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高一上期末考试真题卷组
高级期末卷
一、 单项选择题
（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
A. B. C. D.
1. 设全集 ， ， ，则 （ ）．
【答案】 C
【解析】 ∵集合 ， ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】一元二次不等式；交集
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
2. 已知角 的终边过点 ，则 是第（ ）象限角．
【答案】 A
【解析】 ∵ ，
∴ ， ，
则 是第一象限角．
故选 ．
【标注】【知识点】判断各象限三角函数值的正负
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
3. “ ”是“ ”的（ ）．
2
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 当 时， ，
当 ， 或 ， ，
∴“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选 ．
【标注】【知识点】充要条件与三角函数结合；正弦函数的图象和性质
A. B. C. D.
4. 已知 ， ，则 （ ）．
【答案】 D
【解析】 ，
又∵ ，
∴ ， ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】正余弦和差积相互转化求值
A. B.
C. D.
5. 已知函数 是定义在 的单调递增函数，若 ，则实数
的取值范围是（ ）．
【答案】 C
【解析】 ∵ 是定义在 的单调递增函数，
∴ ，
解得 或 ，
故选 ．
3
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式
A. B. C. D.
6. 素数也叫质数，部分素数可写成“ ”的形式（ 是素数），法国数学家马丁 梅森就是研究素
数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“ ”形式（ 是素数）的素数称为梅森素数．
年底发现的第 个梅森素数是 ，它是目前最大的梅森素数．已知第 个梅森素数为
，第 个梅森素数为 ，则 约等于（参考：在 ， 很大的条件下
； ）（ ）．
【答案】 C
【解析】 ∵ ， 两数远远大于 ，
∴ 的值约等于 ，
设 ，
因此有 ．
故选 ．
【标注】【知识点】指对化简求值
A. B. C. D.
7. 已知函数 （ ）在区间 上单调递增，则 的最大值为（ ）．
【答案】 C
【解析】 因为 ，所以 ，
因为 在区间 上单调递增，
所以 ，所以 ，即 的最大值为 ；
故选 ．
【标注】【知识点】正弦型函数的图象与性质；正弦函数的图象和性质
8. 对于函数 ，若存在 ，使 ，则称点 与点 是函
数 的一对“隐对称点”．若函数 图象存在“隐对称点”，则实数 的
取值范围是（ ）．
4
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 由“隐对称点”的定义可知， 的图象上存在关于原点对称的
点，
设函数 的图象与函数 ， 的图象关于原点对称，
令 ，则 ， ，
所以 ， ，
故原题意等价于方程 有实根，
故 ，
又 ，
当且仅当 时，取得等号，
所以 ，
故实数 的取值范围是 ，
故选 ．
【标注】【知识点】函数的新定义问题
二、 多项选择题
（本大题共4小题，每小题5分，跟20分）
A. B.
C. D.
9. 下列选项中，与 的值相等的是（ ）．
【答案】 ABD
【解析】 A 选项：
B 选项：
首先 ，
，故 正确；
，
故 正确；
5
C 选项：
D 选项：
，故 错误；
，故 正
确．
故选 A B D .
【标注】【知识点】二倍角的正弦；二倍角的余弦；和差角公式化简求值综合运用
A. 函数 的周期为 B. 直线 是 的一条对称轴
C. 点 是 的图象的一个对称中心 D. 的最大值是
10. 关于函数 ，下列命题中为真命题的是（ ）．
【答案】 ACD
【解析】 A 选项：
B 选项：
C 选项：
D 选项：
∵ ，
∵ ，故 ，故 为真命题，故 正确；
当 时， 终边不在 轴上，故直线 不是 的一
条对称轴，故 为假命题；故 错误；
当 时， ，终边落在 轴上，故点 是 的图象
的一个对称中心，故 为真命题；故 正确；
，
当 （ ）即 （ ）时， 取得最大值 ，
当 （ ）即 （ ）时，
取得最小值 ，故 正确．
故选 A C D .
【标注】【知识点】已知正弦型函数判定结论正误
A.
B.
C.
D.
11. 下列说法正确的是（ ）．
若 ， ，满足 ，则 的最大值为
若 ， 则函数 的最小值为
若 ， ，满足 ，则 的最小值为
函数 的最小值为
6
【答案】 CD
【解析】 A 选项：
B 选项：
C 选项：
D 选项：
若 ， ， ，则 ，
当且仅当 时等号成立，没有最大值，故 错误；
若 ，即 ，则函数
，
当且仅当 等号成立，故 错误；
若 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，(当且仅当 时取等），
所以 的最小值为 ，故 正确；
，
当且仅当 时等号成立，故 正确；
故选 C D .
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；已知等式关系求最值；倒数和形式
A.
B.
C.
D.
12. 已知函数 ，下列命题中的真命题有（ ）．
， 为奇函数
， 对 恒成立
， ，若 ，则 的最小值为
， ，若 ，则
【答案】 BC
【解析】 A 选项：由题意， ；
∵ 的图象如图所示：
7
B 选项：
C 选项：
D 选项：
（ ）
函数 的图象是 的图象向左或向右平移 个单位，
它不会是奇函数的，故 错误．
，∴
，
∴ ，∴ ， ；
又 ，∴取 或 时，
∴ 对 恒成立， 正确．
时，
的最小值为 ，∴ 正确．
当 时，
∴ 错误．
故选 B C .
【标注】【知识点】奇偶性；二倍角的余弦；半角公式；余弦函数的图象和性质；余弦型三角函数
的图象与性质
三、 填空题
（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数 的定义域是 ．
【答案】
【解析】 ，∴ ，∴ ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域
8
14. 将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左
平移 个单位，得到的图象对应的解析式是 ．
【答案】
【解析】 将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），
得到 ，
再把图象上的所有点向左平移 个单位，
最后所得图象的函数解析式为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换
15. 的单调区间是 ．
【答案】
【解析】 令 ，
解得 ，
则函数 的单调区间是 ．
【标注】【知识点】正切型三角函数的图象与性质
16. 已知函数 ，若存在正实数 ，使得方程 有三个互不相等的实根
， ， ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 方程 可化为 ，
令 ，
则 ，
作出 的图象，如图所示．
9
方程 有三个互不相等的实根 ， ， ，
等价于函数 的图象与直线 有三个不同的交点，结合图象知 ．
不妨设 ，
由图象可知 ，
由二次函数 的图象关于直线 对称可知， ，
即 ．
令 ，
解得 ，
所以 ，
所以 ．
【标注】【知识点】利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）；求零点和或积的范
围；分段函数
四、 解答题
（本大题共6小题，共70分）
（ 1 ）
（ 2 ）
17. 已知 ．
求 的值．
求 的值．
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【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
．
．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
．
解得 ．
．
【标注】【知识点】同角关系齐次式化简求值
（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
18. 已知函数 是奇函数．
求实数 的值．
判断 的单调性（不用证明）．
求不等式 的解集．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
．
在 上单调递减．
或 ．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
∵函数 是奇函数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是奇函数．
由（ ）可知， ，
设 ，
则 ，
由 可知 ，
11
（ 3 ）
则 ，
故 单调递减．
由题意可知： ，
则 ，
解得： 或 ．
故解集为： 或 ．
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题；利用函数奇偶性求参数；利用函数单调性解不
等式；用定义法证明函数的单调性
（ 1 ）
（ 2 ）
19. 已知 ， ，且 ，
求 和 ．
求 的值．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
， ．
．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
∵ ，
，
∴ ，
．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
12
又 ，
∴ ．
【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式的化简和求值；同角三角函数的基本关系式；和差
角公式化简求值综合运用；两角和与差的正弦
（ 1 ）
（ 2 ）
20. 已知某观光海域 段的长度为 百公里，一超级快艇在 段航行，经过多次试验得到其每小时航
行费用 （单位：万元）与速度 (单位：百公里 小时） 的以下数据：
为描述该超级快艇每小时航行费用 与速度 的关系，现有以下三种函数模型供选择：
， ， ．
试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式．
该超级快艇应以多大速度航行才能使 段的航行费用最少?并求出最少航行费用．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
选择函数模型 ；
相应的函数解析式： ， ．
当该超级快艇以 百公里 小时航行时可使 段的航行费用最少，且最少航行费用
为 万元．
【解析】（ 1 ）若选择函数模型 ，
则该函数在 上为单调减函数，
这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型，
若选择函数模型 ，
须 ，这与试验数据在 时有意义矛盾，
所以不选择该函数模型；
从而只能选择函数模型 ，
由试验数据得，
，①
13
（ 2 ）
，②
，③
联立①②③解得： ， ， ；
故所求函数解析式为：
， ．
答：相应的函数解析式： ， ．
设超级快艇在 段的航行费用为 （万元），
则所需时间为 （小时），
其中： ，
结合( )知，
，
所以当 时， ，
答：当该超级快艇以 百公里 小时航行时可使 段的航行费用最少，且最少航行
费用为 万元．
【标注】【知识点】二次函数的图象及性质；用配方法求值域；解析法；用直接带入法求解析式；
幂函数模型
（ 1 ）
（ 2 ）
21. 如图，在半径为 ，圆心角为 的扇形的弧上任取一点 ，作扇形的内接矩形 ，使点
在 上，点 ， 在 上，设矩形 的面积为 ．
设 ，将 表示成 的函数关系式．
设 ，将 表示成 的函数关系式；并求出 的最大值．
14
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
．
， 取得最大值为 ．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
因为 ，
所以 ，
所以 ．
当 时， ，
则 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
当 时， 取得最大值为 ．
【标注】【知识点】三角函数的实际应用；求固定区间正弦型函数值域
（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
22. 已知定义在区间 上的函数 ．
求函数 的零点．
若方程 有四个不等实根 ， ， ， ，证明 ．
在区间 上是否存在实数 ， ，使得函数 在区间 上单调，且 的值域
为 ，若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
或 ．
证明见解析．
存在， ．
15
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
当 时，有 ，
即 ，
化简得 ，
解得 或 ，均大于 ，
故 的零点为 和 ．
或 ，
即 或 ，
∵ ， ， ， 为方程 的四个不相等的实根，
∴由根与系数的关系得 ．
如图，
可知 ， 在区间 、 上均为单调函数，
（ ）当 时， 在 上单调递增，
则 ，即 ， 在 有两个不等实
根，
而令 ，则 ，
由二次函数 的单调性，可得， ，
（ ）当 时， 在 上单调递减，
则 ，两式相除整理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由 ，
得 ，
∴ ，
16
综上， 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】直接求函数的零点；求零点和或积的范围；已知函数值域求参数；已知函数单
调性求参数范围
深圳中学卷
五、 单项选择题
（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
A. 最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数
C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数
23. 函数 是（ ）．
【答案】 A
【解析】 本题主要考查余弦函数的图象与性质．
由已知 ，根据“奇变偶不变，符号看象限”的原则，可将其变形为
，因此函数是最小正周期为 的奇函数．
故选 ．
【标注】【知识点】求正弦型函数的周期；利用诱导公式化简；利用定义判断函数奇偶性
A. B. C. D.
24. （ ）．
【答案】 C
【解析】
，
故选 ．
17
【标注】【知识点】两角和与差的余弦
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
25. 容量为 的样本数据，按从小到大的顺序分为 组，如下表：
组号
频数
第 组的频数和频率分别是（ ）．
【答案】 B
【解析】 频数 ，
频率 ．
故选 ．
【标注】【知识点】频率与概率问题
A. B. C. D.
26. 函数 零点的个数为( )
【答案】 B
【解析】 解： 在其定义域上连续且单调递增，
，
，
故函数 在 上有一个零点，
故函数 的零点的个数为 ，
故选： ．
【标注】【知识点】对数函数的图象及性质
A. 众数 B. 平均数 C. 标准差 D. 中位数
27. 在某次测量中得到的 样本数据如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．若 样本数
据恰好是 样本数据都加 后所得数据，则 ， 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）．
【答案】 C
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【解析】 本题主要考查数字特征．
样本是 样本中数据分别加 后所得，所以 样本的众数、平均数、中位数分别比 样
本多 ；由于 样本比 样本中数据分别多 ，且平均数也比 样本平均数多 ，因此样本
、 对应的数据与其平均数的差值相等，所以 样本与 样本的方差相同，标准差也相
同．
故选 ．
【标注】【知识点】极差、方差与标准差
A. ①④②③ B. ①④③② C. ④①②③ D. ③④②①
28. 已知函数① ，② ，③ ，④ 的部分图象如图所示，
但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是（ ）．
y
x
y
x
y
x
y
x
【答案】 A
【解析】 ① 是偶函数，其图象关于 轴对称；
② 是奇函数，其图象关于原点对称；
③ 是奇函数，其图象关于原点对称，且当 时，其函数值 ；
④ 为非奇非偶函数，且当 时， ，且当 时， ．
结合图象可知从左到右依次为①④②③，故选 ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题
A. B.
C. D.
29. 若函数 满足 ，
且 的最小值为 ，则函数 的单调递增区间为（ ）．
【答案】 B
【解析】
， ，
， ，
19
，
根据题中条件满足 ， ，
且 的最小值为 ，
所以有 ，
所以 ，
从而有 ，
令 ，
整理得 ，
从而求得函数的单调递增区间为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】求正弦型函数的单调区间；已知正弦型函数性质求解析式；利用诱导公式化
简；辅助角公式
，
A. B.
C. D.
30. 已知函数 在区间 上有且只有一个零点，则正实数 的取
值范围是（ ）．
【答案】 D
【解析】 根据题意，函数 ，
则有 ，
若函数 在区间 上有且只有一个零点，
有 ，
又由 为正实数，则
，即 ，
解得 或 ，
即 的取值范围为 .
【标注】【知识点】含参二次函数的图象及性质；已知零点情况求参数的取值范围
20
六、 多项选择题
（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
A. B. C. D.
31. 已知函数 ，若 ，则 的值可能为（ ）．
【答案】 AD
【解析】 ∵函数 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
综上所述， 的值可能为 或 ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数求值问题
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
32. 已知角 是第一象限角，则角 可能在以下哪个象限（ ）．
【答案】 ABC
【解析】 ∵角 是第一象限，
∴ ，
∴ ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
则角 可能在第一、二、三象限．
故选 ．
21
【标注】【知识点】α/n角所在象限的确定
A.
B.
C.
D.
33. 为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象所有点（ ）．
横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移 个单位长度
横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再将所得图象向左平移 个单位长度
向左平移 个单位长度，再把所得图象各点横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）
向左平移 个单位长度，再把所得图象各点横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）
【答案】 BC
【解析】 将函数 的图象，所有点横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函数
的图象，再将该函数图象向左平移 个单位长度，得到函数
的图象，故 错误， 正确；
将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，再
将该函数各点横坐标缩短到原来的 ，故 正确， 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换
A. 的图象关于点 中心对称 B. 的图象关于直线 对称
C. 在区间 上单调递增 D. 是最小正周期为 的奇函数
34. 定义 行列式 ，若函数 ，则下列表述错
误的是（ ）．
【答案】 ABD
【解析】 ∵
，
选项：由 得 图象关于点 ， 中心对称，故 选
项错误；
22
选项：由 得 图象关于 ， 对称，故 选项错
误；
选项：由 得 的单调递增区间为
， ，当 时，函数在 上单调递增，故 选项正
确．
选项： 的周期为 ，但其不是奇函数，故 选项错误．
故选 ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质；已知正弦型函数判定结论正误；辅助角公式；二阶行
列式与二元线性方程组
七、 填空题
（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
35. 半径为 ，圆心角为 的扇形面积为 ．
【答案】
【解析】
由题意可知，扇形面积为 ．
【标注】【知识点】弧长公式与扇形面积
36. 数据 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的第 百分位数是 ．
【答案】
【解析】 第 百分位数即中位数，为 ．
【标注】【知识点】百分位数
37. 已知 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则实数 的最大值
是 ．.
23
【答案】
【解析】 ∵ ， ，且 ，
∴ ，
当且仅当 时，等号成立．
故实数 的最大值为 ．
【标注】【知识点】基本不等式与恒成立问题
38. 函数 的值域是 ．
【答案】
【解析】 函数 ，
设 ，则 ，
则 ，
原函数 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故函数的值域 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】用换元法求值域
八、 解答题
（本大题共6小题，共70分）
（ 1 ）
（ 2 ）
39. 在平面直角坐标系中，已知角 的顶点为原点，始边为 轴的非负半轴，终边经过点 ．
求 的值．
求 的值．
24
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
．
．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
由题意可得 ， ， ，
．
．
【标注】【知识点】诱导公式；半角公式
（ 1 ）
（ 2 ）
40. 已知集合 ，集合 ，集合
．
求 ．
若 ，求实数 的值取范围．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
或 ．
．
【解析】（ 1 ）集合 ，
集合 或 ，
25
（ 2 ）
集合 ．
或 ．
若 ，则 ，
故 ，
解得 ，
即实数 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】连续性集合关系中的含参问题；交集
（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
41. 从某小学随机抽取 名学生，将他们的身高（单位： ）数据绘制成频率分布直方图（如图）．
身高
频率 组距
求直方图中 的值．
试估计该小学学生的平均身高．
若要从身高在 ， ， 三组内的学生中，用分层抽样的方法选取
人参加一项活动，则从身高在 内的学生中选取的人数应为多少人？
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
．
．
人．
【解析】（ 1 ）由频率分布直方图得 ，
解得 ．
26
（ 2 ）
（ 3 ）
由频率分布直方图可知，该小学学生的平均身高，
．
身高在 ， ， 三组内的学生人数比为 ，故从
身高在 内的学生选取的人数为 人．
【标注】【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；分层随机抽样
（ 1 ）
（ 2 ）
42. 已知函数 的部分图象如图所示，其中 ， ，
．
求 ， ， ， 的值．
若角 是 的一个内角，且 ，求 的值．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
， ， ， ．
．
【解析】（ 1 ） ， 及图象特征知：
的最小正周期 ，得 ．
②当 时， ，
当 时， ，
解得 ， ．
27
（ 2 ）
③ ，
得 ， ，
由 ，得 ，
所以 ， ， ， ．
由 及 得，
，即 ，
又 ，得 ， ，
由 得， ．
【标注】【知识点】已知正弦余弦正切或其关系求值；利用正弦角公式其他应用；已知正弦型函数
图象求参数值
，
（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
43. 设函数 ，其中 ．
求函数 的值域．
若 ，讨论 在区间 上的单调性．
若 在区间 上为增函数，求 的最大值．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
．
在区间 上单调递增，在 上单调递减．
．
【解析】（ 1 ）
（ ），
因为 ，
所以函数 的值域为 ．
28
（ 2 ）
（ 3 ）
由（ ）可知， ，
若 ，则 ，
令 （ ） （
），
当 时， ，
当 时， ，
则函数 在区间 上单调递增，在 上单调递减．
因为 在闭区间 （ ）上为增函数，
所以 （ ）在闭区间 （
）上为增函数，
依题意，知 对某个 成立，
此时必有 ，于是 ，
解得 ，故 的最大值为 ．
【标注】【知识点】正弦型函数ω求最值问题；求固定区间正弦型函数值域；求正弦型函数的单调
区间
（ 1 ）
（ 2 ）
44. 已知函数 ，其中 ．
若对任意实数 ， ，恒有 ，求 的取值范围．
是否存在实数 ，使得 且 ？若存在，则求 的取值范围；若
不存在，则加以证明．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
．
存在， ．
【解析】（ 1 ） 时， ，
29
（ 2 ）
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴有 ，
，
即 恒成立，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 恒成立，
∴ ，
∴ ．
已知 ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴上式不成立，
综上所述， ．
，
30
【标注】【知识点】二次函数相关的恒成立问题；已知零点情况求参数的取值范围
宝安区统考卷
九、 单项选择题
（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
45. 设 为全集， ， 是集合，则“存在集合 ，使得 ， ”是“ ”的（
）．
【答案】 A
【解析】 依题意，若 ，则 ，若 ，
可得 ；
若 ，不妨令 ，显然满足 ，
，故满足条件的集合 是存在的．
故选 ．
【标注】【知识点】充要条件与集合结合
A. B. C. D.
46. 函数 的定义域是（ ）．
【答案】 C
【解析】 要使 有意义，则需 ，即 ，
解得： 或 ，
所以 的定义域为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域
31
A.
B.
C.
D.
47. 命题 ，一元二次方程 有实根，则（ ）．
，一元二次方程 没有实根
，一元二次方程 没有实根
，一元二次方程 有实根
，一元二次方程 有实根
【答案】 B
【解析】 命题“ ，一元二次方程 有实根”的否定是
“ ，一元二次方程 没有实根”．
故选 ．
【标注】【知识点】全称量词命题与存在量词命题的否定
A. B. C. D.
48. 设 时，函数 取得最大值，则 （ ）．
【答案】 D
【标注】【知识点】正弦型函数的图象与性质；正弦函数的图象和性质；诱导公式；利用诱导公式
化简
A. B. C. D.
49. 中国的 技术领先世界， 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： ．
它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 取决于信道带宽 ，信道内信号的平均功率
，信道内部的高斯噪声功率 的大小，其中 叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的
可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽 ，而将信噪比 从 提升至 ，则 大约增加
了（ ）．
附：
【答案】 B
【解析】 当 时， ，
当 时， ，
32
∵ ，
∴将信噪比 从 提升至 ，则 大约增加了 ．
故选 ．
【标注】【知识点】对数函数模型
A. B. C. D.
50. 将函数 图象向左平移 个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )
【答案】 A
【解析】 解：将函数 图象向左平移 个单位，所得函数图象对应的解析式为
．
令 ， ，求得 ，
故函数的一条对称轴的方程是 ，
故选：A．
【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换
【知识点】求正弦型函数的对称轴
A. B. C. D.
51. 已知 ，且 ，则 （ ）．
【答案】 A
【解析】 ∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
33
．
故选 ．
【标注】【知识点】倍角、和差角公式综合
A. B.
C. D.
52. 已知 ，若 ，则 的取值范围为（
）．
【答案】 C
【解析】 由题意可得 ，解得 ，
即函数 的定义域为 ，
因为在区间 上，函数 单调递增，函数 单调递
增，
所以函数 在区间 上单调递增，
又 ，所以 ，即为 ，
所以 ，
解得 或 ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式；求具体函数（包括复合函数）的定义域
A. B. C. D.
53. 已知 ， ，若不等式 恒成立，则 的最大值为（ ）．
【答案】 D
【解析】 由题意可得， ， ，
34
则 恒成立等价于 恒成立，
因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
此时 取得最小值 ，
则 ， 的最大值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】基本不等式与恒成立问题
A. B.
C. D.
54. 函数 的图象大致为（ ）．
【答案】 A
【解析】 ∵ ，
∴ 为奇函数，
∴ 、 排除，
∵ ，
∴ 排除，
∴ 对．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题
十、
35
多项选择题
（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
A. 函数的定义域是 B. 函数的值域是
C. 函数的值域是 D. 函数是增函数
55. 下表表示 是 的函数，则（ ）．
【答案】 AC
【解析】 由表可知： ， ，故 正确， 错误．
选项 ：由于增函数须满足： ， ， ，
若 ，则 ．
但在此题中，当 ， 时， ，
故 不是增函数，故 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】函数的定义
A.
B.
C.
D.
56. 已知 （常数 )，则（ ）．
当 时， 在 上单调递减
当 时， 没有最小值
当 时， 的值域为
当 时， ， ，有
【答案】 BD
【解析】 A 选项：
B 选项：
时， ， ， ， 在 上不是
减函数， 错；
时， 在 上是减函数，无最小值．而 时，
单调递减，也无最小值，因此 无最小值，
36
C 选项：
D 选项：
当 时， 在 上是增函数， ，但
，不是 的最小值，
综上， 无最小值， 正确；
时， 时， ，
时， 是增函数， ，
，
∴ 的值域是 ， 错；
时， 时， ，而 时，
，
，因此 ， ，使得 ． 正确．
故选 B D .
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域
十一、 填空题
（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
57. 若 ， 满足 ， ，且 则 的值为 ．
【答案】
【解析】 因为 ， 满足 ， ，且 ，
所以 ， 是方程 的两根，
根据方程的根与系数关系可得， ， ，
所以 ，
则 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】韦达定理
58. 函数 的图像恒过定点的坐标为 ．
【答案】
37
【解析】 令 得： ，
此时 ，
所以函数的图象恒过定点 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】对数函数恒过定点问题
59. 若 是定义在 上的奇函数，当 时， （ 为常数），则当
时 ．
【答案】
【解析】 根据题意，若 是定义在 上的奇函数，则 ，
又由当 时， ，则 ，即 ，
故当 时， ，
当 时， ，则 ，
又由 为奇函数，则 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用函数奇偶性求函数解析式
60. 幂函数 为偶函数且在区间 上单调递减，则 ，
．
【答案】 或 ;
【解析】 幂函数 为偶函数，且在 递减，
∴ ，且 是偶数，
由 得 ，
又由题设 是整数，故 的值可能为 或 ，
验证知 或者 时，都能保证 是偶数，
故 或 ，此时 ，则 ．
故答案为： 或 ， ．
38
【标注】【知识点】幂函数的图象及性质
十二、 解答题
（本大题共6小题，共70分）
（ 1 ）
（ 2 ）
61. 已知函数 满足 ，且 ．
求 和函数 的解析式．
判断 在其定义域的单调性．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
．
在其定义域为单调增函数．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
由 ，
得 ，
，
得 ；
所以 ．
该函数的定义域为 ，
令 ，所以 ，
所以
，
因为 ， ，
所以 ，
所以 在其定义域为单调增函数．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性
39
（ 1 ）
（ 2 ）
62. 已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边过点 ．
求 的值．
若角 满足 ，求 的值．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
．
或 ．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
由角 的终边过点 ，得 ，
所以 ．
∵角 的顶点与原点 重合，始边与 轴非负半轴重合，终边过点 ．
∴ ， ， ，
得 ， ，
又由 ，
得 ，
则
．
或
．
∴ 的值为 或 ．
【标注】【知识点】计算任意角的三角函数值；已知正弦余弦正切或其关系求值；利用余弦和差角
公式凑角求值
63. 某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时，
列表并填入了部分数据，如下表：
40
（ 1 ）
（ 2 ）
请将上表数据补充完整，并直接写出函数 的解析式．
将 图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到 的图象，若
图象的一个对称中心为 ，求 的最小值．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
．
．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
由题表中的数据得 ， ， ，解得 ，
填表如下：
所以 ．
，
因为 的图象的一个对称中心为 ，
所以 ， ，
即 ， ，
又 ，所以 ．
41
【标注】【知识点】解析法；一个函数的自对称问题；正余弦型、正切型函数图象变换；正弦函数
的图象和性质；利用五点法作正、余弦型函数图象
（ 1 ）
（ 2 ）
64. 已知不等式 ．
求不等式的解集 ．
若当 时，不等式 总成立，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
．
．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
∵ 为增函数，
∴ ，
综上： ．
设 ，
则 ，
不等式即为： ，
，
，
设 ，
42
在 上 ，
∴ ．
【标注】【知识点】解对数不等式；指数方程和指数不等式；利用指数函数性质求最值
（ 1 ）
（ 2 ）
65. 已知函数 （ ， 为常数，且 ）满足 ，方程 有唯一解．
求函数 的解析式．
若 ，求函数 的最大值．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
．
．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
由 ，得 ，即 ．
∵方程 有唯一解，
所以 ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
而 ，
当 ，即 时， 取得最小值 ，
此时 取得最大值 ．
【标注】【知识点】一元二次方程根的分布；求具体函数的最值；用直接带入法求解析式
43
（ 1 ）
（ 2 ）
66. 已知定理：“若 ， 为常数， 满足 ，则函数 的图象关于点
中心对称”、设函数 ，定义域为 ．
试求 的图象对称中心，并用上述定理证明．
对于给定的 ，设计构造过程： ， ， ， ．如果
，构造过程将继续下去；如果 ，构造过程将停止．若对任意
，构造过程可以无限进行下去，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
的图象关于点 成中心对称，证明见解析．
．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
∵ ，
由已知定理得， 的图象关于点 成中心对称．
∵ ，
∴当 时， 的值域为
，
当 时， 的值域为 ，
当 时， 的值域为 ，
∵构造过程可以无限进行下去，
∴ 对任意 恒成立，
∴ 或 ，
由此得到 ．
【标注】【知识点】函数的新定义问题
龙华区统考卷
44
十三、 单项选择题
（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
A. B. C. D.
67. 已知集合 ， ，则 （ ）．
【答案】 B
【解析】 ∵ ，
，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】交集
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
68. “ ”是“ ”的（ ）．
【答案】 A
【解析】 因为 ，
所以 ， ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选 ．
【标注】【知识点】充要条件与三角函数结合
A. B. C. D.
69. 下列函数中，与函数 的定义域与值域相同的是（ ）．
【答案】 D
【解析】 由函数 的定义域为 ，值域 ，
45
对于 ： 的定义域为 ，值域 ，
∴ 错误；
对于 ： 的定义域为 ，值域 ，
∴ 错误；
对于 ： 的定义域为 ，值域 ，
∴ 错误；
对于 ： 的定义域为 ，值域 ，
∴ 正确．
故选 ．
【标注】【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域
A. B. C. D.
70. 函数 的最小正周期是（ ）．
【答案】 A
【解析】 ∵ ，
∴
，
∴ 的最小正周期为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】求正弦型函数的周期；辅助角公式
A. B. C. D.
71. 设 ， ， ，则（ ）．
【答案】 C
【解析】 ， ， ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】指对幂比较大小
46
A. B. C. D.
72. 已知 是第三象限的角，且 ，则 （ ）．
【答案】 B
【解析】 ，
∵ ，且 是第三象限的角，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式的化简和求值；诱导公式
A. B. C. D.
73. 已知 ，若 （ ），则 的取值范围是（ ）．
【答案】 B
【解析】 函数 ．若 （ ），
不妨设 ；
①当 时，由 ，可得 ，
即 ，不成立，
②当 时，由 ，可得 ，
即 ，不成立，
②当 时，由 ，可得 ，
那么 ．
∴ ．（当且仅当 取等号）
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】解不等式中的分类讨论；含绝对值的不等式；利用基本不等式求最值
74. 为庆祝深圳特区成立 周年， 年 月 日深圳无人机精英赛总决赛在光明区举行，全市共
支队伍参加．右图反映了某学校代表队制作的无人机载重飞行从某时刻开始 分钟内的速度
47
A. B.
C. D.
（单位：米 分）与时间 （单位：分）的关系．若定义“速度差函数” 为无人机在时间段为
内的最大速度与最小速度的差，则 的图象为（ ）．
【答案】 D
【解析】 由题意可得，当 时，无人机做匀加速运动， ，
“速度差函数” ；
当 时，无人机做匀减速运动，速度 从 开始下降，一直降到 ，
；
当 时，无人机做匀减速运动， 从 开始下降， ，
；
当 时，无人机做匀加速运动，
“速度差函数” ；
结合所给的图象，
故选 ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题
十四、 多项选择题
48
（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
A. B. C. D.
75. 已知 ， ，则下列不等式中一定成立的是（ ）．
【答案】 ACD
【解析】 A 选项：
B 选项：
C 选项：
D 选项：
∵ ， ，
∴ ，故 成立，故 正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴无法确定 与 的大小，故 不一定成立，故 错误；
∵ ， ，
∴ ，故 成立，故 正确；
∵ ， ，则有 ，
∴ ，即 ，故 成立，故 正确．
故选 A C D .
【标注】【知识点】同号不等式的运算
A. ( ) B. （ ， 且 ）
C. （ ， ） D. （ ， 且 ）
76. 每天，随着清晨第一缕阳光升起，北京天安门广场都会举行庄严肃穆的升旗仪式，每天升国旗的时
间随着日出时间的改变而改变．下表给出了 年 月至 月，每个月第一天北京天安门广场举行升
旗礼的时间：
月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月
若据此以月份（ ）为横轴、时间（ ）为纵轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，则适合模
拟的函数模型是（ ）．
【答案】 AC
【解析】 A 选项：散点图：
49
B 选项：
C 选项：
D 选项：
时间
月
其图象可以符合散点图的特征，故 正确；
单调，不符，故 错误；
三角函数图象：
y
O x
拟合后大致为：
y
O x
由图象知， （ ， ）能够拟合，故 正确；
（ ， 且 ）同样单调，故 错误；
故选 A C .
【标注】【知识点】选择回归模型问题
A. 是奇函数 B. 是 图象的对称轴
C. 在 上单调递增 D. 的图象关于 对称
77. 关于函数 ，下列说法正确的是（ ）．
【答案】 ABD
50
【解析】 A 选项：
B 选项：
C 选项：
D 选项：
是奇函数，故 正确．
， ，
对称轴： ， ， ， ，
当 时， ，故 正确．
单调递增区间： ，
，
化简得： ， ，
即： ， ，
当 时， 即在 上单调递增，故 错误．
，
∴对称中心 ， ，
当 时，其中一个对称中心为 ，故 正确．
故选 A B D .
【标注】【知识点】求正弦型函数的对称轴；求正弦型函数的单调区间；利用定义判断函数奇偶性
A. 有理数集 是封闭集 B. 若 是封闭集，则 一定是无限集
C. 一定是封闭
集
D. 若 ， 是封闭集，则 一定是封闭集
78. 设非空集合 ．若对任意 ， ，都有 ， ， ，则称 是封闭集．下列结论
正确的是（ ）．
【答案】 AC
【解析】 A 选项：
B 选项：
C 选项：
有理数集 ，由于整数和分数加减相乘都为整数或分数，故 正确．
若 ，则 ， ，此时 为封闭集，故 错误．
为封闭集，
设 ， ，
， ， ， ，则 ，
，
，故 正确．
51
D 选项：若 ， 为封闭集，
设 ， ， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， 不一定属于 ，故 错误．
故选 A C .
【标注】【知识点】集合的新定义问题
十五、 填空题
（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
79. 当 时， 的最小值是 ．
【答案】
【解析】 由于 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故最小值为 ．
故答案为︰ ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值
80. 求值： ．
【答案】
【解析】 由诱导公式 可得 ，
∴
．
52
【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；利用诱导公式化简；诱导公式
81. 用 表示 ， 中的较小者，则 的最大值是 ．
【答案】
【解析】
作出 和 的图象，
根据 表示 ， 的较小者，
可得 的图象，（如图）结合图象，
可得 最大值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】函数的新定义问题
82. 放射性物质镭的某种同位素，每经过一年剩下的质量是原来的 ．若剩下的质量不足原来的一
半，则至少需要 （填整数）年．（参考数据： ， ）
【答案】
【解析】 设这种放射性物质最初的质量是 ，经过 年后，剩留量是 ，则有 ，
依题意可得 ，
即
．
∴估计约经过 年，该物质的剩留量不足原来的一半．
故答案为： ．
【标注】【知识点】指数函数模型
十六、 解答题
53
（本大题共6小题，共70分）
（ 1 ）
（ 2 ）
83.
化简： （ ， ）．
求值： ．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
原式 ．
原式 ．
【标注】【知识点】代数式化简求值；指对化简求值；实数指数幂运算
（ 1 ）
（ 2 ）
84. 如图，以 为圆心的单位圆与 轴交于 、 两点， 是单位圆上除 、 外的任意一点，角 的终边
经过点 ，过点 作 轴于点 ．
用含 的式子分别表示 、 、 ．
请根据 ，写出一个三角恒等式，并加以解释．图. 中. 的. 线. 段. 比. 例. 关. 系.
54
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
， ， ．
，证明见解析．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
单位圆半径为 ， ，
，
．
，
由（ ）知 ，
， ，
在 中，
∵ ，
则 （勾股定理），
又∵ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【标注】【知识点】单位圆与三角函数线的运用；同角三角函数的基本关系式的化简和求值
（ 1 ）
（ 2 ）
85. 函数 （ ， ， ） 的部分图象如图所示．
y
O x
求函数 的解析式．
当 时，求 的值域．
55
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
．
．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
由题图可知， ， ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ， ，即 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ．
当 时， ，
所以 ，
所以 的值域为 ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质；已知正弦型函数图象求参数值；求固定区间正弦型函
数值域
（ 1 ）
（ 2 ）
86. 已知 是定义在 上偶函数，且当 时， ．
用定义法证明 在 上单调递增．
求不等式 的解集．
【答案】（ 1 ）证明：
当 时， ，
设 ，
则
56
（ 2 ）
，
所以 ，
所以 在 上单调递增．
或 ．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
当 时， ，
设 ，
则
，
所以 ，
所以 在 上单调递增．
当 时， ，
整理得， ，
解得 或 （舍），
设 ，则 ，
，
整理得， ，
解得， （舍）或 ，
综上 或 ．
故不等式的解集 或 ．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性；一元二次不等式
87. 如图，在扇形 中，半径 ，圆心角 ， 是扇形弧上的动点，矩形 内
接于扇形，且 ，记 ，求当角 为何值时，矩形 的面积 最大？并求出这
个最大的面积．
57
【答案】 当 ，矩形 的面积最大为 ．
【解析】
由 点向 作垂线，垂足为 ，
在 中，
， ，
由题意可知， ， ，
所以 为等边三角形，
所以 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以矩形 的面积为
58
，
因为 ，
所以当 ，即 时， 最大为 ．
所以当 ，矩形 的面积最大为 ．
【标注】【知识点】三角函数在平面几何中的应用；求固定区间正弦型函数值域
（ 1 ）
（ 2 ）
88. 已知函数 ，其中 ．
当 时，求 的值域．
若 有两个零点，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
．
．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
当 时， ，
当 时， ，
当 时， 单调递增，
所以 ，
综上所述： 的值域为 ．
当 时， ，
当 时， 单调递增；
①若 ， 有一个零点，则 ，
则 时， 也应有一个零点，所以 ，
而 ，所以 ；
②若 ， 无零点，则 ，
则 时， 有两个零点，所以满足题意，即 ；
59
综上所述： 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域；分段函数；对数函数的图象及性质；已知零点情况求
参数的取值范围
南山区统考卷
十七、 单项选择
（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
A. B. C. D.
89. 已知全集 ， ， ，则 （ ）．
【答案】 A
【解析】 由全集 ， ，
得 ， ，
则 ．
故选： ．
【标注】【知识点】交集；交、并、补集混合运算
A. B. C. D.
90. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）．
【答案】 A
【解析】 ∵ ，∴ ，
∴ ， ， 与 的大小关系不确定， ．
因此只有 正确．
故选： ．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】指数函数的图象及性质
60
【知识点】指数函数与对数函数的关系
【知识点】针对不等式变形判断正误
A. B. C. D.
91. 使函数 为偶函数的最小正数 （ ）．
【答案】 B
【解析】 ∵函数 为偶函数，
∴ ， ，
∴使函数 为偶函数的最小正数 ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用函数奇偶性求参数
A. B. C. D.
92. 设函数 ，则 （ ）．
【答案】 B
【解析】 ∵函数 ，
∴ ．
故应选 ．
【标注】【知识点】对数的概念及其运算
A. B. C. D.
93. 已知 ，则 的值是（ ）．
【答案】 A
【解析】 由已知， 化简，
即 ，
即 ，平方可得： ，
61
解得： ，
故选 ．
【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式
A. 或 B. C. 或 D.
94. 若函数 为偶函数，且在 上单调递增，则 的解集为（
）．
【答案】 A
【解析】 函数 为偶函数，
. 再根据 在 上
单调递增， . 令 ，求得 ， 则由 ，可得
，或 ， 求得 ，或 ， 故 的解集为
或 ， 故选:A.
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题
A. B.
C. D.
95. 函数 （ 且 ）的图象可能为（ ）．
【答案】 D
【解析】 函数 可以看作是
62
与 两个函数的乘积，
其中 且 ．
分别研究函数 与 在各个区间的正负性
可知函数 的正负性符合D项．
【标注】【知识点】余弦函数的图象和性质
A. B. C. D.
96. 已知函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围是（ ）.
【答案】 C
【解析】 的图像如图所示．
由图知 ；则有 ， ，
．即 ，得 ， ，令
，显然 时 为增函数，得 ．故选 ．
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域；对数函数的图象及性质
十八、 多项选择
（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
A. B. C. D.
97. 下列函数中，在区间 上为增函数的是（ ）．
【答案】 BC
【解析】 A 选项： 在 和 上为减函数，
63
B 选项：
C 选项：
D 选项：
故排除 ．
，在 上为增函数，
故在 上也为增函数，
故 正确．
，相当于将 向左移
个单位，
原本 在 上单增，
所以 在 上单增．
故 正确．
，在 上单减，
故 错误．
故选 B C .
【标注】【知识点】直接判断函数的单调性
A. B. C. D.
98. 下列各式中，值为 的是（ ）．
【答案】 BCD
【解析】 A 选项：
B 选项：
C 选项：
D 选项：
，故 错误；
，故 正确；
，
故 正确；
64
，
故 正确．
故选 B C D .
【标注】【知识点】利用正弦和差角公式直接求值；利用正切和差角公式直接求值
A.
B.
C.
D.
99. 已知函数 的最小正周期为 ，其图象的一条对称轴为
，则（ ）．
函数 的图象关于点 对称
函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到
函数 在区间 上单调递减
【答案】 BC
【解析】 ∵ 的最小正周期为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的一条对称轴，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，故 错误；
∴ ，
令 ，解得 ， ．
∴ 为 的一个中心对称点，故 正确；
向左移 个单位长度得到 ，
，故 正确；
当 时， ，
∵ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 在 上不单调，故 错误．
故选 ．
65
【标注】【知识点】已知余弦型函数判定结论正误
A. B. C. D.
100. 已知 ，关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有 个整数，则 的值可以
是（ ）．
【答案】 ABC
【解析】 设 ，其图象是开口向上，
对称轴是 的抛物线，如图所示，
若关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有 个整数，则
，即 ，
解得 ，又 ，
所以 ， ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知解集求参问题；一元二次不等式
十九、 填空题
（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
101. 命题“ ， ”的否定是 ．
【答案】 ，
66
【解析】 原命题为“ ， ”，所以否定为：“ ， ”．
【标注】【知识点】全称量词命题与存在量词命题的否定
102. 已知 是奇函数，当 时， ，则 的值是 ．
【答案】
【解析】 当 时， ，
∴ ，
∵ 为奇函数，
∴ ．
【标注】【知识点】利用奇偶性求值
103. 已知 ， ，则 ．
【答案】
【解析】 ∵已知 ， ，
∴ ，
∴
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】两角和与差的余弦；和差角公式化简求值综合运用
104. 已知 且 ，函数 的图象恒过定点 ，函数 在
区间 上是减函数，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 当 时， ，即图象恒过点 ，
67
∴ ， ，
∴ ．
当 时， 为单减函数．
∵ 在 上也为单减函数，
∴ 在 上为单增函数，
无法满足在 上是减函数，故舍去．
当 时， 为单增函数，
在 上为单减函数．
∵ 在 上为单减函数，
∴ 且 ，
解得： ．
【标注】【知识点】已知函数单调性求参数范围；指数函数恒过定点问题
二十零、 解答题
（本大题共6小题，共70分）
（ 1 ）
（ 2 ）
105. 设集合 ，集合 ．
若 ，求 ．
设命题 ，命题 ，若 是 成立的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
．
．
【解析】（ 1 ）解不等式 ，
得 ，
即 ，
当 时，由 ，
68
（ 2 ）
解得 ，
即集合 ，
∴ ．
∵ 是 成立的必要不充分条件，
∴集合 是集合 的真子集．
又集合 ， ，
∴ 或 ，
解得 ，
即实数 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】已知充要条件求参数范围
（ 1 ）
（ 2 ）
106. 已知函数 ．
求函数 的单调递增区间．
若 ， ，求 的值．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
， ．
．
【解析】（ 1 ）由题设可知：
，
令 ， ，
即 ， ，
解得 ， ，
69
（ 2 ）
故函数 的单调递增区间为 ， ．
故 ，
所以 ，又 ，
故 ， ，
故 ．
【标注】【知识点】倍角、和差角公式综合
（ 1 ）
（ 2 ）
107. 设 ，已知不等式 的解集为 ．
求 的解析式．
若对任意 ，不等式 有解，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
．
．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
由 ，解集为 可得， 和 是 的根，
则 ，
∴ ，
∴ ．
∵ 在 有解，
∴ ，
即 ，
令 ， ，
∴只需 即可，
由均值不等式可得 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
70
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题；基本不等式的实际应用；利用基本不等式求
最值；韦达定理
（ 1 ）
（ 2 ）
108. 函数 的部分图象如图所示．
求 的最小正周期及解析式．
将函数 的图象上的各点 ，得到函数 的图象，当 时，
方程 恰好有两个不同的根 ， ，求 的取值范围及 的值．
在①，②中选择一个，补在（ ）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，按①给分．
①向左平移 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；
②纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移 个单位．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
， ．
①， ,0；②， ， ．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
由图象知 ，函数的最小正周期 ，
即 ，则 ，
由五点对应法得 ，得 ，
则函数的解析式为 ．
将 的图象按照变换①：
71
向左平移 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，
可得 的图象，
当 时， ，
若方程 有两个不同的解，则 ，
且 ．
将 的图象按照变换②：
纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移 个单位．
可得 的图象，
当 ， ，
若方程 有两个不同的解，则 ，
且 ．
【标注】【知识点】正弦型函数与零点综合问题；求正弦型函数的周期；已知正弦型函数性质求解
析式；正余弦型、正切型函数图象变换；正余弦、正切函数的图象性质综合考察
（ 1 ）
（ 2 ）
109. 如图，摩天轮上的一点 在 时刻距离地面的高度满足 ， ，已
知该摩天轮的半径为 米，摩天轮转轮中心 距离地面的高度是 米，摩天轮逆时针做匀速转动，
每 分钟转一圈，点 的起始位置在摩天轮的最低点 处．
根据条件求出 （米）关于 （分钟）的解析式．
在摩天轮从最低点 开始计时转动的一圈内，有多长时间点 距离地面不低于 米？
72
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
．
有 分钟的时间点 距离地面不低于 米．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
由题意知， ， ， ，
所以 ，
易知当 时， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
令 ， ，
化简得 ，
所以 ，
解得 ，
故有 分钟的时间点 距离地面不低于 米．
【标注】【知识点】已知正弦型函数性质求解析式；三角函数不等式；三角函数的实际应用
（ 1 ）
（ 2 ）
110. 已知函数 是定义域为 的奇函数．
若 ，不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
若 且 在 上的最小值为 ，求 的值．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
．
．
【解析】（ 1 ）∵ 是 上的奇函数，
∴ ，
即 ，
73
（ 2 ）
∴ ，
∴ ．
若 ，则 ，
又∵ 且 ，
∴ ，即 ，
∴ 或 （舍去），
∴ 是 上的单调递增函数，
又 是定义域为 上的奇函数，
∴
．
即 在 上恒成立，
∴ ，即 ，
∴实数 的取值范围为 ．
∵ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴
，
令 ，
则 ，
∵ 在 上为增函数，且 ，
∴ ，
∵ 在 上的最小值为 ，
∴ 在 上的最小值为 ，
∵ 的对称轴为 ，
∴当 时， ，
解得 或 （舍去），
当 时， ，
解得 （舍去），
综上可知： ．
74
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题；用换元法求值域
龙岗区统考
二十一、 单项选择题
（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
A. B. C. D.
111. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）．
【答案】 C
【解析】 ∵集合 ， ，
∴ ．
故选： ．
【标注】【知识点】交、并、补集混合运算；并集
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
112. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）．
【答案】 B
【解析】 因为 ，解得 ，而 ，
所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件．
故选 ．
【标注】【知识点】充要条件与不等式结合
A. B. C. D.
113. 若角 的终边与单位圆交于点 ，则 （ ）．
【答案】 B
75
【解析】 ∵角 的终边与单位圆交于点 ，
∴ ， ，
（ 为坐标原点），
∴ ，
故选 ．
【标注】【知识点】三角函数线
A. B. C. D.
114. 下列函数中是偶函数且最小正周期为 的是（ ）．
【答案】 A
【解析】 中，函数 ，是偶函数，周期为 ； 中，函
数是奇函数，周期 ； 中，函数
，是非奇非偶函数，周期 ; 中，函数是偶函数，周期 ．
【标注】【知识点】求余弦型函数的周期
A. B. C. D.
115. 函数 的零点所在的区间是（ ）．
【答案】 D
【解析】 ∵ ，
，
∴函数 的零点所在区间是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】判定函数零点所在区间（存在性定理）
A. B. C. D.
116. 若 ，则 （ ）．
【答案】 C
76
【解析】 原式
．
故选 ．
【标注】【知识点】同角关系构造齐次式化简求值
A. B. C. D.
117. ， ， ，则（ ）．
【答案】 D
【解析】 ∵ ， ， ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】指对幂比较大小
A. B. C. D.
118. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则
（ ）．
【答案】 A
【解析】 依题意，函数 的周期为 ，故 ，
又 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数周期性与奇偶性综合问题
二十二、 多项选择题
（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
119. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）．
77
A. B. C. D.
【答案】 AC
【解析】 A 选项：
B 选项：
C 选项：
D 选项：
，则
，
故函数 为奇函数，
又当 时， 为增函数，
当 时 为增函数，
且 连续，故 在 上递增，故 正确；
为奇函数，在 上递减，故 错
误；
由 ，
则 ，故 为奇函数，
又∵ 与 为增函数，
故 在 上递增，故 正确；
为奇函数，但不是为增函数，故
错误．
故选 A C .
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性；函数单调性与奇偶性综合问题
A.
B.
C.
D.
120. 下列说法正确的有（ ）．
， ，使
， ，有
， ，使
， ，有
【答案】 ABC
【解析】 取 ， 正确 错误；取 ， 正确；
．
故 正确，故选 ．
78
【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用
A. B. C. D.
121. 已知 ，且 ，则（ ）．
【答案】 AD
【解析】 A 选项：
B 选项：
C 选项：
D 选项：
由已知可得 ， ，由对数函数性质可知 ，
为单调递减函数，
因为 ， ， ，
所以 ，故 正确；
由 ， ，
所以 ，因为
，故 错误；
由已知可得 ， ，由指数函数性质可知 ， 都是
单调递减函数，因为 ， ，故 错误；
令 ，由 知 为偶函数，
当 时，令 ，
， ，
， ， ，
所以 ，
所以当 时， 是单调递增函数，
因为 ，
所以 ，
即 ，故 正确．
故选 A D .
【标注】【知识点】用单调性比较大小
A.
B.
C.
122. 已知函数 ，则（ ）．
的最小正周期为
函数 的图象关于 对称
是函数 图象的一条对称轴
79
D. 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象
【答案】 BCD
【解析】 ，
的最小正周期 ，故 错误；
因为 ，
所以函数 的图象关于 对称，故 正确；
因为 ，
所以 是函数 图象的一条对称轴，故 正确；
， 的图象向右平移 后得到
，故 正确，
故选 ．
【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换
二十三、 填空题
（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
123. 已知函数 （ 且 ），则函数恒过定点 ．
【答案】
【解析】 由于函数 （ ， ）经过定点 ，
故函数 （ ， ）恒过定点 ．
【标注】【知识点】指数函数恒过定点问题
124. 幂函数 图象过点 ，则 的值为 ．
【答案】
【解析】 依题，设幂函数 ，
有函数图象过点 ，
80
则 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，答案： ．
【标注】【知识点】幂函数的概念
125. 函数 (其中 ， ， )的部分图象如图所示，则函数的
解析式 ．
【答案】
【解析】 由图可知： ， ，
∴ ， ， ，
代入点 得 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】已知正弦型函数图象或性质求参数值；正弦函数的图象和性质
126. 已知函数 ， ．若 ， ，
使得 ，则实数 的最大值为 ．
【答案】
81
【解析】 函数
，
当 ， ，
当且仅当 ，即 时， ，
，∵ ，故 在 上单调递增，
∵对 ， ，使得 ，
故 ，
故 ， ， ，即 ，
∴故 的最大值为 ．
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域
二十四、 解答题
（本大题共6小题，共70分）
（ 1 ）
（ 2 ）
127. 设全集为 ， ， ．
求 及 ；
，且 ，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
，
．
．
【解析】（ 1 ） 全集为 ， ， ，
， ，
或
或
82
（ 2 ）
，
．
， ，且 ，
，
，解得 ．
的取值范围是 ．
【标注】【知识点】连续性集合关系中的含参问题；连续性集合运算中的含参问题
或
（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
128. 已知函数 ，其中 ．
求 的定义域．
判断 的奇偶性，并给予证明．
求使 的 取值范围．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
．
奇函数，证明见解析．
．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
∵函数 ，
则有 ，
即有 ，
解得： ，
故函数 的定义域为 ．
∵ 的定义域关于原点对称，
且 ，
故函数 是奇函数．
由 可知 在 上递增，
由 即 得 ，
83
即 ，解得： ，
∴ 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性；求具体函数（包括复合函数）的定义域；对数函数
的概念；解对数不等式
（ 1 ）
（ 2 ）
129. 已知函数 ．
求 的最小正周期．
求 在区间 上的最大值和最小值．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
．
最大值为 ，最小值为 ．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
．
所以， 的最小正周期为 ．
令 ，
在 上递减，
在 上递增，
所以，当 时， ，
当 时， ．
故 的最大值为 ，最小值为 ．
【标注】【知识点】求固定区间正弦型函数值域；求正弦型函数的周期
84
（ 1 ）
（ 2 ）
130. 已知 ， 为锐角， ， ．
求 的值．
求 的值．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
解：由 ，解得 ，
．
解：由 得， ，则 ．
， ， ，
．
则 ．
．
【标注】【知识点】倍角、和差角公式综合
为锐角
（ 1 ）
（ 2 ）
131. 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度 （分贝）由
公式 （ ， 为非零常数）给出，其中 为声音能量．
当声音强度 ， ， 满足 时，求对应的声音能量 ， ， 满足的等量
关系式．
当人们低声说话，声音能量为 时，声音强度为 分贝；当人们正常说话，声音
能量为 时，声音强度为 分贝．已知声音强度大于 分贝属于噪音，且一般人
在大于 分贝小于 分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪，则声音能量在什么范围时，
人会暂时性失聪．
85
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
．
．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
当声音强度 ， ， 满足 时，
有 ，
即 ，
得 ，
∴ ，
∴ ，
则 ．
由题意， ，
解得 ，
∴ ，
由 ，得 ，解得 ，
故 时，人会暂时性失聪．
【标注】【知识点】对数函数模型；解对数不等式
（ 1 ）
（ 2 ）
132. 已知函数 且 ．
若 ，求 的值．
若 为定义在 上的奇函数，且 ，是否存在实数 ，使得
对任意的 恒成立，若存在，请写出实数 的取
值范围；若不存在，请说明理由．
86
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
．
存在， ．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
由已知 ，即 ，
即 ，
即 ，
，
则 ，
即 ．
若 为定义在 上的奇函数，
则 ，解得 ，
由 ， 在 上为减函数，
则 ，
可化为 ，
即 对任意的 恒成立，
当 时， ;
当 时，即 对任意
的 恒成立，
令 ， ，
则 为减函数，
当 时， 取最小值为 ，
所以存在，且 ．
【标注】【知识点】函数求值问题；函数单调性与奇偶性综合问题；不等式中的恒成立与能成立问
题
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