线交椭圆于A．B两点，M、N分别为线段AF、BF的中点，若存在以MN为直径的圆恰经过坐标原点O，则椭圆的离心率的取值范围为第23页共158页

12.已知斜率为1的直线l经过椭圆M : x2a2 + y2b2 =1的左焦点，且与椭圆M交于A，B两点，若椭圆M上存在点C，使得△ABC的重心恰好是坐标原点，则椭圆M的离心率e=13.已知中心在原点的椭圆C的一个端点为A 3,0? ?，直线l:y=2x+1.若C上存在相异的两点M，N关于l对称，则椭圆C离心率的取值范围是14.已知点P为直线ax+y-4=0上一点，PA,PB是椭圆C : x2a2 +y2=1 a>0? ?的两条切线，若恰好存在一点P使得PA⊥PB，则椭圆C的离心率为15.已知点P是椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)上一点，过点P的一条直线与圆x2+y2=a2+b2相交于A,B两点，若存在点P，使得|PA|?|PB|=a2-b2，则椭圆的离心率取值范围为16.已知椭圆x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?左顶点为A，O为坐标原点，若椭圆上存在点M使OM ⊥MA，则椭圆的离心率e的取值范围是17.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2= π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为18.已知椭圆C1: x2a21 + y2b21 =1(a1>b1>0)与双曲线C2: x2a22 - y2b22 =1(a2>0,b2>0)有相同的焦点F1、F2，点P是两曲线的一个公共点，e1,e2分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为第24页共158页

专题7：椭圆中的定点问题1.已知椭圆E: x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)，点M 2,1? ?在椭圆上，椭圆E上存在点N与左焦点F关于直线y=x对称(1)求椭圆E的方程；(2)若A?B为椭圆的左、右顶点，过点T(4,m)(m≠0)的直线TA，TB与椭圆相交于点P?Q两点，求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标.2.已知椭圆C1: x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)经过点M 1, 32? ?，且其右焦点与抛物线C2:y2=4x的焦点F重合，过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点．(1)求椭圆C1的方程；(2)设O为坐标原点，线段OF上是否存在点N(n,0)，使得QP?? ?NP?? =PQ?? ?NQ??？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由；(3)过点P0(4,0)且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，试证明：直线AE过定点．3.已知椭圆Γ：x24 +y2=1，斜率为k的直线l与椭圆Γ有两个不同的公共点A、B，Γ的左、右焦点分别为F1、F2.(1)若直线l经过点F1，求△ABF2的周长；(2)若k=1，求△AOB面积的取值范围；(3)若k=1，P -4,0? ?，直线PA与椭圆Γ的另一个交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一个交点为D，求证：直线CD过定点，并求出定点的坐标.第25页共158页

4.已知椭圆Γ: x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为22，M是椭圆上的动点，△MF1F2的最大面积为1．(1)求椭圆Γ的方程；(2)求证：过椭圆Γ: x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)上的一点T x0,y0? ?的切线方程为：x?x0a2 + y?y0b2 =1；(3)设点P是直线l:x=2上的一个动点，过P做椭圆Γ的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由．5.已知椭圆C：x22 +y2=1的右焦点为F，过点F的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x=2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D.(1)求四边形OAHB(O为坐标原点)的面积的取值范围.(2)证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标.6.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?过点2,0? ?，离心率为12 .(1)求椭圆C的方程；(2)设点M为椭圆C的上顶点，A、B是椭圆C上两个不同的动点(不在y轴上)，直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，且k1k2=3，求证：直线AB过定点N 0,- 53 3? ? .7.已知椭圆M : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?过A -2,0? ?、B 0,1? ?两点.(1)求椭圆M的离心率；(2)设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上(P不与椭圆M的顶点重合)，直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点.第26页共158页

8.已知F是椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的左焦点，焦距为4，且C过点P 3,1? ? .(1)求C的方程;(2)过点F作两条互相垂直的直线l1,l2，若l1与C交于A,B两点，l2与C交于D,E两点，记AB的中点为M,DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过点，请求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.9.如图，已知椭圆C：x2a2 +y2=1 a>1? ?的左焦点为F，直线y=kx k>0? ?与椭圆C交于A，B两点，且FA?? ?FB??=0时，k= 33 .(1)求a的值；(2)设线段AF，BF的延长线分别交椭圆C于D，E两点，当k变化时，直线DE是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.10.已知斜率为的34的直线l与椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?交于点A,B，线段AB中点为D -1,1? ?，直线l在y轴上的截距为椭圆C的长轴长的716倍.(1)求椭圆C的方程；(2)若点P,Q,M,N都在椭圆上，且PQ,MN都经过椭圆C的右焦点F，设直线PQ,MN的斜率分别为k1,k2，k1+k2=-1，线段的中点分别为G,H，判断直线GH是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.11.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x23 +y2=1的左顶点为A，点P、Q是椭圆C上的两个动点．(1)当P、O、Q三点共线时，直线PA、QA分别与y轴交于M，N两点，求AM??? ?AN??的值；(2)设直线AP、AQ的斜率分别为k1，k2，当k1k2=-1时，证明：直线PQ恒过一个定点R．第27页共158页

12.已知：椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左右焦点为F1?F2，椭圆C截直线x=c所得线段MN的长为2，三角形△F1MN的周长为4 2.(1)求C的方程；(2)若A，B为C上的两个动点，且∠AF2M =∠BF2M.证明：直线AB过定点，并求定点的坐标.13.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的离心率为12，直线y=x+ 6与圆x2+y2=b2相切.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，证明：直线l过定点，并求出该定点坐标．14.已知P 0,1? ?为椭圆x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?上的一点，焦距长为2．PA、PB为椭圆的两条动弦，其倾斜角分别为α，β，且α+β= π4 0<α< π4，0<β< π4? ?．(1)求椭圆的标准方程；(2)探究直线AB是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．15.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的离心率为32，且经过点A(2,0).(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)不过点A的直线l与椭圆交于P,Q两点，以线段PQ为直径的圆经过点A，证明：直线l过定点.第28页共158页

专题8：椭圆中的定值问题1.已知椭圆C：x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的离心率为12，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P是椭圆C上一点，且△PF1F2的周长是6．(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率为k的直线交x轴于T点，交曲线C于A，B两点，是否存在k使得AT? ? 2+ BT? ? 2为定值，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．2.已知F1，F2分别为椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左、右焦点，M为C上的动点，其中M到F1的最短距离为1，且当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2恰好为等边三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)斜率为k的动直线l过点F2，且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，那么，PF2? ?|AB|是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由.3.已知椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左焦点为F，过F的直线x-4 3y+ 3=0与椭圆在第一象限交于M点，O为坐标原点，三角形MFO的面积为34．(1)求椭圆的方程；(2)若△ABC的三个顶点A，B，C都在椭圆上，且O为△ABC的重心，判断△ABC的面积是否为定值，并说明理由．4.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>0,b>0)的离心率为12，并且经过P 0，3? ?点．(1)求椭圆C的方程；(2)设过点P的直线与x轴交于N点，与椭圆的另一个交点为B，点B关于x轴的对称点为B?，直线PB?交x轴于点M，求证：OM? ? ? ON? ?为定值．第29页共158页

5.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，过右焦点F(1,0)的直线交椭圆C于P，Q两点，点P在x轴上方，当PQ⊥x轴时，OP?AD(O为坐标原点).(1)求椭圆C的标准方程.(2)设直线AP交直线BQ于点M，直线BP交直线AQ于点N，则∠MFN是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.6.已知经过原点O的直线与离心率为22的椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?交于A，B两点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，且△AF1F2面积的最大值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图所示，设点P是椭圆C上异于左右顶点的任意一点，过点Р的椭圆C的切线与x=-2交于点M.记直线PF1的斜率为k1，直线MF2的斜率为k2，证明：k1?k2为定值，并求出该定值.7.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的一个焦点和抛物线y2=12x的焦点相同，且椭圆过点-2, 2? ? .(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，点C在椭圆上，问平行四边形OACB的面积是否为定值？若是定值，求出结果，若不是，说明理由.第30页共158页

8.以椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的中心O为圆心，a2+b2为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．已知椭圆C的长轴长是短轴长的2倍，且经过点( 2,1)，椭圆C的“准圆”的一条弦AB所在的直线与椭圆C交于M、N两点．(1)求椭圆C的标准方程及其“准圆”的方程；(2)当OM??? ?ON?? =0时，证明:弦AB的长为定值．9.已知椭圆C：x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的离心率为12，且过点P 1, 32? ? .(1)求椭圆C的方程；(2)已知A，B是椭圆C上的两点，且直线OA，OB的斜率之积为- 34，点M为线段OA的中点，连接BM并延长交椭圆C于点N，求证：S△OMBS△AMN为定值.10.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左、右两个焦点分别是F1，F2，焦距为2，点M在椭圆上且满足MF2⊥F1F2，MF1? ? =3 MF2? ?.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)点O为坐标原点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，证明1|OA|2 + 1|OB|2为定值，并求出该定值.11.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的焦距为2 3，且过点A 3, 12? ? .(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若MA?? =λ1AF??，MB?? =λ2BF??，求证：λ1+λ2为定值.第31页共158页

12.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA?? +OB??与a?= 3,-1? ?共线．(1)求椭圆的离心率；(2)设M为椭圆上任意一点，且OM??? =λOA?? +μOB?? λ,μ∈R? ?，证明：λ2+μ2为定值．13.已知F1，F2为椭圆E: x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左、右焦点，点P 1,2 33? ?在椭圆上，且过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4 3.(1)求椭圆E的方程；(2)对于椭圆E，问否存在实数λ，使得AF2? ? + BF2? ? =λ AF2? ? ? BF2? ?成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由.14.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的离心率e= 12，D 1, 32? ?为椭圆上一点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知F为椭圆C的右焦点，过点F的直线l交椭圆(异于椭圆顶点)于A、B两点，试判断1AF? ? + 1BF? ?是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.第32页共158页

专题9：椭圆中的定直线问题1.已知椭圆E: x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?过点6,1? ?，且离心率为22 .(1)求椭圆E的方程；(2)过右焦点F且不与x轴重合的直线与椭圆交于M，N两点，已知D 3,0? ?，过M且与y轴垂直的直线与直线DN交于点P，求证：点P在一定直线上，并求出此直线的方程.2.已知点P是离心率为12的椭圆C：x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)上位于第一象限内的点，过点P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于M，N两点，交直线y=- ba x于Q，R两点，记△OMQ与△ONR的面积分别为S1，S2，且S1+S2= 3．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设椭圆C的上、下顶点分别为B1，B2，过点D 0,1? ?的直线与椭圆相交于E，F两点，证明：直线EB2，FB1的交点G在一定直线上，并求出该直线方程．3.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合，原点到过点A a,0? ? ,B 0,-b? ?的直线距离是2 217(1)求椭圆C的方程(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F1作PF1的垂线与直线l交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程第33页共158页

4.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的离心率为63，且过点0,1? ?．如图所示，斜率为k k>0? ?且过点-1,0? ?的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，若F在射线OE上，且OG? ? 2= OE? ? ? OF? ?．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证：点F在定直线上．5.已知椭圆C : x24 + y22 =1，点P 4,1? ?为椭圆外一点．(1)过原点作直线交椭圆C于M、N两点，求直线PM与直线PN的斜率之积的范围；(2)当过点P的动直线l与椭圆C相交于两个不同点A、B时，线段AB上取点Q，满足AP??? ? ? QB??? ? = AQ??? ? ? PB??? ?，证明：点Q总在某定直线上．6.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的离心率为12 ,A,B分别是它的左、右顶点，F是它的右焦点，过点F作直线与C交于P,Q(异于A,B)两点，当PQ⊥x轴时，ΔAPQ的面积为92 .(1)求C的标准方程;(2)设直线AP与直线BQ交于点M，求证:点M在定直线上.7.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的左、右顶点分别为点A，B，且AB? ? =4，椭圆C离心率为12 .(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM，BN的交于点Q，求证：点Q在直线x=4上.第34页共158页

8.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的离心率e= 12，F为椭圆的右焦点，P为椭圆上的动点，PF? ?的最大值为3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过点F作直线交椭圆C于M，N两点，直线AM、BN交于点T，试探究点T是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若不是，请说明理由.9.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为2 3.(1)求a，b的值；(2)当过点P 6,0? ?的动直线l与椭圆C交于不同的点A，B时，在线段AB上取点Q，使得AP?? ?BQ?? +AQ?? ?BP?? =0，问点Q是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.10.如图，椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且F1恰是QF2的中点，若过A，Q，F2三点的圆与直线l:x- 3y-3=0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N为椭圆C的长轴两端点，直线m过点P 4,0? ?交C于不同两点G，H，证明：四边形MNHG的对角线交点在定直线上，并求出定直线方程．第35页共158页

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B是椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左、右顶点，AB=2 2，离心率e= 22 .F是右焦点，过F点任作直线l交椭圆于M，N两点.(1)求椭圆的方程；(2)试探究直线AM与直线BN的交点P是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.12.已知椭圆E：x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的离心率为22，F1，F2分别为E的左、右焦点，过E的右焦点F2作x轴的垂线交E于A，B两点，△F1AB的面积为2．(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在与x轴不垂直的直线l与E交于C，D两点，且弦CD的垂直平分线过E的右焦点F2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．第36页共158页

专题10：椭圆中的范围问题1.已知椭圆C：x24 +y2=1，直线y=kx与椭圆C交于A,A1两点，点A x1,y1? ?位于第一象限，B x2,y2? ?是椭圆C上一点，且AB⊥AA1，设D x1,-y12? ?．(1)证明：A1,D,B三点共线；(2)求△AA1B面积的最大值．2.如图，过椭圆x22 +y2=1的左右焦点F1,F2分别做直线AB,CD，交椭圆于A,B,C,D四点，设直线AB的斜率为k(k≠0)(1)求|AB|(用k表示)；(2)若直线AB,CD的斜率之积为- 12，求四边形ACBD面积的取值范围．3.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的离心率为12，且经过点A 2, 62? ? .设椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆C上的一个动点(异于椭圆C的左、右端点).(1)求椭圆C的方程；(2)过点P作椭圆C的切线l，过点F1作l的垂线，垂足为Q，求△QF1F2面积的最大值.第37页共158页

4.已知离心率为32的椭圆E: x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的两个焦点分别为F1、F2．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若过点P m,0? ? m>1 ?作圆O:x2+y2=1的切线l交椭圆E于M、N两点，求△MNO面积的最大值．5.已知椭圆E: x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的离心率为12，且过点P 1, 32? ?，设M．F分别是椭圆E的左、右焦点．(1)是椭圆E的标准方程；(2)若椭圆E上至少有个不同11的点Pi(i=1,23,?)，使得FP1? ?，FP2? ?，FP3? ?，?组成公差为d的等差数列，求公差d的取值范围(3)若过右焦点F的直线交椭圆E于A，B两点，过左焦点M的直线交椭圆E于C，D两点，且AB⊥CD，求AB? ? + CD? ?的最小值．6.已知椭圆M : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的一个焦点为F(-1,0)，且椭圆M过点T 1, 32? ?．(1)求椭圆M的方程；(2)过点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为P，Q，求△FPQ面积的最大值．第38页共158页

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)过点1,e? ?，且e= 32，其中e为椭圆C的离心率.若A，B分别是椭圆C的上顶点与右顶点，动直线y=kx k>0? ?与椭圆C交于E，F两点，其中点E在第一象限.(1)求椭圆C的方程；(2)设△AEB，△AFB的面积分别为S1，S2，求S2S1的最小值，并求出此时k的值.8.已知F1，F2是椭圆C : x2a2 + y2b2 = 1 a>b>0? ?的左、右焦点，弦AB经过点F2，若AF2? ? = 2 F2B? ?，tan∠AF1B= 34，且△F1F2B的面积为2．(1)求椭圆的方程；(2)若直线y=k x-1? ? 1≤k≤2 ?，与y轴交于点P，与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交于点Q，求MN? ?PQ? ?的取值范围．9.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?经过一点1，32? ?，左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一动点，当PF2垂直于x轴时，PF2? ? = 12 .(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F1，斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点，且∠AOB为钝角(O为坐标原点)，求k的取值范围.第39页共158页

10.如图所示，已知点F1、F2是椭圆C1: x22 +y2=1的两个焦点，椭圆C2: x22 +y2=λ经过点F1、F2，点P是椭圆C2上异于F1、F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A、B和C、D.设AB、CD的斜率分别为k1、k2.(1)求证：k1?k2为定值；(2)求AB? ? ? CD? ?的最大值.11.已知椭圆C : x2a2 + y23 =1 a> 3? ?的离心率为12，过点0,1? ?的直线l与C有两个不同的交点A，B，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线l与直线OD分别交直线x=4于点M，N.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求线段MN? ?的最小值.12.已知椭圆x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的一个焦点为F 1,0? ?，且经过点1, 22? ?，A，B是椭圆上两点，AB? ? = 2．(1)求椭圆方程；(2)求OA?? ?OB??的取值范围．第40页共158页

13.如图，椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的离心率为12，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB的斜率为0时，AB? ? =4．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)求使AB? ? + CD? ?取最小值时直线AB的方程．第41页共158页

专题11：椭圆中的存在探索性问题1.已知椭圆C：x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?，长轴为4，不过坐标原点O且不平行于坐标轴的直线l与椭圆C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值- 14 .(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过右焦点F2，问y轴上是否存在点D，使得三角形ABD为正三角形，若存在，求出点D坐标，若不存在，请说明理由.2.已知椭圆E: x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一动点，当ΔMF1F2的面积最大时，其内切圆半径为b3，椭圆E的左、右顶点分别为A，B，且|AB|=4．(1)求椭圆E的标准方程；(2)过F1的直线与椭圆相交于点C，D(不与顶点重合)，过右顶点B分别作直线BC，BD与直线x=-4相交于N，M两点，以MN为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．3.椭圆E：x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)经过点A(-2，0)，且离心率为22 .(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(4，0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM +∠PQN =180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4.已知A、B分别为椭圆E: x2a2 +y2=1(a>1)的左顶点和下顶点，P为直线x=3上的动点，AP?? ?BP??的最小值为594．(1)求E的方程；(2)设PA与E的另一交点为D，PB与E的另一交点为C，问：是否存在点P，使得四边形ABCD为梯形，若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．第42页共158页

5.已知椭圆G: x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的离心率为22，且过点(2, 2)．(1)求椭圆G的方程；(2)过点M(0,1)斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆G于A，B两点，在y轴上是否存在点N使得∠ANM =∠BNM(点N与点M不重合)，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．6.已知椭圆C : x2a2 + y23 =1(a>0)的焦点在x轴上，且经过点E 1, 32? ?，左顶点为D，右焦点为F．(1)求椭圆C的离心率和△DEF的面积；(2)已知直线y=kx+1与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线y=t(t> 3)的垂线，垂足为G，判断是否存在常数t，使得直线AG经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．7.已知椭圆E：x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ? .左焦点F -1,0? ?，点M 0,2? ?在椭圆E外部，点N为椭圆E上一动点，且△NMF的周长最大值为2 5+4.(1)求椭圆E的标准方程；(2)点B?C为椭圆E上关于原点对称的两个点，A为左顶点，若直线AB?AC分别与y轴交于P?Q两点，试判断以PQ为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.8.已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A(0,1),B(0,-1)，离心率为63．(1)求椭圆C的方程及焦点的坐标；(2)若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原点且与直线MA平行的直线与直线y=3交于点P，直线MB与直线y=3交于点Q，试判断以线段PQ为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．第43页共158页

9.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的离心率e= 22，过右焦点F c,0? ?的直线y=x-c与椭圆交于A，B两点，A在第一象限，且AF? ? = 2．(1)求椭圆C的方程；(2)在x轴上是否存在点M，满足对于过点F的任一直线l与椭圆C的两个交点P，Q，都有MP?? ?MQ??为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．10.已知椭圆C1: x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的离心率为12 ,P 1, 32? ?为椭圆上一点，A,B为椭圆上不同两点，O为坐标原点，(1)求椭圆C的方程；(2)线段AB的中点为M，当△AOB面积取最大值时，是否存在两定点G,H，使GM? ? + HM? ?为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．11.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的离心率为63，短轴长为2 2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知A，B是椭圆C上的两个不同的动点，以线段AB为直径的圆经过坐标原点O.是否存在以O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出定圆方程；若不存在，请说明理由.第44页共158页

12.已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点为(0,1)，离心率e= 25，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设点M(m,0)是线段OF上的一个动点，且(MA?? +MB?? )⊥AB??，求m的取值范围；(3)设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．13.已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率e= 25，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设点M(m,0)是线段OF上的一个动点，且(MA?? +MB?? )⊥AB??，求m的取值范围；(3)设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．14.已知动点P到点(- 6,0)的距离与到直线x=-4 63的距离之比为32 .(1)求动点P的轨迹C的标准方程；(2)过点A(-4,0)的直线l交C于M，N两点，已知点B(-2,-1)，直线BM，BN分别交x轴于点E，F.试问在x轴上是否存在一点G，使得BE?? ?GF?? +GE?? ?BF?? =0？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.第45页共158页

专题12：椭圆向量结合问题1.已知定点O2 2,0? ?，点P为圆O1：x+2? ? 2+y2=32(O1为圆心)上一动点，线段O2P的垂直平分线与直线O1P交于点G．(1)设点G的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)若过点O2且不与x轴重合的直线l与(1)中曲线C交于D，E两点，当O1D??? ?O1E???取最大值时，求△O1DE的面积．2.已知椭圆C：x23 +y2=1，过点(-1,0)的直线l交椭圆C于点A，B.(1)当直线l与x轴垂直时，求|AB|；(2)在x轴上是否存在定点P，使PA?? ?PB??为定值？若存在，求点P的坐标及PA?? ?PB??的值；若不存在，说明理由.3.已知椭圆C1：x24 +y2=1，F1,F2为C1的左、右焦点.(1)求椭圆C1的焦距；(2)点Q 2, 22? ?为椭圆C1一点，与OQ平行的直线l与椭圆C1交于两点A、B，若△QAB面积为1，求直线l的方程；(3)已知椭圆C1与双曲线C2：x2-y2=1在第一象限的交点为M(xM,yM)，椭圆C1和双曲线C2上满足x? ? ≥ xN? ?的所有点(x,y)组成曲线C．若点N是曲线C上一动点，求NF1?? ?NF2??的取值范围.第46页共158页

4.如图，椭圆C : x216 + y24 =1的右顶点为A，上顶点为B，动直线交椭圆C于M、N两点，且满足∠MON =90°，过原点O作OH ⊥MN，垂足为H.(1)求点H的轨迹方程；(2)求HA?? ?HB??的取值范围.5.设椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，离心率为53，|AB|= 13.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限.若PM?? =2QP??，求k的值.6.已知P为圆M : x+1? ? 2+y2=36上任意一点，点N 1,0? ?，线段PN的垂直平分线交直线PM于Q，动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知直线l:x=4，A -3,0? ?、B 3,0? ?，S为曲线C上的点且S与A、B不重合，直线AS和直线BS分别与l相交于D、E，问AD?? ?BE??是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.第47页共158页

7.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?，A，B为椭圆的左、右顶点，点N 0,-2? ?，连接BN交椭圆C于点Q，ABN为直角三角形，且NQ? ? : QB? ? =3:2(1)求椭圆的方程；(2)过A点的直线l与椭圆相交于另一点M，线段AM的垂直平分线与y轴的交点P满足PA?? ?PM?? =154，求点P的坐标.8.平面直角坐标系xOy中，经过椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的一个焦点的直线x-y-2=0与C相交于A、B两点，H为AB的中点，且OH的斜率为- 59 .(1)求椭圆C的方程.(2)直线l1过椭圆C的右焦点F且与椭圆C交于P、Q两点，点G为椭圆的左顶点，直线l2:x=6，连接GP、GQ并延长与直线l2分别交于点M、N，点R m,0? ?、S n,0? ?，且m2+n2=1.求RM??? ?SN??的取值范围.9.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的焦距为2 3，且过点A 3, 12? ? .(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若MA?? =λ1AF??，MB?? =λ2BF??，求证：λ1+λ2为定值.第48页共158页

10.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)过点1, 22? ?，焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(0,m)作两条直线l1，l2且l1⊥l2，l1切椭圆C于M，l2交椭圆C于A，B不同两点，求OA?? ?OB??的取值范围.11.如图，已知椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．(1)若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率．(2)若椭圆的焦距为2，且AF2?? = 32 F2B??，求椭圆的方程．12.已知椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)过点( 6, 2)且离心率为63．设P为圆x2+y2=3上任意一点，过点P作该圆的切线交椭圆于E，F两点．(1)求椭圆的方程；(2)试判断PE?? ?PF??是否为定值？若为定值，则求出该定值；否则，请说明理由．第49页共158页

13.定义：已知椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)，把圆x2+y2= a2b2a2+b2称为该椭圆的协同圆.设椭圆C : x24 + y22 =1的协同圆为圆O(O为坐标系原点)，试解决下列问题：(1)写出协同圆圆O的方程；(2)设直线l是圆O的任意一条切线，且交椭圆C于A,B两点，求OA?? ?OB??的值；(3)设M,N是椭圆C上的两个动点，且OM ⊥ON，过点O作OH ⊥MN，交直线MN于H点，求证：点H总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.14.是否存在过点E 0,-4? ?的直线l交椭圆x216 + y212 =1于点R、T，且满足OR?? ?OT?? = 167？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．第50页共158页

专题13：椭圆的应用问题一、单选题1.如图所示，“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1-c1=a2-c2；②a1+c1=a2+c2；③c1a2>a1c2；④c1a1 < c2a2 .其中正确的是( )A.②③B.①④C.①③D.②④2.设函数y= f x? ?的图象由方程x x? ?4 + y y? ?2 =1确定，对于函数f x? ?给出下列命题：P1：?x1,x2∈R，x1≠x2，恒有f x1? ? - f x2? ?x1-x2 <0成立；P2：y= f x? ?的图象上存在一点P，使得P到原点的距离小于2；P3：对于?x∈R，2f x? ? +x>0恒成立；则下列正确的是( )A. P1∧P2 B. P1∧P3 C. ?P2∨P3 D. ?P1∨P3第51页共158页

3.光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点F1、F2的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点F1发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的Ω去掉，如图②，此光线从点F1发出，经Γ两次反射后又回到了点F1，历时t2秒；若t2=8t1，则Γ与Ω的离心率之比为( )A. 3:4 B. 2:3 C. 1:2 D. 1: 24. 2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点(离月面最近的点)约为200公里，远月点(离月面最远的点)约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为( )A. 0.32 B. 0.48 C. 0.68 D. 0.825.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为( )A. 1+e1-er+ 2e1-eR B. 1+e1-er+ e1-eR C. 1+e1-er+ 2e1+eR D. 1-e1+er+ e1+eR第52页共158页

6.椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为x24 + y23 =1，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 87.已知水平地面上有一篮球，球的中心为O?，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆(如图)，在平面直角坐标系中，椭圆中心O为原点，设椭圆的方程为x24 + y22 =1，篮球与地面的接触点为H，则|OH|的长为( )A. 62 B. 2 C. 32 D. 1038.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图，卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地心的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设该椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c.某同学根据所学知识，得到下列结论:①卫星向径的取值范围是a-c,a+c? ?②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间④卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大其中正确的结论是( )A.①②B.①③C.②④D.①③④第53页共158页

9.如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为x2+4y2=4，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|=1，过点P且与直线l垂直的直线l''与椭圆长轴交于点M，则F1M :? ?F2M? ? = ( )A. 2: 3 B. 1: 2 C. 1:3 D. 1: 310.仿照“Dandelin双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面．如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为( )A. 12 B. 33 C. 22 D. 32第54页共158页

二、多选题11.如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1和e2，则下列结论正确的是( )A. c1=a2+c2 B. a1+c1>2 a2+c2? ? C. e2=2e1-1 D.椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁12.嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动(俗称“踩刹车”)后，以vkm/s的速度进入距离月球表面nkm的环月圆形轨道(月球的球心为椭圆的一个焦点)，环绕周期为ts，已知远月点到月球表面的最近距离为mkm，则( )A.圆形轨道的周长为2πvt? ? km B.月球半径为vt2π -n? ? kmC.近月点与远月点的距离为m-n+ νtπ? ? km D.椭圆轨道的离心率为m-nm+n13.椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点F1，F2是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点F1的小球(小球的半径不计)，从点F1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F1时，小球经过的路程可以是( )A. 4a B. 4c C. 2 a+c? ? D. 2 a-c? ?第55页共158页

14.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则( )A. a-c=m+R B. a+c=n+R C. 2a=m+n D. b= (m+R)(n+R)三、填空题15.从椭圆的一个焦点F1发出的光线射到椭圆上的点P，反射后光线经过椭圆的另一个焦点F2，事实上，点P x0,y0? ?处的切线xx0a2 + yy0b2 =1垂直于∠F1PF2的角平分线，已知椭圆C : x24 + y23 =1的两个焦点是F1，F2，点P是椭圆上除长轴端点外的任意一点，∠F1PF2的角平分线PT交椭圆C的长轴于点T t,0? ?，则t的取值范围是16.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC ⊥F1F2，F1B? ? = 163，F1F2? ? =4，则截口BAC所在椭圆的离心率为第56页共158页

17.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin双球”)；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距离O1O2? ? =8,截面分别与球O1，球O2切于点E，F，(E，F是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于第57页共158页

专题14：双曲线的定义与方程一、单选题1.点F1、F2分别是双曲线x2- y23 =1的左、右焦点，点P在双曲线上，则ΔPF1F2的内切圆半径r的取值范围是( )A. 0, 3? ? B. 0,2? ? C. 0, 2? ? D. 0,1? ?2.已知点P是双曲线E：x216 - y29 =1的右支上一点，F1、F2是双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的面积为20，给出下列四个命题：①点P的横坐标为203②△PF1F2的周长为803③∠F1PF2大于π3④△PF1F2的内切圆半径为32其中所有正确命题的个数为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.已知双曲线x2a2 - y2b2 =1 a>0，b>0? ?的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若F2F1?? +F2A??? ? ?F1A?? =0，则此双曲线的标准方程可能为( )A. x2- y212 =1 B. x23 - y24 =1 C. x216 - y29 =1 D. x29 - y216 =14.已知F1，F2分别是双曲线C：x24 - y23 =1的左，右焦点，动点A在双曲线的左支上，点B为圆E：x2+ y+3? ? 2=1上一动点，则AB? ? + AF2? ?的最小值为( )A. 7 B. 8 C. 6+ 3 D. 2 3+35.设P是双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，则以线段PF2为直径的圆与双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是( )A.内切B.外切C.内切或外切D.不相切6.已知双曲线x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的左、右顶点分别是A,B，双曲线的右焦点F为2,0? ?，点P在过F且垂直于x轴的直线l上，当ΔABP的外接圆面积达到最小时，点P恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为( )A. x22 - y22 =1 B. x2- y23 =1 C. x23 -y2=1 D. x24 - y24 =17.设F为双曲线E：x2a2 - y2b2 =1(a,b>0)的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆x2+y2=c2 c2=a2+b2? ?与E在第一象限的交点是P，且PF? ? = 7-1，则双曲线E的方程是( )A. x26 - y22 =1 B. x22 - y26 =1 C. x23 -y2=1 D. x2- y23 =1第58页共158页

8.设F1,F2分别是双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点F1作直线F1P与圆x2+y2=a2切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足OE?? = 12 OP?? +OF1??? ?，OE??? ? = 3，则双曲线的方程为( )A. x26 - y212 =1 B. x26 - y29 =1 C. x23 - y26 =1 D. x23 - y212 =19.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F( 7,0)，直线y=x-1与其相交于M，M两点，MN中点的横坐标为- 23，则此双曲线的方程是( )A. x23 - y24 =1 B. x22 - y25 =1 C. x25 - y22 =1 D. x24 - y23 =110.已知点P是双曲线x2a2 - y2b2 = 1(a > 0,b > 0)右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，l为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+ 13 S△IF1F2成立，则双曲线的渐近线方程为( )A. 2 2x±y=0 B. 8x±y=0 C. 2x±y=0 D. 3x±y=011.已知双曲线x24 - y29 =1，F1F2分别是双曲线的左右焦点，存在一点M，M点关于F1点的对称点是A点，M点关于F2点的对称点是B点，线段MN的中点在双曲线上，则NA? ? - NB? ? = ( )A. ±4 B. 4 C. ±8 D. 812.设双曲线C：x216 - y29 =1的右焦点为F，过F作渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若d是双曲线上任一点P到直线MN的距离，则dPF? ?的值为( )A. 34 B. 45 C. 54 D.无法确定13.过双曲线x2- y215 =1的右支上一点P，分别向圆C1: x+4? ? 2+y2=4和圆C2: x-4? ? 2+y2=1作切线，切点分别为M,N，则PM? ? 2- PN? ? 2的最小值为( )A. 10 B. 13 C. 16 D. 1914.已知F1,F2分别是双曲线x29 - y216 =1的左，右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则MO? ? - MT? ? = ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第59页共158页

15.如图，已知双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=8，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=2，则该双曲线的离心率为( )A. 2 B. 3 C. 2 D. 316.已知平面上两点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P使PM? ? - PN? ? =6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中①y=x+1;②y=2;③y= 43 x;④y=2x+1.是“单曲型直线”的是( )A.①和②B.②和③C.①和④D.②和④二、填空题17.P为双曲线x2- y215 =1右支上一点，M,N分别是圆x+4? ? 2+y2=4和x-4? ? 2+y2=1上的点，则PM -PN的最大值是18.已知椭圆E: x23 +y2=1的左右顶点分别为A1，A2，且B，C为E上不同两点(B，C位于y轴右侧)，B，C关于x的对称点分别为为B1，C1，直线BA1、B1A2相交于点P，直线CA1、CA2相交于点Q，已知点M -2,0? ?，则|PM?? |+|QM??? |-|PQ?? |的最小值为19.已知平面内两个定点M(3,0)和点N(-3,0)，P是动点，且直线PM,PN的斜率乘积为常数a(a≠0)，设点P的轨迹为C.①存在常数a(a≠0)，使C上所有点到两点(-4,0),(4,0)距离之和为定值；②存在常数a(a≠0)，使C上所有点到两点(0,-4),(0,4)距离之和为定值；③不存在常数a(a≠0)，使C上所有点到两点(-4,0),(4,0)距离差的绝对值为定值；④不存在常数a(a≠0)，使C上所有点到两点(0,-4),(0,4)距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是.(填出所有正确命题的序号)第60页共158页

20.如图，圆x+2? ? 2+y2=4的圆心为点B，A 2,0? ?，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线BP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为第61页共158页

专题15：双曲线的对称性问题一、单选题1.已知F1，F2是双曲线C : x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的左，右焦点，若双曲线右支上一点P恰好和点F1关于双曲线C的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率为( )A. 2 B. 3 C. 2 D. 52.已知点P，A，B在双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0，b>0)上，直线AB过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积为13，则双曲线的离心率为( )A. 2 33 B. 153 C. 2 D. 1023.过双曲线x24 - y28 =1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，则满足AB? ? =8的直线可作的条数为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.已知F1，F2分别为双曲线x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M，N，设四边形F1NF2M的周长为p，面积为S，且满足32S=p2，则该双曲线的渐近线方程为( )A. y=± 12 x B. y=± 22 x C. y=± 32 x D. y=±2 33 x5.过双曲线x2a2 -y2=1 a>0? ?的左焦点作直线l与双曲线交于A，B两点，使得AB? ? =4，若这样的直线有且仅有两条，则a的取值范围是( )A. 0 , 12? ? B. 2 , +∞? ? C. 12 . 2? ? D. 0 , 12? ? ∪ 2 , +∞? ?6.已知双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点O为双曲线的中心，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则下列结论成立的是( )A. |OA|>|OB| B. |OA|<|OB|C. |OA|=|OB| D. |OA|与|OB|大小关系不确定第62页共158页

7.如图，F1，F2是双曲线C : x2a2 - y23 =1(a>0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若点A为F2B的中点，且F1B⊥F2B，则F1F2? ? = ( )A. 4 B. 4 3 C. 6 D. 98.已知F为双曲线C : x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左焦点，直线l经过点F，若点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，则双曲线C的离心率为( )A. 3+12 B. 2+12 C. 3+1 D. 2+19.已知双曲线x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的一条渐近线方程为y= 32 x，P为双曲线上一个动点，F1，F2为其左，右焦点，PF1?? ?PF2??的最小值为-3，则此双曲线的焦距为( )A. 2 B. 4 C. 2 5 D. 2 710.过双曲线x216 - y29 =1的一个焦点F作弦AB，则1|AF| + 1|BF|的值等于( )A. 92 B. 89 C. 49 D. 29二、多选题11.已知双曲线C : x26 - y23 =1的左、右两个焦点分别为F1、F2，直线y=kx(k≠0)与C交于A、B两点，AE⊥x轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是( )A.四边形AF1BF2为平行四边形B. ∠F1PF2<90°C.直线BE的斜率为k2 D. ∠PAB>90°12.若双曲线C：x2m + y2n =1(mn<0)绕其对称中心旋转π3可得某一函数的图象，则C的离心率可以是( )A. 2 33 B. 43 C. 3 D. 2第63页共158页

三、填空题13.已知点M 0,1? ?，点P是双曲线x23 -y2=1上的点，点Q是点P关于原点的对称点，则MP?? ?MQ??的取值范围是14.若三个点-2,1? ?，-2,3? ?，2,-1? ?中恰有两个点在双曲线C : x2a2 -y2=1(a>0)上，则双曲线C的渐近线方程为15.如图所示，已知双曲线C：x2a2 - y2b2 =1(a>0，b>0)的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满足∠AFB=90°，且BF? ? =3 AF? ?，则双曲线C的渐近线方程是16.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的离心率为2，左、右焦点分别为F1,F2，过原点的直线交双曲线于A,B两点，点C是双曲线上的点，则kAC?kBC=第64页共158页

专题16：双曲线的离心率问题一、单选题1.已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足PA? ?=m PF? ?，若m取最大值时，点P恰好在以A,F为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )A. 3+1 B. 2+1 C. 5+12 D. 2+122. F1,F2是双曲线C : x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，F1关于直线l的对称点为F1?，且点F1?在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为( )A. 2 B. 5 C. 2 D. 33.已知双曲线E : x2a2 - y2b2 =1的左、右顶点分别为A、B，M是E上一点，△ABM为等腰三角形，且外接圆面积为3πa2，则双曲线E的离心率为( )A. 2 B. 2+1 C. 3 D. 3+14.设点F1，F2分别为双曲线C : x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左右焦点.点A，B分别在双曲线C的左，右支上，若AB?? =5F1A??，AF2?? 2=AB?? ?AF2??，且AF2??? ? < BF2??? ?，则双曲线C的离心率为( )A. 655 B. 855 C. 135 D. 1775.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的右顶点、右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，若AQ?? ?AB?? =AQ?? ?FB??，且BQ?? =3FQ??，则C的离心率为( )A. 2 B. 5-1 C. 2+ 53 D. 2+ 56.已知F1，F2是双曲线C：x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的左，右焦点，过点F1倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A，B.若AF2? ? = BF2? ?，则双曲线C的离心率为( )A. 2 B. 3 C. 2 D. 57.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，AF?? ?FB??=0，3BF?? =FC??且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A. 2 B. 102 C. 3 D. 28.已知F1,F2是双曲线C : x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y= bax对称，则该双曲线C的离心率为( )A. 52 B. 5 C. 2 D. 2第65页共158页

9.已知F1，F2分别为双曲线C : x2a2 - y2b2 =1的左，右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，设点H(xH,yH)，G(xG,yG)分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，若yH? ? =3 yG? ?，则双曲线离心率的取值范围为( )A. [2,+∞) B. (1, 2] C. (1,2] D. (1,2)10.双曲线上x2a2 - y2b2 =1(b>a>0)有两点A、B，O为坐标原点，F为双曲线焦点，满足OA⊥OB，当A、B在双曲线上运动时，使得恒1|OA?? |2 + 1|OB?? |2 ≤ 1|OF?? |2成立，则离心率取值范围是( )A. 2,1+ 52? ? ? ? ? B. 2,3+ 52? ? ? ? ? C. 1+ 52 , 2???? ? D. 1, 1+ 52? ? ? ? ?11.设F1，F2是双曲线C : x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若△AF1F2的内切圆M的半径为a，且△AF1F2的重心G满足MG?? =λF1F2??，则双曲线C的离心率为( )A. 3 B. 5 C. 2 D. 2 512.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作斜率为22的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若AF2? ? = BF2? ?，则双曲线的离心率为( )A. 2 B. 2 C. 5 D. 313.已知F1，F2分别为双曲线C : x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的左，右焦点，点A为双曲线C的右顶点，且直线l:y= b2a与双曲线C的左、右两支分别交于P，Q两点，若∠PAF1+∠QAF2< π2，则双曲线C的离心率的取值范围为( )A. 1, 2? ? B. 1, 5+12? ? C. 2,+∞? ? D. 5+12 ,+∞? ?14.已知双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F、F2，A、B分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点O对称的两点，且直线AB的斜率为2 2，M、N分别为AF2、BF2的中点，若原点O在以线段MN为直径的圆上，则双曲线的离心率为( )A. 6+ 3 B. 6 C. 2 D. 6- 2第66页共158页

15.若双曲线E：x2m - y2n =1(mn>0)绕其对称中心旋转π3后可得某一函数的图象，则E的离心率等于( )A. 2 33 B. 3 C. 2或2 33 D. 2或316.已知F为双曲线C : x2a2 - y2b2 =1(a>b>0)的右焦点，A、B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点，AF ⊥BF，且AF的中点在双曲线C上，则C的离心率为( )A. 5-1 B. 3+12 C. 5+12 D. 3+117.双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左右焦点为F1,F2，一条渐近线方程为l:y=- ba x，过点F1且与l垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于P,Q，满足OP?? = 12 OF1?? + 12 OQ??，则该双曲线的离心率为( )A. 10 B. 3 C. 5 D. 218.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与C的左支交于P，Q两点，若PF2 ?? = F1F2 ??，且3 PF1 ?? =2 QF1 ??，则C的离心率为( )A. 32 B. 75 C. 53 D. 219.设双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A，B，点C在双曲线上，ΔABC的三个内角分别用A，B，C表示，若tanA+tanB+2tanC =0，则双曲线的离心率为( )A. 2 B. 3 C. 2 D. 520.设双曲线y2a2 - x2b2 =1 a>0，b>0? ?的上焦点为F，过点F作与y轴垂直的直线交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若OP?? =λOA?? +μOB??，λ2+μ2= 59 λ，μ∈R? ?，则双曲线的离心率e的值是( )A. 3 B. 3 55 C. 3 24 D. 3221.已知x=1是方程x3+ax2+bx+c=0的一个根，另两个实根可分别作为某椭圆，某双曲线的离心率，则a2+b2的取值范围是( )A. 5,+∞? ? B. 5,+∞? ? C. 5,+∞? ? D. 5,+∞? ?第67页共158页

二、填空题22.已知双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左右顶点分别是A,B，右焦点F，过F垂直于x轴的直线l交双曲线于M,N两点，P为直线l上的点，当ΔAPB的外接圆面积达到最小时，点P恰好落在M(或N)处，则双曲线的离心率是23.已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且PF1? ? > PF2? ?，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则2e1 + e22的最小值为24.已知双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的焦点为F1,F2，P是双曲线上一点，且∠F1PF2= π3 .若ΔF1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R,r，且R=4r，则双曲线的离心率为25.如图，已知双曲线C : x2a2 - y2a+2 =1的左、右焦点分别为F1，F2，M是C上位于第一象限内的一点，且直线F2M与y轴的正半轴交于A点，△AMF1的内切圆在边MF1上的切点为N，若|MN|=4，则双曲线C的离心率为26.双曲线C : x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?上一点P，过双曲线中心O的直线交双曲线于A、B两不同(点A，B异于点P)．设直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，当6k1 ? 1k2 +lnk12+lnk22最小时，双曲线的离心率为27.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1 a>b>0? ?的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF?? =4FB??，则C的离心率为第68页共158页

专题17：双曲线的定点问题1.已知双曲线C：x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的右焦点为F，半焦距c=2，点F到右准线x= a2c的距离为12，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.(1)求双曲线C的标准方程；(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标.2.已知动圆P过点F2 2,0? ?，并且与圆F1：x+2? ? 2+y2=4相外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)过动点P作直线与曲线3x2-y2=0交于A,B两点，当P为AB的中点时，求OA? ? ? OB? ?的值；(3)过点F2的直线l1与曲线C交于E,F两点，设直线l：x= 12，点D -1,0? ?，直线ED交l于点M，求证：直线FM经过定点，并求出该定点的坐标.3.已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线C的方程；(2)设A1，A2分别为C的左右顶点，P为C异于A1，A2一点，直线A1P与A2P分别交y轴于M,N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点.4.已知动圆P过点F2 2,0? ?并且与圆F1: x+2? ? 2+y2=4相外切，动圆圆心P的轨迹为C.(1)求曲线C的轨迹方程；(2)过点F2 2,0? ?的直线l1与轨迹C交于A、B两点，设直线l:x= 12，点D -1,0? ?，直线AD交l于M,求证：直线BM经过定点1,0? ? .第69页共158页

5.已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e= 52，虚轴长为2．(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线l:y=kx+m与双曲线C相交于A,B两点(A,B均异于左、右顶点)，且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．6.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)，点A(2 2,0)在曲线C上，曲线C的离心率为62，点P、Q为曲线C上易于点A的任意两点,O为坐标原点．(1)求曲线C上方程；(2)若F1、F2为曲线的焦点，求PF1? ? + PF2? ?|OP|最大值；(3)若以PQ为直径的圆过点A，求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标．7.已知曲线C : x23 - y26 =1，Q为曲线C上一动点，过Q作两条渐近线的垂线，垂足分别是P1和P2.(1)当Q运动到(3,2 3)时，求QP1?? ?QP2??的值；(2)设直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于M、N两点，与x轴正半轴交于T点，与y轴交于S点，若SM?? =λMT??，SN?? =μNT??，且λ+μ=1，求证T为定点.8.双曲线C : x2a2 - y2b2 =1经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为π3，直线l交双曲线于A、B.(1)求双曲线C的方程；(2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率为kPA、kPB，证明：kPA?kPB为定值；(3)若l过双曲线的右焦点F1，是否存在x轴上的点M(m,0)，使得直线l绕点F1无论怎样转动，都有MA?? ?MB?? =0成立？若存在，求出M的坐标，若不存在，请说明理由.二、填空题9.已知双曲线C：x24 -y2=1，直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，则直线l所过定点为10.已知双曲线x2- y22 =1，点A -1,0? ?，在双曲线上任取两点P、Q满足AP⊥AQ，则直线PQ恒过定点第70页共158页

专题18：双曲线的定值问题1.已知双曲线C : x2a2 -y2=1(a>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在双曲线C上.当BF ⊥AF时，BF? ? = 5-22 AF? ?.(1)求双曲线C的方程.(2)设P为双曲线上一点，点M，N在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若P恰为线段MN的中点，试判断△MON的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由.2.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1的离心率为52，点P 4, 3? ?在C上．(1)求双曲线C的方程；(2)设过点1,0? ?的直线l与曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得QM??? ?QN??为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．3.已知等轴双曲线C：x2a2 - y2b2 =1(a>0，b>0)经过点52，12? ? .(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点B(0，1).①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，kAP+kAQ为定值λ，求点A的坐标及实数λ的值.4.已知双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为32，过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B．当BF2⊥l时，△BF1F2的面积为5．(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线l与y轴交于点M，且MA?? =λAF1??，MB?? =μBF1??，求证：λ+μ为定值．第71页共158页

5.已知双曲线C : x24 - y25 =1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点(点P在x轴上方)．(1)若PF? ? =3 FQ? ?，求直线l的方程；(2)设直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2，证明：k1k2为定值．6.已知双曲线C :x2- y22 =1，过圆O:x2+y2=2上任意一点作圆的切线l，若l交双曲线于A，B两点，证明：∠AOB的大小为定值.7.已知点F1、F2为双曲线C :x2- y2b2 =1(b>0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2=30°，圆O的方程是x2+y2=b2．(1)求双曲线C的方程；(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求证：PP1?? ?PP2??为定值；(3)若过圆O上点Q x0,y0? ?作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，求证：OA⊥OB．8.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?过点2,3? ?，两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．(1)求双曲线C的方程；(2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率kPA，kPB均存在，求证：kPA?kPB为定值；第72页共158页

9.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)过点A(-4,6)，且b= 3a．(1)求双曲线C的方程；(2)过点B(-1,0)的直线l交双曲C于点M,N，直线MA,NA分别交直线x=-1于点P,Q．试判断|PB||BQ|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．10.已知双曲线的方程C :2x2-y2=1．(1)求点P(0,1)到双曲线C上的点的距离的最小值；(2)已知直线l:y=kx+t与圆M :x2+y2=1相切①求k和t的关系②若l与双曲线C交于A、B两点，那么∠AOB是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．11.已知双曲线x2a2 -y2=1的渐近线倾斜角分别为30°和150°，F为其左焦点，P为双曲线右支上一个动点(1)求|PF|的取值范围，并说明理由；(2)过点P分别作两渐近线的垂线，垂足分别为Q,R，求证：|PQ|?|PR|为定值.12.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的焦距为2 5，且过点A 2 2,-1? ?，直线l与曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线与M、N两点，O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程；(2)求证：△MON面积为定值，并求出该定值.第73页共158页

13.已知点P是圆Q:(x+2)2+y2=32上任意一点，定点R(2,0)，线段PR的垂直平分线l与半径PQ相交于M点，P在圆周上运动时，设点M的运动轨迹为Γ.(1)求点M的轨迹Γ的方程；(2)若点N在双曲线x24 - y22 =1(顶点除外)上运动，过点N，R的直线与曲线Γ相交于A,B，过点N,Q的直线与曲线相Γ交于C,D，试探究|AB|+|CD|是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由.14.已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2).(1)求k的取值范围，并求x2-x1的最小值；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么，k1?k2是定值吗？证明你的结论.第74页共158页

专题19：双曲线的定直线问题1.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)实轴端点分别为A1(-a,0)，A2(a,0)，右焦点为F，离心率为2，过A1点且斜率1的直线l与双曲线C交于另一点B，已知△A1BF的面积为92．(1)求双曲线的方程；(2)若过F的直线与双曲线C交于M，N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．2.已知A，B分别是双曲线E:x2- y24 =1的左，右顶点，直线l(不与坐标轴垂直)过点N 2,0? ?，且与双曲线E交于C，D两点.(1)若CN?? =3ND??，求直线l的方程；(2)若直线AC与BD相交于点P，求证：点P在定直线上.3.已知双曲线E: x2a2 - y24 =1 a>0? ?的中心为原点O，左、右焦点分别为F1、F2，离心率为3 55，点P是直线x= a23上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足PF2?? ?QF2?? =0.(1)求实数a的值；(2)证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；(3)若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M、N，在线段MN上去异于点M、N的点H，满足PM? ?PN? ? = MH? ?HN? ?，证明点H恒在一条定直线上.4.设直线l:y=kx+m(其中k，m为整数)与椭圆x216 + y212 =1交于不同两点A，B，与双曲线x24 - y212 =1交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量AC?? +BD?? =0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．第75页共158页

专题20：双曲线的范围问题1.已知椭圆C1的方程为x24 +y2=1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l:y=kx+ 2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA?? ?OB?? >2(其中O为原点)，求k的取值范围．2.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1的离心率e= 2 33，其一条准线方程为x= 32．(Ⅰ)求双曲线C的方程；(Ⅱ)如图，设双曲线C的左右焦点分别为A,B，点D为该双曲线右支上一点，直线AD与其左支交于点E，若AE?? =λED??，求实数λ的取值范围．3.已知双曲线C：x2a2 - y2b2 =1 a>b>0? ?和圆O：x2+y2=b2(其中原点O为圆心)，过双曲线C上一点P x0,y0? ?引圆O的两条切线，切点分别为A、B．(1)若双曲线C上存在点P，使得∠APB=90°，求双曲线离心率e的取值范围；(2)求直线AB的方程；(3)求三角形OAB面积的最大值．第76页共158页

4.如图，F1,F2是双曲线x2-y2=1的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：y=kx+b与圆O相切，并与双曲线交于A、B两点．(Ⅰ)根据条件求出b和k的关系式;(Ⅱ)当OA?? ?OB?? =k2+1时，求直线l的方程；(Ⅲ)当OA?? ?OB?? =m k2+1? ?，且满足2≤m≤4时，求ΔAOB面积的取值范围．5.已知双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0，b>0)，O为坐标原点，离心率e=2，点M 5，3? ?在双曲线上．(1)求双曲线的方程;(2)如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且OP?? ?OQ?? =0，求OP|2+? ?OQ|2的最小值．第77页共158页

6.在平面直角坐标系xOy内，已知双曲线Γ：x2- y2b2 =1(b>0)，(1)若Γ的一条渐近线方程为y=2x，求Γ的方程；(2)设F1、F2是Γ的两个焦点，P为Γ上一点，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为9，求b的值；(3)若直线l:y=2x+1与Γ交于A、B两点，且坐标原点O始终在以AB为直径的圆内，求b的取值范围.7.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E: x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为2+1．(1)求双曲线E的方程；(2)若直线l:y=kx-1与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求MN? ?PQ? ?的取值范围．8.若直线l:y= 3x3 - 2 33过双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.(1)求双曲线的方程；(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围.第78页共158页

9.已知双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的离心率等于32，且点(-2 2, 5)在双曲线上.(1)求双曲线的方程；(2)若双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上任意一点，求PA1?? ?PF2??的最小值.10.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的离心率为2，左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，且△ABF1的周长为16 3．(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线l:3x-y+ 2=0，点P是双曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．11.已知双曲线C : x24 - y23 =1，直线l:y=kx-11? ?若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求k的取值范围；2? ? P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是72 ,0? ?，求PA? ?的最小值．12.已知点P是双曲线C :x2- y24 =1上的点．(1)记双曲线的两个焦点为F1，F2，若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离；(2)已知点M的坐标为0，2? ?，Q是点P关于原点的对称点，记λ=MP?? ?MQ??，求λ的取值范围．第79页共158页

专题21：双曲线的存在探索性问题1.已知双曲线C过点4, 3? ?，且渐近线方程为y=± 12 x，直线l与C交于M、N两点，(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l过原点，点P是曲线C上任一点，直线PM、PN的斜率都存在，记为kPM、kPN，求证：kPM ?kPN为定值；(3)若直线l过点1,0? ?，在x轴上是否存在定点Q，使得QM??? ?QN??为常数？若存在，求出点Q坐标及此常数的值，若不存在，说明理由.2.已知双曲线x2- y22 =1.(1)倾斜角45°且过双曲线右焦点的直线与此双曲线交于M，N两点，求MN? ?.(2)过点A(2,1)的直线l与此双曲线交于P1，P2两点，求线段P1P2中点P的轨迹方程；(3)过点B(1,1)能否作直线m，使m与此双曲线交于Q1，Q2两点，且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.3.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A?B两点.(1)求双曲线C的方程；(2)若l过原点，P为双曲线上异于A?B的一点，且直线PA?PB的斜率kPA?kPB均存在，求证：kPA?kPB为定值；(3)若l过双曲线右焦点F1，是否存在x轴上的点M(m,0)，使得直线l绕点F1无论怎样转动，都有MA?? ?MB?? =0成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由.第80页共158页

4.已知直线y=2x是双曲线C : x2a2 - y2b2 =1的一条渐近线，点A(1,0)在双曲线C上，设坐标原点为O.(1)求双曲线C的方程；(2)若过点D(2,2)的直线l与双曲线C交于R、S两点，若RD?? +SD?? =0?，求直线l的方程；(3)设M m,n? ? m≠1,n≠0 ?在双曲线上，且直线AM与y轴相交于点P，点M关于y轴对称的点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得TP??? ? 2+ TQ??? ? 2= PQ??? ? 2？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.5.已知圆C1: x+5? ? 2+y2=36，点C 5,0? ?，点M是圆C1上的动点，MC的垂直平分线交直线MC1于点P.(1)求点P的轨迹方程C2；(2)过点N 4,0? ?的直线l交曲线C2于A,B两点，在x轴上是否存在点G，使得直线AG和BG的倾斜角互补，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.6.已知F1(-2,0),F2(2,0)，点P满足PF1? ? - PF2? ? =2，记点P的轨迹为Γ.斜率为k的直线l过点F2，且与轨迹Γ相交于A,B两点.(1)求轨迹Γ的方程；(2)求斜率k的取值范围；(3)在x轴上是否存在定点M，使得无论直线l绕点F2怎样转动，总有MA⊥MB成立？如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由.第81页共158页

7.已知双曲线C：x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?，设P是双曲线C上任意一点，O为坐标原点，F为双曲线右焦点，A1，A2为双曲线的左右顶点.(1)已知：无论点P在右支的何处，总有PO? ? > PF? ?，求ba的取值范围；(2)设过右焦点F的直线l交双曲线于M，N两点，若存在直线l，使得ΔOMN为等边三角形，求b2a2的值；(3)若a=2，b= 3，动点Q在双曲线上，且与双曲线的顶点不重合，直线QA1和直线QA2与直线l：x=1分别相交于点S和T，试问：是否存在定点E，使得ES⊥ET恒成立？若存在，请求出定点E的坐标；若不存在，试说明理由.8.如图，椭圆x2+ y24 =1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距为2 5，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点.(1)求双曲线Γ的方程；(2)求点M的纵坐标yM的取值范围；(3)是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l的方程；若不存在,请说明理由.第82页共158页

9.已知a?=(x,0)，b?=(1,y)，( 3a?+b?)⊥( 3a?-b?)(1)求点P（x,y)的轨迹C的方程；(2)若直线l:y=kx-1与曲线C交于A、B两点，并且A、B在y轴的同一侧，求实数k的取值范围.(3)设曲线C与x轴的交点为M，若直线l:y=kx-1与曲线C交于A、B两点，是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过点M？若有，求出k的值；若没有，写出理由.10.ΔABC的内切圆与三边AB,BC,CA的切点分别为D,E,F,已知B(- 2,0),C( 2,0)，内切圆圆心I(1,t),t≠0,设点A的轨迹为R.(1)求R的方程；(2)过点C的动直线m交曲线R于不同的两点M,N，问在x轴上是否存在一定点Q(Q不与C重合)，使QM??? ?QC??QM? ????? = QN?? ?QC??QN? ????恒成立，若求出Q点的坐标，若不存在，说明理由.第83页共158页

专题22：双曲线的渐近线问题一、单选题1.已知F1、F2分别为双曲线y2a2 - x2b2 =1(a>0,b>0)的两个焦点，双曲线上的点P到原点的距离为b，且sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2，则该双曲线的渐近线方程为( )A. y=± 22 x B. y=± 32 x C. y=± 2x D. y=± 3x2.已知点F为抛物线y2=4x的焦点，M -1,0? ?，点N为抛物线上一动点，当NF? ?NM? ?最小时，点N恰好在以M，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为( )A. 3+2 3 B. 2+2 2 C. 5+12 D. 2 2-143.如图，已知F1,F2分别为双曲线C : x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足F2P? ? =a,(F1P?? +F1F2?? )?F2P?? =0，线段F2P与双曲线C交于点Q，若F2P? ? =5|F2Q|，则双曲线C的渐近线方程为( )A. y=± 55 x B. y=± 12 x C. y=± 32 x D. y=± 33 x4.在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为0, 33 c? ?，△PF1F2的面积为2 3a2，则双曲线C的渐近线方程为( )A. y=±x B. y=± 22 x C. y=± 12 x D. y=± 2x5.已知双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是A，B，右焦点为F，点P在过F且垂直于x轴的直线l上，当△ABP的外接圆面积达到最小时，点P恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为( )A. y=± 33 x B. y=± 22 x C. y=±x D. y=± 2x第84页共158页

6.设F1,F2分别为双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，过点F1作圆x2+y2=a2的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点P,Q，若QF2? ? =|PQ|，则双曲线渐近线的斜率为( )A. ±1 B. ± 3-1? ? C. ± 3+1? ? D. ± 57.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B.若F1F2? ? =4|AB|，则C的渐近线方程为( )A. 3x±y=0 B. x± 3y=0 C. 2x±y=0 D. x±2y=08. P是双曲线x23 -y2=1上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，求PA?? ?PB??的值( )A. - 38 B. - 38 C. - 316 D. - 3169.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1的两条渐近线分别为l1与l2，A与B为l1上关于原点对称的两点，M为l2上一点且kAM ?kBM =e，则双曲线离心率e的值为( )A. 5 B. 5+12 C. 2 D. 210.已知点P是双曲线x2a2 - y2b2 = 1(a > 0,b > 0)右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，l为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+ 13 S△IF1F2成立，则双曲线的渐近线方程为( )A. 2 2x±y=0 B. 8x±y=0 C. 2x±y=0 D. 3x±y=011.设双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A、B，点C在双曲线上，△ABC的三内角分别用A、B、C表示，若tanA+tanB+3tanC =0，则双曲线的渐近线的方程是( )A. y=±3x B. y=± 3x C. y=±2x D. y=± 2x12.已知双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F c,0? ? ,右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a+c，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A. -∞,-1? ? ∪ 1,+∞? ? B. -1,0? ? ∪ 0,1? ?C. -∞,- 2? ? ∪ 2,+∞? ? D. - 2,0? ? ∪ 0, 2? ?13.已知双曲线x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的左焦点为F -c,0? ?，O为坐标原点，P,Q为双曲线的渐近线上两点，若四边形PFQO是面积为c2的菱形，则该渐近线方程为( )A. y=±2x B. y=± 12 x C. y=±4x D. y=± 14 x第85页共158页

14.已知双曲线C：x2a2 - y2b2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作圆Ω：x2+y2= a24的切线l，切点为M，且直线l与双曲线C的一个交点N满足NF1 -? ?NF2? ? =2a，设O为坐标原点，若ON?? +OF1?? =2OM???，则双曲线C的渐近线方程为( )A. y=± 32 x B. y=± 3x C. y=± 62 x D. y=± 6x15.已知抛物线x2=8y与双曲线y2a2 -x2=1(a>0)的一个交点为M,F为抛物线的焦点，若MF? ? =5，则该双曲线的渐近线方程为( )A. 5x±3y=0 B. 3x±5y=0 C. 4x±5y=0 D. 5x±4y=016.双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线交双曲线的左、右支分别于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为( )A. y=±3x B. y=±2 2x C. y=± 1+ 3? ? x D. y=± 3-1? ? x二、填空题17.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的左顶点为A，右焦点为F，离心率为e.若动点B在双曲线C的右支上且不与右顶点重合，满足∠BFA∠BAF =e恒成立，则双曲线C的渐近线的方程为18.设P是双曲线E: x2a2 - y2b2 =1上任意一点,过P作渐近线l1:y= bax和l2:y=- bax的平行线,分别交于点R,Q.则PR? ? ? PQ? ? =19.已知O为坐标原点，F1、F2是双曲线C：x2a2 - y2b2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线C上一点P满足OP?? +OF2??? ? ?F2P?? =0，且PF1?? ?? ?PF2??? ? =2a2，则双曲线C的渐近线方程为20.已知F1,F2为双曲线C : x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交Q,P两点，且PQ? ? - PF2? ? =a，双曲线C的渐近线方程为第86页共158页

专题23：双曲线向量结合问题一、单选题1.已知椭圆C与双曲线x2-y2=1有相同的左焦点F1、右焦点F2，点P是两曲线的一个交点，且PF1?? ?PF2?? =0.过F2作倾斜角为45°的直线交C于A，B两点(点A在x轴的上方)，且AB?? =λAF2??，则λ的值为( )A. 3+ 3 B. 3+ 2 C. 2+ 3 D. 2+ 22.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F，直线l:y=kx与C交于A，B两点，以AB为直径的圆过点F，若C上存在点P满足BP?? =4BF??，则C的离心率为( )A. 3 B. 102 C. 5 D. 103.经过双曲线x2- y23 =1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交双曲线于A，B两点，设O为坐标原点，则OA?? ?OB??等于( )A. -1 B. 1 C. 2 D. -24.若点O和点F分别为双曲线x22 -y2=1的中心和左焦点，点P为该双曲线上的任意一点，则OP?? ?FP??的最小值为( )A. 2+ 6 B. 2- 6 C. 12 D. - 325.已知点A,B在双曲线x216 - y24 =1，且线段AB经过原点，点M为圆x2+(y-2)2=1上的动点，则MA?? ?MB??的最大值为( )A. -15 B. -9 C. -7 D. -6二、解答题6.已知经过点P 0,2? ?且以d?= 1,a? ?为一个方向向量的直线l与双曲线3x2-y2=1相交于不同两点A、B.(1)求实数a的取值范围；(2)若点A、B均在已知双曲线的右支上，且满足OA?? ?OB?? =0，求实数a的值；(3)是否存在这样的实数a，使得A、B两点关于直线y= 12 x-8对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.第87页共158页

7.已知点F1、F2为双曲线x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线在x轴上方交上双曲线于点M，且∠MF1F2=30°，△MF1F2的面积为4 3.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线实轴右端点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求PP1?? ?PP2??的值.8.如图，已知双曲线C的方程为x2a2 - y2b2 =1(a>b>0)，两条渐近线的夹角为arccos 35，焦点到渐近线的距离为1．M、N两动点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P是直线MN与双曲线右支的一个公共点，MP?? =λPN?? .(1)求双曲线C的方程；(2)当λ=1时，求PM?? ?PN??的取值范围；(3)试用λ表示△MON的面积S，设双曲线C上的点到其焦点的距离的取值范围为集合Ω，若λ5 ∈Ω，求S的取值范围.9.已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A,B两点.在x轴上是否存在定点C，使CA?? ?CB??为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．10.已知双曲线C的中心在原点，抛物线y2=2 5x的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点(1, 3)．(Ⅰ)求双曲线的方程；(Ⅱ)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A，B两点，试问：k为何值时，OA?? ⊥OB??．第88页共158页

11.已知双曲线C的方程为y2a2 - x2b2 =1 a>0,b>0? ?，离心率e= 52 ,顶点到渐近线的距离为2 55(1)求双曲线C的方程;(2)设P是双曲线C上的点,A,B两点在双曲线C的渐近线上,且分别位于第一,二象限,若AP?? =λPB?? ,λ∈ 13 ,2??? ? ? ? ,求△AOB面积的取值范围.12.直线y=kx+m(k,m∈R)与双曲线x2- y23 =1相交于A、B两点，O为坐标原点，且OA?? ⊥OB??．(1)求k与m满足的关系；(2)求证：点O到直线AB的距离是定值，并求AB? ?的最小值．第89页共158页

专题24：双曲线的应用问题一、单选题1.双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为x2a2 - y2b2 =1,F1,F2为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足∠BAD=90°,tan∠ABC =- 34，则该双曲线的离心率为( )A. 52 B. 5 C. 102 D. 102.设函数y= f x? ?的图象由方程x x? ?4 + y y? ?2 =1确定，对于函数f x? ?给出下列命题：P1：?x1,x2∈R，x1≠x2，恒有f x1? ? - f x2? ?x1-x2 <0成立；P2：y= f x? ?的图象上存在一点P，使得P到原点的距离小于2；P3：对于?x∈R，2f x? ? +x>0恒成立；则下列正确的是( )A. P1∧P2 B. P1∧P3 C. ?P2∨P3 D. ?P1∨P33.如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m，水面宽AB=30m.若水面下降5m，则水面宽是( )(结果精确到0.1m)(参考数值：2≈1.41，5≈2.24，7≈2.65)A. 43.8m B. 44.8m C. 52.3m D. 53.0m第90页共158页

4.人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位效应(简称双耳效应)．根据双耳的时差，可以确定声源P必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上．又若声源P所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源P对于测听者的方向偏角α，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左右两耳相距约为20cm，声源P的声波传及甲的左、右两耳的时间差为3×10-5s，声速为334m/s，则声源P对于甲的方向偏角α的正弦值约为( )A. 0.004 B. 0.04 C. 0.005 D. 0.055.双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A，B，C且刚好三点共线，已知AB=34海里，AC =20海里，现以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建系.现根据船P接收到C点与A点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P在双曲线x-27? ? 236 - y264 =1的左支上，若船P上接到A台发射的电磁波比B台电磁波早185.2μs(已知电磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs，1海里=1.852km)，则点P的坐标(单位：海里)为( )A. 907 ,±32 117? ? B. 1357 ,±32 27? ? C. 17,±323? ? D. 45,±16 2? ?6.如图，A，B两点在双曲线y= 3x上，分别经过A，B两点向坐标轴作垂线段，已知阴影部分的面积S为1，则面积S1+S2等于( )A. 6 B. 5 C. 4 D. 3第91页共158页

7.一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y2-x2=1,y∈ 1,10? ? ,在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 2.58.在xOy平面上，将等轴双曲线x2-y2=1的右支和它的两条渐近线、以及两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D，则D绕y轴旋转一周而成的几何体的体积为( ) (提示:祖暅原理)A. 2π B. π C. 43 π D. 34 π9.直线y=x+2与曲线y22 - x x? ?2 =1的交点个数为( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 310.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离是1020m.则该巨响发生在接报中心的( )处.(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)A.西偏北45°方向，距离680 10m B.东偏南45°方向，距离680 10mC.西偏北45°方向，距离680 5m D.东偏南45°方向，距离680 5m11.有一凸透镜其剖面图(如图)是由椭圆x2a2 + y2b2 =1和双曲线x2m2 - y2n2 =1(a>m>0)的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M、N；A、B分别在左右两部分实线上运动，则△ANB周长的最小值为( )A. 2(a-m) B. (a-m) C. 2(b-n) D. 2(a+m)第92页共158页

二、填空题12.在xOy平面上，将双曲线的一支x29 - y216 =1(x>0)及其渐近线y= 43 x和直线y=0、y=4围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω，过(0,y)(0≤y≤4)作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω体积为13.函数y= f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)，其图象上任一点P(x,y)满足x2-y2=1，则给出以下四个命题：①函数y= f(x)一定是偶函数；②函数y= f(x)可能是奇函数；③函数y= f(x)在(1,+∞)单调递增；④若y= f(x)是偶函数，其值域为(0,+∞)其中正确的序号为.(把所有正确的序号都填上)三、双空题14.在平面直角坐标系xOy中，点M不与点O重合，称射线OM与圆x2+y2=1的交点N为点M的“中心投影点”.(1)点M(1, 3)的“中心投影点”为(2)曲线x2- y23 =1上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是第93页共158页

专题25：抛物线的定义与方程一、单选题1.已知F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线上的一个动点，A 3,1? ?，则△APF周长的最小值为( )A. 2+2 5 B. 4+ 5 C. 3+ 5 D. 6+ 52.已知A，B分别为抛物线C1:y2=4x与圆C2:x2+y2-4 2y+7=0上的动点，抛物线的焦点为F，P，Q为平面两点，当AF? ? + AB? ?取到最小值时，点A与P重合，当AF? ? - AB? ?取到最大时，点A与Q重合，则直线的PQ的斜率为( )A. 23 B. 12 C. 1 D. 2 233.抛物线y2=4x的焦点为F，点P x,y? ?为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则PA? ?PF? ?的最大值是( )A. 2 B. 2 C. 2 33 D. 324.抛物线y2=2px p>0? ?的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB= π3，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则MN? ?AB? ?的最大值是( )A. 1 B. 32 C. 33 D. 25.已知点P是曲线y2=4x上任意一点，过点P向y轴引垂线，垂足为H，点Q是曲线y=ex上任意一点，则PH? ? + PQ? ?的最小值为( )A. 3+1 B. 2+1 C. 3-1 D. 2-16.抛物线C :y2=4x的焦点为F，点P、Q、R在C上，且ΔPQR的重心为F，则PF? ? + QF? ?的取值范围为( )A. 3, 92? ? ∪ 92 ,5? ? ? ? B. 4, 92??? ? ∪ 92 ,5? ? ? ? C. 3,4? ? ∪ 4, 92? ? D. 3,5? ?第94页共158页

7.如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2，4)，圆C2:x2+y2-4x+3=0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则PN? ? +9 QM? ?的最小值为( )A. 36 B. 42 C. 49 D. 50二、多选题8.泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点M 1，0? ?，直线l：x=-2，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是( )A.点P的轨迹曲线是一条线段B.点P的轨迹与直线l''：x=-1是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C. y=2x+6不是“最远距离直线”D. y= 12 x+1是“最远距离直线”三、填空题9.已知抛物线y2=2px p>0? ?的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且AF? ? =3 FB? ?，则线段AB的中点到y轴的距离为10.已知抛物线y2=4x，圆F :(x-1)2+y2=1，直线y=k(x-1)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D，则AB? ?· CD? ?的值是11. F为抛物线y2=4x的焦点，点P在抛物线上，Q是圆(x-2)2+(y-1)2=1上的点，则PQ? ? + PF? ?最小值是12.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，Q是线段PF上的点，且2 PQ??? ? = QF??? ?，则直线OQ的斜率的最大值为第95页共158页

13.如图，过抛物线y= 14 x2的焦点的直线交抛物线与圆x2+ y-1? ? 2=1于A,B,C,D四点，则AB?CD=14.如图，过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F作直线交C于A，B两点，过A，B分别向C的准线l作垂线，垂足为A1，B1，已知△AA''F与△BB''F的面积分别为9和1，则△A''B''F的面积为15.抛物线C : y2=4x的焦点为F,设过点F的直线l交抛物线与A,B两点，且AF? ? = 43 ,则BF? ? =16.已知抛物线y2=2px的准线方程为x=-1，焦点为F,A,B,C为抛物线上不同的三点，FA??? ? , FB??? ? , FC??? ?成等差数列，且点B在x轴下方，若FA?? +FB??+FC?? =0，则直线AC的方程为四、双空题17.己知圆C : x+1? ? 2+y2=16,P是圆C上任意点，若A 1,0? ?，线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹方程是﹔若A是圆C所在平面内的一定点，线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹是:①一个点②圆③椭圆④双曲线⑤抛物线，其中可能的结果有18.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，点P是满足λ= 12的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点Q为抛物线E：y2=4x上的动点，Q在直线x=-1上的射影为H，则12 PB? ? + PQ? ? + QH? ?的最小值为第96页共158页

专题26：抛物线的对称性问题一、单选题1.抛物线y=2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y=x+m对称，且x1x2=- 12，则m等于( )A. 32 B. 2 C. 52 D. 32.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2= 2px(p> 0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )A. 2 3p B. 4 3p C. 6 3p D. 8 3p3.已知正△ABC的顶点A，B在抛物线y2=4x上，另一个顶点C 4,0? ?，则这样的正三角形有个？( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.已知抛物线y=x2上有一定点A -1,1? ?和两动点P、Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标取值范围是( )A. -∞,-3? ? B. 1,+∞? ? C. -3,1? ? D. -∞,-3? ? ∪ 1,+∞? ?5.在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2=4y，圆的半径为r，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是( )A. 2,+∞? ? B. 1,+∞? ? C. 2,+∞? ? D. 1,+∞? ?6.长度为4的线段AB的两个端点在抛物线y=x2上移动，试求线段AB的中点M到x轴距离的最小值为( )A. 3 B. 72 C. 154 D. 747.已知曲线C的抛物线y2=2x及抛物线y2=-2x组成，A 1,2? ?，B -1,2? ?，M,N是曲线C上关于y轴对称的两点(A,B,M,N四点不共线，且点M在第一象限)，则四边形ABNM周长的最小值为( )A. 2+ 17 B. 1+ 17 C. 3 D. 4第97页共158页

8.已知抛物线y2=2px p>0? ?与圆x2+y2=5交于A，B两点，且AB? ? =4，则p= ( )A. 2 B. 1 C. 2 D. 49.抛物线E:x2=4y与圆M :x2+(y-1)2=16交于A、B两点，圆心M(0,1)，点P为劣弧AB?上不同于A、B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则ΔPMN的周长的取值范围是( )A. (6,12) B. (8,10) C. (6,10) D. (8,12)二、多选题10.已知O为坐标原点，过点P(a,-1)作两条直线分别与抛物线C：x2=4y相切于点A、B，AB的中点为M，则下列结论正确的是( )A.直线AB过定点(0,2)；B. PM的斜率不存在；C. y轴上存在一点N，使得直线NA与直线NB关于y轴对称；D. A、B两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值.三、解答题11.如图，已知抛物线C1：y2=x与圆C2：x-1? ? 2+y2=r2 r>0? ?有四个不同的公共点A，B，C，D.(Ⅰ)求r的取值范围；(Ⅱ)求四边形ABCD面积的最大值.12.已知直线l:2x-y+2=0与抛物线C :y2=2px p>0? ?有一个公共点.(1)求抛物线方程；(2)斜率不为0的直线l?经过抛物线C的焦点F，交抛物线于两点A，B.抛物线C上是否存在两点D，E关于直线l?对称？若存在，求出l?的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.第98页共158页

四、填空题13.已知抛物线y2=2px p>0? ?，F为其焦点，l为其准线，过F任作一条直线交抛物线于A，B两点，A'',B''分别为A，B在l上的射影，M为A''B''的中点，给出下列命题：①A''F ⊥B''F；②AM ⊥BM；③A''F ?BM；④A''F与AM的交点在y轴上；⑤AB''与A''B交于原点.其中真命题是．(写出所有真命题的序号)14.曲线C是平面内到定点F 32 ,0? ?和定直线l：x=- 32的距离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C关于y轴对称；②若点P(x,y)在曲线C上，则y满足|y|≤4；③若点P(x,y)在曲线C上，则1≤|PF|≤5.其中，正确结论的序号是15.以抛物线C：y2=2px(p>0)的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于D,E两点.已知|AB|=2 6，|DE|=2 10，则p等于16.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0)，O为坐标原点，A，B为抛物线上的点，若△OAB为等边三角形，且面积为48 3，则p的值为第99页共158页

专题27：抛物线的定点问题1.已知抛物线C :y2=2px p>0? ?的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，△AOB(点O为坐标原点)的面积为2.(1)求抛物线C的方程；(2)设不经过原点O的直线l与抛物线交于P?Q两点，设直线OP?OQ的倾斜角分别为α和β，证明：当α+β= π4时，直线l恒过定点.2.已知点A 0,-1? ?，B 0,1? ?，动点P满足PB??? ? AB??? ? =PA?? ?BA??．记点P的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)设D为直线y=-2上的动点，过D作C的两条切线，切点分别是E，F．证明：直线EF过定点．3.设抛物线y2=2px p>0? ?的焦点为F，已知直线l1：mx-y-2m=0，圆E：x2+y2-2x-4y-4=0.(1)设直线l1与圆E的交点分别为P，Q，求当PQ? ?取得最小值时，直线l1的方程；(2)若抛物线过圆E的圆心，直线l1，l2过同一定点且与抛物线相交于A，B和C，D点，l1⊥l2，设M是AB的中点，N是CD的中点，证明：直线MN恒过定点.4.已知抛物线C1:y2=2px p>0? ?的焦点F是椭圆C2:x2+2y2=1的一个顶点.(1)求抛物线C1的方程；(2)若点P 1,2? ?，M、N为抛物线C1上的不同两点，且PM ⊥PN，问：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.5.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x被抛物线C :y2=2px(p>0)截得的弦长为4 2，直线l与抛物线C相交于点M，N，点A 1,2? ?，且直线AM，AN的斜率之和为4.(1)求抛物线C的方程；(2)求证：直线l过定点，并求出定点坐标.第100页共158页

6.已知抛物线E:x2=2py p>0? ?的焦点为F，A 2,y0? ?是E上一点，且AF =2.(1)求抛物线E的方程；(2)设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y=x-3交于点P，过点P作x轴的垂线交抛物线E于点M，证明：直线BM过定点，并求出该定点坐标.7.在平面直角坐标系xOy中，M为直线y=x-3上的动点，过点M作抛物线C :x2=2y的两条切线MA,MB，切点分别为A,B,N为AB的中点.(1)证明MN ⊥x轴；(2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.8.已知点A 1,0? ?，E，F为直线x=-1上的两个动点，且AE?? ⊥AF??，动点P满足EP?? ?OA??，FO?? ?OP??(其中O为坐标原点).(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若直线l与轨迹C相交于两不同点M、N，如果OM??? ?ON?? =-4，证明:直线l必过一定点，并求出该定点的坐标.9.平面上动点M到定点F 1,0? ?的距离比M到直线x=-2的距离小1．(1)求动点M满足的轨迹方程C﹔(2)若A，B是(1)中方程C表示的曲线上的两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)．试问直线AB是否经过定点，并说明理由．第101页共158页

10.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P 4,m? ?是抛物线C上一点，且PF? ? =5．(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l与抛物线C交于A，B两点，若AF? ? + BF? ? =6，求证：线段AB的垂直平分线过定点．11.已知F是抛物线C :y2=2px p>0? ?的焦点，M 1,t? ?是抛物线上一点，且MF? ? = 32 .(1)求抛物线C的方程；(2)已知斜率存在的直线l与抛物线C交于A，B两点，若直线AF，BF的倾斜角互补，则直线l是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.12.在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点3,0? ?，且在y轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点32 ,0? ?作相互垂直的两条直线l1，l2，直线l1与曲线C相交于A，B两点，直线l2与曲线C相交于E，F两点，线段AB，EF的中点分别为M、N，求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标.第102页共158页

专题28：抛物线的定值问题一、单选题1.如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P 4,0? ?的直线交抛物线A x1,y1? ? ,B x2,y2? ?两点，直线AF,BF分别与抛物线交于M,N点，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，则k1k2 = ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、解答题2.在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2: x-5? ? 2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．(1)求曲线C1的方程；(2)设P x0,y0? ? y0≠±3 ?为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A、B和C、D．证明：当P在直线x=-4上运动时，四点A、B、C、D的纵坐标之积为定值．3.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点是F，若过焦点的直线与C相交于P，Q两点，所得弦长|PQ|的最小值为4.(1)求抛物线C的方程；(2)设A，B是抛物线C上两个不同的动点，O为坐标原点，若OA⊥OB，OM ⊥AB，M为垂足，证明：存在定点N，使得|MN|为定值.第103页共158页

4.如图，已知过拋物线C :y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于点A,B(点A在第一象限)，线段AB的中点为M,拋物线C在点A处的切线与以AM为直径的圆交于另一点P.(1)若AF?? =4FB??，求直线AB的方程；(2)试问|AP|2AB? ? ? AF? ?是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出它的最大值.5.动圆C过定点F p2 ,0? ?，且与直线x=- p2相切，其中p>0，设圆心C的轨迹为Γ．(1)求轨迹Γ的方程；(2)设直线l交轨迹Γ于不同的两个点A x1,y1? ?、B x2,y2? ?，当y1y2=-p时，直线l过定点，请求出定点坐标；(3)设轨迹Γ上的两个定点P0 x0,y0? ?、Q0 x?0,y?0? ?，分别过点P0、Q0作倾斜角互补的两条直线P0M、Q0N分别与轨迹Γ交于M、N两点，求证：直线MN的斜率为定值．6.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆x24 + y23 =1的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B.(1)求抛物线C的标准方程；(2)设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：k1?k2为定值；(3)求AB? ?的最小值.第104页共158页

7.如图，已知M 94 ,3? ?是抛物线C :y2=2px p>0? ?上一点，直线AM，BM的斜率互为相反数，与抛物线C分别交于A，B两点，且均在M点的下方．(1)证明：直线AB的斜率为定值；(2)求△MAB面积的最大值．8.己知过点M 0,m? ? m>0 ?的直线l与抛物线C :x2=4y交于A，B两点．(1)分别以A，B为切点作抛物线的两条切线PA，PB，交点为P，当m=1时，求点P的轨迹方程；(2)若1AM? ? 2 + 1BM? ? 2为定值，求m的值．9.如图，抛物线y2=4x的焦点为F，AB为过点F的弦，设直线AB的斜率为k(k>0).AB的中垂线与x轴交于点P，抛物线在A，B两点处切线交于点Q.(1)当AB? ? =6时，求△PAB的面积；(2)判断S△PABS△QAB是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由.第105页共158页

10.已知抛物线y2=2px p>0? ?的焦点F到准线l的距离为2，直线x-y+m=0 m∈R? ?与抛物线交于不同的两点A，B.(1)求抛物线的方程；(2)是否存在与m的取值无关的定点T，使得直线AT，BT的斜率之和恒为定值？若存在，求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由.11.已知抛物线E :y2=4x，过点Q 2,0? ?作直线与抛物线E交于A,B两点，点P是抛物线上异于A,B两点的一动点，直线PA,PB与直线x=-2交于M,N两点.(1)证明：M,N两点的纵坐标之积为定值；(2)求ΔMNQ面积的最小值.第106页共158页

12.如图，已知抛物线y2=2px p>0? ?，在x轴正半轴上有一点M t,0? ? t>0 ?，过点M作直线l1，l2分别交抛物线于点A,B,C,D，过点M作l3垂直于x轴分别交AD,BC于点P,Q.当t= 12 p，直线l1的斜率为1时，AB=4.(1)求抛物线的方程；(2)判断MPMQ是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.13.在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线x2=4y上有两个动点A、B，且满足AF?? =λFB??，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M.(1)求：OA?? ?OB??的值；(2)证明：FM?? ?AB??为定值.14.已知抛物线C :x2=2py(p>0)经过点P(2,1)，过点Q(1,0)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B，且直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，QM??? =λQO??，??QN?? =μQO??，求证: 1λ + 1μ为定值．第107页共158页

15.设F是抛物线y2=4x的焦点，M，P，Q是抛物线上三个不同的动点，直线PM过点F，MQ∥OP，直线QP与MO交于点N．记点M，P，Q的纵坐标分别为y0，y1，y2．(1)证明：y0=y1-y2；(2)证明：点N的横坐标为定值．第108页共158页

专题29：抛物线的定直线问题1.已知抛物线C：x2=2py(p>0)与圆O：x2+y2=12相交于A，B两点，且点A的横坐标为2 2.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.(1)求抛物线C的方程.(2)过点M，N作抛物线C的切线l1，l2，P x0,y0? ?是l1，l2的交点，求证：点P在定直线上.2.如图，已知抛物线C：y2=2px p>0? ?的焦点F，过x轴上一点T 2,0? ?作两条直线分别交抛物线于A，B和C，D，设AC和BD所在直线交于点P．设M为抛物线上一点，满足以下的其中两个条件：①M点坐标可以为4,4? ?；②MF ⊥x轴时，MF? ? =3；③MF? ?比M到y轴距离大1．(1)抛物线C同时满足的条件是哪两个？并求抛物线方程；(2)判断并证明点P是否在某条定直线上，如果是，请求出该直线；如果不是，请说明理由．3.如图，已知点F 1,0? ?，A、B为抛物线上y2=4x不同的两点(B在A的右上方，F在直线AB的下方)，满足∠BAF =∠AFO+45°.(1)证明：AB的中点C位于某定直线上；(2)记△ABF内切圆、外接圆的半径分别为r、R，求Rr的最小值.第109页共158页

4.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px p>0? ?及点M 2,0? ?，动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB? ? =4.(1)求p的值；(2)若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上.5.已知圆E:x2+2x+y2-1=0，抛物线F :y= x22p p>0? ?，倾斜角为π4的直线l1过F的焦点且与E相切(1)求p的值；(2)点M在F的准线上，动点A在F上，F在A点处的切线l2交y轴于点B，设四边形BMAN为平行四边形，求证：点N在直线y=3上.6.已知圆M经过点0,1? ?与直线y=-1相切，圆心M的轨迹为曲线C，过点N 0,2? ?做直线与曲线C交于不同两点A,B，三角形OAB的垂心为点H.(1)求曲线C的方程；(2)求证：点H在一条定直线上，并求出这条直线的方程.7.已知抛物线L：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点M 5,0? ?的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线AF交抛物线L于另一点C，直线AC的最小值为4.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点A作y轴的垂线m，则x轴上是否存在一点P x0,0? ?，使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由.第110页共158页

8.平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px(p>0)及点M(2，0)，动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB=4.(1)求p的值；(2)若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上.9.已知椭圆C1：x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的离心率为22，且经过点- 22 , 32? ? .(Ⅰ)求椭圆C1的标准方程；(Ⅱ)已知抛物线C2的焦点与椭圆C1的右焦点重合，过点P 0,-2? ?的动直线与抛物线C2相交于A，B两个不同的点，在线段AB上取点Q，满足AP? ? ? QB? ? = AQ? ? ? PB? ?，证明：点Q总在定直线上．10.曲线C上任一点到定点(0，18 )的距离等于它到定直线y=- 18的距离．(1)求曲线C的方程；(2)经过P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线l1、l2分别交曲线C于A、B两点，且l1?l2，设M是AB中点，问是否存在一定点和一定直线，使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等．若存在，求出这个定点坐标和这条定直线的方程．若不存在，说明理由．第111页共158页

11.如图，已知抛物线C :y= 12 x2直线y=kx+2交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点.(1)证明：OA⊥OB；(2)设抛物线C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，证明：l1与l2的交点M在一定直线上.12.已知抛物线C :y2=2px p>0? ?，圆B:x2+y2-6x+1=0，直线m:x-y+b=0 b>0? ?与抛物线C和圆B同时相切.(1)求p和b的值；(2)若点A的坐标为-2,0? ?，过点A且斜率为23的直线l1与抛物线C分别相交于P、Q两点(点Q在点P的右边)，过点A的直线l2与抛物线C分别相交于M、N两点，直线l1与l2不重合，直线PM与直线QN相交于点T，求证：点T在定直线上.第112页共158页

专题30：抛物线的范围问题一、单选题1.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A、B是抛物线上两个动点，且满足∠AFB= π3，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则|MN||AB|的最大值是( )A. 1 B. 2 C. 2 D. 4二、解答题2.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l:mx+y- 32 =0经过抛物线C的焦点(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l与抛物线C相交于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求△ABP面积的最小值.3.已知直线l1，l2分别于抛物线y2=x相切于A，B两点．(1)若点A的坐标为(1，-1)，求直线l1的方程；(2)若直线l1与l2的交点为P，且点P在圆(x+2)2+y2=1上，设直线l1，l2与y轴分别交于点M，N，求|MN||AB|的取值范围．4.已知抛物线H :x2=2py(p>0)的焦点为F，经过点(0,1)作倾斜角为45°的直线交H于A，B两点，且弦AB的长|AB|=8 3．(1)求抛物线H的方程；(2)设直线l的方程为y= 12 x+t(t≠0)，且l与H相交于C，D两点，若E是F关于原点O的对称点，记直线CE，DE的斜率分别为k1，k2，求k1k2的取值范围．第113页共158页

5.如图，椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的左顶点为A，离心率为12，长轴长为4，椭圆C和抛物线F :y2=2px p>0? ?有相同的焦点，直线l:x-y+m=0与椭圆交于M，N两点，与抛物线交于P，Q两点．(1)求抛物线F的方程；(2)若点D，E满足AD?? =AM??? +AN??，AE?? =AP?? +AQ??，求AD?? ?AE??的取值范围．6.已知抛物线C :y= 12 x2，过不在y轴上的点P作C的两条切线PA,PB，切点分别为A,B．直线AB与y轴交于点M，直线PO(O为坐标原点)与AB交于点N，且PN ⊥AB．(1)证明M是一个定点；(2)求|PN||MN|的最小值．7.已知抛物线C :y2=2px的焦点为F(1,0)，且点M x0,y0? ? y0>1 ?是抛物线C上的动点，过M作圆Q:(x-a)2+y2=1的两条切线，分别交抛物线C于A，B两点．(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)当直线MQ垂直于直线AB时，求实数a的取值范围．第114页共158页

8.若抛物线y2=4x上存在关于直线y=kx+3(k≠0)对称的两点，求k的取值范围.9.如图，设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(Ⅰ)求p的值；(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，求N的横坐标的取值范围．10.如图，椭圆C1：x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2，离心率为32，过抛物线C2：x2=4by焦点F的直线交抛物线于M,N两点，当|MF|= 74时，M点在x轴上的射影为F1，连接NO,MO并延长分别交C1于A,B两点，连接AB，ΔOMN与ΔOAB的面积分别记为SΔOMN，SΔOAB，设λ= SΔOMNSΔOAB .(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；(2)求λ的取值范围.第115页共158页

11.如图，已知抛物线C1：y2=x与圆C2：x-1? ? 2+y2=r2 r>0? ?有四个不同的公共点A，B，C，D.(Ⅰ)求r的取值范围；(Ⅱ)求四边形ABCD面积的最大值.12.已知抛物线E：y2=2px p>0? ?和直线l：x-y+4=0，P是抛物线E上的点，且点P到y轴的距离与到直线l的距离之和的最小值5 22 -1(1)求抛物线E的方程；(2)设Q∈l，过点Q作抛物线E的两条切线，切点分别记为A，B，抛物线E在点P处的切线与QA，QB分别交于M，N两点，求△QMN外接圆面积的最小值.13.已知：抛物线C1:y=x2+2，过C1外点P作C1的两条切线，切点分别为A、B.(Ⅰ)若P 2,0? ?，求两条切线的方程；(Ⅱ)点P是椭圆C2: x24 +y2=1上的动点，求△PAB面积的取值范围.第116页共158页

专题31：抛物线的存在探索性问题1.已知点P到直线y=-3的距离比点P到点A(0，1)的距离多2.(1)求点P的轨迹方程；(2)经过点Q(0，2)的动直线l与点P的轨迹交于M，N两点，是否存在定点R使得∠MRQ=∠NRQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由.2.如图，已知抛物线M :x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1)，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，在A，B两点处的切线相交于N，再分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D.(1)求证：点N在定直线上；(2)是否存在点N，使得△BDN的面积是△ACN的面积和△ABN的面积的等差中项，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.3.已知抛物线C :y2=2px(p>0)的焦点为F，过F作一条直线l与抛物线C相交于A、B两点．(1)若直线l的倾斜角为π4，请用p表示A、B两点之间的距离；(2)若点A在抛物线C的准线上的射影为点D，求证：B、O、D在同一条直线上；(3)在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．第117页共158页

4.已知抛物线C :y2=2px p>0? ?，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线C于A,B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2．(1)求抛物线C的方程；(2)若点P(-4,0)，问x轴上是否存在点T，使得过点T的任一条直线与抛物线C交于点M,N两点，且点T到直线MP,NP的距离相等？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．5.从抛物线y2=36x上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段PQ上的一点，且满足PM?? =2MQ?? .(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设直线x=my+1(m∈R)与轨迹C交于A，B两点，T为C上异于A，B的任意一点，直线AT，BT分别与直线x=-1交于D，E两点，以DE为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的所有定点坐标；若不过定点，请说明理由.6.如图，点F为抛物线C1：x2=2y的焦点，点M是抛物线C1在第二象限上的一点，过点M作圆C2：x-2? ? 2+y2=1的两条切线，交C1于A，B两点，抛物线C1在点M处的切线分别交x轴，y轴于点P，Q(1)求证：|MQ|2|QO|?|QF|为定值；(2)是否存在点M，使得A，B，P三点共线，若存在，求M点坐标，不存在，说明理由第118页共158页

7.已知抛物线C1:y2=4x与圆C2:x2+y2=r2一个交点的横坐标x0= 5 -2，C1的一条切线过点P 1,2? ?，与C2交于A，B两点，且A点在B点的右侧，O为坐标原点.(1)证明：OA?? ⊥OB??；(2)若过点A的直线l与C1交于不同的两点M，N.①求直线l的斜率k的取值范围；②是否存在一定点Q，使得QM??? ?QN??为定值？若存在，求出定点Q和定值；若不存在.请说明理由.8.已知抛物线C :y2=2px 0
11.已知抛物线C :y2=2px(p>0)经过点(2,-2 2).(1)求抛物线C的方程及其相应准线方程；(2)过点E(2,0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线于M,N和P,Q四点，其中k1+k2=1.设线段MN和PQ的中点分别为A,B,过点E作ED⊥AB,垂足为D.证明：存在定点T,使得线段TD长度为定值.12.已知抛物线C：y2=2px p>0? ?经过点1,-2? ?，过点M 8,-4? ?的直线与抛物线C交于A，B两点.(1)求抛物线C的方程；(2)在抛物线C上是否存在定点N，使得NA?? ?NB?? =0？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.13.已知抛物线y2=4x的弦AB过焦点F.1? ?若AB⊥x轴，M为抛物线准线与x轴交点，求∠AMB的大小；2? ?若焦点弦AB斜率为k(常数k≠0)，则能否在抛物线准线上找到一点M使1? ?中∠AMB大小不变.第120页共158页

14.动圆P过定点A(2,0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4.(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l?与曲线C的交点S、T满足1|QS|2 + 1|QT|2为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由.15.已知抛物线L：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点M 5,0? ?的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线AF交抛物线L于另一点C，直线AC的最小值为4.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点A作y轴的垂线m，则x轴上是否存在一点P x0,0? ?，使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由.第121页共158页

专题32：抛物线向量结合问题一、单选题1.已知过抛物线y2=2px p>0? ?的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且AF?? =3FB??，抛物线的准线l与x轴交于点C，AA1⊥l于点A1，若四边形AA1CF的面积为12 3，则准线l的方程为( )A. x=- 2 B. x=-2 2 C. x=-2 D. x=-12.过双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的右焦点F作渐近线的垂线，设垂足为P(P为第一象限的点)，延长FP交抛物线y2=2px(p>0)于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若OP?? = 12 (OF?? +OQ?? )，则双曲线的离心率的平方为( )A. 5 B. 52 C. 5+1 D. 5+123.已知抛物线C :y2= 4x的焦点F，直线l与C交于A、B两点，且2BF?? =FA??，则直线l的斜率可能为( )A. 2 2 B. 2 C. 1 D. 24二、解答题4.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于A x1,y1? ?，B x2,y2? ?两点，且y1y2=-4.(1)求抛物线C的方程；(2)若OE?? =2 OA?? +OB??? ? (O为坐标原点)，且点E在抛物线C上，求直线l的倾斜角；(3)若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB斜率分别为k0，k1，k2，求证：当k0为定值时，k1+k2也为定值.5.已知抛物线C :x2=2py p>0? ?的焦点为F，点Q在抛物线C上，点P的坐标为1, 12? ?，且满足OF?? +2FP??=FQ?? (O为坐标原点).(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l交抛物线C于A，B两点，且弦AB的中点M在直线y=2上，试求△OAB的面积的最大值.第122页共158页

6.已知抛物线y2 = 2px(p > 0)的焦点为F，过H - p2 ,0? ?引直线l交此抛物线于A，B两点.(Ⅰ)若直线AF的斜率为2，求直线BF的斜率；(Ⅱ)若p=2，点M在抛物线上，且FA?? +FB??=tFM??，求t的取值范围.7.抛物线C的方程为y=ax2(a<0)，过抛物线C上一点P x0,y0? ? x0≠0 ?作斜率为k1、k2的两条直线分别交抛物线C于A x1,y1? ?、B x2,y2? ?两点(P、A、B三点互不相同)，且满足k2+λk1=0(λ≠0,λ≠-1)：(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程；(2)当λ=1时，若点P的坐标为(1,-1)，求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围；(3)设直线AB上一点M，满足BM?=λMA?，证明线段PM的中点在y轴上；8.如下图，设抛物线方程为x2=2py p>0? ?，M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．(Ⅰ)设线段AB的中点为N；(ⅰ)求证：MN平行于y轴；(ⅱ)已知当M点的坐标为2，-2p? ?时，AB? ? =4 10，求此时抛物线的方程；(Ⅱ)是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py p>0? ?上，其中，点C满足OC?? =OA?? +OB?? (O为坐标原点)．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由．第123页共158页

9.已知圆：N :(x+1)2+y2=2和抛物线C :y2=x,圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A,B.(1)当切线l斜率为-1时，求线段AB的长；(2)设点M和点N关于直线y=x对称，且MA?? ?MB?? =0,求直线l的方程.10.(本小题12分)已知如图，圆N :(x+2)2+y2=8和抛物线C :y2=2x，圆的切线l与抛物线C交于不同的点A，B.(1)当直线l的斜率为1时，求线段AB的长；(2)设点M和点N关于直线y=x对称，问是否存在圆的切线l:x=my+a使得MA?? ⊥MB??？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.11.在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，点M在线段PD上，且DM??? = 12 DP??，点M的轨迹为曲线C1.(1)求曲线C1的方程；(2)过抛物线C2：y2=8x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交曲线C1于另一点C，求ΔABC面积的最小值，以及取得最小值时直线l的方程.第124页共158页

专题33：抛物线的应用问题一、单选题1.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2=4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为( )A. 9+ 10 B. 9+ 26 C. 7112 + 26 D. 8312 + 262.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线y2=2px(p>0)，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随Q位置变化前三种情况都有可能关系3.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=4x上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )A. 33 B. 23 C. 22 D. 14.若抛物线y2=2px的焦点为F，点A、B在抛物线上，且∠AFB= 2π3，弦AB的中点M在准线l上的射影为M''，则MM''? ?AB? ?的最大值为( )A. 4 33 B. 2 33 C. 33 D. 35.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线(光线不同过抛物线对称轴上任意两点)经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.若一条平行于x轴的光线从M 3,1? ?射出，经过抛物线y2=4x上过的点A反射后，再经抛物线上的另一点B反射出，则直线AB的斜率为( )A. - 43 B. 43 C. ± 43 D. - 169第125页共158页

二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水面下降0.42米，则水面宽为米.7.抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后.反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线y2=2x，平行于x轴的光线在抛物线上点P处反射后经过抛物线的焦点F，在抛物线上点Q处再次反射，又沿平行于x轴方向射出，则两平行光线间的最小距离为8.早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为；溢流孔与桥拱交点A的横坐标为9.已知抛物线C :y2=2px p>0? ?，有如下性质：由抛物线焦点F发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为120°，过抛物线C的焦点F，经反射后，反射光线与x轴的距离为3，则抛物线C的方程为10.已知点M 4,0? ?，点P在曲线y2=8x上运动，点Q在曲线x-2? ? 2+y2=1上运动，则PM? ? 2PQ? ?的最小值是第126页共158页

三、解答题11.设抛物线C :y2=2px p>0? ?的焦点为F，准线为l，AB为抛物线C过焦点F的弦，已知以AB为直径的圆与l相切于点-1,0? ? .(1)求p的值及圆的方程；(2)设M为l上任意一点，过点M作C的切线，切点为N，证明：MF ⊥NF.12.抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然.如图所示，今有抛物线C :y2=2x，一光源在点M处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴的方向射向抛物线上的点P，反射后，又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物线的对称轴方向射出，途中遇到直线l上的N点，再反射后又射回点M.设P，Q两点的坐标分别是x1,y1? ?，x2,y2? ? .(1)证明：y1y2=-1；(2)若四边形MPQN是平行四边形，且点M的坐标为(4,2).求直线l的方程.13.有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示.为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.若行车道总宽度AB为8米.(1)计算车辆通过隧道时的限制高度；(2)现有一辆载重汽车宽3.5米，高4.2米，试判断该车能否安全通过隧道？第127页共158页

专题34：圆锥曲线中点弦问题一、单选题1.若椭圆x216 + y28 =1的弦被点(2,1)平分，则此弦所在的直线方程是( )A. x+y-3=0 B. x+2y-4=0 C. 2x+10y-14=0 D. x+3y-5=02.已知抛物线E:y2=x，直线y=kx-2交抛物线E于A,B两点，M是AB的中点，过M作y轴的垂线交抛物线E于点N，且NA?? ?NB?? =0，若k>1，则k为( )A. 2 B. 32 C. 3 D. 23.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左焦点为F，过点F的直线x-y+ 3 =0与椭圆C相交于不同的两点A、B，若P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为- 12，则椭圆C的方程为( )A. x23 + y22 =1 B. x24 + y23 =1 C. x25 + y22 =1 D. x26 + y23 =14.已知双曲线x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?，斜率为12的直线l交双曲线于M、N，O为坐标原点，P为MN的中点，若OP的斜率为2，则双曲线的离心率为( )A. 2 B. 5 C. 2 3 D. 45.已知直线l:(a+1)x+(a+2)y-2a-3=0经过定点P，与抛物线x2=4y交于A,B两点，且点P为弦AB的中点，则直线l的方程为( )A. x+2y-3=0 B. x-2y+1=0 C. 2x-y+1=0 D. x+y-2=06.已知双曲线x2- y22 =1上存在两点M，N关于直线y=-x+b对称，且MN的中点在抛物线y2=3x上，则实数b的值为( )A. 0或94 B. 0 C. 94 D. -8二、填空题7.已知过抛物线y2=8x的焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB的中点到y轴的距离是8.双曲线C的一个焦点为F(3,0)，中心为原点，过F的直线l与C交于A，B两点，若AB的中点为E(-12,-15)，则此双曲线的渐近线方程为第128页共158页

三、解答题9.已知椭圆x22 +y2=1的左、右焦点分别为F1,F2，过F1的直线l不垂直坐标轴，与椭圆交于A,B两点，M是AB的中点．(1)若点M的横坐标为- 12，求点M的纵坐标；(2)记F2A,F2B,F2M的斜率分别为k1,k2,k3，是否存在直线l使得k1,2k3,k2成等差数列，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．10.已知椭圆E: x24 + y22 =1，经过点M m,1? ?且斜率为k的直线l与E相交于C,D两点，与x轴相交于点P.(1)若m≠0，且M恰为线段CD的中点，求证：线段CD的垂直平分线经过定点；(2)若m=0，设A,B分别为E的左、右顶点，直线AC、BD相交于点Q.当点P异于A,B时，OP?? ?OQ??是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.11.已知椭圆方程为x23 + y22 =1，左右焦点分别为F1,F2，直线l过椭圆右焦点F2且与椭圆交于A、B两点，(1)若P为椭圆上任一点，求PF1? ? ? PF2? ?的最大值，(2)求弦AB中点M的轨迹方程，第129页共158页

12.如图，F1、F2是离心率为22的椭圆C：x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的左、右焦点，过F1作x轴的垂线交椭圆C所得弦长为2 2，设A、B是椭圆C上的两个动点，线段AB的中垂线与椭圆C交于P、Q两点，线段AB的中点M的横坐标为1.(1)求椭圆C的方程；(2)求F2P?? ?F2Q??的取值范围.13.如图，设椭圆y2a2 + x2b2 =1(a>b>0)两顶点A(-b,0),B(b,0)，短轴长为4，焦距为2，过点P(4,0)的直线l与椭圆交于C,D两点．设直线AC与直线BD交于点Q1.(1)求椭圆的方程；(2)求线段C,D中点Q的轨迹方程；(3)求证：点Q1的横坐标为定值.第130页共158页

14.已知抛物线y2=2px(p>0)过点P(m,2)，且P到抛物线焦点的距离为2直线l过点Q(2,-2)，且与抛物线相交于A，B两点.(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)若点Q恰为线段AB的中点，求直线l的方程；(Ⅲ)过点M(-1,0)作直线MA，MB分别交抛物线于C，D两点，请问C，D，Q三点能否共线？若能，求出直线l的斜率k；若不能，请说明理由.15.设A、B是椭圆3x2+y2=15上的两点，点N 1,3? ?是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．(1)求直线AB的方程；(2)判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上？若是求出圆的方程，若不是说明理由．16.过椭圆x216 + y24 =1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．(1)求此弦所在的直线方程；(2)求此弦长．第131页共158页

专题35：圆锥曲线的弦长问题1.已知椭圆E: x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的离心率为63，且过点( 3,1).(1)求椭圆E的标准方程；(2)过椭圆E右焦点的直线l1、l2相互垂直，且分别交椭圆E于A、B和C、D四点，求AB? ? + CD? ?的最小值.2.已知椭圆x2a2 + y24 =1上一点到椭圆两焦点的距离之和为4 2．(1)求a的值及椭圆的离心率；(2)顺次连结椭圆的顶点得到菱形A1B1A2B2，求该菱形的内切圆方程；(3)直线l与(2)中的圆相切并交椭圆于A，B两点，求|AB|的取值范围．3.如图，点P x0,y0? ?在抛物线C :y=x2外，过点P作抛物线C的两切线，设两切点分别为A x1,x21? ?、B x2,x22? ?，记线段AB的中点为M．(1)证明：线段PM的中点N在抛物线C上；(2)设点P为圆D:x2+ y+2? ? 2=1上的点，当AB? ?PM? ?取最大值时，求点P的纵坐标．第132页共158页

4.如图所示，已知点F1、F2是椭圆C1: x22 +y2=1的两个焦点，椭圆C2: x22 +y2=λ经过点F1、F2，点P是椭圆C2上异于F1、F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A、B和C、D.设AB、CD的斜率分别为k1、k2.(1)求证：k1?k2为定值；(2)求AB? ? ? CD? ?的最大值.5.已知椭圆C : x2a2 + y23 =1 a> 3? ?的离心率为12，过点0,1? ?的直线l与C有两个不同的交点A，B，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线l与直线OD分别交直线x=4于点M，N.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求线段MN? ?的最小值.6.已知椭圆C : x2a2 + y23 =1 a> 3? ?的左、右顶点分别为A1，A2，点P为椭圆C上异于A1，A2的一点，且直线PA1，PA2的斜率之积为- 34 .(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l过右焦点F2与椭圆C交于M，N两点(M，N与A1不重合)，l不与x轴垂直，若kA1M +kA1N =-kMN，求MN? ?.第133页共158页

7.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆x24 + y23 =1的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B.(1)求抛物线C的标准方程；(2)设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：k1?k2为定值；(3)求AB? ?的最小值.8.设椭圆E：x2a2 + y2b2 =1(a，b>0)过M(2，2)，N( 6，1)两点，O为坐标原点，(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA?? ⊥OB??？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由.9.已知F1(-1,0)，F2(1,0)椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左、右焦点，点P是C的上顶点，且直线PF2的斜率为- 3．(1)求椭圆C的方程；(2)过点F2作两条互相垂直的直线l1，l2．若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，求|AB|+|DE|的最大值．第134页共158页

10.已知椭圆E：x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?四个顶点中的三个是边长为2 3的等边三角形的顶点.(1)求椭圆E的方程：(2)设直线y=kx+m与圆O：x2+y2= 2b23相切且交椭圆E于两点M，N，求线段MN? ?的最大值.11.已知椭圆C : x26 + y25 =1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线l交椭圆C于A、B两点.(1)若△F1AB的面积为20 311，求直线l的方程；(2)若BF2?? =2F2A??，求AB? ?.12.已知椭圆C1: x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的一焦点F与抛物线C2:y2=4x的焦点重合，且离心率为22．(1)求椭圆C1的标准方程；(2)过焦点F的直线l与抛物线C2交于A、B两点，与椭圆C1交于C、D两点，求|CD||AB|的最大值．第135页共158页

专题36：圆锥曲线的面积问题1.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的长轴长为4，离心率为32 .(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，OA?? +OB?? =2OM???，若OM???? ? =1，求△AOB面积的最大值.2.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的焦距为8，且点M 5 32 ,- 12? ?在C上.(1)求C的方程；(2)若直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OM平分，求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值.3.已知抛物线C：y2=2px p>0? ?的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交抛物线C于D?E两点，且DE? ? =4.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l过点A 2,0? ?且与抛物线C交于P,Q两点，点R在抛物线C上，点N在x轴上，NP?? +NQ?? +NR?? =0?，直线PR交x轴于点B，且点B在点A的右侧，记△APN的面积为S1，△RNB的面积为S2，求S1S2的最小值.第136页共158页

4.如图所示，F1?F2分别是椭圆C：x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上.当∠F1PF2最大时，cos∠F1PF2= 35且PF2?? ?F1F2?? =2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线PF2与椭圆C的另一交点为Q，过F1作直线PQ的垂线l，l与圆x2+y2=b2交于A?B两点，求四边形APBQ面积的最大值.5.已知点F 1,0? ?，圆E：x+1? ? 2+y2=8，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q点.(1)求动点Q的轨迹Γ的方程；(2)若直线l：y=kx+t与圆O：x2+y2=1相切，并与轨迹Γ交于不同的两点A,B，OA?? ?OB?? =μ，且35 ≤μ≤1，求△AOB面积的最大值.6.如图，过椭圆x22 +y2=1的左右焦点F1,F2分别做直线AB,CD，交椭圆于A,B,C,D四点，设直线AB的斜率为k(k≠0)(1)求|AB|(用k表示)；(2)若直线AB,CD的斜率之积为- 12，求四边形ACBD面积的取值范围．第137页共158页

7.已知椭圆C1: y22 +x2=1，拋物线C2:y2=2px(p>0)，点A -1,0? ?，斜率为k的直线l1交拋物线于B、C两点，且AC?? = 12 CB??，经过点C的斜率为- 12 k的直线l2与椭圆相交于P、Q两点.(1)若拋物线的准线经过点A，求拋物线的标准方程和焦点坐标：(2)是否存在p，使得四边形APBQ的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及p的值；若不存在，请说明理由.8.已知直线l与圆O:x2+y2=8相切，动点P到F1(-2,0)与F2(2,0)两点距离之和等于F1，F2两点到直线l的距离之和.(1)设动点P的轨迹为C，求轨迹C的方程；(2)对于椭圆x2a2 + y2b2 =1，上一点A x0,y0? ?，以A为切点的切线方程为xx0a2 + yy0b2 =1.设G为x=4上任意一点，过点G作轨迹C的两条切线GM，GN，M，N为切点.①求证直线MN过定点；②求△F1MN面积的最大值.第138页共158页

9.如图，设椭圆C1: x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)，长轴的右端点与抛物线C2:y2=8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率为32 .(1)求椭圆C1的标准方程；(2)过F作直线l交抛物线C2于A?B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一个点C，求△ABC面积的最小值时直线l的方程.10.已知椭圆E: x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的离心率为22，其长轴长为2 2.(1)求椭圆E的方程；(2)直线l1:y=k1x交E于A、C两点，直线l2:y=k2x交E于B、D两点，若k1?k2=- 12 .求四边形ABCD的面积.11.已知圆C的方程为x2+(y-5)2=16，直线l的方程为y=3，点P为平面内一动点，PQ是圆C的一条切线(Q为切点)，并且点P到直线l的距离恰好等于切线PQ长．(Ⅰ)求点P的轨迹方程；(Ⅱ)已知直线m的方程为y=x-2，过直线m上一点R作(Ⅰ)中轨迹的两条切线，切点分别是A，B两点，求△ABR面积的最小值．第139页共158页

12.如图，已知抛物线C :y2=2x，过点M(2,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点P是直线x=- 23上的动点，且PO⊥AB(其中O为坐标原点)．(1)若直线l的倾斜角为π4，求点P到直线l的距离；(2)求△ABP面积的最小值及取得最小值时直线l的方程．13.已知A、B分别为椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的左、右顶点，点G 0,1? ?为椭圆C的上顶点，直线GA与GB的斜率之积为- 13．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，点M、N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且MF1?NF2，求四边形F1MNF2面积的取值范围．14.已知椭圆E: x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的离心率是22，两条准线间的距离为4.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若T t,0? ?是椭圆E的长轴上(不包含端点)的动点，过T作互相垂直的两条直线分别交椭圆E于A、C和B、D，求四边形ABCD的面积的最大值.15.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E: x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的离心率为22，且经过点1, 22? ? .(1)求椭圆E的方程；(2)设A、B、C、D是椭圆E上互异的四点(点A在第一象限)，其中A、B关于原点对称，A、C关于x轴对称，且AB?CD，求四边形ABCD面积的最大值.第140页共158页

专题37：圆锥曲线的统一定义一、单选题1.已知动点P(x,y)满足10 (x-1)2+(y-2)2 =|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.无法确定2.已知双曲线C : x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF?? =4FB??，则C的离心率为( )A. 58 B. 65 C. 75 D. 953.已知实数x，y满足条件x-1? ? 2+ y-3? ? 2 = x+y+1? ?2 2，则点P x,y? ?的运动轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆4.已知P x0,y0? ?是椭圆x216 + y212 =1与抛物线y2=8x的一个交点，定义f(x)= 2 2x,0x0??? .设定点N(2,0)，若直线y=a与曲线y= f(x)恰有两个交点A与B，则ΔABN周长的取值范围是( )A. (2 3,4) B. 4,203? ? C. 203 ,8? ? D. (8,4+4 2)5.已知椭圆x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，且PF1? ? =4 PF2? ?，则此椭圆的离心率e的最小值为( )A. 35 B. 45 C. 14 D. 346. P是椭圆x29 + y25 =1上一动点，则点P到椭圆左焦点的最远距离是( )A. 4 B. 5 C. 6 D. 17.直线过抛物线y2=ax(a>0)的焦点F且与抛物线交于A,B两点，则AF? ? ? BF? ?AF? ? + BF? ? ( )A. a2 B. a4 C. 2a D. 4a8.已知动点P到点M -2,0? ?和到直线x=-2的距离相等，则动点P的轨迹是( )A.抛物线B.双曲线左支C.一条直线D.圆9.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的焦点为F1，F2，若点Ρ在椭圆上，且满足ΡΟ? ? 2= ΡF1? ? ? ΡF2? ?(其中Ο为坐标原点)，则称点Ρ为“?”点，则椭圆上的“?”点有个( )A. 0 B. 2 C. 4 D. 8第141页共158页

二、填空题10.设F为椭圆C : x24 + y23 =1的右焦点，不垂直于x轴且不过点F的直线l与C交于M，N两点，在△MFN中，若∠MFN的外角平分线与直线MN交于点P，则P的横坐标为11.已知点A 4,4? ?在抛物线y2=4x上，该抛物线的焦点为F，过点A作该抛物线准线的垂线，垂足为E，则∠EAF的角平分线所在直线方程为(用一般式表示).12.已知椭圆x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的离心率为23，过右焦点F作斜率为k的直线l与椭圆相交于A，B两点，若AF?? =2FB??，则k=第142页共158页

专题38：圆锥曲线的新定义一、单选题1.若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点F1,F2的距离之比为2:1，且存在△PF1F2，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是( )A. x236 + y232 =1 B. x216 + y215 =1 C. x25 - y24 =1 D. x2- y215 =12.已知椭圆C : x24 +y2=1的焦点为F1、F2，若点P在椭圆上，且满足PO? ? 2= PF1? ? ? PF2? ?(其中O为坐标原点)，则称点P为“★”点.下列结论正确的是( )A.椭圆C上的所有点都是“★”点B.椭圆C上仅有有限个点是“★”点C.椭圆C上的所有点都不是“★”点D.椭圆C上有无穷多个点(但不是所有的点)是“★”点3.在平面直角坐标系中，定义x? ? + y? ?称为点P(x,y)的“δ和”，其中O为坐标原点，对于下列结论：(1)“δ和”为1的点P(x,y)的轨迹围成的图形面积为2；(2)设P是直线2x-y-4=0上任意一点，则点P(x,y)的“δ和”的最小值为2；(3)设P是直线ax-y+b=0上任意一点，则使得“δ和”最小的点有无数个”的充要条件是a=1；(4)设P是椭圆x2+ y22 =1上任意一点，则“δ和”的最大值为3.其中正确的结论序号为( )A. (1)(2)(3) B. (1)(2)(4) C. (1)(3)(4) D. (2)(3)(4)4.已知两定点M -1,0? ?，N 1,0? ?，若直线上存在点P，使|PM|+|PN|=4，则该直线为“A型直线”，给出下列直线，①y=x+1；②y=2；③y=-x+3；④y=-2x+3其中是“A型直线”的是( )A.①③B.①②C.③④D.①④第143页共158页

二、多选题5.曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线x2a2 + y2b2 =1 a>0,b>0? ?上点P x0,y0? ?处的曲率半径公式为R=a2b2 x20a4 + y20b4? ? 32，则下列说法正确的是( )A.对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB.椭圆x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?上一点处的曲率半径的最大值为aC.椭圆x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?上一点处的曲率半径的最小值为b2aD.对于椭圆x2a2 +y2=1 a>1? ?上点12 ,y0? ?处的曲率半径随着a的增大而减小6.发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点(焦点)的距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹，则下列命题中正确的是( )A.曲线C过坐标原点B.曲线C关于坐标原点对称C.曲线C关于坐标轴对称D.若点在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于12 a27.双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素．曲线C：x2+y2? ? 2=4 x2-y2? ?是双纽线，则下列结论正确的是( )A.曲线C经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)B.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2C.曲线C关于直线y=x对称的曲线方程为x2+y2? ? 2=4 y2-x2? ?D.若直线y=kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为-∞,-1? ? ∪ 1,+∞? ?第144页共158页

三、填空题8.在平面直角坐标系xOy中，点M不与原点О重合，称射线OM与x2+y2=4的交点N为点M的“中心投影点”，曲线y2- x23 =1上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是9.在平面直角坐标系中，O为坐标原点．定义点P x,y? ?的“友好点”为：P′ xx2+y2 , yx2+y2? ?，现有下列命题：①若点A的“友好点”是点A′，则点A′的“友好点”一定是点A．②单位圆上的点的“友好点”一定在单位圆上．③若点A的“友好点”还是点A，则点A一定在单位圆上．④对任意点A，它的“友好点”是点A′，则OA′? ?的取值集合是{0,1}．其中的真命题是四、解答题10.以椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的中心O为圆心，a2+b2为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．已知椭圆C的长轴长是短轴长的2倍，且经过点( 2,1)，椭圆C的“准圆”的一条弦AB所在的直线与椭圆C交于M、N两点．(1)求椭圆C的标准方程及其“准圆”的方程；(2)当OM??? ?ON?? =0时，证明:弦AB的长为定值．11.定义：已知椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)，把圆x2+y2= a2b2a2+b2称为该椭圆的协同圆.设椭圆C : x24 + y22 =1的协同圆为圆O(O为坐标系原点)，试解决下列问题：(1)写出协同圆圆O的方程；(2)设直线l是圆O的任意一条切线，且交椭圆C于A,B两点，求OA?? ?OB??的值；(3)设M,N是椭圆C上的两个动点，且OM ⊥ON，过点O作OH ⊥MN，交直线MN于H点，求证：点H总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.第145页共158页

12.给定椭圆C：x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0)，称圆心在原点O，半径为a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F( 2，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为3.(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；(2)若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值．13.我们称点P到图形C上任意一点距离的最小值为点P到图形C的距离，记作d P,C? ? .(1)求点P 3,0? ?到抛物线C :y2=4x的距离d P,C? ?；(2)设l是长为2的线段，求点集D= P d P,l? ? ≤1?? ?所表示图形的面积.14.给定椭圆C : x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?，称圆心在原点O、半径为a2+b2的圆是椭圆C的“卫星圆”，若椭圆C的离心率为22，点2, 2? ?在C上.(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程；(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线l1、l2使得l1⊥l2，与椭圆C都只有一个交点，且l1、l2分别交其“卫星圆”于点M、N，证明：弦长MN? ?为定值.15.已知抛物线P的焦点为F 1,0? ?，准线l的方程为x=-1.若三角形ABC的三个顶点都在抛物线P上，且FA?? +FB??+FC?? =0?，则称该三角形为“向心三角形”.(1)是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为0,0? ?和1,2? ?？说明理由；(2)设“向心三角形”ABC的一边AB所在直线的斜率为4，求直线AB的方程；(3)已知三角形ABC是“向心三角形”，证明：点A的横坐标小于2.第146页共158页

16.若给定椭圆C：ax2+by2=1(a>0，b>0，a≠b)和点N(x0，y0)，则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”．(1)若N(x0，y0)在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系(当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交)，并说明理由；(2)命题：“若点N(x0，y0)在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；(3)若N(x0，y0)在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点(异于A、B)，设MA?? =λ1AN?? ,MB?? =λ2BN??，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．17.已知椭圆Γ: x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)，点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知b=2.(1)若a= 5，判断椭圆Γ是否为“圆椭圆”；(2)若椭圆Γ是“圆椭圆”，求a的取值范围；(3)若椭圆Γ是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论.第147页共158页

专题39：圆锥曲线的综合题一、单选题1.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点，AB? ? =4 3；则C的实轴长为( )A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 82.已知圆(x-2)2+y2=9与x轴的交点分别为双曲线C : x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的顶点和焦点，设F1，F2分别为双曲线C的左?右焦点，P为C右支上任意一点，则PF1? ? 2PF2? ? 2+4的取值范围为( )A. 1, 95? ? ? ? B. 0, 95? ? ? ? C. 2,+∞? ? D. 1,2? ?二、填空题3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线y2a2 - x2b2 =1(a>0,b>0)的上支与焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点．若AF? ? + BF? ? =4 OF? ?，则该双曲线的渐近线方程为4.已知椭圆M : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)与双曲线T :x2- y22 =1有相同的焦点，设M和T的离心率分别为e1和e2，且e1e2= 32；若斜率为2的直线l与M相交于A，B两点，则|AB|的最大值为三、解答题5.已知F1，F2分别是椭圆E：x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左，右焦点，点P -1, 22? ?在椭圆E上，且抛物线y2=4x的焦点是椭圆E的一个焦点．(1)求a,b的值：(2)过点F2作不与x轴重合的直线l，设l与圆x2+y2=a2+b2相交于A，B两点，且与椭圆E相交于C，D两点，当F1A?? ?F1B?? =1时，求△F1CD的面积．6.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点k，过点k做圆C :(x-5)2+y2=9的两条切线，切点为M,N, MN? ? =3 3.(1)求抛物线E的方程；(2)若直线AB是讲过定点Q(2,0)的一条直线，且与抛物线E交于A,B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G,D两点，求四边形AGBD面积的最小值.第148页共158页

7.已知椭圆C：x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l：x-y+ 2=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=4，证明：直线AB过定点- 12 ,-1? ? .8.已知抛物线C1:y=x2,椭圆C2:x2+ y24 =1.(1)设l1,l2是C1的任意两条互相垂直的切线，并设l1∩l2=M，证明：点M的纵坐标为定值；(2)在C1上是否存在点P，使得C1在点P处切线与C2相交于两点A、B，且AB的中垂线恰为C1的切线？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．9.如图，圆O与直线x+ 3y+2=0相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线y= 3x在第一象限的交点为B.点C为圆O上任一点，且满足OC?? =xOA?? +yOB??，动点D x,y? ?的轨迹记为曲线Γ．(1)求圆O的方程及曲线Γ的方程；(2)若两条直线l1:y=kx和l2:y=- 1kx分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN面积的最大值，并求此时的k的值．(3)证明：曲线Γ为椭圆，并求椭圆Γ的焦点坐标．第149页共158页

10.已知圆C：x-1? ? 2+y2=16，点F -1,0? ?，P是圆C上一动点，若线段PF的垂直平分线和CP相交于点M.(1)求点M的轨迹方程E.(2)A，B是M的轨迹方程与x轴的交点(点A在点B左边)，直线GH过点T 4,0? ?与轨迹E交于G，H两点，直线AG与x=1交于点N，求证：动直线NH过定点B.11.已知椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的右焦点F恰为抛物线E:y2=4x的焦点，P x0,2 63? ?是椭圆C与抛物线E的一个公共点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点F且不与x轴平行的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中垂线分别交x、y轴于M、N两点，求|AB||MN|的取值范围．12.已知直线l1，l2分别于抛物线y2=x相切于A，B两点．(1)若点A的坐标为(1，-1)，求直线l1的方程；(2)若直线l1与l2的交点为P，且点P在圆(x+2)2+y2=1上，设直线l1，l2与y轴分别交于点M，N，求|MN||AB|的取值范围．第150页共158页

13.已知点N为圆C1：x+1? ? 2+y2=16上一动点，圆心C1关于y轴的对称点为C2，点M?P分别是线段C1N，C2N上的点，且MP?? ?C2N??? =0，C2N??? =2C2P??? .(1)求点M的轨迹方程；(2)过点A -2,0? ?且斜率为k k>0? ?的直线与点M的轨迹交于A，G两点，点H在点M的轨迹上，GA⊥HA，当2 AG? ? = AH? ?时，证明：3
专题40：圆锥曲线的二级结论椭圆常用的二级结论1. P是椭圆x2a2 + y2b2 =1上的任意一点，F1是椭圆的一个焦点，则PF1? ?的取值范围是[a-c,a+c].2. P是椭圆x2a2 + y2b2 =1上的任意一点，F1、PF1? ? ? PF2? ?是椭圆的左右焦点，则PF1? ? ? PF2? ?的取值范围是[b2,a2].3. P是椭圆x2a2 + y2b2 =1上的任意一点，F1、PF1?? ?PF2??是椭圆的左右焦点，则PF1?? ?PF2??的取值范围是[b2-c2,a2-c2].4. P为椭圆x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?上一点，其中F1,F2是椭圆的左右焦点，∠F1PF2=θ，则SΔF1PF2=b2tan θ2 .CΔF1PF2=2a+2c.5. P为椭圆x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?上一点，其中F1,F2是椭圆的左右焦点，则P为短轴端点时∠F1PF2最大.6. P为椭圆x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?上一点，其中A1,A2是椭圆的左右顶点，则P为短轴端点时∠A1PA2最大.7.已知椭圆x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?，若点A,B是椭圆上关于原点对称的两点，M是椭圆上异于A,B的一点.若MA,MB的斜率分别为k1,k2，则k1?k2=-b2a2 .8.若AB是椭圆x2a2 + y2b2 =1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，则kOM ?kAB=-b2a2 .9.若l是椭圆x2a2 + y2b2 =1不垂直于对称轴的切线，M为切点，则kl?kOM =-b2a2 .10.过圆x2+y2=a2+b2上任意点P作椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的两条切线，则两条切线垂直.11.过椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)上任意不同两点A,B作椭圆的切线，如果切线垂直且相交于P，则动点P的轨迹为圆x2+y2=a2+b2.12.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离.13.以焦半径PF1为直径的圆与以长轴为直径的圆内切.第152页共158页

14.设A1,A2为椭圆的左、右顶点，则ΔF1PF2在边PF2(或PF1)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2(或A1).15.椭圆x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1,P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2 - y2b2 =1.16.若P(x0,y0)在椭圆x2a2 + y2b2 =1上，则过P的椭圆的切线方程是x0xa2 + y0yb2 =1.17.若P(x0,y0)在椭圆x2a2 + y2b2 =1外，则过P作椭圆的两条切线切点为P1,P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2 + y0yb2 =1.18.若点M x0,y0? ?在椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)内，过点M作椭圆的弦AB(不过椭圆中心)，分别过A,B作椭圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线x0xa2 + y0yb2 =1.19.若P(x0,y0)在椭圆x2a2 + y2b2 =1内，则被P所平分的中点弦的方程是x0xa2 + y0yb2 = x02a2 + y02b2 .20.若P(x0,y0)在椭圆x2a2 + y2b2 =1内，则过P的弦中点的轨迹方程是x2a2 + y2b2 = x0xa2 + y0yb2 .21.若PQ是椭圆x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?上对中心张直角的弦，则1|OP|2 + 1|OQ|2 = 1a2 + 1b2 .22.过椭圆焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值2ab2 .23.过椭圆焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值a2+b22ab2 .24.过椭圆焦点互相垂直的直线与椭圆相交构成四边形面积的取值范围是8a2b4(a2+b2)2 ,2b2???? ? ? ? ? .25.过椭圆焦点互相垂直的直线被椭圆截得弦长之和的取值范围是8ab2a2+b2 ,2(a2+b2)a???? ? ? ? ?26.设P0 x0,y0? ?为椭圆x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?上的一个定点，P1P2是动弦，则P1P2为直角弦的充要条件是P1P2过定点M a2?b2a2+b2 x0,? a2?b2a2+b2 y0? ? .27.若AB是过椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的焦点F的一条弦(非通径)，弦AB的中垂线交x轴于N，则AB? ?NF? ? = 2e .28.若A,B是椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左右顶点，点P是直线x=t t? ? ≠a,t≠0? ?上的一个动点(P不在椭圆上)，直线PA及PB分别与椭圆相交于M,N，则直线MN必与x轴相交于定点Q a2t ,0? ? .第153页共158页

29.过椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的焦点F作一条直线与椭圆相交于M,N，与y轴相交于P，若PM?? =λMF??，PN?? =λNF??，则λ+μ为定值，且λ+μ=-2a2b2 .30.过椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的焦点F作一条直线与椭圆相交于M,N，与相应准线相交于P，若PM?? =λMF??，PN?? =μNF??，则λ+μ为定值，且λ+μ=0.31.若MN是垂直椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)长轴的动弦，P是椭圆上异于顶点的动点，直线MP,NP分别交x轴于E,F，若PE?? =λEM??，PF?? =μFN??，则λ+μ为定值，且λ+μ=0.32.若MN是垂直椭圆x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)长轴的动弦，P是椭圆上异于顶点的动点，直线MP,NP分别交x轴于E,F，A为长轴顶点，若OE?? =λEA??，OF?? =μFA??，则λ+μ为定值，且λ+μ=-1.33.若M,P是椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)上任意两点，点M关于x轴对称点为N，若直线PM,PN与x轴分别相交于点A m,0? ? ,B n,0? ?，则mn为定值，且mn=a2.34.若A,B是椭圆C : x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)上关于x轴对称的任意两个不同的点，点P m,0? ?是x轴上的定点，直线PB交椭圆C于另一点E，则直线AE恒过x轴上的定点，且定点为Q a2m,0? ? .35.过椭圆准线上一点M作椭圆的两条切线，切点分别为A,B，则切点弦AB的直线必过相应的焦点F，且MF垂直切点弦AB.36.AB为椭圆的焦点弦，则过A,B的切线的交点M必在相应的准线上.注：本文以焦点在x轴上的椭圆为例，焦点在y轴时上述结论未必完全一致，请慎用.第154页共158页

双曲线常用的二级结论1. P为双曲线x2a2 ? y2b2 =1(a>0,b>0)左上一点，若F是左焦点，则PF的取值范围是[c-a,+∞)，若F是右焦点，则PF的取值范围是[c+a,+∞).2. P是双曲线x2a2 ? y2b2 =1(a>0,b>0)上的任意一点，F1、PF1? ? ? PF2? ?是双曲线的左右焦点，则PF1? ? ? PF2? ?的取值范围是[b2,+∞).3. P是双曲线x2a2 ? y2b2 =1(a>0,b>0)上的任意一点，F1、PF1?? ?PF2??是双曲线的左右焦点，则PF1?? ?PF2??的取值范围是[-b2,+∞).4. P为双曲线x2a2 ? y2b2 =1(a>0,b>0)上一点，其中F1,F2是双曲线的左右焦点，∠F1PF2=θ，则SΔFP1F2= b2tan θ2 .5.已知双曲线x2a2 ? y2b2 =1(a>0,b>0)，若点A,B是双曲线上关于原点对称的两点，M是双曲线上异于A,B的一点.若MA,MB的斜率分别为k1,k2，则k1?k2= b2a2 .6. AB是双曲线x2a2 - y2b2 =1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则kOM ?kAB= b2a2 .7.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交.8.以焦半径PF为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.9.设P为双曲线上一点，则ΔF1PF2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.10.双曲线x2a2 ? y2b2 =1(a>0,b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1,P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2 + y2b2 =1.11.若P(x0,y0)在双曲线x2a2 ? y2b2 =1(a>0,b>0)上，则过P的双曲线的切线方程是x0xa2 - y0yb2 =1.12.若P(x0,y0)在双曲线x2a2 ? y2b2 =1(a>0,b>0)外，则过P作双曲线的两条切线切点为P1,P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2 - y0yb2 =1.13.若P(x0,y0)在双曲线x2a2 ? y2b2 =1(a>0,b>0)内，则被P所平分的中点弦的方程是x0xa2 - y0yb2 = x02a2 - y02b2 .14.若P(x0,y0)在双曲线x2a2 ? y2b2 =1(a>0,b>0)内，则过P的弦中点的轨迹方程是x2a2 - y2b2 = x0xa2 - y0yb2 .第155页共158页

15.设P0 x0,y0? ?为双曲线x2a2 ? y2b2 =1 a>b>0? ?上的一个定点，P1P2是动弦，则P1P2为直角弦的充要条件是P1P2过定点M a2+b2a2?b2 x0,? a2+b2a2?b2 y0? ? .16.P为双曲线x2a2 ? y2b2 =1(a>0,b>0)上一点，若F是一个焦点，以PF为直径的圆与圆x2+y2=a2的位置关系是外切或内切.17.过双曲线焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值2ab2 .18.过双曲线焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值a2+b22ab2 .19.过双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的焦点F作一条直线与椭圆相交于M,N，与相应准线相交于P，若PM?? =λMF??，PN?? =μNF??，则λ+μ为定值，且λ+μ=0.20.若MN是垂直双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)实轴的动弦，P是双曲线上异于顶点的动点，直线MP,NP分别交x轴于E,F，若PE?? =λEM??，PF?? =μFN??，则λ+μ为定值，且λ+μ=0.21.若MN是垂直双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)实轴的动弦，P是双曲线上异于顶点的动点，直线MP,NP分别交x轴于E,F，A为长轴顶点，若OE?? =λEA??，OF?? =μFA??，则λ+μ为定值，且λ+μ=-1.22.若M,P是双曲线C : x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)上任意两点，点M关于x轴对称点为N，若直线PM,PN与x轴分别相交于点A m,0? ? ,B n,0? ?，则mn为定值，且mn=a2.23.若A,B是双曲线C : x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)上关于x轴对称的任意两个不同的点，点P m,0? ?是x轴上的定点，直线PB交双曲线C一点E，则直线AE恒过x轴上的定点，且定点为Q a2m,0? ? .24.从双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：x2+y2=a2.25.双曲线上任一点P处的切线交准线于M，P与相应的焦点F的连线交双曲线于Q，则MQ必与该双曲线相切，且MF ⊥PQ.26.若AB是过双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的焦点F的一条弦(非通径，且为单支弦)，弦AB的中垂线交x轴于M，则AB? ?MF? ? = 2e .第156页共158页

抛物线常用的二级结论1.以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．2.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切.3.以抛物线焦半径为直径的圆与y轴相切.4.过抛物线焦点弦的抛物线上端点向y轴作垂线，垂足为M，则以OM为直径的圆与焦半径相切.5.若线段AB为抛物线C :y2=2px(p>0)的一条焦点弦，则1AF? ? + 1BF? ? = 2p.6.设抛物线方程为y2=2px(p>0)，过焦点的弦AB的倾斜角为α，则焦点弦AB? ? = 2psin2α，SΔAOB= p22sinα.7.若AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1x2= p24，y1y2=-p2.8.抛物线方程为y2=2px(p>0)，过(2p,0)的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB.反之也成立.9.抛物线y2=2px上一点(x0,y0)处的切线方程为y0y=p(x0+x).10.过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在抛物线的准线上.11.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点.12.切线交点与弦中点连线平行于对称轴.13.过抛物线焦点且互相垂直的直线被抛物线截得弦长倒数之和是定值12p.14.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线相交构成四边形面积的取值范围是[8p2,+∞)，15.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线截得弦长之和的取值范围是[8p,+∞).16.过直线x=m(m≠0)上但在抛物线y2=2px(p>0)外(即抛物线准线所在区域)一点M向抛物线引两条切线，切点分别为A,B，则直线AB必过定点N -m,0? ?，且有kABkMN = p2m.17.过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上任意一点M -m,0? ? (m>0)作抛物线的两条切线，切点分别为A,B，则切点弦AB所在的直线必过点N m,0? ? .18.若MN是垂直抛物线y2=2px(p>0)对称轴的动弦，P是椭圆上异于顶点的动点，直线MP,NP分别交x轴于E,F，若PE?? =λEM??，PF?? =μFN??，则λ+μ为定值，且λ+μ=0.19.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一条直线与椭圆相交于M,N，与相应准线相交于P，若PM?? =λMF??，PN?? =μNF??，则λ+μ为定值，且λ+μ=0.第157页共158页

20.MN是垂直抛物线y2=2px(p>0)对称轴的动弦，P是抛物线上异于顶点的动点，直线MP,NP分别交x轴于E,F，A为长轴顶点，若OE?? =λEA??，OF?? =μFA??，则λ+μ为定值，且1λ + 1μ =2.21.若A,B是抛物线C :y2=2px(p>0)上关于x轴对称的任意两个不同的点，点P m,0? ?是x轴上的定点，直线PB交抛物线一点E，则直线AE恒过x轴上的定点，且定点为Q -m,0? ? .22.抛物线的准线上任一点M处的切点弦PQ过其焦点F，且MF ⊥PQ.23.抛物线上任一点P处的切线交准线于M，P与焦点F的连线交抛物线于Q，则MQ必与该抛物线相切，且MF ⊥PQ.24.若AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条弦(非通径)，弦AB的中垂线交x轴于M，则AB? ?MF? ? =2.25.设N x0,y0? ?为抛物线y2=2px上的一个定点，AB是动弦，则AB为直角弦的充要条件是AB过定点x0+2p,-y0? ? .26.若A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点O的两个动点，若OA⊥OB，过O作OM ⊥AB，则动点M的轨迹方程为x2+y2-2px=0(x≠0).27.若A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点O的两个动点，若OA⊥OB，则SΔAOB? ? min=4p2.28.过抛物线y2=2px(p>0)上任一点M x0,y0? ?作两条弦MA,MB，则kMAkMB=λ(λ≠0)的充要条件是直线AB过定点N x0- 2pλ ,-y0? ? .29.在抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上存在一个定点M p,0? ?，使得过该点的任意弦AB恒有1MA? ? 2 + 1MB? ? 2 = 1p2 .30.抛物线y2=2px(p>0)上两点A、B连线斜率若存在即为k= 2pyA+yB .31.抛物线y2=2px(p>0)上一点A处切线的斜率若存在即为k= pyA .注：本文以y2=2px为例，其他情况上述结论未必完全一致，请慎用.第158页共158页