重庆实验外国语学校几何宝典（第二辑）1.已知：在平行四边形中，过点作于点交于点，作于点，且．（1）如图1，若，，求的长；（2）如图2，作交于
点，连接，求证：． 2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，AC= BC.(1)如下左图，过点B作BE⊥AC于点
E，若AC=8，BE=5，求OE的长度；(2)如下右图，若∠BDC=45°，过点C作CF⊥CD交BD于点F，过点B作BG⊥BC且B
G=BC，连接AG、DG. 求证: AG =2OF.3.如图，已知四边形是矩形，点在的延长线上，，与相交于点，与相交于点，．（1）
若，求的度数；（2）连接，探究，，的数量关系，并证明. 4.已知，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，且E为BC的中点，AE=2B
E，P为BC上一点，连接DP，作EF⊥DP于点F，连接AF.（1）若AD=4，求AB的长； （2）求证：AF+EF=DF. 声明
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83934；学号：261448045．在菱形中，．（1）如图1，过点作于点，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度；（2）如
图2，过点作于点，连接，过点作，连接，且，连接，请探索线段，，之间的数量关系，并证明；6.在中，，．若点为上一点，连接，将绕点顺时
针旋转 得到，连接，交于点．（1）如图1，若，，求的长；（2）如图2，点为的中点，连接交于点．若，猜想线段与线段的数量关系，并写出
证明过程； 7.平行四边形ABCD中，以线段CD为边在平行四边形内作等边△CDE，连接AE .（1）如左图，若点E在对角线AC上，
且，求AE的长；（2）如右图，若点F是AE中点，且，过点E作交BC于点M，求证：. 8.在△ABC中,∠ACB=90°,且AC=
BC，点F为BC上一点,连接AF,过点C作CG⊥AF于点D,交AB于点G,点E是AF上一点，连接BE,交CG于点P,（1）如图1，
若点E为AF的中点，∠GCB=20°,求∠CEF的度数；（2）如图2，若点P恰为BE中点,求证:AE=2DP.图2图19.已知，如
图所示，在矩形中，点为边上，.（1）如图，已知点在边上，，，，求的长；（2）如图，已知，点为的中点，求证：.图1 图2F10.如
图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E.（1）若BC=BD，，DE=16，求平行四边形ABCD的周长； （2）若∠DBC=45
°，对角线AC,BD交于点O，F为AE上一点，且AF=2EO，求证: 11、已知：菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，以AD为
斜边构造等腰Rt△AED，连接BE．（1）如图1，若∠DAB＝60°，AD＝4，求△BED的面积．（2如图2，延长DE交AB于点F
，过点O作OG⊥CD于点G，过点C作CH⊥DF于点H，CH与OG交于点M，且OM＝BF．求证：AO＝2BE． 12.平行四边形中，
点在边上，连，点在线段上，连，连．（1）如图1，已知，点为中点，．若，，求的长度；（2）如图2，已知，，将射线沿翻折交于，过点作交
于点．若，求证：； 13、如图，在平行四边形ABCD中，过A点作AE⊥BC于点E，过BC上一点F作FH⊥AB于点H，交AE于点K，
连接AC．过F作FG⊥AC于点G，连接EG．（1）若AC＝BC＝15，AB＝3，求AE的长．（2）若KE＝BE，求证：AG+GF＝
EG． 14、如图1，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交CD于点E，CF⊥AD于点F，交BE于点G，且CF＝CE，连接E
F．（1）若CD＝5，DF＝3，求BC的长度；（2）如图2，若CM平分∠DCF交BE于点M，CN⊥BE于点N，求证：CM+EF＝N
E． 15.如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，AD＝AC，过点D作DF⊥AC交BC于点F，交AC于点E，连接AF．（1）若A
E＝4，DE＝2EC，求EC的长．（2）延长AC至点H，连接FH，使∠H＝∠EDC，若AB＝AF＝FH，求证：FD+FC＝AD．
16、如图，在平行四边形ABCD中，点H，E在BC边上，点G，F在CD边上，连接AF，AG，AE，HF，AG垂直平分CF，HF
分别交AE，AG于点M，N，∠AEB＝45°，∠FHC＝∠GAE．（1）若AF＝，AG=4FG，求AN；（2）若∠FHC＝2∠FA
G，求证：AE＝MN+BE． 17、在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝AC，点E，F分别是CD、AC边上的点，且
AF＝CE，BF的延长线交AE于点G．（1）若DE＝2，AD＝8，求AE．（2）若G是AE的中点，连接CG，求证AE+CG＝BG．
18、在平行四边形ABCD中，点F在线段BC上，且四边形ABEF是平行四边形，连接BD、DE分别交AF、BC于点G、H．（1）
如图1，若AF⊥BC，点F是BC的中点，∠ADB＝30°，AD＝2，求线段DE的长；（2）如图2，若AF＝AB，BD⊥BE，且∠A
DB＝∠EDC，求证：BD＝（+1）AB． 19、如 图 1，在平行四边形 ABCD 中，BE 平分∠ABC 交 CD 于点 E，
CF ⊥AD 于点 F，交 BE 于点 G，且 CF = CE，连接 EF.（1）若 CD = 5， DF = 3,求 BC 的长
度；（2）如图2，若 CM平分∠DCF交 BE于点 M，CN⊥BE于点 N，求证：CM EF 图1
图220、如图，△ADB 是等腰直角三角形，点C 是 BD 延长线上一点，连接AC，F 在 A
C 上且 AF AD, AE 平分∠CAD 且BE⊥AE 于 E，连接 EF，ED，FD。（1）若CAD 30 ,CD 2
，求 FC 的值； （2）求证： 21.如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，∠A=45°.（1）若AB=2,BD=,求平行
四边形ABCD的面积.（2）F为△ABD外的一点，BF交AD于点H，且DF=DB，∠ABF=∠BDF，DE⊥BC于点E，求证：
图1 图222.如图所示，在平行四边形ABCD中，∠
DAC=60°，点E是BC边上一点，连接AE,AE=AB，点F是对角线AC边上一动点，连接EF .(1)如图1,若点F与对角线交点
O重合，已知BE=4，OC:EC=5:3，求AC的长度;(2)如图2，若EC=FC，点G是AC边上一点，连接BG、EG，已知∠AE
G=60°,∠AGB +∠BCD=180°，求证: BG+ EG= DC. 23.如图1，四边形为菱形，对角线相交于点，点为上的动
点.当时，，求菱形的面积；如图2，当时，过点作的垂线,垂足为,交延长线于点，求证： 图1 图2 24.如
图，BD是平行四边形ABCD的对角线，过点D作DE⊥BC于点E．（1）如图1，若BC = 7，CD =3CE，，求CE的长；（2）
如图2，过点D作DF⊥AB于点F，O是BD的中点，连接FO并延长与CD交于点G，连接EF，，求证：． 图1
图225.如图，在矩形中，对角线、相交于，∠，为上一点，连接，过点作⊥交于，
且，取中点，连接.如图1，若，求线段的长；如图2，延长、相交于，求证：图2图1 26.在□中,是边上一点，将绕着点逆时针旋转至，
连接.如图1，连接，当时，，若，，，求线段的长.（2）如图2，连接交于点，若，点为中点，求证： 27.如图，在平行四边形中，
点是对角线的中点，点是上一点，且，连接 并延长交于点，过点作的垂线，垂足为，交于点.若，，求的面积；若，求证： 28.如图，在正方
形中，为边上的中点，过作⊥，交边上一点，且有.求证：点是边的中点；求证： 29.在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE．
（1）如图1，点F为AE的中点，连接CF过F作FH⊥BC于点H，若4BH=3FH，BF＝5，求CF的长；（2）如图2，过点E作AE
的垂线交CD于点G，交AB的延长线于点H，点O为对角线AC的中点，连接GO并延长交AB于点M，求证：AM+BH＝BE．H 30.如
图，在平行四边形中，⊥，点、分别在、上，且满足，连接、、.若，求的度数；若⊥，求证：. 31.菱形中，在延长线上，，若，求的长若⊥
，⊥，求证： 32.平行四边形的对角线，交于点，点是边的中点.如图1，若⊥，，，求的长；如图2，延长到点，使，连接，点为上一点，且
，，求证： 图1 图233.如图1，正方形中，对角线
与交于点，为边上一点，连接交于，点为上一点，连接交于.若⊥于，且，，求的长；如图2，若，且，求证：. 34.在菱形中，，连接，点
是内的一点，且满足，如图1，若菱形的边长为，，求的面积；如图2，点为的中点，为上一点，且满足，，连接，， 求证： 35.在平行四边
形中，⊥于点，如图1，连接，若，，求的值；如图2，连接，是的中点，过点作⊥于点，延长交的延长线于点， 连接，请猜想、、的关系，并证
明你的结论. 36.如图，和均为等腰直角三角形，连接，点是的中点，连接和.如图1，当点是的中点时，若，求的长度.如图2，当、、三
点不共线时，证明且⊥. 37.如图，在菱形中，，为对角线延长线上一点，连接和，为上一点，且满足，连接，交于点若，且，求的长；
证明： 38.如图，在平行四边形中，是对角线的中点，过点作⊥交于点.过点作⊥交、于点、.（1）如图1，若，,求平行四边形的面积
；（2）如图2,若，求证：. 39.如图，正方形中，是对角线，等腰中，,?，点在边上，连接，点是的中点，连接.（1）若，，求的
值；（2）求证：； 40.在Δ和Δ中，，且，，如图（1）如果点在上，且，，求的长（2）如图（2），与相交于点，点在下方，连接，
且垂直，连接并延长与的延长线交于点，点是延长线上一点，且，求证：. 41.如图，在平行四边形中，点为上一点，、交于点，为等边三角形
，点在上，连接，点为的中点，连接并延长交于点，且若，，求的长求证： 42.如图，在平行四边形中，连接，点在上，且，连接并延长它
与交于点，过点作⊥垂足为，交于点.若，，求的面积；若，求证： 43.如图，点是正方形的边上一点，连接，点是线段上一点，的平分线
交的延长线于点，连接.若点是线段的中点，且，，求正方形的面积；若，求证： 44.在和中，，，，，点为中点，连接、，绕着点顺时针
旋转．（1）如图1，旋转到边上时，若，求的长；（2）当旋转到图2位置时，求证：；（3）如图3，绕着点顺时针旋转，其中，当最小时，直
接写出的面积． 45.如图1，是正方形边上的一点，连接，过点作⊥交的延长线于点，作⊥交的延长线于点.求证：若，求四边形的面积；如
图2，若四边形为菱形，∠，点是延长线上一点，连接、，将∠绕点顺时针旋转，旋转后角的两边分别与的延长线相交于点、，若，，连接，求四边
形的面积. 46.如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作⊥，交于点，交于点过点作∥，交的延长线于点，过点作∥，交的延长线于点.
若，，求的长；如图，连接，交于点，若，求证：；（3）如图3，当点与点重合时，若，将沿射线方向平移，当点到达点时停止平移。当平移结束
后（即点到达点时），将绕点顺时针旋转一个角度，的对应点，的对应点，直线与直线的交点为，直线与直线的交点为，在旋转过程中，当是直角三
角形，且时，直接写出的面积.47.如图1，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BE＝4，CE＝，求AD的长
；如图2，点F是BC上一点，且EF＝EC，过点C作CG⊥EF于点G，交BE于点H，求证：BH＝DE；如图3，在（2）的条件下，连接
DG，当BE＝BC时，请直接写出的值． 48..已知：在平行四边形ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝BD，E为BC上一点，连接A
E交BD于F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AD＝4，求EF的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延
长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AH交BF于M，当M为BF的中点时，请直接
写出AF与FH的数量关系． 49.如图，已知点为菱形的对称中心，，将等边的顶点放在点处，，分别交，于点,?.（1）求证:.（2）写
出线段,?与之间的数量关系，并进行证明.（3）将图①中的绕点顺时针旋转至图②所示的位置，请写出线段,?与之间的数量关系，并进行证明
. 50.如图1，平行四边形ABCD中，∠ABD＝45°，AD⊥BD，点H是线段BD上一动点，连接AH，过点D作DE⊥AH于点E
，将DE绕着点D逆时针旋转90°得到DF，连接FE并延长交AB于点G．（1）如图1，若CD＝6，BH＝2，求DE的值；（2）如图1
，求证：BC＝BG；（3）如图2，连接CG、FC，当AB＝6时，直接写出△FCG的最大面积．51.如图1，在矩形中，∠的平分线交于
点，连接.若，，求的长；如图2，点是上一点，且，过点作⊥于点，交于点求证：如图3，在（2）的条件下，连接当时，请直接写出的值. 5
2.在，，，为平面内一动点，⊥，连接.如图1，点在，且⊥，过点作⊥，为线段中点，连接，，当时，①求的长；②求证：⊥.如图2，若，，
连接，将绕着点顺时针旋转到，连接、，请直接写出线段的最小值. 53.在正方形中，点是对角线的中点，点在边上，连接、，点在线段上，交
于点，如图①，若是的中线，，，连接，求的长；如图②，若⊥交于点，点是的中点，连接，求证：；如图③，若⊥交于点，点是上一动点，连接，
当点在边上（不包括端点）运动时，求证： 54.如图①,在中，，，?点在上(且不与点，重合)，在的外部作，使，，?连接,分别以，为邻
边作平行四边形,连接.（1）请直接写出线段，的数量关系 ；（2）将绕点逆时针旋转，当点在线段上时，如图②，连接,请判断线段，的数量
关系，并证明你的结论；（3）在图②的基础上，将绕点继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化?若不变，结合图③写出证明过程
；55.如图，平行四边形中，，点是线段的中点，过点作⊥，交于点，延长线交于点，且如图1，若，求的值如图1，连接，求证：如图2，延长
交于点，延长交于点，直接写出的值 56.在与中，，，，的延长线交于点，连接、.如图1，点、、三点在同一直线上，且，时，求的长；如
图2，当时，求证：是的中点；如图3，若平分，且的延长线与交于点，请直接写出、、之间的数量关系. 57.菱形中，点为对角线边上一点，
点为边上一点，连结、、，，且．（1）如图1，过点作于点，若，，求四边形的面积；（2）如图2，延长线上有一点，连结，若，求证：；（3
）如图3，若，，将绕点顺时针旋转一个角度，旋转过程中，的对应点，的对应点，的中点为点，连结，在旋转过程中，当最长时，直接写出线段的值． 58.在平行四边形中，⊥于，⊥于，为直线上一动点，连接,?交于，且.（1）如图1，若，点与点重合为一点，求的长；（2）如图2，当时，求证：.如图3，若，?点是直线上任一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段.求的最小值. 59.在平行四边形中，点是上一点，连接、，.如图1，若⊥，，，求的周长；如图2，若，，点、分别是和延长线上的一点，且满足，求证：；如图3，在（2）的条件下，点是内部一点，，请直接写出当取得最小值时的面积.60.已知△ABC和△BDE都为等腰直角三角形，，点D为AC上一点．如图1，与交于点，若，求的值；如图2，连接，交于点，求证：；如图3，过点作的垂线交于，连接，若，请直接写出的最小值． 图1 图2 图3重庆实验外国语学校初2024届数学组·几何宝典（2）1 |
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