陈省身演讲：什么是几何学？
作者：陈省身 来源：赛先生 微信号 发布时间：2021-09-10 10:56:49
导读：1999年求是奖颁奖会在复旦大学举办，求是科技基金会执委、顾问陈省身先生
作了专题演讲“什么是几何学”。陈省身先生（1911年10月28日～2004年12月3日）是20世
纪世界最重要的微分几何学家之一、也是最有影响力的数学家之一，曾长期担任加州大学
伯克利分校、芝加哥大学数学教授。在即将迎来陈省身先生诞辰110周年纪念之际，《赛先
生》今日分享这一高水平、有深度的演讲，以飨读者。本文源自求是科技基金会官网。
陈省身教授（左）与周光召教授（右）在介绍会中谈笑甚欢，图源：求是科技基金会官网。
演讲 ｜ 陈省身
今天授奖的仪式很隆重，听了许多人的演讲，我非常感动。有机会在此演
讲，自己觉得非常之荣幸，也非常之高兴。我想从现在起，我们就像平常上课
一样，不怎么严肃，随便一点。我带了一些材料，非常遗憾的是没法投影。不投
影也可以，我没有什么准备。
大家希望我讲一点几何学，题目是《什么是几何学》。我虽然搞了几十年的
几何工作，但是很抱歉的一点是，当你们听完演讲后，不会得到很简单的答案，
因为这是一门广泛而伟大的学问。在最近几千年来，几何学有非常重要的发展，
跟许多其它的科学不但有关 有作 ，而 是 的因 。
讲到几何学，我们 一 想到的是 几 。 了 的《 》之 ，
几 的《几何 》在 大 是 最多的一 了。这 在
有 ， 是?￠￡?￥?§。?￠￡currency1''“???''?fififl是 了不得的学
问家，￥?§currency1 –??··?fl是到 来的 大￥? ?。?们? 了”?，
… 是在''?‰ 年 的。
我们现在? 的许多 `，′??ˉ? ˙¨ ?? 这? `，我想?
是?￠￡ 的。当ˇ没有— 完， 不多? 了 ， 有
是 伟 的。伟 currency1 – ??fl是 ? ?。很高兴的是，
是a 人。 是 兴?的一?，我是 兴人，?以我们是o （掌
声）。 了， ? 也是 人（掌声）。
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左起，查济民董事长、周光召教授与杨振宁教授于介绍会中，图源：求是科技基金会官网。
动几何学 重要的 ? 发展的人是???·?? ?currency1''“ ??''?“‰fl，
人 为 卡儿。?是法 哲学家，不是专门研究数学的。? 坐标的方法，
—几何变成了代数。当ˇ没有分析或 无穷的观念。?以?就变成代数。我想
卡儿当ˇ不见得觉得?这贡献是很伟大的，?以?的几何论…是?的哲学引
面最后的一 附录，附属于?的哲学的。
这 思想当然在几何上是革命 的，因为当—几何的现象 坐标表示 来
ˇ，就变成了代数现象。?以你要证明说一条直?是不是 过一 点，你?要
证明某 数是不是 于零就ˉ了。这样就变成了一 简单一点的代数问题。当然
?不是任何的几何问题?要变成代数问题，有ˇ候变为代数问题后 来的问题
更加复杂了。但这 关 是 的。
卡儿发现的坐标 ，我们大 在 学念解析几何?学到。有一点是这样
的currency1我的图可惜现在没法投影 来fl，给定一条直?，直?上有一 点，其
它的点由它的距离x来确定，然后 过x沿一定的方向画一条直?，那么 坐
标就是在那条?从x轴上这 点? 的距离，这就是 卡儿的坐标， …叫
C?? ????n，坐标。它的两条?不一定垂直。不知道哪位? 写 科 ˇ—两条?
写成垂直了，因此x坐标? 坐标 了。 卡儿的两 坐标不是 的，这是
?非常重要的观念，我们现在就叫纤维丛。
这些跟 坐标平ˉ的直??是纤维，是 的一 空间。 因是这样的：
你—它这样改了之后，那条直?就不一定要直?，可以是任何 一 空间了。
这样可以确定空间 点 一组坐标来表示。?以有ˇ候科学或数学不一定
完 进步了，有ˇ候反而退步了（笑声）。 卡儿 了这 坐标，就发现，我们
不一定要 C?? ????n坐标，可以 其它坐标，比?极坐标。
平面上确定一 点， 为 点，过这点画一条射?， 为 轴。这样平面
上的点，一 坐标是这点? 点的距离， 一 是¨度，是这点? 点的连
?? 轴的相交的¨度，这就是极坐标。因此极坐标的两 坐标，一 是正数
或零， 一 是从零到fi?‰度的¨度。
当然我们?知道， 可以有许多其它的坐标，?要 数就可以确定坐标。
因此，后来大家弄多了的话，就 几何作 了 一 革命 的贡献，就是说，
坐标不一定要有 义。?要每级数能定义一 点，我们就—它叫坐标。从而几何
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质就变成坐标的一 代数 质，或 说分析的 质。这样就—几何数量化了，
几何就变成 式化的东西了。
这 影响非常之大，当然这 影响也不大容易被接受，比?爱因斯坦。爱
因斯坦发现?的相 论，特殊相 论是在'' ‰8年，而广义相 论是在'' ''“年，
前后 了 年。爱因斯坦说，为什么需要 年我才能从特殊相 论过渡到广义相
论呢？?说因为我觉得坐标?应该有几何或 理 义。爱因斯坦是一 学
问非常严 的人，?觉得没有 义的坐标不大容易被接受，?以 了?很多
年，?才不能不接受，就是因为空间的 念被 广了。
我 了一 。我现在是讲 ，讲 了 一 是无? 的，讲 了
也不要 （笑声）。o样我 讲一点 几 。那ˇ的 几 的《几何
》?不 是几何，而是 数学。因为那ˇ候的数学 没有发现 分，无
穷的观念虽然 有了，不过不怎么 。
我 说一点，就很可惜的是 几 的 我们知道得很 ，?知道?大
在 前˙ 年 。?是 ? 大学 的几何 授，?的《几何 》
大 是当ˇ的一 课 。 ? 大大学是希 …化最后? 的一 ￠方。因为
? 大自己到过 ? 大，因此就￡?了当ˇ￥非的大?，§在￠ 。但是
?currency1在到 ''之后，我们知道?很“就?了。
之后，?的大??fiflcurrency1 – ?? ?– ??fl·理当ˇ的 ???。?fifl很重
?学问，就成?了一 大学。这 大学就在?的”?…‰，是当ˇ 伟大
的大学， 备非常?，有许多 。很可惜由于 的 因，由于`多的 因，
现在这 学 被完 ′ 了。当ˇ的 就不??这 学 ， ˉ?被′
了，然后 人˙¨了￥非之后，就大 ?￠? ，—图 ?的 ?? 来ˇ
。?以现在这 学 完 不—在了。
几何是很重要的，因为大家觉得几何就是数学。比方说，现在 有这一
象，法 的科学 ，它的数学组叫 几何组。 于法 来讲，搞数学的不 数
学家，而叫几何学家，这?是受当ˇ几何的影响。当ˇ的几何比现在的几何的
来得广。不过从 一方面讲现在的 更广了，就是我 才讲到的坐标不
一定有 义。一 空间可以有?几 坐标，那么怎样 空间呢？这就 得很
，因为空间到 有什么样的几何 质，这也是一 大问题。
高斯? ￡? 发展了这方面的理论。高斯是 人，我想?是近代数
学最伟大的一 数学家。 ? 上是?的a 人，也是 数学家。?们?是
大学的 授。可惜的是 ?ˇ ?不?，有?o ， 十 就?
了。?们的发展有一 要目的，就是要发展一 空间，它的坐标是? 的。空
间 ?有坐标，反正你不能讲坐标是什么，?知道坐标代表一 点，?以?是
一 的点可以 坐标表示。因此虽然点的 质可以 解析关 来表示，但
是?何研究空间这就成了大问题。
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在这 之前，我 才? 了一 ，就是 的数学是 几 的 ，但是
几 的 了一 。因为 几 ?理 过??的? 得到o论。′
?说，˙¨ ˙¨之 一定 于''8‰度，这是了不得的o 。 几 可以
?理几步就—它证明了，是一 o论。这 比现代的科学简单得多了。
我们 才听了很多话，科学家 科学研究， 一样就是跟 ?要 ，跟
会要 ，说你给了我 ，我才能 ?验。当然?验是科学的 。但是这样一来
就会有许多的 会问题 治问题。
几 说，你给我一张纸，我?要写几 ，就证明了这 o 。不但?
此，我是搞数学的，我说数学理论 有优点，数学的理论可以预测?验的o 。
不 ?验， 数学可以得到o论，然后 ?验去证明。当然?验有ˇ的证明不
，也许你的理论就不 了，那当然也有这 。
几 的?理是非常明 的，但是?有一 有 的?理叫 五? 了
问题。这 五? 讲起来比较长，但是简单￠说，就是有一条直??? 一
点， 过这点?有一条直??这条 给的直?平ˉ。这 你要随便画图的话，
觉得相当可信。可是你要严格追问的话，这 ?理不大明 ，至 不?其它?
理这样明 。?以这 五? 当ˇ数学 ??思想的人是 大问题。
当ˇ最理想的情 是： 五? 可以 其它的?理 得，变成一 ? 的
定理。那就简单化了，? 可 这 ?验。我们搞数学的人有一 简单的方法，
就是我要证明这 ?理，我?假定这 ?理不 ，看是不是可以得到矛盾。?
得到矛盾，就证明它是 的了。这就是? 间接证明法。有人就想 这 方法
证明 五? ，但是?失败了。
我们现在知道这 五? ?不一定 ， 过一点的?ˉ?可以有无数条，
这就是非 几何的发现。非 几何的发现，它的 会 义很大，因为它表示空
间不一定?有一 。西洋的 会相信上帝?有一 ，怎么会有两 空间，或
很多 空间呢？当ˇ这是 很严重的 会问题。
不止是 会问题，oˇ也是哲学问题。像 大哲学家康 ，?就觉得?
能有 氏几何，不能有非 几何。?以当ˇ这是一 很大的争论。非 几何的发
现一 是J–B– ??，匈牙￥人，在''8fi?年；一 是L–b?·h?v?k?，俄 人，在
''84 年。
不过我 才讲到大数学家高斯，我们从?的 著作 知道?完 清楚，
但?没有—它发表成一 o论，因为发表这样一 o论，是可以遭到别人反
的。因此就有这么一 争论。 到 大￥的几何学家B? ????，?在 几 的
˙维空间 造了一 曲面，曲面上的几何就是非 几何，这 于消 大家的怀
疑是很有￥的工具。
因为上 o 是说，假定有一 ˙维的 几 空间，就可以造 一 非
几何的空间来，?以在 几 的几何 亦有非 几何。你假定 几 几
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何，你就得接受非 几何，因此大家 非 几何的怀疑有 的方法慢慢给予
解 。
我 才讲到高斯? —坐标一般化，使坐标不一定有 义，这 几何学
产 的问题可大了。因为空间就变成一 一 拼起来的东西。那想怎么去研究它
呢？怎么知道空间有不o的 质呢？甚至怎么?别不o的空间？
我这 有几 图，画了几 不o的空间，可惜我没法—它投影 来。不过，
总而言之空间的 数是无穷的，有很多很多不o的空间。现在 于研究几何的
人就产 一 问题，你怎样去研究它。这样一 的学问现在就叫
T–p– –g ，拓朴学。
它是研究 空间的 质，?什么叫空间的连续 ，怎样的两 空间在某
义上是相o的， 。这样就发展了许多许多的工具。这 问题也讨论了。
在''8???''8??年。 的 学制度在博?毕业之后，为了有资格在大
学 ，一定要 一 ?ˉ演讲，这 ?ˉ的演讲就是? 的
H?b? ? ? ?–n?·h??f 。 在''8“4年到 大学去 授， 了一 演讲，这
在几何上是非常 的…献，就讨论了这些问题。
?何研究这 空间呢？要研究这 空间，? 你?知道空间是随便一
拼起来的话，就没有什么可以研究的了。于是你往往需要一 度量，至 你知
道什么叫两点之间的距离，你怎么去处理它呢？就需要解析的工具。往往你—
距离表为一 分， 分代表距离。
的这篇''8“4年的论…，是非常重要的，也是几何 的一 …献，
相当一 家的宪法似的。爱因斯坦不知道这篇论…，花了七年的ˇ间想方
法也要发展o样的观念，?以爱因斯坦浪费了许多ˇ间。 这篇论…引进的
距离这 观念，是一 分，在数学 一 多年来有了很大的发展。
一 重要的发展是 几何应 到广义相 论，是相 论的一 的
数学 。现在大家要念数学，尤其要念几何学的话， 几何是一 最 要
的 分，这 也是从 的演讲ˉ?的。现在 几何的o 多得不得了，不
但是几何的 ，可能也是 数学发展的 。
1999年求是“杰出青年学者奖”得奖人于介绍会会场外合照，图源：求是科技基金会官网。
我 才提到一 多年来的发展。? 的 几何? 上是 的论…的一
简单的情 ，是某 情 。 来的 思，广义 的 思，有 人 了重
要的工作，是一 人F?n? ??。?以这 分的几何就叫F?n? ??几何。?在'' ''8年
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在 大学写了一篇博?论…，就讲这 几何。这 几何后来发展不大多，
因为大家不知道怎么办。? 这 度量的 分广了一点， 应的数学就变复杂
了，不像 的某 情 这样简单。
这情 也不简单。 ?￠就写了一 d?的平方 于一 两次 分
式，这 两次 分式 分一 就代表弧的长度。怎样研究这样的几何，这是需
要一 像 这 天才才有这 办法。 就发展了?? 的
?????nn·u?v? u?? ?n?–?， 曲率张量。你若要搞这?几何的话，就要有张量的
观念。而空间的弯曲 ，这 弯曲 解析表示 来也比较复杂了，就是 的
曲率张量。
我们现在大家??讲得奖。我们今天发奖，有奖金，要 会? ? 你的
工作尊重。当年的ˇ候你要搞数学的话，? 没有数学 授的位置，就没有人
付你工资。一 要的办法就是得奖金。有几 科学 它给奖金，得了奖金后你
当然可以维持一 ˇ间，因此就很高兴。不过很有 思的是我想?????nn-
Ch??? –f? 曲率张量是一 很伟大的发现， 就到法 西科学 申请奖金。科
学 的人看不懂，就没有给?。
?以诸位，今天坐在前排几位你们?是得奖人，?是得到￠荣的人，我们
于你们寄予很大的期望，后面几排的大多数人没有得过奖，不过我安慰大家，
没得过奖不要 ，没得过奖也可以 工作。我想我在得到学位之前，也没有得
过奖。得不得到奖不是一 很重要的因 ， 就没有得到奖。?的?????nn-
Ch??? –f? 张量在法 西的科学 申请奖没有得到。
最近虽然在 几何上有很多发展，非常了不得的发展，但是大家 于一
般的情 ， 论…的一般情 F?n? ??几何，没有 很多贡献。很巧的是我在
'' 4?年曾写了一篇F?n? ??几何的论…，就是找能— 几何的o 到F?n? ??几
何的情 。
最近有两位年轻的 人，一 叫鲍大维，一 叫沈忠 ，我们合写了一
关于F?n? ??几何的 。这 就要在?p??ng??-V?? ?g ，属于它的
G??du? ?T?x ?数学丛 。编? 于我们的 也很??，给了我们一 很有 思
的 号：?‰‰。 就在这 ，我想这 会我会交给谷超豪 授，就—它放在
复旦大学的某 图 ? （掌声）。
数学学科介绍人谷超豪教授于介绍会讲话，图源：求是科技基金会官网。
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我们这 有一 的成就，就是—近一 年来最近在 几何上的发
现，我们—它 广到一般的情 ， -F?n? ??情 。这是 当年的目的。
当然非常伟大，不过? 于一般的情 不是很重?，?甚至在?的…? 讲
这 没有 的东西，我们就—?说的没有 的东西 了一些 来。
我知道我…‰坐了两位伟大的 理学家。接 去我想 门弄 一 ， 一
理?几何的关 。我觉得 理学 有很多重要的工作，是 理学家要证明
说 理就是几何。
比方说，你从 的 动定 ˉ?。 的 定 说，F ??，F是
，?是质量，?是加 度，加 度我们现在叫曲率。?以 ‰这一 是几何量，
而 得当然是 理量。?以 费了 天 ，??是说 理就是几何（大笑，掌
声）。不但?此，爱因斯坦的广义相 论也是这样。爱因斯坦的广义相 论的方
说：
??k - '' ? g?k ? 8 T?k
??k是??··?曲率，?是?·? ??·u?v? u??， 标量曲面， 是常数，T?k是
?n??g ? ???? ?n?–?， 能量-应 张量。你 想想，?的 ‰是几何量，是从
度量得 来的一些曲率。?以爱因斯坦的重要方 式也就是说，几何量
于 理量（掌声）。
不止是这些，我们可以一直讲 去。我们现在研究的空间叫 ，是一
空间拼起来的。这 不?研究。 上的度量，你? 要—它能 方
写 来的话，你一定要— ? 化，一定要有一 ? 的向量空间，叫
v?· –? ?p?·?。
向量空间有一 ?处，它的向量可以相加，可以相 ，它 有 不o的
法。?以你就可以 解析的方法处理几何的情 。那么一般的 怎么处理呢？
数学家的办法很简单，就是在 的每一点弄一 平面。每一点?有 向量
空间，叫 空间，跟它相 。
几 空间?有一 空间。现在的空间情 复杂了一些，每点?有一
空间，但?是平坦空间。这 现象在几何上有一 重大的发展，就是—
空间 起来。反正是一—向量空间，给 的每点一 向量空间，不一定要是
的 面或 空间。我们就叫它为纤维丛，或叫向量丛，向量空间丛。这 我
想比爱因斯坦的 相 论 要重要。 ?x ? 方 就是￡?在一 向量丛上。
你不是要一—向量空间 ？最?的是一— ?，这 一维最?是复一维，
·–?p ?x。这— ?每 ?是复空间，它是￠人的一维，其?是 维，是复数空
间。复数就有￡ 儿了。现在是一—复数，你? 能有法?从这 纤维到 一
纤维，有一 我们? 的平ˉ 的话，你就??得到 ?x ? 方 。
现代…明?§￥，?制￥的方 的是 ?x ? 方 。现在纤维丛上有一 平
ˉ ，这 平ˉ 的 分， 于￥§currency1的''度F，然后你—这 F “它的
7
一 分currency1? 分fl的话，就得到·u???n v?· –?J， 向量。 面两 简
单的式?，就— ?x ? 方 写 来了，d F? ?F J。
?你要念￥§学的 的话，当然需要了解￥§的 义。我不了解。但是要
了解￥§学的 义，—方 写 来的话， 上往往是一 fi， 的 分
fl什么的讲了一大 。其?简单￠说，也就是平ˉ 的 分是currency1的''度，而currency1
的''度 过某 –就得到它的 向量。这就是 ?x ? 方 ，? 来的完 一
样。?以 ?x ? 方 就是￡?在一维的纤维丛上，不过是一 复一维的纤维丛
你怎样—每 纤维维拼起来呢？我们需要?的 念。有一 ?，? 有一
–，—一 纤维可以?到其它一 纤维。纤维? 是一维的， 使是复一
维的话，我们需要的?· 是可交?的?，叫 b? g?–up，?? ? 了不
得。?可以 到一 非 b? ?，也很简单，我们叫 ?? ? ?。 ?? ?
·–nn?· ?–n，—o样的方 式写 来，就是”?ng- ? ?方 ，? F，?F J。
这有不得了的重要 。我们搞几何学的人觉得有这样的关 ， 理学家说
你这 关 跟 理有关 ，这是非常 的，? 有 的重要 。比方说像
去年?…‰ 奖的，我想大家?知道? 的 `， 理论方面的? H? ′应，
也 到我们这些工作。
我们说我们专搞曲率。你要ˉ一 ?，?? 弯得多了的话你就要慢 来，
直的话你就ˉ，这就是曲率。曲率要是在高维就比较复杂了，不过也是一些代
数，? 可以 得很巧?。我的一 ˙¨，也是学 ，叫???–n?。我们? 的工
作就是曲率，就 ? 跟?们一?得…‰ 奖的有?处。?以一般讲来，在
? 我们?·?￠，想— ?弄弄? ，弄弄清楚，然后有伟大的 理学家来
说你们这 有道理（大笑，掌声），这 我们也很高兴。
现在几何不 应 到 理，也应 到 学 。讲到?? 的?造，是一
ˇ—?，ˇ—?有很多几何，许多几何学?在研究这 问题。现在许多 要的
大学，念 的人一定要念几何。现在有很多人研究大一点的·–?p–und，这是
分?，是由 ? 起来的。 ?怎么 法就是几何了。这些几何的观念不 是
空 的，有? 上的化学的 义。
数学比其它科学有￥的￠方，是它 上 是 人的工作。 使在 currency1的
￠方，进步也是可能的。当然?需要几 ˙¨，得 之 。 大家。（极其热
烈的掌声）
注：本文转载自求是科技基金会官网。
来源：赛先生微信号
责任编辑：向太阳
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