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不定积分
（Ａ）
１、求下列不定积分
１）?
dxdx２）?
2 2x x x
x2 dx３）? (x ? 2) dx４）?
21? x
2
2?3x ? 5?2x cos2xdx５）?６）?
cos2 xsin2 xdx 3x
3 1７）?(2e
x ? )dx８）?(1?
2
) x xdxx x
２、求下列不定积分（第一换元法）
拟写、标准
页眉内容
１）?(3? 2x)3dx２）? dx
３）? sin tt dt
５）? dxcos xsin x
７）?xcos(x2 )dx
９）? sin xcos
3 x
dx 10
拟写、标准
3 2 ? 3x
４）? dxxln xln(ln x)
６）? dxe
x ? e?x
８）? 3x31? x
4
dx
）? 1? x
9 ? 4x2
dx
页眉内容
11）?
dx
3 12）cos xdx
2
?2x ?1
13)?sin2xcos3xdx 14) ?tan3 xsecxdx
x3 1dx15) ? 16) dx
2 2 2
?9 ? x 3cos x ? 4sin x
17) ?
102arccosx
1? x2
dx 18) ? arctan x
x(1? x)
dx
3、求下列不定积分（第二换元法）
1
x 1? x2
１）?
dx２）?sin xdx
拟写、标准
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３）?
x2 ? 4 x2dx４）? dx,(a ? 0)
2 2x a ? x
５）?
dx
(x ?1)2 3
６）? dx1? 2x
７）?
dx
x ? 1? x2
８）? dx
1? 1? x2
４、求下列不定积分（分部积分法）
１）?xsinxdx２）?arcsin xdx
x３）? x2ln xdx４）? e
?2x sin dx2
拟写、标准
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５）?x2 arctanxdx６）?x2 cos xdx
７）?ln2 xdx８）? x2 cos2
x dx
2
５、求下列不定积分（有理函数积分）
x3 dx １）?
x ? 3
２）?
2x ? 3 dx
2x ? 3x ?10
3）? dx
2x(x ?1)
（Ｂ）
１、一曲线通过点(e2,3)，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
拟写、标准
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２、已知一个函数F(x)的导函数为3，且当x ?1时函数值为?，试求此函数。21? x
2
1
３、证明：若? f (x)dx ? F(x) ? c，则
?
４、
５、
1f (ax ?b)dx ? F(ax ?b) ? c,(a ? 0)。
a
设f (x)的一个原函数为sin x，求?xf ?(x)dx。x
求下列不定积分
x１）?cos2 dx２）? 1?sin 2xdx
2
拟写、标准
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arctan
３）?
1
x
2 dx
４）?x 1? xdx1? x
５）? dx(x
2 ? a2 )(x2 ? b2 )
7）? ln xx 1? ln x dx
１、求以下积分
１）? xex
ex ?1
dx 2)
拟写、标准
1? x
６）?x x2a ? xdx
8）? xearctan x
3
dx
(1? x2 )2
（Ｃ）
? dxsin(2x) ? 2sin x
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arctanex x5dx４）?３）? dx
2xe
５）? x5 ? xx
8 ?1
dx
１、（１）? 1x ? c
（３）1 x3 ? 2x23 ? 4x ? c
5(2)x
（５）2x ? 3ln2 ? ln3 ? c
（７）2ex ?3ln x ? c
拟写、标准
4 x3 ?1
６）? sin xcos xsin x ? cos xdx
不定积分
习题答案
（Ａ）
3（２）? 2 ?
23 x ? c
（４）x ?arctanx ? c
（６）? (cot x ? tan x) ? c
（８）4(x2 ? 7)7
4 x
? c
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11２、（１）? (3? 2x)
4 ? c（２）? (2 ?3x)3 ? c28
2
（３）? 2cos t ? c（４）lnlnln x ?c
（５）ln tan x ?c（６）arctanex ? c
1 3（7）sin(x
2 ) ? c（８）? ln1? x4 ? c2 4
（9）1 1 2x 1 (10)? c arcsin ? 9? 4x2 ? c
2 2 3 42cos x
ln sin3 x ? c? c (12) sin x ? 32x ?1(11) 12 2 2x ?1
1 1 1(13) cos x ? cos5x ? c (14) sec
3 x ?sec x ? c 2 10 3
1 21 9 arctan ? c (15) x
2 ? ln(9? x2 ) ? c (16)2 2
2 3 3
102arccos x ? c (18) (arctan x)2 ? c (17)?
2ln10
3、(1)lncsct ?cott ?c （2）? 2( x cos x ?sin x) ? c
x2 ? 4 2?arccos ) ? c （3）2(tan
2 x
a2 x x(4) (arcsin ?
22 a a
x
1? x2
a2 ? x2 ) ? c
(5) ? c (6) 2x ? ln(1? 2x) ? c
拟写、标准
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x1 ? c (7) (arcsin x ? ln x ? 1? x
2 ) ? c (8) arcsin x ?
22 1? 1? x
4、(1)? xcosx ? sin x ? c (2) xarcsinx ? 1? x2 ? c
1 1 2 x x(3) x
3 ln x ? x3 ? c (4) ? e?2x (cos ? 4sin ) ? c3 9 17 2 2
1 1 1(5) x
3 arctan x ? x2 ? ln(1? x2 ) ? c3 6 6
(6) x2 sin x ? 2xcos x ? 2sin x ? c
（7）xln2 x ? 2xln x ? 2x ? c
1 1(8) x
3 ? x2 sin x ? xcos x ?sin x ? c 6 2
1 35、(1) x
3 ? x2 ? 9x ? 27ln x ? 3 ? c (2) ln x ? 2 ? ln x ? 5 ? c3 2
1 (3) ln x ? ln(x
2 ?1) ? c 2
1 1 1(4) ln x ? ln x ?1 ? ln(x
2 ?1) ? arctan x ? c 2 4 2
1 x2 ?1 3 2x ?1 (5) ? ln
2
? arctan ? c 2 x ? x ?1 3 3
(B)
1、设曲线y ? f (x)，由导数的几何意义：y? ? 1 1，? dx ? ln x ? c，点(e2,3)代入即可。x x
2、设函数为F(x)，由F?(x) ? f (x) ? 1
1? x2
，得
3F(x) ? ? f (x)dx ? arcsin x ?C，代入(1, ? )即可解出C。
2
拟写、标准
页眉内容
3、由假设得F?(x) ? f (x),?F?(ax ? b) ? f (ax ? b)，故
1 1[ F(ax ? b)]? ? F?(ax ? b),?? f (ax ? b)dx ? F(ax ? b) ? c。
a a
４、把f ?(x)凑微分后用分部积分法。
x 1? cos x ?
2 2５、（１）用倍角公式：cos2
（２）注意cosx ?sin x ? 0或cos x ?sin x ? 0两种情况。
1 1（３）利用arctan ? arccot x, dx ? ?d(arccot x)。
2x 1? x
（４）先分子有理化，在分开作三角代换。
（５）化为部分分式之和后积分。
（６）可令x ? 2asin 2 t。
（７）可令x ? a ? (b ? a)sin 2 t,则b ? x ? (b ? a)cos2 t。
（８）令1? ln x ? t。
（９）分部积分后移项，整理。
（１０）凑earctan x后分部积分，再移项，整理。
（１１）令tan x ? t。2
dx
x ? 3 ?(x ? 2)4
x ? 2
（１２）变形为?后，令x ? 3 ? t，x ? 2
再由1? 11 dx ? 2tdt。? t 2，两端微分得(x ? 2)2x ? 2
拟写、标准
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（Ｃ）
1）解：令u ? ex ?1，则x ? ln(1? u2 ),dx ? 2u du 1? u
2
4u2 du 所以原式? 2?ln(1? u )du ? 2uln(1? u ) ??
21? u
2 2
? 2u ln(1? u2) ? 4u ? 4arctanu ? c
? 2x ex ?1 ? 4 ex ?1 ? 4arctan ex ?1 ? c
2）解：方法一：
x xd( ) d(tan )
dx 1 12 2 原式? ? ? ? ? ?
x x 4 x x2sin x(1? cos x) 4 sin cos
3 tan cos22 2 2 2
1
4 ?
1? tan2 x2
d(tan x) ? 1 tan2 x ? 1 ln tan x ? cx 2 8 2 4 2
tan 2
x ? t
2
sin xdx，然后令cos x ? u
22(1? cos x)(1? cos x)
?
方法二：令tan
方法三：变形为?
再化成部分分式积分。
3）解：原式? ? 1 x ?2xarctane d(e )?2
1
?2x
d(ex )
x ? ? [e arctane ? ?
2x
]2 e (1? e
2x )
拟写、标准
页眉内容
1 du ]（令ex ? u）? ? [e
?2x arctanex ? ?
2 22 u (1? u )
1 du du? ? [e
?2x arctanex ??
2
? ? ]
22 u 1? u
1? ? e
?2x arctanex ? e?x ? arctanex ? c 2? ?
1 x3 1 x3 ?1 1
34）解：原式? ? d(x ) ? [? d(x3) ?? d(x3)]
43 4 x3 ?1 3 4 x3 ?1 x3 ?1
?1 3 3 3 3? [?(x ?1) 4d(x ?1) ? ?(x ?1) 4d(x ?1)]
3
3 1
4
3
4(x ?1)
4 ? (x3 ?1) 4 ? c ? 21 9
7 3
x ? x?3 1 d(x2 ? x?2 )
2 ?2u ? x ? x5）解：原式? ?
4
，令dx ?
?4 2 ?2 2
?2 (x ? x ) ? 2x ? x
1 du 1 u ? 2? ln ? c
2 ? u2 ? 2 4 2 u ? 2
1
4 2 ln
x4 ? 2x2 ?1
x ? 2x ?14 2
?
? ? c
6）解：原式? 1 2sin xcos x ?1?1dx ?2 sin x ? cos x
1 (sin x ? cos x)2 1 1? ? dx ? ? dx
2 sin x ? cos x 2 sin x ? cos x
d(x ? )1 1 4
? (sin x ? cosx) ? ?2 2 2
sin(x ? ? )4
?
拟写、标准
页眉内容
d cos(x ? )1 1 4
? (sin x ? cos x) ? ?2 2 2
1? cos2(x ? ? )4
1 1 1 1 ?? (sin x?cosx)? [ ? ]d cos(x? ) ?
2 44 2 1?cos(x?? ) 1?cos(x?? )
4 4
1 1? (sin x ? cos x) ? ln
2 4 2
?
1? cos(x ? ?4
? c ?
1? cos(x ? )4
)
拟写、标准
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