八年级数学下册《第一章三角形的证明》单元测试卷-带答案（北师大版）班级 姓名 学号 一、选择题1．若等腰三角形的顶角是40°，则它的底
角是（ ） A．40°B．70°C．80°D．100°2．如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝BF，若利用
“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（ ） A．EC＝FAB．DC＝BAC．∠D＝∠BD．∠DCE＝∠BAF3．A
、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离
相等，则活动中心P的位置应在（ ）A．AB中点B．BC中点C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点4．如图，已知BG是∠ABC的
平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝5，则DF的长度是（ ）A．3B．4C．5D．65．如图，在中，和的平分线交于
点，过点作交于，交于，若，则线段的长为( )A．B．C．D．6．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，．现将折叠，使点B与点A重
合，折痕为，则的长为（ ）A．B．C．D．7．下面命题不正确的是（ ）A．有两个锐角互余的三角形是直角三角形.B．如果三角形的
较短两边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形.C．如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角
形.D．如果三角形的三个内角之比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形8．在三角形ABC中，，DE垂直平分斜边AB，分别交AB，
BC于D，E.若，求（ ） A．120°B．130°C．140°D．150°9．如图，在中，已知，，的周长为，分别以A、B两点为
圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接与相交于点D，则的周长为（） A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，∠C＝9
0°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若CD＝3，BD＝5，则线段BE的长为（ ）A．2B．3C．4D．5二、填空题
11．如图，在△ABC中,AB=AC,BC=10,AD是∠BAC平分线，则BD= .12．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝3
，BC＝4，CD＝12，AD＝13，点E是AD的中点，则CE的长为 ．13．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交边于点，的周长等于
，则的长等于 ．14．如图，在锐角中，，，的平分线AD交BC于点D，点M，N分别是线段AD和AB上的两个动点，则的最小值是 ．三、
解答题15．已知锐角△ABC的两条高BE，CD相交于点O，且OB=OC.求证：△ABC是等腰三角形.16．如图，在四边形ABCD中
，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE平分∠DAB． 求证：CD+AB＝AD． 17．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E
.求证：.18．如图，在中，，平分，，点在上，且．求证：．四、综合题19．如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F 作
于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： （1）；（2）是等腰三角形20．如图，是矩形边上的两点，．（1）求证：；（2）若求
矩形的面积（结果保留根号）．21．如图，在中，，点在上运动，点在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接．（1）判
断与的位置关系，并说明理由；（2）若，，，求线段的长．22．如图，在△ABC 中，AB=7，BC=14，M为AC的中点，OM⊥AC
交 的平分线于O，OE⊥AB交BA的延长线于E，OF⊥BC．垂足为F． （1）求证：AE=CF．（2）求线段BE的长．参考答
案与解析1．【答案】B【解析】【解答】解：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为 ＝70°．故答案为：B
．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和，可以求出底角的度数。2．【答案】B【解析】【解答】解：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴
∠DEC＝∠BFA＝90°，∵DE＝BF，∴当添加条件DC＝BA时，可利用“HL”证明△DEC≌△BFA．故答案为：B．【分析】根
据“HL”的判定方法逐项进行判断，即斜边和一组直角边对应相等.3．【答案】A【解析】【解答】解：因为文化活动中心，要求这三个村庄到
活动中心的距离相等，所以点P是 三边垂直平分线的交点，因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，且 ，所以 是直
角三角形，则活动中心P的位置应在斜边AB的中点，故答案为：A.【分析】根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端
点的距离相等”可知：点P是△ABC三边垂直平分线的交点；根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，于是可得活动中心P的位置应在
斜边AB的中点.4．【答案】C【解析】【解答】解： ∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝5 ，∴D
F=DE=5；故答案为：C.【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等，据此解答即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：∵AN∥BC
，∴∠MEB=∠EBC，∠NEC=∠ECB.∵BE、CE分别为∠ABC\∠ACB的平分线，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB
，∴∠MEB=∠MBE，∠NEC=∠ECN，∴MB=ME，EN=CN.∵BM+CN=9，∴MN=ME+EN=BM+CN=9.故答案
为：D.【分析】由平行线的性质可得∠MEB=∠EBC，∠NEC=∠ECB，根据角平分线的概念可得∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠E
CB，进而推出MB=ME，EN=CN，然后根据MN=ME+EN=BM+CN进行计算.6．【答案】D【解析】【解答】解：∵将△ABC
折叠，使点B与点A重合，∴AD=BD.∵AC=6，BC=8，∴AB==10. 设CD=x，则BD=AD=8-x. 在Rt△ACD中
，由勾股定理可得AC2+CD2=AD2，∴62+x2=(8-x)2， 解得x=，∴AD=8-x=.∵AD=BD，DE⊥AB，∴AE
=BE=5，∴DE==. 故答案为：D. 【分析】由折叠可得AD=BD，利用勾股定理可得AB的值，设CD=x，则BD=AD=8-x
，在Rt△ACD中，由勾股定理可求出x的值，然后求出AD，由等腰三角形的性质可得AE=BE=5，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理
进行计算.7．【答案】D【解析】【解答】解：A.有两个锐角互余的三角形是直角三角形，此命题正确，故A不符合题意；B.如果三角形的较
短两边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，此命题正确，故B不符合题意；C.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半
，那么这个三角形是直角三角形，此命题正确，故C不符合题意；D.如果三角形的三个内角之比是，则该三角形的三个内角分别为：，，，三个角
都是锐角，因此这个三角形是锐角三角形，不是直角三角形，此命题错误，故D符合题意.故答案为：D.【分析】利用有两个角互余的三角形是直
角三角形，可对A作出判断；利用勾股定理的逆定理，可对B作出判断；如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
，可对C作出判断；利用三角形的内角和定理，可对D作出判断.8．【答案】A【解析】【解答】解：∵DE垂直平分斜边AB∴AE=BE，即
ABE为等腰三角形∴EAB=B∵CAB=B+30°∴CAE=CAB-B=30°∴EAB=B=30°在AEB中AEB=180°-（E
AB+B）=120°故答案为：A.【分析】考查线段的垂直平分线及等腰三角形性质，两边相等的三角形为等腰三角形结合三角形内角和为18
0°即可算出答案.9．【答案】A【解析】【解答】根据作图过程可得：DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴C△CBD=CB+CD+BD=
CB+CD+DA=CB+AC=14，∵BC=6，∴AC=14-6=8，∴AB=AC=8，∴C△ABC=AB+AC+BC=6+8+8
=22，故答案为：A.【分析】利用垂直平分线可得DA=DB，再利用的周长求出AC的长，最后利用三角形的周长公式求出的周长即可。10
．【答案】C【解析】【解答】解：∵DE⊥AB于E，CD=3，∵AD是角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴DE=DC=3，∵BD=
5，∴故答案为：C．【分析】由角平分线的性质可得DE=DC=3，再利用勾股定理求出BE的长即可.11．【答案】5【解析】【解答】解
：∵AB=AC，AD是∠BAC平分线，∴AD⊥BC，BD=CD= BC=5.故答案为：5.【分析】由等腰三角形三线合一的性质得出
AD⊥BC，BD=CD= BC=5.12．【答案】6.5【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°， ∵AB=3，BC=
4，∴，∵CD=12，AD=13，∴，∴△ACD是直角三角形，∵点E是AD的中点，∴CE=6.5.故答案为：6.5． 【分析】先求
出，可得△ACD是直角三角形，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得CE=6.5。13．【答案】10【解析】【解答】解：∵DE为线段
AB的垂直平分线，∴AE=BE.∵△BCE的周长为18cm，BC=8cm，∴BE+EC+BC=AE+CE+BC=AC+BC=18，
∴AC=10cm.故答案为：10.【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=BE，则△BCE的周长可转化为AC+BC=18，结合BC的
值就可求出AC.14．【答案】【解析】【解答】解：如图，作，垂足为H，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值．∵是的平分线，∴，
∴是点B到直线的最短距离（垂线段最短），∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴．∵的最小值是，故答案为：．【分析】根据角平分线先求出，再
求出是等腰直角三角形，最后计算求解即可。15．【答案】证明：∵OB=OC， ∴，∵锐角△ABC的两条高BE，CD相交于点O，∴，又
∵，∴，∴，∴△ABC是等腰三角形.【解析】【分析】由等边对等角可得∠OBC=∠OCB，由对顶角相等可得∠DOB=∠EOC，根据等
角的余角相等可得∠DBO=∠ECO，再根据角的构成和等式的性质可得∠ABC=∠ACB，然后由等腰三角形的判定可得 △ABC是等腰三
角形.16．【答案】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F， ∵∠B＝90°，AE平分∠DAB， ∴BE＝EF， 在Rt△EFA和Rt
△EBA中， ， ∴Rt△EFA和≌Rt△EBA（HL）．∴AF＝AB， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE＝EF， 在Rt△EFD
和Rt△ECD中， ， ∴Rt△EFD和≌Rt△ECD（HL）．∴DF＝CD， ∴CD+AB＝DF+AF＝AD， ∴CD+AB＝A
D． 【解析】【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线的性质可得BE＝EF，利用HL证明Rt△EFA≌Rt△EBA，得到AF＝
AB， 由中点的概念可得BE＝CE＝EF，利用HL证明Rt△EFD和≌Rt△ECD，得到DF＝CD，然后根据线段的和差关系进行证明
. 17．【答案】证明：如图，连接的垂直平分线分别交于点D，E，【解析】【分析】连接BE，由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，可
得∠ABE=∠A=30°，∠ABC=60°，从而求出∠EBC=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解
.18．【答案】证明：∵平分，，，∴，在和中，∵，∴，∴．【解析】【分析】先利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质可得。19．【
答案】（1）证明：∵AB=AC，D为BC边的中点， ∴，∵，∴；（2）证明：∵AB=AC，D为BC边的中点， ∴，∵∴，∴，∴，即
是等腰三角形．【解析】【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，进而根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行可得AD
∥FG；（2）由等腰三角形的三线合一得∠BAD=∠CAD，由平行线的性质可得∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，则∠F=∠FEA，
由等角对等边可得AE=AF，从而可得△AEF是等腰三角形.20．【答案】（1）解：证明：∵四边形是矩形， ∴，在和中，∴（），∴．
∴，即；（2）解：∵在中，，， ∴．∴，∴，∴矩形的面积为：．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和全等三角形的判定（HL）得到，
从而得到BF=CE，最后通过灯饰的性质得到BE=CF；（2）根据含的特殊直角三角形的性质得到AF的长，然后根据勾股定理得到BF的长
，最后根据矩形面积公式得到结果.21．【答案】（1）解：；理由如下：，，是的垂直平分线，，，，，，，；（2）解：连接，设，则，，，
，，解得：，则．【解析】【分析】（1）根据的等要三角形的性质得出，根据线段垂直平分线的性质，进而可得结论； （2）连接，设，则，，
根据勾股定理列方程解答即可。22．【答案】（1）解：连接OA ∵OB平分 ，又∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴OE=OF．∵OM⊥AC，M为AC中点，∴OM垂直平分AC，∴OA=OC，∴△AEO≌△CFO（HL），∴AE=CF．（2）解：∵OB平分 ∴又∵OE⊥AB，OF⊥BC∴又OB=OB∴△BEO≌△BFO（AAS），∴BE=BF．∵AB=7，BC=14，设AE=CF=x，∴x+7=14-x， ，∴BE=7+ ．【解析】【分析】（1）先求出 OE=OF ，再利用HL证明 △AEO≌△CFO ，最后证明求解即可；（2）先证明 △BEO≌△BFO ，再求出 x+7=14-x， 最后计算求解即可。第 1 页 共 18 页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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