2023 年中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．﹣ 的相反数是（
A． 3
）
B．﹣ 3 C． D．﹣
2．如图是由几个小立方块所搭成的儿何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立
方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将一块含有 30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若
∠ α＝ 135°，则∠ β等于（ ）
A． 45° B． 60° C． 75° D． 85°
）4．正比例函数 y＝﹣ kx 的 y 值随 x 值的增大而减小，则此函数的图象经过（
A．第一、二象限
C．第二、三象限
5．下列运算正确的是（
A． a2+a2＝ a4
C． 3a?3a2＝ 3a3
）
B． （﹣ b2） 3＝﹣ b6
D． （ a﹣ b） 2＝ a2﹣ b2
B．第一、三象限
D．第二、四象限
6．如图，在△ ABC 中， AC＝ BC，∠ C＝ 90°， AD 平分∠ BAC，交 BC 于点 D，若 CD＝ 1，
则 AC 的长度等于（ ）
第1页（共28页）
A．B．+1 C．2 D．+2
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO
）绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（
A．（﹣1，）B．（﹣2，）C．（﹣，1）D．（﹣，2）
8．如图，矩形ABCD中，AD＝4，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，CE
＝3，则矩形ABCD的面积为（）
A．B．C．12 D．32
9．如图，过⊙O外一点A引圆的两条切线，切点分别为D，C，BD为⊙O的直径，连接
BC，DC．若AD＝CD，BD＝4，则AC的长度为（）
A．2 B．2 C．2 D．4
10．二次函数y＝x2+mx﹣n的对称轴为x＝2．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣n＝0在﹣1
第2页（共28页）
＜x＜6的范围内有实数解，则n的取值范围是（
A．﹣4≤n＜5 B．n≥﹣4
）
D．5＜n＜12C．﹣4≤n＜12
二、填空题（木大题共4个小题，每小题3分，共12分）
11．分解因式：a2﹣2a+1＝．
．12．正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为
13．如图，在平面直角坐标系中菱形ABCD的顶点A、B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）
的图象上，点A、B横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为10，
则k的值为．
14．如图，已知∠BAC＝45°，线段DE的两个端点在角的两边AB，AC上运动，且DE＝2．以
线段DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，则AF的最大值为．
三、解答题（本大题共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）计算：+4cos260°﹣|
+3＝
﹣1|
．16．（5分）解分式方程：
17．（5分）尺规作图：已知⊙O，求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保
留作图痕迹）．
18．（5分）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，
CF，且BE∥CF．求证：DE＝DF．
第3页（共28页）
19．（7分）某学校为了解学生的课外阅读情况，王老师随机抽查部分学生，并对其暑假期
间的课外阅读量进行统计分析，绘制成如图所示但不完整的统计图，已知抽查的学生在
暑假期间阅读量（阅读本数为正整数）为2本的人数占抽查总人数的20%，根据所给出
信息，解答下列问题：
（1）求被抽查学生人数并直接写出被抽查学生课外阅读量的中位数；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若规定：假期阅读4本及4本以上课外书者为“优秀阅读者”，据此估计该校2500
名学生中，在这次暑假期间“优秀阅读者”约有多少人？
20．（7分）某学校有一栋教学楼AB，小明（身高忽略不计）在教学楼一侧的斜坡底端C处
测得教学楼顶端A的仰角为60°，他沿着斜坡向上行走到达斜坡顶端E处，又测得教学
楼顶端A的仰角为45°．已知斜坡的坡角（∠ECD）为30°，坡面长度CE＝6m，求楼
房AB的高度．（≈1.4，≈1.7结果保留整数）
第4页（共28页）
21．（7分）《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》于2019年12月起施行．某社区要投放A，
B两种垃圾桶，负责人小李调查发现：
购买数量
种类
A
B
原价销售
原价销售
以原价的7.5折销售
以原价的8折销售
购买数量少于100个购买数量不少于100个
若购买A种垃圾桶80个，B种垃圾桶120个，则共需付款6880元；若购买A种垃圾桶
100个，B种垃圾桶100个，则共需付款6150元．
（1）求A，B两种垃圾桶的单价各为多少元？
（2）若需要购买A，B两种垃圾桶共200个，且B种垃圾桶不多于A种垃圾桶数量的，
如何购买使花费最少，最少费用为多少元？请说明理由．
22．（7分）小红和小丁玩纸牌优戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝
下洗匀后放在桌面上．
（1）小红从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为偶数的概率是；
（2）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张，比较两人抽取的牌面上
的数字，数字大者获胜，请用树秋图或列表法求出的小红获胜的概率．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂
足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．
第5页（共28页）
（1）求证：CE＝CB；
（2）若AC＝，CE＝2，求CD的长．
24．（10分）设抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（m，0），与
y轴交于点C．且∠ACB＝90°．
（1）求抛物线的解析式
（2）已知过点A的直线y＝x+1交抛物线于另一点E，且点D（1，﹣3）在抛物线上问：
在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求
出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题探究：
（1）如图1，∠AOB＝45°，在∠AOB内部有一点P，分别作点P关于边OA、OB的对
称点P1，P2顺次连接O，P1，P2，则△OP1P2的形状是三角形．
，求：（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝2+
△ABC的面积．
问题解决：
（3）如图3，在四边形ABCD内有一点P，点P到顶点B的距离为10，∠ABC＝60°，
点M、N分别是AB、BC边上的动点，顺次连接P、M、N，使△PMN在周长最小的情况
下，面积最大，问：是否存在这种情况？若存在，请求出△PMN的面积的最大值；若不
存在，请说明理由．
第6页（共28页）
第7页（共28页）
2023年中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．﹣的相反数是（
A．3
）
B．﹣3 C．D．﹣
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：C．
2．如图是由几个小立方块所搭成的儿何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立
方块的个数，则这个几何体的左视图为（）
A．B．C．D．
【分析】由已知条件可知，左视图有3列，每列小正方形数目分别为2，3，2．据此可作
出判断．
【解答】解：从左面看可得到从左到右分别是3，2个正方形．
故选：A．
3．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若
∠α＝135°，则∠β等于（）
A．45°B．60°C．75°D．85°
【分析】直接利用平行线的性质以及三角形的性质进而得出答案．
第8页（共28页）
【解答】解：由题意可得：∵∠ α＝ 135°，
∴∠ 1＝ 45°，
∴∠ β＝ 180°﹣ 45°﹣ 60°＝ 75°．
故选： C．
4．正比例函数 y＝﹣ kx 的 y 值随 x 值的增大而减小，则此函数的图象经过（
A．第一、二象限
C．第二、三象限
【分析】根据正比例函数的性质进行判断．
【解答】解：∵正比例函数 y＝﹣ kx 的 y 值随 x 值的增大而减小，
∴﹣ k＜ 0，
∴此函数的图象经过第二、四象限．
故选： D．
5．下列运算正确的是（
A． a2+a2＝ a4
C． 3a?3a2＝ 3a3
）
B． （﹣ b2） 3＝﹣ b6
D． （ a﹣ b） 2＝ a2﹣ b2
B．第一、三象限
D．第二、四象限
）
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及整式的混合运算法则分别判断得出答案．
【解答】解： A、 a2+a2＝ 2a2，故此选项错误；
B、 （﹣ b2） 3＝﹣ b6，正确；
C、 3a?3a2＝ 9a3，故此选项错误；
D、 （ a﹣ b） 2＝ a2﹣ 2ab+b2，故此选项错误；
故选： B．
6．如图，在△ ABC 中， AC＝ BC，∠ C＝ 90°， AD 平分∠ BAC，交 BC 于点 D，若 CD＝ 1，
则 AC 的长度等于（ ）
第9页（共28页）
A．B．+1 C．2 D．+2
【分析】过D作DE⊥AB于E，依据△BDE是等腰直角三角形，即可得到BD的长，进
而得到BC的长，可得答案．
【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，
∵AC＝BC，∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝1，∠B＝45°，
∴∠BDE＝∠B＝45°，
∴BE＝DE＝1，
∴Rt△BDE中，BD＝
∴BC＝
∴AC＝
故选：B．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO
）
+1，
+1，
＝，
绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（
A．（﹣1，）B．（﹣2，）C．（﹣，1）D．（﹣，2）
第10页（共28页）
【分析】作CH⊥x轴于H，如图，先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A（2，2
再利用旋转的性质得BC＝BA＝2
），
，∠ABC＝60°，则∠CBH＝30°，然后在Rt△CBH
，BH＝CH＝3，中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH＝BC＝
所以OH＝BH﹣OB＝3﹣2＝1，于是可写出C点坐标．
【解答】解：作CH⊥x轴于H，如图，
∵点B的坐标为（2，0），AB⊥x轴于点B，
∴A点横坐标为2，
当x＝2时，y＝
∴A（2，2），
x＝2，
∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，
∴BC＝BA＝2，∠ABC＝60°，
∴∠CBH＝30°，
在Rt△CBH中，CH＝BC＝
BH＝CH＝3，
，
OH＝BH﹣OB＝3﹣2＝1，
∴C（﹣1，
故选：A．
）．
8．如图，矩形ABCD中，AD＝4，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，CE
＝3，则矩形ABCD的面积为（）
A．B．C．12
第11页（共28页）
D．32
【分析】由矩形的性质得出OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE＝3，求出
BE＝1，由勾股定理求出AB，即可得出答案．
【解答】解：连接AE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝1，
∴AB＝＝＝2，
×4＝8；∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝2
故选：B．
9．如图，过⊙O外一点A引圆的两条切线，切点分别为D，C，BD为⊙O的直径，连接
BC，DC．若AD＝CD，BD＝4，则AC的长度为（）
A．2 B．2 C．2 D．4
【分析】利用切线长定理得到AD＝AC，则可判断△ADC为等边三角形，所以∠ADC＝
60°，再利用切线的性质得到AD⊥DB，所以∠CDB＝30°，接着根据圆周角定理得到
∠BCD＝90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出CD即可．
【解答】解：∵AD、AC为⊙O的两条切线，切点分别为D，C，
∴AD＝AC，
而AD＝CD，
∴AD＝CD＝AC，
第12页（共28页）
∴△ADC为等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∵AD为切线，
∴AD⊥DB，
∴∠CDB＝90°﹣60°＝30°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
在Rt△BCD中，BC＝BD＝×4＝2，
∴CD＝
∴AC＝2
故选：C．
10．二次函数y＝x2+mx﹣n的对称轴为x＝2．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣n＝0在﹣1
＜x＜6的范围内有实数解，则n的取值范围是（
A．﹣4≤n＜5 B．n≥﹣4
）
D．5＜n＜12
BC＝2
．
，
C．﹣4≤n＜12
【分析】根据对称轴求出m的值，从而得到x＝﹣1、6时的函数y＝x2﹣4x值，再根据
一元二次方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范围内有解相当于y＝x2+mx与y＝n在x的范
围内有交点解答．
【解答】解：∵抛物线的对称轴x＝﹣＝2，
∴m＝﹣4，
则方程x2+mx﹣n＝0，即x2﹣4x﹣n＝0的解相当于y＝x2﹣4x与直线y＝n的交点的横坐
标，
∵方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范围内有实数解，
∴当x＝﹣1时，y＝1+4＝5，
当x＝6时，y＝36﹣24＝12，
又∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴当﹣4≤n＜12时，在﹣1＜x＜6的范围内有解．
∴n的取值范围是﹣4≤n＜12，
故选：C．
二、填空题（木大题共4个小题，每小题3分，共12分）
第13页（共28页）
11．分解因式：a2﹣2a+1＝（a﹣1）2．
【分析】观察原式发现，此三项符合差的完全平方公式a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，即可把
原式化为积的形式．
【解答】解：a2﹣2a+1＝a2﹣2×1×a+12＝（a﹣1）2．
故答案为：（a﹣1）2．
12．正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：．
【分析】从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的边长引垂线，构建直角三角形，解
三角形i可．
【解答】解：设正六边形的半径是r，
则外接圆的半径r，
内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是r，
．因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：
故答案为：2：．
13．如图，在平面直角坐标系中菱形ABCD的顶点A、B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）
的图象上，点A、B横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为10，
则k的值为．
【分析】连接AC交BD于E，如图，利用菱形的性质得AC⊥BD，AE＝CE，DE＝BE，
设A（1，k），B（4，），则BE＝3，AE＝k﹣＝k，根据菱形的面积公式得到4×
×3×k＝10，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：如图，连接AC交BD于E，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AE＝CE，DE＝BE，
第14页（共28页）
∵BD∥x轴，
设A（1，k），B（4，），
∴BE＝3，AE＝k﹣＝k，
∵菱形ABCD的面积为10，
∴4S△ABE＝10，
即4××3×k＝10，解得k＝
故答案为．
．
14．如图，已知∠BAC＝45°，线段DE的两个端点在角的两边AB，AC上运动，且DE＝2．以
线段DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，则AF的最大值为+1+．
【分析】当AF⊥DE时，AF的值最大，设AF交DE于H，在AH上取一点M，使得AM
＝DM，连接DM．分别求出MH、AM、FH即可解决问题．
【解答】解：如图，当AF⊥DE时，AF的值最大，设AF交DE于H，在AH上取一点
M，使得AM＝DM，连接DM．
∵FD＝FE＝DE＝2，AF⊥DE，
∴DH＝HE，AD＝AE，∠DAH＝∠DAE＝22.5°，
∵AM＝DM，
第15页（共28页）
∴∠MAD＝∠MDA＝22.5°，
∴∠DMH＝∠MDH＝45°，
∴DH＝HM＝1，
∴DM＝AM＝
∵FH＝
，
＝，
+1+
，
．∴AF＝AM+MH+FH＝
∴AF的最大值为
故答案为：+1+
+1+
．
三、解答题（本大题共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）计算：+4cos260°﹣|﹣1|
【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即
可求出值．
【解答】解：原式＝2
＝2
＝2
＝
+4×﹣
+1﹣
+2．
+3＝．
+1
+1
+4×（）2﹣（﹣1）
16．（5分）解分式方程：
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可
得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2+3x﹣6＝x﹣1，
解得：x＝1.5，
经检验x＝1.5是分式方程的解．
17．（5分）尺规作图：已知⊙O，求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保
留作图痕迹）．
【分析】根据垂径定理即可作⊙O的内接正方形ABCD．
第16页（共28页）
【解答】解：如图
正方形ABCD即为所求作的图形．
18．（5分）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，
CF，且BE∥CF．求证：DE＝DF．
【分析】由AD是△ABC的中线就可以得出BD＝CD，再由平行线的性质就可以得出△
CDF△BDE就可以得出DE＝DF．
【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD．
∵BE∥CF，
∴∠FCD＝∠EBD，∠DFC＝∠DEB．
在△CDE和△BDF中
，
∴△CDF≌△BDE（AAS），
∴DE＝DF．
19．（7分）某学校为了解学生的课外阅读情况，王老师随机抽查部分学生，并对其暑假期
间的课外阅读量进行统计分析，绘制成如图所示但不完整的统计图，已知抽查的学生在
暑假期间阅读量（阅读本数为正整数）为2本的人数占抽查总人数的20%，根据所给出
信息，解答下列问题：
（1）求被抽查学生人数并直接写出被抽查学生课外阅读量的中位数；
第17页（共28页）
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若规定：假期阅读4本及4本以上课外书者为“优秀阅读者”，据此估计该校2500
名学生中，在这次暑假期间“优秀阅读者”约有多少人？
【分析】（1）根据读两本的人数除以读两本人数所占的百分比，可得抽测人数，根据中
位数的定义，可得答案；
（2）根据有理数的减法，可得读4本的人数，可得答案；
（3）根据样本估计总体，可得答案．
【解答】解：（1）10÷20%＝50，∴被调查的人数为50，被抽查学生课外阅读量的中位
数3；
（2）50﹣4﹣10﹣15﹣6＝15，
补充如图
（4）2500×1050（人），
；
答：估计该校2500名学生中，在这次暑假期间“优秀阅读者”约有1050人．
20．（7分）某学校有一栋教学楼AB，小明（身高忽略不计）在教学楼一侧的斜坡底端C处
测得教学楼顶端A的仰角为60°，他沿着斜坡向上行走到达斜坡顶端E处，又测得教学
第18页（共28页）
楼顶端A的仰角为45°．已知斜坡的坡角（∠ECD）为30°，坡面长度CE＝6m，求楼
房AB的高度．（≈1.4，≈1.7结果保留整数）
【分析】过E作EF⊥AB于F，得到四边形BDEF是矩形，根据矩形的性质得到EF＝DB，
BF＝DE，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过E作EF⊥AB于F，
则四边形BDEF是矩形，
∴EF＝DB，BF＝DE，
在Rt△CDE中，∵∠EDC＝90°，CE＝6m，∠DCE＝30°，
∴DE＝3m，CD＝3
设BC＝xm，
∵∠AEF＝45°，
∴EF＝AF＝BD＝（3
∴AB＝AF+BF＝（3+3
+x）m，
+x）m，
＝＝，
m，
在Rt△ABC中，tan60°＝
解得：x＝6+3
∴AB≈19m．
，
答：楼房AB的高度大约为19米．
第19页（共28页）
21．（7分）《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》于2019年12月起施行．某社区要投放A，
B两种垃圾桶，负责人小李调查发现：
购买数量
种类
A
B
原价销售
原价销售
以原价的7.5折销售
以原价的8折销售
购买数量少于100个购买数量不少于100个
若购买A种垃圾桶80个，B种垃圾桶120个，则共需付款6880元；若购买A种垃圾桶
100个，B种垃圾桶100个，则共需付款6150元．
（1）求A，B两种垃圾桶的单价各为多少元？
（2）若需要购买A，B两种垃圾桶共200个，且B种垃圾桶不多于A种垃圾桶数量的，
如何购买使花费最少，最少费用为多少元？请说明理由．
【分析】（1）设A种垃圾桶的单价为x元，B种垃圾桶的单价为y元，根据“购买A种
垃圾桶80个，B种垃圾桶120个，则共需付款6880元；若购买A种垃圾桶100个，B
种垃圾桶100个，则共需付款6150元”列出方程组并解答；
（2）设购买A种垃圾桶为a个，则购买B种垃圾桶为（200﹣a）个，根据“B种垃圾桶
不多于A种垃圾桶数量的”列出不等式并求得a的取值范围，再根据一次函数的性质
解答即可．
【解答】解：（1）设A种垃圾桶的单价为x元，B种垃圾桶的单价为y元，根据题意得
，
解得，
答：A种垃圾桶的单价为50元，B种垃圾桶的单价为30元；
第20页（共28页）
（2）设购买A种垃圾桶为a个，则购买B种垃圾桶为（200﹣a）个，根据题意得
，
解得a≥150；
设购买A，B两种垃圾桶的总费用为W元，则
W＝0.75×50a+30（200﹣a）＝7.5a+6000，
∵k＝7.5＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当a＝150时，花费最少，最少费用为：7.5×150+6000＝7125（元）．
答：购买A种垃圾桶150个，B种垃圾桶50个花费最少，最少费用为7125元．
22．（7分）小红和小丁玩纸牌优戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝
下洗匀后放在桌面上．
（1）小红从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为偶数的概率是；
（2）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张，比较两人抽取的牌面上
的数字，数字大者获胜，请用树秋图或列表法求出的小红获胜的概率．
【分析】（1）根据概率公式计算即可．
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小红获胜的结果数，然后根据概率
公式求解
【解答】解：（1）4张牌中有3张是偶数这张牌的数字为偶数的概率是．
故答案为．
（2）解：画树状图为：
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共有12种等可能的结果数，其中小红获胜的结果数为6，
所以小红获胜的概率＝＝．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂
足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若AC＝，CE＝2，求CD的长．
【分析】（1）连接OC、OE，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰
三角形的性质得到∠DAC＝∠OAC，根据圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理
证明结论；
（2）根据勾股定理求出AB，证明△DAC∽△CAB，根据相似三角形的性质列出比例式，
代入计算得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC、OE，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠OAC，∠EOC＝2∠DAC，
∴∠BOC＝∠EOC，
∴CE＝CB；
（2）解：由（1）可知，BC＝CE＝2，
∵AB是⊙O的直径，
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∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝3，
∵∠DAC＝∠BAC，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△DAC∽△CAB，
∴＝，即＝
．
，
解得，DC＝
24．（10分）设抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（m，0），与
y轴交于点C．且∠ACB＝90°．
（1）求抛物线的解析式
（2）已知过点A的直线y＝x+1交抛物线于另一点E，且点D（1，﹣3）在抛物线上问：
在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求
出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线的解析式可知OC＝2，由于∠ACB＝90°，可根据射影定理求
出OB的长，即可得出B点的坐标，也就得出了m的值．然后根据A，B，C三点的坐标，
用待定系数法可求出抛物线的解析式．
（2）本题要分情况进行讨论，如果过E作x轴的垂线，不难得出∠DBx＝135°，而∠
ABE是个钝角但小于135°，因此P点只能在B点左侧．可分两种情况进行讨论：①∠
DPB＝∠ABE，即△DBP∽△EAB，可得出BP：AP＝BD：AE，可据此来求出P点的坐
标．②∠PDB＝∠ABE，即△DBP∽△BAE，方法同①，只不过对应的成比例线段不一
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样．综上所述可求出符合条件的 P 点的值．
【解答】解： （ 1）令 x＝ 0，得 y＝﹣ 2，
∴ C（ 0，﹣ 2） ，
∵∠ ACB＝ 90°， CO⊥ AB，
∴△ AOC∽△ COB，
∴ OA?OB＝ OC2
∴ OB＝
∴ m＝ 4，
∴ B（ 4， 0） ，
将 A（﹣ 1， 0） ， B（ 4， 0）代入 y＝ ax2+bx﹣ 2 得 ，
＝ ＝ 4，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 y＝ x2﹣ x﹣ 2；
（ 2）解
∴ E（ 6， 7） ，
得， ， ，
过 E 作 EH⊥ x 轴于 H，则 H（ 6， 0） ，
∴ AH＝ EH＝ 7，
∴∠ EAH＝ 45°，
过 D 作 DF⊥ x 轴于 F，则 F（ 1， 0） ，
∴ BF＝ DF＝ 3
∴∠ DBF＝ 45°，
∴∠ EAH＝∠ DBF＝ 45°，
∴∠ DBH＝ 135°， 90°＜∠ EBA＜ 135°
则点 P 只能在点 B 的左侧，有以下两种情况：
①若△ DBP1∽△ BAE，则 ＝ ，
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∴BP1＝
∴OP1＝4﹣
∴P1（
＝
＝，
＝
，0）；
＝
＝
，②若△DBP2∽△BAE，则
∴BP2＝＝
∴OP2＝
∴P2（﹣
﹣4＝
，0）．
，
综合①、②，得点P的坐标为：P1（，0）或P2（﹣，0）．
25．（12分）问题探究：
（1）如图1，∠AOB＝45°，在∠AOB内部有一点P，分别作点P关于边OA、OB的对
称点P1，P2顺次连接O，P1，P2，则△OP1P2的形状是等腰直角三角形．
，求：（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝2+
△ABC的面积．
问题解决：
（3）如图3，在四边形ABCD内有一点P，点P到顶点B的距离为10，∠ABC＝60°，
点M、N分别是AB、BC边上的动点，顺次连接P、M、N，使△PMN在周长最小的情况
下，面积最大，问：是否存在这种情况？若存在，请求出△PMN的面积的最大值；若不
存在，请说明理由．
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【分析】（1）如图，△OP1P2是等腰直角三角形．证明OP1＝OP2，∠P1OP2＝90°即可．
（2）如图2中，在AD上取一点E，使得AE＝EC，连接EC．证明∠DEC＝∠EAC+∠
ECA＝30°，设CD＝BD＝x，则EC＝EA＝2x，DE＝
题．
（3）不存在．首先证明MN是定值．由题意PM+PN≥MN，推出当点P落在AB或BC
上时，PM+PN＝MN＝定值，此时△PMN不存在．
【解答】解：（1）如图1中，△OP1P2是等腰直角三角形．
x，构建方程求出x即可解决问
理由：∵点P关于边OA、OB的对称点分别为P1，P2，
∴OP＝OP1＝OP2，∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，
∵∠AOB＝45°，
∴∠P1OP2＝2（∠AOP+∠BOP）＝90°，
∴△OP1P2是等腰直角三角形．
故答案为等腰直角．
（2）如图2中，在AD上取一点E，使得AE＝EC，连接EC．
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∵ AB＝ AC， AD⊥ BC，
∴∠ EAC＝ ∠ BAC＝ 15°，
∵ EA＝ EC，
∴∠ EAC＝∠ ECA＝ 15°，
∴∠ DEC＝∠ EAC+∠ ECA＝ 30°，设 CD＝ BD＝ x，则 EC＝ EA＝ 2x， DE＝
∵ AD＝ 2+
∴ 2x+
∴ x＝ 1，
∴ BC＝ 2CD＝ 2，
∴ S△ ABC＝ ?BC?AD＝ × 2×（ 2+ ）＝ 2+ ．
，
，
x，
x＝ 2+
（ 3）如图 3 中，不存在．
理由：∵点 P 关于 AB， BC 的对称点分别为 M， N，
∴ PB＝ BM＝ BN＝ 10，∠ PBA＝∠ ABM，∠ PBC＝∠ CBN，
∵∠ ABC＝ 60°，
∴∠ MBN＝ 2（∠ ABP+∠ PBC）＝ 120°，
∴△ BNM 是顶角为 120°，腰长为 10 的等腰三角形，
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∴MN为定值，
∵PM+PN≥MN，
∴当点P落在AB或BC上时，PM+PN＝MN＝定值，此时△PMN不存在，
∴△PMN的周长不存在最小值．
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