1
? 1： y=sin9x 求二阶导数 。
? 2： 求函数 y=cos7xtan5x 的二阶导数 。
? 3： 求函数 y=cos(3x+8)x 的二阶导数。
? 4： 求 z=sin(x5+5y)的二阶偏导数 。
? 5： 求 z=sin6(4x+23y)的二阶偏导数 。
? 6： 求函数 z=sin11x -x2y2+e4的二阶偏导数 。
2
三角函数二阶偏导数的练习题及参考答案：
? 1： y=sin9x 求二阶导数 。
解： y=sin9x，求复合函数求导法则有：
y''=9sin8xcosx;
y"=9(8sin7xcos2x-sin8xsinx),
=9sin7x(8cos2x-sin2x)。
? 2： 求函数 y=cos7xtan5x 的二阶导数 。
解： y=cos7xtan5x，求函数乘积求导法则有：
y''=-7sin7xtan5x+5cos7xsec25x;
y"=-7(7cos7xtan5x+5sin7xsec25x)+
5(-7sin7xsec25x+10cos7xsec25xtan5x),
=-72cos7xtan5x-70sin7xsec25x+50cos7xsec25xtan5x。
? 3： 求函数 y=cos(3x+8)x 的二阶导数。
解： y=cos(3x+8)x ，求函数商求导法则有：
y''=-3sin(3x+8)x-cos(3x+8)x2 ;
=-3sin(3x+8)x+cos(3x+8)x2 =-AB;
y"=-A''B-AB''B2 ,其中：
A''=32cos(3x+8)x+3sin(3x+8)-3sin(3x+8)
=32cos(3x+8)x,
3
B''=2x,代入上述二阶导数，有：
y"=-3
2cos(3x+8)xx2-2x[3sin(3x+8)x+cos(3x+8)]
x4 ,
=-3
2cos(3x+8)x2-2[3sin(3x+8)x+cos(3x+8)]
x3 。
? 4： 求 z=sin(x5+5y)的二阶偏导数 。
解： z=sin(x5+5y)，由全微分求导有：
dz=cos(x5+5y)(5x4dx+5dy),
?z
?x=5x
4cos(x5+5y),?z
?y=5cos(x
5+5y);
继续求二阶偏导数有：
?2z
?x2=5[4x
3cos(x5+5y)-5x4sin(x5+5y)x4],
=5x3[4cos(x5+5y)-5x5sin(x5+5y)];
?2z
?y2=-5
2sin(x5+5y);
?2z
?x?y=
?2z
?y?x=-5x
4sin(x5+5y)5=-25x4sin(x5+5y)。
? 5： 求 z=sin6(4x+23y)的二阶偏导数 。
解： z=sin6(4x+23y),由偏导数求导原则有：
?z
?x=24sin
5(4x+23y)cos(4x+23y),
?z
?y=138sin
5(4x+23y)cos(4x+23y);
再对 x， y 求二阶偏导数有：
?2z
?x2=64
2sin4(4x+23y)[5cos2(4x+23y)-sin2(4x+23y)],
4
?2z
?y2=13823sin
4(4x+23y)[5cos2(4x+23y)-sin2(4x+23y)];
?2z
?x?y=
?2z
?y?x=2423sin
4(4x+23y)[5cos2(4x+23y)-sin2(4x+23y)]。
? 6： 求函数 z=sin11x -x2y2+e4的二阶偏导数 。
解： z=sin11x -x2y3+e4，由全微分求导公式有：
dz=-11cos11x 1x2dx-2xy3dx-3x2y2dy,
即： ?z?x=-11cos11x 1x2-2xy3，
?z
?y=-3x
2y2，进一步求二阶 偏导数为：
?2z
?x2=-11
2sin11
x
1
x4+22cos
11
x
1
x3-2xy
3，
?2z
?y2=-6x
2y，
?2z
?x?y=
?2z
?y?x=-6xy
2。
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