2023年深圳市高三年级第二次调研考试数学本试卷共6页, 22小题, 满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前, 考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答 题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型 (A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡 右上角 “条形码粘贴处”。2.作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑 ; 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案, 答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上 ;如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案 ; 不准使用铅笔和 涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题, 毎小题5分, 共40分。在毎小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 A={2,0},B={2,3}, 则 CA∪B(A∩B)=A. {0} B. {2} C. {3} D. {0,3}2.已知函数 f(x)= 3x,x≤1,log3x,x>1,??? 则 f(f(2))=A. 2 B. -2 C. 12 D. - 123.设等差数列 an? ? 的前 n 项和为 Sn, 若 S10=20,S20=10, 则 S30=A. 0 B. -10 C. -30 D. -404.设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为 V1、 V2 和 V3, 则A. V1b>0) 的 左、右焦点分别为 F1,F2, 直线 l 过点 F1. 若点 F2 关于 l 的对称点 P 恰好在椭圆 C 上, 且 F1P?? ?F1F2??? = 12 a2, 则 C 的离心率为
A. 13 B. 23 C. 12 D. 258.已知 ε>0,x,y∈ - π4 , π4? ? , 且 ex+εsiny=eysinx, 则下列关系式恒成立的为A. cosx≤cosy B. cosx≥cosy C. sinx≤siny D. sinx≥siny二、选择题:本题共4小题, 每小题5分, 共20分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得5分, 部分选对的得2分, 有选错的得0分。9.为了研究 y 关于 x 的线性相关关系, 收集了 5 组样本数据 (见下表 ):x 1 2 3 4 5y 0.5 0.8 1 1.2 1.5假设经验回归方程为 y=bx+0.28, 则A. b=0.24B. 当 x=8 时, y 的预测值为 2.2C. 样本数据 y 的 40% 分位数为 0.8D. 去掉样本点 (3,1) 后, x 与 y 的样本相关系数 r 不变10.已知 f(x) 是定义在闭区间上的偶函数, 且在 y 轴右侧的图象是函数 y=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π ) 图象的一部分 (如图所示 ), 则A. f(x) 的定义域为 [-π ,π ]B. 当 x= π6 时, f(x) 取得最大值C. 当 x<0 时, f(x) 的单调递增区间为 -2π3 ,- π6??? ? ? ?D. 当 x<0 时, f(x) 有且只有两个零点 -5π12 和 -11π12(第10题图)11. 11. 如图, 在矩形 AEFC 中, AE = 2 3,EF = 4, B 为 EF 中点. 现分别沿 AB、 BC 将 △ABE 、 △BCF 翻折, 使点 E、 F 重合, 记为点 P, 翻折后得到三棱锥 P-ABC, 则
A. 三棱锥 P-ABC 的体积为 4 23B. 直线 PA 与直线 BC 所成角的余弦值为 36C. 直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 13D. 三棱雉 P-ABC 外接球的半径为 222(第11题图)12.设 抛物线 C:y=x2 的焦点为 F, 过抛物线 C 上不同的两点 A,B 分别作 C 的切线, 两条切线的交点为 P,AB 的中点为 Q, 则A. PQ⊥x 轴 B. PF⊥AB C. ∠PFA=∠PFB D. |AF|+|BF|=2|PF|三、填空题:本题共4小题, 每小题5分, 共20分13.已知复数 z 满足 z2+z+1=0, 则 z?z?=14.若 X～N 9,22? ? , 则 P(7
(第16题图)时, 到达最佳射门位置.四、解答题:本题共6小题, 共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10 分 )已知 a,b,c 分别为 △ABC 三个内角 A,B,C 的对边, 且 sin(A-B)=2sinC.(1) 证明 : a2=b2+2c2;(2) 若 A= 2π3 ,a=3,BC?? =3BM??? , 求 AM 的长度.18.(12 分 )飞盘运动是一项入门简单, 又具有极强的趣味性和社交性的体育运动, 目前已经成为 了年轻人运动的新潮流. 某倶乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关, 对该地区 的年轻人进行了简单随机抽样, 得到如下列联表 :性别飞盘运动合计不爱好爱好男6 16 28女4 24 50合计10 40 22(1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取 10 人, 再从 这 10 人中随机选取 3 人访谈, 记参与访谈的男性人数为 X, 求 X 的分布列和数学期望 ;(2)依据小概率值 α=0.01 的独立性检验, 能否认为爱好飞盘运动与性别有关联 ? 如 果把上表中所有数据都扩大到原来的 10 倍, 在相同的检验标准下, 再用独立性检验推断 爱好飞盘运动与性别之间的关联性, 结论还一样吗 ? 请解释其中的原因.附 : χ2= n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), 其中 n=a+b+c+d.α 0.1 0.01 0.001xα 2.706 6.635 10.828
19.(12 分 )在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AB=BC=2,∠ABC= 2π3 ,A1C1⊥A1B.(1) 证明 : A1A=A1C;(2)若 A1A=2,BC1= 14, 求平面 A1CB1 与平面 BCC1B1 夹角的余弦值.(第 19 题图 )20. (12 分 )已知数列 an? ? 满足 a1=3,anan+1=9×22n-1,n∈N?.(1) 求数列 an? ? 的通项公式 ;(2) 证明 : 数列 an? ? 中的任意三项均不能构成等差数列. 21. (12 分 )已知双曲线 C:x2-y2=1, 点 M 为双曲线 C 右支上一点, A、 B 为双曲线 C 的左、 右 顶点, 直线 AM 与 y 轴交于点 D, 点 Q 在 x 轴正半轴上, 点 E 在 y 轴上.(1) 若点 M(2, 3),Q(2,0), 过点 Q 作 BM 的垂线 l 交该双曲线 C 于 S,T 两点, 求 △OST的面积. (2) 若点 M 不与 B 重合, 从下面 (1)(2)(3)中选取两个作为条件, 证明另外一个成立. (1) OD??=DE?? ; (2) BM⊥EQ; (3) |OQ|=2.注 : 若选择不同的组合分别解答, 则按第一个解答计分.21.(12 分 )已知函数 f(x)=emx-1-x.(1)讨论函数 f(x) 的单调性 ;(2) 当 m>0 时, 函数 g(x)=f(x)- lnx+1m +x 恰有两个零点.(i) 求 m 的取值范围 ;(ii)证明 : g(x)>m 1m-m- 1m.
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