八年级数学下知识点总结
函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确
定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，
这种表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫
做列表法。
（3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果y ? kx ?b（k，b是常数，k? 0），那么y叫做x的一次函数。特别地，当一
次函数y ? kx ?b中的b为0时，y ? kx（k为常数，k? 0）这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线。
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数y ? kx ?b的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数y ? kx的图像是经过原
点（0，0）的直线。（如下图）
4.正比例函数的性质
一般地，正比例函数y ? kx有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地，一次函数y ? kx ?b有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y ? kx（k? 0）中的常数k。确定一个
一次函数，需要确定一次函数定义式y ? kx ?b（k? 0）中的常数k和b。解这类问题的一
般方法是待定系数法。
k的符号 b的符号函数图像
y
0 x
y
0 x
y
0 x
y
0 x
图像特征
b>0图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。
k>0
b<0图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。
b>0 图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小
K<0
b<0 图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。
注：当0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
四边形
1．四边形的内角和与外角和定理：
（ 1）四边形的内角和等于 360°；
（ 2）四边形的外角和等于 360° .
2．多边形的内角和与外角和定理：
（ 1） n 边形的内角和等于 (2)180°；
（ 2）任意多边形的外角和等于 360° .
3．平行四边形的性质：
（ ）两组对边分别平行；? 1
?（
? 2）两组对边分别相等；?
因为是平行四边形 ?（ ? 3）两组对角分别相等；
? 4）对角线互相平分；（
?
?（? 5）邻角互补 .
D
O
C
A
D
B C
A 4
D
3
2
C
1
B
A B
4.平行四边形的判定：
（ 1）两组对边分别平行 ?
?（ 2）两组对边分别相等
??
（ 3）两组对角分别相等 ? ABCD是平行四边形 .
（ 4）一组对边平行且相等 ??
?（ 5）对角线互相平分 ?
D
O
C
A B
5.矩形的性质： D C
（ ）具有平行四边形的所 有通性 ;? 1
?因为是矩形 ?（ ? 2）四个角都是直角 ;
? 3）对角线相等 .（?
6. 矩形的判定：
O
A
D
B
C
A B
D C（ 1）平行四边形 ? 一个直角 ?
?（ 2）三个角都是直角 ??四边形是矩形 .
（ 3）对角线相等的平行四 边形 ??
O
A
D
B
C
A B
7．菱形的性质：
因为是菱形
D
（ ）具有平行四边形的所 有通性；? 1
??（ ? 2）四个边都相等；
? 3）对角线垂直且平分对 角 .（?
8．菱形的判定：
A O C
B
D
（ 1）平行四边形 ? 一组邻边等 ?
?（ 2）四个边都相等 ??四边形四边形是菱形 .
（ 3）对角线垂直的平行四 边形 ??
A O C
B9．正方形的性质：
因为是正方形
（ ）具有平行四边形的所 有通性；? 1
??（ ? 2）四个边都相等，四个 角都是直角；
? 3）对角线相等垂直且平 分对角 .（?
D C D C
O
（ 1）
10．正方形的判定：
A B A B （ 2） （ 3）
（ 1）平行四边形 ? 一组邻边等 ?一个直角 ?
?（ 2）菱形 ?一个直角 ??四边形是正方形 .
?（ 3） 矩形 ? 一组邻边等 ?
(3)∵是矩形 D C
又∵
∴四边形是正方形
A B
11．等腰梯形的性质：
? 1（ ） 两底平行，两腰相等；
?因为是等腰梯形 ?（ ? 2）同一底上的底角相等 ；
? 3）对角线相等 .（?
A
O
B C
D
12．等腰梯形的判定：
?
?（ 2）梯形 ?底角相等 ??四边形是等腰梯形
（ 3）梯形 ?对角线相等 ??
（ 1）梯形 ?两腰相等
DA (3)∵是梯形且∥
∵
O ∴四边形是等腰梯形
CB
14．三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且
等于它的一半 .
15．梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等
于两底和的一半 .
D
A
E
C
B D
E
C
F
BA
一 基本概念： 四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四
边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，
三角形中位线，梯形中位线 .
二 定理： 中心对称的有关定理
※ 1．关于中心对称的两个图形是全等形 .
※ 2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 .
※ 3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于
这一点对称 .
三 公式：
1 .（ a、 b 为菱形的对角线 为菱形的边长 ， h 为 c 边上的高）
2
2． S 平行四边形 . a 为平行四边形的边， h 为 a 上的高）
1． S 菱形
3． S 梯形 =
四 常识：
菱矩n(n ?3)方
形※ 1．若 n 是多边形的边数，则对角线条数公式是： .形形2
2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似” .平行四边形
3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系 .
4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯
形 …… ； 仅是中心对称图形的有： 平行四边形 …… ； 是双对称图形的有： 线段、 矩形、
菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意：线段有两条对称轴 .
正
1 （） .（ a、 b 为梯形的底， h 为梯形的高为梯形的中位线）
2
※ 5．梯形中常见的辅助线：
A D A D A D A D
中点
B E F C B
E
中点
B E C B C C F
E
A D A D
E
A D
F
A F D
E中点
B C E B C B
中点
C B G C
※
平移与旋转
旋转
1.旋转的 定义 ：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。
2.旋转的 性质 ：
旋转后得到的图形与原图形之间有：对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等。
中心对称
1.中心对称的 定义 ：
如果一个图形绕某一点旋转 180 度后能与另一个图形重合， 那么这两个图形叫做中心对称。
2.中心对称图形的 定义 ：
如果一个图形绕一点旋转 180 度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形。
3.中心对称的 性质 ：
在中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。
轴对称
1.轴对称的 定义 ：
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对
称图形，这条直线叫做对称轴。
2.轴对称图形的 性质 ：
①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
③等腰三角形的“三线合一” 。
3.轴对称的 性质 ：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段 /对应角相等。
图形变换
图形变换的 定义 ：图形的平移、旋转、和轴对称统称为图形变换。
一元二次方程
1、一元二次方程：
① 概念：只含有一个未知数，且可以化为 ax ?bx?c ? 0（ a 为常数，且 a ? 0）的整
式方程叫做一元二次方程。
2
ax2 ?bx?c ? 0 是一元二次方程的 一般形式 。其中， ax2 、 bx、 c分别叫做一元二次方程
的二次项、一次项、常数项； a 、 b 分别叫做一元二次方程的二次项、一次项的系数。
（ 强调 ：项和系数要包括前面的符号）
构成一元二次方程的 条件 ： （ 1）整式方程； （ 2）只含有一个未知数； （ 3）二次项系数不能为
0； （ 4）未知数的最高次数为 2.
② 注意事项：
（ 1）二次项系数 a ? 0是一般形式的重要组成部分。
（ 2）二次项、一次项和常数项都是在一般形式下定义的，判断各项系数时，必须先将方程
方程化为一般形式。
（ 3）任何一个一元二次方程均可经过整理（去括号、移项、合并同类项）均可化为一般形
式。
2、一元二次方程的解法
⑴直接开平方法解一元二次方程：
①如 x ? m(m ? 0) 的方程都可以用开平方的方法求出它的解， 这种解法叫做直接开平方法
②利用直接开平方法所解的一元二次方程的结构特点： 经过整理、 变形后得到等号左边是一
个完全平方式，右边是一个非负数；
③理解直接开平方法的理论依据是平方根的定义。
⑵用配方解一元二次方程：
①把一个二次三项式组成完全平方式的变形过程， 叫做配方， 用配方法求一元二次方程的解
的方法叫做配方法。
②配方法解一元二次方程是以配方为手段， 以直接开平方为基础的一种解一元二次方程的基
本方法。
③用配方法解一元二次方程的步骤：
㈠二次项系数化为 1：方程两边都除以二次项系数；
㈡移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
㈢配方：方成左右两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程左边变成一个完全平方式，
右边是一个常数；
㈣求解：如果右边常数是非负数，就用直接开平方法解一元二次方程。
2
⑶用公式法解一元二次方程：
?b? b2 ? 4ac
2(b ? 4ac ? 0) ，利用①方程 ax ?bx?c ? 0 (a ? 0)的求根公式： x ? 2a2
求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
②利用求根公式解一元二次方程的步骤：
㈠把方程整理为一般形式 ax ?bx?c ? 0 (a ? 0)，确定 a,b,c的值；
㈡计算 b ? 4ac 的值；
㈢当 b ? 4ac ? 0时，把 a,b和 b ? 4ac 的值代入求根公式计算，从而求出方程的解。
③求根公式专指一元二次方程的求根公式，只有确定方程是一元二次方程时，才可以使用
④公式法是解一元二次方程 ax ?bx?c ? 0 (a ? 0)的一般解法
⑷用因式分解法解一元二次方程
①利用因式分解的方法求出一元二次方程的解，这种解方程的方法叫因式分解法
②因式分解法的理论依据：两个因式的积等于 0，那么这两个因式中至少有一个等于零，即
A?B ? 0 ? A ? 0或 B ? 0。
③用因式分解法所解的一元二次方程的结构特点： 等号一边的代数式可以做因式分解， 另一
边为 0.
④利用因式分解法解一元二次方程的步骤：
㈠将方程的右边化为一；
㈡将方程的左边分解为两个一次因式乘积的形式；
㈢令两个因式分别为 0，得到两个一元一次方程；
㈣分别解两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
3、一元二次方程解法的顺序：
先特殊，后一般，先考虑是否用直接开平方法和因式分解法解，不能用这两种方法时， 再用
公式法和配方法。当二次项系数为一，一次项系数为偶数时，用配方法方便。
4、根的判别式
把 b ? 4ac 叫做一元二次根的判别式，记作 △ =b ? 4ac ， ax ?bx?c ?? 0 (a ? 0)，
若方程有两个不相等的实数根 ? △＞ 0；
有两个相等的实数根△ =0
没有实数根△＜ 0
有两个实数根△ ? 0（此时两根可能等，也可能不等） 。
5、一元二次方程的应用
列方程解应用题，应透彻理解题意，寻找等量关系。
列方程时，要注意列出的方程必须满足以下三个条件：
⑴方程左右两边表示同类量；
⑵方程左右两边的同类量的单位一样；
⑶方程两边的数值相等。
※ 增长率问题公式
2 2 2
2
2 2
2
2
增长后的数 =基数（ 1+增长率） n （ n 指增长的次数）
降低后的数 =基数（ 1-增长率） n （ n 指降低的次数）
※ 长方体、正方体体积公式
V
长方体
? 长 ?宽 ?高
3V
正方体
?（边长）
※ 根据题的实际意义对方程的根进行取舍。
方差与频数分布
知识框架图
数 极差
据
的 方差 用计算器计算
波 标准差 比较事物的有关性质
动
方 用样本估计总体的有关特征
差 频数
与 数 频率
频 据
数 的
分 分 频数分布表
布 布
频数分布图
数据的波动
一、极差
1、一组数据中的最大值减去最小值所得的差，叫做这组数据的极差；
2、极差 =数据中的最大值—数据中的最小值。
二、方差
1、 在一组数据 x1, x2, , x3 ,? , xn 中， 各数据与他们的平均数 x 的差的平方的平均数， 叫做这
组数据的方差，常用 s 来表示，即： s ?
2、方差的三种公式：
2
1 [(x
1
? x)2 ? (x
2
? x)2 ?? ? (x
n
? x)2 ];n
1 2 2 2
2 2化简公式： s ? [(x
1
? x
2
?? x
n
) ?nx ]n
1 2 2 2
2 2化简公式的变形公式： s ? (x
1
? x
2
?? x
n
) ? x n
基本公式： s ?2
23、设化简后的新数据组 x
1
,x
2
,? x
n 的方差为
s'' , 设 x
1
, x
2,
, x
3
,? , x
n 的方差为
s （其中
2
1 [(x
1
? x)2 ? (x
2
? x)2 ?? ? (x
n
? x)2 ];n
'' '' '' 2
'' '' 2，则 s ? s ； x
i
? x
i
? a,i ?1,2,? n,a为常数 ） 2
4、方差的作用：用于表述一组数据波动的大小，方差越小，该数据波动越小，越稳定。
三、标准差
1、方差的算数平方根 ? 叫做这组数据的标准差，即：
? ? 1 ?x
1
? x?2 ??x
2
? x?2 ?? ?x
n
? x?2 ； n? ?
2、标准差用于描述一组数据波动的大小；
3、标准差的单位与原数据的单位相同。
四、方差与标准差的关系
1、 ? ? s2 ；
22、 ? 与 s 的作用相同、单位不同。
五、频数分布与频数分布图
1、数据的分组整理
组限、组距和组数：
把一套数据分成若干个小组， 累计各小组的数据个数。 期中每个分数段是一个 “组
区间” ，分数段两端的数值是“组限” ，分数段的最大值与最小值的差是“组距” ，
分数段的个数是组数” .
2、频数、频率与频数分布表、频数分布图
①每个小组的数据的个称为这组数据的频数；
②频率：每个小组的频数与数据总个数的比值称为这组的频率；
③频率的计算公式：
每组的频率 =这组的频数 /数据的总个数
④各小组的频数之和等于数据总数；各小组的频数之和等于 1.
|
|
