0 4 有 理 数 的 乘 除
· 模 块 一 有 理 数 的 乘 法
· 模 块 二 有 理 数 的 乘 法 运 算 律
· 模 块 三 有 理 数 的 除 法
· 模 块 四 有 理 数 的 加 减 乘 除 混 合 运 算
· 模 块 五 课 后 作 业
有 理 数 的 乘 法 法 则 ：
（ 1 ） 两 数 相 乘 ， 同 号 得 正 ， 异 号 得 负 ， 并 把 绝 对 值 相 乘 ；
（ 2 ） 任 何 数 与 零 相 乘 都 得 零 ；
（ 3 ） 几 个 因 式 都 不 为 零 ， 积 的 符 号 由 负 因 式 的 个 数 决 定 . 奇 数 个 负 数 为 负 ， 偶 数 个 负 数 为 正 .
【 考 点 1 有 理 数 的 乘 法 法 则 】
1
【 例 1 . 1 】 计 算 ? 2 × ? 的 结 果 是 （ ）
3
1 2 2
2 ?
A ． B ． C ． D ． 6
3 3 3
【 答 案 】 B
【 分 析 】 直 接 根 据 负 数 乘 以 负 数 的 运 算 法 则 计 算 即 可 ．
1 1 2
【 详 解 】 ? 2 × ? = 2 × = ，
3 3 3
故 选 ： B ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 负 数 乘 以 负 数 ， 熟 练 掌 握 其 运 算 法 则 是 解 题 的 关 键 ．
【 例 1 . 2 】 若 ? ? > 0 ， 则 必 有 （ ）
A ． ? > 0 ， ? > 0 B ． ? < 0 ， ? < 0
C ． ? > 0 ， ? < 0 D ． ? > 0 ， ? > 0 或 者 ? < 0 ， ? < 0
【 答 案 】 D
【 分 析 】 根 据 有 理 数 的 乘 法 法 则 求 解 即 可 ．
第 1 页（共 2 4 页）【 详 解 】 解 ： ∵ ? ? > 0 ，
∴a 与 b 同 号 ，
∴ ? > 0 ， ? > 0 或 者 ? < 0 ， ? < 0 ，
故 选 D ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 有 理 数 乘 法 法 则 ， 解 题 的 关 键 是 掌 握 ： 两 数 相 乘 ， 同 号 得 正 ， 异 号 得 负 ．
【 例 1 . 3 】 已 知 m 的 相 反 数 是 2 ，n 的 绝 对 值 是 8 ， ? + ? > 0 ， 求 ? ? 的 值 ．
【 答 案 】 ? ? = ? 1 6
【 分 析 】 由 绝 对 值 ， 相 反 数 的 概 念 即 可 计 算 ．
【 详 解 】 解 ： ∵m 的 相 反 数 是 2 ，
∴ ? = ? 2 ，
∵ | ? | = 8 ，
∴ ? = ± 8 ，
∵ ? + ? > 0 ，
∴ ? = 8 ，
∴ ? ? = ? 1 6 ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 绝 对 值 ， 相 反 数 的 概 念 ， 有 理 数 的 加 法 和 乘 法 运 算 ， 关 键 是 掌 握 ： 绝 对 值 等 于 一 个 正 数 的
数 有 两 个 ， 它 们 互 为 相 反 数 ； 只 有 符 号 不 同 的 两 个 数 叫 做 互 为 相 反 数 ．
3
【 变 式 1 . 1 】 3 吨 4 0 千 克 = ( ) 吨 小 时 = ( ) 分 钟 ．
4
【 答 案 】 3 . 0 4 4 5
【 分 析 】 前 面 是 质 量 的 单 位 换 算 ， 由 复 名 数 化 单 名 数 ， 把 4 0 千 克 除 以 进 率 1 0 0 0 化 成 0 . 0 4 吨 ， 再 与 3 吨 相 加 ． 后
面 是 时 间 的 单 位 换 算 ， 由 高 级 单 位 小 时 化 低 级 单 位 分 钟 ， 乘 进 率 6 0 ．
【 详 解 】 3 吨 4 0 千 克 = 3 . 0 4 吨 ；
3
小 时 = 4 5 分 钟 ；
4
故 答 案 为 ： 3 . 0 4 ， 4 5 ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 质 量 的 单 位 换 算 、 时 间 的 单 位 换 算 ， 注 意 单 位 间 的 进 率 ， 分 数 的 单 位 换 算 比 较 容 易 出 错 ．
【 变 式 1 . 2 】 计 算 ：
7 1 6 2 2
? + 1 ? 2
( 1 ) × ； ( 2 ) × ．
8 2 1 3 5
2
【 答 案 】 ( 1 ) ?
3
( 2 ) ? 4
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 有 理 数 的 乘 法 法 则 计 算 即 可 ；
（ 2 ） 根 据 有 理 数 的 乘 法 法 则 计 算 即 可 ．
7 1 6 2
【 详 解 】 （ 1 ） ? × = ? ；
8 2 1 3
第 2 页（共 2 4 页）2 2 5 1 2
（ 2 ） + 1 × ? 2 = ? × = ? 4 ；
3 5 3 5
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 有 理 数 的 乘 法 ， ， 熟 记 运 算 法 则 是 解 题 的 关 键 ．
【 变 式 1 . 3 】 若 ? ? ? = ? + ? ， 试 求 ? ? 应 满 足 的 关 系 是 （ ）
A ． ? ? < 0 B ． ? ? > 0 C ． ? ? ≤ 0 D ． ? ? ≥ 0
【 答 案 】 C
【 分 析 】 根 据 绝 对 值 都 是 非 负 数 ， 再 由 ? ? ? = ? + ? ， 可 得 ? 、 ? 为 异 号 ， 或 ? 、 ? 有 一 个 为 0 ， 或 同 时 为
? ? ≤ 0 ? ? ? = ? + ?
0 ， 即 当 时 ， 成 立 ．
【 详 解 】 ∵ ? ? ? = ? + ? ，
∴ ? 、 ? 为 异 号 ， 或 ? 、 ? 有 一 个 为 0 ， 或 同 时 为 0 ， 即 当 ? ? ≤ 0 时 ， ? ? ? = ? + ? 成 立
故 选 ： C ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 绝 对 值 的 性 质 ， 解 题 的 关 键 是 掌 握 绝 对 值 具 有 非 负 性 ， 进 而 分 析 即 可 ．
【 考 点 2 倒 数 】
【 例 2 . 1 】 ? 2 0 2 3 的 倒 数 是 （ ）
1 1
A ． ? 2 0 2 3 B ． 2 0 2 3 C ． D ． ?
2 0 2 3 2 0 2 3
【 答 案 】 D
【 分 析 】 直 接 利 用 倒 数 的 定 义 ， 即 若 两 个 不 为 零 的 数 的 积 为 1 ， 则 这 两 个 数 互 为 倒 数 ， 即 可 求 解 ．
1
【 详 解 】 解 ： ? 2 0 2 3 的 倒 数 是 ? ，
2 0 2 3
故 选 ： D ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 倒 数 的 定 义 ， 熟 练 掌 握 和 运 用 倒 数 的 求 法 是 解 决 本 题 的 关 键 ．
【 例 2 . 2 】 下 列 说 法 中 正 确 的 是 （ ）
A ． 两 个 正 数 互 为 倒 数 ， 其 中 一 个 数 必 大 于 1
1
B ． 数 ? 的 倒 数 是
?
C ． 如 果 一 个 数 的 倒 数 是 它 本 身 ， 那 么 这 个 数 一 定 是 1
D ． 如 果 两 个 数 互 为 倒 数 ， 那 么 它 们 的 积 一 定 是 1
【 答 案 】 D
【 分 析 】 根 据 倒 数 的 定 义 ， 性 质 分 别 判 断 ．
【 详 解 】 解 ： A 、 1 的 倒 数 是 1 ， 故 原 说 法 错 误 ；
B 、 若 ? = 0 ， 则 a 无 倒 数 ， 故 原 说 法 错 误 ；
C 、 如 果 一 个 数 的 倒 数 是 它 本 身 ， 那 么 这 个 数 是 1 或 ? 1 ， 故 原 说 法 错 误 ；
D 、 如 果 两 个 数 互 为 倒 数 ， 那 么 它 们 的 积 一 定 是 1 ， 原 说 法 正 确 ；
故 选 ： D ．
【 点 睛 】 此 题 考 查 了 倒 数 的 定 义 及 性 质 ， 正 确 理 解 倒 数 的 定 义 及 性 质 是 解 题 的 关 键 ．
第 3 页（共 2 4 页）【 例 2 . 3 】 数 ? 的 相 反 数 为 ? 2 0 2 2 的 倒 数 ， 则 ? 的 值 为 （ ）
1
A ． 2 0 2 2 B ． ? 2 0 2 2 C ． ± 2 0 2 2 D ．
2 0 2 2
【 答 案 】 D
? 2 0 2 2
【 分 析 】 先 求 出 的 倒 数 ， 再 求 出 倒 数 的 相 反 数 ， 可 得 a 值 ．
1
【 详 解 】 解 ： ? 2 0 2 2 的 倒 数 为 ? ，
2 0 2 2
1 1
∴ ? 的 相 反 数 为 a ， 即 为 ，
2 0 2 2 2 0 2 2
故 选 D ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 相 反 数 和 倒 数 ， 解 题 的 关 键 是 掌 握 各 自 的 定 义 和 求 法 ．
【 变 式 2 . 1 】 绝 对 值 等 于 本 身 的 数 是 _ _ _ _ _ _ ， 倒 数 等 于 它 本 身 的 数 是 _ _ _ _ _ _ ．
【 答 案 】 0 和 正 数 ± 1
【 分 析 】 根 据 绝 对 值 的 性 质 可 知 ， 0 和 正 数 的 绝 对 值 等 于 本 身 ； 根 据 倒 数 的 定 义 可 知 ， 1 和 ? 1 的 倒 数 等 于 它
本 身 ．
【 详 解 】 解 ： 绝 对 值 等 于 本 身 的 数 是 0 和 正 数 ， 倒 数 等 于 它 本 身 的 数 是 1 和 ? 1 ．
故 答 案 为 ： 0 和 正 数 ， ± 1 ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 绝 对 值 和 倒 数 ， 解 题 的 关 键 是 掌 握 绝 对 值 和 倒 数 的 概 念 ． 牢 记 0 和 正 数 的 绝 对 值 等 于 本 身 ，
负 数 的 绝 对 值 等 于 它 的 相 反 数 ， 1 和 ? 1 的 倒 数 等 于 它 本 身 ．
【 变 式 2 . 2 】 ? 2 的 倒 数 的 相 反 数 是 ( )
1 1
A ． ± 2 B ． ? C ． 2 D ．
2 2
【 答 案 】 D
【 分 析 】 根 据 倒 数 的 定 义 以 及 相 反 数 的 定 义 解 答 即 可 ． 只 有 符 号 不 同 的 两 个 数 互 为 相 反 数 ， 乘 积 为 1 的 两 个
数 互 为 倒 数 ．
1
? 2 ?
【 详 解 】 解 ： 的 倒 数 是 ，
2
1 1
? 的 相 反 数 是 ．
2 2
1
∴ ? 2 的 倒 数 的 相 反 数 是 ．
2
故 选 ： D ．
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 了 倒 数 以 及 相 反 数 ， 熟 记 相 关 定 义 是 解 答 本 题 的 关 键 ．
1 1
【 变 式 2 . 3 】 与 ? ? 互 为 倒 数 的 是 （ ）
6 5
1 1
A ． ? × 5 B ． 6 × 5 C ． × 5 D ． ? 6 × 5
6 6
【 答 案 】 B
【 分 析 】 根 据 互 为 倒 数 的 两 数 之 积 为 1 ， 进 行 判 断 即 可 ．
1 1 1
【 详 解 】 解 ： ? ? = ，
6 5 3 0
第 4 页（共 2 4 页）1 1
∴ ? ? 的 倒 数 为 ： 3 0 ；
6 5
1 5
A 、 ? × 5 = ? ≠ 3 0 ， 不 符 合 题 意 ；
6 6
B 、 6 × 5 = 3 0 ， 符 合 题 意 ；
1 5
× 5 = ≠ 3 0
C 、 ， 不 符 合 题 意 ；
6 6
D 、 ? 6 × 5 = ? 3 0 ≠ 3 0 ， 不 符 合 题 意 ；
故 选 B ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 有 理 数 的 运 算 ， 倒 数 ． 熟 练 掌 握 互 为 倒 数 的 两 数 之 积 为 1 ， 是 解 题 的 关 键 ．
5
【 变 式 2 . 4 】 给 出 6 个 数 ： ， - 4 ， | - 4 | ， 0 ， 1 . 2 ， - （ - 2 . 5 ） ， 在 这 些 数 中
6
( 1 ) 互 为 倒 数 的 一 组 数 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； 正 数 有 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
( 2 ) 在 下 面 数 轴 上 将 这 些 数 表 示 出 来 ．
5 5
【 答 案 】 ( 1 ) 和 1 . 2 ； ， | - 4 | ， 1 . 2 ， - （ - 2 . 5 ）
6 6
( 2 ) 见 解 析
【 分 析 】 （ 1 ） 利 用 倒 数 ， 正 数 的 定 义 即 可 求 解 ；
（ 2 ） 在 数 轴 上 表 示 各 数 的 位 置 即 可 求 解 ．
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： ∵ | - 4 | = 4 ， - （ - 2 . 5 ） = 2 . 5 ，
5 5
∴ 互 为 倒 数 的 一 组 数 是 和 1 . 2 ； 正 数 有 ， | - 4 | ， 1 . 2 ， - （ - 2 . 5 ） ．
6 6
5 5
故 答 案 为 ： 和 1 . 2 ； 正 数 有 ， | - 4 | ， 1 . 2 ， - （ - 2 . 5 ） ；
6 6
（ 2 ） 解 ： 如 图 所 示 ：
【 点 睛 】 此 题 考 查 了 数 轴 ， 正 数 和 负 数 ， 以 及 倒 数 ， 熟 练 掌 握 各 自 的 性 质 是 解 本 题 的 关 键 ．
第 5 页（共 2 4 页）有 理 数 的 乘 法 运 算 律 :
（ 1 ） 乘 法 的 交 换 律 ： a b = b a ；
( a b ) c = a ( b c )
（ 2 ） 乘 法 的 结 合 律 ： ；
（ 3 ） 乘 法 的 分 配 律 ： a ( b + c ) = a b c + b c .
【 考 点 1 多 个 有 理 数 相 乘 】
【 例 1 . 1 】 下 列 各 式 中 ， 计 算 结 果 为 负 数 的 是 （ ）
A ． ( ? 3 ) × ( ? 4 ) × 6 . 2 B ． | ? 3 | × | ? 4 | × ( ? 5 . 5 ) × ( ? 3 )
C ． ( ? 1 3 ) × ( ? 4 0 ) × ( ? 9 9 . 8 ) D ． ( ? 1 5 ) × | ? 8 7 | × 0
【 答 案 】 C
【 分 析 】 根 据 两 个 以 上 有 理 数 相 乘 ， 积 的 符 号 由 负 因 数 的 个 数 确 定 ， 负 因 数 个 数 为 偶 数 时 ， 积 为 正 ， 负 因 数
个 数 为 奇 数 时 ， 积 为 负 ． 任 何 数 与 0 的 积 为 0 ．
? 3 × ? 4 × 6 . 2
【 详 解 】 A 选 项 ： 中 负 因 数 个 数 为 2 ， 积 为 正 ， 不 符 合 题 意 ，
B 选 项 ： ? 3 × ? 4 × ? 5 . 5 × ? 3 中 负 因 数 个 数 为 2 ， 积 为 正 ， 不 符 合 题 意 ，
C 选 项 ： ? 1 3 × ? 4 0 × ? 9 9 . 8 中 负 因 数 个 数 为 3 ， 积 为 负 ， 符 合 题 意 ，
D 选 项 ： ? 1 5 × ? 8 7 × 0 = 0 ， 不 符 合 题 意 ，
故 选 C ．
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 有 理 数 的 乘 法 的 符 号 规 律 ， 解 决 本 题 的 关 键 是 要 熟 练 掌 握 有 理 数 乘 法 法 则 ．
【 例 1 . 2 】 若 ? ? ? = 0 ， 则 下 列 选 项 正 确 的 是 （ ）
A ．a ，b ，c 没 有 一 个 为 0 B ．a ，b ，c 只 有 一 个 为 0
C ．a ，b ，c 至 少 一 个 为 0 D ．a ，b ，c 三 个 都 为 0
【 答 案 】 C
【 分 析 】 根 据 任 何 数 同 零 相 乘 ， 都 得 0 ， 依 此 即 可 求 解 ．
【 详 解 】 解 ： 根 据 任 何 数 同 零 相 乘 ， 都 得 0 ，
? ? ? = 0
若 ， 则 a ，b ，c 至 少 有 一 个 为 0 ，
故 选 ： C ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 根 据 任 何 数 同 零 相 乘 ， 都 得 零 ， 正 确 理 解 题 意 是 解 题 的 关 键 ．
【 例 1 . 3 】 ( ? 5 ) × 8 × ( ? 7 ) × ( ? 0 . 2 5 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【 答 案 】 ? 7 0
第 6 页（共 2 4 页）【 分 析 】 依 据 有 理 数 的 乘 法 法 则 ， 先 确 定 结 果 的 符 号 ， 把 小 数 化 成 分 数 ， 然 后 利 用 乘 法 交 换 率 和 结 合 律 进 行
简 便 计 算 即 可 ．
【 详 解 】 解 ： ( ? 5 ) × 8 × ( ? 7 ) × ( ? 0 . 2 5 )
1
= ? 5 × 8 × 7 ×
4
1
= ? 5 × 7 × 8 ×
4
= ? 3 5 × 2
= ? 7 0 ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 多 个 有 理 数 的 连 乘 运 算 ； 熟 练 掌 握 有 理 数 的 乘 法 运 算 法 则 、 正 确 计 算 是 解 题 的 关 键 ．
1 7 3 ?
【 变 式 1 . 1 】 ? × 3 . 1 4 × ? × 9 9 . 9 9 × ( ? 6 5 8 . 2 ) × 的 结 果 的 符 号 为 _ _ _ _ _ _ _ ．
5 5 3
【 答 案 】 负
【 分 析 】 根 据 有 理 数 乘 法 的 运 算 法 则 ， 即 可 判 定 结 果 的 符 号 ．
1 7 3 ?
【 详 解 】 解 ： ? × 3 . 1 4 × ? × 9 9 . 9 9 × ( ? 6 5 8 . 2 ) × 中 负 因 数 的 个 数 为 3 ， 为 奇 数 ，
5 5 3
所 以 结 果 为 负 ；
故 答 案 为 负 ．
【 点 睛 】 此 题 考 查 了 有 理 数 乘 法 的 运 算 法 则 ， 掌 握 有 理 数 乘 法 的 运 算 法 则 是 解 题 的 关 键 ．
【 变 式 1 . 2 】 计 算 ：
3 4 7 5 1
× ? × × ( ? 4 ) × × ( ? 2 5 ) × ( ? 6 )
( 1 ) ( 2 )
7 5 1 2 8 3
1
【 答 案 】 ( 1 ) ? ( 2 ) ? 2 0 0
8
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 乘 法 交 换 律 和 结 合 律 简 便 计 算 即 可 求 解 ．
（ 2 ） 根 据 有 理 数 的 乘 法 运 算 法 则 进 行 计 算 即 可 得 解 ．
3 4 7 5
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： × ( ? ) × ×
7 5 1 2 8
3 7 4 5
= ( × ) × ( ? × )
7 1 2 5 8
1 1
= × ( ? )
4 2
1
= ? ．
8
1
（ 2 ） 解 ： ( ? 4 ) × × ( ? 2 5 ) × ( ? 6 )
3
1
= ? 4 × 2 5 × × 6
3
= ? 1 0 0 × 2
= ? 2 0 0 ．
【 点 睛 】 此 题 考 查 了 有 理 数 乘 法 计 算 法 则 ： 分 子 相 乘 作 积 的 分 子 ， 分 母 相 乘 作 积 的 分 母 ， 并 化 为 最 简 分 数 ，
熟 练 掌 握 乘 法 计 算 法 则 是 解 题 的 关 键 ．
第 7 页（共 2 4 页）【 考 点 2 有 理 数 的 乘 法 运 算 律 】
3 3 3
【 例 2 . 1 】 在 算 式 1 . 2 5 × ? × （ － 8 ） ＝ 1 . 2 5 × （ － 8 ） × ? ＝ [ 1 . 2 5 × （ － 8 ） ] × ? 中 ， 应 用 了 （ ）
4 4 4
A ． 分 配 律 B ． 分 配 律 和 乘 法 结 合 律
C ． 乘 法 交 换 律 和 乘 法 结 合 律 D ． 乘 法 交 换 律 和 分 配 律
【 答 案 】 C
【 分 析 】 本 题 利 用 运 算 法 则 中 分 配 律 、 交 换 律 以 及 结 合 律 的 定 义 解 题 即 可 ．
3 3
【 详 解 】 由 1 . 2 5 × ( ? ) × ( ? 8 ) 到 1 . 2 5 × ( ? 8 ) × ( ? ) ， 利 用 了 乘 法 的 交 换 律 ；
4 4
3 3
由 1 . 2 5 × ( ? 8 ) × ( ? ) 到 1 . 2 5 × ( ? 8 ) × ( ? ) ， 利 用 了 乘 法 的 结 合 律 ；
4 4
综 上 ： 本 题 运 用 了 乘 法 交 换 律 以 及 乘 法 结 合 律 ．
故 选 ： C ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 乘 法 分 配 律 、 交 换 律 、 结 合 律 的 定 义 ， 解 题 时 按 照 对 应 定 义 求 解 即 可 ．
1
【 例 2 . 2 】 利 用 分 配 律 计 算 ? 2 × 3 时 ， 正 确 的 方 案 可 以 是 （ ）
3
1 1 1 2
A ． ? 2 + × 3 B ． ? 2 + × 3 C ． 2 ? × 3 D ． ? 3 ? × 3
3 3 3 3
【 答 案 】 B
【 分 析 】 把 带 分 数 化 成 假 分 数 即 可 得 到 答 案 ．
1 1 1
? 2 × 3 = ? 2 ? × 3 = ? 2 + × 3
【 详 解 】 解 ： ，
3 3 3
故 选 B ．
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 了 有 理 数 乘 法 分 配 律 ， 正 确 把 带 分 数 化 成 假 分 数 是 解 题 的 关 键 ．
1 5
【 例 2 . 3 】 ? 4 9 × ? 8
1 6
1
【 答 案 】 3 9 4
2
【 分 析 】 首 先 把 带 分 数 化 为 整 数 与 真 分 数 的 和 ， 再 根 据 乘 法 分 配 律 进 行 运 算 ， 即 可 求 解 ．
1 5
【 详 解 】 解 ： ? 4 9 × ? 8
1 6
1 5
= ? 4 9 ? × ? 8
1 6
5
= 3 9 2 +
2
1
= 3 9 4 ．
2
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 有 理 数 运 算 的 运 算 律 ， 熟 练 掌 握 和 运 用 有 理 数 运 算 的 运 算 律 是 解 决 本 题 的 关 键 ．
【 变 式 2 . 1 】 用 简 便 方 法 计 算 ： ? 3 . 1 4 × 3 5 . 2 + 6 . 2 8 × ? 2 3 . 3 ? 1 . 5 7 × 3 6 . 4 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
? 3 1 4
【 答 案 】
【 分 析 】 根 据 乘 法 分 配 律 ， 可 得 答 案 ．
【 详 解 】 解 ： 原 式 = ? 3 . 1 4 × 3 5 . 2 + 3 . 1 4 × ? 4 6 . 6 ? 3 . 1 4 × 1 8 . 2
第 8 页（共 2 4 页）= ? 3 . 1 4 × 3 5 . 2 + 4 6 . 6 + 1 8 . 2
= ? 3 . 1 4 × 1 0 0
= ? 3 1 4
故 答 案 为 ： ? 3 1 4 ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 有 理 数 的 乘 法 ， 把 式 子 转 化 成 乘 法 分 配 律 的 形 式 是 解 题 关 键 ．
3 1 1 3 1 3 3 1 4
? ? ? ? + ?
【 变 式 2 . 2 】 化 繁 为 简 是 数 学 常 用 的 思 想 方 法 ． 用 简 便 方 法 计 算 × × × 时 ，
2 1 5 2 1 5 2 1 5
常 用 运 算 律 对 题 目 做 变 形 ， 使 运 算 量 减 小 ， 达 到 简 化 运 算 的 目 的 ， 请 你 在 横 线 上 补 充 完 整 ：
3 1 1 1 3
原 式 = ? × ? + ? + _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ ．
2 1 5 1 5
1 4
【 答 案 】 1
1 5
3 3 1 1 1 3 1 4 1 4
【 分 析 】 根 据 所 给 式 子 ， 提 公 因 式 ? 得 到 ? × ? + ? + ， 故 第 一 个 空 填 ； 从 而 根 据 同 分 母
2 2 1 5 1 5 1 5 1 5
3 1 0 3 2
分 数 加 减 运 算 计 算 括 号 里 的 式 子 得 到 ? × ? = × = 1 ， 故 第 二 个 空 填 1 ， 从 而 得 到 答 案 ．
2 1 5 2 3
3 1 1 3 1 3 3 1 4
【 详 解 】 解 ： 由 题 意 知 ? × ? ? × ? + × ?
2 1 5 2 1 5 2 1 5
3 1 1 1 3 1 4
= ? × ? + ? +
2 1 5 1 5 1 5
3 1 0
= ? × ?
2 1 5
3 2
= ×
2 3
= 1 ，
1 4
故 答 案 为 ： ； 1 ．
1 5
【 点 睛 】 本 题 考 查 利 用 乘 法 分 配 律 对 题 目 恒 等 变 形 ， 使 运 算 量 减 小 ， 达 到 简 化 运 算 的 目 的 ， 读 懂 题 意 ， 掌 握
同 分 母 分 数 加 减 运 算 法 则 及 分 数 乘 法 运 算 法 则 是 解 决 问 题 的 关 键 ．
【 变 式 2 . 3 】 利 用 运 算 律 做 较 简 便 的 计 算 ：
3 8 1 1 3 1
? 3 . 5 × ? × ? ? ? + ? × ? 4 8
( 1 ) ； ( 2 ) ；
4 7 1 2 3 6 4 6
7 . 3 0 7 × ? 1 4 + 7 . 3 0 7 × ? 1 0 + 7 . 3 0 7 × + 2 4
( 3 ) ．
6 8
【 答 案 】 ( 1 ) ? 3 ( 2 ) ? ( 3 ) 0
3
【 分 析 】 （ 1 ） 将 小 数 化 为 分 数 ， 再 利 用 乘 法 结 合 律 计 算 ；
（ 2 ） 利 用 乘 法 分 配 律 展 开 计 算 ；
（ 3 ） 利 用 乘 法 分 配 律 合 并 计 算 ．
3 8
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： ? 3 . 5 × ? × ?
4 7
7 3 8
= ? × ? × ?
2 4 7
第 9 页（共 2 4 页）3 7 8
= ? × ×
4 2 7
= ? 3 ；
1 1 3 1
（ 2 ） ? ? + ? × ? 4 8
1 2 3 6 4 6
1 1 3 1
= + ? + × 4 8
1 2 3 6 4 6
1 1 3 1
= × 4 8 + × 4 8 ? × 4 8 + × 4 8
1 2 3 6 4 6
4
= 4 + ? 3 6 + 8
3
6 8
= ? ；
3
（ 3 ） 7 . 3 0 7 × ? 1 4 + 7 . 3 0 7 × ? 1 0 + 7 . 3 0 7 × + 2 4
= 7 . 3 0 7 × ? 1 4 ? 1 0 + 2 4
= 7 . 3 0 7 × 0
= 0
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 了 乘 法 运 算 律 ， 解 答 的 关 键 是 掌 握 乘 法 结 合 律 和 分 配 律 ．
第 1 0 页（共 2 4 页）有 理 数 的 除 法 法 则 :
（ 1 ） 除 以 一 个 不 等 于 0 的 数 ， 等 于 乘 这 个 数 的 倒 数 ；
（ 2 ） 两 数 相 除 ， 同 号 得 正 ， 异 号 得 负 ， 并 把 绝 对 值 相 除 ；
（ 3 ） 0 除 以 任 何 一 个 不 等 于 0 的 数 ， 都 得 0 .
【 考 点 1 有 理 数 的 除 法 法 则 】
4 5
【 例 1 . 1 】 把 ? ÷ ? 转 化 为 乘 法 是 （ ） ．
3 4
5 4 4 4 4 4 5
A ． B ． ? × ? C ． ? × D ． ? × ?
3 3 5 3 5 3 4
【 答 案 】 B
【 分 析 】 根 据 有 理 数 的 除 法 运 算 可 进 行 求 解 ．
4 5 4 4
【 详 解 】 解 ： ? ÷ ? = ? × ? ，
3 4 3 5
故 选 B ．
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 有 理 数 的 除 法 运 算 ， 熟 练 掌 握 有 理 数 的 除 法 运 算 法 则 是 解 题 的 关 键 ．
【 例 1 . 2 】 两 个 互 为 相 反 数 的 有 理 数 相 除 ， 商 为 （ ）
A ． 正 数 B ． 负 数 C ． 不 存 在 D ． 负 数 或 不 存 在
【 答 案 】 D
【 分 析 】 分 这 个 数 是 0 和 不 是 0 两 种 情 况 ， 根 据 有 理 数 的 除 法 运 算 法 则 计 算 即 可 ．
【 详 解 】 ① 若 这 个 数 是 0 ， 则 它 的 相 反 数 也 是 0 ，
∵ 0 作 除 数 无 意 义 ，
∴ 这 两 个 数 的 商 不 存 在 ；
② 若 这 个 数 不 是 0 ， 则 这 个 数 与 它 的 相 反 数 绝 对 值 相 等 ，
所 以 ， 这 两 个 数 的 商 为 ? 1 ， 是 负 数 ；
综 上 所 述 ， 商 为 负 数 或 不 存 在 ．
故 选 : D ．
【 点 睛 】 考 查 了 有 理 数 的 除 法 ， 相 反 数 的 定 义 ， 熟 记 运 算 法 则 是 解 题 的 关 键 ， 要 注 意 0 的 情 况 .
【 变 式 1 . 1 】 下 列 说 法 正 确 的 是 （ ）
A ． 0 除 以 任 何 数 都 得 0 ；
1
B ． 若 ? < ? 1 ， 则 < ? ；
?
第 1 1 页（共 2 4 页）C ． 同 号 两 数 相 除 ， 取 原 来 的 符 号 ， 并 把 两 数 的 绝 对 值 相 除 ；
1
D ． 若 0 < ? < 1 ， 则 > ? ．
?
【 答 案 】 D
【 分 析 】 有 理 数 除 法 法 则 ： 两 数 相 除 ， 同 号 得 正 ， 异 号 得 负 ， 除 以 一 个 数 等 于 乘 以 这 个 数 的 倒 数 ， 根 据 有 理
数 除 法 法 则 逐 个 判 断 即 可 ．
【 详 解 】 A ． 0 除 以 任 何 一 个 不 等 于 0 的 数 都 得 0 ， 故 选 项 错 误 ， 不 符 合 题 意 ；
1 1
B ． 用 特 殊 值 法 判 断 ， 若 ? < ? 1 ， 那 么 假 设 ? = ? 2 ， 则 ? > ? 2 ， 即 > ? ， 故 选 项 错 误 ， 不 符 合 题 意 ；
2 ?
C ． 两 数 相 除 时 “ 同 号 得 正 ， 异 号 得 负 ” ， 所 以 同 号 两 数 相 除 ， 结 果 取 “ + ” 号 ， 故 选 项 错 误 ， 不 符 合 题 意 ；
1 1 1
D ． 用 特 殊 值 法 判 断 ， 若 0 < ? < 1 ， 那 么 假 设 a = ， 则 2 > ， 即 > ? ， 故 选 项 正 确 ， 符 合 题 意 ；
2 2 ?
故 选 ： D ．
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 有 理 数 除 法 法 则 ， 解 决 本 题 关 键 是 要 熟 练 掌 握 有 理 数 除 法 法 则 ， 熟 练 掌 握 运 用 特 殊 值
法 进 行 判 断 ．
【 变 式 1 . 2 】 两 个 有 理 数 的 商 为 负 数 ， 则 这 两 个 有 理 数 （ ）
A ． 同 号 B ． 异 号 C ． 都 是 正 数 D ． 都 是 负 数
【 答 案 】 B
【 分 析 】 两 数 相 除 ， 异 号 得 负 ， 并 把 绝 对 值 相 除 ， 依 此 即 可 求 解 ．
【 详 解 】 解 ： 两 个 有 理 数 的 商 是 负 数 ， 这 两 个 数 一 定 异 号 ．
故 选 ： B ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 有 理 数 的 除 法 运 算 符 号 法 则 ， 比 较 简 单 ， 熟 记 “ 同 号 得 正 ， 异 号 得 负 ” 是 解 题 的 关 键 ．
【 考 点 2 应 用 有 理 数 的 除 法 法 则 计 算 】
【 例 2 . 1 】 计 算 ? 4 ÷ 2 的 结 果 是 （ ）
A ． ? 2 B ． 2 C ． ? 6 D ． ? 8
【 答 案 】 A
【 分 析 】 根 据 有 理 数 的 除 法 法 则 求 解 即 可 .
【 详 解 】 解 ： ? 4 ÷ 2 = ? 2 ；
故 选 ： A .
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 有 理 数 的 除 法 ， 属 于 应 知 应 会 题 型 ， 熟 知 有 理 数 的 除 法 法 则 是 解 题 的 关 键 .
2 1
【 例 2 . 2 】 两 个 数 的 积 是 ? ， 其 中 一 个 是 ? ， 则 另 一 个 是 _ _ _ _ _ _ ．
9 6
4
【 答 案 】
3
【 分 析 】 根 据 题 意 列 出 算 式 即 可 求 解 ．
2 1 2 4
【 详 解 】 解 ： 依 题 意 ? ÷ ? = ? × ? 6 = ，
9 6 9 3
第 1 2 页（共 2 4 页）4
故 答 案 为 ： ．
3
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 有 理 数 的 除 法 运 算 ， 根 据 题 意 列 出 算 式 是 解 题 的 关 键 ．
【 例 2 . 3 】 把 一 根 木 头 锯 成 7 段 ， 若 每 次 锯 的 时 间 都 相 等 ， 那 么 锯 完 每 一 段 的 时 间 是 锯 完 这 根 木 头 所 用 时 间
的 ( )
1 1 1 1
A ． B ． C ． D ．
7 8 6 5
【 答 案 】 C
【 分 析 】 根 据 把 一 根 木 头 锯 成 7 段 ， 要 锯 6 次 ， 进 而 即 可 求 解 ．
【 详 解 】 解 ： 7 ? 1 = 6 ( 次 ) ，
1
1 ÷ 6 = ，
6
1
答 ： 锯 完 每 一 段 的 时 间 是 锯 完 这 根 木 头 所 用 时 间 的 ．
6
故 选 ： C ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 有 理 数 的 混 合 运 算 ， 根 据 题 意 列 出 算 式 是 解 题 的 关 键 ．
【 变 式 2 . 1 】 计 算 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ × ? 6 = ? 5 4 ．
【 答 案 】 9
【 分 析 】 根 据 乘 法 法 则 的 关 系 进 行 解 答 便 可 ．
【 详 解 】 解 ： ∵ ? 5 4 ÷ ( ? 6 ) = 9 ，
∴ 9 × ( ? 6 ) = ? 5 4 ，
故 答 案 为 ： 9 ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 有 理 数 乘 法 ， 有 理 数 除 法 ， 熟 记 乘 除 法 运 算 的 互 逆 关 系 是 解 题 的 关 键 ．
【 变 式 2 . 2 】 计 算 ：
1 1
( 1 ) 0 ÷ ? 0 . 1 2 ( 2 ) ( ? 0 . 5 ) ÷ ( ? ) ( 3 ) ( ? 1 . 2 5 ) ÷
4 4
4 5
( 4 ) ÷ ( ? 1 2 ) ( 5 ) ? 3 7 8 ÷ ? 7 ÷ ? 9 ( 6 ) ( ? 0 . 7 5 ) ÷ ÷ ( ? 0 . 3 )
7 4
9 6 9
( 7 ) ( ? 3 . 2 ) ÷ ( 8 ) ( ? ) ÷ 2 . 5
5 1 4
1 1 9
【 答 案 】 ( 1 ) 0 ( 2 ) 2 ( 3 ) ? 5 ( 4 ) ? ( 5 ) ? 6 ( 6 ) 2 ( 7 ) ? ( 8 ) ?
2 1 6 3 5
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 零 除 以 任 何 数 都 为 零 即 可 解 答 ；
（ 2 ） 先 把 小 数 化 成 分 数 ， 然 后 再 按 照 有 理 数 除 法 法 则 计 算 即 可 ；
（ 3 ） 先 把 小 数 化 成 分 数 ， 然 后 再 按 照 有 理 数 除 法 法 则 计 算 即 可 ；
（ 4 ） 根 据 有 理 数 除 法 法 则 计 算 即 可 ；
（ 5 ） 根 据 有 理 数 除 法 法 则 计 算 即 可 ；
（ 6 ） 先 把 小 数 化 成 分 数 ， 然 后 再 按 照 有 理 数 除 法 法 则 计 算 即 可 ；
（ 7 ） 先 把 小 数 化 成 分 数 ， 然 后 再 按 照 有 理 数 除 法 法 则 计 算 即 可 ；
（ 8 ） 先 把 小 数 化 成 分 数 ， 然 后 再 按 照 有 理 数 除 法 法 则 计 算 即 可 ．
第 1 3 页（共 2 4 页）【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： 0 ÷ ? 0 . 1 2 = 0 ．
1 1
（ 2 ） 解 ： ( ? 0 . 5 ) ÷ ( ? ) = × 4 = 2 ．
4 2
1 5
× 4 = ? 5
（ 3 ） 解 ： ( ? 1 . 2 5 ) ÷ = ? ．
4 4
4 4 1 1
（ 4 ） 解 ： ÷ ( ? 1 2 ) = ? × = ? ．
7 7 1 2 2 1
1 1
（ 5 ） 解 ： ? 3 7 8 ÷ ? 7 ÷ ? 9 = ? 3 7 8 × × = ? 6 ．
7 9
5 3 4 1 0
（ 6 ） 解 ： ( ? 0 . 7 5 ) ÷ ÷ ( ? 0 . 3 ) = × × = 2 ．
4 4 5 3
9 6 1 6 5 1
（ 7 ） 解 ： ( ? 3 . 2 ) ÷ = ? × = ? ．
5 5 9 6 6
9 9 2 9
（ 8 ） 解 ： ( ? ) ÷ 2 . 5 = ? × = ? ．
1 4 1 4 5 3 5
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 了 有 理 数 的 除 法 运 算 ， 灵 活 运 用 有 理 数 的 除 法 运 算 法 则 成 为 解 答 本 题 的 关 键 ．
第 1 4 页（共 2 4 页）有 理 数 的 加 减 乘 除 混 合 运 算 顺 序 ：
① 先 乘 除 ， 最 后 加 减 ； ② 同 级 运 算 ， 从 左 到 右 进 行 ； ③ 如 有 括 号 ， 先 做 括 号 内 的 运 算 ， 按 小 括 号 、
中 括 号 、 大 括 号 依 次 进 行 .
【 考 点 1 有 理 数 的 乘 除 混 合 运 算 】
1
? 1 ÷ ? 5 ?
【 例 1 . 1 】 计 算 × 的 结 果 是 （ ）
5
1 1
A ． ? B ． C ． ? 1 D ． 1
2 5 2 5
【 答 案 】 A
【 分 析 】 根 据 有 理 数 乘 除 运 算 法 则 和 混 合 运 算 顺 序 ， 依 次 计 算 即 可
1
【 详 解 】 解 ： ? 1 ÷ ? 5 × ?
5
1 1
= × ?
5 5
1
= ? ．
2 5
故 选 ： A ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 有 理 数 乘 除 混 合 运 算 ， 熟 练 掌 握 有 理 数 乘 除 运 算 法 则 是 解 题 的 关 键 ．
1
【 例 1 . 2 】 计 算 ： ? 4 8 ÷ 7 × = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
7
4 8
【 答 案 】 ?
4 9
【 分 析 】 根 据 有 理 数 的 乘 除 运 算 法 则 ， 从 左 往 右 依 次 计 算 即 可 ．
1 1 1 4 8
【 详 解 】 解 ： ? 4 8 ÷ 7 × = ? 4 8 × × = ? ，
7 7 7 4 9
4 8
故 答 案 为 ： ? ．
4 9
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 有 理 数 的 乘 除 运 算 ． 解 题 的 关 键 在 于 明 确 运 算 顺 序 ． 易 错 点 是 先 计 算 乘 法 然 后 计 算 除 法 ．
1
【 变 式 1 . 1 】 计 算 ： 3 2 ÷ ( ? 4 ) × 的 结 果 是 （ ）
4
1
A ． ? 3 2 B ． ? 1 6 C ． ? 2 D ． ?
2
【 答 案 】 C
【 分 析 】 根 据 有 理 数 的 乘 除 混 合 运 算 法 则 解 答 即 可 ．
1
【 详 解 】 解 ： 原 式 = ? 8 × = ? 2 ．
4
故 选 ： C ．
第 1 5 页（共 2 4 页）【 点 睛 】 本 题 考 查 了 有 理 数 的 乘 除 混 合 运 算 ， 属 于 基 础 题 目 ， 熟 练 掌 握 运 算 法 则 是 解 题 的 关 键 ．
【 变 式 1 . 2 】 计 算 ：
3 3 1 1
? 1 ? ?
( 1 ) ? 3 ÷ × 0 . 7 5 ÷ × ? 6 ； ( 2 ) × ? 0 . 1 ÷ × ? 1 0 ；
4 7 5 2 5
2 3 8
( 3 ) ? 7 2 × ? × ? ÷ ? ．
3 5 1 5
【 答 案 】 ( 1 ) 1 8 ( 2 ) ? 5 ( 3 ) 5 4
【 分 析 】 （ 1 ） 首 先 确 定 结 果 的 符 号 ， 再 把 除 法 变 为 乘 法 ， 先 约 分 ， 后 相 乘 进 行 计 算 即 可 ；
（ 2 ） 首 先 确 定 结 果 的 符 号 ， 再 把 除 法 变 为 乘 法 ， 约 分 后 相 乘 进 行 计 算 即 可 ；
（ 3 ） 首 先 计 算 括 号 里 面 的 ， 再 计 算 括 号 外 面 的 乘 法 即 可 ．
3 3
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： ? 3 ÷ ? 1 × 0 . 7 5 ÷ ? × ? 6
4 7
4 3 7
= 3 × × 6
× ×
7 4 3
= 1 8 ；
1 1
（ 2 ） 解 ： ? × ? 0 . 1 ÷ × ? 1 0
5 2 5
1 1
= ? × × 2 5 × 1 0
5 1 0
= ? 5 ；
2 3 8
（ 3 ） 解 ： ? 7 2 × ? × ? ÷ ?
3 5 1 5
2 3 1 5
= 7 2 × × ×
3 5 8
9
= 4 8 ×
8
= 5 4 ．
【 点 睛 】 此 题 考 查 了 有 理 数 的 乘 除 混 合 运 算 ， 解 题 的 关 键 是 掌 握 有 理 数 的 乘 除 运 算 法 则 ．
【 考 点 2 有 理 数 的 加 减 乘 除 混 合 运 算 】
5 ÷ ? 2 ? 3
【 例 2 . 1 】 计 算 的 结 果 是 （ ）
1 1 1
A ． ? 1 B ． C ． ? D ． ?
5 5 2 5
【 答 案 】 A
【 分 析 】 根 据 运 算 法 则 ， 先 算 括 号 里 面 的 ， 再 算 除 法 ， 即 可 求 解 ．
【 详 解 】 5 ÷ ? 2 ? 3 = 5 ÷ ? 5 = ? 1
故 选 ： A
【 点 睛 】 本 题 考 查 有 理 数 的 混 合 运 算 ， 解 题 的 关 键 是 熟 练 掌 握 运 算 法 则 ．
【 例 2 . 2 】 下 列 运 算 正 确 的 是 （ ）
1
A ． 1 ÷ × ? 9 = ? 1 B ． ? 5 ? 4 × 3 = ? 2 7
9
第 1 6 页（共 2 4 页）1 1
3
C ． ? 2 = 6 D ． 1 2 ÷ ? = ? 1 4 4
4 3
【 答 案 】 D
【 分 析 】 根 据 有 理 数 的 运 算 法 则 计 算 即 可 ．
【 详 解 】 解 ： A 、 原 式 = 1 × 9 × ( ? 9 ) = ? 8 1 ， 故 本 选 项 计 算 错 误 ， 不 符 合 题 意 ；
B 、 原 式 = ? 5 ? 1 2 = ? 1 7 ， 故 本 选 项 计 算 错 误 ， 不 符 合 题 意 ；
C 、 原 式 = ? 8 ， 故 本 选 项 计 算 错 误 ， 不 符 合 题 意 ；
1
= 1 2 ÷ ? = 1 2 × ( ? 1 2 ) = ? 1 4 4
D 、 原 式 ， 故 本 选 项 计 算 正 确 ， 符 合 题 意 ；
1 2
故 选 ： D ．
1 1 1 1 1 1 1 1 1
【 例 2 . 3 】 若 + + ? ÷ 1 6 3 = ， 则 计 算 9 0 ? 1 6 3 ÷ + + ? 的 结 果 是 （ ）
2 3 7 5 2 1 0 2 3 7 5
A ． ? 1 2 0 B ． 1 2 0 C ． ? 3 0 0 D ． 3 0 0
【 答 案 】 A
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
【 分 析 】 先 利 用 + + ? ÷ 1 6 3 与 1 6 3 ÷ + + ? 的 互 为 倒 数 ， 求 出 1 6 3 ÷ + + ? 的 值 ，
2 3 7 5 2 3 7 5 2 3 7 5
1 1 1 1
再 计 算 9 0 ? 1 6 3 ÷ + + ? 即 可 ．
2 3 7 5
1 1 1 1 1
【 详 解 】 解 ： ∵ + + ? ÷ 1 6 3 = ，
2 3 7 5 2 1 0
1 1 1 1
∴ 1 6 3 ÷ + + ? = 2 1 0 ，
2 3 7 5
1 1 1 1
∴ 9 0 ? 1 6 3 ÷ + + ? = 9 0 ? 2 1 0 = ? 1 2 0 ．
2 3 7 5
故 选 A ．
1 1 1 1
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 有 理 数 的 混 合 运 算 ， 求 出 1 6 3 ÷ + + ? = 2 1 0 是 解 答 本 题 的 关 键 ．
2 3 7 5
3 2 3 1
【 变 式 2 . 1 】 ? × ÷ = （ ） ．
4 5 4 2
3 5 3 1
A ． B ． C ． D ．
1 0 1 1 2 0 3
【 答 案 】 C
【 分 析 】 根 据 有 理 数 的 四 则 运 算 求 解 即 可 ．
3 2 3 1 3 3 3 3 3
【 详 解 】 解 ： ? × ÷ = ? × 2 = ? =
4 5 4 2 4 1 0 4 5 2 0
故 选 ： C
【 点 睛 】 此 题 考 查 了 有 理 数 的 四 则 运 算 ， 解 题 的 关 键 是 掌 握 有 理 数 的 四 则 运 算 法 则 ．
【 变 式 2 . 2 】 计 算 ：
1 3
( 1 ) 3 6 × ? ； ( 2 ) 1 8 ? 6 ÷ ? 3 × ? 2 ．
1 2 4
【 答 案 】 ( 1 ) ? 2 4 ( 2 ) 1 4
【 分 析 】 （ 1 ） 利 用 乘 法 分 配 律 进 行 计 算 即 可 ；
（ 2 ） 先 计 算 乘 除 法 ， 再 计 算 加 减 法 即 可 ．
第 1 7 页（共 2 4 页）1 3
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： 3 6 × ?
1 2 4
1 3
= 3 6 × + 3 6 × ?
1 2 4
= 3 ? 2 7
= ? 2 4
（ 2 ） 1 8 ? 6 ÷ ? 3 × ? 2
1
= 1 8 ? 6 × ? × ? 2
3
= 1 8 ? 4
= 1 4
【 点 睛 】 此 题 考 查 了 有 理 数 的 混 合 运 算 ， 熟 练 掌 握 运 算 法 则 和 运 算 律 是 解 题 的 关 键 ．
? ? 1 2
【 变 式 2 . 3 】 定 义 新 运 算 ： 对 任 意 有 理 数 ? ， ? ， ? ， ? 都 有 = ? ? ? ? ? ， 则 的 值 是 （ ）
? ? 3 4
A ． 2 B ． ? 2 C ． ? 1 1 D ． 1 1
【 答 案 】 B
【 分 析 】 先 根 据 题 意 将 式 子 展 开 ， 再 根 据 有 理 数 的 运 算 法 则 进 行 计 算 即 可 ．
? ?
【 详 解 】 解 ： ∵ = ? ? ? ? ? ，
? ?
1 2
∴ = 1 × 4 ? 2 × 3 = ? 2 ，
3 4
故 选 ： B ．
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 了 有 理 数 的 混 合 运 算 ， 读 懂 题 意 ， 正 确 列 出 式 子 是 解 题 的 关 键 ．
第 1 8 页（共 2 4 页）1 ． 有 理 数 ? ? 5 的 倒 数 为 （ ）
1 1
A ． B ． 5 C ． ? D ． ? 5
5 5
【 答 案 】 A
【 分 析 】 根 据 乘 积 为 1 的 两 个 数 互 为 倒 数 ， 即 可 求 解 ．
? ? 5 = 5
【 详 解 】 解 ： ∵ ，
1
∴ ? ? 5 的 倒 数 为 ．
5
故 选 ： A
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 了 倒 数 ， 熟 练 掌 握 乘 积 为 1 的 两 个 数 互 为 倒 数 是 解 题 的 关 键 ．
2 ． 下 列 运 算 中 ， 结 果 小 于 0 的 是 （ ）
A ． ? 8 × ? 2 0 B ． ? 8 × ? 2 0 × 0 C ． ? 8 + ? 2 0 D ． ? 8 ? ? 2 0
【 答 案 】 C
【 分 析 】 根 据 有 理 数 的 乘 法 ， 有 理 数 的 加 法 ， 有 理 数 的 减 法 运 算 ， 逐 项 判 断 即 可 求 解 ．
【 详 解 】 解 ： A 、 ? 8 × ? 2 0 = 1 6 0 > 0 ， 故 本 选 项 不 符 合 题 意 ；
? 8 × ? 2 0 × 0 = 0
B 、 ， 故 本 选 项 不 符 合 题 意 ；
C 、 ? 8 + ? 2 0 = ? 2 8 < 0 ， 故 本 选 项 符 合 题 意 ；
D 、 ? 8 ? ? 2 0 = 1 2 > 0 ， 故 本 选 项 不 符 合 题 意 ；
故 选 ： C
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 了 有 理 数 的 乘 法 ， 有 理 数 的 加 法 ， 有 理 数 的 减 法 运 算 ， 熟 练 掌 握 相 关 运 算 法 则 是 解 题
的 关 键 ．
3 ． 某 大 型 商 超 将 一 批 课 桌 降 价 出 售 ， 原 价 1 3 0 元 的 课 桌 全 部 按 九 折 出 售 ， 依 旧 能 获 利 2 7 元 ， 则 该 课 桌 的
进 价 为 （ ）
A ． 8 0 元 B ． 8 5 元 C ． 9 0 元 D ． 1 0 0 元
【 答 案 】 C
【 分 析 】 根 据 打 折 销 售 计 算 出 成 交 价 格 ， 然 后 即 可 得 出 进 价 ．
【 详 解 】 解 ： 1 3 0 元 的 课 桌 全 部 按 九 折 出 售 ，
∴ 成 交 价 为 1 3 0 × 0 . 9 = 1 1 7 元 ，
∵ 能 获 利 2 7 元 ，
∴ 进 价 为 1 1 7 ? 2 7 = 9 0 元 ，
故 选 ： C ．
【 点 睛 】 题 目 主 要 考 查 有 理 数 的 乘 法 、 减 法 的 应 用 ， 理 解 题 意 ， 列 出 算 式 是 解 题 关 键 ．
1
( ? ) ÷ ( ? 2 ) × ( ? 6 ) =
4 ． _ _ _ _ _ ．
3
第 1 9 页（共 2 4 页）【 答 案 】 ? 1
【 分 析 】 根 据 有 理 数 的 乘 除 法 则 即 可 求 出 答 案 ．
1 1
?
【 详 解 】 解 ： 原 式 = ? × × ? 6
3 2
1
= × ? 6
6
= ? 1
? 1
故 答 案 为 ： ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 有 理 数 的 运 算 ， 解 题 的 关 键 是 熟 练 运 用 有 理 数 的 运 算 法 则 ．
5 ． 计 算 ： ( ? 1 ) ÷ 1 + 0 ÷ 8 ? ( ? 5 ) × ( ? 2 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【 答 案 】 ? 1 1
【 分 析 】 根 据 有 理 数 的 乘 除 混 合 运 算 进 行 计 算 即 可 求 解 ．
【 详 解 】 解 ： 原 式 = ? 1 + 0 ? 1 0 = ? 1 1 ，
故 答 案 为 ： ? 1 1 ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 有 理 数 的 乘 除 混 合 运 算 ， 掌 握 有 理 数 的 乘 除 的 运 算 法 则 是 解 题 的 关 键 ．
1 1
6 ． 计 算 × 3 ÷ × 3 的 结 果 是 _ _ _ _ _ ．
3 3
【 答 案 】 9
【 分 析 】 按 照 乘 除 混 合 运 算 顺 序 和 运 算 法 则 计 算 即 可 ．
【 详 解 】 解 ： 原 式 = 1 × 3 × 3 = 9 ，
故 答 案 为 ： 9 ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 有 理 数 的 混 合 运 算 ， 有 理 数 混 合 运 算 顺 序 ： 先 算 乘 方 ， 再 算 乘 除 ， 最 后 算 加 减 ； 同 级 运
算 ， 应 按 从 左 到 右 的 顺 序 进 行 计 算 ； 如 果 有 括 号 ， 要 先 做 括 号 内 的 运 算 ． 进 行 有 理 数 的 混 合 运 算 时 ， 注 意
各 个 运 算 律 的 运 用 ， 使 运 算 过 程 得 到 简 化 ．
9 5
7 ． 计 算 ： 0 . 1 2 5 × ? × ? 8 × ? 1 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
2 9
【 答 案 】 ? 7
【 分 析 】 根 据 有 理 数 的 乘 法 进 行 计 算 即 可 求 解 ．
9 5 1 9 1 4
【 详 解 】 解 ： 0 . 1 2 5 × ? × ? 8 × ? 1 = ? × × 8 × = ? 7 ，
2 9 8 2 9
故 答 案 为 ： ? 7 ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 有 理 数 的 乘 法 运 算 ， 熟 练 掌 握 有 理 数 的 乘 法 运 算 法 则 是 解 题 的 关 键 ．
8 ． 甲 、 乙 两 数 的 和 是 4 2 ， 甲 与 乙 的 比 是 4 : 3 ， 甲 、 乙 两 数 差 是 _ _ _ _ _ ．
【 答 案 】 6
【 分 析 】 根 据 题 意 列 出 算 式 4 2 ÷ 7 × 4 ? 4 2 ÷ 7 × 3 ， 再 进 一 步 计 算 即 可 ．
【 详 解 】 解 ： 甲 、 乙 两 数 差 是
4 2 ÷ 7 × 4 ? 4 2 ÷ 7 × 3
第 2 0 页（共 2 4 页）= 6 × 4 ? 6 × 3
= 2 4 ? 1 8
= 6 ，
故 答 案 为 ： 6 ．
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 有 理 数 的 混 合 运 算 ， 解 题 的 关 键 是 理 解 题 意 ， 正 确 列 出 算 式 并 掌 握 有 理 数 的 混 合 运 算
顺 序 和 运 算 法 则 ．
? 2 + 2 × □ = 8
9 ． 小 明 做 这 样 一 道 题 ： “ 计 算 ： ” ． 其 中 “ □ ” 处 被 污 渍 覆 盖 ， 他 翻 开 后 面 的 答 案 得 知 该 题 的
计 算 结 果 是 8 ． 那 么 “ □ ” 表 示 的 数 是 _ _ _ _ _ ．
【 答 案 】 5
【 分 析 】 由 ? 2 + 2 × □ = 8 得 2 × □ = 8 ? ? 2 = 1 0 ， 即 可 得 到 答 案 ．
【 详 解 】 解 ： ∵ ? 2 + 2 × □ = 8 ，
∴ 2 × □ = 8 ? ? 2 = 1 0 ，
∴ □ = 1 0 ÷ 2 = 5 ．
故 答 案 为 ： 5 ．
【 点 睛 】 此 题 考 查 了 有 理 数 的 混 合 运 算 ， 熟 练 掌 握 运 算 法 则 是 解 题 的 关 键 ．
1 0 ． 在 ? 2 ， 3 ， ? 4 ， 1 2 这 四 个 数 中 ， 任 意 两 个 数 相 除 ， 所 得 的 商 最 小 是 _ _ _ _ _ _ ．
【 答 案 】 ? 6
【 分 析 】 取 异 号 两 数 相 除 ， 商 绝 对 值 较 大 ．
【 详 解 】 解 ： 根 据 题 意 得 ，
商 最 小 的 是 ： 1 2 ÷ ( ? 2 ) = ? 6 ．
故 答 案 为 ： ? 6 ．
【 点 睛 】 本 题 有 理 数 除 法 ， 有 理 数 大 小 比 较 ， 灵 活 应 用 除 法 法 则 解 题 是 关 键 ．
1 1 ． 用 正 负 数 表 示 气 温 的 变 化 量 ， 上 升 为 正 ， 下 降 为 负 ， 登 山 队 攀 登 一 座 山 峰 ， 每 登 高 1 k m 气 温 的 变 化 量
为 ? 6 ℃ ， 登 高 1 . 5 k m 后 ， 气 温 下 降 _ _ _ _ _ _ ℃ ．
【 答 案 】 9
? 6 ℃
【 分 析 】 根 据 题 意 知 ， 气 温 变 化 量 为 乘 以 攀 登 高 度 ， 即 可 求 解 ．
【 详 解 】 解 ： 根 据 “ 每 登 高 1 k m 气 温 的 变 化 量 为 ? 6 ℃ ” 知 ：
攀 登 1 . 5 k m 后 ， 气 温 变 化 量 为 ： ? 6 × 1 . 5 = ? 9 ℃
下 降 为 负 ， 所 以 下 降 9 ℃ ，
故 答 案 为 ： 9 ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 分 析 信 息 的 能 力 ， 正 负 数 的 意 义 ， 有 理 数 的 计 算 ， 根 据 题 意 分 析 得 出 变 化 量 ， 再 结 合 正
负 数 的 意 义 是 解 题 的 关 键 ．
1 2 ． 绝 对 值 大 于 1 且 小 于 4 的 所 有 整 数 的 积 为 _ _ _ _ _ ， 绝 对 值 不 大 于 6 的 所 有 负 整 数 的 积 是 _ _ _ _ _ ．
第 2 1 页（共 2 4 页）【 答 案 】 3 6 7 2 0
【 分 析 】 先 求 出 绝 对 值 大 于 1 且 小 于 4 的 所 有 整 数 ， 绝 对 值 不 大 于 6 的 所 有 负 整 数 ， 然 后 根 据 有 理 数 的 乘 法
计 算 法 则 求 解 即 可 ．
【 详 解 】 解 ： ∵ 绝 对 值 大 于 1 且 小 于 4 的 所 有 整 数 为 ? 3 ， ? 2 ， 2 ， 3 ，
∴ 绝 对 值 大 于 1 且 小 于 4 的 所 有 整 数 的 积 为 ? 3 × ? 2 × 3 × 2 = 3 6 ；
∵ 绝 对 值 不 大 于 6 的 所 有 负 整 数 为 ? 6 ， ? 5 ， ? 4 ， ? 3 ， ? 2 ， ? 1 ，
∴ 绝 对 值 不 大 于 6 的 所 有 负 整 数 的 积 是 ? 6 × ? 5 × ? 4 × ? 3 × ? 2 × ? 1 = 7 2 0 ；
故 答 案 为 ： 3 6 ， 7 2 0 ．
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 了 有 理 数 乘 法 计 算 ， 绝 对 值 的 意 义 ， 灵 活 运 用 所 学 知 识 是 解 题 的 关 键 ．
? ? ? ? ≥ ?
1 3 ． 定 义 一 种 新 运 算 ： ? ? ? = ， 则 ? 3 ? ? 2 + 4 ? ? 1 的 值 是 _ _ _ _ _ _ ．
3 ? ? < ?
【 答 案 】 ? 1
【 分 析 】 根 据 新 定 义 规 定 的 运 算 法 则 列 式 计 算 可 得 ．
【 详 解 】 解 ： 由 题 意 可 得 ：
? 3 ? ? 2 + 4 ? ? 1
= 3 × ? 2 + 4 ? ? 1
= ? 6 + 4 + 1
= ? 1
故 答 案 为 ： ? 1 ．
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 有 理 数 的 混 合 运 算 ， 解 题 的 关 键 是 掌 握 新 定 义 规 定 的 运 算 法 则 及 有 理 数 的 混 合 运 算 顺
序 和 运 算 法 则 ．
1 4 ． 计 算 ：
9 8 7 5 1 1
( 1 ) ? × ? 2 . 3 × + ( 2 ) ? + 2 ? × ? 3 6
4 9 9 1 2 6
1 5 1 5 1 5
( 3 ) ? 8 × ? + 1 2 × ? ? 4 × ?
2 9 2 9 2 9
2 3
【 答 案 】 ( 1 ) ? ( 2 ) ? 1 9 ( 3 ) 0
5
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 有 理 数 的 乘 法 进 行 计 算 即 可 求 解 ；
（ 2 ） 根 据 有 理 数 的 乘 法 分 配 律 进 行 计 算 即 可 求 解 ；
（ 3 ） 根 据 有 理 数 的 乘 法 分 配 律 进 行 计 算 即 可 求 解 ．
9 8
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： ? × ? 2 . 3 × +
4 9
9 2 3 8
= ? × ×
4 1 0 9
2 3
= ? ；
5
7 5 1 1
（ 2 ） 解 ： ? + 2 ? × ? 3 6
9 1 2 6
第 2 2 页（共 2 4 页）7 5 1 1
= × ? 3 6 ? × ? 3 6 + 2 × ? 3 6 ? × ? 3 6
9 1 2 6
= ? 2 8 + 1 5 ? 7 2 + 6 6
= ? 1 0 0 + 8 1
= ? 1 9
1 5 1 5 1 5
（ 3 ） 解 ： ? 8 × ? + 1 2 × ? ? 4 × ?
2 9 2 9 2 9
1 5
= ? × ? 8 + 1 2 ? 4
2 9
1 5
= ? × 0
2 9
= 0
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 有 理 数 的 乘 法 运 算 ， 乘 法 分 配 律 ， 熟 练 掌 握 有 理 数 的 运 算 法 则 与 运 算 律 是 解 题 的 关 键 ．
1 5 ． 计 算 ：
1 3 3 5
( 1 ) 2 ? 5 + 2 3 ? 9 + 7 ( 2 ) 1 . 7 5 + ? 6 + 3 + ? 1 + 2
2 8 4 8
1 5 7 1 1 1
? 3 6 × + ? ? 2 × ? 1 ÷ ( ? 7 ) ×
( 3 ) ( 4 )
2 6 1 2 3 6 7
3 0
( 5 ) ( ? 1 5 ) ? 1 8 ÷ ( ? 3 ) + | ? 5 | ( 6 ) ? 7 × 6 2
3 1
4 4 4
? 5 × ? 3 + ( + 9 ) × ? 3 + 1 7 × ? 3 ? 1 5 ? [ ? 1 ? ( 4 ? 2 0 ) ]
( 7 ) ( 8 )
7 7 7
1 1
【 答 案 】 ( 1 ) 1 8 ( 2 ) ? ( 3 ) ? 2 7 ( 4 ) ? ( 5 ) ? 4 ( 6 ) ? 4 9 4 ( 7 ) ? 7 5 ( 8 ) ? 3 0
2 1 8
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 有 理 数 的 加 减 混 合 运 算 进 行 计 算 ；
（ 2 ） 根 据 有 理 数 的 加 减 混 合 运 算 进 行 计 算 ；
（ 3 ） 根 据 乘 法 分 配 律 进 行 计 算 ；
（ 4 ） 根 据 有 理 数 的 乘 除 混 合 运 算 进 行 计 算 ；
（ 5 ） 根 据 有 理 数 的 混 合 运 算 进 行 计 算 ；
（ 6 ） 根 据 乘 法 分 配 律 进 行 计 算 ；
（ 7 ） 根 据 乘 法 分 配 律 进 行 计 算 ； ．
（ 8 ） 根 据 有 理 数 的 加 减 混 合 运 算 进 行 计 算 即 可 求 解 ．
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： 2 ? 5 + 2 3 ? 9 + 7
= 2 + 2 3 + 7 ? 5 + 9
= 3 2 ? 1 4
= 1 8 ；
1 3 3 5
（ 2 ） 解 ： 1 . 7 5 + ? 6 + 3 + ? 1 + 2
2 8 4 8
3 3 3 5 1
= 1 ? 1 + 3 + 2 ? 6
4 4 8 8 2
1
= 6 ? 6
2
第 2 3 页（共 2 4 页）1
= ? ；
2
1 5 7
? 3 6 × + ?
（ 3 ） 解 ：
2 6 1 2
1 5 7
= ? 3 6 × ? 3 6 × + 3 6 ×
2 6 1 2
= ? 1 8 ? 3 0 + 2 1
= ? 4 8 + 2 1
= ? 2 7 ；
1 1 1
（ 4 ） 解 ： ? 2 × ? 1 ÷ ( ? 7 ) ×
7
3 6
7 7 1 1
= ? × ? × ? ×
3 6 7 7
1
= ? ；
1 8
（ 5 ） 解 ： ( ? 1 5 ) ? 1 8 ÷ ( ? 3 ) + | ? 5 |
= ? 1 5 + 6 + 5
= ? 4 ；
3 0
（ 6 ） 解 ： ? 7 × 6 2
3 1
3 0
= ? 7 × 6 2 ? × 6 2
3 1
= ? 4 3 4 ? 6 0
= ? 4 9 4 ；
4 4 4
（ 7 ） 解 ： ? 5 × ? 3 + ( + 9 ) × ? 3 + 1 7 × ? 3
7 7 7
4
= ? 3 × ? 5 + 9 + 1 7
7
2 5
= ? × 2 1
7
= ? 7 5
（ 8 ） 解 ： ? 1 5 ? [ ? 1 ? ( 4 ? 2 0 ) ]
= ? 1 5 ? ? 1 + 1 6
= ? 1 5 ? 1 5
= ? 3 0
．
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 有 理 数 的 混 合 运 算 ， 掌 握 有 理 数 运 算 法 则 以 及 运 算 顺 序 是 解 题 的 关 键 ．
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