2023年中考数学模拟试卷
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）如图，乐乐将﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、
每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a、b、c分别标上其中的一个数，则a﹣b+c
的值为（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．3
2．（4分）如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（
A．B．
C．D．
3．（4分）对于二次函数y＝4（x+1）（x﹣3）下列说法正确的是（）
A．图象开口向下
B．与x轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）
C．x＜0时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
4．（4分）计算（﹣3）0+﹣（﹣）﹣1的结果是（）
A．1+ B．1+2 C．D．1+4
5．（4分）已知如图DC∥EG，∠C＝40°，∠A＝70°，则∠AFE的度数为（）
第1页（共26页）
）
A．140°B．110°C．90°D．30°
6．（4分）如图，用若干大小相同的黑白两种颜色的长方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，
则第10个图案中黑色瓷砖的个数是（）
A．28 B．29
）
C．30 D．31
7．（4分）下列命题中，真命题是（
A．两对角线相等的四边形是矩形
B．两对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形
8．（4分）已知
A．﹣6＜m＜﹣5
，则有（
B．﹣5＜m＜﹣4
）
D．5＜m＜6C．4＜m＜5
9．（4分）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为5，则第1次输出的结果为8，第2
次输出的结果为4，第3次输出的结果为2，…，第2019次输出的结果为（）
A．1 B．2 C．4 D．8
10．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，以顶点A为圆心，AD的长为半径作弧交AB于
点E，以AB为直径作半圆恰好与DC相切，则图中阴影部分的面积为（）
第2页（共26页）
A．B．C．D．
11．（4分）如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米高的地方，物
体所经过路程是13米，那么斜坡的坡度为（）
A．1：2.6 B．C．1：2.4 D．
12．（4分）若数a使关于x的不等式组
的分式方程
A．10
恰有3个整数解，且使关于y
）＝3的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为（
B．7 C．5 D．2
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度
最长的跨海大桥，全长55000米，数字55000用科学记数法表示为．
14．（4分）如图，一块含30°角的直角三角形ABC的三个顶点刚好都在一个圆上，已知弦
CD与CB的夹角∠BCD＝40°，BC＝3，则的长度为（结果保留π）．
15．（4分）有4张看上去无差别的卡片，正面分别写着1，2，4，5，洗匀随机抽取2张，
抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率是．
16．（4分）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，
测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为米．
17．（4分）已知A、B两地之间的路程为3000米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，
第3页（共26页）
相向而行，甲到B地停止，乙到A地停止，出发10分钟后，甲原路原速返回A地取重
要物品，取到该物品后立即原路原速前往B地（取物品的时间忽略不计），结果到达B
地的时向比乙到达A地的时间晚，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀
速行走，甲、乙两人相距的路程y（m）与甲运动的时间x（min）之间的关系如图所示，
则乙到达A地时，甲与B地相距的路程是米．
18．（4分）为节约用电，长沙市实“阶梯电价”具体收费方法是第一档每户用电不超过240
度，每度电价0.6元；第二档用电超过240度，但不超过400度，则超过部分每度提价
0.05元；第三档用电超过400度，超过部分每度提高0.3元，某居民家12月份交电费222
元，则该居民家12月份用电度．
三．解答题（共7小题，满分70分，每小题10分）
19．（10分）化简：
（1）（a﹣b）2﹣（a+b）（a﹣3b）
（2）÷（m﹣2﹣）
20．（10分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AD＝AE．连接BD，CE，∠
ABD＝∠ACE．求证：AB＝AC．
21．（10分）为引导学生广泛阅读文学名著，某校在七年级、八年级开展了读书知识竟赛．该
校七、八年级各有学生400人，各随机抽取20名学生进行了抽样调查，获得了他们知识
竞赛成绩（分），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息
七年级：
第4页（共26页）
74 97 96 89 98 74 65 76 72 78 99 72 97 76 99 74 99 73 98 74
八年级：
76 88 93 65 78 94 89 68 95 50 89 88 89 89 77 94 87 88 92 91
成绩
人数
七年级
八年级
0
1
1
a
10
3
1
8
8
6
50≤x＜59 60≤x＜69 70≤x＜79 80≤x＜89 90≤x≤100
平均数、中位数、众数如表所示：
年级
七年级
八年级
平均数
84
84
中位数
77
m
众数
74
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝，m＝，n＝．
（2）该校对读书知识竞赛成绩不少于80分的学生授予“阅读小能手”称号，请你估计
该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的大约有人；
（3）结合以上数据，你认为哪个年级读书知识竞赛的总体成绩较好，说明理由．
22．（10分）一条小船沿直线向码头匀速前进．在0min，2min，4min，6min时，测得小船
与码头的距离分别为200m，150m，100m，50m．小船与码头的距离是时间的函数吗？如
果是，写出函数的解析式，并画出函数图象．
23．（10分）甲、乙两个工程队原计划修建一条长100千米的公路，由于实际情况，进行了
两次改道，每次改道以相同的百分率增加修路长度，使得实际修建长度为121千米，已
知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是
甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．
（1）求两次改道的平均增长率；
（2）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
（3）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要
使两个工程队修路总费用不超过42.4万元，甲工程队至少修路多少天？
24．（10分）在解决问题“已知，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答
第5页（共26页）
的：
∵
∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：
（2）若，求代数式a（a﹣1）的值．
25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，AD＝AC，过点D作DF⊥AC交BC
于点F，交AC于点E，连接AF．
（1）若AE＝4，DE＝2EC，求EC的长．
（2）延长AC至点H，连接FH，使∠H＝∠EDC，若AB＝AF＝FH，求证：FD+FC＝AD．
四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
26．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+ x+与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与
y轴交于点C，连接AC、BC，过点A作BC的平行线交抛物线于点D．
第6页（共26页）
（1）如图1，若点P为直线BC上方抛物线上任意一点，直线AD上有一动点E，当四
边形BPCE面积最大时，求PE﹣AE的最小值：
（2）如图2，将△BOC绕点O顺时针旋转，点B，C的对应点分别为B′、C′，且C′
恰好落在∠BCO的平分线上，再将旋转后的△B′OC′沿直线AC翻折得到△B″O′
C″，点S是抛物线对称轴上的一个动点，则△BC″S能否为直角三角形？若能，请求出
点S的坐标；若不能，请说明理由．
第7页（共26页）
2023年中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）如图，乐乐将﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、
每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a、b、c分别标上其中的一个数，则a﹣b+c
的值为（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．3
【分析】根据三个数的和为依次列式计算即可求解．
【解答】解：∵5+1﹣3＝3，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，
∴a+5+0＝3
3+1+b＝3
c﹣3+4＝3，
∴a＝﹣2，b＝﹣1，c＝2，
∴a﹣b+c＝﹣2+1+2＝1，
故选：C．
2．（4分）如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D
第8页（共26页）
符合题意，
故选：D．
3．（4分）对于二次函数y＝4（x+1）（x﹣3）下列说法正确的是（
A．图象开口向下
B．与x轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）
C．x＜0时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个选项是否正确．
【解答】解：∵y＝4（x+1）（x﹣3）＝4（x﹣1）2﹣16，
∴a＝4＞0，该抛物线的开口向上，故选项A错误，
与x轴的交点坐标是（﹣1，0）、（3，0），故选项B错误，
当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项C正确，
图象的对称轴是直线x＝1，故选项D错误，
故选：C．
4．（4分）计算（
A．1+
﹣3）0+
B．1+2
﹣（﹣）﹣1
）
的结果是（）
D．1+4C．
【分析】分别根据零次幂、二次根式的性质以及负指数幂化简即可求解．
【解答】解：原式＝1+
故选：D．
5．（4分）已知如图DC∥EG，∠C＝40°，∠A＝70°，则∠AFE的度数为（）
＝1+．
A．140°B．110°C．90°D．30°
【分析】先根据三角形外角的性质可求∠ABD，再根据平行线的性质可求∠AFE的度数．
【解答】解：∵∠C＝40°，∠A＝70°，
∴∠ABD＝40°+70°＝110°，
∵DC∥EG，
第9页（共26页）
∴∠AFE＝110°．
故选：B．
6．（4分）如图，用若干大小相同的黑白两种颜色的长方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，
则第10个图案中黑色瓷砖的个数是（）
A．28 B．29 C．30 D．31
【分析】观察图形，发现：黑色纸片在4的基础上，依次多3个；根据其中的规律，用
字母表示即可．
【解答】解：第个图案中有黑色纸片3×1+1＝4张
第2个图案中有黑色纸片3×2+1＝7张，
第3图案中有黑色纸片3×3+1＝10张，
…
第n个图案中有黑色纸片＝3n+1张．
当n＝10时，3n+1＝3×10+1＝31
故选：D．
7．（4分）下列命题中，真命题是（
A．两对角线相等的四边形是矩形
B．两对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形
【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据
正方形的判定方法对C进行判断；根据平行四边形的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A、两对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项为假命题；
B、两对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以B选项为假命题；
C、两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项为真命题；
D、一组对边相等另一组对边也相等的四边形是平行四边形，所以D选项为假命题；
故选：C．
第10页（共26页）
）
8．（4分）已知
A．﹣6＜m＜﹣5
，则有（
B．﹣5＜m＜﹣4
）
D．5＜m＜6
＝，再利用夹
C．4＜m＜5
【分析】先利用二次根式的乘法法则与二次根式的性质求出m＝2
值法即可求出m的范围．
【解答】解：
∵25＜28＜36，
∴5＜＜6，
＝2＝．
即5＜m＜6．
故选：D．
9．（4分）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为5，则第1次输出的结果为8，第2
次输出的结果为4，第3次输出的结果为2，…，第2019次输出的结果为（）
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】根据题意，可以写出前几次的输出结果，从而可以发现输出结果的变化特点，
进而得到第2019次输出的结果．
【解答】解：由题意可得，
第一次输出的结果为8，
第二次输出的结果为4，
第三次输出的结果为2，
第四次输出的结果为1，
第五次输出的结果为4，
…，
∵（2019﹣1）÷3＝2018÷3＝672…2，
∴第2019次输出的结果为2，
故选：B．
10．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，以顶点A为圆心，AD的长为半径作弧交AB于
点E，以AB为直径作半圆恰好与DC相切，则图中阴影部分的面积为（
第11页（共26页）
）
A． B． C． D．
【分析】如图，连接 AG、 EG、由题意易知△ AEG 是等边三角形，根据 S
阴
＝ S
半圆
﹣ S
扇形
AEG﹣ S 弓形 AmG计算即可解决问题．
【解答】解：如图，连接 AG、 EG．
由题意易知△ AEG 是等边三角形，
S
阴
＝ S
半圆
﹣ S
扇形 AEG
﹣ S
弓形 AmG
＝ 2π﹣
＝ + π．
﹣（ ﹣ ?22）
故选： B．
11． （ 4 分）如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面 5 米高的地方，物
体所经过路程是 13 米，那么斜坡的坡度为（ ）
A． 1： 2.6 B． C． 1： 2.4 D．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，由坡度的定义可知，坡度等于坡角对边与邻边的
比值，根据题目中的数据可以得到坡度，本题得以解决．
【解答】解：如图，根据题意知 AB＝ 13、 AC＝ 5，
第12页（共26页）
则BC＝＝＝12，
＝＝1：2.4，∴斜坡的坡度i＝tan∠ABC＝
故选：C．
12．（4分）若数a使关于x的不等式组
的分式方程
A．10
恰有3个整数解，且使关于y
）＝3的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为（
B．7 C．5 D．2
【分析】表示出不等式组的解集，由解集恰有3个整数解求出a的范围，再表示出分式
方程的解，将整数a代入检验即可．
【解答】解：不等式组整理得：，即≤x≤3，
由不等式组的解集恰有3个整数解，即为1，2，3，得到0＜
解得：1＜a≤5，整数a＝2，3，4，5，
分式方程去分母得：2﹣a＝3y﹣3，
解得：y＝
∴a＝5，
则符合条件的所有整数a的和为5，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
，
≤1，
13．（4分）港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度
最长的跨海大桥，全长55000米，数字55000用科学记数法表示为5.5×104．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．
故答案为：5.5×104．
14．（4分）如图，一块含30°角的直角三角形ABC的三个顶点刚好都在一个圆上，已知弦
第13页（共26页）
CD与CB的夹角∠BCD＝40°，BC＝3，则的长度为（结果保留π）．
【分析】连接OD，要求的长度，只需求出圆的半径和所对圆心角的度数即可．
【解答】解：连接OD，如图．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3，
∴AB是⊙O的直径，AB＝2BC＝6，
∴OB＝3．
∵∠BCD＝40°，
∴∠BOD＝80°，
∴的长度为
．
＝．
故答案为
15．（4分）有4张看上去无差别的卡片，正面分别写着1，2，4，5，洗匀随机抽取2张，
抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率是．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是两个连续整数的情
况数，即可求出所求概率．
【解答】解：根据题意画树状图如下：
所有等可能的情况有12种，其中恰好是两个连续整数的情况有4种，
第14页（共26页）
则P（恰好是两个连续整数）＝
故答案为：．
＝．
16．（4分）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，
测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为15米．
【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△EBA∽△ECD，
∴＝，即，
∴AB＝15（米）．
故答案为：15．
17．（4分）已知A、B两地之间的路程为3000米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，
相向而行，甲到B地停止，乙到A地停止，出发10分钟后，甲原路原速返回A地取重
要物品，取到该物品后立即原路原速前往B地（取物品的时间忽略不计），结果到达B
地的时向比乙到达A地的时间晚，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀
速行走，甲、乙两人相距的路程y（m）与甲运动的时间x（min）之间的关系如图所示，
则乙到达A地时，甲与B地相距的路程是250米．
【分析】根据题意可以求出甲乙两人的速度，然后根据函数图象和题意可以求得乙到达A
地时，甲与B地相距的路程，本题得以解决．
【解答】解：设甲的速度为am/min，乙的速度为bm/min，
第15页（共26页）
，
解得，，
则乙到达A地时用的时间为：3000÷40＝75min，
∴乙到达A地时，甲与B地相距的路程是：3000﹣50×（75﹣20）＝250m，
故答案为：250．
18．（4分）为节约用电，长沙市实“阶梯电价”具体收费方法是第一档每户用电不超过240
度，每度电价0.6元；第二档用电超过240度，但不超过400度，则超过部分每度提价
0.05元；第三档用电超过400度，超过部分每度提高0.3元，某居民家12月份交电费222
元，则该居民家12月份用电360度．
【分析】电费分为三段收费：每度0.6元；每度0.65元；每度0.9元．
【解答】解：因为222＜0.6×240+（400﹣240）×0.65＝248，
所以该居民家今年12月份的用电量是多于240度而少于400度．
设该居民家12月份的用电量为x，则
240×0.6+（x﹣240）×0.65＝222，
解得x＝360．
答：该居民家12月份用电360度．
故答案是：360．
三．解答题（共7小题，满分70分，每小题10分）
19．（10分）化简：
（1）（a﹣b）2﹣（a+b）（a﹣3b）
（2）÷（m﹣2﹣）
【分析】（1）先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则计算，再去括号、合并同类项
即可得；
（2）先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣2ab+b2﹣（a2﹣3ab+ab﹣3b2）
＝a2﹣2ab+b2﹣a2+3ab﹣ab+3b2
＝4b2；
第16页（共26页）
（ 2）原式＝
＝
＝
＝
＝ ．
÷
?
÷（ ﹣ ）
20． （ 10 分）如图，在△ ABC 和△ ADE 中，∠ BAC＝∠ DAE， AD＝ AE．连接 BD， CE，∠
ABD＝∠ ACE．求证： AB＝ AC．
【分析】由“ AAS”可证△ BAD≌△ CAE，可得 AB＝ AC．
【解答】证明：∵∠ BAC＝∠ DAE，
∴∠ BAC﹣∠ CAD＝∠ DAE﹣∠ CAD，
即∠ BAD＝∠ CAE，
在△ BAD 和△ CAE 中，
∴△ BAD≌△ CAE（ AAS） ，
∴ AB＝ AC．
21． （ 10 分） 为引导学生广泛阅读文学名著， 某校在七年级、 八年级开展了读书知识竟赛． 该
校七、八年级各有学生 400 人，各随机抽取 20 名学生进行了抽样调查，获得了他们知识
竞赛成绩（分） ，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息
七年级：
74 97 96 89 98 74 65 76 72 78 99 72 97 76 99 74 99 73 98 74
八年级：
76 88 93 65 78 94 89 68 95 50 89 88 89 89 77 94 87 88 92 91
第17页（共26页）
成绩
人数
七年级
八年级
50≤x＜59 60≤x＜69 70≤x＜79 80≤x＜89 90≤x≤100
0
1
1
a
10
3
1
8
8
6
平均数、中位数、众数如表所示：
年级
七年级
八年级
平均数
84
84
中位数
77
m
众数
74
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝2，m＝88.5，n＝89．
（2）该校对读书知识竞赛成绩不少于80分的学生授予“阅读小能手”称号，请你估计
该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的大约有460人；
（3）结合以上数据，你认为哪个年级读书知识竞赛的总体成绩较好，说明理由．
【分析】（1）根据频数统计表中数据，从20人中减去其它几组的频数，结果就是60≤x
＜69的频数，即a的值，根据中位数、众数的意义，找出八年级成绩出现次数最多的数，
和排序后中间两个数的平均数即可，
（2）求出七年级400名学生中和八年级400名学生中分别获得“阅读小能手”的人数，
再求和即可．
（3）从中位数、众数两个方面进行分析比较，得出结论．
【解答】解：（1）a＝20﹣1﹣3﹣8﹣6＝2，
将八年级的成绩从小到大排列后处在第10、11位的数是88，89，因此中位数是（88+89）
÷2＝88.5分，
八年级成绩出现次数最多的是89，共出现4次，因此众数是89分，
故答案为：2，88.5，89．
（2）400×+400×＝460人，
故答案为：460．
（3）八年级成绩较好，理由是：①从中位数上看八年级中位数数是88.5比七年级的77
要高，说明八年级成绩较好，
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22．（10分）一条小船沿直线向码头匀速前进．在0min，2min，4min，6min时，测得小船
与码头的距离分别为200m，150m，100m，50m．小船与码头的距离是时间的函数吗？如
果是，写出函数的解析式，并画出函数图象．
【分析】解：由题意得：小船的速度为50÷2＝25（m/min），设：小船与码头的距离为y，
时间为x，即可求解．
【解答】解：由题意得：小船的速度为50÷2＝25（m/min），
设：小船与码头的距离为y，时间为x，
则y＝200﹣25x，
故小船与码头的距离是时间的函数，函数关系式为：y＝200﹣25x，
图象如下：
②从众数上看八年级的众数是89而七年级的众数是74，把年级成绩比七年级好．
23．（10分）甲、乙两个工程队原计划修建一条长100千米的公路，由于实际情况，进行了
两次改道，每次改道以相同的百分率增加修路长度，使得实际修建长度为121千米，已
知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是
甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．
（1）求两次改道的平均增长率；
（2）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
（3）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要
使两个工程队修路总费用不超过42.4万元，甲工程队至少修路多少天？
【分析】（1）设两次改道的平均增长率为x，根据原计划修路的长度及经两次改道后的修
路长度，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设乙工程队每天修路y千米，则甲工程队每天修路（y+0.5）千米，根据工作时间＝
工作总量÷工作效率结合乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路
任务所需天数的1.5倍，即可得出关于y的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（3）设甲工程队修路m天，则乙工程队修路（121﹣1.5m）天，根据总费用＝甲工程队
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每日所需费用×甲工程队工作天数+乙工程队每日所需费用×乙工程队工作天数结合两
个工程队修路总费用不超过42.4万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中
的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设两次改道的平均增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝121，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．
答：两次改道的平均增长率为10%．
（2）设乙工程队每天修路y千米，则甲工程队每天修路（y+0.5）千米，
根据题意得：
解得：y＝1，
经检验，y＝1是原分式方程的解，且符合题意，
∴y+0.5＝1.5．
答：乙工程队每天修路1千米，甲工程队每天修路1.5千米．
（3）设甲工程队修路m天，则乙工程队修路（121﹣1.5m）天，
根据题意得：0.5m+0.4（121﹣1.5m）≤42.4，
解得：m≥60．
答：甲工程队至少修路60天．
24．（10分）在解决问题“已知
的：
∵
∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答
＝1.5×，
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：
（2）若，求代数式a（a﹣1）的值．
【分析】（1）根据分母有理化可以解答本题；
（2）先化简a，即可得到a﹣1的值，从而可以求得所求式子的值．
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【解答】解：（1）
（2）∵
∴a﹣1＝，
＝
＝
＝，
＝＝；
∴a（a﹣1）
＝（
＝2+
+1）×
．
25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，AD＝AC，过点D作DF⊥AC交BC
于点F，交AC于点E，连接AF．
（1）若AE＝4，DE＝2EC，求EC的长．
（2）延长AC至点H，连接FH，使∠H＝∠EDC，若AB＝AF＝FH，求证：FD+FC＝AD．
【分析】（1）设EC＝x，则DE＝2x，AD＝AC＝AE+EC＝4+x，在Rt△ADE中，由勾股
定理得出方程，解方程即可；
（2）证明△DEC≌△HEF（AAS），得出EC＝EF，DE＝EH，得出△CEF是等腰直角三
角形，得出∠ECF＝45°，再证明△ADE是等腰直角三角形，得出∠DAC＝45°，DE＝
AD，由等腰三角形的性质得出∠ADC＝∠ACD＝67.5°，求出∠EDC＝∠H＝22.5°，
得出∠CFH＝∠EF﹣∠H＝22.5°＝∠H，证出CF＝CH，即可得出结论．
【解答】（1）解：设EC＝x，则DE＝2x，AD＝AC＝AE+EC＝4+x，
∵DF⊥AC，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：（2x）2+42＝（4+x）2，
解得：x＝，或x＝0（舍去），
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∴EC＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵AB＝AF＝FH，
∴CD＝FH，
∵DF⊥AC，
∴∠DEC＝∠HEF＝90°，
在△DEC和△HEF中，
∴△DEC≌△HEF（AAS），
∴EC＝EF，DE＝EH，
∵DF⊥AC，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF＝45°，
∵AF＝FH，DF⊥AC，
∴AE＝HE＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAC＝45°，DE＝
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠EDC＝∠H＝22.5°，
∴∠CFH＝∠EF﹣∠H＝22.5°＝∠H，
∴CF＝CH，
∴EF+FC＝EC+CH＝EH＝DE，
∴FD+FC＝DE+EF+FC＝DE+DE＝2DE＝AD．
AD，
，
四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
26．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+ x+与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与
y轴交于点C，连接AC、BC，过点A作BC的平行线交抛物线于点D．
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（ 1）如图 1，若点 P 为直线 BC 上方抛物线上任意一点，直线 AD 上有一动点 E，当四
边形 BPCE 面积最大时，求 PE﹣ AE 的最小值：
（ 2）如图 2，将△ BOC 绕点 O 顺时针旋转，点 B， C 的对应点分别为 B′、 C′，且 C′
恰好落在∠ BCO 的平分线上，再将旋转后的△ B′ OC′沿直线 AC 翻折得到△ B″ O′
C″， 点 S 是抛物线对称轴上的一个动点， 则△ BC″ S 能否为直角三角形？若能， 请求出
点 S 的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】 （ 1）待定系数法求直线 BC 解析式，过点 P 作 PG⊥ x 轴于点 G 交 BC 于 H，过
点 E 作 ET⊥ x 轴 于 点 T， 四 边 形 BPCE 面 积 最 大， 即 S
△ PBC
最 大 ， 设 P（ m， ﹣
+
求得 P（ ，
m+ ） ， 得 S
△ PBC
＝ OB?PH＝﹣ + m＝﹣ + ，
） ，在 Rt△ AET 中，∠ CBO＝ 30°，∠ ATE＝ 90°， ET＝ AE，当 P、
；
x+ ，根
T、 E 三点共线时， PE﹣ AE 的最小值＝
（ 2）先求得 C′（ ， ） ，再待定系数法求得直线 AC 解析式为： y＝
据△ BC″ S 为直角三角形， 可以分三种情形讨论： △ BC″ S 为直角三角形， 可求得 S1 （ 1，
﹣ 4 ） ； ②当∠ BC″ S＝ 90°时，可求得 S2（ 1， 9
） ， S4（ 1，
x2+
） ．
x+ 中， 令 x＝ 0， 得 y＝ ， ∴ C（ 0， ） ，
） ； ③当∠ BSC″＝ 90°时，可求
得 S3（ 1，
【解答】 解： （ 1） 在抛物线 y＝﹣
令 y＝ 0，则 0＝﹣ x2+ x+
x+
，解得： x1＝﹣ 1， x2＝ 3，∴ A（﹣ 1， 0） ， B（ 3， 0） ，
，∴直线 BC 解析式为： y＝﹣
∵ AD∥ BC
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∴直线 AD 解析式为： y＝﹣
∵ tan∠ CBO＝ ＝
x﹣ ，
，∴∠ CBO＝ 30°
∴∠ BAD＝∠ CBO＝ 30°，
过点 P 作 PG⊥ x 轴于点 G 交 BC 于 H，过点 E 作 ET⊥ x 轴于点 T，
∵ AD∥ BC，∴ S
△ BCE
的值是定值，∴四边形 BPCE 面积最大，即 S
△ PBC
最大，
设 P（ m，﹣
∴ PH＝﹣ +
+
m
+ m＝﹣
，此时 P（ ，
+
） ，
，∵﹣ ＜ 0
m+ ） ，则 H（ m，﹣ m+ ）
∴ S
△ PBC
＝ OB?PH＝﹣
∴当 m＝ 时， S
△ PBC
最大值＝
在 Rt△ AET 中，∠ CBO＝ 30°，∠ ATE＝ 90°，∴ ET＝ AE，
∴ PE﹣ AE＝ PE﹣ ET，当 P、 T、 E 三点共线时， PE﹣ ET 最小，∴ PE⊥ x 轴时， PE﹣
ET 最小，
∴ PE﹣ AE 的最小值＝ ；
（ 2）如图 2，连接 CC′，过 C′作 C′ M⊥ x 轴于点 M，∵ CC′平分∠ BCO
∴∠ BCC′＝∠ OCC′＝ 30°
∵ OC′＝ OC＝
∴∠ OC′ C＝∠ OCC′＝ 30°＝∠ OBC
∴ OC′∥ BC
∴∠ BOC′＝∠ OBC＝ 30°
∴ C′ M＝ OC′? sin∠ BOC′＝
＝
∴ C′（ ， ）
） ，
x+ ，∠ OAC＝ 60°，∠ OCA＝ 30°
sin30°＝ ， OM＝ OC′? cos∠ BOC′＝ cos30°
∵ A（﹣ 1， 0） ， C（ 0，
∴直线 AC 解析式为： y＝
∵△ B′ OC′沿直线 AC 翻折得到△ B″ O′ C″，
∴ C″（﹣ 3， ） ，
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∴直线BC″解析式为：y＝﹣x+
抛物线对称轴为：直线x＝1，设S（1，t）
∵△BC″S为直角三角形，∴∠C″BS＝90°或∠BC″S＝90°或∠BSC″＝90°
①当∠C″BS＝90°时，BS⊥BC″，∴直线BS解析式为：y＝2
代入得t＝﹣4
∴S1（1，﹣4）；
x+7，将S（1，
x﹣6，将S（1，t）
②当∠BC″S＝90°时，C″S⊥BC″，∴直线C″S解析式为：y＝2
t）代入得t＝9
∴S2（1，9）；
③当∠BSC″＝90°时，∵BS2+C″S2＝C″B2
∴（3﹣1）2+（0﹣t）2+（﹣3﹣1）2+
解得：t1＝
∴S3（1，
，t2＝
），S4（1，
，
）；
＝（﹣3﹣3）2+
综上所述，△BC″S为直角三角形时，点S的坐标为：S1（1，﹣4
S3（1，），S4（1，）．
），S2（1，9），
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